Аналіз і синтез нелінійних пристроїв і засобів телекомунікації з використанням неперервного і дискретного рядів Вольтерри

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національний університет Львівська політехніка

УДК 621 391.6

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Спеціальність 05.12.13 - Радіотехнічні пристрої та засоби телекомунікацій

Аналіз і синтез нелінійних пристроїв і засобів телекомунікації з використанням неперервного і дискретного рядів Вольтерри

Борис Анджей

Львів - 2005

Дисертація є рукописом

Робота виконана в інституті Телекомунікації Технічно-Сільськогосподарської Академії ім. Яна і Анджея Снядецьких в Бидгощі, Польща. вольтерр телекомунікація компенсатор частота

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор Яворський Ігор Миколайович Фізико-механічний інституту ім. Г.В.Карпенка НАН України, завідувач відділу

Офіційні опоненти: д.т.н, професор Первунінський С.М., Черкаський державний технологічний університет, завідувач кафедри програмного забезпечення автоматизованих систем д.т.н, професор Дурняк Б.В., Українська академія друкарства, ректор д.т.н, професор, Нічога В.О., Національний університет «Львівська політехніка», професор кафедри радіоелектронних пристроїв і систем

Провідна установа: Одеський національний політехнічний університет Міністерства освіти і науки України, кафедра електронних пристроїв і інформаційно-комп'ютерних технологій, м. Одеса

Захист відбудеться 6 липня 2005 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.10 в Національному університеті «Львівська політехніка» за адресою 79013, м. Львів, вул. С.Бандери, 12.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного університету «Львівська політехніка» (79013, м.Львів-13, вул. Професорська, 1).

Автореферат розісланий 26 травня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради к.т.н., доцент Бондарєв А.П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дана дисертаційна робота присвячена розробці і дослідженню засобів аналізу і синтезу таких нелінійних систем і засобів телекомунікації, які, незважаючи на те, що спроектовані як лінійні системи, у зв'язку з нелінійностями характеристик деяких їх складових елементів, мають нелінійні властивості (працюють в нелінійній області). Тому вони досліджуються як нелінійні системи, але з тією особливістю, що нелінійність їх є незначною. Іншими словами, розглядаються нелінійні системи з т.зв. малими нелінійностями. Для опису таких систем часто використовуються ряди Вольтерри. Ряди Вольтерри є саме тим інструментом, який добре підходить для аналізу нелінійних систем даного класу . Для опису аналогових систем використовуються неперервні ряди Вольтерри, а для цифрових - їх дискретні різновиди (варіанти), тобто дискретні ряди Вольтерри.

Проблеми, що зв'язані з врахуванням нелінійностей, є дуже актуальними при аналізі, синтезі і проектуванні засобів телекомунікації. На даний час є велика потреба в проведенні досліджень і отриманні результатів, які стосуються розв'язку цих проблем, що дозволить конструювати ефективніші засоби телекомунікації, а також здійснювати їх оптимізацію за багатьма параметрами. Врахування нелінійних аспектів дозволяє по-новому підійти до аналізу, синтезу та проектування систем цього типу.

Стосовно основного наукового підходу, який використовується в даній роботі, а саме рядів Вольтерри, можна сказати, що незважаючи на велику кількість наукових робіт, присвячених дослідженню можливостей цього методу, ще починаючи з роботи Н.Вінера і робіт його послідовників (1942 рік і подальші роки), в ньому залишилося ряд значних нерозв'язаних проблем. У зв'язку з появою сучасних засобів цифрової телекомунікації на ряди Вольтерри необхідно було подивитися по-новому. В останні роки фундаментальними проблемами, пов'язаними з рядами Вольтерри, займалися такі американські вчені як L. Chua, I. Sandberg i S. Boyd. Радянські вчені K. A. Пупков, В. I. Капалін i A. С. Ющенко в 1976 році видали фундаментальну монографію на тему рядів Вольтерри. Оскільки цей напрям науки є дуже актуальним, то фундаментальними проблемами, пов'язаними з рядами Вольтерри, крім згаданих, займалися і продовжують займатися також багато відомих вчених в різних країнах.

Типовими елементами, з яких складаються аналогові телекомунікаційні системи, є підсилювачі, фільтри аналогових сигналів, а також генератори синусоїдальних сигналів. Ці три типи систем належать до класу нелінійних систем з т.зв. малими нелінійностями. Тому їх можна досліджувати за допомогою неперервних рядів Вольтерри. Одні з перших досліджень в цьому напрямі, що зв'язані із застосування рядів Вольтерри для аналізу інтермодуляційних спотворень в телекомунікаційних підсилювачах, проводив S. Narayanan. Вони стосуються аналогових фільтрів, що реалізовані у вигляді активних фільтрів. Він також проводив дослідження в напрямі застосування рядів Вольтерри для аналізу інтермодуляційних спотворень в аналогових генераторах синусоїдальних сигналів. Отримані ним результати широко використовуються при аналізі згадуваних систем. На ці роботи також часто посилаються автори, що займаються подібними задачами. Актуальність робіт, які стосуються використання неперервних рядів Вольтерри для аналізу нелінійних ефектів, що мають місце в аналогових підсилювачах, активних фільтрах і генераторах синусоїдальних коливань, випливає з того факту, що вони, в певному розумінні, є основою для використання цього апарату для аналізу цифрових телекомунікаційних систем. Причиною цього є те, що в цих системах часто має місце ситуація, коли аналогові підсилювачі підсилюють аналоговий сигнал, який передається через передавач до телетрансмісійного каналу. Далі цей сигнал приймається аналоговою частиною приймача і цифровими системами, які складаються з цифрових фільтрів і допоміжних цифрових генераторів синусоїдальних сигналів, які перетворюються в цифрову форму. За останні роки в науковій літературі появилося багато нових праць з цієї тематики. Передбачається, що дослідження в цьому напрямі і далі будуть активно продовжуватися. Причиною такої ситуації є постійний розвиток існуючих і виникнення нових цифрових телекомунікаційних систем.

Значна частина даної роботи присвячена задачам аналізу нелінійних компенсаторів еха і їх застосуванню в цифрових телекомунікаційних системах. Ця тематика є дуже актуальною у зв'язку з розвитком сучасних цифрових засобів телекомунікації. Перші наукові праці в цьому напрямі, що стосуються застосування дискретних рядів Вольтерри для аналізу і синтезу нелінійних цифрових компенсаторів еха, були виконані автором даної роботи. В результаті була розвинена теорія дискретних рядів Вольтерри, а одержані нові результати зробили можливим впровадження ефективних структур апроксиматорів нелінійних цифрових систем у вигляді імплементаційних нелінійних компенсаторів еха. Актуальність цієї тематики полягає в тому, що такий підхід дає можливість дослідити також інші багатообіцяючі структури, які можна отримати шляхом апроксимації нелінійних систем з використанням граткових операторів або сигмоїдальних чи т.з. радіальних функцій. Більше того, подальшої оптимізації вимагають структури нелінійних компенсаторів еха, які на даний час використовуються в телекомунікаційних системах, що працюють в основному діапазоні, а також в системах, що працюють з несучим сигналом. Не втратила актуальності також проблематика вибору необхідних імплементаційних структур, що використовуються для реалізації нелінійних компенсаторів еха, що зв'язано з різною частотою дискретизації сигналів на їх входах і виходах.

Проблематика даної роботи природним чином пов'язана з такими напрямками досліджень як компенсація нелінійностей в нелінійних каналах зв'язку, використання дискретних рядів Вольтерри для проектування модуляційних схем і способу кодування в нелінійних каналах зв'язку, а також в т.зв. нелінійних фільтрах. Ця тематика є також дуже актуальною в цифровій телекомунікації, де постійно появляються нові наукові праці, що присвячені розв'язуванню цих задач.

Зв'язок дисертаційної роботи з науковими програмами, планами і тематикою досліджень. Представлені в роботі результати, що стосуються аналізу інтермодуляційних спотворень в широкосмугових підсилювачах, проводилися в 1979 році в Інституті Електронної технології Гданської політехніки в Гданську в рамках науково-дослідної роботи у співпраці з промисловими підприємствами. Роботи стосувалися розробки широкосмугових підсилювачів для приймальних телевізійних антен. Автор даної роботи розробив методи і програмне забезпечення для нелінійного аналізу слабих сигналів (MAN). В розроблених методах для опису аналогових систем використовувалися ряди Вольтерри і матриці адмітанції. Продовженням цих досліджень були роботи автори, що виконувалися ним в Інституті Телекомунікації ETH в Цюриху. Вони проводилися в рамках внутрішнього проекту Інституту телекомунікації ETH, метою якого було застосування в програмі MAN найбільш сучасних засобів опису систем за допомогою т.зв. матриць адмітанції. Представлені в роботі результати, що присвячені аналізу інтермодуляційних спотворень в активних RC фільтрах, проводилися в 1982-1986 роках в рамках внутрішнього проекту науково-дослідного Інституту Телекомунікації Технічно-Сільськогосподарської Академії в Бидгощі, а результати, що стосуються аналізу гармонійних спотворень, які мають місце в синусоїдальних генераторах, проводилися в 1990-1991 роках в рамках внутрішнього проекту в дослідному Інституті Телекомунікації Технічного університету в Гамбурзі. Результати наукової роботи, що проводилася в 1986 році, яка стосується нелінійного аналізу телетрансмісійного цифрового компенсатора відгуку, були отримані автором в час його перебування як стипендіата на кафедрі Телекомунікації в Університеті в Кайзерслаутерні. Результати, які стосуються теорії дискретних рядів Вольтерри і нелінійних структур компенсаторів еха, отримані автором в 1995-2000 роках під час виконання робіт, що проводилися ним за угодою з видавництвом CRC Press, Boca Raton на написання монографії.

Мета роботи, основні задачі і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка нових методів аналізу, синтезу, а також проектування нелінійних аналогових і цифрових систем та засобів телекомунікації на основі використання неперервних і дискретних рядів Вольтерри.

Для досягнення цієї мети в роботі сформульовано і розв'язано такі основні задачі:

1. Розроблено методи аналізу нелінійних аналогових структур і телекомунікіційних систем з використанням неперервних рядів Вольтерри, при цьому застосовано сучасні методи опису систем у вигляді т.зв. модифікованої матриці адмітанції (ММА). Модифіковано моделі базових нелінійних елементів для їх використання в ММА, розроблено і досліджено моделі нелінійного операційного підсилювача, і використано цю модель для запису ММА.

2. Розроблено методи і алгоритми обчислення нелінійних спотворень типу гармонійних і інтермодуляційних з використанням рядів Вольтерри і формалізму ММА, створено програмні засобів для їх розрахунку. Досліджено алгоритми обчислення реакції нелінійних аналогових структур і засобів телекомунікації, що описуються неперервними рядами Вольтерри і збуджуються періодичним сигналом поданим у вигляді ряду Фур'є.

3. Розроблено методи, алгоритми і програмне забезпечення для обчислення інтермодуляційних спотворень в телекомунікаційних широкосмугових підсилювачах, проведено тестування, а також верифікацію результатів, отриманих з його допомогою, з даними вимірювання. З використанням даних вимірювань розроблено математичні моделі транзисторів, що входять у склад широкосмугових підсилювачів, з метою їх застосування при розробці відповідного програмного забезпечення.

4. Для розрахунку інтермодуляційних спотворень розроблено математичні моделі активних аналогових фільтрів, в яких використовуються дані вимірювань параметрів операційних підсилювачів. Виведено вирази для гармонічних і інтермодуляційних спотворень в активних фільтрах, і на їх основі розроблено стратегію їх мінімізації. Проведено обчислення на комп'ютері та вимірювання інтермодуляційних спотворень в активних фільтрах. Розроблено математичну модель активного фільтру, яка дозволяє оцінити інтермодуляційні спотворення, що виникають за рахунок неідеальності операційного підсилювача, такої як, наприклад, існування його скінченого вихідного опору і т.п. Виведено вирази для спотворень інтермодуляційного активного фільтру після проведення т.зв. комплементарного перетворення функції трансмітанції взірцевого нелінійного фільтру.

5. Розроблено теорію стабільності амплітуди частоти і осциляцій в генераторах синусоїдальних коливань, які можна описувати т.зв. рівняннями стану, що виводяться на основі неперервних рядів Вольтерри.

6. На основі названих рівнянь стану, отриманих з використанням неперервних рядів Вольтерри, виведено вирази гармонічних спотворень в телекомунікаційних генераторах синусоїдальних коливань. Одержано відповідні вирази для генераторів з нелінійностями типу slew-rate (з обмеженою швидкістю зміни). Виведено також формули, що враховують вплив постійної складової на різні параметри генераторів.

7. Виведено формули дискретних рядів Вольтерри для бінарних вхідних сигналів.

8. Розроблено структури імплементаційних нелінійних компенсаторів еха, основою для яких є використання граткових операторів, сигмоїдальних та радіальних функцій.

9. Розроблено структуру нелінійного цифрового компенсатора еха для компенсації його в основному діапазоні. При цьому для бінарних вхідних сигналів використано спеціальну форму рядів Вольтерри. Проведено аналіз роботи розроблених схем.

10. Розроблено структури нелінійних цифрових компенсаторів еха для телетрансмісійних систем, що працюють з несучим сигналом, а також нелінійні компенсатори еха, що є т.зв. переплетеними структурами, які враховують роботу цих компенсаторів з різними частотами дискретизації сигналів на входах і виходах.

Об'єктом дослідження роботи є нелінійні спотворення сигналів у вузлах телекомунікаційних систем.

Предметом дослідження є методи аналізу і мінімізації нелінійних спотворень, а також методи їх компенсації.

Методи дослідження. В роботі використано методи і основні положення теорії електричних мереж, теоретичної радіотехніки, диференційного і інтегрального числення, дискретної математики, програмування, методи експериментальних досліджень.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що:

1. Автором дисертаційної роботи вперше запропоновано і розроблено єдиний підхід до аналізу нелінійних телекомунікаційних систем, що описуються за допомогою неперервних рядів Вольтерри, в основі якого лежить використання модифікованої матриці адмітанції.

2. Автор вперше показав, як застосувати формалізм, пов'язаний з модифікованою матрицею адмітанції, для обчислення всіх типів нелінійних спотворень, що мають місце в нелінійних телекомунікаційних засобах. Ним вперше також показано, як цей формалізм застосувати для обчислення реакції нелінійних систем на збудження, що спричиняються періодичними сигналами, які описуються рядом Фур'є.

3. Автор дисертації вперше, використовуючи неперервні ряди Вольтерри і розріджені матриці адмітанції, розробив методи і програмне забезпечення для обчислення інтермодуляційних спотворень в широкосмугових телекомунікаційних підсилювачах.

4. Автор дисертаційної роботи вперше обґрунтував і показав ефективність застосування неперервних рядів Вольтерри для аналізу нелінійних спотворень в активних аналогових фільтрах. Особливо слід підкреслити розробку стратегії мінімізації інтермодуляційних, гармонічних та інших спотворень, аналізу побічних ефектів, наприклад, впливу величини вихідного опору операційного підсилювача на інтермодуляційні спотворення фільтру. Ним вперше розроблено математичну модель операційного підсилювача з метою обчислення нелінійних спотворень, а також врахування впливу перетворень, що відбуваються у фільтрах, наприклад комплементарних, на рівень цих спотворень.

5. Автором розроблена теорія стабільності частоти і амплітуди осциляцій в телекомунікайних генераторах синусоїдальних коливань, в якій використовуються рівняння стану, виведені на основі неперервних рядів Вольтерри.

6. Автором вперше показано можливість і доцільність використання неперервних рядів Вольтерри при дослідженні гармонічних спотворень в телекомунікайних генераторах синусоїдальних коливань. Ним були виведені відповідні вирази, які застосовані для аналізу генераторів з нелінійностями типу slew-rate, а також показано, як врахувати вплив постійної складової на різні параметри генераторів.

7. Для опису бінарних вхідних сигналів автором розроблено окремий тип дискретних рядів Вольтерри, що містить скінченну кількість членів.

8. Автором даної роботи вперше в науковій літературі були надруковані праці, що стосуються імплементаційних структур нелінійних компенсаторів еха, основою яких є використання граткових операторів, а також т.зв. сигмоїдальних і радіальних функцій.

9. Автор роботи є співавтором методики аналізу і проектування нелінійних цифрових компенсаторів еха для його компенсації в основному діапазоні. Ця методика створена з використанням дискретних рядів Вольтерри.

10. Автором роботи вперше досліджено і запропоновано на основі дискретних рядів Вольтерри цифрові компенсатори еха для телетрансмісійних систем, що працюють з несучим сигналом. Вперше також розроблено структуру імплементаційних нелінійних компенсаторів еха у вигляді т.зв. переплетених схем, в яких враховується робота компенсаторів еха при різних частотах дискретизації на вході і виході.

Практичне значення і використання отриманих результатів. Всі отримані автором результати, що стосуються розробки методів нелінійного аналізу з використанням неперервних рядів Вольтерри, а також модифікованої матриці адмітанції і розробки моделей базових складових елементів структур і систем, мають велике практичне значення, оскільки вони використовуються при розробці відповідного програмного забезпечення і забезпечують швидке і ефективне обчислення нелінійних спотворень різного типу, що мають місце в пристроях телекомунікації. Розроблені автором роботи програмні засоби нелінійного аналізу слабих сигналів (MAN), теоретичною основою для яких є неперервні ряди Вольтерри і матриця адмітанції, використовуються для обчислення інтермодуляційних спотворень при проектуванні широкосмугових підсилювачів вхідних телевізійних антен.

Результати автора отримали також визнання викладачів інститутів. Професор T. Higgins з університету Вісконсін США (Wisconsin, USA), включив розроблені методи аналізу з використання модифікованої матриці адмітанції у свій курс лекцій.

Практичне значення мають також результати, що стосуються аналізу нелінійних спотворень в активних аналогових фільтрах і генераторах синусоїдальних коливань. Вони дозволяють оптимізувати проектування активних фільтрів і генераторів шляхом врахування в їх схемах нелінійних аспектів. В цих проектах, що реалізовані з використанням операційних підсилювачів, безпосередньо використовуються розроблені автором математичні моделі таких підсилювачів.

Спеціальна форма дискретних рядів Вольтерри зі скінченою кількістю членів, що розроблена спеціально для вхідних бінарних сигналів, має пряме практичне застосування при проектуванні нелінійних цифрових компенсаторів еха. Ці роботи проводилися на кафедрі телекомунікації університету в м. Кайзерслаутерні на замовлення фірми Telenorma (Bosch Telecom), Німеччина.

Представлені в роботі імплементаційні схеми нелінійних цифрових компенсаторів еха, основою яких є використання граткових операторів, а також сигмоїдальних функцій або т.зв. радіальних функцій, мають велике практичне значення у зв'язку з можливостями їх використання при проектуванні нових нелінійних компенсаторів еха.

Схеми нелінійних цифрових компенсаторів еха для телетрансмісійних систем, що працюють з несучим сигналом, а також імплементаційні нелінійні компенсатори еха у вигляді т.зв. переплетених схем, які описані в роботі, є придатними до застосування в телетрансмісійних системах для покращення їх параметрів.

Особистий внесок автора в отриманні описаних результатів. Праці [18, 21, 26, 28] стосуються розробки і дослідження моделей біполярного транзистора і операційного підсилювача для врахування нелінійних спотворень в електричних схемах і телекомунікаційних системах, що будуються з таких елементів. Результат, що описаний в публікаціях [18, 21] отриманий самостійно автором досліджень, результати, які описані в роботі [26], отримані у співпраці з Л.Дж.Вессем (L. J. Weissem), а в роботі [28] - у співавторстві з Дж.Влахем (J. Vlachem).

В роботах [13, 14] представлено алгоритми обчислення нелінійних спотворень в системах телекомунікації, які описуються неперервними рядами Вольтерри і модифікованою матрицею адмітанції. Причому в роботі [14] представлено розроблений автором алгоритм обчислення реакції нелінійної аналогової системи на періодичний сигнал у вигляді ряду Фур'є. Результати робіт [13, 14] були отримані автором цієї роботи самостійно, а публікації, що стосуються малосигнального аналізу [6, 10, 16, 17, 20, 22, 23, 24, 27, 30, 32, 42, 44] написані у співавторстві з Я.Рошкевічем (J. Roszkiewiczem). Крім того, що автор даної роботи є автором всіх представлених алгоритмів, ним були розроблені програми аналізу слабих нелінійних сигналів MAN i програми обчислення інтермодуляційних спотворень в широкосмугових підсилювачах.

Роботи [6, 10, 15, 16, 17, 20, 22, 23, 24, 27, 30, 32, 42, 44] присвячені проблематиці нелінійних спотворень в телекомунікаційних активних аналогових фільтрах. Причому, результати, що описані в публікаціях [6,10, 16, 17, 20, 22, 24, 30, 44] автором отримані самостійно, а результати, що опубліковані в [23, 27] - у співпраці з Л.Дж. Вессем (L. J. Weissem), в [32] - у співавторстві з Н.Фліге (N.Fliege). В публікаціях [6, 15, 16, 17, 20] описано результати дослідження можливості мінімізації небажаних ефектів (в тому числі нелінійних спотворень), що мають місце в аналогових активних фільтрах шляхом використання величини підсилення і чутливості фільтру. В роботах [6, 10, 32] обговорюється вплив комплементарних перетворень на величину підсилення і чутливість, тобто на величини, що пов'язані з рівнем нелінійних спотворень. Результати визначення нелінійних спотворень в активних фільтрах, що описані в роботі [23], належать автору даної роботи. В роботі [30] автором дисертації описана математична модель активного фільтру для обчислення інтермодуляційних спотворень, в якій враховуються такі неідеальності операційного підсилювача, як існування для нього скінченного вихідного опору, а також представлено результати аналізу з врахуванням цієї моделі. В роботі [37] досліджуються гармонічні спотворення, які спричиняються скінченною тривалістю машинного слова в цифрових фільтрах, а робота [8] присвячена аналізу асимптотичних властивостей реакції електричних схем і цифрових систем, що є продовженням досліджень автора за тематикою нелінійних спотворень в галузі цифрових телекомунікаційних фільтрів. Продовженням цих робіт є праця [43].

Аналізові телекомунікаціних аналогових генераторів синусоїдальних коливань з використанням неперервних рядів Вольтерри присвячені публікації [3, 5, 7, 29, 33, 34, 35, 36, 38, 40], серед них одноосібними є роботи [3, 5, 7, 33, 36], a інші ([29, 34, 35, 38, 40]) написані у співавторстві з Р.Войтиною (R. Wojtyn№). Розроблена автором даної роботи теорія стабільності амплітудних і частотних осциляцій в телекомунікаційних генераторах синусоїдальних коливань, при розробці якої використовуються рівняння стану, що записані з використанням неперервних рядів Вольтерри, описана в роботі [3]. Основи теорії гармонічних спотворень в цих генераторах описані в роботі автора [5]. В опубліковані ним роботах [12, 33] проаналізовано вплив постійної складової напруги і струму в нелінійних системах нa нелінійні спотворення, що мають в них місце (i крім цього, наприклад на параметри генераторів синусоїдальних коливань, які описуються рівнянням стану. В опублікованій без співавторів роботі [7] автор успішно застосував розроблену ним теорію для аналізу генераторів з нелінійностями типу slew-rate. В роботі [36] і публікаціях, що написані у співавторстві [29, 34, 35, 38, 40], описано в основному прикладні аспекти, зв'язані з використанням рівнянь стану для аналізу різних генераторів синусоїдальних коливань, основою для яких є сучасні технологічні концепції, що описані в роботах [38, 40].

В роботі [41] автор зробив спробу розробити єдиний підхід в частотній області до аналізу нелінійних аналогових електронних схем, що описуються неперервними рядами Вольтерри. В цій праці автор старався коректним чином об'єднати всі розроблені ним методи аналізу таких електронних схем, як активні аналогові фільтри і генератори синусоїдальних коливань, а також узагальнити для цих задач розроблені ним алгоритми.

Роботи [1, 9, 18, 25, 31, 39, 41] присвячені фундаментальним проблемам дискретних рядів Вольтерри і нелінійних компенсаторів еха; публікації [25, 31] виконані у співавторстві з В.Рупрехтом і У.Тріцкієм (W. Rupprechtem i U. Trickiem), а роботи [1, 4, 9, 39, 41] - це самостійні роботи автора. Автор дисертації є автором розробленого і опублікованих в статті [25] дискретних рядів Вольтерри зі скінченним числом виразів для бінарних сигналів, а також їх узагальнення на випадок їх проходження через нелінійні цифрові двохвходові схеми [31]. Представлений в працях [25, 31] аналіз роботи лінійного компенсатора еха, працюючого в нелінійному телевізійному каналі, є спільним дослідженням трьох співавторів цих робіт. Праці [25, 31], в яких заявлені результати, що стосуються проблематики дискретних рядів Вольтерри i нелінійних цифрових компенсаторів еха, в подальшому були розвинені в роботах [1, 4, 9, 39, 41]. За цією тематикою автор опублікував об'ємну монографію [1]. В ній він представив багато нових результатів, які стосуються нелінійних імплементаційних структур компенсаторів еха+, основою яких є граткові оператори, сигмоїдальні і т.зв. радіальні функції. До цього ці результати ніде не публікувалися. В монографії автор описав також нові результати досліджень цифрових компенсаторів еха для телетрансмісійних систем, які працюють з несучими сигналами, а також схем нелінійних імплементаційних компенсаторів еха, у вигляді т.зв. переплетених схем, в яких враховується можливість роботи компенсаторів в умовах, коли частота дискретизації сигналів на входах і виходах є різною.

Апробація результатів роботи. Представлені в даній дисертаційній роботі результати теоретичних досліджень, аналізу, обчислювальних експериментів на комп'ютері і проектування доповідалися автором на таких внутрішніх семінарах: кафедри основ електроніки Інституту Телекомунікації Технічно-Сільськогосподарської Академії в Бидгощі, Інституту Телекомунікації ETH в Цюріху (протягом часу отримання стипендії), кафедри телекомунікації Університету в Кайзерслаутерні (протягом часу отримання стипендії), інституту Телекомунікації Технічного Університету в Гамбурзі i кафедри телетрансмісії Інституту Телекомунікації Технічно-Сільськогосподарської Академії в Бидгощі. Результати цієї роботи представлялися також на наступних національних і міжнародних наукових форумах, конференціях, симпозіумах: IEEE Міжнародному симпозіумі з електричних кіл і систем, Хюстон, США 1980; Європейській конференції з теорії і практики електричних кіл ECCTD'81, Гаага, Голландія, 1981; Шостому зимовому симпозіумі з теорії електричних кіл, Прага, Чехословаччина, 1982; Третій Європейській конференції з передачі сигналів, Гаага, Голландія, 1986; Європейська конференція з теорії і практики електричних кіл ECCTD'89, Брайтон, Великобританія, 1989; Європейській конференції з теорії і практики електричних кіл ECCTD'91, Копенгаген, Данія, 1991; Європейській конференції з теорії і практики електричних кіл ECCTD'93, Давос, Швейцарія, 1993; Першій науковій школі польської секції IEEE - Перетворення сигналів'93, Познань, 1993; XIII Симпозіумі з Електромагнітних явищ в нелінійних електричних колах, Познань, 1994; Школі-семінарі з нелінійної динаміки електронних систем NDES'94, Краків, 1994; Національному симпозіумі з телекомунікації KST'94, Бидгощ, 1994; XVII Національній конференції TOiUE (Теорія контурів і електронних схем), Поланиця Здруй, 1994; Симпозіумі «100 Морській радіокомунікації «, Гдиня, 1995.

Публікації. Результати теоретичних досліджень, проведених аналізів, обчислень і проектування, що описані в даній дисертаційній роботі, опубліковані автором у 2 монографіях (одна видана в Польщі, а друга _ в США), 23 закордонних наукових журналах, 5 національних наукових журналах, 7 збірниках праць закордонних конференцій, 7 збірниках праць національних конференцій. Список основних наукових робіт автора подано далі в цьому авторефераті.

Структура дисертаційної роботи. Дисертаційна робота складається з вступу восьми розділів, висновків i списку використаної літератури. Текст дисертації займає 370 стор., машинописного тексту, на яких розміщено 100 рисунків i 4 таблиці. Список використаної літератури містить 328 назв.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність даної проблематики і теми дисертаційної роботи. Описано також взаємозв'язок роботи з науковими програмами, планами і тематикою досліджень. Описано мету роботи, головні ідеї, на яких вона ґрунтується, дається перелік розв'язаних в ній задач. Далі обговорюється особистий внесок автора, практичне значення отриманих результатів і дані про їх застосування. Наведено також дані про презентацію цих результатів на семінарах, симпозіумах і наукових конференціях, а також про публікації в наукових журналах, збірниках наукових робіт конференцій і в монографіях. В кінці вступу описано загальну структуру дисертаційної роботи.

Перший розділ дисертаційної роботи присвячений обговоренню основ теорії рядів Вольтерри, причому основні положення цієї теорії аналізуються окремо для неперервних рядів Вольтерри, які використовуються для опису нелінійних аналогових схем телекомунікаційних систем, і для дискретних рядів Вольтерри, які використовуються для опису нелінійних цифрових схем і телекомунікаційних систем. Введено визначення електронних схем і систем залежних і незалежних від часу. З використанням відомого з літератури визначення стаціонарності показано, що поняття стаціонарності і незалежності від часу для електронних схем і нелінійних систем, які описуються рядами Вольтерри, є еквівалентними. Це означає, що з стаціонарності схеми і з того, що система описується рядами Вольтерри, випливає їх незалежність від часу і навпаки. В роботі проаналізовано незалежні від часу схеми, підсистеми і системи, які можна описувати рядами Вольтерри.

Для спрощення приймаємо далі в авторефераті, що коли в описі будуть згадуватися поняття схеми, то все написане буде також відноситися і до інших об'єктів, якими є відповідні підсистеми і системи. Така умова прийнята з метою уникнення постійного повторення вживання разом слів: схема, підсистема і система.

В першому розділі дисертації дається також визначення частотного відгуку деяких традиційних схем, які характеризуються звичайними нелінійностями, визначення нелінійних відгуків порядку n = 0, 1, 2, 3, ..., нелінійних схем, а також алгоритми симетризації їх імпульсних і частотних нелінійних відгуків. Обговорюються також технічна реалізація нелінійнійних схем, показано як для їх аналізу застосовуються спрощені варіанти рядів Вольтерри. Проаналізовано поняття однорідності (частотних і імпульсних відгуків) схем, які описуються рядами Вольтерри.

Далі в першому розділі роботі введено поняття багатомірного перетворення Вольтерри, і з його допомогою виведено вирази для рядів Вольтерри в частотній області. Для дискретних рядів Вольтерри введено також поняття багатомірних z-перетворень і на їх основі виведено ряди Вольтерри для комплексної області.

В підрозділі, в якому розглядається збіжність рядів Вольтерри, наведені умови цієї збіжності цих рядів. Вони застосовуються при дослідженні нелінійних властивостей схем, які описуються рядами Вольтерри.

В кінці першого розділу описано основи теорії апроксимації нелінійних схем за допомогою рядів Вольтерри. В рамках цієї теорії аналізуються поняття заникаючої пам'яті, а також два твердження з апроксимації. Одне з них стосується апроксимації нелінійних аналогових схем за допомогою неперервних рядів Вольтерри, а друге - нелінійної апроксимації нелінійних цифрових схем з використання дискретних рядів Вольтерри.

Другий розділ дисертаційної роботи присвячений опису результатів розробки алгоритмів нелінійного аналізу з використання неперервних рядів Вольтерри. Основою розроблених методів аналізу є опис нелінійних схем в частотній області за допомогою т.зв. модифікованої матриці адмітанції ММА. З метою створення зручної техніки запису цієї матриці для нелінійних аналогових телекомунікіційних схем, що описуються неперервними рядами Вольтерри, розроблено, перш за все, необхідні для цієї техніки моделі базових елементів, з яких можна утворювати такі схеми. Розроблено моделі таких базових елементів: нелінійної провідності, нелінійної ємності, нелінійного опору, нелінійної індуктивності, а також нелінійних джерел керування: нелінійних джерел керування напругою, нелінійних джерел керування струмом; нелінійних джерел струму, що керовані напругою i нелінійних джерел струму, що керовані струмом. Розроблено також модель операційного підсилювача.

Модифікована матриця адмітанції утворюється шляхом введення замість певних елементів цієї матриці виразів, які виведені для моделей складових елементів аналізованої системи. Структура цієї матриці не змінюється при проведенні аналізу впливу окремих складових елементів порядку n = 1, 2, 3, ... , що веде до знаходження відгуку цих порядків. При аналізі впливу вищих порядків змінюються тільки значення частот у виразах, які описують окремі складові елементи системи, що залежать від частоти, а також змінюється вектор змушень.

На рис. 1 представлено моделі нелінійної провідності та нелінійної ємності у вигляді залежних від часу рівнянь для струму і напруги:

(1) i

(2)

Коефіцієнт корисної дії джерел струму, що показані на рис. 1, для моделей нелінійної провідності і нелінійної ємності, наведено в таблиці 1.

a)

b)

Рис. 1. Модель нелінійної провідності (a) і нелінійної ємності (b) в частотному діапазоні, які використовують матрицю адмітанції і розроблені для потреб проведення аналізу з використанням комп'ютерів

Таблиця 1. Коефіцієнт корисної дії джерела струму в моделях нелінійної провідності i нелінійної ємності (S в цій таблиці - це оператор симетрії, який детально пояснений в роботі).

	NG	NC
1	0	0
2
3

На рис. 2 показано приклад побудови схеми системи, що є основою для запису матриці адмітанції цієї системи. Для прикладу на рис. 2 проілюстрована схема простої системи з нелінійною ємністю і нелінійним джерелом напруги, що кероване напругою. Матричне рівняння (3), в якому використовується модифікована матриця адмітанції, є базовим при обчисленнях відгуків порядку n = 1, 2, 3, ... . цієї схеми в частотній області.

, (3)

Тут .

Рис. 2. Схема простої системи з нелінійною ємністю і нелінійним джерелом напруги, що кероване напругою

Використовуючи матрицю адмітанції, в роботі виведено наступне рівняння для операційного підсилювача в частотній області:

, (4)

де параметр , _ коефіцієнт підсилення цього операційного підсилювача в лінійному діапазоні, а b₁ - коефіцієнти степеневого ряду, через який виражається залежне від часу вихідне значення напруги v₀ операційного підсилювача в залежності від різниці напруг на вході: з повернутою і неповернутою фазами, а саме v_i = v₊ - v_- :

. (5)

Коефіцієнти b_i, i = 1, 2, 3, використовуються також в таблиці 2.

Для ілюстрації сказаного в таблиці 2 наведено вирази для коефіцієнта корисної дії (ККД) джерела напруги для трьох перших членів аналізованого ряду.

Таблиця 2. ККД нелінійного операційного підсилювача

N
1	0
2
3

Отримані при цьому значення параметрів є характерними для операційного підсилювача типу , а саме: . Значення цих параметрів отримано шляхом співставлення вимірів гармонічних спотворень, які отримані при дослідження підсилювача, що був розроблений на основі даного операційного підсилювача з застосуванням в ньому від'ємного зворотного резисторного зв'язку, з результатами обчислень, в основі яких лежить розрахунок нелінійної моделі операційного підсилювача

В роботі виведено матричне рівняння, подібне до рівняння (3), що відповідає рис. 2. Загальне матричне рівняння використовується для опису та для обчислення на комп'ютері нелінійних частотних відгуків аналогових засобів телекомунікації, які описуються неперервними рядами Вольтерри. Для матриці адмітанції, яка для цього використовується, задовольняється таке співвідношення:

, (6)

де: n - номер проведеного розрахунку, n = 1, 2, 3, ... , _ матриця адмітанції, елементи якої є відомими значеннями адмітанції, _ імпедантна матриця (загасання), _ безрозмірні матриці, _ вектор невідомих напруг, _ вектор невідомих струмів, _ вектор некерованих джерел струмів (ним описуються внутрішні джерела струмів, що діють у схемі), _ вектор некерованих джерел напруг (описуються внутрішні для даної схеми джерела напруг), i _ вектори, якими описуються некеровані джерела струмів і напруг, відповідно, які діють у зв'язку з наявністю нелінійних елементів.

В роботі показано, що виконуються такі умови :

,(7)

де [I_g] i [E_g] - вектори, через які виражаються ККД внутрішніх джерел струмів і напруг відповідно, що діють в системі.

Рівняння (6) можна записати у спрощеному вигляді:

(8)

Де .

В рівнянні (8) i в позначеннях, що наведені після нього, матриці та вектори позначено товстим шрифтом, а символ T означає операцію транспонування матриці або вектора.

В дисертаційні роботі розроблено алгоритм обчислення з використанням МMA гармонійних інтермодуляційних спотворень, що мають місце в довільних нелінійних аналогових телекомунікаційних системах, які описуються неперервними рядами Вольтерри. Тут наводимо тільки скорочену формулу для обчислення гармонічних спотворень для випадку, коли на вхід системи подається тільки один синусоїдальний сигнал

, (9)

де _ амплітуда вхідного сигналу, _ кругова частота. Тоді мірою спотворення гармонічних коливань другого (HD2) і третього (HD3) роду є такі вирази:

(10)

, (11)

де _ нелінійні трансмітаційні матриці n-го порядку (для n = 1 трансмітація лінійна) між входом і виходом.

На рис. 5 показано схеми алгоритмів обчислення міри спотворення гармонічних коливань, що описуються формулами (10) i (11). Видно, що для обчислення значень HD2 i HD3, треба трьохкратно розв'язати систему рівнянь (8): для n = 1 в систему МMA підставляємо значення частоти f , для n = 2 в систему МMA підставляємо значення частот i , а у випадку n = 3 здійснюємо наступну підстановку: , i .

В кінці другого розділу наведено алгоритми обчислення відгуку нелінійної аналогової телекомунікаційної системи при збудженні її періодичним сигналом. Оскільки періодичний сигнал можна розкласти у ряд Фур'є, то проблема в цьому випадку зводиться до знаходження реакції системи на збудження вхідним сигналом, що може бути представлений рядом Фур'є, тобто сигналом, що задається формулою:

(12)

де коефіцієнти мають такий вигляд

. (13)

Інший еквівалентний вигляд формули (12) є таким:

. (14)

У формулах (13) i (14) _ частота основного сигналу, _ дельта-функція Дірака, а _ вхідна напруга або вхідний струм .

В роботі показано, що реакція нелінійної системи описується таких виразом:

, (15)

де вектори X - це розв'язки матричного рівняння (8). Наприклад, для n = 1 воно має такий вигляд

(16)

В рівнянні (15) коефіцієнти є цілими числами, а вектори , що є в рівнянні (16) - це вектори, кожний з яких має такий вигляд: одна з координат цих векторів дорівнює числу , a інші дорівнюють нулю.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячений розробці методології аналізу інтермодуляційних спотворень в телекомунікаційних підсилювачах.

Інтермодуляційні спотворення, що мають місце в нелінійних аналогових системах, найчастіше досліджуються шляхом прикладання до його входу суми двох синусоїдальних сигналів з різними або однаковими аиплітудами і з різними частотами:

(17)

.

i у формулах (17) - це амплітуди складових сигналів, i _ кругові частоти, а ???_ натуральне число. Тут припускаємо, що є більшим від .

При такому вигляді вхідного сигналу для оцінки інтермодуляційного спотворення в системі використовуються такі величини:

a) відношення ширини спектру вихідного сигналу, частота якого дорівнює сумі або різниці до ширини спектру вихідного сигналу з базовою частотою . Це відношення називається коефіцієнтом спотворень другого роду;

b) відношення ширини спектру вихідного сигналу, частота якого дорівнює або до ширини спектру вихідного сигналу з базовою частотою . Таке відношення є коефіцієнтом інтермодуляційних спотворень третього роду.

З врахуванням нелінійностей ці коефіцієнти є такими:

(18) і

. (19)

Для коефіцієнтів нелінійних спотворень IM2 i IM3 можна вивести формули, з яких явно буде видно вплив на нелінійні спотворення окремих складових телекомунікаційного підсилювача, наприклад, зворотнього зв'язку. Далі, маючи виведені формули і змінюючи значення складових елементів підсилювача, можна мінімізувати рівень спотворень. Так робив автор даної роботи і багато інших дослідників, які займаються даною проблематикою, і це є одним з аспектів розробленої методології.

Другою суттєвою ознакою розробленої методології є той факт, що аналіз інтермодуляційних спотворень в складних телекомунікаційних підсилювачах на достатньо високому рівні можна провести тільки за допомогою відповідного програмного забезпечення. Таке програмне забезпечення, назва якого MAN, розробив автор даної роботи, де для виконання аналізу інтермодуляційних спотворень в широкосмугових підсилювачах широкосмугових приймальних антен за основу було взято матрицю адмітанції (скорочена версія цього програмного забезпечення має назву МAN). На наведених нижче рисунках показано графіки мір інтермодуляційних спотворень IM2 i IM3 для одного з таких підсилювачів.

В четвертому розділі дисертації досліджуються нелінійні спотворення в аналогових телекомунікаційних фільтрах. Показано, як при аналізі телекомунікаційних підсилювачів використовуються вирази, що виведені в попередньому розділі з врахуванням зворотного зв'язку. В роботі розроблена методологія, якої треба дотримуватися в цих випадках, тобто методологія дослідження за допомогою комп'ютера нелінійних спотворень, що мають місце в аналогових активних фільтрах, які використовуються в операційних підсилювачах. Показано, як працюють розроблені автором і описані в другому розділі роботи, нелінійні моделі операційних підсилювачів.

В роботі виведено формули допусків _ з врахуванням прийнятого рівня нелінійних спотворень - на амплітуди вхідного сигналу для активних аналогових фільтрів. Досліджуються нелінійні спотворення такого типу: гармонічні спотворення другого і третього роду, а також спотворення, які пов'язані з компресією сигналу, тобто зі зміною ширини спектру сигналу на вихідному фільтрі в залежності від частоти сигналу на вході, що є наслідком нелінійних властивостей цих фільтрів. Розроблена тут методологія проілюстрована прикладами фільтрів з одних активним елементом, для опису яких використовується розроблена автором нелінійна модель операційного підсилювача. Показано, що нелінійні спотворення, які мають місце в таких фільтрах, можна мінімізувати шляхом мінімізації відомої з лінійної теорії активних фільтрів величини добутку підсилення і чутливості фільтру.

Представлено також результати вимірювання інтермодуляційних спотворень та обчислення цих спотворень за допомогою комп'ютера на прикладі смугового фільтру, створеного на базі операційного підсилювача. Показано, як за допомогою графіків інтермодуляційних спотворень амплітуди вхідного сигналу можна визначити максимально допустиму амплітуду цього сигналу (максимальну з погляду допустимого в даному фільтрі рівня інтермодуляційних спотворень). Представлено також результати, які показують залежність цих спотворень від ємностей, що використовуються у фільтрах i від параметру slew-rate, а також від ширини смуги операційного підсилювача.

Розроблено нелінійну модель активних фільтрів, яка враховує такі неідеальності операційного підсилювача, як скінченний вхідний і вихідний опір. Ця модель дозволяє отримати формули трансмітанції нелінійних активних фільтрів. Використовуючи дану модель для вибраного поздовжньо пропускного фільтру, наведено ряд графіків, а також показано, як їх використовувати для оцінки впливу вихідного опору операційного підсилювача на рівень інтермодуляційних спотворень фільтру другого і третього роду .

В кінці четвертого розділу роботи показано, що комплементарне перетворення, яке відоме з лінійної теорії активних фільтрів, не змінює рівень інтермодуляційних спотворень в новому фільтрі (при однакових для цих фільтрів рівнях вихідних сигналів).

П'ятий розділ роботи присвячений аналізу телекомунікаційних генераторів коливань, що близькі до синусоїдальних, в усталеному режимі. Проаналізовано класи генераторів, які можна моделювати за допомогою однієї петлі зворотного зв'язку, яка складається з підсилювача і пасивної селективної системи.

Для виводу використовувалися рівняння усталеного режиму. Ці рівняння отримуються за допомогою неперервних рядів Вольтерри.

Результати цих досліджень порівнюються з результатами, отриманими на основі лінійної теорії осциляцій при застосуванні т.зв. описуючої функції. Розроблена теорія перевіряється на прикладі генератора з містком Віна (Wiena).

З використанням неперервних рядів Вольтерри виведено загальні формули для вищих гармонік генераторів, які можна описати за допомогою структур, що показані на рис. 7. Формули, які враховують гармоніки другого і третього роду, мають наступний вигляд:

, (20)

де _ це амплітуди генерованих сигналів з основною частотою, з частотою другої і третьої гармоніки, відповідно. Величини , для відповідних частот, в рівнянні (20) описують нелінійні передавальні функції 1, 2 i 3 порядку при появі петлі зворотного зв'язку.

Використання формули (20) для отримання вищих гармонік, що виникають в генераторах майже синусоїдальних коливань в даній роботі проілюстровано на прикладі генераторів з нелінійностями типу slew-rate.

В кінці п'ятого розділу виведено формули, в яких враховується вплив постійної складової, якщо вона є присутньою в системі осцилятора, на величини передавальних функцій , що згадуються вище. У цьому випадку коефіцієнт har , яким у формулі (20) описуються вищі гармоніки, залежить, у зв'язку з нелінійною передавальною функцією, від постійної складової.

В шостому розділі дисертаційної роботи представлено результати, які стосуються синтезу нелінійних систем, що описуються рядами Вольтерри. Ці системи відносяться до певного класу нелінійних аналогових телекомунікіційних систем, які описуються неперервними рядами Вольтерри. Нелінійні трансмітанції в них виражаються такою формулою:

,(21)

де _ дійсні числа, а _ нелінійні передавальні функції першого роду, тобто лінійні передавальні функції, які в частотній області обчислюються за формулою (21) ( можуть бути різними для різних n).

В даному розділі роботи наведено також твердження, яке стосується необхідних і достатніх умов факторизації синтезованих нелінійних передавальних функцій, завдяки яким ці передавальні функції можна отримати у вигляді (21).

Представлена також проблематика, яка пов'язана з дослідженням та синтезом нелінійних систем обернених до нелінійних систем, які описуються рядами Вольтерри. Дослідження нелінійних інверсійних систем є проблемою, яка має місце в задачах телекомунікації, наприклад, в задачах компенсації нелінійностей телетрансмісійних радіоканалів. Дуже зручною для розв'язку цих задач виявилася методика, що описана в даному розділі роботи, яка пов'язана з інверсією p-го порядку, що робить можливим компенсації нелінійностей до p-го порядку саме в нелінійних засобах телекомунікації.

Сьомий розділ роботи присвячений розроблених автором засобів аналізу нелінійних цифрових телекомунікаційних систем, які описуються дискретними рядами Вольтерри. Показано, що дискретні ряди Вольтерри для нелінійних стаціонарних систем з N входами і M виходами мають такий вигляд:

(22)

де символ _ лівосторонній добуток Кронекера, вектор виходів y містить M елементів, a вектор входів x складається з N елементів. Таке векторне представлення дискретних рядів Вольтерри є зручним, наприклад, при аналізі нелінійних цифрових компенсаторів відгуку, які мають два входи і один вихід. Наведено також оцінки збіжності ряду (22).

В даному розділі роботи виведено вирази дискретних рядів Вольтерри для опису бінарних вхідних сигналів. Вони використовуються автором для опису нелінійних стаціонарних цифрових систем, які мають заникаючу пам'ять. Вигляд цих рядів для систем з одним входом є таким:

, (23)

при , де L - це міра нелінійності системи, а M - міра тривалості заникаючої пам'яті системи. Коефіцієнти у формулі (23) є дійсними числами, a значення вхідного сигналу x - це одне з його бінарних значень. Суми, які входять у вираз (23), є звичайними сумами, подвійними потрійними і т.д. сумами.

Для вигляд дискретного ряду Вольтерри є іншим і описується такою формулою:

.(24)

Узагальнені дискретні ряди Вольтерри для стаціонарних нелінійних систем можна записати наступним чином:

(25)

де , ? ?_ це множина цілих чисел; це означає що вхідні і вихідні сигнали у формулі (25) утворюють простір .

В роботі обговорюються взаємозв'язки між узагальненими дискретними рядами Вольтерри з іншими формами цих рядів, а саме, аналізуються його асимптотичні властивості для деякого класу систем. Показано, що для проміжків часу, які достатньо віддалені від моменту часу , реакція системи, для розрахунку якої використовувався узагальнений вигляд ряду (25) i результати, які отримані з використанням формули (24) з індексами , відрізняються між собою на деяку достатньо малу величину.

В кінці сьомого розділу роботи представлено інші, відмінні від дискретних рядів Вольтерри, методи апроксимації цифрових нелінійних систем, а саме: з використанням граткових операторів, сигмоїдальних і т.зв. радіальних функцій. Розроблено відповідні структури апроксиматорів, основою побудови яких є ці оператори та функції. Ці структури показані на рис. 10 рис. 12, де x(k) - це вхідний сигнал, a є вихідним сигналом апроксиматора. На рис. 10, 11, і 12 одним із складових блоків є лінійний фільтр з скінченною імпульсною характеристикою. Цей фільтр в часовій області описується наступним рівнянням:

...