Обычно в линии расстояние d>>a. Поэтому и величина >>1. Положив и отбросив второе слагаемое в выражении индуктивности, находим:

.

После замены натурального логарифма десятичным и учитывая, что гн/м, получим выражение индуктивности на единицу длины линии:

, гн/м. (4.85)

1.6.3 Трехпроводная линия

Расчет результирующего магнитного поля будем производить по принципу суперпозиции, путем суммирования полей от отдельных проводов. Для построения упрощенной модели принимаем, что провода прямолинейны и горизонтальны. Схема расположения проводов показана на рис. 4.22.



Рис. 4.22. Схема расчета магнитного поля трехпроводной линии

Пусть по линии протекает трехфазный симметричный ток Э_А, Э_В, Э_С.

Сначала в точке М найдем магнитное поле и его составляющие по осям х, у, соответственно , .

На расстоянии r_A от центра провода фазы А величина напряженности равна:

.

В соответствии с рис.4.22

.

Аналогично для фаз В и С:

.

Результирующие проекции на оси X, Y равны:

(4.86)

С учетом ; ; ; , где i - А, В, С,

получаем:

(4.87)

Обозначим:

. (4.88)

Получаем:

(4.89)

Откуда результирующая напряженность магнитного поля в точке М равна

.

, (4.90)

где Н_а = Н_ха + Н_уа,

Н_р = Н_хр + Н_ур.

1.7 Электромагнитное излучение

1.7.1 Математическое описание

Электромагнитное поле возникает, когда происходят изменения электрического заряда во времени или в пространстве. Электромагнитное поле является особым видом материи, носителем определенного количества энергии в объеме V

, (4.91)

и, как следствие, носителем определенной массы

 (4.92)

Для математического описания процессов, происходящих в электромагнитном поле, воспользуемся уравнениями Максвелла.

Полная система уравнений электромагнитного поля для сред с постоянными параметрами е_а=ее₀=const, м_а=мм₀=const, V=const имеет вид:

(4.93) (4.94)

Физический смысл основных уравнений электромагнитного поля заключается в том, что магнитное поле всегда вихревое и возбуждается оно как движущимися зарядами, так и изменяющимся во времени электрическим полем. Электрическое поле может быть вихревым (в этом случае оно возбуждается изменяющимся во времени магнитным полем) и безвихревым (если оно возбуждается постоянным во времени электрическими зарядами).

Электрическое и магнитное поля связаны непрерывным взаимным превращением и представляют собой различные проявления единого электромагнитного процесса, который находится в движении и имеет с собой запас электромагнитной энергии.

Энергия поля в объеме V равна

. (4.95)

Происходит непрерывное изменение энергии, скорость её изменения равна

. (4.96)

В (4.96) обозначим векторное произведение

, (4.97)

где - вектор Пойнтинга, измеряется в ваттах на квадратный метр (вт/м²).

Если учесть, что

(4.98)

Выражение (4.98) носит название теоремы Умова-Пойнтинга: поток вектора П через замкнутую поверхность S равен сумме двух мощностей Р_тепл. и Р_эм., где

- тепловые потери внутри объема v.

- изменение энергии электромагнитного поля в объеме.

Если векторы H и E изменяются по синусоидальному закону, то можно записать: мгновенные значения напряженностей ?, h в виде:

(4.99)(4.100)

Тогда вектор Пойнтинга в комплексном виде равен

 (4.101)

- сопряженное значение комплексной амплитуды напряженности магнитного поля.

. (4.102)

Мощность тепловых потерь Р_тепл всегда положительна. Р_эм (реактивная мощность в объеме) в зависимости от изменения электромагнитного поля может быть и положительной, и отрицательной. При Р_эм>0 идет увеличение электромагнитной энергии в объеме V. При Р_эм<0 идет уменьшение электромагнитной энергии, т.е. энергия выбрасывается во внешнее пространство.

1.7.2 Поле вибратора

Принципиальная схема вибратора приведена на рис. 4.23.

Рис. 4.23. Принципиальная схема вибратора

Анализ выполним в сферической системе координат для случая синусоидальных величин (рис. 4.24).

Задача считается решенной, если при заданном токе I, известных параметрах вибратора и окружающей среды найдены значения в произвольной точке Р(х,у).

Рис. 4.24. Составляющие напряженностей в сферической системе координат

Решение уравнений Максвелла дает следующие выражения для векторов напряженностей поля, показанных на рис. 4.24:

(4.103)

(4.104)

(4.105)

где I_m - амплитудное значение переменного тока; l - максимальное расстояние между зарядами диполя; Z₀ - волновое сопротивление вакуума (в дальнейшем принято , где с - скорость света в вакууме. Множитель описывает угол фазового сдвига.

Приведенные выше уравнения не наглядны, однако они легко интерпретируются, если ограничиться двумя предельными случаями - дальней и ближней зонами.

Дальняя зона. При условии r >>л/2р можно в (4.103) - (4.105) учесть только члены с большими показателями степеней, и уравнения упрощаются:

(4.106)

(4.107)

(4.108)

Из-за разного показателя степени у r составляющей можно пренебречь по сравнению с , так что окончательно останутся только векторы и .

Ближняя зона. В непосредственной близости от антенны (r << л/2р) и второй, и третий члены в (4.103) - (4.105) существенно меньше единицы, и выражения (4.103) - (4.105) упрощаются:

(4.109)

(4.110)

 (4.111)

В качестве характеристики поля для «дальней зоны» рассмотрим отношение

(4.112)

Сопротивление Z_0Е является емкостным и при r << л/2р

При этом говорят о высокоомном поле, понимая под этим электрическое поле вблизи штыревой антенны. Удельная энергия в ближней зоне имеет преобладающую электрическую природу, т.е.

(4.113)

Полученные выражения (4.106) - (4.108) представляют собой уравнения бегущих волн; так как эквифазные поверхности представляют собой сферы, то волны называются сферическими. Дальнюю зону называют также волновой зоной. Скорость распространения волны равна

,

т.е. скорости распространения электромагнитной волны в пустоте. По мере удаления от вибратора, амплитуды волны убывают обратно пропорционально первой степени расстояния r.

В качестве характеристики электромагнитной волны найдем отношение

^.

Волновое сопротивление Z_в - величина чисто активная. Величина вектора Пойнтинга остается все время положительной. Энергия, движущаяся вместе с волной от источника в сторону возрастающих R представляет собой энергию излучения. Причем в любом объеме V энергии электрического и магнитного полей равны между собой.

Так как для воздуха проводимость г=0 и тепловые потери отсутствуют, мощность излучения равна потоку вектора Пойнтинга. Мгновенное значение мощности излучения равно

. (4.114)

Среднее значение мощности за период

. (4.115)

Мощность излучения пропорциональна квадрату частоты

Для воздуха

. (4.116)

При прочих равных условиях, чтобы увеличить амплитуды векторов поля в n раз, надо увеличить мощность излучения в n² раз.

1.7.3 Поле рамочной антенны

Принципиальная схема рамочной антенны (магнитного диполя) показана на рис. 4.25. Антенна представляет собой плоский круглый виток радиуса а.

Анализ выполним в сферической системе координат, для случая синусоидального тока в рамке. Для этого воспользуемся имеющимися решениями уравнений Максвелла, приведенными в [61].

Рис. 4.25. Принципиальная схема рамочной антенны

Составляющие векторов , имеют вид

, (4.117)

где - коэффициент, характеризующий длину волны;

S - сечение рамки.

Как и для диполя анализ выполним для ближней и дальней зон.

Ближняя зона характеризуется (но R >> a). Учитывая, что , выражения (4.117) упрощаются:

(4.118)

Как и ранее для характеристики поля используем отношение с учетом (4.117).

Сопротивление в ближней зоне носит индуктивный характер по величине

Z_0H << Z₀.

При этом говорят о низкоомном поле, понимая под этим магнитное поле вблизи рамочной антенны. Удельная энергия в ближней зоне имеет в основном магнитную природу, т.е.

.

Дальняя зона характеризуется kr >> 1. Упростив выражения (4.117), получаем:

. (4.119)

Находим

Волновое сопротивление в дальней зоне чисто активное, равное Z₀ = 377 Ом, также как и для диполя.

Изменение волнового сопротивления в зависимости от относительного расстояния от источника для диполя и рамочной антенны.

Рис. 4.26. Изменение волнового сопротивления диполя в зависимости от относительного расстояния от источника поля :

1 - ближняя зона; 2 - переходная область; 3 - дальняя зона; 4 -- высокоомное электрическое поле; 5 - низкоомное магнитное поле; 6 - электромагнитное волновое поле

С увеличением расстояния от штыревой антенны значение волнового сопротивления уменьшается со скоростью 20 дБ/декада от больших до малых значений и на большом расстоянии асимптотически приближается к значению волнового сопротивления вакуума. Волновое сопротивление рамочной антенны наоборот сначала увеличивается со скоростью 20 дБ за декаду и затем также асимптотически приближается к волновому сопротивлению вакуума (рис. 4.26).

1.8 Кондуктивные помехи

1.8.1 Расчет электрических режимов

Управление режимами ЭЭС осуществляется с целью выполнения трех основных требований: экономичности, надежности работы энергосистемы и обеспечения нормативного качества электроэнергии (КЭ). При этом прежде всего отклонение напряжения, несимметрия и несинусоидальность напряжения. Нормы КЭ, установленные ГОСТом 13109-97, одновременно являются уровнями ЭМС для кондуктивных помех. Определение показателей качества электроэнергии (ПКЭ) осуществляется на стадии краткосрочного и долгосрочного планирования режимов в ЭЭС. Для этого используются различные методы расчета установившихся режимов, несимметричных и несинусоидальных режимов.

В настоящее время наибольшее распространение получили методы расчета режимов в симметричных координатах. Однако при расчете сложных режимов в ЭЭС определенное преимущество имеет метод фазных координат (ФК), которому в современной учебной литературе уделяется недостаточное внимание, поэтому в данном пособии дается достаточно подробное описание расчета режимов в ФК.

1.8.2 Метод фазных координат

Определение параметров элементов электрической сети

Расчет трехфазных электрических цепей в ФК в полных токах и напряжениях является предпочтительным, так как из расчета сразу получаются фактические значения параметров режима (токи, напряжения) и легко понимается и контролируется физика протекания процессов в рассчитываемых цепях [14,16,17]. Тем не менее, расчет в ФК получил распространение только в последние 15-20 лет. Интерес к ФК определяется двумя факторами: во-первых, ростом количества задач, где алгоритм решения задачи проще, чем в симметричных координатах, во-вторых, широким использованием современных ЭВМ для решения задач энергетики.

Для расчета в ФК требуется трехфазное моделирование элементов электрической сети, данные по которым в справочной литературе, как правило, отсутствуют. Ниже излагается методика нахождения параметров в ФК по параметрам симметричных координат (СК).

Для определения параметров в ФК по параметрам СК воспользуемся известными соотношениями [11, 14]:

, (4.120)

, (4.121)

где , - соответственно напряжение и ток в ФК;

, - то же в СК;

S - матрица преобразования СК в ФК.

Расчет любого режима заключается в составлении систем уравнении состояния трехфазных электрических цепей, решении системы уравнений и нахождении параметров режима [50]_.

Для составления уравнений состояния сети на всех этапах развития электроэнергетики широко использовались системы уравнений, выражающие первый и второй законы Кирхгофа, уравнения узловых напряжений, контурных токов и т. д.

Обобщенное уравнение состояния описывается матричным уравнением

где - блочная матрица пассивных параметров схемы замещения;

М - первая матрица инциденций;

N - вторая матрица инциденций;

Z_b - матрица сопротивления ветвей;

- блочная матрица активных параметров схемы;

J - матрица задающих токов в узлах;

Е_к - матрица контурных ЭДС.

Матрица А является квадратной и при обычных условиях неособенной, поэтому полученные уравнения состояния можно решить относительно матрицы токов ветвей:

.

Выбор наиболее целесообразной формы записи уравнений состояний определяется заданными активными параметрами сети, а также возможностями вычислительных средств, которыми располагаем.

Для схем с взаимоиндукциями между ветвями, когда активными параметрами сети являются ЭДС в ветвях, в качестве искомых целесообразно выбирать контурные токи.

Для цепей, где взаимоиндукция между ветвями отсутствует, а активными параметрами являются задающие токи в узлах, предпочтительным является метод узловых потенциалов.

Ниже дается подробное изложение расчета в ФК методом контурных токов и узловых напряжений.

Матрица S имеет вид

,(4.122)

где , - операторы поворота вектора.

Умножение вектора на а означает поворот этого вектора на против часовой стрелки. Умножение на а² - поворот на по часовой стрелке.

Падение напряжения в ФК на элементе электрической сети имеет вид

(4.123)

Выразим напряжения и ток через симметричные составляющие с учетом (4.120), (4.121):

.

После преобразования получим

 (4.124)

В выражении (4.124) величина в скобках есть коэффициент пропорциональности между и , следовательно,

(4.125)

Выражение (4.125) позволяет найти сопротивления в СК, если известны параметры в ФК. Из (4.125) можно получить

. (4.126)

Генераторы

Трехфазная обмотка генератора соединяется в звезду или треугольник. Для примера рассмотрим случай соединения обмоток в звезду с заземленной нейтралью.

В нормальном режиме синхронный генератор является источником ЭДС прямой последовательности Е₁. При этом ЭДС фаз равны по модулю и сдвинуты друг относительно друга на угол : . Сопротивление генератора в ФК, полученное по выражению (4.126), характеризуется матрицей

.

Обычно в справочной литературе отсутствуют значения элементов матрицы (). Для генератора даются сопротивления ,. При расчете установившихся режимов принимаем , а для расчета токов кз при отсутствии демпферной обмотки и при наличии демпферной обмотки.

Сопротивление обратной последовательности и сопротивление нулевой последовательности приводятся непосредственно в виде справочных данных генератора.

Если обмотка генератора собрана в треугольник или звезду с изолированной нейтралью, сопротивление . При отсутствии значения в каталоге справочной литературы в соответствии с рекомендациями [63]:

.

Для упрощенных расчетов можно принимать .

В симметричных координатах

,

.

В соответствии с (4.120), (4.126)

, (4.127)

(4.128)

Линии электропередач

Нетранспонированные линии электропередач или линии с неполным циклом транспозиции обладают пофазно различными сопротивлениями. Поэтому при расчете в ФК необходимо иметь полную матрицу сопротивлений линий электропередач с учетом собственных и взаимных сопротивлений фаз.

Рассмотрим определение элементов матрицы одиночной линии без троса.

Принято считать, что собственная индуктивность фазы является индуктивностью «провод-земля». При этом согласно [50] можно пользоваться формулой

, (4.129)

где R_n - активное сопротивление провода на частоте 50 Гц;

величина 0,05 учитывает потери активной мощности при прохождении тока в земле;

- глубина прохождения эквивалентного тока через землю;

- эквивалентный радиус провода, м.

Взаимная индуктивность между двумя проводами ij линии электропередачи определяется выражением

(4.130)

где D_ij - расстояние между проводами фаз i, j, м.

Если при расчете линию электропередачи можно считать симметричным элементом, то в СК

,

Где

, (4.131)

, (4.132)

- среднегеометрические расстояния между проводами линии электропередачи.

При этом

,

.

Трансформаторы

Трансформаторы являются одними из наиболее распространенных элементов электрической сети. Выполняются трансформаторы трехстержневыми или собираются из группы однофазных трансформаторов. Для большинства практических расчетов схемы замещения этих трансформаторов одинаковы, поэтому в дальнейшем будем анализировать только трансформаторы, собранные из группы однофазных трансформаторов, а полученные результаты распространять и на трехстержневые трансформаторы. Наибольшее распространение получили схемы соединения обмоток силовых трансформаторов «звезда» и «треугольник». Поэтому в дальнейшем будем анализировать эти схемы соединения.

Рассмотрим сначала однофазный трансформатор (рис. 4.27).

Рис. 4.27. Схема замещения однофазного трансформатора

С учетом принятых на рис.4.27 положительных направлений токов и напряжений можно записать:

, (4.133)

где .

Если систему уравнений (4.133) записать в матричном виде, то получим

, (4.134)

где , , .

Для трехфазного трансформатора со схемой соединения «звезда с заземленной нейтралью - звезда с заземленной нейтралью» с учетом обозначений (рис. 4.28)

или в матричном виде

, (4.135)

Рис. 4.28. Схема трехфазного трансформатора

где блочные матрицы соответственно равны:

, , , ,

, , .

Для трансформаторов в качестве паспортных данных задаются:

S_ном - номинальная мощность в МВА;

U_номВ, U_номН - номинальные напряжения обмоток высокой и низкой сторон трансформатора;

I_хх % - ток холостого хода в процентах от номинального тока;

U_к % - напряжение короткого замыкания в процентах от номинального;

Р_к - потери короткого замыкания.

По этим данным можно определить все параметры для расчета в ФК.

Для практических расчетов активной составляющей сопротивления ветвями намагничивания можно пренебречь, тогда

.

Для двухобмоточного трансформатора его реактивное сопротивление складывается из реактивного сопротивления (потоков рассеяния) обмоток высокого и низкого напряжения. Для практических расчетов коэффициенты рассеяния обмоток высокого и низкого напряжения можно принять одинаковыми. Тогда

.

Сопротивление обмоток в омах определяется по выражению

.

Активные сопротивления обмоток, приведенные к одной ступени напряжения, также можно принять одинаковыми, т.е.

.

Тогда сопротивления обмоток трансформатора будут

(4.136)

Сопротивление приведено к стороне низкого напряжения. Сопротивление приведено к стороне высокого напряжения.

Метод контурных токов

Контурные уравнения составляются на основе второго закона Кирхгофа. Количество таких уравнений равно числу независимых контуров. Вводя понятие контурных токов, мы снижаем порядок решаемой системы уравнений до значения k=m-n+1, где m - число ветвей, n - число узлов, k - число контуров [14]. По вычисленным контурным токам находим токи в ветвях.

На рис. 4.29 в виде примера показана двухконтурная электрическая цепь, в которой действуют ЭДС , . Выбираем направление контурных токов , . На основании второго закона Кирхгофа можно записать: для первого и второго контуров соответственно

. (4.137)

Сумму комплексных сопротивлений, входящих в каждый контур, будем называть собственным сопротивлением контура. Для первого и второго контуров имеем

Комплексное сопротивление, принадлежащее одновременно двум контурам, назовем общим сопротивлением. Для рассматриваемого случая

.

Сопротивление берется со знаком минус, так как контурные токи в сопротивлении направлены встречно.



Рис. 4.29. Двухконтурная схема

Решение системы (4.137) позволяет найти контурные токи , . По значению контурных токов находятся токи в ветвях:

,

,

.

Составление контурных уравнений для цепей без взаимоиндукции между ветвями подробно описано в [14] и проблем при составлении уравнений не возникает. Однако необходимо иметь в виду, что если ветви ij связаны взаимоиндукцией, то напряжение на ветви i складывается из падения напряжения из тока I_{i ,} протекающего по ветви i, и из наведенного напряжения в ветви i из тока в ветви j. Причем при обходе контура необходимо строго придерживаться следующих правил:

У всех ветвей, связанных взаимоиндукцией, должны быть указаны начала и концы их обмоток, т.е. однополярные выводы.

Если ветви i, j связаны взаимоиндукцией и токи , направлены одинаково, то падения напряжений в ветви i от собственного тока и тока совпадают.

Эти правила являются не очень сложными, однако при их реализации встречаются определенные трудности. Например, однополярные концы со взаимоиндукцией не указываются и не даются правила их определения.

При соединении обмоток электрических машин (статора генератора, трансформатора) в звезду в общую точку собираются однополярные концы.

Обмотки силовых трансформаторов имеют маркировку, по которой можно определить полярность обмоток:

Фаза АА - Ха - хА, а - однополярные концы;

Фаза BB - Yв - уВ, в - однополярные концы;

Фаза CС - Zc - zС, с - однополярные концы.

Разные фазы линии электропередач представляют собой одновитковые катушки, связанные взаимной индуктивностью.

Очевидно, что однополярными концами являются разные фазы, подключенные к одним шинам, т.е. все провода линии, включая и трос, с одного конца являются однополярными.

Особо рассмотрим случай, когда имеются трансформаторные связи, т.е. когда ветви со взаимоиндукцией имеют разное число витков. В этом случае решение задачи может идти двумя путями. Первый, наиболее простой путь, когда все параметры трансформатора и элементов, соединенных с ним, приведены к одной ступени напряжения и обмотки трансформатора рассматриваются как обычные ветви со взаимоиндукцией. Второй путь, когда сопротивления приведены к своей ступени напряжения. В этом случае необходимо помимо уравнений контурных токов составить уравнение равновесия намагничивающих сил:

.

Если учесть, что при расчетах током намагничивания пренебрегаем (принимаем равным нулю), получаем дополнительное уравнение

.

Для иллюстрации способа составления контурных уравнений цепей с взаимоиндукцией между ветвями составим уравнения для схемы (рис. 4.30).

В каждой из ветвей находятся индуктивно связанные катушки. Цифрой 1 обозначены начала обмоток, цифрой 2 - концы.

Для выбранного направления обхода контуров составим контурные уравнения

;

.

Рис. 4.30. Схема со взаимоиндукцией между ветвями

В рассматриваемой системе неизвестны , . Найдя токи контуров, определим токи в ветвях.

Используя матричную алгебру, можно видоизменить форму записи контурных уравнений. Вторая матрица инциденций N позволяет осуществить суммирование напряжений по контурам схемы. Запишем контурные уравнения в матричном виде

Или

, (4.138)

где - матрица сопротивлений ветвей контура;

- токи ветвей;

- ЭДС в ветвях.

Если обозначить через матрицу контурных токов, то токи в ветвях можно выразить через контурные токи:

(4.139)

Подставим значение токов в ветвях в выражение (4.138), получим

Или

,

где - матрица контурных сопротивлений;

- матрица контурных ЭДС.

Контурные сопротивления можно применить и в том случае, когда схема содержит в качестве активных параметров кроме ЭДС в ветвях задающие токи в узлах.

В этом случае матричное контурное уравнение имеет вид

, (4.140)

где - матрица задающих токов;

- подматрица, относящаяся к дереву схемы;

- матрица собственных сопротивлений дерева схемы;

- матрица взаимных сопротивлений между ветвями дерева и хордами.

Если обозначить

, (4.141)

, то из (4.140) получим матричное уравнение для определения контурных токов

. (4.142)

Зная контурные токи, находим по (4.139) токи ветвей, напряжения узлов.

Метод узловых напряжений

При расчете электрических цепей широкое распространение получил метод узловых напряжений (УН). В этом методе в качестве неизвестных параметров принимаются напряжения узлов. После определения напряжения узлов определяются токи в ветвях. В простейшем случае, когда отсутствуют ЭДС в ветвях и взаимоиндукция между ветвями, матричное уравнения УН имеет вид

, (4.143)

где - матрица узловых проводимостей;

- матрица напряжений в узлах;

- матрица задающих токов.

Напряжение ветвей определяется как разность узловых напряжений по концам ветви:

(4.144)

Токи ветвей находятся из выражения

(4.145)

Наибольшее распространение метод УН получил при расчетах трехфазных симметричных цепей, когда между ветвями схемы замещения отсутствует индуктивная связь [14, 50]. Большинство промышленных программ расчета электрических режимов (установившийся режим, задачи оптимизации режима и т.д.) базируются на методе УН.

Матрица формируется непосредственно из схемы замещения сети. В памяти ЭВМ матрица хранится в компактном виде, так как большинство элементов матрицы равны нулю.

При наличии взаимоиндукции между ветвями получить матрицу непосредственно из схемы замещения не представляется возможным. Стремление распространить метод УН на цепи со взаимоиндукцией привело к разработке математического аппарата преобразования реальных цепей со взаимоиндукцией к цепям без взаимоиндукции между ветвями. Причем новая схема обладает такими же значениями узловых напряжений, как и исходная схема. Матрицу в этом случае можно рассматривать как искусственный эквивалент реальной схеме. Матрица узловых проводимостей находится из выражения

, (4.146)

где - первая матрица инциденций.

При наличии ЭДС в ветвях уравнения узловых напряжений УН примут вид

(4.147)

По найденным значениям отдельных элементов сети с учетом схемы соединения элементов между собой формируется всей трехфазной сети. Решая матричное уравнение (4.147), находим напряжения в узлах и токи в ветвях.

Ниже излагается методика нахождения для наиболее распространенных элементов электрической сети с учетом схемы их соединения.

1.8.3 Метод симметричных координат

Метод симметричных координат (СК) - это стройная математическая теория трехфазных электрических цепей, когда реальная трехфазная сеть с параметрами в координатах АВС заменяется другой трехфазной фиктивной электрической сетью с параметрами в координатах 0,1,2 [11, 14, 15]. При этом, если трехфазная сеть симметрична, то составляющие 0, 1, 2 влияния друг на друга не оказывают и расчет каждой последовательности можно вести по однофазной схеме замещения вне зависимости от других составляющих. Это значит, что индуктивные связи между тремя составляющими (прямой, обратной, нулевой) отсутствуют. Конечно, в природе не могут существовать два проводника, между которыми отсутствует индуктивная связь. Отсутствие такой связи в СК объясняется тем, что симметричные составляющие - это математические понятия.

От фазных координат (ФК) в СК легко перейти с помощью матрицы преобразования

Иногда матрицу S называют матрицей Фортескью.

Для преобразования пользуются очевидными соотношениями:

Прямые преобразования

(4.148)

Обратные преобразования

(4.1549)

Подробное обоснование и описание преобразований дано в [14].

В соответствии с выражениями (4.148) и (4.149) для токов получаем:

 (4.150)

(4.151)

Аналогичные соотношения можно получить и для напряжения

Анализируя (4.150) и (4.151), можно прийти к выводу, что симметричной системе токов прямого чередования фаз в ФК, когда , , соответствует однофазный ток в СК. При этом . Верно и обратное, току в СК соответствует трехфазная симметричная система токов прямой последовательности в ФК , , .

Аналогично симметричной системе токов обратного чередования фаз в ФК соответствует однофазный ток в СК. Току в СК - в ФК трехфазная симметричная система токов обратной последовательности , , .

Системе токов нулевой последовательности в ФК соответствует в СК однофазный ток . Току в СК соответствует трехфазная симметричная система токов нулевой последовательности , , .

Поэтому часто говорят, что несимметричная система фазных токов , , разлагается на три трехфазные симметричные системы - прямую, обратную, нулевую, хотя точнее говорить, на три составляющие: прямую, обратную, нулевую.

В частном случае току в одной фазе в фазных координатах, например, току в фазе A соответствует система трех токов , , в СК.

Симметричные составляющие , , представляют собой трехфазную систему, аналогично тому, как , , представляют трехфазную систему в ФК.

В общем случае каждому элементу трехфазной электрической сети в координатах 012 соответствуют матрицы сопротивлений размерностью 3х3, полностью заполненные. Поэтому составляющие 012 между собой оказываются связанными взаимной индуктивностью аналогично тому, как в системе ФК связаны между собой фазы АВС. Метод СК при расчете таких сетей никаких преимуществ перед ФК не дает.

Преимущество метода СК проявляется, когда сеть с взаимоиндукциями между фазами симметрична.

Например, для вращающихся машин:

В симметричных координатах

(4.152)

Где

. (4.153)

Для статических элементов, например, симметричных линий электропередач, для которых можно принять ,

В симметричных координатах

(4.154)

(4.155)

Приведение в наиболее распространенных случаях матрицы Z₀₁₂ к диагональной форме и дает колоссальные преимущества при расчетах, так как каждая последовательность представляет собой однофазную цепь, не связанную индуктивно с другими последовательностями. Сопротивления этих однофазных цепей (Z_0, Z_1, Z₂), как следует из (4.154), вычисляются весьма просто. В общем же случае (Z_0, Z_1, Z₂) - это расчетные величины, диагональные члены матрицы (4.152), не имеющие физического смысла.

Только в некоторых случаях можно привносить физический смысл для этих величин. Например, рассмотрим симметричную линию электропередачи, по которой протекает симметричный ток:



При этом согласно методу СК

т.е. в СК протекает только ток , токи .

Падение напряжения в фазе А составляет

Так как рассматривается симметричная линия, для которой

Имеем

(4.156)

Аналогично получаем падение напряжения в фазах В и С:



Откуда следует

(4.157.)

То есть падения напряжения во всех фазах по величине равны и пропорциональны падению напряжения прямой последовательности .

Таким образом, если и сама линия, и нагрузка по ней симметричны, то нет необходимости вести расчет всех трех фаз в ФК, достаточно в СК выполнить расчет только прямой последовательности. Найдя по выражениям (4.154), находим , , .

Таким образом, мы получили очень важный вывод: расчет трехфазной симметричной сети АВС можно вести по однофазной схеме, например, только для фазы А, считая, что ток фазы А проходит по некоторому расчетному сопротивлению Z₁ = (Z_L - Z_M). При этом взаимные влияния разных фаз друг на друга исключаются. Это удобно, а потому широко используется. Поскольку , то говорят, что ведется расчет трехфазной сети для одной фазы, хотя точнее будет, если сказать, что расчет ведется однофазной схемы замещения прямой последовательности.

Несимметричные режимы

Предполагается, что кроме несимметричной нагрузки все элементы сети симметричны и поэтому сопротивления в СК представляют собой диагональные матрицы. При расчете в СК схемы замещения прямой, обратной и нулевой последовательностей оказываются между собой несвязанными и, следовательно, расчет каждой последовательности можно проводить независимо друг от друга.

При подключении несимметричной нагрузки в одном узле напряжение в месте подключения можно определять по упрощенной методике по выражению

,

где - суммарное сопротивление КЗ в месте подключения несимметричной нагрузки;

- значение тока обратной последовательности, обусловленного подключением несимметричной нагрузки.

Если в сети, описанной матрицей узловых проводимостей , в узле i включается несимметричная нагрузка с током , то напряжение обратной последовательности в узле j от этого тока равно

, (4.159)

где - узловое взаимное сопротивление между узлами i-j.

В матрице узловых сопротивлений находится на пересечении i-ой строки j-го столбца.

Ток обратной последовательности , обусловленный подключением однофазных нагрузок на линейные напряжения , , рассчитывается по формулам

;

.

При подключении только на одно линейное напряжение в формулах необходимо положить .

В случае подключения однофазных нагрузок на другие линейные напряжения , к значению прибавляется соответственно , .

Для расчета сети с многократно-включенной несимметричной нагрузкой сначала составляются схемы замещения прямой и обратной последовательностей. Схемы замещения прямой последовательности имеют обычный вид, который используется при расчетах симметричных режимов. Дополнительно в узле помимо токов симметричных нагрузок () включаются токи несимметричных нагрузок ().

Сопротивления обратной последовательности симметричной нагрузки принимаются равными:

при напряжении 6-10 кВ ;

при напряжении 110 кВ .

Поскольку кроме несимметричных нагрузок вся остальная сеть симметрична, то для всех элементов сети матрица сопротивлений остается диагональной. Следовательно, расчет режима производится для каждой последовательности раздельно.

В общем случае при включении несимметричной нагрузки на линейные напряжения токи прямой и обратной последовательностей равны:

. (4.160)

Для определения токов прямой и обратной последовательностей необходимо знать напряжения в узлах подключения несимметричных нагрузок. При упрощенных расчетах принимается , , а мощности нагрузок неизменными.

Схема замещения обратной последовательности составляется из схемы замещения прямой последовательности. При этом несимметричные нагрузки из схемы замещения исключаются и в соответствующие узлы вводятся задающие токи, которые рассматриваются как активные параметры схемы. Количество задающих токов соответствует количеству узлов с несимметричной нагрузкой.

Составляется матричное уравнение

.

Диагональный элемент матрицы является собственной проводимостью узла на землю и определяется по выражению

.

Проводимости , равны соответствующим проводимостям схемы замещения прямой последовательности. Проводимость является проводимостью симметричных нагрузок в узле, не имеющем вращающихся машин (конденсаторные батареи, реакторы, осветительная нагрузка и т.д.), и определяется по выражению

.

Сопротивления определяются мощностью симметричной асинхронной нагрузки, синхронных двигателей, генераторов.

По результатам расчета режимов прямой и обратной последовательностей уточняются мощности несимметричной нагрузки по выражению

.

По соответствующим выражениям уточняются токи прямой и обратной последовательностей несимметричной нагрузки. По уточненным значениям расчет режимов прямой и обратной последовательностей повторяется (второй этап расчета режима). Расчет заканчивается при достижении заданной точности, когда выполняется условие

,

где - номер шага итераций, - допустимая погрешность расчета.

Несинусоидальные режимы

Расчет несинусоидальных режимов в электрических сетях с вентильными преобразователями включает в себя анализ электромагнитных переходных процессов в трехфазных вентильных преобразователях, описываемых системой нелинейных дифференциальных уравнений. При этом учитывается влияние сети на работу выпрямительной системы в переходных режимах. Однако метод этого моделирования электромагнитных процессов в выпрямителях и в трехфазных электрических сетях одновременно является весьма трудоемкой задачей и применим только для простейших схем сети внешнего электроснабжения. Как правило, задачи исследования электромагнитных процессов в вентильных преобразователях и задачи анализа распространения высших гармоник в электрических сетях решаются отдельно без учета взаимного влияния.

Вопросу исследования электромагнитных процессов в вентильных преобразователях посвящено большое количество работ. Результатом этих работ являются рекомендации по моделированию вентильных преобразователей, которые в схемах замещения представляются в виде задающих токов гармоник или в виде источников ЭДС . Методики нахождения задающих токов для наиболее распространенных схем с нелинейными элементами рассмотрены выше. Распределению гармоник в системах электроснабжения, когда вентильные преобразователи представлены источниками тока, посвящен ряд работ [1,27].

Анализ характерных особенностей распространения высших гармоник в системах электроснабжения выполняется с учетом частотно-зависимых моделей элементов электрической сети. Полная система может быть промоделирована в виде совокупности пассивных элементов электрической сети и задающих токов высших гармоник в местах расположения нелинейных элементов

Силовые трансформаторы одновременно являются параметрами схемы и источниками высших гармоник из-за нелинейности характеристик намагничивания трансформатора. В расчетах высших гармоник от преобразовательных устройств значениями высших гармоник из-за нелинейного характера трансформатора пренебрегают, так как в нормальных условиях работы влияние это невелико. Однако если трансформатор работает с насыщением, то учет такой необходим. При возрастании напряжения на выводах трансформатора сверх номинального на 3-5 % уровень гармоник намагничивающего тока возрастает в 1,5 - 2 раза.

Хорошей моделью трансформатора является схема, где каждая обмотка трансформатора представлена сопротивлением рассеяния вместе с межобмоточными емкостями и емкостями каждой катушки относительно земли. Сколько-нибудь заметное влияние указанных емкостей проявляется при частотах более 5 кГц, поэтому при расчетах высших гармоник внутренними емкостями трансформатора пренебрегают, так как учитываются только гармоники частотой ниже 1 кГц.

Для силовых трансформаторов индуктивность трансформатора в схеме замещения для основной гармоники находится умножением на номер гармоники. Тогда реактивное сопротивление трансформатора

,

где - реактивное сопротивление трансформатора на частоте 50 Гц; - то же на частоте гармоники .

На величину активного сопротивления влияет поверхностный эффект

,

где - активное сопротивление в схеме замещения трансформатора при частоте 50 Гц; - то же на частоте гармоники.

Синхронные генераторы не являются источниками высших гармоник. Упрощенная схема замещения генератора как потребителя высших гармоник принимается исходя из того, что при протекании токов гармоники через обмотки статора создается магнитный поток, вращающийся со скоростью , где - синхронная скорость. Таким образом, гармонические токи взаимодействуют с контурами на роторе аналогично как и токи обратной последовательности основной частоты.

Для синхронных машин в [27] рекомендуется реактанс определять из выражения

.

Токи высших гармоник статора создают вращающееся поле, которое в роторе наводит токи частотой 50(). При этом проявляется поверхностный эффект и индуктивное сопротивление в схеме замещения снижается. Для диапазона частот = 3 19 можно принять k = 0,75.

Линия электропередачи

При расчете режимов работы электроэнергетических систем актуальным является учет распределенности параметров линий электропередач. Этот вопрос становится особенно актуальным при анализе несинусоидальных режимов в связи с уменьшением длины электромагнитной волны пропорционально номеру рассматриваемой гармоники. При физическом и математическом моделировании линии электропередач заменяют П- или Т-образными схемами замещения. Для этого линия рассматривается как четырехполюсник. При этом можно записать известные соотношения

. (4.161)

где

. (4.162)

Воспользуемся П-образной схемой замещения линии, для которой из режима холостого хода и короткого замыкания определяем

. (4.163)

Нахождение параметров четырехполюсника не по выражениям (4.162), а по (4.163) приводит к некоторой погрешности. Для исключения погрешностей расчета из-за неучета распределенности параметров вводятся поправочные коэффициенты , при определении и :

где Р - индекс, означающий, что параметры определены с учетом распределенности параметров;

- поправочный коэффициент при определении Z_{Л ;}

- то же при определении Y_Л .

Для расчетов режимов на основной частоте при длине линий до 300 км погрешность от неучета распределенности параметров не превышает 1-2 %, поэтому поправочные коэффициенты при определении параметров схемы замещения не требуются. С ростом частоты допустимая длина линии сокращается обратно пропорционально номеру гармоники:

.

В табл. 4.1 приведены длины линий, когда неучет распределенности параметров линии не приводит к погрешности больше 2 , 10 %.

Таблица 4.1

Предельные длины линий при погрешности моделирования до 2 и 10 %

		1	5	7	11	13
до 2%	l, км		60	42	27	23
до 10%			132	94	60	51

К чисто активным нагрузкам относится большинство греющих приборов: лампы накаливания, электроплиты, электробойлеры и т.д.

Для этой нагрузки

.

Асинхронные двигатели в нормальном режиме работают со скольжением 0,05. Для гармоники . Поэтому для высших гармоник можно считать, что асинхронный двигатель находится в режиме короткого замыкания. Полагая, что в асинхронном двигателе, аналогично как и в синхронном, проявляется поверхностный эффект,

Таким образом, с увеличением номера гармоники падает, поэтому с некоторой погрешностью сопротивление асинхронного двигателя можно принять чисто реактивным

.

После представления каждого элемента электрической сети соответствующими схемами замещения и замены нелинейных нагрузок источниками тока можно приступить к расчету распространения высших гармоник в сети и нахождению параметров режима (напряжения в узлах, токов в ветвях, потерь мощности в ветвях и т.д.). В предположении, что схема сети симметрична и параметры ее линейны, можно применить принцип суперпозиции, позволяющий рассмотреть распространение каждой гармоники отдельно.

Целью расчетов является определение коэффициента несинусоидальности в узлах электрической сети по выражению

.

Число учитываемых гармоник рекомендуется принимать в зависимости от вида нагрузки и спектра высших гармоник в токах нагрузки. Как правило, гармоники выше не учитываются из-за незначительного влияния на коэффициент несинусоидальности.

При включении несинусоидальной нагрузки в узле «i» при отсутствии в сети резонансных контуров имеет максимальное значение в узле подключения нагрузки. Напряжение от -й гармоники

,

где - действующее значение тока гармоники в узле i;

- напряжение в узле i;

- мощность короткого замыкания в узле i;

- напряжение гармоники в узле i.

В [27] для сетей с преобразовательными нагрузками рекомендуется не вычислять токи гармоник и приводятся выражения для определения коэффициента несинусоидальности по формуле

;

, (4.164)

где - относительное сопротивление трансформатора;

- коэффициент расщепления трансформатора.

Для расчета гармоники порядка составляется схема замещения всей электрической сети. Нелинейная нагрузка заменяется источниками тока.

Если сеть симметрична, то при расчете гармоники целесообразно воспользоваться методом узловых проводимостей. Для этого составляется полная матрица узловых проводимостей сети, и напряжения в узлах находятся решением линейного уравнения

. (4.165)

При решении (4.165) комплексная матричная система уравнений порядка n приводится к системе уравнений порядка 2n с действительными элементами. После преобразования в матричном виде с учетом

получаем

. (4.166)

Система (4.166) решается методом Гаусса с компактным хранением информации, что позволяет решать системы уравнений высокого порядка по сравнению с другими методами решения аналогичных задач.

После решения системы уравнений получаем активные и реактивные составляющие напряжения в i-м узле.

Напряжение в i-м узле

.

Фаза напряжения гармоники

.

1.8.4 Волновые процессы в линиях электропередач

Процесс распространения электромагнитных волн по ВЛ является весьма сложным, так как линия представляет собой пучок проводов, расположенных над поверхностью земли. Возникновение электромагнитной волны в одном проводе в общем случае обусловливает появление движущихся волн в других проводах. На процесс распространения влияют материал и геометрические размеры проводов, удаленность проводов от земли и состояние самой земли.

Математическое решение задачи распространения электромагнитных волн по системе параллельных проводов, расположенных вблизи поверхности земли (что имеется в случае рассматриваемой ВЛ), является весьма сложной задачей и описывается системой телеграфных уравнений. Точное решение возможно лишь с привлечением весьма громоздкого математического аппарата. У Хаяси [60] эта задача решена с применением расширенного преобразования Лапласа и теоремы разложения Сильвестра. Решение задачи значительно упрощается, если ввести некоторые допущения. Первое допущение: линия является симметричным элементом. Второе - ВЛ представляет собой линейный элемент. Третье - по линии распространяются синусоидальные сигналы. При этом меньшая математическая строгость полученных решений компенсируется наглядностью и простотой соотношений между величинами, что в конечном счете позволяет достаточно просто изложить вопросы распространения волн в линиях электропередачи.

Допущение о симметрии линии обосновано, так как разные фазы линии делаются однотипными (вешаются на общих опорах, используются провода одного сечения, количество изоляторов в фазе одинаковое и т.д). Кроме того, на линии, как правило, выполняется полный цикл транспозиции проводов.

При указанных допущениях, если рассматриваемая трехфазная система состоит из линейных элементов, то расчеты переходных процессов можно существенно упростить или, во всяком случае, свести к исследованию сети, математическое описание которой известно. Действительно, решение задачи значительно упрощается, если произвести преобразование системы координат и реальную линию с фазами АВС заменить линией с составляющими XYZ. Замену осуществить таким образом, чтобы в системе XYZ в матрице фазных сопротивлений присутствовали только диагональные элементы. При этом будет отсутствовать индуктивная связь между составляющими. Тогда исследование 3-фазной ВЛ сводится к рассмотрению трех однофазных линий.

Пусть линия в фазных координатах представлена векторами напряжения и тока соответственно:

, ; (4.167)

и матрицей сопротивлений

. (4.168)

Матрица преобразований, предложенная Фортескью, имеет вид:

,

и соответствующая ей обратная матрица:

,

где , .

Соответственно в симметричных координатах:

, .

. (4.169)

После подстановки (4.168) в (4.169) имеем:

 (4.170)

Диагонализация матрицы означает, что мы получили три однофазные системы: нулевую, прямую и обратную составляющие, не связанные между собой. Поэтому задачу рассмотрения электромагнитных процессов в трехфазной линии ABC, где присутствует связь между фазами, заменяем рассмотрением трех однофазных систем: нулевой, прямой и обратной последовательностей при отсутствии связи между ними.

В качестве простого примера рассмотрим одноцепную симметричную линию электропередачи с удельными параметрами:

, - собственная и взаимная индуктивности;

, - собственная и взаимная емкости;

- активное сопротивление проводов;

, - активные проводимости на землю и между фазами.

Введем обозначения в ФК.:

, ,

, ,

, .

В матричном виде для синусоидальных величин имеем:

Выполним преобразование координат. Перейдем к симметричным координатам.

;

;

;

.

.

Телеграфные уравнения в СК имеют вид:

 (4.171)

В матричном виде для синусоидальных величин имеем:

.

В общем случае напряжения , , и токи , , - мгновенные значения величин.

Введем обозначения:

;

;

;

;

;

;

.

С учетом принятых обозначений перепишем телеграфные уравнения:

 (4.172)

(4.173)

(4.174)

Системы дифференциальных уравнений (4.172), (4.173), (4.174) описывают процессы в линии в СК.

Системы уравнений (4.172), (4.173), (4.174) однотипны. Поэтому достаточно решить одну систему и ее решение распространить на две другие.

Выполним решение системы (4.172) для синусоидальных режимов, опустив индекс о. Система (4.172) представляет собой телеграфное уравнение для идеальной однопроводной линии (рис. 4.31). Схема замещения такой линии представляет собой множество соединенных последовательно бесконечно малых элементов длины dx, каждый из которых имеет сопротивление , индуктивность , проводимость и емкость . , , , - соответственно активное сопротивление, индуктивность, емкость, активная проводимость на единицу длины одиночного провода линии с учетом земли как обратного провода.



Решение полученной системы уравнений в частных производных при определенных начальных и граничных условиях дает возможность определить ток и напряжение как функции, зависящие от двух величин: расстояния от начала линии и времени. Эти уравнения справедливы при любых изменениях напряжения и тока во времени.

Решение задачи упростится, если рассматривать процессы в линии при синусоидальном напряжении источника питания. Вводя комплексные значения напряжения, тока, сопротивления и проводимости, от уравнений в частных производных перейдем к простым дифференциальным уравнениям:

...