Корреляционный анализ в информационно-измерительной технике

В такой системе - выходной процесс прямого тракта с частотной характеристикой , который отдельно не может быть измерен. Вместо него наблюдается процесс ,

где - некоррелированный шум.

Рисунок 2.7 - Система с обратной связью при наличии шума на выходе

, - наблюдаемые процессы на входе и выходе системы; , - ненаблюдаемые процессы на выходе прямого и обратного трактов; , - частотные характеристики прямого и обратного трактов; - ненаблюдаемый шум на выходе системы

Выходной процесс тракта обратной связи с частотной характеристикой также не может быть измерен непосредственно.

Применив к реализациям достаточно большой длины финитное преобразование Фурье, получим следующие соотношения:

,

где ,

.

Поэтому

,

откуда реакция системы с обратной связью равна

(2.53)

Первое слагаемое в выражении (2.53) определяет вклад полезного сигнала, второе слагаемое - вклад шума.

Отношение сигнала к шуму на выходе системы соответственно равно

,

откуда видно, что оно является функцией от частотной характеристики прямого тракта и не зависит от характеристики обратного тракта . Поэтому отношение сигнала к шуму растет с увеличением при фиксированном значении , что представляет собой полезное свойство систем с обратной связью.

Выражение (2.53) может быть представлено в виде

, (2.54)

где ,

.

Тогда суммарный выходной спектр мощности в системе с обратной связью равен

. (2.55)

Из формул (2.34) и (2.55) следует, что функция когерентности между и определяется как

. (2.56)

Таким образом, не является функцией от , что находится в согласии с тем, что отношение сигнала к шуму на выходе системы с обратной связью не зависит от частотной характеристики тракта обратной связи.

2.9 Использование зондирующего сигнала

В некоторых инженерных приложениях входной процесс не наблюдается, но имеется возможность подать на вход системы известный зондирующий сигнал , независимый от естественного входа (рисунок 2.7).

Разумно предположить, что не зависит от и , а не зависит от и . Применение финитного преобразования Фурье к реализациям достаточно большой длины приводит к следующим соотношениям между величинами, указанными на рисунке 2.7:

, (2.57)

где ,

.

Рисунок 2.7 - Система с зондирующим сигналом и шумом на выходе

- естественный ненаблюдаемый входной процесс;

- известный наблюдаемый зондирующий сигнал;

, - ненаблюдаемые реакции на и соответственно;

- ненаблюдаемый шум на выходе системы;

- суммарный наблюдаемый процесс на выходе

По предположению следующие взаимные спектральные плотности равны нулю:

Поэтому с учетом (2.57) для регистрируемых спектральных плотностей имеем

, (2.58)

. (2.59)

Поскольку процесс не наблюдаем, для оценки частотной характеристики системы невозможно использовать стандартную формулу через взаимную спектральную плотность

.

Однако соотношение (2.59) показывает, что при известном зондирующем сигнале имеет место равенство

, (2.60)

которое дает несмещенную оценку независимо от шума на выходе и каких-либо предположений относительно естественного входа .

В качестве зондирующего сигнала часто выбирают ограниченный по частоте белый шум, имеющий постоянную спектральную плотность в широкой полосе частот .

В этом случае частотная характеристика равна

. (2.61)

Как только частотная характеристика системы определена по формулам (2.60) или (2.61) , зондирующий сигнал отключают и уравнение (2.57) принимает вид

,

откуда, наблюдая только процесс , получают выходную спектральную плотность

. (2.62)

Если вклад шума на выходе системы невелик , то справедливо приближенное равенство

,

следовательно

. (2.63)

Формула (2.63) дает полезную информацию о спектральной плотности , даже если процесс не наблюдается. В частности, может быть собственным шумом системы на входе, а - собственным шумом на выходе, вызванном .

2.10 Контрольные вопросы

1. Перечислите свойства идеальной системы и объясните их смысл.

2. Сформулируйте определение импульсной характеристики системы.

3. Каким преобразованием связаны между собой частотная и импульсная характеристики идеальной системы?

4. Перечислите способы расчета амплитудной частотной характеристики системы.

5. Сформулируйте теорему о спектре производной.

6. Запишите основные спектральные соотношения для идеальной системы.

7. Осуществите расчет функции когерентности для идеальной системы.

8. Как влияет наличие некоррелированных шумов на входе и выходе системы на спектральные соотношения?

9. Запишите выражение для частотной характеристики системы с обратной связью.

10. С какой целью может использоваться зондирующий сигнал?

3. Системы с одним входом и несколькими выходами

Рассмотрим систему с одим входным процессом (наблюдаемым или ненаблюдаемым), который вызывает несколько наблюдаемых выходных процессов. Предполагаем, что система линейна и имеет постоянные параметры и что все отклонения от этого идеального случая включены в некоррелированный внешний шум на выходе.

3.1 Спектральные соотношения

Пусть система состоит из одного стационарного эргодического случайного процесса , который вызывает наблюдаемых выход-ных процессов , , искаженных некоррелированным шумом (рисунок 3.1). Пунктиром на рисунке выделена система, имеющая трактов распространения входного сигнала с частотными характеристиками , .

Рисунок 3.1 - Система с одним входом и несколькими выходами

- входной процесс; - частотная характеристика i-го тракта;

- ненаблюдаемый истинный выходной процесс i-го тракта;

- ненаблюдаемый шум на выходе i-го тракта;

- наблюдаемый выходной процесс i-го тракта;

- номер тракта распространения сигнала в системе

Для каждого i-го тракта распространения сигнала выходной процесс имеет вид

, . (3.1)

Выполнив финитное преобразование Фурье над реализацией достаточно большой длины , получим

, , (3.2)

откуда, с учетом некоррелированности шума, спектральная плотность на выходе тракта определится как

, . (3.3)

Для взаимной спектральной плотности процессов и аналогично получим

, . (3.4)

Соотношения (3.3), (3.4) для i-го тракта рассматриваемой системы в точности совпадают со спектральными соотношениями (2.31), (2.32) для системы с одним входом и одним выходом при наличии внешнего шума на выходе.

Используя формулу (3.2) для различных трактов с номерами i и j, можно получить взаимную спектральную плотность между двумя любыми выходными процессами

. (3.5)

Отсюда следует, что наблюдение взаимной спектральной плотности и знание частотных характеристик отдельных трактов и позволяют оценить спектральную плотность входного процесса , даже если он ненаблюдаем.

3.2 Оценивание относительного запаздывания

Задача оценки времени относительного запаздывания между двумя сигналами решается, например, при установлении местонахождения неизвестного источника, излучающего энергию с известной скоростью распространения, путем определения запаздывания между парами наблюдений на выходе.

Рассмотрим частный случай системы с одним входом и двумя выходами (рисунок 3.2), которые имеют вид

(3.6)

где - коэффициент относительного затухания;

- запаздывание.

Шумовые слагаемые и предполагаются некоррелированными между собой и с входным процессом .

Рисунок 3.2 - Система с одним входом и двумя выходами

- входной процесс; , - выходные процессы трактов;

, - частотные характеристики трактов;

, - шумы на выходе трактов

Взаимная ковариационная функция и взаимная спектральная плотность процессов , , определенных уравнениями (3.6), имеют вид

(3.7) и

. (3.8)

Важно отметить, что в формулах (3.7), (3.8) отсутствуют шумовые составляющие и , что означает независимость функций от внешних помех.

Кроме того, выражение для является функцией от , и и имеет, очевидно, максимум при . Запаздывание также линейно входит в фазовую составляющую взаимной спектральной плотности .

Следовательно, запаздывание можно определить либо по взаимной ковариационной функции, либо по взаимной спектральной плотности из формул (3.7), (3.8).

3.3 Локализация неизвестного источника

Пусть источник излучает равномерно во все стороны энергию, которая измеряется в двух точках, разделенных расстоянием (рисунок 3.3).



Рисунок 3.3 - Определение угла падения: - угол падения; - расстояние между приемниками ,

Если скорость распространения энергии известна, то запаздывание между двумя выходными сигналами , входит в приближенное соотношение (при расстоянии до источника в 10 раз большем, чем расстояние между приемниками)

, (3.9)

откуда угол падения энергии определяется из равенства

. (3.10)

В свою очередь запаздывание двух выходных сигналов , , вызванных одним входным сигналом , можно вычислить, исходя из взаимной ковариационной функции или взаимной спектральной плотности , (п.3.2).

Конечно, источник энергии не лежит на линии, определяемой углом падения , а находится на гиперболической поверхности. Точное определение местонахождения источника в трехмерном пространстве потребует подобных измерений угла в трех ортогональных парах выходных точек.

На практике применение полученных результатов к локализации ненаблюдаемого источника наталкивается на ряд трудностей. Рассмотрим некоторые из них.

1. Распределенность источника. Если размеры фактического источника велики по сравнению с расстоянием до него от точек наблюдения выходных процессов и источник не является полностью когерентным, то он будет воспринят на выходах как набор некоррелированных источников. Это приведет к искажениям в определении фазы .

2. Искажение выходных сигналов шумом. Присутствие статистически независимого (внешнего) шума в измерениях выходных сигналов и (что типично для инструментального шума) не изменяет фазы . В то же время шум в выходных сигналах, коррелированный с ними, как правило, данные фазовых измерений искажает. Наиболее распространенный вид искажающего шума - диффузный шум, порожденный большим числом независимых источников шума, окружающих точки наблюдения выходных процессов и и воздействующих на них.

3. Эффекты реверберации и рассеяния. Реверберация сказывается в том случае, когда приемники сигнала окружены отражающими поверхностями, многократные отражения от которых приводят к сильному искажению сигналов и . Реверберация искажает фазовый угол между двумя наблюдениями и , поскольку приемники выходных сигналов регистрируют волны, приходящие с направлений, отличных от направления на источник.

Наибольший вред вносят отражения от поверхностей, находящихся позади приемников выходных сигналов. Поэтому путем установки поглотителей позади приемников сигналов можно свести реверберацию к приемлемому уровню.

Помимо реверберации трудности может вызвать появление на пути между входом и выходами каких-либо препятствий или неоднородностей, вызывающих рассеяние энергии. Это также отрицательно сказывается на точности измерений фазы.

4. Фазовая нестабильность аппаратуры измерения. Тщательная калибровка оборудования, предназначенного для получения и анализа данных, очень важна при обработке любых сигналов. Однако при решении задач локализации источника особое значение имеет калибровка оборудования по фазе, поскольку именно данные о фазе представляют в этом случае первостепенный интерес.

Ошибки при измерении фазового угла между сигналами и могут появиться в любой части системы, предназначенной для получения и анализа данных, включая датчики, оборудование для предварительной обработки информации, аппаратуру записи и воспроизведения данных и т.д. К серьезным последствиям приводит относительный фазовый сдвиг между двумя инструментальными каналами, определяющими сигналы и .

Для получения правильных результатов можно повторить измерения, поменяв датчики местами. Тогда истинное значение фазового угла между сигналами и определится как

, (3.11)

где - результаты измерений фазового угла при различном положении датчиков.

3.4 Контрольные вопросы

1. Запишите основные спектральные соотношения для системы с одним входом и несколькими выходами.

2. С какой целью может использоваться информация о взаимной спектральной плотности выходных процессов двух различных трактов системы?

3. Какие существуют способы определения запаздывания между двумя наблюдаемыми процессами?

4. Сформулируйте задачу локализации ненаблюдаемого источника энергии.

5. К каким искажениям в измерениях приводит распределенность источника в пространстве?

6. Что такое эффект реверберации и как можно его уменьшить?

7. Укажите способ устранения относительного фазового сдвига между двумя инструментальными каналами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. - М: Питер, 2002.- 604 с.

2. Садовский, Г.А. Теоретические основы информационно-измерительной техники / Г.А. Садовский. - М.: Высшая школа, 2008. - 480 с.

3. Бендат, Д. Применение корреляционного и спектрального анализа / Д. Бендат, А. Пирсол. - М.: Мир, 1983. - 312 с.

4. Бендат, Д. Измерение и анализ случайных процессов / Д. Бендат, А. Пирсол. - М.: Мир, 1974. - 464 с.

Размещено на Allbest.ru

...