Явления, связанные с движением зарядов в фоточувствительных кристаллах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Явления, связанные с движением зарядов в фоточувствительных кристаллах



Содержание

§ 1 Длина экранирования Дебая. Распределение концентрации носителей, заряда и поля в частично освещенном полупроводнике

§ 2 Распределение носителей в однородном образце при генерации их светом

§ 3 Спектральное распределение фототока

Литература



§ 1 Длина экранирования Дебая. Распределение концентрации носителей, заряда и поля в частично освещенном полупроводнике

Рассмотрим электронные процессы в полупроводнике, когда он освещен частично.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Слева от координаты х=0 полупроводник освещен, а справа затемнен. Слева в полупроводнике протекают процессы, связанные с однородным возбуждением. Пусть полупроводник содержит лишь один тип примесных уровней Ni. Это уровни, с которых происходит фотовозбуждение и тепловой заброс электронов в зону и на них же идёт рекомбинация электронов. Интенсивности процессов будут:

1. Фотовозбуждение:

f = L??

где ? = qni;

2. Тепловой выброс:



nivSnNci

3. Рекомбинация (захват электронов на уровни):

nvSn(Ni - ni)

В результате этих процессов в левой (освещенной) части кристалла устанавливается плотность свободных электронов n. Правая и левая часть электрически нейтральна.

В связи с тем, что кристалл освещен частично, плотность электронов в левой части выше. Это приведет к появлению диффузионного тока (из-за неоднородности распределения плотности электронов):

jD = eDgradn ,

где D -коэффициент диффузии.

В одномерном случае:

jD = eD (1)

В результате движения (диффузии) электронов вправо эта часть кристалла будет заряжаться отрицательно относительно его левой части. Под действием возникшего электрического поля напряженности E электроны будут двигаться влево, возникнет электрический ток:

jE = ?E = e?nE (2)

Диффузионный ток будет протекать до тех пор, пока он не уравновесится током, возникающего из-за электрического поля, т.е. пока не станет:

jD = - jE

Или eD = - e?nE

Отсюда:

Решение этого уравнения:

(3)

(Коэффициент пропорциональности - постоянная интегрирования С).

С другой стороны, т.к. электроны сместились в электрическом поле, то изменилась их энергия. Если длина X, а напряженность электрического поля E, то разность потенциалов на этом участке U = Ex а энергия, которую приобретут электроны:

W = eU = eEx

Эти электроны подчиняются распределению Больцмана (как электроны в полупроводнике), т.е.:

Или, учитывая, что W = eEx:



(4)

Учитывая (3) и (4) имеем: (при х=0 константа С = Nc) и

Отсюда коэффициент диффузии:

(5)

Формула (5) называется соотношением Эйнштейна.

Размерность

.

Запишем уравнение непрерывности (уравнение сохранения носителей тока). Изменение концентрации носителей в некотором объеме полупроводника может происходить в результате трех процессов:

1 - генерация носителей;

2 - их рекомбинация;

3 - изменение концентрации за счет движения электронов в пространственных координатах (число входящих в объем зарядов может оказаться неравным числу выходящих). Этот последний процесс должен, очевидно, зависеть от скоростей изменения тока с координатой.



= L?? + nivSnNci - nvSn(Ni - ni) + divj ; (*)

Количественный третий член записывается divj. В декартовых координатах:

divj = ;

Плотность полного тока в любой точке образца: j = jD+ jE.

Подставим значение jDи jE из (1) и (2):

Учитывая (5) , получим:

(6)

Чтобы решить систему уравнений (*) и (6) нужно записать теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме (так называемое уравнение Пуассона), которая дает связь между напряженностью и плотностью заряда в данной точке:

divE =

где ? - плотность заряда. В одномерном случае:

;

Вотсутствии диффузии, в каждой точке объема n = р и объемный заряд отсутствует. В результате диффузии:

1) слева подвижные носители (электроны) уходят, а остаются

нескомпенсированные дырки ;

2) справа - свободные электроны n.

Их разность и есть избыточный заряд, т.е. плотность зарядов ?. Т.е.:

? = e [(Ni - ni) - n]

Учитывая это:

[(Ni - ni) - n] (7)

Решая систему уравнений (*) и (6) в одномерном случае, найдем распределение концентрации носителей, заряда и поля при частичном освещении полупроводника. В стационарном случае, когда все процессы установились

а, следовательно divE = 0. Тогда уравнение (*) запишется:

L?? + nivSnNci - nvSn(Ni - ni) = 0 (8)

Считая, что:

n = n0 + ?n

тепло свет

ni = ni0 + ?ni,

в темноте уравнение (8) запишется в виде:

ni0vSnNci - n0vSn(Ni - ni0) = 0 .

Или:

ni0vSnNci - n0vSnNi + n0vSnni0 = 0 (9)

Подставим значения n и ni в уравнение (8) , на свету получим:

L?? + (ni0 + ?ni)vSnNci - (n0 + ?n)vSn(Ni - ni0 - ?ni) = 0

Раскроем скобки:

L?? + vSnNcini0 + vSnNci?ni -vSnn0Ni - vSnNi?n +

+ vSnn0ni0 + vSn?nni0 + vSnn0?ni +vSn?n?ni = 0

Первые три подчёркнутые слагаемые можно уничтожить согласно уравнению (9). Кроме этого, считаем, что подсветка слабая, т.е. ?n«n0 и ?ni«n0i . Тогда произведение ?n?ni мало и членом, содержащим его, можно пренебречь из-за малости. После этих упрощений получим:

L?? + vSnNci?ni - vSnNi?n + vSn?nni0 + vSnn0?ni = 0

?ni -изменение концентрации электронов на примесных центрах. Электроны уходят в c-зону на примесных центрах остаются дырки, поэтому:

?ni = ?pi.

Кроме того: (10)

Ni - ni0 = pi0 = n0

В темноте кристалл был нейтральным, поэтому в последнем уравнении учтено n0= p0 . Сгруппируем по ?ni и по ?n:

L?? + vSn?ni (Nci +n0) = vSn?n (Ni - ni0 )

Учитывая (10), имеем:

L?? - vSn?рi (Nci +n0) = vSn?nn0

Отсюда:

поделим числитель и знаменатель на vSn:

(11)

Обратимся теперь к уравнению для j (6). В случае, когда j = 0 оно запишется:

?kТ + en?E = 0

Отсюда:

Подставим значение n = n0 + ?n, получим:

В знаменателе первого множителя ?n отброшено в силу условия ?n « n0; под знаком дифференциала n0 отброшено как постоянная величина.

Дифференцируем правую и левую части уравнения для E по x:

. (12)

Но, согласно выражению (7)

Подставим значения ni = ni0 + ?ni и n = n0 + ?n:

Учтено Ni - ni0 = n0. Кроме того, -?ni = ?p, поэтому:

Подставим сюда значение из (12):

Или, учитывая значение ?р из выражения (11):

Приведем выражения в скобке к общему знаменателю и разделим левую и правую части на :

Запишем в виде:

Размещено на http://www.allbest.ru/

При слабой подсветке ?n мало, т.е. примесные уровни слабо ионизированы. И квазиуровень Ферми для электронов проходит выше примесного уровня Ni, т.е. Ei>Efn.

Но учитывая, что Ei>Efn, имеем:n0 »Nci. Тогда уравнение упростится (пренебрежём Nciпо сравнению с n0):

.

Обозначим - длина экранирования Дебая.

Тогда: (13)

Это неоднородное дифференциальное уравнение 2-ой степени относительно ?n. Соответствующее однородное уравнение:

(13*)

Оно справедливо для затемнённой части кристалла. Его решение даст закон изменения плотности фотовозбуждения в темновой части. Заменим его характеристическим уравнением (алгебраическим):

Его решение:

Общее решение уравнения имеет вид:

Подставив значение ?1 и ?2:

Первое слагаемое в этом уравнении смысла не имеет т.к. концентрация электронов в глубину затемненной части кристалла не может возрастать с ростом x. Поэтому С1 = 0. Остается второе слагаемое. Т. о.

(14)

Отсюда смысл lD - это расстояние от границы освещения, на котором концентрация неравновесных носителей убывает в е раз. Называется эта величина дебаевским радиусом экранирования (длина экранирования Дебая).

Подсчитаем, какого порядка эта величина для CdS:

То есть глубина проникновения электронов 0,01 мм и зависит от диэлектрической постоянной и плотности свободных электронов.

Мы определили закон изменения плотности фотовозбужденных носителей с расстоянием в затемненной области. Теперь определим, как изменится ?n в освещенном участке кристалла. Для этого решим неоднородное дифференциальное уравнение с постоянным свободным членом

(13)

Общим решением этого уравнения будет общее решение однородного уравнения плюс частное решение неоднородного.

Решение однородного уравнения (13) есть:



Частным решением неоднородного уравнения будет случай, когда свободный член есть постоянная величина. Пусть?n = A.Найдемрешение.Для этого в уравнение (13) вместо?nзапишем А:

Первый члент.к. А-постоянная.

Отсюда

Итак, общее решения нашего неоднородного уравнения:

.

Это решение справедливо для х. Когда x>-? член с С2>-?, следовательно, этот член опускаем.

Итак

(14)

(15)

Нужно найти постоянные C1и С2.

Используем условия непрерывности т.е. тот факт, что при х=0(т.е. на границе)

Подставив в первое уравнение значения ?n при х=0из (14) и (15):

Для второго уравнения после дифференцирования

получим

откуда при х = 0 или С1 = - С2

Переставим в первое уравнение вместо С1 значение - С2, получим

Отсюда

Тогда

Подставив в (14) и (15) значения С1 и С2 окончательно получим:

В освещенной части:

(16)

в затемненной части

(17)

Значит, в глубине освещенной части, при х

На границе освещенной и неосвещенной области при х = 0

В глубине затемненной области при х(?n)темн > 0

Теперь можно определить распределение объемного заряда.

Согласно (11)



Подставим это значение, получим:

Учитывая то, что n0 »Nci в последнем выражении можно пренебречь членами с Nci. Имеем:

Подставляя значение ?n для освещенной и затемненной части кристалла, получим значение ? в этих областях.

В освещенной:

Или (18)

Этот заряд положителен и будет возрастать по мере приближения х от -? к нулю. В затемненной части

Первый член в скобке - это переход плотностей зарядов на границе. Этим членом можно пренебречь т.к. в темноте он исчезающе мал. Т.о., в затенённой части заряд отрицательный и изменяется по закону:

(19)

Т.е. при х=0 наблюдается скачок от

до .

Определим теперь распределение электрического поля. Согласно предедущего:

Поле в области положительного заряда направленно в сторону убывания положительного заряда. В области отрицательного заряда поле направлено в сторону возрастания отрицательного заряда. Т.е. в обоих случаях вектор Eориентирован слева направо. Подставим значение ?n из (16) и (17) в записанное выражение для E. В освещённой части

(20)

Введено бозначение

В затемнённой части



(21)

Теперь найдём распределение потенциала:

(22)

Подставляя сюда значения напряжённости из (20) и (21) имеем:

В освещённой части кристалла

В затемнённой части

Видно, что по мере увеличения координаты от границы раздела, т.е. с ростом х, величина потенциала возрастает. В то же время по мере уменьшения х от нуля до - ? потенциал убывает. Пусть его наименьшее значение будет V0. Тогда константа С1 отыщется из уравнения

Откуда С1 = V0. Значение второй константы интегрирования можно найти в точке сшивания функций при х=0: =. Имеем:

Откуда C2 = V0 + 2 E0lD. Окончательно

Для определения потенциалов освещённой и затемнённой областей кристалла подставим в (22) значение E:

световая область темновая область

Во второй строчке учтено и .

Подставив значение E0 , получим:

(23)

Эта разность потенциалов, возникающая между освещенной и затемненной частями кристалла, называется ЭДС Дембера.

Полученные результаты могут быть представлены на следующих графиках:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эффект Дембера

Плотность носителей на поверхности больше, чем в глубине (из-за поглощения света в кристалле). Если подвижность электронов больше, чем дырок, то электроны диффундируют во внутрь кристалла и объём заряжается отрицательно относительно поверхности для полупроводника n -типа. Это очень заметно при продольной проводимости

экранирование полупроводник свет спектральный

§ 2 Распределение носителей в однородном образце при генерации их светом

Интенсивность света убывает в глубину полупроводника по закону:

,

где ? - коэффициент поглощения, L0 - общее число квантов, падающих на поверхность за вычетом отражённого света.

В слое поглощается ?L квантов и образуется столько же носителей (если ?=1). Значит, скорость генерации неравновесных носителей:

Размещено на http://www.allbest.ru/

где q0 - генерация носителей на поверхности.

Рассмотрим токи, текущие вдоль оси OX.

Это токи диффузии носителей за счёт градиента концентрации и омические токи за счёт разности потенциалов (вследствие нарушения нейтральности).

Здесь в первой строке «+», а во второй «-», т.к. ток диффузии имеет одинаковое направление, а омический - разное.

Очевидно:j = jn + jp = 0

Сложим наши два равенства:

Очевидно:

Тогда, заменив на , получим:

Отсюда:

Следовательно:

Согласно соотношению Эйнштейна

. Отсюда ,

Подставив эти значения ?n и ?p, получим:

где - эффективный коэффициент диффузии.

Знак поля Е зависит от разности (Dp - Dn), т.е. определяется подвижностью электронов и дырок.

Коэффициент диффузии Dэфф, определяющий скорость совместной диффузии, равен Dp, если n » p и равен Dn, если p » n, т.е. определяется коэффициентом диффузии неосновных носителей.

Пусть в полупроводнике есть носители, возбуждаемые теплом (n0,p0) и светом (?n , ?p), тогда:

n = n0 + ?n и p = p0 + ?p

Если ?n « (n0 , p0), то, пренебрегая ?n

,



т.е. в этом случае коэффициент диффузии Dэфф не зависит от ?n (не изменяется при освещении).

Посмотрим, как меняется концентрация электронов от х, т.е. найдем n(x).

Рассмотрим две плоскости, находящиеся на расстоянии dx друг от друга. Эти плоскости выделяют слой, объем которого: . Концентрация электронов в слое n(x,t) считается постоянной, т.к. слой очень мал по толщине.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Число электронов в слое n(x,t)dx. Изменение числа электронов за время dt в объеме dx:

.

Через границу слоя X за dt сек влетает In(x)dt электронов. Через границу X + dx вылетает In(x+dx)dt. Изменение числа электронов вследствие разности этих потоков:

Запишем диффузионное уравнение для электронов и дырок n = n (t,x) ;p = p(t,x):

Учитывая, что eIn = - jn и eIp = jp в стационарном случае, когда

Получим:

Решим дифференциальное уравнение для электронов. С учётом того, что

,

имеем:

Или:

Обозначим Dэфф ?n = . По размерности величина - это некоторая длина. Её физический смысл - эффективная диффузионная длина при совместном перемещении электронов и дырок. Тогда уравнение примет вид:



Это неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Частным решением неоднородного уравнения является:

n - n0 = C

n = n0 + C

Подставим эти значения в уравнение:

Отсюда т.к.

Т.о. частное решение неоднородного уравнения будет

Найдем общее решение однородного уравнения

Заменяем его характеристическим (считаем переменной не n, а n-n0)

Следовательно

n - n0 =

Итак, общее решения полного неоднородного уравнения:

n - n0 =

Константы А и В находим из граничных условий:

При х >?: n>n0. 0 = 0 + 0 + . Откуда В = 0

На поверхность кристалла выходит поток электронов и дырок и они рекомбинируют на поверхности. Темп поверхностной рекомбинации qS равен числу актов рекомбинации на 1 см2 поверхности в 1 сек.

На свету

где - коэффициент поверхностной рекомбинации.

В темноте



.

Изменение темпа рекомбинации в результате освещения:

Полное число электронов n = n0 + ?n. Полное число дырок p = p0 + ?p.

Считаем: ?n « n0, p0.

Подставим значение n и p:

Обозначим = S - скорость поверхностной рекомбинации.

.

Физический смысл этой величины - это скорость, с которой неравновесные носители, созданные в приповерхностном слое, движутся к поверхности вследствие градиента концентрации. Учитывая обозначение, получим второе краевое условие:

Число носителей, подошедших к поверхности полупроводника за единицу времени равно числу гибнущих там носителей, поэтому

При х=0:

Подставляя, получим

n(0) = n0

Или:

Откуда:

В условиях равновесия, сколько носителей создано светом на поверхности, столько же там рекомбинирует, :

Обозначим .

Тогда:

Т.о. в окончательном виде решение выглядит так:

Если генерация свободных носителей осуществляется в слое, средняя глубина которого , то свободные носители распространяются на бoльшее расстояние по закону . В этом случае ;

Размещено на http://www.allbest.ru/

- диффузионная длина, определяющая среднее расстояние, на которое проникают электронно-дырочные пары от места их генерации.

§ 3 Спектральное распределение фототока

Полупроводниковый кристалл включен в схему, как показано на рисунке.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Нас интересует зависимость фототока от длины волны возбуждающего света ? или зависимость фототока от коэффициента поглощения, а последний зависит от ?.

Увеличение удельной проводимости образца вдоль поверхности при освещении равно

,

где - число избыточных электронов или дырок на 1 см2 поверхности, рожденных светом. Очевидно:

х = 0 на поверхности полупроводника.

Подставим значение n-n0:



Проанализируем это выражение.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При малом величина мала, т. к не все падающие кванты поглощаются в кристалле. Если то . Если возрастает и то

.

Если же свет, генерирующий электронно-дырочные пары, проникает глубоко в кристалл, т.е. и , то на расстояниях x » избыточная концентрация носителей убывает по закону

так как .

Это значит, что практически все носители рекомбинируют в том же месте, где они генерируются.

Найдем концентрацию избыточных носителей на самой поверхности (х=0):

Рассмотрим случай, когда коэффициент поглощения ? настолько мал, что ?«1 (т.е. свет проникает достаточно глубоко). В этом случае (пренебрегая ? из-за малости по сравнению с 1):

Возможны два случая:

1) Если скорость поверхностной рекомбинации S мала, то

велико.

Пусть », тогда:

...