Аналіз і синтез нелінійних пристроїв і засобів телекомунікації з використанням неперервного і дискретного рядів Вольтерри

. (26)

Одна з можливих реалізацій лінійного фільтру СIХ, що описується рівнянням (26) показана на рис. 9; така реалізація відома в літературі з телекомунікації як лінійний трансверсальний фільтр.

Граткове картування реалізує відображення, що є результатом роботи апроксиматора, в якому використовуються такі оператори:

, (27)

.(28)

Ці оператори називаються гратковими операторами. Далі, на рисунках 10, 11 i 12 є дійсними числами, a на рис. 12 - це вектори дійсних чисел; на рис. 11 є т.зв. сигмоїдальною функцією.

У восьмому розділі роботи розглядаються задачі компенсації нелінійного еха в цифрових телекомунікаційних системах. На початку розділу представлена тематика, яка зв'язана з адаптаційними компенсаторами еха, що використовуються в цифрових телекомунікаційних системах.

В цьому розділі коротко аналізується відомі в літературі методи компенсації нелінійного еха. Далі аналізується вплив нелінійності телетрансмісійного каналу на роботу лінійного цифрового компенсатора еха з лінійним трансверсальним фільтром, який працює в основному діапазоні. Результати проведеного аналізу стали основою для дослідження стратегії конструювання нелінійного цифрового компенсатора еха на основі апроксимації з використанням дискретних рядів Вольтерри для бінарних сигналів. Розроблені автором нелінійні компенсатори, за аналогією з лінійними трансверсальними фільтрами, були названі нелінійними трансверсальними фільтрами. Була проаналізована методологія конструювання такого нелінійного трансверсального фільтру, яка з однієї сторони враховує вимоги, щодо зменшення рівня відгуку, а з другої - забезпечує досягнення цього якнайпростішими засобами.

Розроблені і описані також імплементаційні структури нелінійних цифрових компенсаторів еха, основою яких є кліткові оператори, сигмоїдальні і радіальні функції. Одна з таких структур, в якій використовується апроксиматор на базі сигмоїдальної функції.

В даному розділі також наведено результати дослідження та розроблено структуру нелінійного компенсатора еха в основному діапазоні, де за основу взято т.зв. переплетені структури, в яких враховується дискретизація сигналів з різними частотами на вході і виході. В цих структурах використовуються нелінійні трансверсальні фільтри.

В кінці восьмого розділу представлена теорія нелінійного компенсатора еха для телетрансмісійних систем, які працюють з несучим сигналом. Основою структури такого компенсатора є нелінійні трансверсальні фільтри, які працюють з компенсаційнм цифровм сигналом.

У висновках до роботи наведено основні наукові досягнення та отримані результати. Вказано також перспективи подальших досліджень за тематикою даної роботи та близькими тематиками.

Основні наукові досягнення та отримані результати

Основним результатом дисертаційної роботи є вирішення науково-прикладної проблеми, яка полягає в розробці нових методів аналізу, синтезу і проектування нелінійних аналогових і цифрових засобів телекомунікації на основі неперервних і дискретних рядів Вольтерри, а також опрацюванні теоретичних засад і створенні нових структур нелінійних цифрових компенсаторів еха з використанням граткових операторів, сигмоїдальних та радіальних функцій з метою підвищення ефективності функціонування телекомунікаційних систем.

До найважливіших теоретичних та практичних результатів можна віднести наступні:

1. Запропоновано і досліджено нові методи аналізу нелінійних аналогових телекомунікаційних систем, в яких використано модифіковану матрицю адмітанції і неперервні ряди Вольтерри. Для проведення вказаного аналізу розроблено моделі базових нелінійних елементів, з яких можуть складатися нелінійні аналогові системи. Розроблено також модель нелінійного операційного підсилювача.

2. Запропоновано і досліджено ефективні методи і алгоритми обчислення міри нелінійних гармонічних і інтермодуляційних спотворень, що грунтуються на використанні модифікованої матриці адмітанції і неперервних рядів Вольтерри. Розроблено також ефективні методи обчислення реакції нелінійних систем на збудження періодичними сигналами, які описуються рядами Фур'є.

3. Розроблено алгоритми і створено програмне забезпечення для аналізу сигналів з малою нелінійністю, яке грунтується на неперервних рядах Вольтерри i матриці адмітанції. Воно дозволяє розраховувати інтермодуляційні спотворення в широкосмугових телекомунікаційних підсилювачах. Показано практичне значення цього програмного забезпечення, як зручного засобу, що слід використовувати при проектуванні підсилювачів із заданим рівнем спотворень. Проведена верифікація створених програм на основі існування, а також співставлення результатів обчислень з даними вимірювань.

4. На основі неперервних рядів Вольтерри запропоновано і досліджено методологію обчислення за допомогою комп'ютера нелінійних спотворень в активних аналогових фільтрах. При цьому отримано вирази, які дозволили розробити стратегію мінімізації інтермодуляційних гармонічних та інших спотворень, а також дослідити побічні ефекти, такі як вплив вихідного опору операційного підсилювача на інтермодуляційні спотворення фільтру і вплив перетворень, які мають місце у фільтрах, наприклад, комплементарних, на рівень цих спотворень.

5. Розроблено теорію стабільності частоти і амплітуди осциляцій в телекомунікаційних генераторах синусоїдальних коливань з використанням т.зв. рівнянь стану, основою яких є ряди Вольтерри. Показано, що ця теорія дозволяє усунути неузгодження, які мають місце в лінійній теорії генераторів даного класу.

6. Запропоновано і досліджено нову методологію аналізу і обчислення гармонічних спотворень в телекомунікаційних генераторах синусоїдальних коливань, які можна описувати за допомогою рівнянь стану. При цьому виведено вирази, які дозволяють проаналізувати генератори з нелінійностями з обмеженою швидкістю зміни, а також врахувати вплив постійної складової струму на різні параметри генераторів.

7. Отримано і досліджено форму дискретних рядів Вольтерри зі скінченною кількістю членів для бінарних вхідних сигналів. На цій основі отримано і проаналізовано нові імплементаційні структури для нелінійних компенсаторів еха, що ґрунтуються на використанні граткових операторів, сигмоїдальних або радіальних функцій. Такі компенсатори еха вигідно відрізняються від інших своїми кращими параметрами.

8. З використанням отриманої форми дискретного ряду Вольтерри розроблено методологію аналізу і проектування нелінійних цифрових компенсаторів еха в основному діапазоні, а також нелінійних цифрових компенсаторів еха для телетрансмісійних систем, що працюють з несучим сигналом. Вперше розроблено структури таких компенсаторів.

9. На основі дискретного ряду Вольтерри вперше розроблено і проаналізовано структури імплементаційних нелінійних компенсаторів компенсаторів еха у вигляді переплетених структур, що дало можливість врахувати факт роботи при різних частотах дискретизації вхідних і вихідних сигналів.

Одним з важливих висновків, який можна зробити за результатами даної роботи є те, що нелінійні аналогові і цифрові телекомунікаційні системи з т.зв. малими нелінійностями можна з успіхом аналізувати, синтезувати і проектувати, використовуючи дискретні ряди Вольтерри. Автор роботи запропонував і дослідив цілий ряд методів і засобів для аналізу і проектування, основою яких є неперервні і дискретні ряди Вольтерри; при цьому доведено їх висока ефективність для розв'язку вказаних проблем. Ефективність цих методів поширюється і на інші задачі, такі як модуляція і методи кодування для нелінійних телекомунікаційних каналів і нелінійного фільтрування в телекомунікаційних пристроях.

Список праць автора за темою дисертації

1. Borys A. Nonlinear Aspects of Telecommunications: Discrete Volterra Series and Nonlinear Echo Cancellation.- CRC Press, Florida, USA, 2000.- Р. 1-300.

2. Borys A. Wybrane zagadnienia analizy nieliniowych, analogowych ukіadуw elektronicznych z wykorzystaniem szeregu Volterry. Rozprawy nr 68, Akademia Techniczno-Rolnicza (ATR), Bydgoszcz, 1996.- Р. 1-117.

3. Borys A. Elementary deterministic theories of frequency and amplitude stability in feedback oscillators // IEEE Trans. Circuits and Systems.-1987.- vol. CAS-34.- Р. 254-258.

4. Borys A. Some considerations on nonlinear echo cancellation and discrete Volterra series for binary signals / ntzArchiv.-1989.-vol. 11.- Р. 73-76.

5. Borys A. Harmonic distortion in nearly sinusoidal oscillators // European Transactions on Telecommunications and Related Technologies (ETT).-1990.-vol. 1.- Р. 459-464.

6. Borys A. A note on general gain-sensitivity product and complementary transformation // IEEE Trans. on Circuits and Systems.- 1990.-vol. CAS-37.- Р. 1324-1325.

7. Borys A. Sinusoidal oscillators with slew-rate type nonlinearity // European Transactions on Telecommunications and Related Technologies (ETT).-1991.-vol. 2.- Р. 447-451.

8. Borys A. On fading memory and asymptotic properties of steady state solutions for digital systems // Int. Journal of Circuit Theory and Applications.-1996.-vol. 24.- Р. 593-596.

9. Borys A. O aproksymacji nieliniowych systemуw cyfrowych // Kwartalnik Elektroniki i Telekomunikacji.- 1997.-z. 1.- S. 37-56.

10. Borys A. Przeksztaіcenie komplementarne i znieksztaіcenia intermodulacyjne. // Kwartalnik Elektroniki i Telekomunikacji, .- 1997.-z. 1.- S. 57-69.

11. Borys A. On harmonic distortion reduction in sinusoidal oscillators via increase of feedback return difference // Відбір і обробка інформації.- 2003.-в. 19 (95).- С. 57-62.

12. Borys A. Influence of the dc component on circuit nonlinear transfer functions // Modelling, Simulation and Control.-1985.- vol. 2.- P. 45-49.

13. Borys A. A simplified analysis of nonlinear distortion in analog electronic circuits using the Volterra // Wiener series. 1984.- vol. 30.- N 3.- P. 78-103.

14. Borys A. The response of a nonlinear circuit to an excitation in the form of Fourier series // Scientia Electrica.- 1987.-vol. 33.- N 3.- P. 3-8.

15. Borys A. Slew-induced distortion of single-amplifier active filters using the gain-sensitivity product concept // IEEE Trans. Circuits and Systems.- 1984.-vol. CAS-31.-P. 306-308.

16. Borys A. Gain-sensitivity product concept revisited (Part 1) / ntzArchiv.-1987.-Band 9.- Heft 1.- P. 9-14.

17. Borys A. Gain-sensitivity product concept revisited (Part 2) / ntzArchiv.-1987.- Band 9.- Heft 2.- P. 43-48.

18. Borys A. Modelling high-frequency nonlinear distortion in operational amplifiers // Corrections and supplements. 1986.- vol. 40.- P. 199-200.

19. Borys A. Some remarks on equation describing «linear» or nonlinear nearly sinusoidal oscillators in the frequency-domain // Відбір і обробка інформації, - 2004. в. 20(96). - 2004. - С. 29-31.

20. Borys A. On a class of zero-active-sensitivity filters // Frequenz.- 1987.- Band 41.- P. 121-123.

21. Borys A. Modelling high-frequency nonlinear distortion in operational amplifiers // AEЬ.- 1984.-vol. 38.- P. 151-153.

22. Borys A. The relationships between different measures of nonlinear distortion in single-amplifier active filters // IEEE Trans. Circuits and Systems.-1983.-vol. CAS-30.- P. 842-846.

23. Borys A., Weiss L. J. Znieksztaіcenia intermodulacyjne w filtrze z pojedynczym elementem aktywnym // Rozprawy Elektrotechniczne.-1983.-z. 29.- S. 549-561.

24. Borys A. Nonlinear sensitivity in a single-loop feedback circuit // IEE Proc. G, Electron. Circuits and Systems.- 1984.-vol. 131.- P. 35-36.

25. Borys A., Rupprecht W., and Trick U. Influence of nonlinearities on echo cancellation in two-wire full-duplex data transmission // ntzArchiv.-1986.-vol. 8.- P. 185-190.

26. Borys A., Weiss L. J. Zjawiska ograniczaj№ce liniowy zakres pracy wzmacniacza operacyjnego // Elektronika.- 1986.-vol. XXVII.- S. 36-38.

27. Borys A., Weiss L. J. Zakres dynamiczny a iloczyn wzmocnienia i wraїliwoњci filtru aktywnego RC / Zeszyty Naukowe ATR, Telekomunikacja i Elektronika.- Bydgoszcz, 1986.-Vol. 6.-S. 5-13.

28. Borys A. and Vlach J. A CAD-oriented nonlinear model of the operational amplifier in the frequency - domain // Scientia Electrica.- 1987.-vol. 33.- N 1.- P 3-17.

29. Borys A. and Wojtyna R. RC oscillators with oscillation frequency independent of the op-amp gain-bandwidth product // Int. J. Electronics.- 1993.-Vol. 75.- N 5.- P. 887-895.

30. Borys A. Effect of op amp output resistance on intermodulation distortion of single amplifier filters / Proceedings of the ECCTD'81. The Hague.- The Netherlands, 1981.- P. 988-992.

31. Borys A., Rupprecht W., and Trick U. Nonlinear echo cancellation and multi-input discrete Volterra series / Proceedings of the Third European Signal Processing Conference.- The Hague, Holland, 1986.- P. 1129-1132.

32. Borys A. and Fliege N. Complementary transformation in mildly nonlinear feedback systems // Proceedings of the ECCTD'89.- Brighton, United Kingdom, 1989.- P. 445-447.

33. Borys A. The d.c. offset in nonlinear nearly sinusoidal oscillators // Proceedings of the ECCTD'91.- Copenhagen, Denmark, 1991.- P. 1375-1376.

34. Borys A. and Wojtyna R. Conditions for frequency insensitivity to op-amp gain-bandwidth product in RC oscillators // Proceedings of the 11th European Conference on Circuit Theory and Design.- Davos, Switzerland, 1993.- P. 1569-1572.

35. Borys A. and Wojtyna R. On frequency sensitivities in composite-amplifier RC oscillators // IEEE - Przetwarzanie Sygnaіуw'93.- Poznaс, 1993.- P. 55-58.

36. Borys A. On characteristic or determining equation of «linear» or nonlinear nearly sinusoidal oscillators // Proceedings of the XIII Symposium Electromagnetic Phenomena in Nonlinear Circuits.- Poznaс (Poland), May 25-28, 1994.- P. 483-486.

37. Borys A. Harmonic distortion due to finite wordlength in a class of digital filters // Proceedings of the XIII Symposium Electromagnetic Phenomena in Nonlinear Circuits.- Poznaс (Poland), May 25-28, 1994.- P. 511-514.

38. Borys A. and Wojtyna R. Influence of nonlinear effects on frequency stability in current-mode sinusoidal oscillators // Proceedings of the Workshop Nonlinear Dynamics of Electronic Systems NDES'94 (Nonlinear Dynamics of Electronic Systems).- AGH, Krakуw, Poland, July 29-30, 1994.- P. 157-162.

39. Borys A. O problemie kompensacji nieliniowoњci/nieliniowego echa w transmisji sygnaіуw cyfrowych // Mat. Krajowego Sympozjum Telekomunikacji KST'94.- ATR, Bydgoszcz, 7-9 wrzeњnia, 1994.- S. 305-311.

40. Borys A. and Wojtyna R.: Wien-bridge oscillator with current-feedback amplifier, Mat. XVII Kraj. Konferencji TOiUE (Teoria Obwodуw i Ukіady Elektroniczne) // Polanica Zdrуj, 1994.- P. 143-148.

41. Borys A.: Analiza nieliniowych cyfrowych systemуw teletransmisyjnych // Mat. Sympozjum «100 Lat Radiokomunikacji Morskiej».- Gdynia, 1995.- S. 21-30.

42. Borys A.: Nonlinear distortion in active RC filters // Proceedings of the Sixth Summer Symposium on Circuit Theory.- Prague, Czechoslovakia, 1982.- P. 207-212.

43. Борис А., Яворський І.М.: Оцінювання часу запізнення при використанні методу пошуку мінімальної відстані Евкліда // Вісник Національного університету «Львівська політехніка». - Радіоелектроніка та телекомунікації. -2004. - №508. - С.25-28.

44. Borys A.: Analysis and synthesis of nonlinear telecommunication circuits and systems using continuous and discrete Volterra series // Proceedings of the Conference «Modern problems of radio engineering, telecommunications and computer science.» - Lviv-Slavsko: Publishing House of Lviv Polytechnic, 2004. - P. 96-101.

Аннотація

Borys A., Аналіз і синтез нелінійних систем і засобів телекомунікації з використанням неперервних і дискретних рядів Вольтерри. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 05.12.13 - радіотехнічні пристрої та засоби телекомунікацій. _ Національний університет «Львівська політехніка», Львів, 2005.

Дисертаційна робота присвячена аналізу і синтезу функціональних вузлів телекомунікаційних систем з так званими малими нелінійностями. В ній на основі неперервного і дискретного рядів Вольтерри розроблено методи аналізу і мінімізації нелінійних спотворень у телекомунікаційних системах, а також опрацьовано теоретичні засади і створено нові структури компенсаторів нелінійних ефектів. З використанням модифікованої матриці адмітанції і неперервного ряду Вольтерри опрацьовано єдиний опис систем з малими нелінійностями. Розроблено моделі базових нелінійних елементів, з яких можуть складатися нелінійні аналогові системи, а також модель нелінійного операційного підсилювача. Опрацьовано методи і алгоритми обчислення міри гармонічних і інтермодуляційних спотворень, а також методи обчислення відгуку нелінійних систем на збудження періодичними сигналами. На цій основі створено програмне забезпечення, яке дозволяє розраховувати спотворення в широкосмугових телекомунікаційних підсилювачах, а також в активних аналогових фільтрах проведена його верифікація на основі співставлення результатів обчислень з даними вимірювання. Розроблено теорію стабільності частоти і амплітуди осциляцій в телекомунікаційних генераторах синусоїдальних коливань з використання рівнянь стану, основою яких є ряди Вольтерри. Опрацьовано методи аналізу і обчислень нелінійних спотворень в генераторах синусоїдальних коливань, які можна описати за допомогою рівнянь стану. Отримано спеціальну форму дискретних рядів Вольтерри зі скінченною кількістю членів для бінарних вхідних сигналів, на основі якої з використання Гнаткових операторів, сигмоїдальних і радіальних функцій створено нові структури для нелінійних компенсаторів еха. Розроблено методи аналізу і проектування компенсаторів еха в основній смузі частот, а також компенсаторів еха для телетрансмісійних систем, що працюють з несучими сигналами. Проаналізовано питання, пов'язані з різною частотою дискретизації вхідних і вихідних сигналів в компенсаторах еха, в результаті чого розроблено компенсатори у формі переплетених структур, які цей факт враховують.

Ключові слова: системи і засоби телекомунікації, телетрансмісійні системи, аналіз нелінійних ефектів в аналогових і цифрових телекомунікаційних системах, нелінійні спотворення (гармонічні і інтермодуляційні), комп'ютерний аналіз спотворень з використанням рядів Вольтерри, синтез нелінійних схем і систем, що описуються рядами Вольтерри, нелінійні компенсатори еха, апроксимація нелінійних систем, неперервні і дискретні ряди Вольтерри.

Аннотация

Борис А. Анализ и синтез нелинейних систем и средств телекомуникации с использованием непрерывных и дискретных рдов Вольтерры. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 0.12.13 - радиотехнические устройства и средства телекомуникаций. - Национальный университет «Львовская политехника», Львов, 2005.

Диссертация посвящена анализу и синтезу функциональных узлов телекомуникационных систем с так называемыми малыми нелинейностями. В ней на основе непрерывного и дискретного рядов Вольтерры разработаны методы анализа и минимизации нелинейных искажений в телекомуникационных системах, а ткже рахработаны теоретические принципы и создано новые структуры компенсаторов нелинейных эффектов. С использованием модифицированной матрицы амитанции и непрерывного ряда Вольтерры разработано единое описание систем с малыми нелинейностями. Разработаны модели базовых нелинейных элементов, с которых могут складываться нелинейные аналоговые системы, а также нелынейная модель нелинейного операционного усилителя. На этой основе создано программное обеспечение, которое позволяет расчитывать искажения в широкополосных телекомуникацыонных усилителях, а также в активных аналоговых фильтрах. Проведено его верификацию на основе сопоставления результатов, вычислений с данными измерений. Азработано теорию стабильности частоты и амплитуды осциляций в телекомуникационных генераторах синусоидальных колебаний с использованием уравнений состояний, основой которых являются ряды Вольтерры. Розработано методи анализа и вычисления нелинейных искажений в генераторах синусоидальных колебаний которые можно описать с помощью уравнений состояния. Получено специальную форму дискретных рядов Вольтерры с конечным числом членов для бинарных входных сигналов, на основе которых с использованием решетчатых операторов сигмоидальных и радиальных функций создано новыеструктуры для нелинейных компенсаторов эха. Разработано методы синтеза ы проектирования компенсаторов эха в основной полосе частот, а также компенсаторов эха для телетрансмиссионных систем, работающих с несущим сигналом. Проанализировано вопросы, связанные с разной частотой дискретизации входных и выходных сигналов в компенсаторах эха, в результате чего разработаны компенсаторы в виде переплетенных структур, которые этот факт учитывают.

Ключевые слова: системы и средства телекомуникации, телетрансмиссионные системы,анализ нелинейных эффектов в аналоговы и цифровых телекомуникационных системах, нелинейные искажения (гармонические и интермодуляционные)компютерный анализ искажений с использованием рядов Вольтерры, синтез нелинейных схем и систем, которые описываются рядами Вольтерры, нелинейные компенсаторы эха, аппроксимация нелинейных систем, непрерывные и дискретные ряды Вольтерры.

Summary

Borys A., Analysis and synthesis of nonlinear telecommunication circuits and systems using continuous and discrete Volterra series

This dissertation is devoted to analysis and synthesis of such nonlinear telecommunication circuits and systems, which are designed as linear ones, but due to nonlinear characteristics of some of their components, work often getting into nonlinear ranges. Of such circuits (systems), we say that they are circuits (systems) possessing small nonlinearities, and because of this fact, they are described often with the use of a Volterra series. In case of analog circuits (systems), we use then a continuous version of the Volterra series for their description, but in case of digital ones, we use the discrete Volterra series.

Amplifiers, analog filters, and sinusoidal generators are typical components of analog telecommunication systems. Attempting to use amplifiers and filters (which are often active filters) effectively, we get into their nonlinear ranges of work for the large enough amplitudes of input signals. Nonlinear distortions, as for example harmonic and intermodulation distortion, arise in such cases. Two sections of dissertation are devoted to the problems related to analysis, minimization and elimination of the above types of nonlinear distortion in wideband amplifiers and active filters.

The third component of telecommunication systems mentioned above, that is sinusoidal oscillators are from the nature nonlinear oscillators, which produce signals of a fundamental frequency and of multiples of it. That is harmonic distortion arises in such oscillators, and its level has to be minimized. One section of this dissertation is devoted to the problems of stability of oscillation frequency and oscillation amplitude, and of harmonic distortion in sinusoidal oscillators.

A method and algorithms of a computer program for calculation of nonlinear distortion in analog nonlinear telecommunication circuits are presented in this dissertation. The method presented is based on the use of the so-called modified admittance matrix and on the use of the continuous Volterra series.

In a separate section, the means and methods of synthesis of nonlinear circuits and systems having a Volterra series description are discussed.

A large portion of the dissertation is devoted to the analysis of nonlinear echo compensators used in digital transmission systems. This analysis has been carried out with the use of the discrete Volterra series. And for purposes of this analysis, the theory of discrete Volterra series has been developed to arrive at useful approximator structures, being structures ready for implementation of echo compensators.

Some other implementation structures for nonlinear echo cancellers, based on circuit (system) approximations using lattice operators or sigmoidal functions or so-called radial functions have been developed as well.

Using general structures developed, structures of nonlinear echo compensators for baseband data transmission systems have been found. Furthermore, the behavior of these compensators has been analysed in detail. Similarly, structures of nonlinear echo compensators working in the passband have been developed as well. Moreover, the problems related to the fact that timing recovery in digital transmission systems imposes that the sampling rate at the echo canceller output has to be higher than the sampling rate at its input have been addressed, too. As a result, structures of echo cancellers in form of interleaved transversal filters have been presented.

Key words: telecommunication circuits and systems, voice and data transmission circuits, analysis of nonlinear effects in analog and digital telecommunication circuits, nonlinear distortion (as for example harmonic and intermodulation distortion), computer-aided analysis of distortion with the use of Volterra series, synthesis of nonlinear circuits and systems possessing description in the form of Volterra series, echo compensators, nonlinear echo compensators.

Размещено на Allbest.ru