Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1.Анализ линейной САР с пропорциональным законом регулирования

1.1 Анализ линеаризованной САР

2.Динамический синтез и исследование скорректированной линейной САР

2.1 Построение желаемой ЛАХ

2.2 Исследование скорректированной линейной САР

2.3 Исследование скорректированной улучшенной САР

2.4 Исследование системы по выходу усилителя мощности

2.5 Реакции САР по ошибке

2.6 Построение областей устойчивости

3.Анализ влияния нелинейностей на динамические свойства САР

3.1 Реакция САР по выходу УМ ( с учетом ограничения) и ДОС на ступенчатый сигнал

3.2 Исследование возможных автоколебаний

3.3 Реакция нелинейной САР на гармоническое воздействие

4.Переоборудование непрерывной САР в цифровую систему управления

4.1 Функциональная схема САР

4.2 Синтез ЦСУ

4.3 Построение ЛЧХ разомкнутой ЦСУ

4.4 Влияние шага дискретизации ЦСУ на свойства системы

4.5 Влияния расчётного шага дискретизации ЦКУ на свойства системы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

ПРИЛОЖЕЛИЕ 1

Размещено на Allbest.ru



ВВЕДЕНИЕ

Под синтезом систем автоматического управления понимается направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание рациональной структуры системы и установление оптимальных величин параметров ее отдельных звеньев.

Синтез можно трактовать как пример вариационной задачи и рассматривать такое построение системы, при котором для данных условий работы (управляющие и возмущающие воздействия, помехи, ограничения по времени работы и т. п.) обеспечивается теоретический минимум ошибки.

Синтез также можно трактовать как инженерную задачу, сводящуюся к такому построению системы, при котором обеспечивается выполнение технических требований к ней.

При инженерном синтезе системы автоматического управления необходимо обеспечить, во-первых, требуемую точность и, во-вторых, приемлемый характер переходных процессов.



1.Анализ линейной САР с пропорциональным законом регулирования

1.1 Анализ линеаризованной САР

Рассмотрим исходную структурную схему системы автоматического регулирования.

Рисунок 1.1 - Структурная схема исследуемой системы

КБ - корректирующий блок; УМ - усилитель мощности; Д - электрический двигатель постоянного тока; ОУ - объект управления; ДОС - датчик обратной связи; у₁*(t) - задающее воздействие (напряжение); у(t) - управляемая переменная; E(t) - рассогласование; u_k(t) - выход корректирующего блока; u_ум(t) - выход усилителя мощности; ??(t) - выход исполнительного электродвигателя; ??₁(t) - угол поворота выходного вала редуктора и регулирующего органа в составе ОУ; у₁(t) - выход ДОС.

Исходная система автоматического регулирования имеет ряд нелинейностей: зазор (люфт) в редукторе и ограничение выхода усилителя мощности на уровне ±110 В. Для анализа системы методами линейной теории на начальном этапе исследований примем такие допущения: , а усилитель мощности имеет неограниченную зону линейности.

Рисунок 1.2 - Структурная схема линеаризованной САР

(1.1)

(1.2)

; (1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

Определим минимальный коэффициент усиления САР и минимальное значение коэффициента передачи регулятора, обеспечивающие требуемые значения по точности.

Передаточная функция разомкнутой САР

(1.7)

- общий коэффициент усиления разомкнутой САР.

В техническом задании задан максимальный коэффициент ошибки по скорости , из этого условия вычислим минимальное значение коэффициента передачи разомкнутой САР

(1.8)

Теперь определим минимальное значение регулятора

(1.9)

Исследуем на устойчивость систему с пропорциональным регулятором численно равным . Передаточная функция замкнутой САР

. (1.10)

Характеристический полином замкнутой САР

(1.11)

(1.12)

Все коэффициенты , следовательно, необходимое условие устойчивости выполняется. Применим к системе алгебраический критерий Гурвица.

Из коэффициентов характеристического полинома запишем матрицу Гурвица, которая составляется по следующему правилу: на главной диагонали расположены элементы , при движении от этих коэффициентов вверх размещаются коэффициенты в порядке убывания, при движении вниз - в порядке возрастания. Если индекс превышает , где - порядок системы, или принимает отрицательное значение, то соответствующий коэффициент приравнивается к 0 . Составим матрицу Гурвица для характеристического полинома (1.11).

(1.13)



Критерий устойчивости сводится к тому, что при должны быть больше 0 все определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители меньше 0, следовательно, система является неустойчивой по критерию Гурвица.

Для оценки устойчивости системы в частотной области воспользуемся графоаналитическим критерием Найквиста, который позволяет судить об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы в зависимости от вида амплитудно-фазовой или логарифмических частотных характеристиках разомкнутой системы. ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы строятся согласно следующим формулам:

(1.14)

Т_д. (1.15)

Графики ЛАХ и ЛФХ разомкнутой САР представлены на рисунках 1.3 и 1.4 соответственно.



Рисунок 1.3 - ЛАХ разомкнутой САР с пропорциональным регулятором

Рисунок 1.4 - ЛФХ разомкнутой САР с пропорциональным регулятором

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы сумма переходов логарифмической фазовой характеристики разомкнутой системы через критический уровень ( в данном случае -180⁰) в области положительных значений ЛАХ была равна , где - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы .

Имеем один отрицательный переход в зоне положительности ЛАХ. Сумма переходов ЛФХ через критический уровень -180 градусов равна -1.

(1.16)

Т.к. сумма переходов не равна , разомкнутая система является неустойчивой по критерию Найквиста.

Построим АФЧХ разомкнутой системы с пропорциональным регулятором. График АФЧХ представлен на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 - АФЧХ разомкнутой САР с пропорциональным регулятором

Так как система имеет нулевой корень, в знаменателе появляется сомножитель , модуль которого равен , а фаза . В результате на частоте модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы равен бесконечности, а фаза , то есть амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будет иметь разрыв непрерывности. Для получения определенности замени нулевой корень бесконечно малым вещественным отрицательным корнем. Таким образом АФЧХ дополниться в положительном направлении четвертью окружности с радиусом равным бесконечности, тем самым разрыв будет устранен.

Вычислим корни характеристического полинома

(1.17)

(1.18)

Рисунок 1.6 - Распределение корней характеристического полинома замкнутой САР на комплексной плоскости

По значению корней характеристического полинома и рисунку 1.6 видно, что присутствуют правые корни, что свидетельствует о неустойчивости системы. На рисунке 1.7 представлен график переходной функции линейной САР с пропорциональным законом регулирования.

Рисунок 1.7 - График переходной функции линейной САР с пропорциональным регулятором

График переходной функции расходится, что подтверждает полученные выше результаты о неустойчивости САР.

Проведенное исследование позволяет утверждать о нецелесообразности использования пропорционального регулятора, так как он не обеспечивает устойчивость системы и, следовательно, не удовлетворяет необходимым требованиям по точности и качеству переходного процесса, что свидетельствует о необходимости выбора более сложного корректирующего устройства.

2.Динамический синтез и исследование скорректированной линейной САР

2.1 Построение желаемой ЛАХ

В предыдущем пункте было показано, что с пропорциональным законом регулирования, система не только не удовлетворяет требуемым показателям качества переходного процесса, но и является неустойчивой, что говорит о необходимости поиска такого корректирующего устройства, с которым система будет удовлетворять заданным требованиям.

Существует множество вариантов синтеза системы автоматического регулирования: корневой метод, метод корневых годографов, метод стандартных переходных характеристик и т. д. Остановимся на методе синтеза системы автоматического регулирования на основе частотных критериев качества (метод Бесекерского). Выбор метода обусловлен его простотой, удобством и наглядностью.

При синтезе САР методом построения желаемой ЛАХ (под желаемой ЛАХ понимается асимптотическая ЛАХ разомкнутой системы, которая обеспечивает выполнение всех требований технического задания по качеству переходного процесса и установившегося режима) неизменяемая часть САР задана. Она включает объект управления, датчики, исполнительный механизм и регулирующий орган и др. Синтез методом построения желаемой ЛАХ сводится к нахождению структуры и параметров корректирующего устройства. Эта задача решается определением разности ЛАХ исходной и желаемой ЛАХ.

Метод включает следующие основные операции:

1.Выбор коэффициента передачи разомкнутого контура по требованию точности

2.Построение асимптотической ЛАХ разомкнутой системы с выбранным в пункте 1 коэффициентом усиления

3.Построение желаемой асимптотической ЛАХ разомкнутой системы

4.Определение передаточной функции корректирующего устройства как результат деления передаточной функции желаемой системы на передаточную функцию исходной системы

5.Определение места и способа подключения корректирующего устройства

6.Выбор способа физической реализации корректирующего устройства

Для разных участков ЛАХ (низкочастотного, среднечастотного и высокочастотного) построения ведутся отдельно. Низкочастотный диапазон определяет точность работы системы в установившемся режиме, среднечастотный диапазон определяет качество переходных процессов, высокочастотный диапазон влияет на помехоустойчивость системы.

Начнем с построения низкочастотной области желаемой ЛАХ. В техническом задании определена граница диапазона существенных частот F_max = 1.63 Гц и значение ошибки по скорости, с их помощью построим границу запрещенной зоны, ниже которой желаемая ЛАХ проходить не может.

, . (2.1)

где - контрольная частота, на которой оканчивается граница запрещенной зоны.

дБ, (2.2)

где - высота запрещенной зоны в контрольной точке, - коэффициент ошибки по скорости.

Запрещенная зона пересекает ось на уровне дБ с наклоном -20 дБ/дек. Из инженерных соображений увеличим минимальный коэффициент усиления в раз. Это обусловлено тем, что точна ЛАХ в отличии от асимптотической будет проходить ниже на 3 дБ. В таком случае коэффициент усиления будет иметь значение:

. (2.3)

Примем, что первая частота сопряжения , в этой точке наклон желаемой ЛАХ меняется с -20 дБ/дек на -40 дБ/дек. Вычислим значение первой постоянной времени

с. (2.4)

Продлив прямую с наклоном -40 дБ/дек до пересечения с осью , получим значение базовой частоты , необходимой для дальнейших расчетов. Также базовую частоту можно вычислить аналитически

. (2.5)

Теперь, зная базовую частоту, вычислим значение необходимой частоты среза, обеспечивающей достаточный запас устойчивости.

, (2.6)

, (2.7)

где М - коэффициент колебательности, заданный в техническом задании.

Для построения среднечастотной области асимптотической желаемой ЛАХ обозначим коридор, в котором наклон ЛАХ должен быть -20 дБ/дек, для этого воспользуемся следующими формулами

дБ (2.8)

дБ, (2.9)

где - верхняя граница среднечастотного коридора, - соответственно нижняя граница.

Вторую постоянную времени, меняющую наклон ЛАХ с -40 дБ/дек на -20 дБ/дек, выберем на границе пересечения желаемой ЛАХ с верхней границей среднечастотного коридора . Таким образом значение получаем равным:

с, (2.10)

, (2.11)

где - частота, на которой ЛАХ пересекает верхнюю границу среднечастотного коридора.

При выборе такого значения постоянной времени желаемая ЛАХ пересекает ось на частоте равной частоте среза, вычисленной ранее. Из построений видно, что одна постоянная времени, заданная в техническом задании, «выпадает», исходя из этого, необходимо подобрать другую постоянную времени для обеспечения необходимого наклона в высокочастотной области, воспользуемся следующим условием:



с, (2.12)

где - сумма высокочастотных постоянных времени, иначе говоря

. (2.13)

Исходя из данных формул

с. (2.14)

Частоты сопряжения, соответствующие постоянным времени

, ; (2.15)

, ; (2.16)

, . (2.17)

Теперь располагаем всеми необходимыми данными для построения асимптотической желаемой ЛАХ.

2.2 Исследование скорректированной линейной САР

В предыдущем пункте с помощью метода желаемой ЛАХ получили передаточную функцию скорректированной системы

Проведем анализ данной системы на основе различных показателей качества.

Прямые показатели качества

Прямыми показателями качества называются показатели, которые непосредственно получаются по переходной характеристике. Из прямых показателей качества наиболее часто используют время регулирования и величину перерегулирования. Временем регулирования называется минимальное время, по истечении которого отклонения выходной величины от установившегося значения переходной функции не превышают некоторой заданной величины ??. Перерегулированием называют максимальное отклонение от установившегося состояния, выраженное в процентах по отношению к установившемуся состоянию .

График переходной функции показан на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 - График переходной функции скорректированной САР

По рисунку 2.1 видно, что скорректированная система является устойчивой, так как график переходной функции стремится к установившемуся значению . Определим величину перерегулирования и время переходного процесса

. (2.18)

где - максимальное значение графика переходной функции.

с, (2.19)

где - время переходного процесса.

Частотные показатели качества

В качестве частотных показателей качества используют резонансный пик , полосу пропускания , запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по коэффициенту усиления .

В техническом задании дано ограничение на величину коэффициента колебательности , поэтому построим график АЧХ замкнутой скорректированной системы.

Рисунок 2.2 - АЧХ замкнутой скорректированной САР

Вычислим значение коэффициента колебательности М:

(2.20)

где - резонансный пик, - начальное значение АЧХ.

Из формулы (2.20) видно, что коэффициент колебательности скорректированной САР значительно меньше его максимально возможно значения, заданного в техническом задании . Целесообразно увеличить коэффициент колебательности желаемой системы и максимально приблизить его , чтобы минимизировать усиление помех на высоких частотах. Добиться этого можно за счет увеличения одной из малых постоянных времени. Увеличивать будем постоянную времени Т₃ , входящую в состав корректирующего устройства. В ходе многократного моделирования получили такое значение Т₃, которое обеспечивает коэффициент колебательности М=1.338 ( Т₃ = 0.005 с).

Рисунок 2.3 - АЧХ желаемой улучшенной ЛАХ.

Передаточная функция разомкнутой улучшенной системы имеет вид:

. (2.21)

Получим передаточную функцию корректирующего устройства

То есть

(2.22)



2.3 Исследование скорректированной улучшенной САР

В пункте 2.2 получили систему, удовлетворяющую заданным ограничениям по быстродействию и качеству переходного процесса, а также требуемое корректирующее устройство. Определим запасы устойчивости по фазе и коэффициенту усиления , прямые, частотные, корневые и интегральные показатели качества переходного процесса.

Определим . На частоте среза , тогда

(2.23)

По рисунку 2.1 видно, что , а ЛАХ на этой частоте имеет значение -8 дБ, соответственно дБ. Определим граничное значение коэффициента усиления, при котором система будет находиться на границе устойчивости.

дБ,

(2.24)

,

где - граничное значение коэффициента усиления, - максимальное значение коэффициента передачи регулятора.

Определим прямые показатели качества переходного процесса.

На рисунке 2.4 изображен график переходной функции скорректированной улучшенной САР.



Рисунок 2.4 - График переходной функции скорректированной улучшенной САР

Видно, что время регулирования = 0.13 с, а величина перерегулирования

(2.25)

Перерегулирование скорректированной улучшенной системы имеет несколько большее значение, так как мы увеличили коэффициент колебательности системы за счет увеличения выбранной малой постоянной времени.

Частотные показатели качества

Определим частотные показатели качества для скорректированной улучшенной САР. График зависимости изображен на рисунке 2.4.

(2.26)

где М_р - значение АЧХ на частоте резонанса .

Граница полосы пропускания и значение АЧХ на ней

Исследуем корневые показатели качества

В качестве основных корневых показателей используют используют степень устойчивости и коэффициент колебательности.

Степенью устойчивости системы управления ( или характеристического полинома) называют расстояние от мнимой оси до ближайшего корня ее характеристического уравнения. Степень устойчивости характеризует быстродействие системы. Это связано с тем, что быстрота затухания переходного процесса в значительной мере определяется вещественной частью корня, наиболее близко расположенного к мнимой оси .

Степень колебательности косвенно характеризует колебательные свойства системы.

Вычислим корни характеристического полинома скорректированной замкнутой САР:

(2.27)

Из соотношения (2.27) видно, что правых корней нет, что свидетельствует о выполнении необходимого условия устойчивости.

Рисунок 2.5 - Расположение корней характеристического полинома замкнутой скорректированной САР

Рассмотрим значения основных показателей:

- коэффициент быстродействия;

- максимальная удаленность корня от мнимой оси;

? = 34.49 - коэффициент разбросанности корней;

- коэффициент колебательности ;

На основе полученных корневых показателей качества можем вычислить приближенное значение величины перерегулирования, времени регулирования и числу колебаний.

- величина перерегулирования;

с - время регулирования;

- количество колебаний;

Полученные значения значительно отличаются от точных, так как при расчете корневых показателей качества мы не учитываем влияние удаленных корней.

Интегральные показатели качества переходного процесса

Ошибку системы можно определить в виде суммы

где - вынужденная составляющая ошибки, - переходная составляющая ошибки.

Интегральные оценки имеют целью дать общую оценку быстроты затухания и величины отклонения управляемой величины в совокупности, без определения того и иного в отдельности. В геометрическом смысле интегральная оценка эквивалентна площади под кривой переходного процесса, построенного для отклонения. Площадь будет тем меньше, чем быстрее затухает переходный процесс и чем меньше величина отклонения.

Воспользуемся квадратичной интегральной оценкой, так как она не зависит от знаков отклонений, а значит, и от формы переходного процесса. Квадратичная интегральная оценка вычисляется по формуле

Недостатком интегральных оценок является то, что ничем не ограничивается форма кривой переходного процесса. Часто оказывается, что выбранные по минимуму этой оценки параметры системы соответствуют сильно колебательному процессу, стремление приблизить процесс к идеальному скачку вызывает большую скорость процесса при переходе к установившемуся состоянию.

Поэтому применяется еще другой вид интегральной оценки, в которой ограничение накладывается не только на величину отклонения , но также и на скорость отклонения .

где - некоторая постоянная времени .

Вычислим интегральные оценки качества в программе MathCad, программный расчет представлен в приложении 1. Результаты расчета представлены в таблице 1.



Таблица 1 - Интегральные показатели качества

	0.026
	0.088

где - прямая интегральная квадратичная оценка;

- улучшенная интегральная квадратичная оценка.

Проверим значение прямой интегральной квадратичной оценки путем моделирования в программе VisVim.

Рисунок 2.6 - График интегральной квадратичной оценки

В результате моделирования получили , расчетные результаты совпадают с результатами, полученными путем моделирования.

Данные оценки соответствуют номинальному значению К_р = 19.23. Чтобы проследить зависимость изменения значений интегральных показателей, построим соответствующие графики при разных значения К_р в диапазоне от 5 до 70.

Таблица 2 - Значение интегральных показателей качества при различных значениях К_р

Кр	5	10	15	19.23	25	30	35	40	45	50	70
	0.056	0.036	0.029	0.026	0.025	0.024	0.025	0.026	0.028	0.03	0.075
	0.073	0.067	0.076	0.088	0.111	0.136	0.167	0.207	0.258	0.327	1.262



а) б)

Рисунок 2.7 - а) Изменение , б) изменение

По таблице 2 и рисунку 2.7 видно, что интегральные оценки принимают минимальные значения: при К_р=30, а при К_р=10. Исследуем систему при данных значениях К_р, затем представим результаты для сравнения в таблице.

К_р = К₂₀ =30

Исследуем прямые, корневые и частотные показатели качества

Прямые показатели качества

Построим график переходной функции и определим значение времени регулирования и величину перерегулирования.

Рисунок 2.8 - График переходной функции скорректированной САР при К_р=30



Прямые показатели качества для данной системы:

с - время регулирования;

- величина перерегулирования;

Т = 0.1 с - период колебаний;

- число колебаний.

Корневые показатели качества

Определим теперь корневые показатели качества, для этого найдем корни характеристического полинома.

Характеристический полином замкнутой системы

Рисунок 2.9 - Распределение корней характеристического уравнения при К_р=30



Значение корневых показателей качества:

- коэффициент быстродействия;

- максимальное удаление корня от мнимой оси;

?= =36.39 - коэффициент разбросанности корней;

- показатель колебательности;

На основе корневых показателей качества вычислим время регулирования и величину перерегулирования.

- перерегулирование;

с - время регулирования.

Частотные показатели качества

Также дадим частотную оценку системе с увеличенным значением К_р.

ЛАХ и ЛФХ показаны на рисунках 2.10 и 2.11 соответственно. Вид ЛФХ не зависит от коэффициента усиления, поэтому с увеличением К_р она не изменится.

рад/с - частота среза.

Запасы устойчивости по коэффициенту усиления и по фазе :

дБ , .

С увеличением К_р запас устойчивости по коэффициенту усиления не изменился, а запас устойчивости по фазе стал заметно меньше (на 10⁰), что связано с увеличением частоты среза.

Рисунок 2.10 - ЛАХ разомкнутой системы при К_р=30

Рисунок 2.11 - ЛФХ разомкнутой системы при К_р=30

Рисунок 2.12 - АЧХ системы с К_р=30

- коэффициент колебательности.

Теперь исследуем систему при К_р=10 и после сделаем выводы.

К_р=К₂₁=10



Прямые показатели качества

Построим график переходной функции системы автоматического регулирования с коэффициентом передачи регулятора равным 10.

Рисунок 2.13 - График переходной функции системы с К_р=10

Определим прямые показатели качества

с - время регулирования,

- перерегулирование.

Корневые показатели качества

Вычислим корни характеристического уравнения.

Рисунок 2.14 - Распределение корней на комплексной плоскости

- степень устойчивости,

- максимальное удаление корня от мнимой оси,

- коэффициент колебательности.

Частотные показатели качества

Построим логарифмические частотные характеристики и АЧХ.

Рисунок 2.15 - ЛАХ САР при К_р=10

Рисунок 2.16 - ЛФХ САР при К_р=10

рад/с - частота среза,

рад/с - критическая частота,

дБ - запас устойчивости по коэффициенту усиления,

- запас устойчивости по фазе.

Построим АЧХ замкнутой системы.

Рисунок 2.17 - АЧХ замкнутой системы

- коэффициент колебательности.

Подведем итог.

Таблица 3

	,с			,дБ	,град
К20=30	0.175	46	10.23	7	33	1.81
К21=10	0.26	21	17.88	18	53	1.25
Крном=19.23	0.13	30	11.15	8	47	1.338

Оптимизация системы по одному из интегральных показателей качества ведет к изменению всех параметров системы. При выборе оптимального значения получаем более колебательную систему с меньшим значением запасов устойчивости по фазе и коэффициенту усиления по сравнению с исходной. Улучшенная интегральная квадратичная оценка качества накладывает ограничение на скорость переходного процесса, поэтому система с оптимальным значением имеет большее время переходного процесса, а также большее значение запасов устойчивости и меньшее значение коэффициента колебательности. Системы оптимизированные по минимуму интегральных оценок качества не удовлетворяют условиям технического задания.

2.4 Исследование системы по выходу усилителя мощности

Построим структурную схему скорректированной системы по выходу усилителя мощности.

Рисунок 2.18 - Структурная схема скорректированной САР с выходом по УМ

Построим график и найдем значение .

Рисунок 2.19 - График переходной функции по выходу усилителя мощности



Запишем передаточную функцию по выходу усилителя мощности

(2.28)

, где

- коэффициент усиления регулятора, - коэффициент передачи усилителя мощности, - коэффициент передачи двигателя, - коэффициент передачи редуктора, - коэффициент передачи объекта управления, - коэффициент передачи датчика обратной связи, и - постоянные времени объекта управления, - постоянная времени двигателя, , и - постоянные времени корректирующего устройства.

(2.29)

Преобразуя выражение (2.28), записанное в символьной форме выведем зависимость значения от параметров системы. Предел (2.29) равен отношению коэффициентов, стоящих при старших степенях, поэтому

.

Значение переходной функции по выходу усилителя мощности в начальный момент времени прямо пропорционально значениям и и обратно пропорционально значениям постоянных времени и .

По условию технического задания на выход усилителя мощности наложено ограничение ±110 В, поэтому определим значение максимальной амплитуды сигнала, при которой усилитель мощности удовлетворяет данному ограничению.

В. (2.30)

Определим границу диапазона частот , в котором усилитель мощности работает в зоне линейности при входном сигнале

(2.31)

Рисунок 2.20 - Выход усилителя мощности при входном сигнале

Граница диапазона частот, в котором УМ работает в зоне линейности, находится в точке пересечения графика и уровня 110 - рад/с. При превышении частоты или амплитуды входного сигнала усилитель мощности переходит в режим насыщения.

2.5 Реакции САР по ошибке

Величина ошибки на выходе измерителя рассогласований показывает на сколько выходной сигнал отличен от задающего воздействия на входе. Ошибка складывается из двух составляющих: переходной и вынужденной.



(2.32)

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке имеет вид

. (2.33)

Исследуем реакцию системы на сигнал с постоянной скоростью . По техническому заданию а = 12 В/с. Реакция по ошибке определяется как

. (2.34)

После преобразования Лапласа входной сигнал примет вид

. (2.35)

Рисунок 2.21 - 1 - Реакция САР по ошибке, 2 - вынужденная составляющая ошибки

Коэффициенты вынужденной составляющей ошибки определяются по формуле

(2.36)

Определим значения первых трех коэффициентов

, , . (2.37)

Вынужденная составляющая ошибки запишется как

, (2.38)

где - входной сигнал.

В данном случае вынужденная ошибка имеет прямо пропорционально зависит от скорости входного сигнала, то есть с ростом скорости входного сигнала будет увеличиваться и вынужденная составляющая ошибки.

График вынужденной составляющей показан на рисунке 2.22 пунктирной линией.

Теперь рассмотрим реакцию САР на квадратичный сигнал

Реакция по ошибке

(2.39)

Для записи вынужденной составляющей воспользуемся соотношениями (2.37) и формулой (2.23).

(2.40)

На рисунке 2.22 график вынужденной составляющей изображен пунктирной линией.

Рисунок 2.22 - 1 - Реакция САР по ошибке на квадратичный сигнал, 2 - вынужденная составляющая ошибки

При подаче на вход квадратичного сигнала, вынужденная составляющая ошибки имеет линейно нарастающий характер.

2.6 Построение областей устойчивости

При расчете и проектировании системы автоматического управления иногда бывает необходимым исследовать влияние ее различных параметров на устойчивость системы. Для решения этой задачи служит построение областей устойчивости. Областью устойчивости в пространстве параметров называют множество всех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива. Для построения областей устойчивости воспользуемся методом Д - разбиения в силу его простоты и наглядности. Суть метода заключается в следующем:

1)Д - разбиение пространства параметров;

2)определение среди областей Д(к) области с наименьшим индексом, где номер индекса равен количеству правых полюсов. Такая область называется областью - претендентом;

3)проверка является ли область претендент областью устойчивости. Для этого фиксируется какая-либо точка из области - претендента и при значении варьируемых параметров, соответствующих фиксированной точке, проверяется устойчивость системы.

Для построения основной границы устойчивости запишем характеристический полином

,

где - корень характеристического полинома. Перепишем полином в виде

Выделим мнимую и действительную части

,

где .

Чтобы определиться с правилом штриховки, необходимо вычислить якобиан

,

если якобиан > 0, то при движении в сторону увеличения ?? двойная штриховка наносится с левой стороны; если якобиан < 0, то, соответственно, штриховка наносится с правой стороны.

Для построения особых границ устойчивости, соответствующих и , можно воспользоваться условием: , .

Штриховки основной границы и особых границ антинаправлены.

С помощью программы MathCad построим основную границу устойчивости и вычислим значение якобиана для выбора штриховки, расчет представлен в приложении 1.

Рисунок 2.23 - Основная граница устойчивости

а) б)

Рисунок 2.24 - Вспомогательные графики

По рисунку 2.24а видно, что якобиан больше нуля, следовательно, применяется левая штриховка.

Для построения области заданного быстродействия выполним подстановку , где , тогда характеристический полином примет вид проект корректирующее устройство микропроцессор



Такая подстановка соответствует смещению мнимой оси вправо на значение, равное . Для области заданного быстродействия выполняется условие .

Для построения области заданной колебательности выполним подстановку , где = 1.67.

Изобразим на совмещенном графике область устойчивости, полученную методом Д-разбиения, области заданного быстродействия и колебательности.

Рисунок 2.25 - а) Область устойчивости, б) область заданного быстродействия, в) область заданной колебательности

Видно, что области, удовлетворяющие ограничениям по быстродействию и колебательности, находятся внутри области устойчивости. Исследуем несколько точек, отличных от номинального значения К_р .

Исследование свойств системы при различных значениях К_р (К_р1=7.73, К_р2=2.3)

Изобразим на одном рисунке графики переходных функция при коэффициенте усиления регулятора равном номинальному и отличному от номинального.

Рисунок 2.26 - 1 -К_рном=19.23, 2 - К_р=7.73, 3 - К_р=2.3

Таблица 4

	, с
Крном=19.23	0.13	30
Кр1=7.73	0.33	19
Кр2=2.3	0.68	21

По рисунку 2.26 и таблице 4 видно, что с уменьшением коэффициента усиления перерегулирование уменьшается, а время переходного процесса увеличивается.

Построим графики ЛАХ, ЛФХ и АЧХ для систем с К_р1=7.73 и К_р=2.3



а) б) в) г)

Рисунок 2.27 - а) ЛАХ (К_р1=7.73), б) ЛАХ (К_р2=2.3), в) ЛФХ (К_р1=7.73), г) ЛФХ (К_р2=2.3)



а) б)

Рисунок 2.28 - а) АЧХ при К_р1=7.73, б) АЧХ при К_р2=2.3

Таблица 5 - Частотные критерии качества

	,с-1	,с-1	,дБ	,0
19.23	38	100	7	47	1.338	70.4
7.73	16.87	100	20	53.3	1.26	29.47
2.3	7.12	100	30	50.5	1.29	10.8

Так как изменение коэффициента передачи не влияет на фазовую характеристику, частота (), на которой ЛФХ пересекает критический уровень, не изменилась, а частота среза при уменьшении коэффициента усиления сместилась в область более низких частот, следовательно, увеличился запас по коэффициенту усиления. Уменьшение коэффициента усиления ведет к уменьшению коэффициента колебательности, а также уменьшению полосы пропускания, что не желательно, так как полоса пропускания определяет диапазон частот, в котором ошибка будет меньше некоторой заданной величины.

Определим корневые показатели качества для системы с различными значениями К_р.

Корневые показатели качества

Запишем характеристическое уравнение для системы с коэффициентом передачи регулятора равным 7.73

. (2.41)

Корни уравнения (2.41) численно равны

.

Для наглядности изобразим корни на комплексной плоскости.

Рисунок 2.29 - Расположение корней на комплексной плоскости

Аналогично запишем характеристическое уравнение и найдем его корни для системы с коэффициентом усиления регулятора равным 2.3.

(2.42)

Рисунок 2.31 - Расположение корней на комплексной плоскости



Таблица 6 - Корневые показатели качества

19.23	11.15	1.67
7.73	11.15	0.86
2.3	3.52	1.67

- коэффициент быстродействия, - коэффициент колебательности.

Дополнительные точки для исследования выбирались на границах быстродействия и колебательности (точка с координатами К_р=7.73 и Т₃=0.005 лежит на границе области заданного быстродействия, соответственно коэффициент быстродействия системы с данным значение коэффициента усиления регулятора совпадает с коэффициентом быстродействия системы с номинальным значением К_р, а точка с координатами К_р=2.3 и Т₃=0.005 лежит на границе области заданной колебательности, соответственно коэффициент колебательности системы с данным значением коэффициента передачи совпадает с коэффициентом колебательности исходной системы).



3.Анализ влияния нелинейностей на динамические свойства САР

Нелинейной системой автоматического управления называется такая система, которая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением.

Различают статические и динамические нелинейности. Первые описываются нелинейными алгебраическими уравнениями, а вторые представляются в виде нелинейных дифференциальных уравнений.

Общий метод составления уравнений для нелинейной системы состоит в следующем. Сначала производится линеаризация уравнений всех звеньев, для которых это допустимо, кроме существенно нелинейных звеньев. Затем составляются уравнения этих последних звеньев со всеми допустимыми упрощениями их характеристик.

В результате получается система линейных уравнений, к которым добавляются одно-два (иногда более) нелинейных [2].

По условию технического задания в системе присутствуют две нелинейности: люфт и ограничение. Представим обобщенную структурную схему исследуемой системы.

Рисунок 3.1 - Обобщенная структурная схема исследуемой нелинейной системы

Исследуем систему с учетом имеющихся нелинейностей.

3.1 Реакция САР по выходу УМ ( с учетом ограничения) и ДОС на ступенчатый сигнал

Ранее рассматривали линеаризованную модель системы, теперь же примем во внимание имеющиеся нелинейности: ограничение выхода усилителя мощности и люфт в регуляторе. Исследуем обработку ступенчатых сигналов с учетом насыщения УМ без учета нелинейности люфт.

Рисунок 3.2 - Нелинейность «ограничение»

Усилители мощности работает в линейном режиме если амплитуда входного сигнала не превышает значение В, значение было рассчитано по формуле (2.30). При превышении максимально допустимой амплитуды входного сигнала усилитель мощности уходит в режим насыщения.

Рассмотрим обработку ступенчатого сигнала различной амплитуды усилителем мощности.

На рисунке 3.3 представлена реакция по выходу УМ при обработке ступенчатого сигнала с различной амплитудой , , , 1 В.

Рисунок 3.3 - Выход УМ



Рисунок 3.4 - Выход ДОС (нормированные значения)

Определим прямые показатели качества по выходу ДОС, для удобства результаты представим в таблице.

Таблица 7 - Прямые показатели качества

Тип системы	Без учета насыщения УМ	С учетом насыщения УМ
Входной сигнал	1В	А*	3А*	5А*	1В
	30	30	19	19	18
tp, c	0.13	0.125	0.23	0.26	0.3

Прямые показатели качества без учета насыщения УМ и нелинейной системы с учетом насыщения при работе УМ в зоне линейности практически совпадают.

При работе системы на линейном участке характеристики УМ (входной сигнал не превышает значения ) характеристика данного НЭ при линеаризации по методу секущих аппроксимируется секущей с коэффициентом (прямая 1 рисунок 3.2). Если входной сигнал превышает значение , то УМ работает в зоне насыщения, его характеристика аппроксимируется секущей с меньшим коэффициентом чем К_ум (прямая 2 рисунок 3.2). Таким образом, при увеличении входного сигнала, начиная с , наблюдается уменьшение усиления сигнала усилителем мощности, или, так сказать, уменьшение «эквивалентного» коэффициента усиления разомкнутой линеаризованной системы. Это соответствует смещению ЛАХ линейной разомкнутой системы вниз. При этом уменьшается частота среза и полоса пропускания, что ведет к потере быстродействия и увеличению времени регулирования.

3.2 Исследование возможных автоколебаний

Исследование периодического одночастотного режима в автономной одноконтурной САР удобно проводить приближенным инженерным методом, основанном на гармонической линеаризации безынерционной нелинейности. При этом предполагается, что в замкнутом контуре существует периодические одночастотные колебания, когда вход нелинейного звена изменяется по закону близкому к гармоническому с неизвестной амплитудой А и частотой ??. При таких условиях нелинейное звено заменяется на гармонически линеаризованное звено с комплексным коэффициентом передачи Искомые параметры режима находятся из необходимого условия нахождения линеаризованной САР на колебательной границе устойчивости, которое имеет вид . Обычно решение этого уравнения находится графоаналитически способом по методу Гольдфарба.

Построим фазовую и амплитудную границы устойчивости. Расчеты, используемые для построения фазовой и амплитудной границ устойчивости, были произведены в программе MathCad и представлены в приложении 1.

Нелинейность «люфт»

Амплитудная и фазовая границы устойчивость представлены на рисунках 3.4 и 3.5.

Рисунок 3.5 - АГУ для нелинейности «люфт»

Рисунок 3.6 - ФГУ для нелинейности «люфт»

Для нелинейности «люфт» ФГУ и АГУ отмечаются штриховкой снизу. В точке пересечения ЛФХ с границей устойчивости фазовая характеристика переходит из заштрихованной области в незаштрихованную. ЛАХ пересекает АГУ в двух точках: в области малых частот и в области средних частот. В области малых частот ЛАХ пересекает АГУ переходя из незаштрихованной области в заштрихованную, то есть в данном случае автоколебания не возникают. В области средних частот ЛАХ пересекает АГУ, переходя из заштрихованной области в незаштрихованную, то есть возникает режим одночастотных автоколебаний.

Эквивалентный комплексный коэффициент передачи по первой гармонике

, (3.1)

где - коэффициент передачи по амплитуде синфазной составляющей, - коэффициент передачи по амплитуде квадратурной составляющей.

По точке пересечения ЛФХ с границей устойчивости определим значение А. Для нелинейности «люфт» А=0.0221, а частота рад/с, , . Тогда сигнал на выходе эквивалентного линеаризованного звена будет иметь вид

, (3.2)

где - амплитуда синфазной составляющей гармоники, - амплитуда квадратурной составляющей гармоники.

Смоделируем режим одночастотных автоколебаний в программе VisSim.

Рисунок 3.7 - Автоколебания при нелинейности «люфт», а) сигнал на входе нелинейного звена, б) сигнал на выходе нелинейного звена

Нелинейность «ограничение»

Для нелинейности ограничение введем величину - относительная амплитуда гармонического сигнала на входе нелинейного звена.

Так как нелинейность «ограничение» относится к однозначному типу нелинейностей, квадратурная составляющая гармоники отсутствует, то есть

(3.3)

Значит, фазовая граница устойчивости (ФГУ) находится на линии - 180° на интервале от -? до щ_ср, а амплитудная граница устойчивости (АГУ) - вертикальная прямая, восстановленная перпендикулярно горизонтальной оси на критической частоте.

Для построения амплитудной границы устойчивости введем величину

- обратный эквивалентный коэффициент передачи, взятый с противоположным знаком.

- логарифмическая амплитудная характеристика.

Значения представлены в таблице 8.

Таблица 8 - значения

а	1,0	2,2	4,0	8,0	12	16	20	28	40
Lm(a),дБ	0	3	5	10	19,5	22	24	27	30

Для нелинейности «ограничение» ФГУ штрихуется сверху, а АГУ - слева.

Рисунок 3.8 - АГУ для нелинейности «ограничение»

Рисунок 3.9 - ФГУ для нелинейности «ограничение»

По рисункам 3.7 и 3.8 видно, что ни ЛАХ, ни ЛФХ не имеют точек пересечения с амплитудной и фазовой границами устойчивости, что говорит о том, что при данный параметрах системы автоколебания в ней не возникают.

3.3 Реакция нелинейной САР на гармоническое воздействие

Исследуем реакцию по выходу ДОС на гармонический сигнал с учетом насыщения усилителя мощности, где = 1 В, 3В, 5В, = 20.85 рад/с - граничная частота, при которой УМ работает в линейном режиме.

Рисунок 3.10 - 1 - Входной сигнал с амплитудой 1 В, 2 - выход ДОС, 3 - выход линейной системы



Рисунок 3.11 - 1 - Входной сигнал с амплитудой 3 В, 2 - выход ДОС, 3 - выход линейной системы

Рисунок 3.12 - 1 - Входной сигнал с амплитудой 5 В, 2 - выход ДОС, 3 - выход линейной системы

Рисунок 3.13 - Нормированные графики по выходу ДОС: 1- выход ДОС при входном сигнале с амплитудой 1 В, 2 - выход ДОС при входном сигнале с амплитудой 3 В, 3 - выход ДОС при входном сигнале с амплитудой 5 В.



Таблица 9

Система	Линейная	Нелинейная
Авх, В	1	1	3	5
Авых, В	1.22	1.22	1,49	1,3
	0.22	0.22	0.5	0.74
	0.02	0.02	0.08	0.08
	0.06	0.06	0.26	0.26
	23.999	23.999	95.999	95.999

(3.4)

(3.5)

где - период колебаний системы.

При входном сигнале с единичной амплитудной амплитудно-фазовые искажения выходного сигнала нелинейной системы совпадают с аналогичными искажениями линейной системы, то есть нелинейная система реагирует на входное воздействие как линейная. При увеличении амплитуды линейная и нелинейная система реагируют на входное воздействие с заметной разницей. Проводя линеаризацию насыщения по методу секущих, заметим, что при работе на нелинейном участке при увеличении входного сигнала «эквивалентный» коэффициент линеаризованной разомкнутой системы уменьшается. Рассмотрим зависимость частотной передаточной функции линейной системы от К

.

При уменьшении К модуль числителя изменяется быстрее модуля знаменателя, что ведет к уменьшению модуля , и, как следствие, увеличению амплитудных искажений.



4.Переоборудование непрерывной САР в цифровую систему управления

4.1 Функциональная схема САР

Современные вычислительные средства в виде ЭВМ, микроконтроллеров, микропроцессоров (МП) широко применяются в составе управляющих устройств систем управления (СУ). По принципу действия данные устройства являются дискретными, что вносит особенности в методы математического описания и динамические свойства СУ, содержащих в своем составе подобные устройства. Рассмотрим преобразование непрерывной САР в дискретную.

Рисунок 4.1 - Структурная схема непрерывной САР

- передаточная функция корректирующего звена, - неизменяемая часть системы.

Рисунок 4.2 - Структурная схема цифровой САР

АЦП - аналого-цифровой преобразователь преобразует непрерывный сигнал в последовательность цифровых кодов; ЦВУ - цифровое вычислительное устройство, осуществляющее преобразование входного цифрового кода в выходной в соответствии с алгоритмом преобразования А_k; ЦАП - цифро-аналоговый преобразователь, преобразует входной цифровой код в выходной сигнал определенных уровней; T₀ - период дискретизации.

Для получения расчетной структурной схемы воспользуемся эквивалентными схемами для устройств дискретного действия, входящих в цифровое корректирующее звено. Для математического же описания УДД воспользуемся уравнениями и функциональным зависимостями относительно дискретного аргумента - решетчатые функции f_i(kT₀)= f_i[k].

Основными этапами структурного метода при получении расчетных структурных схем ДСУ являются:

1.Замещение

Все устройства дискретного действия в составе исходной структурной схемы заменяются своими эквивалентными схемами замещения. Формирователи импульсов ФИ, фиксаторы Ф₀ объединяются с расположенными следом за ними непрерывными частями НЧ с образованием приведенных непрерывных частей ПНЧ.

2.Дискретизация выхода

Выходной сигнал системы рассматривается только в дискретные моменты времени . Это соответствует размещению фиктивного ключа на выходе непрерывной части системы и не влияет на вид процессов в системе. При необходимости получения информации о значениях выхода непрерывной части в промежуточные моменты времени в цепь наблюдения дополнительно размещается звено временного сдвига на время . Параметр смещения задается некоторым значением на интервале (0; 1).

3.Структурные преобразования

Выполняются допустимые преобразования, полученной промежуточной структурной схемы ( перенос ключа с выхода сумматора на его входы и наоборот; перенос ключа через безынерционное звено; изменение порядка следования линейных звеньев и т. д.). Последовательно расположенные фиксатор и ключ не изменяют дискретного сигнала, поэтому их можно заменить тривиальным безынерционным звеном с коэффициентом передачи равным 1.

4.Определение дискретных звеньев

Выявляются участки структурной схемы, для которых входной и выходной сигналы являются дискретными. Эти участки объявляются дискретными звеньями [3].

Эквивалентные схемы замещения

Рисунок 4.3 - Схема замещения АЦП

Рисунок 4.4 - Схема замещения ЦВУ

Рисунок 4.5 - Схема замещения ЦАП

f(t), f'(t) - непрерывные сигналы;

f_ц(t), y_ц(t) - последовательность цифровых кодов;

f[k], f'[k], f_ц[k], y_ц[k] - решетчатые функции;

Ф₀ - фиксатор;

T₀ - шаг дискретизации;

К₁ = - масштабный коэффициент преобразования АЦП;

К₂ = д_y - масштабный коэффициент преобразования ЦАП;

А_k - алгоритм преобразования.

Рисунок 4.6 - Эквивалентная схема замещения

Применим свойство неизменности входного дискретного сигнала после прохождения фиксатора и ключа, а ключ перенесём через сумматор.

Рисунок 4.7 - Преобразованная схема замещения

Согласно правилу структурных преобразований, фиксатор Ф₀ можно объединить со следующей за ним неизменной частью системы и образовать непрерывную приведенную часть ПНЧ.

Рисунок 4.8 - Преобразованная схема замещения с выделенной ПНЧ

Окончательная структурная схема исследуемой цифровой системы управления (ЦСУ).

Рисунок 4.9 - Структурная схема ЦСУ

4.2 Синтез ЦСУ

Для синтеза ЦСУ воспользуемся методом аналогового прототипа.

Рисунок 4.10 - Система - «аналоговый прототип» для МП СУ

Вычислим шаг дискретизации цифровой СУ из условия

(4.1)

где - частота среза, - запас по фазе линейной системы.

Определим передаточную функцию ЦКУ. Выполним подстановку

(4.2)

Передаточная функция корректирующего звена непрерывной системы

(4.3)

Выполним подстановку и получим передаточную функцию цифрового корректирующего устройства

(4.4)

Рисунок 4.11 - 1 - График переходной функции корректирующего звена непрерывной САР, 2 - график переходной функции цифрового корректирующего устройства

Запишем передаточную функцию цифрового корректирующего звена относительно u, W_цку(u). Выполним замену p = u.

(4.5)

Теперь к цифровой системе с корректирующим устройством вида (4.5) можно применить линейную теорию управления. Построим логарифмическую амплитудную псевдочастотную характеристику.

(4.6)

(4.7)

где - псевдочастота.

(4.8) (4.9)

Рисунок 4.12 - ЛАПХ

Запишем уравнения

Форма, удобная для программной реализации

(4.10)

Рисунок 4.13 - Блок-схема программы работы МП УВУ

4.3 Построение ЛЧХ разомкнутой ЦСУ

Разомкнутая ЦСУ представляет собой последовательное соединение динамических звеньев УВУ (ЦКУ) и ПНЧ, то есть

...