85

Размещено на http://www.allbest.ru/

Глава 1. Распространение помех

1.1 Природа электромагнитных влияний

электромагнитный гальванический сигнализация синфазный

Существенным при рассмотрении технико-экономических проблем электромагнитной совместимости является знание механизмов связи между источниками помех (индуктором) и чувствительным к помехам приемником (рецептором). Это позволит учесть деформацию помехи в процессе передачи и, в конечном счете, количественно оценить влияние помехи. В общем случае источник помех может воздействовать на приемник за счет:

1. Гальванической связи;

2. Электромагнитной связи.

Гальваническая связь возникает тогда, когда два электрических контура имеют общее сопротивление Z₀, будь то участок провода, сопротивление связи или двухполюсник иного вида (рис. 4.1).

Ток в контуре I (источник помехи) создает на общем сопротивлении Z₀ падение напряжения, которое в контуре II накладывается на полезный сигнал.

85

Размещено на http://www.allbest.ru/

Гальванические связи, применительно для электрических систем, условно можно разделить на связи в слаботочных цепях (устройствах релейной защиты и автоматики, устройств АСУ и т.д.), на связи в силовых цепях (связи по элементам электрической сети).

Электромагнитные связи подразделяются на емкостную связь (электростатические поля); индуктивную связь (магнитостатическое поле) и связь излучением (электромагнитные поля).

Кондуктивные помехи распространяются за счет гальванической связи между элементами сети (линии электропередач, ошиновки, обмотки статора генератора и т.д.). Кроме того, кондуктивные помехи могут распространяться за счет индуктивной связи (трансформация сигнала с первичной обмотки трансформатора на вторичную, с обмотки статора генератора в обмотку ротора и т.д.).

На рис. 4.2 приведена условная принципиальная схема связи источников помех с приемниками.

Рис. 4.2. Модель взаимодействия источника помех и приемника

1.2 Гальваническая связь

1.2.1 Влияние через цепи питания и сигнализации

Устройства релейной защиты, цепи АСДУ выполняются таким образом, что различные устройства имеют общие элементы в схемах питания, сигнализации и т.д. Эти связи могут оказывать отрицательное влияние на распространение полезного сигнала.

Гальваническое влияние помехи на распространение полезного сигнала в цепях питания и сигнализации показано на рис. 4.3.

В качестве примера показана схема питания постоянным напряжением логических модулей B₁-B_n, в которой изменение тока одного модуля (di/dt) генерирует напряжение помехи u_n из-за падения напряжения на элементах R и L, накладывающегося на напряжение питания u, а на рис. 4.3б - аналоговая схема, в которой при подключении нагрузки R_L возникает напряжение помехи на полном сопротивлении общего для двух сигнальных контуров участка системы опорного потенциала. Это напряжение накладывается непосредственно на входное напряжение операционного усилителя OУ1 и тем самым искажает входной сигнал второго усилителя OУ2.

Упрощенно в обоих случаях напряжение помехи равно

.

Для снижения гальванического влияния в соединительных проводах питания и сигнальных контурах рекомендуются следующие мероприятия: выполнение соединений между двумя или более контурами с возможно низким полным сопротивлением, особенно низкой индуктивностью.



Рис. 4.3. Примеры гальванических связей в цепях электропитания (а) и сигнальных контурах (б)

Для этого требуется по возможности меньшая длина общих линий, большое сечение проводников (особенно для проводников системы опорного потенциала, общей для многих контуров), малые расстояния между проводами цепей питания (расположение прямого и обратного проводов рядом друг с другом), выполнение системы опорного потенциала в печатных платах, жгутах, разъемах, соединений с корпусом, землей.

Гальваническая развязка, т.е. устранение совместных проводящих соединений между различными контурами, или же гальваническое разделение контуров таким образом, чтобы ток наиболее мощного контура не протекал по слаботочному контуру. Систему опорного потенциала, если это требуется, необходимо присоединять лишь к точкам заземления или к корпусу прибора. Целесообразно раздельно питать мощные электрические аналоговые устройства и дискретные функциональные элементы. Выбор скорости изменения тока брать не больше, чем требуется по условиям функционирования устройства.

1.2.2 Влияние по контурам заземления

На рисунке 4.4а показаны два прибора П₁ и П₂, пространственно разделенные друг от друга. Они могут находиться в одном или разных зданиях. По условиям техники безопасности корпусы приборов должны быть заземлены. Имеющийся контур полезного сигнала также заземляется в двух местах, у приборов. Между точками 1 и 2 может возникнуть разность потенциалов, обусловленная током в контуре заземления, например, током замыкания на землю или током молнии.

Эта разность потенциалов U₁₂ вызывает ток помехи I_П. На внутреннем сопротивлении входной цепи прибора Z_S возникает напряжение помехи U_st, наложенное на входной сигнал. При синусоидальной форме напряжения напряжение помехи рассчитывается (рис.4.4б):

.

Мероприятия по снижению влияния по цепям заземления заключаются в снижении разности потенциалов U₁₂ за счет уменьшения сопротивления между точками 1 и 2 (рис. 4.4б).

Влияния по контурам заземления энергетических объектов подробно рассмотрены в главе 3.

1.2.3 Противофазные и синфазные помехи

Основополагающими в технике ЭМС являются понятия - противофазные и синфазные помехи.

Противофазные помехи U_пф возникают между прямыми и обратными проводами электрических контуров или между входными зажимами, подверженных помехам систем. Токи противофазных помех I_пф имеют в прямом и обратном проводах то же направление, что и токи полезного сигнала. В симметричных электрических контурах (незаземленные цепи или цепи, у которых заземлена средняя точка (рис. 4.6а) противофазные помехи проявляются как симметричные напряжения, в несимметричных электрических контурах (односторонне заземленные контуры (рис. 4.5б) - как несимметричные напряжения.

Напряжения противофазных помех возникают чаще всего благодаря магнитной связи или вследствие преобразования синфазной помехи в противофазную. Они суммируются с полезным сигналом и вызывают погрешности измерений, сбои и т.д. Так, напряжение противофазной помехи U_пф вызывает в электрических контурах (рис.4.5) ток I_пф, который создает на полных сопротивлениях передатчика и приемника падения напряжения.

Рис. 4.5. Схемы распространения противофазных помех:

а - в симметричных электрических контурах;

б - в несимметричных электрических контурах

Справедливо уравнение

.

Напряжение помехи на приемнике определяется как

.

Если , действует на приемник как мешающее напряжение.

Синфазные помехи U_сф обусловлены источниками мешающих напряжений, которые появляются между отдельными сигнальными проводниками и массой, обладающей нулевым потенциалом, например, в форме кратковременного повышения потенциала земли (рис. 4.5б)

В симметричных электрических контурах синфазное напряжение возникает между электрической серединой цепи и массой с нулевым потенциалом и называется асимметричным напряжением. Прямой и обратный провода имеют одинаковое напряжение относительно земли.

В несимметричных электрических контурах синфазные напряжения возникают между отдельными проводниками и массой. Они называются в этом случае несимметричными напряжениями. Несимметричные напряжения прямых и обратных проводов отличаются на величину полезного сигнала.

Синфазные напряжения как таковые не вызывают мешающих напряжений, однако большие синфазные напряжения могут вести к пробоям между сигнальными проводами и корпусами приборов или массой, что, как правило, имеет следствием необратимые разрушения.

Рис. 4.6. Схемы распространения синфазных помех:

а - в симметричных электрических контурах;

б - в несимметричных электрических контурах

Рис. 4.7. Преобразования синфазной помехи в противофазную

Электрические цепи, изображенные на рис. 4.6, отображают отдельные случаи, которые с хорошим приближением справедливы только для цепи постоянного тока и цепей переменного тока низкой частоты. С растущей частотой становятся заметными сопротивления линии Z_л и особенно паразитные емкости С_пар (рис. 4.7).

Синфазное напряжение вызывает в параллельных прямом и обратном проводах токи одного и того же характера (синфазные токи), которые через паразитные емкости и землю могут возвращаться к источнику питания. При одинаковом сопротивлении прямого и обратного проводов (включая внутренние сопротивления передатчиков и приемников) и одинаковых паразитных емкостях С_{пар 1} и С_{пар 2} синфазные токи не только одинаково изменяются во времени, но и равны по значению, так что между зажимами приемника не возникает напряжения помехи.

Однако при различных сопротивлениях синфазное напряжение вызывает в прямых и обратных проводах различные по значению токи, которые создают на них падения напряжения. Прямой и обратный провода приобретают различные напряжения относительно земли, происходит преобразование синфазной помехи в противофазную. Неодинаковые сопротивления способствуют тому, что синфазное напряжение полностью или частично преобразуется в противофазное, которое является разностью напряжений прямого и обратного проводов относительно земли.

Применение второго закона Кирхгофа к контуру эквивалентной схемы, дает

,

Или

.

Мерой степени преобразования синфазной помехи в противофазную некоторой цепи является коэффициент преобразования синфазной помехи в противофазную, который представляет собой отношение результирующего напряжения противофазной помехи к синфазной помехе :

.

При полной конверсии он принимает значение 1, а в абсолютно симметричных системах - значение 0. Коэффициент преобразования синфазной помехи в противофазную можно легко определить путём измерений, удалив источник полезного сигнала и подав в коротко замкнутую со стороны входа систему синфазное напряжение (рис. 4.8).

Рис. 5.8. Измерение степени преобразования синфазной помехи в противофазную: а - у двойной симметричной линии; б - у дифференциального усилителя

Коэффициент преобразования синфазной помехи в противофазную соответствует синфазному усилению А_сф у операционных усилителей.

Целесообразным оказывается введение коэффициента синфазно-противофазного затухания, который определяется как логарифм обратной величины коэффициента преобразования.

.

Синфазно-противофазное затухание не следует путать с подавлением синфазного сигнала дифференциальных усилителей. Первое позволяет судить об абсолютном значении напряжения помехи, второе - об отношении сигнал-помеха.

Синфазные помехи часто обусловлены наличием контуров заземления в измерительной технике общего применения или технике измерения, управления и регулирования систем управления технологическими процессами. Пусть, например источник сигнала соединен коаксиальным кабелем с осциллографом (рис. 4.9). Корпусы обоих приборов заземлены через свои защитные контакты. Синфазное напряжение , индуктированное в контуре заземления или вызванное различными потенциалами земли, возбуждает ток как во внутреннем проводнике, так и в оболочке сигнального кабеля, причём тот и другая по отношению к источнику синфазного напряжения включены параллельно. Полные электрические сопротивления источника и приемника образуют для синфазного напряжения делитель, так что противофазное напряжение на сопротивлении приемника Z_пр понижается. Коэффициент преобразования синфазной помехи в противофазную цепи оказывается равным

.

Рис. 4.9. Схема подключения источника к осциллографу

При этом принято, что синфазное напряжение не замыкается накоротко через полное сопротивление оболочки кабеля.

В наиболее часто встречающемся случае синфазная помеха появляется на входе приемника в полном объёме как противофазная, при согласовании, например Z_и=Z_пр=50 Ом - ослабленной наполовину (сопротивлениями линии пренебрегаем).

Степень преобразования синфазной помехи в противофазную контура заземления можно уменьшить путём увеличения его сопротивления, вплоть до разрыва, посредством симметрирования полных сопротивлений прямого и обратного провода и применением защитных экранов.

1.3 Емкостное влияние

1.3.1 Понятие емкости

Два проводника, разделенные диэлектриком, представляют из себя емкость. Проводники называются обкладками. Если приложить к обкладкам напряжение U, то на обеих обкладках появятся равные по величине, но разные по знаку заряды . Если источник отсоединить от конденсатора, то заряды и напряжение сохранятся на обкладках. Если обкладки разделены совершенным диэлектриком, то заряды сохраняются длительно. При этом имеет место соотношение:

Q=CU. (4.1)

Накопленная энергия равна

. (4.2)

Таким образом, величина С характеризует способность тел накапливать энергию, когда к ним прикладывается напряжение. По формальным признакам иногда емкость определяют как коэффициент пропорциональности между зарядом и приложенным напряжением. Емкость измеряется в фарадах (Ф).

За 1 фарад принимается емкость конденсатора, у которого при разности потенциалов 1в на обкладках будут заряды в 1 кулон. Так как Фарад сам по себе очень велик, то часто емкость измеряют в микрофарадах.

1мкФ=10^-6Ф.

1.3.2 Потенциальные коэффициенты

В системе нескольких заряженных тел потенциал каждого тела определяется не только зарядом данного тела, но также и зарядами всех остальных тел. При этом потенциал является линейной функцией зарядов.

85

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если внести незаряженное проводящее тело А₂ в поле другого тела А₁, имеющего заряд q₁, то тело А₂ приобретает некоторый потенциал U₂' отличный от нуля. Если вносимое тело А₂ имеет ничтожно малые размеры (рис. 4.10), то можно пренебречь искажением поля, возникающим от появления на вносимом теле индуктированных зарядов. При этом тело А₂ приобретает потенциал, который был в точке его расположения до его внесения. При значительных размерах вносимого тела (рис. 4.11) поле искажается, и потенциал U₂' будет определяться как зарядом q₁ тела А₁, так и зарядами, индуктированными на теле А₂. Следовательно, U₂' зависит от формы поверхностей обоих тел и от взаимного их расположения. Если диэлектрическая проницаемость среды не зависит от напряженности поля, то потенциал U₂' изменяется пропорционально заряду q₁, так как в этом случае при изменении заряда q₁ распределение зарядов на поверхности тел и, соответственно, картина поля не изменяется. Итак, можно написать:

.

Связь между потенциалом U₂' тела А₁ и его зарядом можно выразить в аналогичной форме:

.

Следует подчеркнуть, что в общем случае коэффициент ₁₁ не равен величине 1/С₁, где С₁ - емкость тела А₁, определяемая в предположении, что все другие тела от него бесконечно удалены. Такое равенство приближенно имеет место только в том случае, когда вносимое тело А₁ весьма мало. Потенциал U₁ определяется как зарядом q₁, распределенным на поверхности тела А₁, так и зарядами, индуктированными на теле А₂ (рис. 4.11). Таким образом, коэффициент ₁₁ также как и коэффициент ₂₁, зависит от формы обоих тел и от их взаимного расположения.

85

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим определение потенциальных коэффициентов для систем параллельных длинных проводов. Длину проводов будем предполагать столь большой, что поле можно считать плоскопараллельным. Обычно диаметры проводов весьма малы по сравнению с расстоянием между их осями и с высотой их подвеса.

Для расчета потенциальных коэффициентов применим метод зеркальных отображений.

85

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчет поля заряженных проводников, расположенных вблизи плоских поверхностей, ограничивающих проводящую среду, сводится при помощи метода зеркальных изображении к расчету поля нескольких проводников при отсутствии проводящей среды.

85

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4.12. Схема для расчета поля одиночного провода

Рассмотрим поле прямолинейного провода, расположенного на расстоянии h от плоской поверхности проводящей среды (рис. 4.12). Это соответствует, например, проводу, подвешенному на высоте h над поверхностью земли. Все линии напряженности поля, начинающиеся на положительно заряженном проводе, заканчиваются у поверхности проводящей среды, где появляется индуцированный отрицательный заряд. Поле определяется как зарядом провода, так и всем зарядом, распределенным по поверхности проводящей среды, распределение индуцированного заряда из условий задачи не известно и также подлежит определению.

На первый взгляд задача расчета поля в такой системе кажется довольно сложной. Однако она решается весьма просто при помощи метода зеркальных изображений. Устраним мысленно проводящую среду и заменим ее проводом, являющимся зеркальным изображением реального провода в поверхности раздела и имеющим заряд той же величины, что и заряд реального провода, но противоположного знака (рис. 4.12) Действительный провод и его зеркальное изображение составляют двухпроводную линию. Плоскость, расположенная посередине между действительным проводом и его зеркальным изображением, является поверхностью равного потенциала. В действительных условиях поверхность проводящей среды как раз совпадает с этой плоскостью и также является поверхностью равного потенциала. Отсюда следует, что если заменить проводящую среду зеркальным изображением провода с изменением знака заряда, то в области над проводящей средой поле останется таким же, как и в действительных условиях. В этом и заключается метод зеркальных изображений.

Этот метод применим и при любом числе проводов, протянутых параллельно друг другу и параллельно плоской поверхности, ограничивающей проводящую среду. Каждый провод должен быть зеркально отражен в поверхности проводящей среды с изменением знака заряда, после чего проводящая среда может быть мысленно удалена и рассмотрено поле совокупности действительных проводов и их зеркальных изображений. В таком поле плоскость, расположенная на месте поверхности проводящей среды, является поверхностью равного потенциала, так как заряды противоположных знаков размещены симметрично относительно этой плоскости. Следовательно, найденное таким путем поле и будет действительным полем в области над поверхностью проводящей среды.

Для определения коэффициентов ₁₁, ₂₁, ₃₁, ..., _k1 достаточно принять q₁ 0, и q₂ =q₃ =...=q_n=0. При этом ни один провод не должен быть заземлен. Уравнения приобретают вид:

U₁ = ₁₁ q₁; U₂ =₂₁q₁; ... ; U_k =_k1 q₁;...

85

Размещено на http://www.allbest.ru/

Поле заряженного первого провода будет таким же, как и при одном проводе, протянутом над поверхностью земли (рис. 5.13), так как искажением поля вследствие существования других проводов можно пренебречь ввиду малости их сечений. При таком условии коэффициент ₁₁ является величиной, обратной емкости провода по отношению к земле. Следовательно,

и вообще

,

где R_k - радиус провода,

е - абсолютная диэлектрическая проницаемость.

Коэффициент ₂₁ нетрудно определить, если заметить, что незаряженные провода ввиду малости их сечений принимают в поле заряженного провода те потенциалы, которые получаются в местах их расположения и при отсутствии их. Найдем, пользуясь уравнением , потенциал на оси второго провода, определяемый зарядами первого провода и его зеркального отображения. Постоянная С₂ в данном случае равна нулю, так как для точек на поверхности земли расстояния r₁ и r₂ до провода и его зеркального изображения равны между собой и, кроме того, для этих точек U = 0.

Замечая, что для точки, лежащей на оси второго провода, необходимо принять r₁ = r₂₁ и r₂ = r_1'2 (рис. 4.13), получаем:

.

Следовательно,

.

Вообще будем иметь

.

Так как r_p'k = r_pk' , то _kp = _pk .

Умение рассчитывать потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции и частичные емкости весьма важно во многих практических задачах, например, при расчете параметров линии передачи со сложным расположением проводов, при выяснении вопроса о влиянии линии передачи высокого напряжения на расположенные рядом с ней линии связи и т.д.

1.3.3 Емкости нескольких заряженных тел

В системе нескольких заряженных тел потенциал каждого определяется не только зарядом данного тела, но также и зарядами всех остальных тел. При этом, если электрическая постоянная е₀ не зависит от напряженности электрического поля, то потенциал является линейной функцией зарядов. Воспользуемся системой уравнений, связывающих потенциалы тел и заряды q для системы n+m тел

, (4.3)

где - потенциальные коэффициенты.

Систему (4,3) сокращенно можно записать в матричном виде:

(4.4)

Коэффициент называется собственным потенциальным коэффициентом k-го тела, а коэффициент называют взаимным потенциальным коэффициентом тел I и k.

Выразим из системы уравнений (4.3) заряды q получим

. (4.5)

Систему (4.5) сокращенно можно записать в матричном виде

(4.6)

Коэффициенты называются коэффициентами электростатической индукции. Зная потенциальные коэффициенты , можно определить емкостные коэффициенты по формуле

(4.7)

Для дальнейшего расчета необходимо выразить заряд каждого провода не через потенциалы , а через разности потенциалов между проводами или между проводом и землей (потенциал земли, как известно, равен нулю):

,или

, (4.8)

где U_ii - разность потенциалов между i-ым фазным проводом и землей;

U_ij - разность потенциалов между i-ым и j-ым фазными проводами.

Коэффициенты C в этих уравнениях называются частичными ёмкостями. Собственные частичные ёмкости C_ii находятся по формуле

С_ii=. (4.9)

Взаимные частичные ёмкости C_ij определяются по формуле

C_ik=-_{ik .} (4.10)

1.3.4 Емкости двухпроводной линии

Рис. 5.14. Схема двухпроводной линии

Для двухпроводной линии имеем

U₁ = ₁₁ q₁ + ₁₂ q₂; U₂ = ₂₁ q₁ + ₂₂ q₂ .

Пусть заряды проводов равны по абсолютному значению и противоположны по знаку: q₂ = -q_1. Заменяя q₂ на -q_1, получаем

U₁ = (₁₁ - ₁₂ )q₁ ; U₁ = (₂₁ - ₂₂ )q_1.

Следовательно, искомая емкость равна:

. (4.11)

Определим емкость двухпроводной линии, провода которой подвешены на одинаковой высоте h от земли и на расстоянии D друг от друга (рис. 5.14). Радиусы проводов одинаковы и равны R.

;

.

Cледовательно,

_. (4.12)

Если высота подвеса h много больше расстояния между проводами D, то и

.

1.3.5 Емкости многопроводной линии

Все полученные выше соотношения, строго говоря, справедливы только для электростатического поля. Однако с большой степенью точности они могут быть использованы и при вычислении параметров линий электропередачи при промышленной частоте. Рассмотрим систему, состоящую из n разных проводов и m заземляющих тросов. По ранее полученным выражениям определяем потенциальные коэффициенты.

(4.13)

где - потенциальные коэффициенты [м / Ф] ;

_o - электрическая постоянная, равная Ф/м;

- относительная диэлектрическая проницаемость (для воздуха =1);

_э - эквивалентный радиус провода [м];

H-_kk - расстояние от k-го провода до своего зеркального изображения (м);

H_ik - расстояние от k-го провода до зеркального изображения i-го провода (м);

D_ik - расстояние между i-м и k-м проводами (м).

На реальных линиях электропередачи высота проводов над землей h изменяется вдоль пролета между опорами из-за провисания проводов. Поэтому следует в формулу (4.13) подставлять

, (4.14)

где - стрела провеса провода в пролете;

- высота подвески провода на опоре.

После составления системы уравнений (4.3), имеющей порядок n+m, целесообразно перейти к эквивалентной системе уравнений порядка n. При этом полученная математическая модель адекватно отображает линию электропередачи относительно внешней системы.

Если грозозащитный трос полностью изолирован (не только от земли, но и от других участков тросов), то практического влияния на параметры линии он не оказывает, так как располагается в эквипотенциальной поверхности в электрическом поле данного участка линии. Тогда емкости, определенные без учета троса, остаются справедливыми и при его наличии. В этом случае матрицы , , , описывающие параметры режима эквивалентной математической модели, получаются после вычеркивания строк и столбцов, относящихся к тросам, из матриц уравнения (4.4).

В практике расчетов потенциал заземленных хотя бы в одном месте тросов принимается равным нулю. Поэтому наличие тросов увеличивает собственную емкость фазы. Следовательно, для точных расчетов необходимо учитывать тросы.

Представим матрицу потенциальных коэффициентов реальной линии в виде составной матрицы:

, (4.15)

где -матрица собственных и взаимных потенциальных коэффициентов фазных проводов;

-матрица взаимных потенциальных коэффициентов фазных проводов и тросов;

-матрица собственных и взаимных потенциальных коэффициентов тросов.

Если потенциал троса равен нулю, то искомая матрица потенциальных коэффициентов находится по формуле

(4.16)

Выразим из системы уравнений (4.3) заряды q, получим

. (4.17)

Систему (4.17) сокращенно можно записать в виде

,

а в матричном виде

.

Далее анализ выполняем для трехфазной линии с фазами А, В, С без грозозащитных тросов.

Электрические заряды фаз А, В, С в соответствии с выражением (4.17) имеют вид:

. (4.18)

Выразим заряды фаз через разности напряжений между проводами и землей (потенциал земли будем принимать равным нулю).

, (4.19)

где , , -фазные напряжения, ,, , , , - соответствующие линейные напряжения.

Коэффициенты С в (4.19) называются коэффициентами электростатической индукции. Собственные частичные емкости С_ii находятся по формуле

Если линию принять симметричным элементом и расчет вести по среднегеометрическим параметрам, для чего в формулах (5.13) следует подставлять вместо реальных H_kk, H_ik, D_ik среднегеометрические значения, определяемые по выражениям

Тогда выражения (4.19) с учетом (4.20) (4.21) принимают вид

, (4.22)

где С_э = С_ф+3С_м - эквивалентная емкость одной фазы линии.

1.4 Электрическое поле

1.4.1 Точечный заряд

Поле, создаваемое электрическими зарядами, называется электрическим. Если заряды неподвижны, то поле называют электростатическим. Величина эклектического поля в какой-либо точке определяется силой, которую испытывает заряд, помещенный в эту точку. Сила, действующая на единицу точечного заряда, характеризует напряженность электрического поля.

, (4.23)

где q - точечный заряд, создающий поле;

R - расстояние от C заряда Q до точки с зарядом q;

I_R - единичный вектор, направленный от точки с зарядом Q до точки с зарядом q;

е_a - абсолютная диэлектрическая проницаемость.

Обозначим потенциал некоторой точки поля Е через ц.

Приращение потенциала между двумя бесконечно близкими точками равно

. (4.24)

Знак минус обозначает, что напряженность поля направлена в сторону убывания ц.

Потенциал любой точки поля равен

. (4.25)

Разность потенциалов между точками a и b равна

. (4.26)

Для точечного заряда, если принять, что при R > ? потенциал равен нулю, то

. (4.27)

Зная потенциал, можно найти напряженность электрического поля

E = - grad ц . (4.28)

Таким образом, задачу расчета напряженности электрического поля можно считать решенной, если потенциал ц определен как функция пространственных координат.

В частности, в декартовой системе координат:

;

;

.

Отсюда

(4.29)

1.4.2 Заряженный шар

Пусть заряд Q равномерно распределен по поверхности шара радиуса а. Необходимо найти напряженность электрического поля на расстоянии R. Среда однородная и изотопная с диэлектрической проницаемостью е.

Рис. 4.15. Заряд, равномерно распределенный в объеме шара

Начало сферической системы координат поместим в центре шаровой области. Проведем шаровую поверхность S радиуса R > a (рис. 4.15).

Поле обладает шаровой симметрией. Поэтому вектор электрического смещения D=еE имеет только радиальную проекцию. Для всех точек, имеющих одинаковое значение R, величина D будет одной и той же.

Целесообразно использовать теорему Гаусса:

. (4.30)

Суммарный заряд

, (4.31)

где с - объемная плотность заряда.

По теореме Гаусса

(5.32)

Откуда

(5.33)

Напряженность электрического поля

(5.34)

Поле вне области R = a получилось таким же, как и поле точечного заряда Q, расположенного в точке R = 0. Так как радиус R был выбран произвольно, то полученные формулы справедливы для всех значений R > a.

1.4.3 Заряженный цилиндр

Пусть металлический цилиндр круглого сечения находится в однородном диэлектрике с проницаемостью е.

Длина цилиндра L намного больше его радиуса а.

Цилиндр несет в себе положительный заряд Q. Требуется определить напряженность электрического поля Е и потенциал ц. Внутри цилиндра поля нет: Е=0. Все точки цилиндра имеют один и тот же потенциал. Вне цилиндра поле симметрично и плоскопараллельно. Изменение характера поля вблизи концов цилиндра можно не учитывать, т.е. считать его бесконечно длинным. Напряженность поля Е имеет одинаковые значения в точках, равноудаленных от оси цилиндра. Направление вектора Е нормально к оси. Проведя замкнутую поверхность S так, как показано на рис. 4.16, и применив теорему Гаусса, можно записать:

(4.35)

Или

(4.36)

где - поверхностная плотность заряда.



Рис. 4.16. Заряженный металлический цилиндр

Так как

, (4.37)

То

(4.38)

а (4.39)

Как видно из полученных формул, Е и ц меняется при изменении расстояния r от выбранной точки поля до оси цилиндра, а от радиуса цилиндра не зависит. Это обстоятельство позволяет при исследовании поля заменить металлический цилиндр конечного радиуса заряженной осью, совпадающей с осью проводника. Поле в области r ? a при такой замене останется без изменений, конечно, при условии, что заряд в обоих случаях один и тот же.

В отличие от поля цилиндра поле заряженной оси будет существовать во всем пространстве, причем, если линейную плотность заряда принять равной , то напряженность электрического поля заряженной оси будет равна:

. (4.40)

1.4.4 Однопроводная линия электропередач

Для упрощения расчетов считаем, что линия прямолинейна и горизонтальна. Под действием приложенного синусоидального напряжения линия длиной L получила заряд . По выражению находим линейную плотность заряда. Необходимо в точке М найти электрическое поле (рис. 4.17).

Выберем ортогональную систему координат (х у). Разместим начало координат в точке М. Для определения напряженности электрического поля Е воспользуемся методом зеркальных изображений, описанным в главе 4.

Под действием заряда провода создается поле

. (4.41)

Под действием заряда Q₃ зеркального изображения создается поле

. (4.42)

Результирующее поле Е равно

. (4.43)

Разложим вектора и на ортогональные составляющие

. (4.44)

Рис. 4.17. Схема расчета электрического поля однопроводной линии

С учетом (4.43) можно записать:

. (4.45)

Введем обозначения:

. (4.46)

Выражение (4.45) с учетом (4.46) принимает вид

(4.47)

Величина напряженности равна

(4.48)

где

Аргумент напряженности равен

(4.49)

Если подводимое напряжение равно U=U_Msin(щt+ц_U), то мгновенное значение напряженности Е равно

е = Е_т • sin(щt + ц_U + arg E). (4.50)

Следовательно, напряженность поля линейно поляризована.

1.4.5 Трехпроводная линия электропередач

Схема расположения проводов показана на рис. 4.18. Сечение проводов всех трех фаз одинаковое. Расположение проводов горизонтальное.

Рис. 4.18. Схема расчета электрического поля трехпроводной линии

Для определения поля в произвольной точке М воспользуемся методом суперпозиции: сначала определим составляющие поля от каждой фазы .

Результирующую напряженность поля находим геометрическим суммированием составляющих:

. (4.51)

Воспользовавшись анализом для однопроводной линии можно записать:

(4.52)

При симметрии напряжения на линии и , поэтому выражения (4.52) можно преобразовать:

, (4.53)

Где

(4.54)

В выражениях (4.53) - комплексная величина, изменяющаяся во времени по синусоидальному закону. - комплексные величины, постоянные, не изменяющиеся во времени.

Результирующее значение напряженности электрического поля равно:

,

где - соответственно активные и реактивные составляющие величин ;

;

при этом

(4.55)

где .

Введем обозначения

Система (4.55) преобразуется:

, (4.56)

Откуда

.

1.5 Индуктивное влияние

1.5.1 Магнитный поток, потокосцепление, индуктивность

Если электрические заряды равномерно движутся, то они создают магнитное поле. Основным свойством поля является его силовое взаимодействие с проводниками, с током. Для характеристики поля вводится векторная величина - магнитная индукция В. Измеряется магнитная индукция в теслах (Тл). Опытным путем установлено, что магнитная индукция вокруг линейного элемента dl с током I определяется выражением

(4.57)

где м₀ - магнитная постоянная, равная 4р•10^-7гн/м;

1_R - единичный вектор, направленный по кратчайшему расстоянию от оси провода до точки наблюдения;

R - расстояние от оси провода до точки наблюдения.

Если контур с током находится в каком-либо веществе, то величина магнитной индукции будет в м раз больше

 (4.58)

Безразмерная величина м называется магнитной проницаемостью. Произведение м•м₀ = м_а называется абсолютной магнитной проницаемостью.

Другим основным вектором магнитного поля является вектор напряженности Н, равный магнитной индукции В, деленной на абсолютную магнитную проницаемость.

.

Для линейного проводника с током

. (4.59)

Поток вектора магнитной индукции

(4.60)

Опытом установлено, что магнитный поток сквозь замкнутую поверхность равен нулю

.

Это равенство справедливо для любого объема. Следовательно,

divB = 0. (4.61)

Формула (4.61) выражает принцип направленности магнитного потока. Магнитное поле не имеет истоков.

Основным законом, характеризующим свойство магнитного поля, является закон полного тока

(4.62)

Так как

(4.63)

то получаем

(4.64)

где д - плотность тока.

Уравнения (4.62), (4.63) являются основными для расчета магнитных полей.

Потокосцепление - более сложное понятие, чем магнитный поток. Магнитный поток по определению связан с поверхностью (выражение (4.60). Потокосцепление связано с таким понятием, как контур. Пусть имеется одновитковый контур. Поток Ц пронизывает поверхность, ограниченную этим контуром. Если контур сделать многовитковым (w витков), то магнитный поток, сцепленный с w витков будет в w раз больше и его принято называть потокосцеплением Ш.

. (4.65)

С другой стороны, потокосцепление с током связано соотношением

(4.66)

где L - коэффициент пропорциональности, называемый собственной индуктивностью.

Магнитная энергия, накопленная контуром, равна

(4.67)

Индуктивность L - это свойство, зависящее от параметров объекта, магнитной проницаемости среды, окружающей объект и от магнитной проницаемости материала самого объекта. Индуктивность проявляется, когда протекает ток, и характеризует способность тела создавать потокосцепление, т.е. способность накапливать магнитную энергию.

При наличии двух контуров существует явление, когда протекает ток в первом контуре и создает потокосцепление Ш₁. Часть созданного магнитного потока Ш₂₁ сцепляется с контуром два. Величина потокосцепления Ш₂₁ определяется током I₁ в контуре 1 выражением

Ш₂₁= М •I₁, (4.68)

М - взаимная индуктивность, коэффициент пропорциональности в выражении (4.68).

М зависит от геометрических размеров обоих контуров, магнитной проницаемости обоих объектов и характеризует способность контура II накапливать магнитную энергию при протекании тока в контуре I.

1.5.2 Индуктивность однопроводной линии

Расчет индуктивности будем вести для петли «провод-земля». Для определения эквивалентной индуктивности петли воспользуемся материалами, приведенными в [14]. Поскольку параметры земли влияют одновременно и на индуктивность, и на активное сопротивление, поэтому рассмотрим определение полного погонного сопротивления петли «провод-земля».

где r_n - погонное активное сопротивление провода; f - частота тока в линии; с - эквивалентный радиус провода в предположении поверхностного распределения тока (при замене внутреннего магнитного поля внешним); г - удельная проводимость грунта.

Для стандартной частоты f = 50 Гц можно получить следующую формулу для определения полного погонного сопротивления эквивалентной двухпроводной линии

(4.69)

где D₃ - глубина прохождения эквивалентного тока земли при условии замены ее обратным проводом того же эквивалентного радиуса, м,

Для некоторых средних условий при г = 10^-4 1/(Ом•см) получается:

D₃ = 938м ? 10³м.

В случае сталеалюминиевых проводов обычно принимают

с = 0,95с_П,

где с_П - внешний радиус поперечного сечения провода (имеется в виду радиус описанной окружности).

Прохождение тока в земле связано с потерей активной мощности в ней, что вполне естественно, и наряду с достаточно большим индуктивным сопротивлением цепи обнаруживается некоторое дополнительное активное сопротивление (0,05 Ом/км) в выражении 4.69.

1.5.3 Индуктивность двухпроводной линии

При наличии двух проводов собственную индуктивность каждого провода отыскиваем по выражению (4.69). При наличии двух линейных проводов под взаимной индуктивностью понимается взаимоиндукция между двумя петлями «провод-земля». В этом случае в соответствии с [14] сопротивление взаимоиндукции между проводами ij определяется по выражению

(4.70)

где D_ij - расстояние между проводами.

Полное сопротивление взаимоиндукции для учета активных потерь при протекании в земле имеет активное сопротивление, равное 0,05 Ом/км.

. (4.71)

1.5.4 Индуктивность трёхпроводной линии

Рис. 4.19. Схема трехпроводной линии

Трехфазная линия электропередачи имеет провода фаз А, В, С. Как правило, сечения проводов фаз одинаковые. В общем случае провода фаз имеют разную высоту подвески (Н_А?Н_В?Н_С). Расстояния между фазами также различны (D_АB?D_ВC?D_AС).

Как и ранее собственную индуктивность будем понимать как индуктивность петли «провод-земля», а взаимную индуктивность между двумя проводами как взаимоиндукцию между двумя петлями «провод-земля». Поэтому для определения собственной и взаимной индуктивности воспользуемся выражениями (4.69) и (4.70).

Если токи в линии изменяются по синусоидальному закону, то можно воспользоваться символическим методом, и для падения напряжений в фазах АВС можно записать:

(4.72)

Выражения (4.72) можно упростить, если учесть что при одинаковом сечении линейных проводов L_А?L_В?L_С?L. Для инженерных расчетов как правило определение взаимных индуктивностей ведут по среднегеометрическим междуфазовым расстояниям

При этом получаем

М_АВ = М_ВС = М_СА = М.

При симметричной загрузке линии имеют место соотношения

.

При этом выражения (4.72) примут вид

(4.73)

где L_Э = L - М - эквивалентная индуктивность одного фиктивного линейного провода.

Значения L, м находятся из выражений (4.69), (4.70).

Из [14] следует, что магнитный поток Ш_АУ, сцепленный с одновитковым контуром фаза А линии «земля» равен

(4.74)

Таким образом полное потокосцепление фазы А определяется собственным током контура (I_A) и его индуктивностью L_A, токами в соседних фазах В, С и их взаимной индуктивностью М_АВ, М_АС. Аналогично можно получить полные потокосцепления фаз В и С. Далее потокосцепления фаз могут быть использованы для расчета магнитных полей.

Для нахождения суммарного потокосцепления можно воспользоваться выражениями (4.73), где принимается, что суммарное потокосцепление каждой петли «фаза-земля» создается только током соответствующей петли с эквивалентной индуктивностью L_Э.

Для фазы А имеем

. (4.75)

При этом имеют место очевидные соотношения

. (4.76)

1.6. Магнитное поле

1.6.1 Цилиндрический провод

Расчет магнитного поля чаще всего сводится к определению вектора напряженности Н. Основным законом, характеризующим свойства магнитного поля, является закон полного тока.

.

Рассмотрим случай по определению магнитного поля цилиндрического провода (рис.4.20).



Рис. 4.20. Схема цилиндрического провода

По прямому цилиндрическому проводу круглого сечения протекает ток I. Радиус провода a. Требуется определить напряженность магнитного поля внутри и вне провода, считая его уединенным и бесконечно длинным.

В силу симметрии линии вектора Н являются окружностями, плоскости которых перпендикулярны к оси провода. Центры этих окружностей лежат на оси цилиндра. На одинаковых расстояниях от оси цилиндра численное значение вектора Н одно и то же.

Рассмотрим линию вектора Н внутри провода. Циркуляция Н_вн по этой линии равна охваченному току:

.(4.77)

Так как Н_вн вдоль контура интегрирования имеет одинаковое численное значение и направлена по касательной к линии L, то

.

Приравняв циркуляцию и полный ток, получим:

. (4.78)

На поверхности проводника напряженность поля имеет наибольшее значение.

Если контур интегрирования L провести вдоль линии вектора H вне провода, циркуляция Н_вш равна току в проводе:

.

Следовательно,

. (4.79)

Выражения (4.78), (4.79) позволяют определить напряженность магнитного поля в любой точке пространства как внутри провода так и вне его.

1.6.2 Двухпроводная линия

Геометрические размеры двухпроводной линии указаны на рис.5.21.



Рис. 4.21. Схема двухпроводной линии

Провода параллельны и расстояние между их осями d. Радиусы проводов одинаковы и равны a (рис.4.21). Магнитный поток, сцепленный с линией на участке длиной l, можно записать в виде суммы трех потоков Ф = Ф₅₆₇₈₅ + Ф₁₂₅₈₁ + Ф₆₃₄₇₆. Первое слагаемое представляет собой внешний магнитный поток

Ф₅₆₇₈₅ = Ф_вш.

Слагаемые Ф₁₂₅₈₁ и Ф₆₃₄₇₆ являются соответственно внутренними потоками первого и второго проводов. Так как провода одинаковы, то можно принять:

Ф₁₂₅₈₁ = Ф₆₃₄₇₆ = Ф_вн.

Для определения напряженностей магнитного поля воспользуемся законом полного тока (выражение 4.62).

Так как Н_вн вдоль контура интегрирования имеет одинаковое численное значение, можно записать:

,

приравняв циркуляцию полному току, имеем:

. (4.80)

Если контур интегрирования L провести вне провода на расстоянии х, то получим

,

Откуда

. (4.81)

Зная напряженности поля, можно определить потоки по выражению

.

Для внешнего потока:

Если выбрать направление обхода контура по линии 56785, а токи в проводах направить так, как показано на рис .4.21, векторы В_вш и dS совпадут по направлению и внешний магнитный поток:

.

Так как Ф_вш сцеплен с током I один раз, то потокосцепление ш_вш будет равно потоку Ф_вш:

,

отсюда:

.

Удельная индуктивность:

(4.82)

Внутренний магнитный поток и потокосцепление, если не учитывать наличие второго провода, можно определить из выражений:

;

.

Так как линия двухпроводная, то

.

Соответственно

,

Откуда

,

удельная индуктивность

. (4.83)

Как следует из (4.83), внутренняя индуктивность зависит только от материала провода.

Общее потокосцепление равно сумме внутреннего и внешнего

ш_? = ш_вш + ш_вн.

Зная общее потокосцепление, можно определить эквивалентную индуктивность двухпроводной линии:

(4.84)

Для проводов из неферромагнитного материала магнитная проницаемость м может быть принята равной единице.

...