Устойчивость систем автоматического управления
Исследование устойчивости по уравнениям первого приближения. Алгебраические и частотные критерии постоянства. Особенность использования коэффициентов Рауса и Гурвица. Анализ оценки неизменности замкнутой системы. Суть выделения областей стабильности.
| Рубрика | Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.07.2015 |
| Размер файла | 131,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Оглавление
1. Основные понятия теории устойчивости
1.1 Исследование устойчивости по уравнениям первого приближения
1.2 Алгебраические критерии устойчивости
1.3 Частотные критерии устойчивости
2. Выделение областей устойчивости
Библиографический список
1. Основные понятия теории устойчивости
В процессе функционирования система подвергается различного рода возмущающим воздействиям, которые вызывают отклонения ее от положения равновесия или заданного движения.
Система автоматического управления называется устойчивой, если после прекращения действия возмущений, вызвавших ее отклонение от положения равновесия, она возвращается в это положение равновесия или заданного движения.
Следовательно, только устойчивая система является работоспособной.
Пусть САУ описывается системой нелинейных стационарных дифференциальных уравнений вида
где yk- переменные состояния системы;
Yk- известные функции, определенные в некоторой фиксированной области G пространства переменных yk при любом t>0.
B этом пространстве уравнения (3.1) определяют компоненты Yk вектора скорости движения некоторой точки М, называемой изображающей точкой. С физической точки зрения уравнения (3.1) следует рассматривать как математическую форму записи тех физических законов, которым подчиняется система автоматического управления. Область G определения функций Yk является той частью пространства состояний, на которую распространяется действие указанных физических законов.
Пусть величины y10,....,yn0 обозначают начальные значения переменных состояния. Каждой системе начальных значений соответствует единственное решение
уравнений, определенное для любых Допустим, что среди всех движений нас интересует то, которое описывается заданными функциями времени
В частном случае, когда система стационарна и функции Yk явно не зависят от времени, тогда движения (3.3) являются установившимися. Им отвечают так называемые очевидные решения
служащие корнями уравнений
В дальнейшем будем говорить об устойчивости движения системы, имеющей решение (3.3), рассматривая ее установившееся движение как частный случай. Введем в рассмотрение отклонения от заданного движения
Подставив выражения для yk, полученные из в исходную систему уравнений, получим
,
где
Уравнения записаны относительно отклонений, появившихся в результате каких-либо возмущений и, по терминологии Ляпунова, называются уравнениями возмущенного движения [1,7,13,15].
Формула определяет преобразование переноса начала координат в точку с координатами и поэтому, если решение системы (3.1) сходится к значениям , то решение системы сходится к нулю. Уравнения
называются уравнениями невозмущенного движения.
При t=t0 переменные хk принимают свои начальные значения xk0 ,которые называются возмущениями. Каждой заданной системе таких возмущений соответствует единственное решение
Эти решения представляют собой возмущенное движение системы.
Изучим поведение разностей при t>t0 . Рассмотрим для этого уравнение
которое определяет в n-мерном пространстве квадрат расстояния изображающей точки М от начала координат. Возмущенное движение при t>t0 может протекать следующим образом:
изображающая точка М все более удаляется от начала координат, а величина R неограниченно возрастает (кривая 1 на рис.3.1);
изображающая точка М остается внутри некоторой окрестности начала координат, так что величина R все время имеет ограниченное значение, не превосходящее наперед заданное малое положительное число , т.е. R< (кривая 2 на рис.3.1);
изображающая точка М с течением времени возвращается в начало координат, т.е. (кривая 3 на рис.3.1).
Рис. 3.1. Виды движения изображающей точки
Равновесное состояние xk=0 можно считать устойчивым, если система, получив начальное возмущение, в дальнейшем продолжает оставаться в ближайшей окрестности равновесного состояния или возвращается в него. Следует дать конкретное толкование понятию “ближайшая окрестность” и основоположник теории устойчивости А.М. Ляпунов дал следующее определение устойчивости.
Невозмущенное движение называется устойчивым по отношению к величинам xk , если при всяком произвольно заданном положительном числе , как бы мало оно ни было, найдется другое такое положительное число ( ), при котором для возмущений xk0 , удовлетворяющих условиям
возмущенное движение будет удовлетворять неравенствам
при любом t>t0. Неравенства ограничивают область допустимых начальных отклонений.
Если при сколь угодно малом >0 невозможно найти (), при котором удовлетворяются неравенства (3.11), то система неустойчива.
Если система устойчива и ее движение таково, что , то эта система асимптотически устойчива.
Отсюда следует, что на рис. 3.1 кривая 1 соответствует неустойчивой системе, кривая 2 - устойчивой системе, а кривая 3-асимптотически устойчивой системе.
А.М. Ляпунов разработал различные методы оценки устойчивости САУ. Прямой, или так называемый второй метод Ляпунова, применим для исследования всех классов систем и основан на использовании специальных функций Ляпунова. Мы уже говорили, что значительное число систем допускают линеаризацию по методу малого отклонения и Ляпунов впервые доказал допустимость суждения об устойчивости в малом, т.е. при малых отклонениях, исходной нелинейной системы по уравнениям первого приближения, полученным в результате линеаризации.
1.1 Исследование устойчивости по уравнениям первого приближения
Любое линейное дифференциальное уравнение имеет решение вида
,
где i- корни характеристического уравнения, xт(t)- частное решение, определяющее требуемое движение системы. Отклонение от заданного движения запишется в виде
Отсюда следует, что если все корни характеристического уравнения отрицательны (имеют отрицательную вещественную часть), то и линейная система асимптотически устойчива. Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, имеющий положительную вещественную часть, то и линейная система неустойчива. Можно ли по корням характеристического уравнения линеаризованной системы оценить устойчивость исходной нелинейной системы при малых отклонениях? А.М. Ляпунов доказал следующие теоремы об устойчивости в малом.
Теорема 1. Если вещественные части k всех корней kjk характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение исходной нелинейной системы асимптотически устойчиво независимо от не учитываемых членов разложения в ряд Тейлора выше первого порядка малости.
Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения найдется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение исходной нелинейной системы неустойчиво независимо от не учитываемых членов разложения в ряд Тейлора выше первого порядка малости.
Критические случаи, когда нельзя судить об устойчивости по уравнениям первого приближения, возникают, если среди всех корней имеется группа корней, вещественная часть которых равна нулю, а остальные имеют отрицательные вещественные части.
Рассмотрим рисунок.
Корни характеристического уравнения, имеющие отрицательные вещественные части расположены в левой полуплоскости и называются устойчивыми корнями (полюсами) системы. Корни с положительными вещественными частями расположены в правой полуплоскости и являются неустойчивыми полюсами системы. С этой точки зрения мнимая ось является границей устойчивости и штрихуется слева.
Представляет интерес часто встречающийся случай, когда характеристический полином системы имеет один нулевой корень, а остальные корни лежат в левой полуплоскости. Это соответствует уравнению системы, в котором равен нулю свободный член an.
Вынеся за скобки оператор s, получим
Так как оператор Лапласа при нулевых начальных условиях является символом дифференцирования, то можно сделать вывод, что последнее уравнение записано относительно скорости регулируемой величины. Характеристическое уравнение
по условию имеет только устойчивые корни и, следовательно, система устойчива относительно скорости регулируемой величины. По отношению к самой регулируемой величине система нейтральна и ее значение после окончания процесса регулирования произвольно и зависит от начальных условий. Такие системы называются нейтрально устойчивыми.
Оценка устойчивости непосредственно по корням характеристического уравнения возможна, но малопригодна в инженерной и научной практике, так как знание численных значений корней не несет информации о путях стабилизации системы, если она неустойчива или имеет малые запасы устойчивости. Поэтому для целей анализа устойчивости разработаны специальные критерии, позволяющие исследовать вопросы устойчивости без определения корней характеристического уравнения.
1.2 Алгебраические критерии устойчивости
Необходимое условие устойчивости.
Характеристическое уравнение системы после определения его корней может быть представлено в виде
Если система устойчива и все ее корни имеют отрицательные вещественные части, то после раскрытия скобок в последнем выражении получим характеристическое уравнение системы
,
в котором все коэффициенты аi, i=1,2,...n, будут строго больше нуля.
Для устойчивости системы необходимо, но недостаточно, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения были строго больше нуля.
Понятие недостаточности означает, что если какой-либо коэффициент характеристического уравнения системы меньше нуля или равен нулю, то система неустойчива, но положительность всех коэффициентов еще не означает, что система устойчива. Нужны дополнительные исследования.
Критерий устойчивости Гурвица.
Для оценки устойчивости по этому критерию необходимо из коэффициентов характеристического уравнения составить определитель Гурвица по следующим правилам:
по главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения от а1 до аn в порядке возрастания индексов;
столбцы определителя заполняются коэффициентами от главной диагонали вниз по убывающим, а вверх- по возрастающим индексам;
места коэффициентов, индексы которых больше n или меньше нуля заполняются нулями.
Для примера составим определитель Гурвица, для системы 5-го порядка. Характеристическое уравнение системы имеет вид
где все коэффициенты строго больше нуля. Получим
.
Для того, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части и система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты и все диагональные определители определителя Гурвица были строго больше нуля.
Для устойчивости системы 5-го порядка необходимо выполнение условий
аk>0, k=0,1,2,...5;
2 =а1а2 - а0а3>0;
3=а32 - а12а4>0;
4 =а43 -а2а52 + а0а5(а1а4 - а0а5)>0;
5 =а54>0.
Так как при выполнении необходимого условия устойчивости всегда аn>0, то об устойчивости системы можно судить по определителям до n-1 включительно. Доказано, что если n-1=0, то система находится на колебательной границе устойчивости, т.е. имеет пару чисто мнимых корней. Из условия n-1=0 можно определить критические значения параметров системы, при которых она выходит на границу устойчивости.
Пример. Исследовать устойчивость системы стабилизации угла тангажа самолета и определить критическое значение передаточного числа автопилота по углу тангажа. Система задана структурной схемой.
На схеме обозначено:
k- передаточное число (коэффициент передачи) автопилота по углу тангажа;
передаточная функция рулевого привода;
передаточная функция самолета по угловой скорости тангажа z;
kz - передаточное число автопилота по угловой скорости тангажа.
Для передаточной функции разомкнутой системы можно записать
где
Передаточная функция замкнутой системы примет вид
где
Составим определитель Гурвица
Оценим устойчивость системы для следующих значений параметров:
.
При этих значениях для коэффициентов характеристического уравнения получим
Следовательно, все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы положительны и
Условия устойчивости выполнены и система при избранных параметрах устойчива.
Определим критическое значение передаточного числа по углу тангажа, для чего приравняем третий диагональный определитель нулю и сделаем преобразования.
В последнем выражении только d3 и d4 являются функциями коэффициента k и подставив их в него, получим квадратное уравнение относительно этого коэффициента
Решив это уравнение, получим критическое значение передаточного числа по углу тангажа
Система устойчива, если k<16.56.
Критерий устойчивости Рауса.
Критерий Рауса требует несколько меньшего объема вычислений, чем критерий Гурвица и более удобен для программирования на ЭВМ. Для суждения об устойчивости системы по этому критерию необходимо составить таблицу Рауса.
Таблица Рауса
|
1 |
d0 |
d2 |
d4 |
d6 |
d8 |
d10 |
d12 |
d14 |
....... |
|
|
2 |
d1 |
d3 |
d5 |
d7 |
d9 |
d11 |
d13 |
d15 |
....... |
|
|
3 |
c13 |
c23 |
c33 |
c43 |
c53 |
c63 |
c73 |
..... |
....... |
|
|
4 |
c14 |
c24 |
c34 |
c44 |
c54 |
c64 |
c74 |
...... |
....... |
|
|
5 |
c15 |
c25 |
c35 |
c45 |
c55 |
c65 |
..... |
....... |
....... |
|
|
6 |
c16 |
c26 |
c36 |
c46 |
c56 |
....... |
........ |
...... |
........ |
|
|
7 |
c17 |
c27 |
c37 |
c47 |
....... |
....... |
......... |
....... |
....... |
|
|
8 |
c18 |
c28 |
c38 |
....... |
........ |
....... |
......... |
........ |
......... |
Элементы каждой строки для i>2 вычисляются по формуле
Для того, чтобы корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости и система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были строго положительны.
1.3 Частотные критерии устойчивости
Принцип аргумента.
Частотные критерии устойчивости используются в графоаналитическом виде и отличаются большой наглядностью при проведении расчетов. В основе всех частотных методов лежит принцип аргумента.
Рассмотрим характеристическое уравнение системы
Если i, i=1,2,...n- корни этого уравнения, то
Каждому корню на комплексной плоскости соответствует определенная точка, и геометрически на этой плоскости каждый корень можно изобразить в виде вектора с модулем i, проведенного из начала координат (рис.3.4). Сделаем замену s=j и получим
В соответствием с правилом вычитания векторов получим, что конец каждого элементарного вектора (j - i) находиться на мнимой оси.
Аргумент вектора D(j) равен сумме аргументов элементарных векторов
Направление вращения вектора (j - i) против часовой стрелки при изменении частоты от - до + принято считать положительным, а по часовой стрелке- отрицательным. Предположим, что характеристическое уравнение имеет m корней в правой полуплоскости и n - m корней в левой полуплоскости. При изменении частоты от - до + каждый вектор (j - i), начало которого лежит в левой полуплоскости повернется на угол + , а каждый вектор, начало которого лежит в правой полуплоскости - на угол -. Изменение аргумента вектора D(j) при этом будет
Это выражение и определяет принцип аргумента.
Изменение аргумента вектора D(j) при изменении частоты от - до + равно разности между числом (n-m) корней уравнения D(s)=0, лежащих в левой полуплоскости, и числом m корней этого уравнения, лежащих в правой полуплоскости, умноженной на .
Критерий устойчивости Михайлова.
Из (3.14) следует, что если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, т.е. m=0 , то
Отсюда следует первая формулировка критерия Михайлова.
Система автоматического управления устойчива, если при возрастании частоты от - до + изменение аргумента вектора D(j) будет равно n, где n- порядок характеристического уравнения.
Вектор D(j) можно представить в виде
Вещественная составляющая этого выражения является четной функцией, а мнимая - нечетной функцией частоты, т.е. U(-)=U(); V(-)= -V() и D(- j)=U() - jV().
Отсюда следует, что кривая Михайлова симметрична относительно вещественной оси и при ее построении можно ограничиться диапазоном частот от 0 до +. Изменение аргумента вектора D(j) при этом уменьшится в два раза и формулировка критерия Михайлова будет следующей.
Система автоматического управления устойчива, если при возрастании частоты от 0 до + вектор D(j) повернется на угол n/2 или, что то же самое, если кривая Михайлова при том же изменении частоты, начиная с положительной вещественной полуоси, обходит последовательно в положительном направлении n квадрантов и заканчивается в n-ом квадранте (рис.3.5).
Если хотя бы один квадрант пропущен (рис.3.6), то система неустойчива.
Наблюдая за поведением кривой Михайлова для устойчивой САУ, можно заметить, что при ее прохождении через n квадрантов корни уравнений U()=0 и V()=0 чередуются между собой, т.е. между двумя корнями уравнения V()=0 лежит один корень уравнения U()=0.
Система автоматического управления устойчива, если корни уравнений V()=0 и U()=0 вещественные и перемежаются между собой.
Система может находиться на границе устойчивости и этому соответствуют два случая:
характеристическое уравнение системы имеет один нулевой корень, что будет при аn=0; кривая Михайлова при этом выходит из начала координат;
2)характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней jk и D(jk)=U(k)+jV(k)=0, что может быть только если одновременно U(k)=0 и V(k)=0; это означает, что кривая Михайлова проходит через начало координат.
Рис. 3.5. Кривые Михайлова для Рис. 3.6. Кривая Михайлова для устойчивых САУ неустойчивой САУ
Используя критерий Михайлова, можно определить критические значения параметров системы, при которых она находиться на границе устойчивости, в частности критический коэффициент усиления. Для этого нужно решить систему уравнений
Пример. Используя критерий Михайлова, оценить устойчивость системы стабилизации угла тангажа самолета и определить критическое значение передаточного числа k.
Характеристическое уравнение замкнутой системы было получено выше и имеет вид
Сделаем замену s=j и выделим вещественную и мнимую части
Построенная при заданных ранее параметрах системы кривая Михайлова имеет вид, показанный на рис.3.7.
Кривая начинается на вещественной положительной полуоси, проходит последовательно 4 квадранта и заканчивается в 4-м квадранте. Следовательно, при данных параметрах исследуемая система устойчива.
Рис. 3.7. Кривая Михайлова для системы стабилизации угла тангажа
Для определения критического значения передаточного числа по углу тангажа составим систему уравнений
Из второго уравнения системы определяем частоту и подставив выражение для нее в первое уравнение, после преобразований получим квадратное уравнение относительно искомого значения передаточного числа
Полученное уравнение абсолютно идентично полученному при решении задачи по критерию Гурвица и результат таким же
Построение кривой Михайлова для систем высокого порядка может быть связано с громоздкими вычислениями и графическими построениями. В этих случаях может быть более просто оценить устойчивость по корням уравнений U()=0 и V()=0. Определим корни этих уравнений и расположим их на числовой оси корни уравнения U()=0
Критерий устойчивости Найквиста.
Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.
Пусть передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы имеют вид:
где D(s)- характеристический полином замкнутой системы. Перейдя к частотным представлениям, получим
Вектор N(j) называется вектором Найквиста. Очевидно, что числитель и знаменатель этого вектора имеют один и тот же порядок n. При использовании критерия Найквиста следует различать два случая.
1). Разомкнутая система устойчива и ее характеристическое уравнение A(s)=0 имеет все корни в левой полуплоскости. Тогда при изменении частоты от 0 до
Изменение аргумента вектора D(j) в общем случае равно
где m- число корней уравнения D(s)=0, лежащих в правой полуплоскости. устойчивость частотный замкнутый неизменность
Изменение аргумента вектора Найквиста будет
Если замкнутая система устойчива, то m=0 и
Так как при , W(j)0, то N(j)1. Рассмотрим рисунок 3.8а, на котором показана кривая Найквиста, которую описывает вектор Найквиста при изменении частоты от 0 до . Нетрудно убедиться, что вектор Найквиста опишет угол, равный нулю только в случае, если его годограф не охватывает начало координат. Перенесем начало координат в точку с координатами (1,j0) (рис.3.9б). Можно убедиться, что изменение аргумента вектора Найквиста будет равно нулю если АФЧХ W(j) разомкнутой системы не охватывает критическую точку с координатами (-1,j0).
Рис. 3.9. К определению критерия Найквиста
Критерий Найквиста для рассматриваемого случая формулируется следующим образом.
Система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если АФЧХ W(j) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охзватывает критическую точку с координатами (-1, j0).
Особенности возникают, если разомкнутая система нейтрально-устойчива, т.е.
где полином A1(s) имеет все корни в левой полуплоскости. При =0 АФЧХ разомкнутой системы W(j)= и проследить поведение кривой АФЧХ в окрестности этой точки невозможно. При изменении частоты от - до + наблюдается движение корней вдоль мнимой оси снизу вверх и при =0 происходит бесконечный разрыв. При этом движении обойдем нулевой корень (рис.3.10) по полуокружности бесконечно малого радиуса так, чтобы этот корень остался слева, т.е. искусственно отнесем его к левой полуплоскости.
Рис. 3.10. Годограф Найквиста для нейтрально- устойчивой САУ
При движении по этой полуокружности в положительном направлении независимая переменная изменяется по закону
где фаза () изменяется от - / 2 до + / 2. Подставив это выражение в передаточную функцию вместо множителя s в знаменателе, получим
где R при 0 , а фаза () изменяется от + / 2 до - / 2. Следовательно, в окрестности нулевого корня годограф W(j) представляет собой часть окружности бесконечно большого радиуса, движение по которой происходит при увеличении частоты в отрицательном направлении.
Для оценки устойчивости замкнутой системы, если разомкнутая система нейтрально устойчива, необходимо АФЧХ W(j) разомкнутой системы дополнить дугой бесконечно большого радиуса, начиная с меньших частот, в отрицательном направлении и для полученной замкнутой кривой воспользоваться критерием Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии.
2).Разомкнутая система неустойчива. В этом случае
где р- число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости. Если замкнутая система устойчива, т.е. m=0, то
т.е. АФЧХ разомкнутой системы охватывает критическую точку (-1,j0) в положительном направлении ровно p / 2 раз.
Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если АФЧХ W(j с) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до охватывает критическую точку (-1,j0) в положительном направлении ровно р/2 раз, где р- число правых полюсов разомкнутой системы.
Определение числа охватов критической точки- непростая задача, особенно в случае систем высокого порядка. Поэтому в практических приложениях нашла применение другая формулировка критерия Найквиста для рассматриваемого случая.
Переход годографа W(j) через отрезок вещественной полуоси (-,-1), т.е. левее критической точки при увеличении частоты сверху вниз считается положительным, а снизу вверх- отрицательным.
Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числом положительных и отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой системы равна р/2.
где число положительных переходов, число отрицательных переходов.
Например, передаточная функция ракеты-носителя “Авангард” имеет два неустойчивых полюса и ее АФЧХ показана на рис. 3.11.
Рис. 3.11. АФЧХ ракеты “Авангард”
Очевидно, что для данной ракеты, как объекта управления,
а и Замкнутая система будет устойчивой.
Запасы устойчивости.
Устойчивость замкнутой САУ зависит от расположения годографа АФЧХ разомкнутой системы относительно критической точки. Чем ближе эта кривая проходит от критической точки, тем ближе замкнутая САУ к границе устойчивости. Для устойчивых систем удаление АФЧХ разомкнутой системы от критической точки принято оценивать запасами устойчивости по фазе и по модулю.
Допустим, что АФЧХ некоторой разомкнутой системы имеет вид, показанный на рис. 3.12.
Рис. 3.12. АФЧХ разомкнутой системы
Угол , образуемый прямой, проходящей через точку пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса, что соответствует частоте среза системы, и отрицательной вещественной полуосью называется запасом устойчивости системы по фазе.
(3.24)
Запасом устойчивости по модулю называется величина
(3.25)
где А()- значение АФЧХ при частоте = , при которой она пересекает вещественную ось.
Для всех систем должны выполняться требования:
Так как АФЧХ графически строится в определенном масштабе, то для вычисления запаса устойчивости по модулю можно просто измерить длины отрезков, соответствующих единице и ОВ, и разделить результат первого измерения на второй. Если увеличивать коэффициент усиления системы, то точка В будет смещаться влево и при ОВ=-1 коэффициент усиления примет критическое значение. Поэтому запас устойчивости по модулю можно определить и по формуле
Пример. Используя критерий Найквиста оценить устойчивость замкнутой системы стабилизации угла тангажа и определить ее запасы устойчивости.
Передаточная функция разомкнутой системы была получена ранее и имеет вид
Численные значения коэффициентов заданы или вычислены ранее. Сделаем замену s=j :
После преобразований получим
Изменяя частоту от 0 до построим кривую АФЧХ - рис. 3.13. Проведя дугу окружности единичного радиуса, определим, что запас устойчивост по фазе =1100 . Для рассматриваемого примера получим, что h =3.3.
Рис. 3.13. АФЧХ системы стабилизации угла тангажа
Полученные запасы устойчивости удовлетворяют выше указанным требованиям.
Оценка устойчивости по ЛЧХ
АФЧХ разомкнутой системы подразделяются на два типа:
АФЧХ первого рода, все точки, пересечения которых с вещественной осью расположены справа от критической точки (кривая 1, рис. 3.14);
АФЧХ второго рода, точки, пересечения которых с вещественной осью расположены как справа, так и слева от критической точки (кривая 2, рис. 3.14).
В системах первого рода увеличение коэффициента усиления ведет к сдвигу ветви кривой влево и приближению ее к критической точке. Запасы устойчивости при этом уменьшаются и при k=kкр система попадает на границу устойчивости. Уменьшение коэффициента усиления стабилизирует систему. В системах 2-го рода переход системы на границу устойчивости может происходить как при увеличении коэффициента усиления, так и при его уменьшении. Из критерия Найквиста следует, что замкнутая система, имеющая в разомкнутом состоянии АФЧХ 1-го рода устойчива, если всем точкам АФЧХ, вплоть до точки пересечения ее с окружностью единичного радиуса (=с) , соответствуют значения фазы (), большие, чем -, т.е. должно выполняться неравенство с<. Этому определению легко дать интерпретацию на языке ЛЧХ.
Для того чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ первого рода, была устойчивой и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы при всех частотах, при которых ЛАХ положительна, значения фазовой характеристики были больше, чем -, т.е. с<.
По ЛЧХ легко определяются и запасы устойчивости, причем запас устойчивости по усилению в логарифмическом масштабе должен удовлетворять условию Н>6дб, что соответствует значениям h>2.
Для того, чтобы САУ неустойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ 2-го рода, была устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов фазовой характеристикой через линию - была равна р/2, где р- число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости, при всех частотах когда L()>0.
Необходимо подчеркнуть, что показанные способы оценки устойчивости по ЛЧХ и определения запасов устойчивости справедливы при таком расположении оси ординат относительно фазовой характеристики, когда с началом координат совмещена точка ()=-1800.
По ЛЧХ можно определить и критический коэффициент усиления. Для этого необходимо сместить ЛАХ вдоль линий сопряжения параллельно самой себе так, чтобы выполнить условие с = и вычислить коэффициент усиления для вновь полученной ЛАХ.
Определение критического коэффициента усиления для статической и астатической систем иллюстрируется рис. 3.17 а и 3.17б.
Пример. Построить ЛЧХ системы стабилизации угла тангажа и оценить ее устойчивость. Определить запасы устойчивости и рассчитать критическое значение передаточного числа по углу тангажа.
Передаточную функцию разомкнутой системы можно привести к виду
Корни характеристического уравнения разомкнутой системы имеют значения:
Следовательно, После преобразований получим
где
Определим частоты сопряжения и разобьем сетку координат.
Построим ЛАХ системы, учитывая, что коэффициент усиления разомкнутой системы равен Так как относительный показатель затухания мал, то необходимо полученную ЛАХ уточнить в окрестности частоты сопряжения 03. Это можно сделать как по специальным графикам, так и расчетным путем по известной амплитудной частотной характеристике. АЧХ данной системы определяется выражением
Подставив несколько значений частоты в окрестности частоты сопряжения 03, получим значения АЧХ, рассчитаем значения ЛЧХ и построим уточняющую кривую. Фазовая частотная характеристика строится как сумма фазовых характеристик типовых звеньев, входящих в состав передаточной функции
где
Из графиков ЛЧХ следует, что с< и, следовательно, замкнутая система устойчива. Запас устойчивости по фазе =1080. Для систем, в которые входят колебательные звенья с малым относительным коэффициентом затухания, запас устойчивости по модулю определяется в точке резонанса и в данном случае он равен 10дб, что соответствует значению h=3.16. Полученные значения запасов устойчивости незначительно отличаются от значений рассчитанных в соответствии с критериями Гурвица и Михайлова. В исследуемом случае критический коэффициент усиления определяется при касании L(р) оси частот. Перенесем ЛАХ параллельно самой себе так, чтобы в точке =р она касалась оси частот и продлим первую асимптоту до пересечения с осью частот. В этой точке k==7.244, что соответствует значению (k)кр=16.74.
2. Выделение областей устойчивости
Среди физических параметров, характеризующих САУ, всегда имеется несколько, легко поддающихся изменению и использующихся для определенной настройки системы. При конструировании системы весьма важно знать диапазоны значений изменяемых параметров, допустимые с точки зрения сохранения устойчивости САУ. Об этих диапазонах можно судить, если в пространстве изменяемых параметров построить область устойчивости, т.е. выделить область значений параметров, при которых система сохраняет устойчивость.
Область устойчивости в теории автоматического управления принято называть D - областью, а представление области параметров в виде областей устойчивости и неустойчивости называют D - разбиением.
Построение области устойчивости по алгебраическим критериям
Допустим, что коэффициенты характеристического уравнения
зависят от двух изменяемых параметров и . Для построения области устойчивости прежде всего нужно, в соответствии с необходимым условием устойчивости, выделить область изменяемых параметров при нахождении в которой, коэффициенты характеристического уравнения положительны. Это можно сделать, решив систему уравнений
Для построения границы положительности коэффициентов аi необходимо из решений уравнений (3.26) выбрать те, которые обеспечивают положительность всех коэффициентов. Из всех границ положительности только две одновременно могут быть и границами устойчивости. Такими являются границы, уравнениями которых являются
Доказано, что если d0 и dn приблизятся к нулю, то характеристическое уравнение будет иметь два действительных корня
При дальнейшем уменьшении коэффициенты d0 и dn перейдут через ноль, станут отрицательными, а корни (3.28) окажутся положительными. Так как вещественные корни определяют апериодические составляющие решения дифференциального уравнения, то границы (3.27) называют апериодическими границами устойчивости. На самих границах устойчивости корни (3.28) равны соответственно и 0. Стороны кривых, di(,)=0, примыкающие к области положительности соответствующих коэффициентов, штрихуются в сторону положительности. Может случиться так, что какой либо из коэффициентов, d0 или dn не зависит от изменяемых параметров. Это означает отсутствие соответствующей апериодической границы устойчивости.
Колебательной границей устойчивости называется кривая в плоскости изменяемых параметров, при переходе через которую пара комплексно - сопряженных корней изменяет знак своей вещественной части на обратный. Доказано, что колебательная граница устойчивости определяется выражением
(3.29)
В этом выражении n-1 - (n-1) - й определитель Гурвица. Колебательная граница устойчивости штрихуется в сторону положительности n-1.
Пример. Построить область устойчивости в плоскости параметров k и kz системы стабилизации угла тангажа.
Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
Исследуем неравенства d2>0, d3>0, d4>0 . Из первого неравенства следует, что для положительности коэффициента d2 необходимо, чтобы выполнялось условие
Неравенство d4>0 определяет, что для положительности этого коэффициента необходимо, чтобы k>0. Для выполнения неравенства d3>0 требуется, чтобы
При любых значениях передаточного числа по углу больших нуля, правая часть последнего выражения по модулю будет больше единицы. Таким образом, границами положительности коэффициентов будут
От изменяемых параметров зависит коэффициент dn=d4 и не зависит коэффициент d0. Поэтому уравнение k=0 одновременно является и апериодической границей устойчивости.
Составив определитель Гурвица, для его n-1 минора получим
Подставим в это выражение значения коэффициентов d2, d3, d4, как функций параметров k и k , после преобразований получим квадратное уравнение, определяющее передаточное число по угловой скорости как функцию от передаточного числа по углу тангажа
По этому выражению строится колебательная граница устойчивости. График деления области исследуемых параметров на области устойчивости и неустойчивости показан на рис. 3.19.
Граница колебательной неустойчивости штрихуется в сторону положительности n-1- го определителя Гурвица, а прямая kz=0 в сторону положительности этого коэффициента. Для проверки полученных результатов выберем какие - либо значения параметров внутри заштрихованной области, например k=5, kz=0.6, вычислим значения коэффициентов характеристического уравнения и оценим устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица. Получим, что при выбранных значениях передаточных чисел система устойчива. Это означает, что и вся область, внутрь которой обращены штрихи, является областью устойчивости.
D - разбиение в плоскости одного параметра
Пусть нас интересует влияние какого - либо одного параметра на устойчивость САУ и этот параметр входит в характеристическое уравнение линейно, так что это уравнение можно представить в виде
Сделав замену s= j , получим
Задавая значения частоты от - до +, можно построить кривую (), отображающую мнимую ось плоскости корней на плоскость . Эта граница D - разбиения симметрична относительно вещественной оси. Поэтому вычисления можно вести в диапазоне частот от 0 до +, а затем дополнить полученную кривую ее зеркальным отображением на диапазон частот от - до нуля. При движении по мнимой оси от - до + на плоскости корней область устойчивости остается слева.
Поэтому при движении по кривой D - разбиения в сторону увеличения частоты ее штрихуют слева. Область, внутрь которой обращены штрихи, является предполагаемой областью устойчивости. Для окончательного решения, необходимо взять какое - либо вещественное значение параметра в исследуемой области и воспользоваться каким - либо критерием устойчивости. Если при избранном значении параметра система устойчива, то рассматриваемая область является областью устойчивости.
Пример. Построить область устойчивости системы стабилизации угла тангажа в плоскости передаточного числа k.
Характеристическое уравнение исследуемой системы можно записать в виде
где
В полученных выражения сделаем замену s=j и получим
В этих выражениях
Так как необходимым условием устойчивости рассматриваемой системы является k>0, то мнимая ось также является границей устойчивости и штрихуется в сторону положительности k. Значение этого коэффициента, равное 5, находится внутри заштрихованной области и мы знаем, что при этом значении система устойчива. Значит и весь отрезок вещественной оси, расположенный внутри заштрихованной области, дает значения передаточного числа по углу, при которых система устойчива. Можно показать, что окончание этого отрезка находиться в точке, равной критическому значению коэффициента k=16.56.
D - разбиение в плоскости двух параметров
Пусть коэффициенты характеристического уравнения линейно зависят от двух параметров и так, что его можно записать в виде
После замены s=j получим
Так как равенство нулю всего преобразованного характеристического уравнения может выполняться только, если одновременно равны нулю его вещественная и мнимая части, то получим систему уравнений относительно изменяемых параметров
Разрешив систему (3.33) относительно и , получим
где
Задавая значения частоты от - до +, определим совокупность точек на плоскости - , образующих кривую D - разбиения. Функции () и () являются четными, и поэтому, при изменении частоты в указанных выше пределах, кривая D - разбиения пробегается дважды. При построении кривой D - разбиения в плоскости двух параметров необходимо руководствоваться следующими правилами [8,14]:
1) если в системе (3.33) первое уравнение получено из вещественных частей, а второе - из мнимых частей функций P(j), Q(j) и S(j) и если параметр по написанию стоит первым, а - вторым, то система координат должна быть правой, т.е. ось является осью абсцисс с отсчетом положительных значений вправо, а ось - осью ординат с отсчетом положительных значений вверх;
2)двигаясь по кривой D - разбиения при изменении частоты в сторону увеличения, ее штрихуют слева, если ()>0, и справа, если ()<0; в результате кривая штрихуется дважды с одной стороны, так как на концах кривой при =0 и = знак главного определителя () изменяется.
Может быть случай, когда при =* 0, одновременно (*)= =(*)=(*)=0. Тогда система (3.33) становится линейно - зависимой и ее уравнения отличаются друг от друга только на постоянный множитель. В этом случае эта система сводится к одному уравнению, определяющему на плоскости - прямую линию, которая называется особой прямой. Если особая прямая пересекает кривую D - разбиения в точке =* и в этой точке определитель () меняет знак, то эта прямая также является границей устойчивости и в указанной точке изменяется направление штриховки кривой и особой прямой. Если при =* изменение знака главного определителя не происходит, то штриховка на особую прямую не наносится. Если свободный член характеристического уравнения dn=dn(,), то это соответствует существованию особой прямой для =0 и ее уравнение будет
...Подобные документы
Оценка устойчивости системы автоматического регулирования по критериям устойчивости Найквиста, Михайлова, Гурвица (Рауса-Гурвица). Составление матрицы главного определителя для определения устойчивости системы. Листинг программы и анализ результатов.
лабораторная работа [844,0 K], добавлен 06.06.2016Частотные показатели качества системы автоматического управления в переходном режиме. Полный анализ устойчивости и качества управления для разомкнутой и замкнутой систем с помощью критериев Гурвица и Найквиста, программных продуктов Matlab, MatCad.
курсовая работа [702,6 K], добавлен 18.06.2011Устойчивость как свойство системы возвращаться в исходное состояние после вывода ее из состояния равновесия. Характер решения при различных значениях корней уравнения. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица, Найквиста, Михайлова, определение его областей.
реферат [100,6 K], добавлен 15.08.2009Рассмотрение основ передаточной функции замкнутой системы. Анализ устойчивости системы автоматического управления. Описание нахождения характеристического уравнения системы в замкнутом состоянии. Алгебраические критерии устойчивости Гурвица и Михайлова.
контрольная работа [98,9 K], добавлен 28.04.2014Системы автоматического регулирования (САР), их виды и элементарные звенья. Алгебраические и графические критерии устойчивости систем. Частотные характеристики динамических звеньев и САР. Оценка качества регулирования, коррекция автоматических систем.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 16.02.2013Передаточная функция разомкнутой системы. Анализ устойчивости системы автоматического управления. Амплитудно-фазовая частотная характеристика системы. Критерий устойчивости Гурвица. Анализ переходного процесса при подаче ступенчатого воздействия.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 18.10.2012Алгебраические и частотные критерии устойчивости. Порядок характеристического комплекса. Годографы частотной передаточной функции разомкнутой системы. Определение устойчивости с помощью ЛАЧХ разомкнутой системы. Абсолютно и условно устойчивые системы.
реферат [157,7 K], добавлен 21.01.2009Анализ исходной системы автоматического управления, определение передаточной функции и коэффициентов. Анализ устойчивости исходной системы с помощью критериев Рауса, Найквиста. Синтез корректирующих устройств и анализ синтезированных систем управления.
курсовая работа [442,9 K], добавлен 19.04.2011Поиск передаточных функций разомкнутой и замкнутой систем, замкнутой системы по ошибке и возмущению. Точность отработки входных воздействий. Устойчивость по критерию Гурвица. Выбор регулятора и уточнение его параметров. Значения динамических показателей.
контрольная работа [40,9 K], добавлен 04.03.2014Проведение анализа замкнутой системы на устойчивость. Определение передаточной функции разомкнутой системы и амплитудно-фазовой частотной характеристики системы автоматического управления. Применение для анализа критериев Гурвица, Михайлова и Найквиста.
контрольная работа [367,4 K], добавлен 17.07.2013Определение устойчивости и оценки качества систем управления. Расчет устойчивости Гурвица. Моделирование переходных процессов. Задание варьируемого параметра как глобального. Формирование локальных критериев оптимизации. Исследование устойчивости СУ.
курсовая работа [901,9 K], добавлен 19.03.2012Расчет передаточной функции разомкнутой и замкнутой цепи. Построение переходного процесса системы при подаче на вход сигнала в виде единичной ступеньки. Исследование устойчивости системы по критерию Гурвица и Михайлова. Выводы о работоспособности системы.
контрольная работа [194,0 K], добавлен 19.05.2012Анализ структурной схемы заданной системы автоматического управления. Основные условия устойчивости критерия Гурвица и Найквиста. Синтез как выбор структуры и параметров системы для удовлетворения заранее поставленных требований. Понятие устойчивости.
курсовая работа [976,0 K], добавлен 10.01.2013Возможности математического пакета MathCad. Использование алгебраического критерия Рауса-Гурвица для анализа устойчивости систем. Построение годографов Найквиста по передаточной функции разомкнутой системы заданной в виде полинома, использование ЛАХЧ.
практическая работа [320,6 K], добавлен 05.12.2009Оценка качества линейных САУ. Прямые показатели качества числовых показателей. Алгебраические критерии и необходимые условия устойчивости уравнения. Анализ критерия Гурвица. Характеристическое уравнение замкнутой системы. Квадратичная интегральная ошибка.
реферат [101,6 K], добавлен 04.02.2011Передаточные функции замкнутой и разомкнутой САУ. Построение АХЧ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ системы в замкнутом состоянии. Расчет запасов устойчивости замкнутой системы по годографу Найквиста. Исследование качества переходных процессов и моделирование САУ.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 21.10.2013Анализ устойчивости системы автоматического управления с применением алгебраического и частного критериев устойчивости. Составление передаточной функции разомкнутой и замкнутой САУ. Оценка ее точности в вынужденном режиме, качество переходного процесса.
курсовая работа [5,7 M], добавлен 02.06.2013Оценка установившихся режимов работы систем автоматического управления. Поведение элементов и систем при воздействиях, являющихся периодическими функциями времени. Частотная передаточная функция. Проверка систем на устойчивость по критерию Рауса.
контрольная работа [365,0 K], добавлен 14.11.2012Анализ устойчивости замкнутой системы по корням характеристического уравнения, алгебраическому и частотному критерию. Построение области устойчивости в плоскости параметра Кр. Методы коррекции исследуемой системы. Построение и анализ ЛЧХ системы.
курсовая работа [516,1 K], добавлен 05.03.2010Структура замкнутой линейной непрерывной системы автоматического управления. Анализ передаточной функции системы с обратной связью. Исследование линейной импульсной, линейной непрерывной и нелинейной непрерывной систем автоматического управления.
контрольная работа [1,6 M], добавлен 16.01.2011
