Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

Сплайн-методи і засоби аналізу і синтезу цифрових сигналів

05.12.17 Радіотехнічні та телевізійні системи

Шелевицький Ігор Володимирович

Київ-2005

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Національному авіаційному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант:

доктор технічних наук, професор Шутко Микола Олександрович,

Національний авіаційний університет,

професор.

Офіційні опоненти:

заслужений діяч науки і техніки України, лауреат Державної премії України, доктор технічних наук, професор, Ігнатов Володимир Олексійович,

Національний авіаційний університет, професор кафедри телекомунікаційних систем;

заслужений діяч науки і техніки України, лауреат Державної премії України, доктор фізико-математичних, професор, Лигун Анатолій Олександрович,

Дніпродзержинський державний технічний університет, професор кафедри прикладної математики та комп'ютерного моделювання;

доктор технічних наук, старший науковий співробітник, Єрохін Віктор Федорович,

в/ч А1906, начальник управління.

Провідна установа: ВАТ Науково-виробниче підприємство „САТУРН”, м.Київ.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На сьогодні інтенсивно розвиваються радіотехнічні системи, що обробляють сигнали, носіями важливої інформації в яких є не лише деякі середні чи локальні характеристики, а саме їх унікальна форма. Це радіолокаційні станції для контактного та дистанційного проникаючого зондування GPR (Ground Penetrating Radar), радіометричні системи, що використовують власне випромінювання тіл у радіочастотному діапазоні, расдари і содари тощо. Алгоритми обробки сигналів в таких системах здебільшого запозичені з радіолокації і мало адекватні процесам зондування, що не дозволяє повною мірою використати потенційні можливості цих систем. В багатьох випадках сигнали в таких системах є сплайнами. Іншим важливим напрямком розвитку радіотехнічних систем є телемедицина, зокрема біорадіотелеметрія. Ефективність цих систем значною мірою залежить від наявності високих метрологічних характеристик пристроїв підсилення, перетворення та фільтрації біосигналів, інформативності пристроїв обробки та стиснення сигналів. Біосигнали також мають складну форму та значну шумову складову, що ускладнює їх обробку. Роботи цього напряму із застосуванням сплайнів представлені Biomedical Imaging Group (BIG, bigwww.epfl.ch)

Успішно вирішити проблему обробки сигналів у вказаних системах можна використавши сплайн-моделі сигналів. Сплайни мають добре розвинену математичну теорію (роботи I.Schoenberg, C de Boor, M.Unser, Стечкіна С.Б., Субботіна Ю.Н., Зав'ялова Ю.С., Василенка В.А., українських вчених Корнєйчука М.П., Лигуна А.O., Попова Б.А., Марченка Б.Г., Денисюка В.П., Шутка М.О. Приставки О.П.) і відомі своїми хорошими наближуючими властивостям в поєднанні з ефективним апаратом розрахунків. Достоїнство сплайнів полягає тому, що зростання порядку сплайнового полінома не погіршує якість обчислень, а похибка наближення залежить від похідної фіксованого порядку. Прості, не сплайнові моделі, що використовуються для обробки сигналів складної форми (в даній роботі неперіодичних гладких сигналів, що мають більше 4-6 екстремумів) не здатні адекватно та ефективно описати вказані сигнали в цілому. Тому такі сигнали обробляють короткими фрагментами (вікнами), в межах яких зберігається практично достатня адекватність простої моделі. За наявності випадкових шумів, для отримання якісних статистичних оцінок параметрів моделі сигналу бажано врахувати максимальну кількість данних, для чого необхідно збільшити розкрив вікна. Розширення вікна призводить до неадекватності простої моделі і потребує її ускладнення (наприклад зростання порядку полінома), що в свою чергу призводить до погіршення статистичних оцінок, та обчислювальних труднощів. Це погіршення знову необхідно компенсувати збільшенням числа даних (розширенням вікна). Не вирішеним є також питання вибору відповідного базису для наближення конкретного сигналу за методом найменших квадратів в радіотехнічних системах. Використання сплайнів, в якості моделі сигналу, дозволяє уникнути зазначених труднощів і суттєво підвищити якість обробки сигналів. Наприклад, заміна кубічного полінома сплайном дозволяє, при однаковій похибці апроксимації, вдвічі збільшити ширину вікна обробки. В області цифрової обробки сигналів сплайни інтенсивно почали використовуватись з кінця 80-х років у wavelets методах, в основі яких інтерполяційні схеми з локальними базисними функціями. Сучасний стан досліджень та перспектив в області застосування сплайнів для обробки цифрових сигналів найбільш повно висвітлено в роботі [M. Unser, "Splines: a perfect fit for signal and image processing," IEEE Signal Processing Magazine, vol. 16, no. 6, pp. 22-38, 1999]. Використання більш складних, статистичних методів обробки: статистичної ідентифікації, оптимальної фільтрації та адаптації сплайнів до характеристик реальних сигналів дозволяє отримати значно точніші моделі та ефективніші статистичні оцінки параметрів сигналів ніж ті, що грунтуються на інтерполяційних схемах. Однак цілий ряд особливостей обробки сигналів не дозволяють безпосередньо застосувати існуючий математичний апарат сплайнів і потребують нетривіальних підходів до реалізації методів і засобів сплайн-обробки та їх об'єднання в рамках спеціалізованої теорії і технології. Основні підходи до оптимізації та апаратної реалізації обчислень викладені в роботах Блейхута Р., Гольденберга Л.М., Задіраки В.К., Теслера Г.С., Кузьміна С.З., Ігнатова В.О., Білецького А.Я., Прокопенка І.Г.

Отже маємо потребу у вдосконаленні обробки сигналів складної форми, яку потенційно дозволяє задовольнити застосування сплайн-моделей, але сплайни не можна застосувати для обробки сигналів в радіотехнічних системах у рамках існуючих методів та методик.

Викладене вище дозволяє сформулювати важливу науково-технічну проблему вдосконалення обробки цифрових сигналів складної форми в радіотехнічних системах шляхом застосування сплайн-моделей.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Результати дисертаційної роботи отримані та застосовані в процесі виконання наступних науково-дослідних робіт: 036-ГБ92 “Разработка методов повышения достоверности обработки измерительной информации и контроля параметров радиоэлектронных систем” (1992-1994); 301-Х93 “Разработка, проектирование, изготовление выхревых устройств для научно-исследовательских целей “ (1993); 302-Х93 “Разработка контроллера прибора неразрушающего контроля поверхностного слоя ферромагнитных деталей (1993); 397-Х93 “Разработка технологии радиоиммунологического анализа предсердного гормона” (1993-1994); 497-ГК94 “Разработка и исследование методов и средств повышения технико-экономических показателей преобразователей параметров электроэнергии в несимметричных режимах” (1994-1996). ГБ07-206-01 “Створення інтелектуальної системи оперативного аналізу техногенного навантаження довкілля на основі сучасних інформаційних технологій” (2001-2002).

В перерахованих науково-дослідних роботах сплайн-технологія обробки даних застосовувалась для ідентифікації, моделювання, фільтрації та стиснення сигналів складної форми.

Мета роботи: Досягти суттєвого покращення результатів синтезу та аналізу цифрових сигналів складної форми в радіотехнічних системах, шляхом застосування сплайн-моделей.

Основні задачі дослідження:

Розробка методів адаптації сплайнів до частотних властивостей конкретних сигналів (діапазону частот, амплітудного чи енергетичного спектру) з врахуванням практичних аспектів застосування в задачах цифрової обробки сигналів в радіотехнічних та телевізійних системах.

Створення та дослідження методів та алгоритмів побудови сплайнів із заданими частотними властивостями.

Розробка і дослідження швидких алгоритмів та методики побудови пристроїв для обробки сигналів, що грунтуються на сплайн-інтерполяції та статистичному оцінюванню за МНК сплайнових моделей в реальному часі.

Синтез пристроїв та алгоритмів адаптації сплайнів до сигналів та завадової обстановки, включаючи алгоритми та пристрої частотно-часового розкладу, стійких до адитивного білого шуму.

Виконання експериментальної та практичної перевірки основних теоретичних положень, алгоритмів та засобів, що складають апаратне і програмне забезпечення цифрових систем сплайн-обробки радіотехнічних сигналів складної форми.

Об'єктом дослідження є цифрові сигнали, їх теорія, засоби і методи аналізу і синтезу. сплайн відео фільтрація алгоритм

Предметом досліджень є засоби і технології сплайн-методів аналізу і синтезу цифрових сигналів складної форми в радіотехнічних системах.

Методи дослідження. Для побудови сплайнових моделей застосовані методи апроксимації, лінійної алгебри, математичного аналізу. При розробці методів статистичного оцінювання параметрів сплайнів застосовано методи максимальної правдоподоби, математичної статистики та випадкових процесів. Методи лінійної фільтрації, дослідження операцій, нелінійної оптимізації використовувались при розробці прикладних методів та алгоритмів. Для моделювання даних застосовані методи статистичного моделювання та чисельні методи. В цілому в процесі роботи використовувалась теорія сигналів, теорія наближень та теорія сплайн-функцій.

Наукова новизна полягає в наступному:

В класі сплайнових моделей сигналів створено методи синтезу оптимальних за МНК фільтрів (фільтрів Вінера-Колмогорова)..

Отримано та теоретично обгрунтовано згортковий метод побудови базисних сплайнів з фрагментів широкого класу неперервних на фрагментах функцій.

Розроблено способи трансформації чотирьохфрагментних базисних сплайнів в локальний та глобальний інтерполяційні імпульси.

Cтворено методику розрахунку LSS (Least Squares Spline) фільтрів зі сплайн-моделями, які складаються з необмеженої кількості фрагментів рівної ширини, що грунтується на наближеному оберненні матриці специфічної форми.

Виведено формули для рекурентних розрахунків оцінок МНК зі сплайновими моделями (рекурентних LSS фільтрів).

Отримано частотно-часові розклади сигналів в локальних сплайнових базисах за методом найменших квадратів (LSS розклад).

Практичне значення роботи полягає в тому, що:

Створено технологію обробки цифрових сигналів складної форми, що грунтується на сплайнових моделях залежностей. Перевагою розробленої технології перед відомими є універсальність моделі, що використовується та її обчислювальна ефективність. Відносно інших сплайнових технологій, розроблену відрізняє обгрунтованість вибору конкретних сплайнових базисів з врахуванням характеру сигналів та завад

Розроблено методику розрахунків віконних, рекурентних, децимуючих LSS фільтрів, синтез базисів для яких обрунтований частотними властивостями корисного сигналу і шуму.

Синтезовано алгоритми та пристрої адаптивної обробки сигналів однократної обробки (з адаптацією за рахунок зміни частотних властивостей базисних сплайнів) та багатократної обробки в системах оптимального частотно-часового сплайн-розкладу за МНК (LSS розклад), що є стійким до адитивного білого шуму.

Ефективність розробленої технології випробувана при вирішенні практичних задач в системах обробки реальних сигналів складної форми у медичній функціональній діагностиці, геології і геофізиці та на модельних сигналах.

Отримані методи, способи і методики реалізовані у вигляді алгоритмів, прикладних програм і бібліотек функцій на алгоритмічних мовах “C”, “VBA”, в середовищах математичних пакетів “MathCad”, “Reduce”, ”Derive”, “MatLab”, “Simulink” та в спеціалізованих пакетах проектування цифрових пристроїв “Altera DSP blokset”, “Quartus II”. Така реалізація потенційно дозволяє розробити системи автоматизованого схемотехнічного проектування та компютерного моделювання радіотехнічних та телевізійних пристроїв та вузлів (наприклад створення гіперфункцій для ПЛІС Altera).

Отримані результати дозволяють виготовляти універсальні та спеціалізовані інтегральні мікросхеми оптимальної та адаптивної сплайн-обробки цифрових сигналів складної форми в радіотехнічних та телевізійних системах в умовах реальної завадової обстановки.

В цілому застосування отриманих результатів в системах проникаючої радіолокації, телеметрії, телемедицини дозволяє суттєво покращити обробку сигналів, підвищити інформативність та достовірність результатів. Так, заміна кубічної моделі сплайновою в фільтрі Савицького-Голея зменшує максимальну динамічну похибку в 16 разів, або дозволяє розширити вікно обробки щонайменше вдвічі, відповідно зменшивши випадкову похибку в 1.4 рази.

Впровадження результатів роботи. Основні результати досліджень і розробок впроваджені:

у міському діагностичному центрі 2-ї міської лікарні м.Кривий Ріг;

на кафедрі педіатрії та клінічної лабораторної діагностики факультету післядипломної освіти Дніпропетровської державної медичної академії (м.Кривий Ріг);

на кафедрі математичного забезпечення ЕОМ Дніпропетровського національного університету.

Особистий внесок здобувача. Положення відзначені, як наукова новизна є особистим внеском здобувача що викладений в наукових роботах. У наукових роботах опублікованих у співавторстві авторові належать: [1,10,11,12,13,15] - застосування сплайн-моделі, [2,3,4,8,21,23,33] - методи побудови базисів, [5, 14] - рекурентний алгоритм, [6] - метод адаптації, [9] - метод реального часу, [7, 16, 28] - постановка задачі, [17]- побудова необмежених сплайнів, [24] - застосування центральної граничної теореми, [25] - швидкий алгоритм, [27] - розвязок МНК, [30] - сплайн-метод частотно-часового аналізу, [31] - встановлення зв'язку між сплайнами і вейвлетами, [34]- конструкції пристроїв.

Апробація результатів дисертації. Основні результати доповідались на вказаних нижче наукових конференціях: II МНТК “Методы управления системной эффективностью функционирования электрифицированных и пилотажно-навигационных комплексов” (Киев, 1993); звітна науково-технічна конференція наукових колективів університету за 1994 рік (Київ, КМУЦА); XVI звітна науково-технічна конференція університету за 1995 рік (Київ, КМУЦА); МНТК “Проблемы совершенствования систем аэронавигационного обслуживания и управления подвижными объектами” (Киев, 1996); МНТК “Авіа-1999” (Київ,1999); МНТК “Авіа-2000” (Київ, 2000). МНТК “Авіа-2001” (Київ, 2001), МНТК “Авіа-2002” (Київ, 2002), МНТК “Авіа-2003” (Київ, 2003), МНТК “Авіа-2004” (Київ, 2004), МНК “Теорія та методи обробки сигналів” (Київ, 2005), МНМК “Проблеми математичного моделювання” (Дніпродзержинськ, 2003), МНМК “Проблеми математичного моделювання” (Дніпродзержинськ, 2004), МНК „Теорія та методи обробки сигналів” (Київ, 2005). Результати дисертаційних досліджень доповідались на секції №1 Вченої ради ІПММС НАН України, та у відділі оптимізації чисельних методів Інституту кібернетики ім.В.М.Глушкова НАН України, де отримали позитивну оцінку. Автор вдячний науковцям цих установ, а також Задіраці В.К., Горбаню І.І., Теслеру Г.С., Білецькому А.Я., Iгнатову В.О., Ільницькому Л.Я., Іванову В.О., Прокопенку І.Г., Яновському Ф.Й., Корнійчуку М.Т., Совтус І.К., Мірошніченку С.І., Сініцину Р.Б. за увагу до роботи та конструктивне обговорення. Основні результати досліджень (включаючи електронну версію монографії) розміщені в internet за адресою www.kdeu.dp.ua/spline і є загальнодоступними з лютого 2003 року. Частина програмного забезпечення (побудова інтерполяційних сплайнів та сплайн-інтерполяторів) розміщена на сайтах www.matlab.ru та www.exponenta.ru./journal.

Публікації. Основні оригінальні результати є підсумком наукової роботи автора, котрою він займається з 1983 року. Вони складають зміст 34 наукових робіт, в тому числі 27 статей у фахових наукових виданнях, згідно списку ВАК, та однієї монографії.

Структура роботи та її обсяг. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів, висновків, що містять основні результати роботи, списку використаних джерел та додатків. Загальний обсяг роботи складає 308 сторінок, робота містить 147 рисунків, 6 таблиць та список джерел з 345 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність, сформульовано мету та ціль роботи, окреслено коло проблем, що розглядаються, вказано на наукову новизну та практичне значення роботи.

У першому розділі розглянуто радіотехнічні системи, сигнали в яких мають складний вигляд, а подальше використання передбачає їх розпізнавання за формою оператором чи автоматично. Це георадари, системи радіо та акустичного зондування атмосфери, телемедичні системи. В ряді випадків сигнали в цих системах є сплайнами.

В Україні над питаннями радіоакустичного зондування працюють в ХНУРЕ (проф. Є.Г.Прошкін) та НУ ”Львівська політехніка”. В дисертаційній роботі Карташова В.М. „Розвиток теорії та удосконалення систем радіоакустичного й акустичного зондування атмосфери” відмічається: „Основним фактором, що визначає недосконалість систем, є недостатнє теоретичне й методичне забезпечення діяльності інженерів, які займаються розробленням, дослідженням та експлуатацією апаратури. Наявну інформаційну прогалину компенсують використанням відповідних відомостей, методик та алгоритмів із класичної радіолокації, що розроблені для точкових розсіювальних об'єктів, або знаходять технічні рішення, спираючись на інженерну інтуїцію чи натурний експеримент. Застосовувані методи і рішення недостатньо враховують специфічні особливості даних систем, обумовлені унікальністю використовуваних локаційних об'єктів - акустичного хвильового пакету і розподілених “повсюдно” у середовищі природних турбулентних неоднорідностей”.

Актуальним є також розвиток телемедицини (особливо в медицині катастроф та військовій медицині), де сигнали також мають складну форму і значний рівень шумів. В Україні діє асоціація комп'ютерної медицини УАКМ (www.uacml.kharkov.ua). Значна увага цьому питанню приділяється в Національному медичному університеті (www.srlc.nmu.kiev.ua/telemed), в Донецькому державному медичному університеті (ДонДМУ, www.telemed.org.ua), інституті проблем військової медицини МО України (м.Ірпінь, Київська область), міжнародному науково-навчальному центрі інформаційних технологій і систем НАН України та Міністерства освіти і науки України (МННЦ ІTтаС, www.dlab.kiev.ua).

В доповіді Б.М.Шевчука (МННЦ ІТтаС, відділ медичних систем) на симпозіумі „Телемедицина” (25-26 травня 2000 р., Київ) зазначається: „Ефективність функціонування систем довготривалого дистанційного контролю за станом біооб'єктів у значній мірі визначається тими алгоритмами попередньої обробки контролюючих сигналів, які реалізуються безпосередньо в процесі зйомки біосигналів. Як правило, такі алгоритми повинні орієнтуватися на роботу в реальному часі і реалізуватися у вигляді програм для мікроконтролерів чи сигнальних процесорів. Довготривалий дистанційний контроль біооб'єктів в першу чергу передбачає виконання в темпі зйомки інформації операцій фільтрації й стиску цифрових відліків сигналів.”

Застосування в якості моделей сплайнів дозволяє суттєво покращити обробку сигналів в зазначених системах. Для цього необхідно врахувати специфіку систем цифрової обробки сигналів в радіотехнічних системах.

В роботі відмічається значне різноманіття конструкцій, котрі називають сплайнами. Тому автор вважає за необхідне уточнити, що маємо на увазі під вказаним терміном в даній роботі. Сплайном називатимемо неперервну і визначену на фрагментах функцію S, яка складається з фрагментів, що є функціями одного виду і стиковані спеціальним чином. Точки стикування фрагментів називатимемо вузлами сплайна. Основною умовою стикування фрагментів є неперервність значень і частини похідних в точках стикування.

Проаналізовано різні способи побудови сплайнів та основні їх різновиди. Відмічено, що основний інтерес маємо до локальних ермітових сплайнів, котрі хоч і не мають деяких оптимальних властивостей, характерних для глобальних, але вирізняються простотою розрахунків.

Розглянуто питання точності наближення інтерполяційними сплайнами. Відмічено, що в математичній теорії наближень нев'язка виражається через похідні високих порядків, в різних класах функцій. Для сплайнів нев'язка залежить від норми похідної фіксованого порядку, в цьому їх основна перевага перед класичними інтерполяційними функціями.

Проаналізовано стан використання сплайнів в задачах обробки цифрових даних. Відмічено, що в Україні зосереджено значний науковий потенціал в цьому напрямку. Це математичні дослідження Корнійчука М.П., Попова Б.А., Лигуна А.А., Назаренка Н.А., Марченка Б.Г., Денисюка В.П. та прикладні роботи наукових шкіл Шутка М.О. і Марченка Б.Г. та Приставки О.П. За кордоном теорія та практика сплайн-методів є напрямком, що інтенсивно розвивається. Теоретичний напрямок представляють Карл де Бур, Шумейкер Л.Л. Серед науковців, котрі займаються прикладними задачами сплайн-методів в цифровій обробці даних варто відмітити M.Unser (BIG, EPFL). Значним досягненням є wavelet методи, котрі грунтуються на інтерполяції в локальних базисах, включаючи й сплайнові. Однак при наявності білого шуму їх ефективність суттєво знижується.

В другому розділі розглянуто математичні методи побудови інтерполяційних сплайнів, що найбільш відповідають задачам цифрової обробки сигналів.

Найбільш придатним для задач цифової обробки сигналів є запропонований згортковий метод, що є узагальненням методу побудови поліноміальних В-сплайнів та фракціональних сплайнів. Суть методу полягає в отриманні базисного сплайна шляхом згортки симетричних локальних (утворюючих) функцій

f₁(a+x)=f₂(b-x), x[0,(b-a)/2], аналогічно (x):

В роботі доведено, що лінійна згортка F(x)=f(t)(x-t)dt є локальним сплайном, що складається з чотирьох фрагментів, є неперервим (включаючи точки стику), має неперервну першу та другу похідні, якщо виконуються наступні умови: f₁(0)=0, , ₁(0)=0, f₁(h)=f₂(h), ₁(x)= ₂(x), f₂(2h)=0, ₂(2h)=0, (a=0,b=h). При цьому функції f(x), (x) мають бути неперервними і інтегрованими на фрагментах. Як приклад, розглянемо експоненційний базис на сітці 0,1,2,3,4. Утворюючі функції однакові і складаються з фрагментів f₁(x)=e^x-1, f₂(x)=e^(2-x)-1. Отримуємо вирази для фрагментів базисного сплайна:

F₁(x)=xe^x-2e^x+x+2,

F₂(x)=e^2-x+(3-x)e^x+x-4e+2, F₃=F₂(4-x), F₄(x)=F₁(4-x).

Для трикутних утворюючих функцій отримаємо добре відомі вирази для кубічного В-сплайна. Приклади базисних сплайнів показано на рис.1.

Якщо (x) прямокутне вікно, то маємо неперервність лише першої похідної. Зміщені пропорційно ширині фрагмента отримані сплайни утворюють базис. Розглянуто також дискретний варіант отримання базисних сплайнів. Перевагою є можливість застосування швидких алгоритмів розрахунку дискретної згортки. Відмітимо також, що вимогам до утворюючих функцій задовольняють імпульсні характеристики нерекурсивних цифрових фільтрів.

Для інтерполяції необхідно розв'язати систему інтерполяційних рівнянь з умови . Такий підхід є непродуктивним з огляду на необхідність роботи в реальному часі. Тому розроблено методи приведення отриманих базисних сплайнів до лагранжевої форми, де числові коефіцієнти є значеннями функції у вузлах інтерполяції (Л.Френкс називає такі базисні функції інтерполяційними імпульсами).

Перший метод полягає у вирішенні цієї задачі на окремому фрагменті (рис.2), з врахуванням значень похідних в точках стикування. Тому отримані базиси називатимемо ермітовими. Вони мають неперервність лише першої похідної. Фрагмент сплайна задано двома вузловими точками (T₁,A1), (T₂,A2). Для встановлення однозначного взаємозв'язку між вузловими точками та чотирма коефіцієнтами сплайна потрібно ще два параметри пов'язаних із вузлами. За ці параметри приймемо значення першої похідної у вузлових точках. Перша похідна базисних функцій у вузлових точках легко визначається. Позначимо її z1 і рахуватимемо наближено, через центральні різниці , . Складемо систему лінійних рівнянь:

Знайдені значення d1,d2,d3,d4 підставимо в інтерполяційне рівняння S(x)=d1F1(x)+d2F2(x)+d3F3(x)+d4F4(x). Виділивши вузлові значення отримаємо:.

Перетворення для базисів утворених згорткою з прямокутним імпульсом неможливе, оскільки дискримінант системи 4z1²Y1²-Y0²z1 дорівнює нулю. На рис.3 показано вигляд ермітових базисних сплайнів отриманих з показаних на рис.1.

Другий метод грунтується на наближеному розв'язкові інтерполяційних рівнянь специфічної форми. Базиси зберігають неперервність другої похідної, але значно розширюють область ненульових значень. Така конструкція близька до фундаментальних кубічних сплайнів. Значення базисної функції у вузлових точках (0, 1, 2, 3, 4) рівні (0, f1, f0, f1, 0). Тоді для інтерполяційного сплайна побудованого на вузлах, що співпадають із вузловими точками базисних функцій запишемо систему інтерполяційних рівнянь

, де квадратна симетрична тридіагональна матриця. Матриця повністю визначається двома ненульовими значеннями f0 та f1. Розмірність матриці вважатимемо довільною, або навіть необмежено великою, проте не менше п'яти.

Матриця - стовпець Y містить значення інтерпольованої функції у вузлах інтерполяції. Знайдемо значення елементів матриці A. Специфічна форма матриці дозволяє скористатись наближеним методом визначення елементів інверсної матриці розглянутим нижче. Приймемо, що інверсна матриця складається із семи ненульових діагоналей. Отримаємо аналітичний розв'язок для ненульових елементів матриці, інверсної до :

d₀=f0(f0²-2f1²)/Q, d₁=-f1(f0²-f1²)/Q, d₂=f0f1²/Q, d₃=-f0³/Q, Q=f0⁴-4f0²f1²+2f1⁴.

Для кубічного В-сплайна (f0=0.6667, f1=0.16665) отримаємо значення елементів {d₃, d₂ d₁ d₀ d₁ d₂ d₃}={0.000, -0.031, 0.124, -0.463, 1.731, -0.463, 0.124, -0.031, 0.000}. Похибка, внаслідок наближеного розрахунку, становитиме не більше 2Mf1d₃=(0.01M), де M-максимальне вхідне значення. Інтерполяційний імпульс отримаємо, як згортку вхідного базисного сплайна з отриманими елементами. Тобто елементи можна вважати коефіцієнтами нерекурсивного префільтра встановленого перед інтерполяційним фільтром.

В роботі розглянуто і дискретний варіант описаних методів, а також приклади побудови базисів з фрагментів алгебраїчного полінома, експоненти, синусоїди. Таким чином, розроблено метод отримання різноманітних сплайнових базисів, керуючись фізичною природою процесів на фрагменті, або специфічними частотними властивостями утворюючих функцій (що можуть бути імпульсними характеристиками фільтрів).

В третьому розділі розглянуто питання наближення сигналів в сплайнових базисах. Проведена аналогія між фільтрацією нерекурсивним цифровим фільтром:, (-відліки імпульсної характеристики) та математичною процедурою інтерполяції: , (- -та базисна функція форми).

Отже базисні сплайн-функції можна вважати імпульсними характеристиками цифрових фільтрів. Тому можна говорити про частотні характеристики сплайнових базисів, а нев'язку наближення зручно розглядати в спектрах сигналів та базисів (рис.4). Нев'язку характеризує нерівномірність частотної характеристики базису в значимій області частот сигналу та глибина подавлення в області затримки. Варто зазначити, що в цілому ряді останніх публікацій похибка наближення окремими видами сплайнів розглядається саме в частотній області. Але похибка оцінюється окремо від сигналів, що обробляються, а задача синтезу сплайнів із заданими частотними властивостями не ставилася.

Розглянуто особливості отримання статистичних оцінок сплайнової моделі за методом найменших квадратів (МНК). Задача розглядається в класичній постановці: модель сигналу описується системою рівнянь , де - вектор відліків сигналу;- вектор параметрів (значення сплайна у вузлах для лагранжевої форми); - детермінована матриця, розмірності nxk, що має максимальний ранг k (матриця планування); випадкова складова з математичним сподіванням , та матрицею коваріацій .

Оцінка за МНК є найбільш ефективною (в смислі найменшої дисперсії) в класі лінійних незміщених оцінок. Достовірність оцінки параметрів характеризує довірчий інтервал, що визначається у випадку нормальності даних, як

де двохстороння квантиль закону Стьюдента з n-k ступенями вільності; елемент кореляційної матриці МНК .

Варто особливо звернути увагу на розрахунок матриці В, елементи котрої є скалярним добутком сигналу та відповідних базисних функцій: (де “еталонна” базисна функція з нульовим зміщенням). Це базовий елемент практичної реалізації МНК. Локальність базисних сплайн-функцій обумовлює специфічний блочно-діагональний вигляд матриці планування, наслідком якого є обчислювальна ефективність.

Розглянемо процедуру отримання екстрапольованих значень сплайнової моделі: . Матриця є матрицею оператора ортогонального проектування на підпростір , породжений сплайновими базисами. З точки зору цифрової обробки сигналів рядки матриці є імпульсними характеристиками нерекурсивних цифрових фільтрів нижніх частот. Тобто МНК оцінку значення сплайн-моделі можна отримати, як результат лінійної фільтрації нерекурсивним цифровим фільтром з імпульсною характеристикою, що є рядком матриці . Для алгебраїчних поліноміальних моделей сигналів такі фільтри відомі, як фільтри Савицького-Голея. Фільтри, що реалізують МНК зі сплайновими моделями називатимемо LSS (Least Squares Spline) фільтрами. Залишки отримаємо аналогічно попередньому з допомогою матриці - оператора ортогонального проектування на -ортогональне доповнення до підпростору в . Рядки матриці також можна розглядати, як коефіцієнти нерекурсивного фільтра верхніх частот, ортогонального до попереднього. На подібних властивостях перетворень: , ,, грунтуються wavelet розклади сигналів. Проте у wavelet методах мова йде про інтерполяційні схеми з різноманітними локальними базисами, а в даній роботі про оптимальні по МНК оцінки сигналів, або інакше про узагальнений Фур'є розклад у сплайнових базисах.

В роботі запропоновано метод розрахунку МНК для сплайнів з необмеженим числом фрагментів і фрагментами рівної ширини та з рівномірним розміщенням відліків кратно до вузлів сплайна. За таких умов матриця С визначатиметься чотирма ненульовими елементами. Вважаючи, що інверсна матриця має обмежене число ненульових діагоналей можемо записати добуток матриць необмеженої розмірності, що дорівнюють одиничній матриці необмеженої розмірності.

Звідси слідує система з m рівнянь, з допомогою котрої можна наближено знайти невідомі значення d₀,d₁,…,d_m-1,d_m.

Похибка наближеного методу обернення необмеженої матриці С становитиме 2M[c₃(d_m-2+d_m-1+d_m)+c₂(d_m-1+d_m)+c₁d_m], де М-максимально можливе значення елементів матриці В. Описаний метод наближеного обернення використано для отримання узагальненого перетворення Фур'є в локальних сплайнових базисах, та для приведення базису до лагранжевої форми. З його допомогою отримано також аналітичні оцінки ефективності МНК фільтрів для кубічного ермітового сплайна.

Розглянемо дискретний варіант узагальненого перетворення Фур'є в локальних сплайнових базисах. Сплайновий базис складається з відліків базисної сплайн-функції F_i, що містить чотири фрагменти, зміщеної пропорційно N на регулярній сітці H_ij=F_i. Наслідком цього сума всіх базисних функцій у певній точці сітки відліків є сумою з чотирьох фрагментів базисних сплайнів:

Індекс “j” є номером базисної функції, а індекс “i” є номером точки на відрізку сплайна, якому ця точка належить. Для сплайнових базисів, що розглядаються має місце , для |m-n|>3. Що є наслідком локальних властивостей. Хоча базис не є ортогональним, однак для нього характерна висока ефективність розрахунків.

Розглянемо розрахунок узагальнених коефіцієнтів Фур'є в отриманому базисі для залежності представленої відліками Q_i :

. Наслідком локальності базису є семидіагональна форма матриці А в рівняннях A*C=Q , де A - семидіагональна симетрична матриця; C - вектор-стовпець коефіцієнтів c; Q - вектор-стовпець з елементами q.

Елементи діагональної матриці розраховуються за формулами:

Оскільки базисні функції є зміщеними копіями, то номер фрагмента не має значення й індекс номера фрагмента сплайна у складових базисної функції c_j відсутній. Розрахуємо значення елементів правої частини рівняння

, .

Тут є відліками сигналу, який наближають. Індекс означає належність відліку до j-го фрагмента сплайна. Узагальнені коефіцієнти Фур'є знайдемо із системи рівнянь:

Якщо вважати нульовими значення інверсних елементів , для k>m, то коефіцієнти c_j визначатимуться за формулою: . Остання формула є ключовою для реалізації алгоритмів реального часу, для розрахунку узагальнених коефіцієнтів Фур'є по сплайнових базисах. Практично для більшості сплайнових базисів із точністю до 1% d_m можна вважати рівним нулю для m>3.

В роботі обгрунтовано вибір базисного сплайна з чотирма фрагментами. Традиційно, за аналогією з глобальними базисами, досліджують зростання порядку базисів. Якщо способом побудови базисів є згортка, то для довільних базисів низьких порядків процес сходиться до кривої Гауса. Це призводить до втрати базисом локальності і значного росту розрахунків. Тому для сплайнів досягають зменшення нев'язки наближення скорочуючи ширину фрагментів сплайна, а не збільшуючи порядок сплайна. Однак таке скорочення погіршує статистичні оцінки. Альтернативою є запропонований метод синтезу базисних сплайнів згорткою. Для забезпечення гладкості при мінімальному числі фрагментів і застосовується базисний сплайн з чотирма фрагментами.

В четвертому розділі досліджено основні шляхи побудови швидких алгоритмів сплайн-обробки даних, розроблено алгоритми та структурні схеми пристроїв для їх реалізації.

Розглянуто реалізацію сплайн-інтерполяційних фільтрів у вигляді поліфазних цифрових фільтрів з нерекурсивними цифровими фільтрами четвертого порядку у гілках. Загальна імпульсна характеристика такого фільтра є базисним сплайном. В таких конструкціях доцільно застосовувати ермітові базиси в лагранжевій формі, котрі не вимагають попередньої корекції вхідної послідовності. В роботі показано структурні схеми інших можливих реалізацій сплайн-інтерполяторів, з різними схемними затратами.

В розділі розглянуто конструкції фільтрів, що реалізують оцінку значень за МНК для сплайнових моделей - LSS фільтри. Різні варіанти їх реалізації відрізняються схемними затратами.

Структурною простотою відрізняється реалізація у вигляді нерекурсивного цифрового фільтра (по типу Савицького-Голея). Імпульсна характеристика фільтра вибирається як один з рядків (стовпців) проекційної матриці МНК, про що зазначалося вище. Рекомендується вибирати рядок, що відповідає вузловій точці. У цьому випадку імпульсна характеристика є симетричною, а амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) найбільш близька до АЧХ базисного сплайна. Це забезпечує лінійність фазової характеристики і простоту побудови. Така конструкція є найбільш простою, забезпечує мінімальну затримку і може застосовуватись для довільних схем розміщення вузлів та даних. Проте вона вимагає максимальних схемних затрат.

Інша конструкція випливає з розгляду МНК, як децимуючого фільтра. Їх також називать фільтрами з багаточастотною дискретизацією. Дані та вузли сплайна мають розміщуватись на регулярних сітках, при чому дані на фрагментах сплайна повинні розміщуватись однаково, по N точок на фрагмент. Основні обчислювальні витрати приходяться на розрахунок елементів матриці В. Обсяг розрахунків на кожний елемент не більше 4N операцій множення і 4N-1 додавання. В результаті перемноження рядка коваріаційної матриці і матриці В отримаємо оцінюваний параметр. Суть стиснення в тому, що на виході алгоритму отримуємо оцінки сплайна у вузлах. Таким чином стиснення рівняється числу даних на фрагменті сплайна. Значення у вхідних точках легко отримати шляхом інтерполяції. Для ермітового кубічного сплайна отримано прості розрахункові вирази. Складові базисної функції розраховуються згідно виразів:

h1_i=-(i³-(2N+3)i²+(N²+4N+3)i-N²-2N-1)/2N³,

h2_i=(3i³-(5N+9)i²+(10N+9)i-2N²-5N-3)/2N³,

h4_i=-(i³-(N+3)i²+(2N+3)i-N-1)/2N³,

h3_i=1- h1_i - h2_i - h4_i , i=1,…,N.

Ненульові елементи матриці C=X'X: c₀=(171N⁶+14N²+25)/210N⁵, c₁=(71N⁶-21N²-50)/560N⁵, c₂=-(N⁶-1)/28N⁵, c₃=(3N⁶+7N²-10)/1680N⁵.

Елементи інверсної матриці отримані наближеним методом дорівнюють:

g₀=3360*N⁵(192850731*N¹⁸ + 55913802*N¹⁴ + 115162185*N¹² + 3878203*N¹⁰ + 14380030*N⁸ + 12237164*N⁶ + 243285*N⁴ + 338100*N² + 132500)/Q;

g₁= -(5880*(19420479*N¹⁸ - 2218407*N¹⁴ - 8370390*N¹² - 936523*N¹⁰ - 3897820*N⁸ - 3646849*N⁶ - 118790*N⁴ -166700*N² - 65000))/Q;

g₂= (94080*(516906*N¹⁸ - 34383*N¹⁴ - 480300*N¹² + 7448*N¹⁰ - 100*N⁸ - 23671*N⁶ + 4900*N⁴ + 6700*N² + 2500))/Q;

g₃= - (6720*(2083527*N¹⁸ - 109221*N¹⁴ - 3790200*N¹² + 158711*N¹⁰ + 730100*N⁸ + 1005733*N⁶ - 29400*N⁴ - 36750*N² - 12500))/Q;

Q=495160052859*N²⁴ + 208167799644*N²⁰ + 432054656280*N¹⁸ + 23505750114*N¹⁶ + 87252201960*N¹⁴ + 73245219604*N¹² + 2902503240*N¹⁰ + 3923029579*N⁸ + 1433754520*N⁶ + 7438200*N⁴ + 4004000*N² + 550000.

Елемент, g₀ характеризує ефективність методу (зниження вхідної дисперсії) при заданій кількості спостережень на одному фрагменті сплайна. Залежність показана на рис.5. Результат практично співпадає з числовими розрахунками. При заданій ширині ненульових елементів кореляційної матриці (7 діагоналей) для оцінки у вузлі використовуються вхідні дані з 6 фрагментів сплайна. Отже загальна кількість даних, що враховуються при розрахунку оцінки становитиме 6*N. При оцінюванні загальної ефективності потрібно брати до уваги не лише зменшення дисперсії стохастичної складової у вхідних даних, але й динамічну похибку.

Верхня межа нев'язки інтерполяції кубічним ермітовим сплайном становить max(f⁽⁴⁾(t))h⁴/384, де f - детермінована основа вхідного процесу, h-ширина фрагмента. Отже в порівнянні з оцінюванням із використанням одного фрагмента - кубічного полінома отримаємо приблизно в 16 разів меншу динамічну похибку, для рівної кількості спостережень. Загальна схема розрахунків МНК у фільтрі зі стисненням показана на рис.6. Тут блоки з позначками h1,...,h4 виконують операції:, ... , , скалярного добутку базису і сигналу. На виході першого суматора отримуємо значення елементів матриці В, на виході другого оцінку сплайна у вузлі. Оцінки формуються з інтервалом в N (n=N на схемі) вхідних відліки. Вказана схема відрізняється простотою та мінімальними схемними та обчислювальними затратами. Для базисів відмінних від кубічного ермітового, значення коефіцієнтів розраховують за методикою описаною в третьому розділі для необмежених сплайнів.

Третім підходом до побудови швидких алгоритмів є застосування рекурентних формул. В роботі розглянуто різні варіанти алгоритмічної реалізації таких схем. Особливості розрахунків і ефективність алгоритмів грунтуються на локальних властивостях базисів. Результатом цього є значне спрощення розрахункових виразів. Автором, створено алгоритм рекурентного МНК (РМНК) для загального випадку з поступовим збільшенням числа оцінюваних параметрів. Також розглянуто найбільш ефективні варіанти РМНК. Зокрема класичний РМНК значно спрощено і для рівномірних сіток даних та вузлів побудовано структурну схему пристрою. Розроблено алгоритм для РМНК для сплайнової моделі з останнім фрагментом екстраполяції, що не містить даних. Алгоритм РМНК з початком наступного чергового фрагмента в останній точці даних і наступним заповненням чергового фрагмента.

В п'ятому розділі розглянуто алгоритми та схеми адаптивних сплайн-пристроїв обробки сигналів. Запропоновано метод частотно-часового розкладу сигналів у сплайнових базисах за методом найменших квадратів (LSS розклад). Позначимо базисний сплайн певного виду, що складається з чотирьох фрагментів як , де - зміщення базису відносно початкового (материнського) базисного сплайна, - масштабний коефіцієнт базису відносно базисного. Отже можна записати: , . Позначимо як оператор отримання оцінок МНК функції f(t) в системі вектора базисних функцій . Вектор оцінок (коефіцієнтів розкладу) в масштабі запишемо наступним чином: . Отримання сплайна позначимо оператором IN, що по своїй суті є оператором інтерполяції. Нагадаємо, що коефіцієнти розкладу для ермітових сплайнів є значеннями сплайна у вузлових точках, а для інших пропорційні цим точкам. Запишемо , звідки отримаємо залишки наближення (нев'язку МНК апроксимації) , або інакше . Позначимо окремим оператором RS процес отримання залишків від МНК наближення: . Очевидно, що . Тобто має місце реконструкція розкладу. Маємо два оператори розкладу сигналу f(t) на дві складові. Низькочастотну складову (тренд) , що має розмірність від двох до половини числа вхідних відліків. Високочастотну складову , розмірність якої завжди рівняється числу вхідних даних. Обидва оператори є лінійними і якщо знехтувати похибками розрахунків реконструкція є точною. Загальна схема етапу розкладу і реконструкції показана на рис.7. На рис.8 показано реалізацію розкладу із застосуванням децимуючого LSS фільтра з рис.2. Розклад названий LSS (Least Squares Spline) є поетапним, подібно до вейвлет розкладу. Але на відміну від нього починається з виділення області нижніх частот і подальшому розкладу підлягає високочастотна складова. Така схема дає можливість припинити розклад при виділенні інформативної низькочастотної складової.

МНК забезпечує оптимальність і статистичну стійкість коефіцієнтів (і картини) розкладу. На рис.9. показано вплив адитивного білого шуму на картину wavelet і LSS розкладів. Картина розкладу будувалася за прийнятою для wavelet схемою з нормуванням по рядках. В роботі показано аналітичний розклад ступінчатої функції в базисі кубічних В-сплайнів та кубічних ермітових сплайнів. Розроблено структурні схеми пристроїв LSS розкладу. Десятирозрядний пристрій реалізовано в MatLab Simulink в середовищі Altera DSP Builder.

Базові елементи розкладу: сплайн-апроксиматор та сплайн-інтерполятор працюють в цілочисельній арифметиці і потребують для реалізації відповідно 30-40 та 15-20 тисяч ветилів програмованої логічної матриці.

LSS розклад дозволяє отримувати оцінки достовірності коефіцієнтів (будувати довірчі інтервали) та перевіряти статистичні гіпотези. В роботі запропоновано здійснювати перевірку залишків на етапах розкладу на випадковість за допомогою непараметричних критеріїв (наприклад інверсій). Якщо гіпотезу про випадковість залишків не можна відкинути, то подальший розклад залишків припиняється. Оцінки достовірності отримуємо з евівалентної k-етапному розкладу МНК процедури з моделлю виду. LSS розклад зручно застосовувати при мінімумі апріорної інформації про сигнал, але його недоліком є значна затримка результату та велика розмірність коефіцієнтів розкладу. Якщо відомі (або їх можна визначити) частотні властивості сигналу то зручніше користуватися одноетапною процедурою з адаптацією базисного сплайна до частотних властивостей сигналу та шуму. В роботі розроблено ряд схем таких фільтрів із зворотнім зв'язком та без нього.

В схемах зі зворотнім зв'язком (рис.10) перевіряється випадковість залишків за допомогою критерія інверсій. Схема включає два канали.

Один канал є робочим (LSS filter), а інший вимірювальним (LSS filter 1). Вихідний сигнал фільтра вимірювального каналу вираховується із затриманого вхідного сигналу. Сформований сигнал залишків надходить до блока перевірки залишків на випадковість (INV1). Блок розраховує число інверсій r₁ і передає до блоку управління. Блок управління періодично робить спроби знизити верхню частоту базису, аж до появи детермінованої складової в залишках (завантажуючи параметри H_i у LSS фільтр вимірювального каналу). Успішність спроб дає підстави внести зміни в основний канал (змінивши параметри H).Розширення спектру сигналу виявляє блок INV0, який передає число інверсій r₀ в блок управління, що призводить до завантаження параметрів H для базису із більшою шириною спектру.

Створено також програмне забезпечення для демонстрації адаптивних можливостей сплайнів та програмної реалізації адаптивних алгоритмів.

В шостому розділі описано сплайн-технологію обробки сигналів, її складові та реалізацію. Основна частина алгоритмів реалізована у вигляді програм пакету MatLab. Ідея технології полягає у врахуванні при синтезі сплайнових базисів частотних характеристик сигналу (як мінімум верхньої частоти) та реалізації МНК алгоритмів та алгоритмів інтерполяції, що відповідають вимогам конкретної задачі. В розділі продемонстровано застосування розробленої технології для різних сигналів, як реальних так і синтезованих. Так показано і проаналізовано різні алгоритми фільтрації з відповідністю спектру базису сигналу та без такої відповідності. На рис.11,12 показано результат фільтрації сигналу близького до сигналів у георадарах.

Кубічний та експоненційний сплайнові базиси не здатні відтворити характер сигналу (рис.11). Узгоджений зі спектром сигналу сплайновий базис, утворений з фрагментів синусоїди, успішно справляється з цією задачею (рис.12). В обох випадках фільтрація виконана зі стисненням в 32 рази і наступною інтерполяцією до вхідної частоти.

Розглянуто застосування сплайнів в системі обробки даних електронних вимірювань у функціональній діагностиці (реографічні вимірювання в медицині). В процесі розробки виявилося три основні складності.

Необхідність високоякісного згладжування даних з незначними спотвореннями корисного сигналу;

Потреба у достатньо зручній та адекватній моделі корисного сигналу для подальшої обробки (диференціювання та аналізу);

Необхідність стиснення даних для подальшого зберігання.

Спроби вирішити ці задачі в рамках класичних підходів виявились безуспішними. Використання рекурсивних цифрових фільтрів виключалось через спотворення форми корисного сигналу. Нерекурсивні фільтри для задовільного згладжування потребували високих порядків і відповідно значних обчислень. Вибір прийнятної моделі для апроксимації реограми окрім складної форми ускладнювався значними обсягами даних та мінливістю форми. Безпосереднє диференціювання даних не вдавалося через наявність шумів. Використання аналогового диференціатора з комплекту поліграфа значно знижувало потенційну точність вимірювань. Перераховані задачі було вирішено застосуванням сплайн-функцій. Для фільтрації, апроксимації та стиснення даних був використаний LSS фільтр описаний в розділі 4. На рис.13 показано вхідні дані та результати фільтрації зі стисненням в 16 та 32 рази з наступною інтерполяцією. Операційні витрати склали 4 множення на відлік і 6 множень на кожні 16 (32) відліки при оцінюванні і 4 множення на відлік при інтерполяції. В системі реалізовано стиснення в 16 разів. Алгоритм реалізовано програмно на “С” в цілочисельній арифметиці. Програмний комплекс успішно експлуатується на комп'ютері з 286 процесором і тактовою частотою 16 МГц. Для порівняння на рис.14 показано результат аналогічної за характером wavelet фільтрації в сплайновому базисі. Виконано чотирьохетапний розклад з інтерполяцією низькочастотної складової з відкиданням високочастотних складових розкладу.

Показано застосування LSS розкладу для аналізу легеневих звуків. Вислуховування звуків дихання залишається золотим стандартом практичної медицини. Однак дистанційний контроль цих сигналів, не зважаючи на простоту реєстрації, складний, оскільки потребує передачі значної інформації. Автоматичне розпізнавання і діагностика легеневих звуків розвинені слабо. Сучасна концепція формування легеневих сигналів розглядає легені, як ФНЧ, що формує сигнал із шуму. Дослідження цих процесів здійснюється й в Україні (академік В.Т.Грінченко, Інститут гідромеханіки НАНУ). Міжнародна асоціація легеневих звуків (ILSA) склала класифікацію міжнародного еталона легеневих звуків (http://www.ilsa.cc). Для класифікації пробують застосовувати wavelet методи, але як показано вище, за наявності шумів картина розкладу є нестійкою. LSS розклад характерних легеневих звуків, з демонстраційної версії R.A.L.E.® View software показує, що отримані картини є стійкими і мають виразний вигляд, придатний для візуальної інтерпретації та друкування (документування). В роботі показано типовий вигляд LSS розкладу для нормального дихання, вологих хрипів (crackle) і сухих свистячих хрипів (wheeze). Наявність статистичної оцінки достовірності оцінок розкладу потенційно дозволяє вирішувати задачі автоматичного розпізнавання.

...