Теорія та методи сплайн-апроксимації в телекомунікаціях

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОДЕСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ЗВ'ЯЗКУ ім. О.С. ПОПОВА

УДК 621.39:519.65:514.743.4

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

Теорія та методи сплайн-апроксимації в телекомунікаціях

05.12.02 - телекомунікаційні системи та мережі

Стрелковська Ірина Вікторівна

Одеса - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Одеській національній академії зв'язку ім. О.С. Попова Міністерства транспорту та зв'язку України.

Науковий консультант - заслужений працівник народної освіти України, лауреат Державної премії України, доктор технічних наук, професор Воробієнко Петро Петрович, Одеська національна академія зв'язку ім. О.С. Попова, ректор академії.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, доцент Климаш Михайло Миколайович, Національний університет «Львівська політехніка», професор кафедри телекомунікацій;

доктор технічних наук, доцент Лемешко Олександр Віталійович, Харківський національний університет радіоелектроніки, професор кафедри телекомунікаційних систем;

доктор технічних наук, професор Мазурков Михайло Іванович, Одеський національний політехнічний університет, зав. кафедри інформаційної безпеки.

Захист дисертації відбудеться «26» березня 2010 р. о 10.00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 41.816.02 в Одеській національній академії зв'язку ім. О.С. Попова за адресою: 65029, м. Одеса, вул. Ковальська, 1.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Одеської національної академії зв'язку ім. О.С. Попова за адресою: 65029, м. Одеса, вул. Ковальська, 1.

Автореферат розісланий «22» лютого 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради А.Г. Ложковський.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. При аналізі й синтезі телекомунікаційних систем поряд з іншими математичними методами з функціонального аналізу, інтегрального й диференціального обчислення, теорії груп, теорії операторів, спектрального аналізу тощо застосовуються також методи апроксимації.

Необхідність залучення цих методів виникає часто, у тому числі:

- при заміні одних математичних об'єктів іншими, у тому або іншому сенсі близькими до вихідних;

- у задачах аналого-цифрового й цифро-аналогового перетворення сигналів зв'язку;

- у задачах контролю й управління станом мережних елементів, їхніми режимами і мережами в цілому.

Апроксимація дозволяє досліджувати числові характеристики та якісні властивості аналізованого об'єкта, зводячи завдання до вивчення більш простих або більш зручних об'єктів (наприклад, таких, характеристики яких легко обчислюються або властивості яких уже відомі).

Теорія й методи апроксимації реальних процесів і режимів мережних елементів, а також функцій мережі знаходять усе більш широке застосування при вирішенні різних завдань теорії й практики телекомунікацій. До цього часу широкої популярності набули поліноміальна і дробово-раціональна апроксимації. Водночас, ці методи мають обмежені можливості. Так, при їх використанні в околі особливих точок можливі непрогнозовані локальні збурення, відмічається погана збіжність та ін. Апарат сплайн-апроксимації, який успішно розвивається останніми роками (праці I. Schoenberg, C. de Boor, Дж. Альберга, Е. Нільсона, Дж. Уолша, С.Б. Стечкіна, Ю.М. Субботіна, Ю.С. Зав'ялова, Б.І. Квасова, В.Л. Мирошниченка, В.О. Василенка, М.П. Корнейчука, А.О. Лигуна та ін.), є серйозним конкурентом зазначених видів апроксимації, вільним від багатьох недоліків. До числа основних переваг сплайн-апроксимації можна віднести такі:

1) сплайни більш стійкі щодо локальних збурень, тобто поводження сплайну в околі точки не позначається на поводженні сплайну в цілому, як, наприклад, це має місце при поліноміальній інтерполяції;

2) хороша збіжність сплайн-інтерполяції на відміну від поліноміальної. Зокрема, для функцій з нерегулярними властивостями гладкості незаперечний пріоритет за сплайн-інтерполяцією.

Крім перелічених властивостей сплайни мають корисні екстремальні властивості. Важливою практичною перевагою є досить проста реалізація сплайн-функцій на ЕОМ. Все це в сукупності викликає безсумнівну зацікавленість теоретиків і прикладників до апарату сплайн-наближень.

У сучасних телекомунікаційних системах, де як основна і перспективна визнана IP-технологія з орієнтацією на конвергентність супутніх технологій і можливістю побудови мереж наступного покоління NGN, виникли класи завдань, пов'язаних з необхідністю оптимізації структурних і функціональних характеристик окремих елементів, рівнів і мереж у цілому. Цей ряд завдань можна представити в рамках трьох складових.

Першою складовою є необхідність оптимального використання обмежених фізичних, канальних, мережних, обчислювальних та інших ресурсів. У першу чергу це стосується агента-носія інформації - сигналу. Саме вибір ефективних із заощаджуваним спектром інформаційних сигналів, до числа яких належать селективні сигнали, у даний час є важливим об'єктом уваги фахівців. Значний внесок у вирішення завдань підвищення ефективності методів передачі й обробки сигналів зробили такі вчені: Д.Е. Вакман, Л.Я. Варакін, А.Д. Вітербі, М.Б. Свердлик, В.М. Кошовий, М.І. Мазурков і багато інших, а також вчені Одеської національної академії зв'язку ім. О.С. Попова: П.П. Воробієнко, І.П. Панфілов, М.В. Захарченко, А.Г. Зюко, Е.О. Сукачов, В.Л. Банкет, В.А. Кисіль, В.О. Балашов, П.Я. Нудельман.

Другою складовою є забезпечення керованості й стійкості телекомунікаційних систем. Розвинена за останні роки й реалізована на практиці концепція NGN, що забезпечує конвергенцію фрагментів мереж з іншими технологіями, потребує розширення засобів контролю й діагностики мережних елементів, підсистем сигналізації, управління, захисту тощо. Виникає необхідність розширення можливості засобів, що забезпечують прийом і передачу керуючих та інформаційних сигналів, формування пакетів даних змінної довжини із сигнальною й іншою інформацією, передавання й приймання кадрів, необхідну достовірність і задоволення вимог з припустимої затримки. Система моніторингу, у тому числі вилученого, вимагає реалізації методів обробки в реальному масштабі часу з максимально можливою точністю, що відображає поточний стан об'єктів моніторингу. Застосовувані сьогодні методи лінійної оцінки стану цих елементів і режимів можуть бути модернізовані, і їх точність відповідно підвищена за рахунок використання інтерполяційних сплайн-апроксимацій нелінійними функціями. Точність таких оцінок зростає порівняно зі зазвичай використовуваними лінійними апроксимаціями у декілька разів, у міру зростання інтервалу дискретизації вимірюваного й оцінюваного процесу. Відповідно збільшується точність вирішення кінцевих завдань: управління структурою й функцією окремих об'єктів телекомунікаційних систем.

Третьою складовою є необхідність пошуку ефективних інструментів системного аналізу й синтезу мереж. До числа останніх належать тензорні методи, що дозволяють з єдиних позицій розглядати структурні й функціональні властивості телекомунікаційних систем. У роботах Г. Крона, В.В. Поповського, О.В. Лемешка та інших було запропоновано як модель телекомунікаційної системи використати тен-зорні подання, що мають властивості інваріантності у різних системах координат. Тензорна модель телекомунікаційної системи дозволяє в одному математичному об'єкті об'єднати структурні та функціональні властивості модельованої системи. Оскільки сучасна телекомунікаційна система з комутацією пакетів, що використовує концепцію NGN, є системою з постійно змінюваною структурою, то саме тензорна модель дозволяє одержувати рішення, інваріантні до трафіку, що надходить. Виходячи із системних позицій, при застосуванні тензорних методів аналізу з'явилась можливість розв'язання ряду задач в аналітичному вигляді. Одним із прикладів таких задач є задача синтезу системи з гарантією мінімального часу багатошляхової доставки.

При розв'язанні цих та інших задач виникла необхідність узагальнення процедури інтерполяції стану динамічної системи за допомогою сплайн-функцій. При відновленні стану дискретизованих полів, за допомогою яких можуть бути представлені різні характеристики телекомунікаційних систем, треба було узагальнити поняття сплайн-функції за допомогою поняття тензора. Це дозволило виконувати інтерполяцію, використовуючи тензор, компонентами якого є сплайн-функції. Виникла необхідність уведення поняття тензорних сплайнів і розгляду основних операцій над ними, а саме: додавання, множення й згортання тензорних сплайнів, що є необхідним при вирішенні системних завдань телекомунікацій.

Сплайн-апроксимації тензорів стали логічним розширенням даного виду апроксимації на більш загальні математичні об'єкти, що дозволило одержати нові ефективні вирішення завдань, типові для телекомунікацій: управління структурою і функцією, тобто управління трафіком і маршрутизацією. Таким чином, використання сплайн-апроксимації тензорів дозволяє розширити клас можливих вирішень практичних завдань, розв'язуваних дотепер на рівні інженерної інтуїції або навіть раніше не розглядуваних у телекомунікаціях, забезпечуючи їхню більшу спільність і можливість вирішення системних завдань.

Викладене вище дозволяє сформулювати важливу науково-технічну проблему - створення теорії і конструктивних методів використання сплайн-апроксимації в задачах аналізу та синтезу телекомунікаційних систем.

Вирішення даної проблеми - лише елемент більш загальної проблеми: створення теорії телекомунікаційних систем, яка дозволить перейти від чисто технологічних рішень, що опираються на інженерну інтуїцію, до рішень на основі теорії систем. У зв'язку з цим тематика даної роботи є актуальною, а сама робота є вагомим внеском у розвиток теорії телекомунікацій.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи безпосередньо пов'язана з пріоритетними напрямами розвитку науки й техніки в рамках Державних програм розвитку й інформатизації Кабінету Міністрів України, координаційних планів науково-дослідних робіт Міністерства освіти і науки України «Перспективні інформаційні технології, пристрої комплексної автоматизації систем зв'язку» і «Фундаментальні дослідження з найважливіших проблем природних, суспільних і гуманітарних наук», з пріоритетними напрямами наукових досліджень Одеської національної академії зв'язку ім. О.С. Попова - «Математика», «Інформатика й телекомунікаційні технології».

Вибрані напрямки дослідження безпосередньо пов'язані із завданнями, сформульованими в «Переліку державних, наукових і науково-технічних програм по пріоритетних напрямках розвитку науки і техніки на 2006-2010 роки», затвердженому Постановою Кабінету Міністрів України № 1716 від 24.12.2006, а також у «Концепції розвитку ВАТ «УКРТЕЛЕКОМ» до 2010 року».

У даній дисертаційній роботі узагальнено й систематизовано результати досліджень, проведених автором на кафедрах вищої математики, технічної електродинаміки й систем радіозв'язку, телекомунікаційних систем Одеської національної академії зв'язку ім. О.С. Попова, у її структурних підрозділах і лабораторіях за період з 1990 по 2010 рр. Результати досліджень увійшли до складу науково-технічних звітів шести науково-дослідних робіт: «Математичні моделі в електрозв'язку та економіці» («Побудова моделей») (2007-2008), державний реєстраційний номер 0109U008297; («Оптимізація моделей») (2008-2009), державний реєстраційний номер 0109U008296; («Методи моделювання») (2009), державний реєстраційний номер 0109U008295; «Дослідження методів підвищення ефективності систем радіозв'язку з рухомими об'єктами» («Мобільність»), (2009), державний реєстраційний номер 0109U006000; «Дослідження електричних кіл та електромагнітних полів при експофункціональних діях (цикл 3)» («Компенсація-3»), (2009), державний реєстраційний номер 0109U008009; «Дослідження електромагнітної сумісності систем доступу» («СОМ»), (2009), державний реєстраційний номер 0110U001063.

Мета і завдання дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає у створенні теорії і конструктивних методів сплайн-апроксимації, що дозволяють більш ефективно розв'язувати різні задачі в телекомунікаціях для підвищення показників якості телекомунікаційних систем.

Для досягнення поставленої мети необхідно було вирішити такі задачі:

- аналіз методів, що використовують апроксимацію (екстраполяцію та інтерполяцію) для розв'язання задач телекомунікацій, і порівняння цих методів з методами сплайн-апроксимації;

- розробка параметричних методів синтезу селективних сигналів з фінітним спектром, вільних від міжсимвольної інтерференції (МСІ), і створення основ побудови банку цих сигналів;

- аналіз можливостей і якості відновлення випадкових сигналів зв'язку, а також методів підвищення точності інтервального оцінювання випадкових процесів при різній інтенсивності їхньої оцифровки;

- використання методів сплайн-апроксимації в задачах управління мережними елементами та телекомунікаційними системами;

- використання сплайн-апроксимації із застосуванням тензорних методів у задачах аналізу й синтезу телекомунікаційних систем;

- розробка рекомендацій з вибору й використання методів сплайн-апроксимації в задачах аналізу й синтезу сигналів, алгоритмів, мережних елементів і мереж у цілому.

Об'єкт дослідження. Наукові основи удосконалювання телекомунікаційних систем.

Предмет дослідження. Теорія та методи сплайн-апроксимації, спрямовані на поліпшення параметрів і показників якості сучасних телекомунікаційних систем.

Методи дослідження. Використання теорії зв'язку, теорії систем, математичного аналізу, функціонального аналізу, теорії моделей та імітаційного моделювання, тензорного аналізу, комбінаторної топології, сплайн-апроксимації, інтерполяції, лінійної алгебри, диференціальної геометрії, синтезу сигнальних імпульсів, оптимізації параметрів селективних сигналів при їхньому синтезі.

Наукова новизна одержаних результатів. Нову наукову проблему дисертаційної роботи становлять: створення теорії й конструктивних методів використання сплайн-апроксимації в задачах аналізу й синтезу телекомунікаційних систем. У рамках вирішення даної проблеми одержані такі нові наукові результати:

1. Уперше розроблено метод синтезу багатопараметричних селективних сигналів з фінітним спектром, вільних від МСІ, на основі кубічних сплайн-апроксимацій.

2. Уперше запропоновано метод синтезу селективних сигналів, заснований на використанні B-сплайнів для апроксимації частотних характеристик. Розроблено аналітичний метод синтезу й аналізу цих сигналів у часовій і частотній областях.

3. Розроблено метод і проведено аналіз повної енергії селективних сигналів, спектральна щільність яких апроксимована звичайним кубічним і кубічним B-сплайнами.

4. Створено основи для побудови банку багатопараметричних селективних сигналів з фінітним спектром, вільних від МСІ.

5. Доведено можливість підвищення якості відновлення випадкових сигналів за допомогою сплайн-апроксимації порівняно з використовуваними на практиці методами ряду Котельникова.

6. Доведено можливість одержання більш точної інтервальної оцінки випадкових процесів і сигналів за рахунок нелінійної сплайн-апроксимації результатів лінійного оцінювання стану мережних елементів і мереж у цілому.

7. Розроблено метод розв'язання лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь за допомогою сплайн-функцій (лінійних, кубічних, B-сплайнів), що дозволяє одержувати стійкі розв'язки задач оптимального управління в телекомунікаційних мережах.

8. Уперше при відновленні дискретизованих векторних процесів і полів запропоновано узагальнити поняття сплайн-функцій за допомогою поняття тензора, компонентами якого є сплайн-функції, що дозволяє одержувати інваріантні до розмірності й системи координат рішення й розширити клас цих рішень, поєднуючи структурні й функціональні властивості телекомунікаційних систем.

9. Уперше введено поняття тензорних сплайнів і розглянуто операції над ними, показана коректність алгебраїчних операцій над тензорними сплайнами: додавання, множення, згортання тензорних сплайнів, що дозволяє здійснювати відповідні математичні процедури над дискретними процесами й полями, які характеризують багатовимірний стан телекомунікаційних систем.

10. Уперше для розв'язання нелінійних задач узагальнено метод лінеаризації за допомогою переходу в ріманів простір, використовуючи коваріантне диференціювання за допомогою тензорних сплайнів.

11. Одержано метод розв'язання нелінійних задач на многостатності тензорних сплайнів за допомогою тензорної лінеаризації дискретних нелінійних окільних систем, за допомогою якої спрощуються дослідження функціональних властивостей телекомунікаційної системи.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що:

1. Створено на основі кубічних сплайнів інженерну методику аналізу й синтезу нових видів багатопараметричних селективних сигналів з фінітним спектром, які відрізняються тим, що при їх використанні мінімізовані інтерференційні (міжсимвольні й міжканальні) завади. Визначено набір необхідних параметрів синтезованих сигналів, і визначена область допустимих значень цих параметрів, що дозволяють забезпечити ефективні властивості й фізичну реалізованість цих сигналів на практиці.

2. Наявність банку багатопараметричних селективних сигналів з фінітним спектром, вільних від МСІ, дозволяє дослідникові формувати найбільш раціональні класи сигналів залежно від умов у каналах зв'язку й вимог до самої телекомунікаційної системи.

3. Одержано рекомендації щодо синтезу сигналів, ефективних за двома традиційними критеріями (залежність величини розкриття око-діаграми від коефіцієнта скруглення спектра сигналів, апроксимованих у частотній області кубічним сплайном і кубічним B-сплайном, та залежність концентрації енергії селективних сигналів від коефіцієнта скруглення) відносно застосування нових сигнальних функцій, екстремальні властивості яких дозволяють покращити технічні характеристики телекомунікаційних систем.

4. Показано, що широко використовуваний на практиці для апроксимації сигналів і процесів на кінцевому проміжку ряд Котельникова не є найкращим способом наближення. Більш ефективним апаратом наближення є сплайн-функції, що дозволяє збільшувати точність апроксимації. Крім того, при сплайн-апроксимації практично відсутній ефект Гіббса.

5. Показано, що при одержанні інтервальних оцінок випадкових процесів апроксимація послідовності оцінок кубічними сплайнами більш ефективна, ніж лінійна, одержувана за методом Калмана-Б'юсі. Досліджено можливі похибки, одержано граничні значення цих похибок.

6. При розв'язанні нелінійних задач, зокрема задач оптимального управління, одержані похибки обчислень для лінійних, кубічних нелокальних сплайнів, дискретних кубічних сплайнів, ермітових кубічних і В-сплайнів для рівномірних і нерівномірних сіток розбиття відрізку, на якому задана функція управління. Показано, що подальше підвищення гладкості функції управління вже не дає підвищення порядку апроксимації - відбувається насичення інтерполяційного процесу. Таким чином, визначена границя досяжної точності при реалізації управління в телекомунікаційних системах.

7. Показано, що в моделях телекомунікаційних систем, представлених вузловою мережею, застосування тензорних методів розрахунку дозволяє аналізувати сумісні структурні й функціональні властивості цих систем, забезпечувати одержання більш загальних результатів, що гарантують мінімальний час багатошляхової маршрутизації, що, крім спільності, дозволяє також більш просто знаходити оптимальні рішення.

Практичні результати роботи підтверджені актами впровадження в таких організаціях, як: Харківський науково-дослідний інститут судових експертиз ім. Засл. проф. М.С. Бокаріуса, Український науково-дослідний інститут зв'язку, Державний університет інформаційно-комунікаційних технологій, Одеська національна академія зв'язку ім. О.С. Попова, в/ч К - 1415.

Особистий внесок здобувача. Роботи [3], [8], [13], [14], [15], [21], [22], [30], [35], [36] - виконані автором самостійно. У працях, опублікованих у співавторстві, автору належить [7, 10-12, 23, 32, 34, 37] - вибір методу розв'язання, виконання математичних процедур, сплайн-апроксимація спектральної характеристики селективних сигналів; [24] - постановка задачі, сплайн-апроксимація частотних характеристик селективних сигналів; [9, 20, 19, 33] - вибір методу розв'язання, виконання розрахункових задач, аналіз одержаних результатів; [18, 38] - постановка задачі, вибір методу розв'язання, формулювання висновків; [29, 31] - постановка задачі, виконання розрахункових задач, аналіз одержаних результатів; [4, 6] - постановка задачі, вибір методу розв'язання, обґрунтування математичної коректності рішень математичного моделювання телекомунікаційних систем; [5, 16, 25] - вибір методу розв'язання; формулювання висновків; [17] - постановка задачі, аналіз одержаних результатів, узагальнення поняття сплайн-функцій за допомогою поняття тензора (тензорні сплайни); [26, 27, 39, 40] - методи розв'язання нелінійних задач оптимального управління за допомогою тензорних сплайнів; [1] - тринадцятий розділ у частині методів апроксимацій, характеризації й визначення фрагментів; методи сплайн-функції в завданнях апроксимації при аналізі й синтезі моделей; наближене рішення диференціальних та інтегральних рівнянь за допомогою сплайн-функцій; [2] - другий і третій розділи; [28] - розрахунок параметрів цифрового каналу в патенті України.

Апробація результатів дисертації. Основні наукові результати й положення дисертації доповідалися й обговорювалися на міжнародних, загальноукраїнських і галузевих науково-практичних, науково-технічних конференціях і форумах [5, 13, 20, 31-40], усього 13 доповідей.

Публікації. За матеріалами дисертаційної роботи опубліковано 43 наукові праці, у тому числі: 1 підручник, затверджений Міністерством освіти і науки України; 1 підручник, затверджений Міністерством транспорту та зв'язку України; 27 статей у журналах і науково-технічних збірниках (19 - у співавторстві), із них 25 статей, що входять до переліку ВАК України як спеціалізовані за напрямом «Телекомунікації», 1 патент України, 13 публікацій у міжнародних науково-практичних, науково-технічних конференціях і форумах (10 - у співавторстві).

Структура й обсяг роботи. Робота складається зі вступу, шести розділів, висновків, які містять основні результати дослідження, списку використаних джерел. Обсяг основного тексту дисертації становить 268 сторінок, робота містить 61 рисунок на 56 сторінках, 7 таблиць на 7 сторінках, список використаних джерел нараховує 355 найменувань на 33 сторінках.

Основний зміст роботи

У вступі сформульовано проблему дослідження, обґрунтовано її актуальність і доцільність, відображений її зв'язок з галузевими й державними програмами та планами, визначена мета роботи й коло вирішених завдань, показано її наукову новизну й практичну значущість одержаних результатів, наведено інформацію про особистий внесок здобувача, апробацію й впровадження наукових результатів роботи.

У першому розділі наводиться короткий огляд літератури з теми дослідження, здійснюється аналіз стану питання проблеми, порівнюються відомі методи апроксимації і визначаються їхні недоліки. Виходячи із проведеного аналізу, формулюється постановка завдання, визначається коло питань, вирішення яких знадобилося для досягнення поставленої в дисертації мети і основної проблеми.

У другому розділі обґрунтовуються і розглядаються раніше не вирішені завдання:

1. Можливість і необхідність створення нових методів синтезу багатопараметричних селективних сигналів з фінітним спектром, вільних від МСІ.

2. Одержання аналітичного виразу цих сигналів у часовій і частотній областях.

3. Дослідження властивостей цих сигналів, яке включає:

- аналіз впливу параметрів на властивості сигнальних функцій;

- порівняльний аналіз різних видів створених сигнальних функцій.

4. Формулювання рекомендацій щодо того, як, змінюючи параметри, одержати сигнали з потрібними властивостями.

5. Створення основ для побудови банку багатопараметричних селективних сигналів з фінітним спектром, вільних від МСІ.

Розглядаються однопараметричні сигнали , що задовольняють першому критерію Найквіста

де - тривалість тактового інтервалу (тривалість символу); - величина миттєвого значення імпульсу в момент відліку . Такі сигнали називаються селективними або відліковими. Основна їхня властивість, що виділяє їх серед сигналів інших класів, - відсутність міжсимвольної інтерференції. Ця властивість використовується в цифрових системах, де реалізується посимвольний прийом методом однократного відліку.

Селективному сигналу відповідає фінітний спектр, аналітичне подання якого може бути записане в такий спосіб

(1)

де ; - коефіцієнт скруглення спектральної щільності , що визначає ширину перехідної області ; 2 - ширина перехідної області, тобто

У силу відомої симетрії спектральної щільності щодо точки функції й пов'язані рівністю

(2)

визначається з умов інтерполяції

Аналітичний вираз для спектральної щільності в перехідній області одержано, застосовуючи метод інтерполяції кусково-кубічними многочленами, які дають можливість з'єднати точки і . В якості таких многочленів використані кубічні сплайни класу (кубічні сплайни дефекту 1, що є двічі неперервно-диференційованими функціями). Інтерполяційний кубічний сплайн шукається на проміжку , а далі, використовуючи рівність (2), відновлюється вид усієї функції в перехідній області.

(3)

.

Запропонований метод інтерполяції спектральних характеристик селективних сигналів дозволяє синтезувати нові сигнальні функції

. (4)

Селективний сигнал (4) залежить від двох параметрів - і . Перший визначає ширину перехідної області , а з другим пов'язана форма спектра в перехідній області. Обидва параметри впливають на поводження g(t) у часовій області. Одержано вираз для повної енергії сигналу

(5)

і проведено дослідження на екстремум енергії селективних сигналів, побудованих на основі кубічних сплайнів.

Для подальшого дослідження введено коефіцієнт

, (6)

що показує, яка частина загальної енергії сигналу g(t) знаходиться на відрізку, , n = 1, 2, … .

Вираз (6) дозволяє досліджувати залежність концентрації енергії сигналу g(t) від коефіцієнта с кубічного сплайну .

Усі розрахунки виконані в обчислювальному середовищі Mathcad 2001і Рrofessіonal.

Наведені залежності виявляють чітко виражені екстремуми, величина яких збільшується зі зростанням n. Оптимальні значення кутового коефіцієнта зміщуються при зміні n і знаходяться в межах -0,75 < с_opt < 0,75. Таким чином, підставляючи _opt в (4), одержано сигнальну функцію g(t), яка забезпечує максимум виразу (6).

Описаний метод дозволяє одержати аналітичний вираз для селективного сигналу, енергія якого зосереджена поблизу основної пелюстки. Застосування такої сигнальної функції дозволяє вибрати оптимальне значення параметрів б, с і спростити процес її практичної реалізації на етапі проектування телекомунікаційних систем.

Уперше в даній роботі запропоновано використання кубічних сплайнів для синтезу нових класів селективних сигналів - багатопараметричних. Аналіз впливу параметрів апроксимації частотної характеристики сигналів у перехідній області показав, що при певних співвідношеннях цих параметрів вдається знайти екстремальні властивості даних сигналів за енергетичним критерієм. Так, при виборі часового інтервалу при можна одержати 97% максимально можливої енергії. При ця цифра може досить близько наближатися до 1.

Апаратна реалізація часової характеристики селективних сигналів не може бути на практиці реалізована повною мірою. Тому доводиться обмежувати тривалість цього сигналу. Дане обмеження призводить до неминучої появи міжсимвольної інтерференції (МСІ).

Розглянуто процедуру синтезу селективних сигналів з мінімальним рівнем бічних пелюсток. З цією метою використовується вираз, що дістав назву D - критерію

(7)

Розв'язання задачі зводиться до того, щоб визначити значення с_opt, яке доставляє мінімум цільової функції (7).

Проведена оцінка рівня даного спотворення за D - критерієм дозволила сформулювати й вирішити оптимізаційне завдання щодо мінімізації рівня МСІ за рахунок варіації параметра с. Показано, що при оптимальному виборі параметрів б і с можна одержати сигнали з потрібними властивостями, що приводить до спрощення процесу їх практичної реалізації на етапі проектування телекомунікаційних систем.

У результаті аналізу властивостей селективних сигналів у перехідній області вдалося розробити методику синтезу селективних сигналів, в якій визначено набір необхідних параметрів і область припустимих значень цих параметрів, що дозволяють забезпечити ефективну фізичну реалізованість даних сигналів на практиці. Запропонований метод кубічної сплайн-апроксимації має достатню простоту реалізації, невисоку обчислювальну складність й адекватність практичних поставлених завдань. Дана методика використана в розробках рядом наукових закладів, про що є акти впровадження.

Проведені дослідження дозволили встановити границі зміни повної енергії селективного сигналу при варіації параметрів спектральної щільності в перехідній області.

Одержані співвідношення дають можливість розраховувати енергетичні показники телекомунікаційної системи на етапі проектування й визначити оптимальну форму сигналу відповідно до вибраного критерію. Так, якщо вибрати та , де , одержуємо найбільшу енергію се-лективного сигналу, що дорівнює 1. Отже, щоб досягти максимальної енергії селективного сигналу, необхідно в якості б брати нескінченно малі величини.

Однопараметричні сигнали являють собою досить обмежену за своїми можливостями математичну конструкцію, що не дозволяє розширювати можливості кубічної апроксимації, зокрема, не дозволяє гнучкий перерозподіл сигналу в часовій області.

Уведення параметра с дозволило розв'язати декілька оптимізаційних задач, зокрема, одержати сигнали, що мають максимальну енергію в заданому часовому інтервалі за мінімального значення осциляції селективного сигналу по обидва боки від максимального значення (при t = 0). Однак, одержання подальших результатів для двопараметричних селективних сигналів «наштовхується» на певні труднощі. Для розширення можливостей і одержання принципово нових результатів необхідно збільшити число ступенів свободи, тобто ввести новий третій параметр г. Кубічна апроксимація дозволяє це зробити.

Уведення параметра г дає можливість одержати характеристику в частотній області, зробити її особливо гладкою на нижній границі спектральної характеристики. При цьому параметр г дозволяє:

1) зберігати селективність сигналу;

2) концентрувати енергію сигналу в заданому інтервалі часу, симетричному відносно початку координат;

3) у значній мірі збільшити загасання осциляції селективного сигналу або зробити цей сигнал «слабкочутливим» до усікання його на часовій осі.

Розроблено метод інтерполяції спектральної щільності (1) селективного сигналу сплайн-функціями третього порядку, що дозволяє збільшити число незалежних параметрів, і досліджено залежність властивостей сигналу від цих параметрів.

визначається за формулою (2), а визначається аналогічно (3), використовуючи умови інтерполяції

(8)

де с й г - безрозмірні коефіцієнти.

При має вигляд

. (9)

Таким чином, спектральна характеристика (1) при фіксованій частоті залежить від трьох параметрів - . Перший визначає ширину пере-хідної області , а від двох інших залежить форма спектра в перехідній області. При зміні всіх параметрів у припустимих межах функція g(t) залишається в класі селективних сигналів, що задовольняють першому критерію Найквіста. Однак, такі зміни впливають на поводження функції g(t) у проміжках між еквідистантними нулями, тобто на інші показники селективного сигналу.

Отже, g(t) має вигляд

.(10)

Одержано загальний вираз для повної енергії багатопараметричних селективних сигналів, побудованих на основі кубічних сплайнів

Знайдено область значень параметрів с і г, багатопараметричних селективних сигналів виду (10).

Досліджено екстремальні властивості повної енергії багатопара-метричних сигналів, побудованих на основі кубічних сплайнів. Проведені дослідження дозволили встановити границі зміни повної енергії селективного сигналу при варіації параметрів спектральної щільності в перехідній області.

Повна енергія селективних сигналів виду (10) задовольняє нерівностям

.

Ці дослідження дають можливість розрахувати енергетичні показники телекомунікаційної системи на етапі проектування й вибрати оптимальну форму сигналу щодо вибраного критерію.

Одним з найважливіших показників селективних сигналів є міра концентрації енергії в заданому часовому інтервалі й величина розкриття око-діаграми.

Досліджено залежність величини горизонтального розкриття око-діаграми від параметрів трипараметричного сигналу, апроксимованого в частотній області кубічним сплайном, яка дозволяє у якості критерію оптимізації синтезувати сигнали, найбільш стійкі до зсування моментів визначення відліків - джитера.

Визначені умови, за яких досягається максимальна величина горизонтального розкриття. Найбільше горизонтальне розкриття має місце при . При цьому , що узгоджується з Rec. ІTU-T G. 957.

У третьому розділі розглядається завдання подальшого розвитку методів синтезу селективних сигналів, основаних на використанні B-сплайнів. Уперше запропоновано використання кубічних B-сплайнів для апроксимації частотних характеристик з метою синтезу нових класів селективних сигналів. Структура B-сплайнів являє собою математичну конструкцію формалізованих об'єктів, з якими легко оперувати при застосуванні обчислювальної техніки. При цьому скорочується процес обчислень. Для певного класу функцій з використанням B-сплайнів удається одержати селективні сигнали, спектральні характеристики яких мають більші енергетичні показники, ніж ті самі селективні сигнали при апроксимації звичайними кубічними сплайнами.

Розроблено метод інтерполяції спектральної щільності селективних сигналів з фінітним спектром кубічними B-сплайнами, використання яких усуває інтерференційні завади (міжсимвольні й міжканальні), що виникають за рахунок обмеження робочої смуги частот і спотворення характеристики каналу зв'язку і різко зростають при швидкостях, близьких до граничної швидкості Найквіста. Одержано аналітичний вираз цих сигналів у часовій і частотній областях, а також алгоритм насичення для модельованих сигналів.

У частотній області спектральна щільність селективного сигналу має вигляд

(12)

де ;

- коефіцієнт скруглення спектральної щільності, що визначає ширину перехідної області ; 2 ширина перехідної області.

(13)

(14)

Селективний сигнал g(t), із урахуванням фінітності спектра й непарної симетрії спектральної характеристики щодо точки С, має вигляд

, (15)

де - коефіцієнт скруглення спектральної щільності , що визначає ширину перехідної області ; - ширина перехідної області.

(16)

.(17)

Порівнюючи одержані вирази (16) і (17), маємо , тобто селективні сигнали, спектральна характеристика яких апроксимована кубічним B-сплайном, мають більшу енергію, ніж селективні сигнали, спектральна характеристика яких апроксимована кубічним сплайном.

Порівняння повної енергії селективних сигналів, спектральна характеристика яких апроксимована кубічним B-сплайном і кубічним сплайном, показало, що се-лективні сигнали, побудовані на основі кубічних B-сплайнів, мають більшу енергію, ніж селективні сигнали, побудовані на основі кубічних сплайнів. Це визначає пріоритет B-сплайнів над звичайними кубічними сплайнами при застосуванні в телекомунікаціях.

Сукупність методики та проведений аналіз запропонованих методів синтезу цифрових сигналів, методів інтерполяції спектральних селективних сигналів, що дозволяють синтезувати нові сигнальні функції (конструкції), екстремальні властивості яких покращують технічні характеристики систем телекомунікацій, дає можливість розглядати дані дослідження як вирішення нової науково-практичної проблеми в області синтезу цифрових сигналів зв'язку.

Проведено порівняльний аналіз селективних сигналів, апроксимованих у частотній області кубічними сплайнами й кубічними B-сплайнами

, (18)

. (19)

Вирази (18) і (19) описують однопараметричні селективні сигнальні функції, єдиним параметром яких є коефіцієнт б.

Проведено дослідження залежності величини розкриття око-діаграми від коефіцієнта скруглення спектра сигналів (18) і (19), апроксимованих у частотній області кубічним сплайном і кубічним B-сплайном, відповідно.

Використання величини горизонтального розкриття око-діаграми як критерію оптимізації параметрів селективних сигналів дозволяє синтезувати сигнали, найбільш стійкі до зсування моментів узяття відліку - джитера.

Другий розглянутий критерій - розподіл енергії в сигналі, тобто її концентрація на проміжку, симетричному щодо центрального відліку. Більша частка енергії на проміжку означає більшу стійкість такого сигналу до впливу завад.

Уведено коефіцієнт з, що показує міру концентрації енергії сигналу на кінцевому часовому проміжку. Стосовно до однопараметричних селективних сигналів цей коефіцієнт можна записати як

,(20)

де , .

При проектуванні високошвидкісних систем передачі даних кращим є застосування сигналів, у яких рівень бічних пелюсток швидко зменшується із збільшенням відстані від головної пелюстки. Це означає зменшення енергії бічних пелюсток із збільшенням відстані від головної пелюстки. Для більш повного й наочного уявлення про концентрацію енергії в окремих пелюстках часової функції селективного сигналу введено поняття відносної концентрації енергії селективного сигналу. Для цього вводяться такі позначення

,

де t₁, t₂, _?, ₂ - додатні числа.

Визначення. Відносною концентрацією енергії селективного сигналу , зосередженої на проміжку I₁ щодо проміжку I_2, називається відношення енергії селективного сигналу, зосередженої на проміжку I₁, до енергії селективного сигналу, зосередженої на проміжку I₂, тобто справедлива формула

и₁(I₁, I₂, б)= . (21)

Розглянемо .

Відповідно до формули (21), відносна концентрація енергії ₁(б) селективного сигналу , зосереджена на проміжку відносно до проміжку , має вигляд

и₁(б) = и([T; 2T], [0; T], б) = . (22)

Аналогічно введене поняття відносної концентрації енергії и₂(б) селективного сигналу , зосередженої на проміжку відносно до проміжку . Маємо

и₂(б) = и([2T; 3T], [T; 2T], б) = (23)

Вказані значення параметрів сигналу, при яких кращим є застосування апроксимації в частотній області кубічним сплайном і кубічним B-сплайном. Розглядаючи ці два критерії, дійшли висновку, що при коефіцієнті скруглення спектра застосовувати селективні сигнали, апроксимовані кубічним сплайном або кубічним B-сплайном, рівноцінно. При рекомендується використовувати се-лективний сигнал, спектральна характеристика якого апроксимується кубічним B-сплайном, оскільки такий сигнал проявляє більшу стійкість до впливу завад. Для інших б із проміжку переважніше використовувати селективний сигнал, ап-роксимований кубічним сплайном.

Проведені дослідження дозволяють визначити шляхи покращання енергетичних показників телекомунікаційної системи на етапі проектування й синтезувати сигнали, що забезпечують найбільшу завадостійкість передачі цифрової інформації. Таким чином, закладено основи для побудови банку багатопараметричних сигналів з фінітним спектром, вільним від МСІ.

Розглянуті в розділах 2 і 3 структури сигналів являють собою детерміновані функції, які формуються в системах зв'язку на передавальній стороні. При проходженні реальних каналів зв'язку й мережних елементів ці сигнали на приймальній стороні набувають випадкового характеру, і при їхній обробці зазвичай потрібна відповідна стохастична процедура виявлення, прийняття рішень, оцінки параметрів і розв'язання задач структурою і (або) режимами управління з огляду на одержані дані. Крім розглянутих інформаційних сигналів у системах зв'язку циркулюють також і службові сигнали: сигнали виклику, систем сигналізації, телеконтролю тощо. Дані сигнали, здебільшого, також можуть відноситися до класу випадкових, оскільки вони є функціями від випадкового трафіку, оброблюваного даною системою зв'язку. Більше того, службові сигнали, більшою мірою, ніж інформаційні, беруть участь у вирішенні завдань управління. У зв'язку з цим, завдання управління в телекомунікаційних системах, відповідно до теореми про розподіл, передбачає розгляд двох окремих процедур - оптимальної стохастичної оцінки стану і детермінованого управління u(t).

У четвертому розділі розглядаються завдання, пов'язані з одержанням оптимальних стохастичних оцінок. При цьому як процедури оцінювання розглядаються рекурсивні процедури, що застосовуються в існуючих технологіях, до числа яких відносяться процедури стохастичної апроксимації, лінійної й нелінійної фільтрації, зокрема, процедури фільтрів Калмана-Б'юсі (ФКБ).

Проведено аналіз ефективності стаціонарного режиму фільтра Калмана-Б'юсі у разі узгодження його параметрів із параметрами вибраної моделі. У результаті аналізу виявилося, що фільтр у певному діапазоні параметрів має стійкість, і якість його оцінки залежить як від величини кроку дискретизації, так і від інших параметрів сигналів і завад. У той самий час має місце нестійкий режим роботи, який виникає із збільшенням співвідношення сигнал/шум, що є типовим недоліком даного фільтра. Для усунення цього, багатьма авторами пропонується штучно «зашумляти» спостережуваний процес для збереження його стійкості. Іншою процедурою, що забезпечує стійкість фільтра, може бути його регуляризація.

Порівняння розрахункових значень апостеріорної дисперсії похибки оцінки, обчисленої за формулою для стаціонарного режиму, з експериментально отриманими результатами при використанні розробленої моделі машинного експерименту показує, що в цілому результати збігаються: із збільшенням показника сигнал/шум якість оцінки зростає (зменшується апостеріорна дисперсія). Ця якість також зростає із збільшенням числа кроків квантування на інтервалі кореляції.

Разом з тим існують якісні й кількісні розбіжності:

- розрахункові значення перевищують теоретично одержані на 15-20 %, що пояснюється не ідеальністю вибраних моделей;

- відзначається поява нестійкого режиму фільтра при більших кроках дискретизації та при виборі завищених параметрів фільтра, що характеризують відношення сигнал/шум.

Фільтр, в умовах стійкості, має високу швидкість збіжності, яка може становити 4-10 кроків дискретизації і практично не залежить від числа кроків на інтервалі кореляції.

Значення апостеріорної дисперсії в сталому стані залежить як від числа відліків на інтервалі кореляції, так і від значення рівня оцінюваного процесу. При більшому числі кроків, наприклад 1000, у сталому стані відносне значення апостеріорної дисперсії становить величину, меншу 0,2. При переході до рідших кроків, наприклад , це значення вже зростає до 0,5.

У роботі вперше запропоновано відновлення результатів оцінювання випадкових сигналів за допомогою сплайн-функцій.

За допомогою імітаційного моделювання проведено порівняльний аналіз ефективності процедур інтерполяції дискретними кубічними сплайнами, ермітовими кубічними сплайнами та методами лінійної апроксимації. Як кількісна міра вибрана точність оцінки сигналу у вигляді середньоквадратичного відхилення оцінок повідомлення від вихідного сигналу повідомлення x(k). Одержано залежності точності оцінок від відношення сигнал/шум (ВСШ) при різному кроці дискретизації Дt.

Аналіз показав, що із збільшенням Дt при лінійній апроксимації точність відновлення оцінок різко знижується при , і даний метод стає неприйнятним. Точність апроксимації дискретними кубічними сплайнами дещо нижча від точності апроксимації ермітовими кубічними сплайнами, хоча й залишається в припустимих межах.

Проведений аналіз показує, що точність послідовності оцінок, одержуваних за методом Калмана-Б'юсі, є не чим іншим, як результатом лінійної інтерполяції. Вона може бути значно покращена за рахунок апроксимації кубічними сплайнами. Інакше кажучи: можна стверджувати, що лінійну оцінку, одержану за алгоритмом ФКБ, можна покращити, піддавши додатковій нелінійній обробці послідовності цих оцінок. Причому ця ефективність зростає із збільшенням кроку дискредитації. Даний крок не завжди може бути вибраний достатньо малим. Частіше він уже заданий в тій чи іншій технології. Так, одержувані оцінки часу колового обертання RTT, кількість яких припадає за числом вибірок на інтервалі кореляції до 3-5, можна покращити. При цьому за рахунок інтервальної оцінки зменшується апостеріорна дисперсія похибки оцінки на 4-6 дБ.

Одержані апостеріорні дисперсії за ФКБ і при сплайн-апроксимації (табл. 1).

Таблиця 1 Апостеріорна дисперсія за фільтром Калмана-Б'юсі й при сплайн-апроксимації

Крок дискретизації	Апостеріорна дисперсія (за ФКБ)	Апостеріорна дисперсія при сплайн-апроксимації
1/10	4,6756	0,8551
1/2	7,7644	1,7638

Із табл. 1 видно, що при кроці дискретизації апостеріорна дисперсія похибки оцінки, одержана за процедурою ФКБ з лінійною апроксимацією більш ніж у 5 разів, вища за відповідне значення при сплайн-апроксимації. Приблизно такий самий виграш має місце при кроці .

Отже, широко використовувані в телекомунікаційних технологіях з пакетною передачею рекурсивні процедури оцінки стану мережних елементів (часу запізнювання (RTP, RTCP), обсягу завантаження буфера (RED та ін.) можуть бути значно покращені, їхні апостеріорні дисперсії похибки оцінки можуть бути зменшені в 4-6 разів. Для цього у доповнення до звичайної для таких випадків лінійної апроксимації необхідно використати нелінійну, наприклад, кубічну.

Також проведено порівняння двох способів відновлення неперервних сигналів за їх відліками - за допомогою ряду Котельникова й сплайн-інтерполяції. Одержані оцінки похибки апроксимації сигналу рядом Котельникова і кубічним сплайном дозволяють стверджувати, що сплайн-апроксимація краща, ніж апроксимація рядом Котельникова на кінцевому проміжку. Розглянуто неперервний випадковий сигнал і показано, що відновлення сигналу кубічним сплайном дозволяє значно знизити величину похибки відновлення сигналу. Отже, можна рекомендувати використовувати кубічні сплайни для відновлення випадкових сигналів за їх відліками.

У п'ятому розділі розглядаються методи апроксимації нелінійності в завданнях управління станом телекомунікаційної системи.

Сучасні телекомунікаційні мережі є складними організаційно-технічними структурами, які перебувають під впливом численних факторів у сукупності, що являють собою виконання послуг за заявками споживачів. Для забезпечення успішної динаміки мережі передбачається успішна система управління елементами, самою мережею, наданням послуг і бізнесом.

Для реалізації управління в мережі є датчики, що вимірюють стан і параметри окремих елементів і відповідних структур, інформація з яких по лініям сигналізації доставляється в центри управління, де й формується саме управління. З використанням припущень про наявність затримок і нелінійностей у контурі управління представлені й проаналізовані моделі систем, описувані рівняннями стану. Розглядається приклад моделі систем з поодиноким запізненням та характеристикою гістерезису.

Розглядаються нелінійні задачі оптимального управління. При розв'язанні нелінійних задач виникають труднощі при знаходженні розв'язувань системи лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь (ЛНДР), які до цього часу розв'язувалися методом варіації довільних постійних і методом невизначених коефіцієнтів, застосовуваних для обмеженого класу функцій. Розроблено конструктивну методику розв'язання ЛНДР - рішення за допомогою сплайн-функцій (лінійних, кубічних,
B-сплайнів), що дозволяє знаходити рішення для більш широкого класу функцій управління (для інтегрованих функцій).

Проведено аналіз похибок обчислень для лінійних, кубічних нелокальних сплайнів, дискретних кубічних сплайнів, ермітових кубічних і B-сплайнів для рівномірних і нерівномірних сіток розбивки відрізка, на якому задана функція управління. Аналіз показав, що, вибираючи крок розбивки сітки відрізка , на якому задана функція управління, ми можемо забезпечити необхідну точність обчислення заданого інтеграла з урахуванням властивостей інтерпольованої функції. Однак, подальше підвищення гладкості цієї функції вже не дає підвищення порядку апроксимації. Відбувається, як це прийнято називати, насичення інтерполяційного процесу. апроксимація телекомунікація інтерференція

Як приклад реалізації рекурсивного оптимального управління розглянуто процедуру управління перевантаженням в TCP. У якості керуючої змінної вибрана різниця між оцінкою поточного стану й необхідного стану . Дане управління задовольняє середньоквадратичному критерію, погоджене з критерієм оптимальної стохастичної оцінки.

Розглянута схема управління може бути застосовна при керуванні: мережею, параметрами мережі, мережними елементами, структурою і функцією. Вона є більш загальною порівняно з основними використовуваними методами управління в мережі, оскільки орієнтована не на конкретний перелік ситуації, а на клас цих ситуацій.

У шостому розділі наведено обґрунтування доцільності застосування тензорного апарата для побудови математичних моделей телекомунікаційних систем.

Показано, що як математичну модель телекомунікаційної системи доцільно використовувати тензор, який узагальнює поняття матриці й має, на відміну від матриці, властивість інваріантності при перетворенні системи координат. З використанням методів теорії моделей показано, що метричний тензор n-мірного ріманова простору - строго обґрунтована математична модель системи зв'язку з n-комутаціями.

З огляду на те, що при дослідженні системи зв'язку виникає необхідність в одержанні різних характеристик системи при зміні навантаження в мережі, а за допомогою тензорних методів ми можемо обчислювати ці характеристики при переході від однієї системи координат до іншої, то спеціальний спосіб завдання системи координат дозволяє в модельованій системі здійснювати аналіз як структурних, так і функціональних властивостей і добре вписується в сучасні телекомунікаційні технології для їхнього аналізу.

...