Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Бийский технологический институт (филиал) государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова

Конспект лекций

Корреляционный анализ в информационно-измерительной технике

Р.Г. Гареева

Бийск - 2010

СОДЕРЖАНИЕ

1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

1.1 Классификация детерминированных процессов

1.2 Классификация случайных процессов

1.3 Основные статистические характеристики стационарных случайных процессов

1.4 Контрольные вопросы

2. СИСТЕМЫ С ОДНИМ ВХОДОМ И ОДНИМ ВЫХОДОМ

2.1 Свойства идеальной системы

2.2 Частотные характеристики

2.3 Спектральный анализ идеальной системы

2.4 Функция обычной когерентности

2.5 Система с внешним шумом на выходе

2.6 Система с внешним шумом на входе

2.7 Влияние внешнего шума

2.8 Система с обратной связью

2.9 Использование зондирующего сигнала

2.10 Контрольные вопросы

3. СИСТЕМЫ С ОДНИМ ВХОДОМ И НЕСКОЛЬКИМИ ВЫХОДАМИ

3.1 Спектральные соотношения

3.2 Оценивание относительного запаздывания

3.3 Локализация неизвестного источника

3.4 Контрольные вопросы

ЛИТЕРАТУРА

1. основные Характеристики физических процессов

Все наблюдаемые процессы, характеризующие физические явления, можно классифицировать как детерминированные и недетерминированные.

К детерминированным относятся процессы, которые могут быть описаны точными математическими соотношениями.

Рассмотрим, например, твердое тело, подвешенное к неподвижной основе на упругой пружине с нулевой массой (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 - Тело, подвешенное на пружине: - масса тела; - коэффициент жесткости пружины

Предположим, что тело получает начальное смещение из положения равновесия и освобождается в момент времени . На основе фундаментальных законов механики или путем повторных наблюдений можно установить справедливость следующего соотношения:

, , (1.1)

где - масса тела, предполагаемого абсолютно жестким;

- коэффициент жесткости пружины.

Формула (1.1) точно описывает положение тела в любой момент времени в будущем. Следовательно, физический процесс, характеризующий движение тела, относится к детерминированным процессам.

На практике встречается много физических явлений, которые с высокой степенью приближения могут быть описаны точными математическими соотношениями (движение спутника по околоземной орбите, изменение температуры воды при нагревании).

Однако можно назвать множество других физических процессов, имеющих недетерминированный характер (изменение высоты волн на поверхности моря, изменение напряжения на выходе генератора шума). Точное значение таких процессов в некоторый момент времени в будущем предсказать невозможно. Эти процессы случайны по своей природе.

Случайные (стохастические или недетерминированные) процессы не могут быть описаны точными математическими соотношениями, для их описания требуются усредненные статистические характеристики.

Во многих случаях трудно решить, относится ли рассматриваемый процесс к детерминированным или к случайным. Можно утверждать, что в действительности ни один физический процесс нельзя считать строго детерминированным, поскольку всегда существует возможность того, что в будущем какое-либо непредвиденное событие изменит течение процесса таким образом, что полученные данные будут носить совершенно иной характер, чем предполагалось ранее. С другой стороны, можно полагать, что в действительности ни один физический процесс не имеет строго случайной природы, так как при условии достаточно полного знания механизма изучаемого процесса его можно описать точными математическими соотношениями.

Практическое решение о детерминированном или случайном характере процесса обычно принимается исходя из возможности или не возможности его воспроизведения при заданных условиях. Если многократное повторение опыта дает одинаковые результаты (с точностью до ошибки измерения), то процесс считают детерминированный. Если же повторение опыта в идентичных условиях приводит к различным исходам, природа процесса полагается случайной.

1.1 Классификация детерминированных процессов

Классификация детерминированных процессов представлена в таблице 1.1

Таблица 1.1

Классификация детерминированных процессов

Детерминированные процессы
Периодические процессы	Непериодические процессы
Гармонические процессы	Полигармонические процессы	Почти периодические процессы	Переходные процессы

Физические явления, которые рассматриваются в инженерных задачах, описываются, как правило, функциями времени. К периодическим относятся такие процессы, которые могут быть описаны функцией времени, точно повторяющей свои значения через одинаковые интервалы

, , (1.2)

где - период.

1.1.1 Гармонические процессы

Гармоническими называются процессы, описываемые функцией времени

, (1.3)

где - амплитуда;

- циклическая частота, измеряемая в циклах в единицу времени (Гц);

- начальная фаза, измеряемая в радианах.

Интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание (один цикл гармонического процесса) называется периодом , а число циклов в единицу времени - частотой . Частота и период связаны соотношением

. (1.4)

При анализе гармонических процессов начальной фазой часто пренебрегают. В этом случае

. (1.5)

Соотношение (1.5) можно представить графически в виде функции времени или в амплитудно-частотном изображении (частотный спектр) (рисунок 1.2).

а) б)

Рисунок 1.2 - Гармонический процесс (а) и его спектр (б)

Частотный спектр гармонического сигнала состоит только из одной составляющей амплитуды. Такой спектр называют дискретным.

Многие физические явления с достаточным для практики приближением описываются гармоническими процессами. Примером могут служить колебания напряжения на выходе генератора переменного тока.

1.1.2 Полигармонические процессы

В большинстве своем полигармонические процессы могут быть представлены в виде ряда Фурье

, (1.6)

где - основная частота;

,

,

Возможен и другой способ записи ряда Фурье для полигармонического процесса:

, (1.7)

где ;

, ,

Как видно из формулы (1.7), полигармонический процесс состоит из постоянной составляющей и бесконечного числа синусоидальных компонент, называемых гармониками, с амплитудами и начальными фазами . Частоты всех гармоник кратны основной частоте , т.е. соизмеримы. Очевидно, что гармонический процесс является частным случаем полигармонического процесса при .

На практике при анализе периодических процессов начальные фазы часто во внимание не принимаются. В этом случае формуле (1.7) соответствует дискретный спектр, представленный на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 - Спектр полигармонического процесса

Физические явления, которым соответствуют полигармонические процессы, встречаются гораздо чаще явлений, описываемых простой гармонической функцией.

1.1.3 Почти периодические процессы

К почти периодическим (квазипериодическим) относятся такие процессы, которые могут быть описаны функцией времени

, (1.8)

где не все отношения частот гармоник являются рациональными числами, т.е. невозможно выделить основную частоту

. (1.9)

Если пренебречь начальными фазами, то формуле (1.8) будет соответствовать дискретный спектр, в котором частоты гармоник несоизмеримы (рисунок 1.4). Физические явления, которым соответствуют почти периодические процессы, встречаются довольно часто при суммировании двух или более независимых гармонических процессов.

Рисунок 1.4 - Спектр почти периодического процесса

Примером почти периодического процесса может служить вибрация самолета с несколькими моторами, работающими в асинхронном режиме.

1.1.4 Переходные процессы

К переходным относятся все непериодические процессы, не являющиеся почти периодическими. Физические явления, которым соответствуют переходные процессы, весьма многочисленны и разнообразны. Примером может служить процесс изменения во времени температуры воды в чайнике (относительно температуры окружающего воздуха) после отключения нагревателя (рисунок 1.5, а).

Рисунок 1.5 - Примеры переходных процессов а) , ; б) ,

Кривая на рисунке 1.5, б характеризует свободные колебания инерционной механической системы после прекращения действия вынуждающей силы.

Важное отличие переходных процессов от ранее рассмотренных состоит в том, что их невозможно представить с помощью дискретного спектра. Однако в большинстве случаев получают непрерывное спектральное представление переходных процессов, используя интеграл Фурье

, (1.10)

где - спектр функции .

Модули спектров переходных процессов, изображенных на рисунке 1.5, представлены на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6 - Модуль спектра переходных процессов

а) б)

1.2 Классификация случайных процессов

Процессы, соответствующие случайным физическим явлениям, нельзя описать точными математическими соотношениями, поскольку результат каждого наблюдения над процессом невоспроизводим.

Функция времени, описывающая случайное явление, называется выборочной функцией, а при конечном времени ее наблюдения - реализацией. Множество всех выборочных функций, которые могут быть получены при регистрации данного случайного явления, образуют случайный процесс (СП) .

Классификация случайных процессов представлена в таблице 2.

Таблица 2

Классификация случайных процессов

Случайные процессы
Стационарные процессы	Нестационарные процессы
Эргодические процессы	Неэргодические процессы	Частные случаи нестационарных процессов

1.2.1 Стационарные случайные процессы

Случайный процесс в любой момент времени может быть описан путем усреднения величин по множеству выборочных функций, образующих случайный процесс.

Рассмотрим множество выборочных функций случайного процесса (рисунок 1.7) и введем понятия среднего значения и ковариационной функции СП.

Рисунок 1.7 - Множество выборочных функций СП: - выборочная функция, - количество выборочных функций, - момент усреднения, - временной сдвиг между точками СП

Среднее значение случайного процесса в момент времени находят путем суммирования мгновенных значений каждой выборочной функции в момент времени и деления полученной суммы на число выборочных функций:

, (1.11)

где - выборочная функция;

- момент усреднения;

- номер выборочной функции;

- количество выборочных функций.

Ковариационная функция случайного процесса представляет собой усредненное произведение мгновенных значений случайного процесса в два момента времени, отстоящие друг от друга на интервал :

. (1.12)

Введенные выше функции (1.11), (1.12) определяются по ансамблю выборочных функций, поэтому способ усреднения носит названия усреднения по ансамблю. Если среднее значение и ковариационная функция случайного процесса изменяются с течением времени , то процесс считается нестационарным. Если же названные функции не зависят от момента усреднения , то процесс относится к стационарным процессам.

Для слабо стационарного случайного процесса справедливы следующие соотношения для среднего значения и ковариационной функции:

1.;

2..

При дополнительной независимости ковариационной функции процесса еще и от временного сдвига , процесс считается строго стационарным:

1.;

2..

1.2.2 Эргодические случайные процессы

Случайный процесс может быть описан не только путем усреднения значений процесса в отдельные моменты времени (т.е. усреднением по ансамблю), возможно также его описание путем усреднения по времени наблюдения одной выборочной функции (рисунок 1.8).

Рисунок 1.8 - Выборочная функция СП: - выборочная функция, - временной сдвиг между точками СП, - время наблюдения выборочной функции

Среднее значение и ковариационная функция случайного процесса в этом случае принимают вид:

, (1.13)

, (1.14)

где - выборочная функция;

- номер выборочной функции;

- время наблюдения выборочной функции.

Такой способ усреднения носит названия усреднения по времени наблюдения.

Если среднее значение и ковариационная функция процесса, рассчитанные по соотношениям (1.13), (1.14), одинаковы для различных выборочных функций (различных номеров реализаций ), а случайный процесс является стационарным, то он относится к эргодическим случайным процессам.

Для таких процессов справедливы следующие соотношения:

1.;

2..

Усредненные характеристики эргодических случайных процессов, рассчитанные усреднением по ансамблю выборочных функций и усреднением по времени наблюдения одной выборочной функции, равны между собой.

Введенные выше усредненные характеристики СП могут быть записаны в операторной форме:

,

,

где - оператор усреднения.

1.2.3 Погрешности выборочных оценок

Рассмотрим еще раз формулы расчета среднего значения случайного процесса путем усреднения по ансамблю выборочных функций

и усреднения по времени наблюдения одной реализации

.

Обе формулы содержат операцию перехода к пределу, которая на практике, конечно, неосуществима, поскольку невозможно обработать бесконечное число реализаций () или одну реализацию бесконечной длины (). Поэтому анализ случайных процессов дает только выборочные оценки истинных значений их параметров. Необходимо уметь оценивать величину возникающей при этом ошибки.

При обработке случайных процессов ошибки подразделяют на случайные и систематические.

Случайные ошибки являются следствием разброса значений, полученных по разным выборочным функциям одного случайного процесса. Эти ошибки являются прямым следствием конечности числа реализаций или времени наблюдения . По этой причине случайные ошибки неизбежны.

Величина случайной ошибки обратно пропорциональна корню квадратному из числа реализаций или времени наблюдения:

или . (1.15)

Анализ соотношения (1.15) показывает, что для уменьшения случайной ошибки измерений, например, в два раза необходимо увеличить время обработки реализации или количество выборочных функций в четыре раза.

Абсолютное значение и знак систематических ошибок не изменяется при переходе от одной выборочной функции к другой. Такие ошибки называют также смещением. Смещение часто появляется при приближенном вычислении производных, например при оценивании плотностей вероятности.

1.3 Основные статистические характеристики стационарных случайных процессов

Для описания основных свойств случайных процессов используют четыре класса статистических функций:

1. моменты второго порядка;

2. плотность распределения вероятности случайного процесса;

3. корреляционная и ковариационная функции;

4. спектральная плотность мощности.

1.3.1 Моменты второго порядка

К моментам 2-го порядка относятся среднее значение квадрата случайного процесса и его дисперсия. Среднее значение квадрата СП дает представление о суммарной интенсивности процесса. Для эргодического СП эта характеристика представляет собой среднее из всех значений квадрата процесса в пределах данной реализации:

(1.16)

Абсолютная величина корня квадратного из среднего значения квадрата называется среднеквадратичным значением.

Зачастую удобно выделять в физическом процессе статическую (не зависящую от времени) и динамическую (флуктуационную) составляющие.

Статическая составляющая представляет собой среднее из всех значений процесса, т.е. равна его среднему значению:

(1.17)

Динамическая составляющая определяется дисперсией процесса - средним квадратом отклонений его ординат от среднего значения:

. (1.18)

Положительное значение корня квадратного из дисперсии процесса называется среднеквадратичным отклонением.

Дисперсия стационарного СП, его средний квадрат и квадрат среднего связаны соотношением:

. (1.19)

1.3.2 Плотность распределения вероятности

Плотность распределения вероятности случайного процесса определяет среднюю вероятность того, что значения процесса в произвольный момент времени будут заключены в определенном интервале.

Рассмотрим некоторую реализацию СП как функцию времени (рисунок 1.9).

Рисунок 1.9 - Определение плотности распределения вероятности: - реализация СП, - время наблюдения

Вероятность того, что значения попадут в интервал можно найти, вычисляя отношение , где - суммарная продолжительность нахождения значений процесса в интервале за время наблюдения . При стремлении к бесконечности это отношение все точнее будет описывать вероятность такого события:

, (1.20)

где .

При малых плотность распределения вероятности СП определяется соотношением

. (1.21)

Зная плотность распределения вероятности СП, можно рассчитать его усредненные характеристики, используя, например, следующие соотношения для среднего значения и среднего квадрата:

, .

Во многих практических задачах приходится вычислять математическое ожидание некоторой функции от случайной величины , имеющей плотность распределения вероятности . Такое вычисление выполняется по следующей формуле:

. (1.22)

При анализе случайных явлений используется большое число различных плотностей вероятности. Рассмотрим две из них, которые хорошо описывают широкий класс практически важных случайных явлений.

Плотности большого числа случайных процессов хорошо аппроксимируются выражением вида

, (1.23)

где - среднее значение и среднеквадратичное отклонение соответственно.

Функцию (1.23) называют нормальной, или гауссовской, плотностью, она характеризует случайный шум (широкополосный или узкополосный), для которого среднее значение наиболее вероятно. График нормальной плотности имеет колоколообразную форму (рисунок 1.10).

Рисунок 1.10 - Нормальная плотность распределения

Важность нормального распределения определяется широким применением на практике центральной предельной теоремы, которая формулируется следующим образом: сумма большого числа совместно действующих независимых случайных величин распределена в общем случае по закону, близкому к нормальному.

По двум причинам желательно иметь возможность предполагать, что случайный процесс имеет нормальную плотность распределения:

1) нормальное распределение полностью определяется только двумя параметрами - средним значением и среднеквадратичным отклонением;

2) все линейные операции такие, как интегрирование, дифференцирование, преобразование Фурье, выполняемые над нормально распределенными случайными величины, дают в результате также нормально распределенные величины.

Наиболее распространенный вид детерминированных процессов - это периодические процессы, разлагаемые на гармонические составляющие. Для описания одной такой составляющей не требуется вероятностных понятий, поскольку ее точное значение в любой момент времени вычисляется по формуле

Однако гармоническое колебание можно рассматривать также как выборочную функцию случайного процесса , где начальная фаза каждой выборочной функции является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале . Плотность распределения вероятности такого случайного гармонического процесса определяется формулой

(1.24)

График функции (1.24) имеет чашеобразную форму (рисунок 1.11), откуда видно, что плотность гармонического процесса достигает минимума в точке с координатой, равной среднему значению .



Рисунок 1.11 - Плотность распределения гармонического процесса

1.3.3 Корреляционная и ковариационная функции

Широкий круг инженерных приложений теории случайных процессов связан с выявлением линейных зависимостей между двумя или более совокупностями данных. Такие линейные зависимости обычно определяются через корреляционные функции, либо через их преобразования Фурье, называемые спектральными плотностями.

Вспомним классическое определение корреляционной функции, известное из курса статистики.

Пусть в некотором эксперименте получены два множества результатов измерений:

, , ,

где - например, нагрузка, приложенная к конструкции;

- вызванное ею напряжение;

- общее количество измерений.

Измерения, проведенные при различных значениях нагрузки, приведут к зависимостям типа показанных на рисунке 1.12.

В идеальном случае измерения дают точную линейную зависимость между и (рисунок 1.12, а). Неправильная постановка эксперимента может привести к другой крайности, когда между нагрузкой и напряжением отсутствует какая-либо связь (рисунок 1.12, б). Возможны зависимости и промежуточного вида.

На рисунке 1.12, в угадывается линейная связь между и , но точного аналитического выражения для нее записать нельзя из-за случайного характера этой связи или ошибок измерений. На рисунке 1.12, г между и существует точная аналитическая зависимость, но она нелинейна.

а) линейная корреляция; б) отсутствие корреляции

в) умеренная линейная корреляция; г) нелинейная корреляция

Рисунок 1.12 - Различные степени корреляции

Меру линейности связи и можно задать как усредненное произведение разностей и . Если размер выборки стремится к бесконечности, то предел этого усредненного произведения определяет корреляцию между и :

. (1.24)

Наибольшее возможное значение корреляции двух случайных величин определяется равенством

,

поэтому в качестве меры коррелированности обычно используют отношение

, . (1.25)

Величину называют коэффициентом корреляции, который характеризует меру линейной зависимости между двумя переменными и .

Пусть теперь интересующие нас данные являются результатами измерения двух случайных процессов , , которые предполагаются стационарными и эргодическими, так, что их можно описать индивидуальными реализациями. Понятие корреляции случайных процессов вводят, используя дополнительную переменную - временной сдвиг между процессами, или запаздывание относительно .

Взаимная корреляционная функция двух случайных процессов для произвольного сдвига вводится по соотношению

. (1.26)

Для стационарных СП справедливо выражение

, (1.27)

где - взаимная ковариационная функция двух процессов.

Случайные процессы считаются некоррелированными, если их взаимная корреляционная функция равна нулю.

Согласно (1.27) взаимные корреляционная и ковариационная функции двух случайных процессов совпадают, если средние значения обоих процессов равны нулю.

В частном случае, когда случайные процессы совпадают = ,связь между корреляционной и ковариационной функциями принимает вид

, (1.28)

где - ковариационная функция процесса , определяемая как

. (1.29)

Свойства ковариационной и корреляционной функций стационарного СП, согласно выражениям (1.19), (1.28), (1.29), определяются следующими соотношениями:

1. , , ;

2. , , .

Рисунок 1.13 иллюстрирует свойства ковариационной функции.

Рисунок 1.13 - Типичная ковариационная функция

С увеличением временного сдвига функция корреляции случайного процесса стремится к нулю:

при .

Чем быстрее убывает эта функция, тем меньше оказывается статистическая связь между мгновенными значениями случайного процесса в два различных момента времени. Числовой характеристикой, служащей для оценки скорости изменения реализаций случайного процесса, является интервал корреляции:

. (1.30)

Если известна информация о поведении какой-либо реализации случайного процесса в прошлом, то возможен вероятностный прогноз его значений на время порядка . Попытка прогнозирования на время, существенно превышающее интервал корреляции, окажется безрезультативной, поскольку мгновенные значения случайного процесса, существенно удаленные друг от друга по времени, практически некоррелированы.

По аналогии с коэффициентом корреляции для двух случайных величин вводят понятие нормированной корреляционной функции, определяющей степень линейной зависимости двух случайных процессов и при временном сдвиге процесса относительно на величину :

, (1.31)

причем для всех .

Взаимная ковариационная функция двух процессов применяется во многих важных практических случаях.

Определение времени задержки. Предположим, что нас интересует вопрос о том, какое время необходимо для того, чтобы сигнал прошел через данную систему. Если система линейна, то, зная взаимную ковариационную функцию, связывающую сигналы на входе и выходе системы, можно определить интересующее время запаздывания, поскольку среднее значение произведения двух линейно связанных сигналов достигает максимума, когда сдвиг во времени между ними равен нулю.

Так как сигнал на выходе системы смещен во времени относительно сигнала на входе, их взаимная ковариационная функция будет иметь максимум при значениях сдвига, равном времени, которое необходимо для прохождения сигнала через данную систему.

Определение тракта сигнала. Рассмотрим линейную систему, через которую сигнал может проходить двумя или более различными трактами и давать на выходе наблюдаемый сигнал. Предположим, что нас интересует определенный тракт в системе.

Например, при работе мощных машин на заводе часто могут возникать нежелательные шум и вибрация в прилегающих к заводу административных зданиях, причем энергия может передаваться несколькими путями - через строения или акустическим образом по воздуху. Чтобы эффективно бороться с шумом и вибрацией, необходимо точно определить путь прохождения сигнала.

Вопросы такого рода можно решать с помощью взаимной ковариационной функции, связывающей сигналы на входе и выходе рассматриваемой системы. Каждому тракту в системе обычно соответствует определенное время задержки, поэтому на взаимной коррелограмме для трактов, которые дают значимый вклад в энергию сигнала на выходе, появляются отдельные максимумы. Если вычислить предполагаемое время запаздывания, связанное с различными трактами, и затем полученные данные сравнить с измеренными значениями сдвига, соответствующими положению максимумов на взаимной коррелограмме, то можно найти тракты, которые дают наибольший вклад в энергию сигнала на выходе.

1.3.4 Спектральная плотность мощности

Взаимная спектральная плотность мощности (взаимный спектр мощности) двух реализаций и стационарных эргодических случайных процессов иопределяется как прямое преобразование Фурье над их взаимной ковариационной функцией

(1.32)

или, с учетом соотношения между круговой и циклической частотами ,

. (1.33)

Обратное преобразование Фурье связывает взаимные ковариационную функцию и спектральную плотность мощности:

. (1.34)

Аналогично (1.32), (1.33) вводится спектральная плотность мощности (спектр мощности) случайного процесса

(1.35) или

. (1.36)

Функция обладает свойством четности:

. (1.37)

Для взаимной спектральной плотности справедливо следующее соотношение:

, (1.38)

где - функция, комплексно сопряженная к .

Введенные выше формулы для спектральных плотностей определены как для положительных, так и для отрицательных частот и носят название двухсторонних спектральных плотностей. Они удобны при аналитическом изучении систем и сигналов. На практике же пользуются спектральными плотностями, определенными только для неотрицательных частот и называемыми односторонними (рисунок 1.14):

(1.39)

(1.40)

Рисунок 1.14 - Односторонняя и двусторонняя спектральные плотности

Выведем выражение, связывающее одностороннюю спектральную плотность стационарного СП с его ковариационной функцией:

Учтем свойство четности для ковариационной функции стационарного СП и функции косинус, свойство нечетности для функции синус, а также симметричность пределов интегрирования. В результате второй интеграл в полученном выше выражении обращается в нуль, а в первом интеграле можно сократить вдвое пределы интегрирования, удвоив при этом коэффициент:

. (1.41)

Очевидно, что спектральная плотность мощности случайного процесса является действительной функцией.

Аналогично можно получить обратное соотношение:

. (1.42)

Из выражения (1.42) при следует, что

. (1.43)

Это означает, что общая площадь под графиком односторонней спектральной плотности равна среднему квадрату случайного процесса. Другими словами, односторонняя спектральная плотность интерпретируется как распределение среднего квадрата процесса по частотам.

Площадь под графиком односторонней плотности, заключенная между двумя произвольными значениями частоты и , равна среднему квадрату процесса в этой полосе частот спектра (рисунок 1.15):

. (1.44)

Рисунок 1.15 - Свойство спектральной плотности

Взаимная спектральная плотность мощности является комплексной величиной, поэтому ее можно представить в показательной форме записи через модуль и фазовый угол:

, (1.45)

где - модуль;

- фазовый угол;

, - действительная и мнимая части функции соответственно.

Модуль взаимной спектральной плотности входит в важное неравенство

. (1.46)

Это неравенство позволяет определить функцию когерентности (квадрат когерентности), которая аналогична квадрату нормированной корреляционной функции:

, (1.47)

причем .

Второй способ введения спектральных плотностей состоит в непосредственном преобразовании Фурье случайных процессов.

Пусть и - два стационарных эргодических случайных процесса, для которых финитные преобразования Фурье -х реализаций длины определяют в виде

(1.48)

Двусторонняя взаимная спектральная плотность этих случайных процессов вводится с использованием произведения через соотношение

, (1.49)

где оператор математического ожидания означает операцию усреднения по индексу .

Расчет двусторонней спектральной плотности случайного процесса осуществляют по соотношению

. (1.50)

Аналогично вводятся и односторонние спектральные плотности:

(1.51)

Функции , определенные формулами (1.49), (1.50), идентичны соответствующим функциям, определенным соотношениями (1.32), (1.33) как преобразования Фурье над ковариационными функциями. Это утверждение носит называние теоремы Винера-Хинчина.

1.4 Контрольные вопросы

1. Приведите классификацию детерминированных процессов.

2. В чем отличие между полигармоническими и почти периодическими процессами?

3. Сформулируйте определение стационарного случайного процесса.

4. Какой способ усреднения характеристик эргодического случайного процесса предпочтителен - усреднение по ансамблю выборочных функций или усреднение по времени наблюдения одной реализации?

5. Сформулируйте определение плотности распределения вероятности случайного процесса.

6. Запишите выражение, связывающее корреляционную и ковариационную функции стационарного случайного процесса.

7. В каком случае два случайных процесса считаются некоррелированными?

8. Укажите способы расчета среднего квадрата стационарного случайного процесса.

9. Каким преобразованием связаны спектральная плотность и ковариационная функции случайного процесса?

10. В каких пределах изменяются значения функции когерентности двух случайных процессов?

2. СИСТЕМЫ С ОДНИМ ВХОДОМ И ОДНИМ ВЫХОДОМ

Главная область применения спектрального и корреляционного анализа в инженерных задачах - исследование входных и выходных процессов систем.

Будем предполагать, что на вход системы поступает реализация стационарного эргодического случайного процесса с нулевым средним значением, на выходе системы формируется реализация также стационарного процесса (рисунок 2.1), а сама система является идеальной.

Рисунок 2.1 - Система с одним входом и одним выходом

2.1 Свойства идеальной системы

Физическая система считается идеальной, если она

1. физически осуществима;

2. имеет постоянные параметры;

3. устойчива;

4. линейна.

Основные свойства такой идеальной системы описываются ее импульсной характеристикой (весовой функцией), которая представляет собой реакцию системы на входное возмущение в виде дельта-функции.

Дельта-функция - это математическая идеализация предельно короткого импульсного сигнала. Иными словами, это импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности, площадь которого равна единице. Дельта-функция определяется следующими соотношениями:

. (2.1)

На графике дельта-функцию условно изображают в виде утолщения на оси ординат (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 - Дельта-функция

Зная импульсную характеристику системы, можно рассчитать реакцию системы на входной сигнал произвольной формы, используя интеграл свертки (интеграл Дюамеля):

, (2.2)

где - входной сигнал;

- выходной сигнал;

- импульсная характеристика;

- промежуток времени (время задержки), необходимый для ответной реакции системы на входное воздействие.

Физически осуществимая система не может реагировать на возмущение до тех пор, пока оно не поступило на вход системы. Это означает, что

при . (2.3)

Интеграл свертки для физически осуществимой системы примет вид

. (2.4)

Физическая система имеет постоянные параметры, если ее импульсная характеристика не зависит от момента поступления вынуждающей силы на вход системы, т.е.

при . (2.5)

Физическая система называется устойчивой, если при нулевом входном сигнале выходной сигнал затухает при любых начальных условиях. Это требование равносильно требованию затухания импульсной характеристики, т.е.

. (2.6)

Линейная система обладает свойствами аддитивности и однородности.

Пусть входные процессы и генерируют выходные процессы и соответственно.

Система называется аддитивной, если входной процесс генерирует на выходе системы процесс , т.е. отклик системы на сумму воздействий равен сумме откликов на каждое из воздействий.

Система называется однородной, если входному процессу соответствует выходной процесс , где - произвольная постоянная. Другими словами, свойство однородности означает, что система пропорционально реагирует на изменение входного воздействия.

На практике линейность относится к числу наиболее редко выполняемых свойств. Однако если изучаемая система не является сильно нелинейной, то рассматриваемые методы корреляционного и спектрального анализа приведут к вполне осмысленным результатам, описывающим наилучшие линейные приближения для исследуемых систем.

2.2 Частотные характеристики

Динамические свойства физической системы принято описывать не только ее импульсной характеристикой, но и некоторым линейным преобразованием над ней. Причем вид этого преобразования зависит от конкретной задачи. В случае идеальной системы пользуются преобразованием Фурье, позволяющим непосредственно описать динамические характеристики системы в частотной области.

Прямое преобразование Фурье над импульсной характеристикой определяет частотную характеристику системы

, или

. (2.7)

Импульсная характеристика связана с частотной через обратное преобразование Фурье

. (2.8)

Для физически осуществимой системы выражение (2.7) принимает вид

. (2.9)

В частотной характеристике выделяют действительную и мнимую составляющие:

,

где - действительная часть функции ;

- мнимая часть функции .

Поскольку частотная характеристика является комплексной величиной, то ее можно представить в показательном виде

, (2.10)

где - амплитудная частотная характеристика системы (АЧХ);

- фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

На практике АЧХ и ФЧХ можно получить простым способом, если представить частотную характеристику в виде отношения

,

где - многочлены степеней и соответственно.

Тогда расчет амплитудной и фазовой составляющих функции проводят по следующим соотношениям:

, (2.11)

. (2.12)

Амплитудная и фазовая составляющие частотной характеристики системы имеют очевидную физическую интерпретацию. Если на вход системы поступает гармонический сигнал с амплитудой и частотой , то на выходе будет наблюдаться также гармонический сигнал с той же частотой , но, в общем случае, с измененной амплитудой и смещенный по фазе .

Изменения параметров выходного сигнала связаны с особенностями частотной характеристики звена.

Амплитудная частотная характеристика системы на частоте входного сигнала представляет собой отношение амплитуды установившегося выходного гармонического сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала

,

где - амплитуды выходного и входного сигналов соответственно.

Фазовая частотная характеристика системы на частоте входного сигнала показывает, на сколько выходной сигнал сдвинут по фазе (углу) относительно входного сигнала .

Помимо выражения (2.7), частотная характеристика системы может быть также получена и через отношение спектров выходного и входного сигналов:

. (2.13)

Под спектрами сигналов понимают результат прямого преобразования Фурье над самими сигналами:

, , (2.14)

где - сигналы во временной области.

Частотная характеристика идеальной системы, а также ее амплитудная и фазовая составляющие обладают следующими свойствами симметрии:

,

, (2.15)

.

Если за системой с частной характеристикой расположена вторая система с частотной характеристикой и между системами не включено нагрузки и отсутствует обратная связь, то эту сложную систему можно в целом охарактеризовать частотной характеристикой , такой, что

(2.16)

Таким образом, для каскада из двух систем при отсутствии между ними нагрузки или обратной связи амплитудные частотные характеристики перемножаются, а фазовые частотные характеристики складываются.

Частотная характеристика линейной системы с постоянными параметрами является только функцией частоты и не зависит ни от времени, ни от интенсивности входного процесса. Если же система не линейна, то ее частотная характеристика будет зависеть также и от интенсивности входного процесса. Характеристика системы с переменными параметрами является также функцией времени.

При прохождении через линейные системы спектры сигналов подвергаются преобразованиям в соответствии с комплексной частотной характеристикой системы: изменяются как амплитудный спектр сигнала, так и фазы спектральных составляющих.

При подобных преобразованиях необходимо учитывать основные теоремы о спектрах.

Теорема 1. Спектр суммы сигналов

Спектр суммы сигналов равен сумме их спектров, т.е.

, (2.17)

где - спектр сигнала .

Теорема 2. Спектр производной.

При дифференцировании 1-го порядка спектр сигнала умножается на комплексную переменную :

, (2.18)

где - спектр производной 1-го порядка.

Спектр производной n-го порядка находится аналогично:

. (2.19)

2.3 Спектральный анализ идеальной системы

Рассмотрим идеальную систему с импульсной характеристикой и частотной характеристикой . На вход системы поступает реализация стационарного эргодического случайного процесса с нулевым средним значением, а на выходе после затухания переходных процессов формируется реализация стационарного процесса .

Рассчитаем произведение мгновенных значений процессов на входе и выходе системы и в два различных момента времени с использованием интеграла свертки (2.4):

. (2.20)

Выполнив операцию усреднения над обеими частями равенства (2.20)

,

получим соотношение для взаимной ковариационной функции входного и выходного процессов в системе:

. (2.21)

Применим прямое преобразование Фурье к соотношению (2.21) и учтем выражения для спектральных плотностей (1.33), (1.35):

Аналогичные вычисления проведем и для произведения мгновенных значений выходного процесса системы в два различных момента времени:

. (2.22)

После усреднения выражения (2.22) получим

. (2.23)

Прямое преобразование Фурье над соотношением (2.23) дает

Таким образом, основные спектральные соотношения для идеальной системы, связывающие между собой спектральные плотности на входе и выходе системы, имеют вид:

(2.24)

Первое из выражений (2.24) является комплексным и называется соотношением для взаимных спектральных плотностей входного и выходного процессов системы, второе выражение - действительным и называется соотношением между спектральными плотностями входного и выходного процессов.

Выражения (2.24) справедливы и для физически измеримых односторонних спектральных плотностей:

(2.25)

Основные спектральные соотношения можно вывести и без предварительного нахождения ковариационных функций (2.21) и (2.23).

Для любой пары усеченных реализаций достаточно большой длины интеграл свертки

в результате финитного преобразования Фурье (1.48)

преобразуется в эквивалентное равенство

. (2.26)

Тогда справедливы следующие соотношения:

(2.27)

Если теперь выражения (2.27) усреднить по ансамблю реализаций, умножить на величину и устремить к бесконечности, то из соотношений (1.51) получим формулы (2.25):

2.4 Функция обычной когерентности

Функция обычной когерентности (используются также функции частной и множественной когерентности) между процессами и представляет собой действительную величину, которая уже была определена формулой (1.47):

,

причем .

Для идеальной системы справедливо равенство

Следовательно, в случае линейной системы с постоянными параметрами и одним входом при полном отсутствии помех функция когерентности равна единице.

С другой стороны, если процессы и совершенно не коррелированы, т.е. для всех , то функция когерентности для всех .

Если же функция когерентности принимает промежуточные между нулем и единицей значения, то практически может иметь место одна или несколько следующих возможностей:

1. в измерениях присутствует внешний шум;

2. оценки спектров мощности смещены из-за недостаточного разрешения по частоте;

3. система, преобразующая в , не линейна;

4. на выходной процесс влияют и другие входные процессы кроме .

Важное и полезное свойство функции когерентности заключается в том, что она сохраняется при линейных преобразованиях.

Предположим, что - функция когерентности между и , которую необходимо определить. Пусть - линейное преобразование , а - линейное преобразование , тогда

.

Таким образом, для измерения можно использовать наблюдения вместо и (или) наблюдения вместо , если по каким-либо причинам это проще или удобнее в конкретной задаче.

2.5 Система с внешним шумом на выходе

Рассмотрим систему, в которой некоррелированный внешний шум присутствует только на ее выходе (рисунок 2.3). Предполагаем, что все процессы в системе относятся к стационарным, а их средние значения равны нулю .

Наблюдаемая реализация выходного процесса примет вид

, (2.28)

где - ненаблюдаемый истинный выходной процесс;

- ненаблюдаемый некоррелированный выходной шум.

Рисунок 2.3 - Система с внешним шумом на выходе

- наблюдаемый входной процесс; - наблюдаемый выходной процесс; - ненаблюдаемый истинный выходной процесс;

- ненаблюдаемый выходной шум

Произведение мгновенных значений наблюдаемого выходного процесса в два различных момента времени равно

,

откуда после усреднения получим следующее соотношение для ковариационных функций:

. (2.29)

В силу не коррелированности шума имеем

. (2.30)

В результате преобразования Фурье над выражением (2.29) с учетом (2.30) наблюдаемый выходной спектр мощности системы примет вид суммы идеального линейного выхода , порожденного преобразованием посредством , и шума на выходе , т.е.

, (2.31)

где - спектр мощности истинного (полезного) выходного процесса.

Для взаимной спектральной плотности наблюдаемых процессов на входе и выходе аналогично получим:

,

,

, (2.32)

где - взаимная спектральная плотность истинных процессов на входе и выходе системы.

Таким образом, согласно выражениям (2.31), (2.32), наблюдаемый выходной спектр мощности дает смещенную оценку истинного выходного спектра , а наблюдаемый взаимный спектр - несмещенную оценку .

Учитывая это, можно рассчитать спектральную плотность ненаблюдаемого истинного выходного процесса через регистрируемые процессы:

Произведение в правой части равенства

 (2.33)

носит название когерентного спектра выходного процесса.

Соотношения (2.31)-(2.33) являются основными спектральными соотношениями для системы с внешним некоррелированным шумом на выходе.

Согласно выражению (2.33), функцию когерентности можно истолковать как долю спектра истинного выходного процесса в наблюдаемом выходном спектре:

. (2.34)

Выходной спектр шума тогда равен

(2.35)

и может быть интерпретирован как часть выходного спектра, не связанная с линейным преобразованием процесса на частоте .

Соотношения (2.34), (2.35) позволяют найти отношение шума к истинному сигналу на выходе системы:

, (2.36)

откуда следует, что при и при.

детерминированный идеальный спектральный зондирующий

2.6 Система с внешним шумом на входе

Рассмотрим второй случай, когда некоррелированный внешний шум присутствует только в измерениях входного процесса , не проходя при этом через систему (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 - Система с внешним шумом на входе

- наблюдаемый входной процесс; - наблюдаемый выходной процесс; - ненаблюдаемый истинный входной процесс;

- ненаблюдаемый входной шум

Предполагаем также, что все процессы в системе относятся к стационарным, а их средние значения равны нулю .

Наблюдаемая реализация входного процесса принимает вид

, (2.37)

где - ненаблюдаемый истинный входной процесс;

- ненаблюдаемый некоррелированный входной шум.

Наблюдаемый входной спектр мощности с учетом некоррелированности и и выражения (2.37) состоит из суммы

. (2.38)

Поскольку внешний шум через систему не проходит, то справедливо равенство

. (2.39)

Для вывода выражения для взаимного спектра мощности наблюдаемых процессов на входе и выходе системы рассмотрим произведение мгновенных значений процессов в два различных момента времени

, откуда

,

, (2.40)

где - взаимная спектральная плотность истинных процессов на входе и выходе системы.

Рассмотрим произведение функции когерентности между процессами и и наблюдаемым входным спектром:

.

Учитывая равенства (2.38), (2.39), получим:

,

что соответствует спектру ненаблюдаемого истинного входного процесса .

Произведение в правой части равенства

, (2.41)

носит название когерентного спектра входного процесса.

Отношение шума к истинному сигналу на входе рассматриваемой системы принимает вид, совпадающий с аналогичной величиной для системы с шумом на выходе:

.

К основным спектральным соотношениям для системы с некоррелированным внешним шумом на входе относятся выражения (2.39)-(2.41).

2.7 Влияние внешнего шума

Рассмотрим теперь более реалистичную модель системы, учитывающую влияние некоррелированного внешнего шума на наблюдения входного и выходного процессов (рисунок 2.5).

Предполагаем, что шумы не коррелированны между собой и с сигналами, т.е. для взаимных спектральных плотностей справедливо следующее соотношение: .

Рисунок 2.5 - Система с внешним шумом на входе и выходе

, - наблюдаемые процессы на входе и выходе;

, - ненаблюдаемые истинные процессы на входе и выходе;

, - ненаблюдаемые шумы на входе и выходе

Наблюдаемые реализации входных и выходных процессов имеют вид

,

,

где , - истинные сигналы;

, - шумы на входе и выходе соответственно.

Из основных спектральных соотношений (2.25) для идеальной системы получим

(2.42)

Однако в действительности наблюдаются спектральные плотности , где, согласно п.2.5, 2.6,

(2.43)

Истинная функция когерентности равна

,

а наблюдаемая функция когерентности имеет вид

.

Из формул (2.42), (2.43) находим

,

откуда

. (2.44)

Неравенство (2.44) будет строгим, если или , что на практике всегда имеет место.

Для рассматриваемой системы можно получить оценку частотной характеристики по наблюдениям процессов , , используя соотношения

, (2.45)

, (2.46)

где - наблюдаемая частотная характеристика.

Выражение (2.45) позволяет оценить квадрат амплитудной характеристики по спектрам

, (2.47)

а выражение (2.46) - частотную характеристику по взаимному спектру

. (2.48)

Подстановка выражений (2.43) в (2.47) дает

, или

, (2.49)

где - истинная частотная характеристика согласно (2.42).

Очевидно, что всегда дает смещенную оценку , если или .

Подставляя выражения (2.43) в (2.48) и учитывая (2.42), получим

, или

, (2.50)

откуда видно, что если , то даст несмещенную оценку частотной характеристики независимо от значения спектральной плотности шума на выходе .

Соотношения (2.49), (2.50) позволяют заключить, что взаимно-спектральные методы оценки частотной характеристики имеют преимущество над спектральными в том случае, когда на выходе системы имеется внешний шум. Кроме того, взаимно-спектральные методы позволяют не утратить информацию о фазовой составляющей частотной характеристики системы.

2.8 Система с обратной связью

Рассмотрим идеальную систему с отрицательной обратной связью (рисунок 2.6). На схеме , - наблюдаемые процессы на входе и выходе системы, - ненаблюдаемый процесс на выходе тракта обратной связи с частотной характеристикой , - частотная характеристика прямого тракта. Если частотная характеристика тракта обратной связи равна нулю , то модель сводится к системе с одним входом и одним выходом (п.2.3).

Рисунок 2.6 - Система с обратной связью

, - наблюдаемые процессы на входе и выходе;

- ненаблюдаемый процесс на выходе обратной связи;

- частотная характеристика прямого тракта;

- частотная характеристика тракта обратной связи

Выясним изменения, вносимые такой схемой в полученные ранее результаты.

Интегралы свертки для процессов на входе и выходе прямого и обратного трактов имеют соответственно вид

,

.

Тогда финитные преобразования Фурье над , и при достаточно большой длине реализаций связаны между собой соотношением

, где

.

Поэтому

,

откуда частотная характеристика системы равна

. (2.51)

Величина - это общая частотная характеристика системы с цепью обратной связи, связывающая процессы и , которая может быть определена по наблюдениям только и . При этом на всех частотах должно выполняться следующее неравенство: .

Экспериментальное определение частотных характеристик отдельных трактов и невозможно, если величина на выходе обратной связи не наблюдаема. Однако, если или известна или есть основания предполагать вид одной из этих характеристик, то вторую величину можно найти. Например, пусть частотная характеристика обратной связи является известной положительной константой . Тогда

, откуда

. (2.51)

Частотную характеристику системы можно найти по взаимной спектральной плотности

, поэтому

. (2.52)

Очевидно, что характеристики и не совпадают, если .

Предположим теперь, что некоррелированный внешний шум попадает на выходе в систему с обратной связью (рисунок 2.7).

...