Размещено на http://www.allbest.ru/

Казанский Национальный Исследовательский Технический Университет им.А.Н.Туполева

Институт Радиоэлектроники и телекоммуникаций

Кафедра радиоэлектронных устройств

Магистерская диссертация

Системы передачи информации с нелинейным подмешиванием информационного сигнала к хаотическому

Выполнил:

Асибаков Р.З.

Научный руководитель:

Афанасьев В.В.

Казань 2016



Оглавление

Введение

1. Динамические системы и хаос

1.1 Хаос

1.2 Статические свойства динамического хаоса

2. Аналитический обзор по применению нелинейных систем с хаотической динамикой в системах передачи информации

2.1 Области применения динамического хаоса

2.2 Нелинейное подмешивание информационного сигнала к хаотическому

2.3 Математическая модель системы

2.4 Передача аналоговой информации

2.5 Оценка качества передачи информации

3. Основные параметры системы передачи информации с нелинейным подмешиванием информационного сигнала к хаотическому

3.1 Структурная схема системы передачи информации

3.2 Структурная схема АМ передатчика

3.3 Расчетная часть

3.4 Максимальная частота усиления мощности fmax

3.5 Входная мощность

3.6 Расчет усилителя мощности (УМ)

3.7 Расчет усилителя мощности ПредОК

3.8 Расчет усилителя мощности 1 каскада

Заключение

Список литературы



Введение

Динамический подход к описанию систем самого различного происхождения известен со времен Ньютона. Он является основой анализа большинства классических явлений в физике и других естественных науках: сначала строится соответствующая математическая модель в виде динамических уравнений, а затем тем или иным способом изучаются их решения, которые, в принципе, можно сопоставить с экспериментальными данными. Развитие этих идей, а также представление, что состояние модели в любой момент времени должно однозначно определяться начальными условиями, привело исследователей к понятию динамической системы.

Хотя динамическая система и является некоторой математической абстракцией, данная парадигма оказалась весьма продуктивным инструментом при описании многих реальных явлений. Наибольший успех в этом направлении был получен в первой трети ХХ века, когда была создана теория колебаний двумерных систем. Последующие усилия исследователей были посвящены изучению возможности распространить эту теория на многомерные системы. Однако, несмотря на значительные открытия в данной области, до 60-х годов ХХ столетия не было понятно, насколько сложными могут быть движения в таких системах.

Ситуация коренным образом изменилась после того как С.Смейл заложил основы гиперболической теории. Исследования в этом направлении выявили большое разнообразие динамики нелинейных систем и привели к одному из важнейших открытий ХХ века -- динамическому хаосу. Были введены У-системы (позже названные системами Аносова), описаны бифуркации петель сепаратрис, приводящие к сложному поведению, и изучены бильярдные модели, являющиеся упрощенными моделями статистической физики.

Однако в то время эти идеи не находили широкого признания, поскольку построенные примеры носили весьма абстрактный характер, и было неясно, имеют ли данные конструкции какое-либо отношение к реальности. Более того, было распространено мнение, что хаотические явления, присущие физическим системам, имеют переходной характер, и, если достаточно долго наблюдать за системой, то хаос должен выродиться в регулярное движение.

Такая точка зрения сохранялась до середины семидесятых годов, когда математические идеи теории динамических систем удалось связать с физической моделью, относящейся к гидродинамике, -- знаменитой системой Лоренца. С этого времени началось систематическое изучение динамического хаоса.

Теория хаотических систем использует методы теории вероятности, однако не является ее частью. Хаос же следует определить как некоторый случайный процесс, который наблюдается в динамических системах, не подверженных влиянию шумов или каких-либо случайных сил. Поэтому теория хаоса рассматривается как часть теории динамических систем.

Для систем статистической механики с большим числом степеней свободы N, находящихся в состоянии равновесия, конфигурации частиц не подчиняются никаким динамическим законам и имеют предельное распределение при N >?. Такие системы находятся в состоянии пространственного беспорядка. Одним из основных достижений теории хаоса является установление факта, что время в динамике играет ту же роль, что и число степеней свободы в статистической механике. Иными словами, детерминированный хаос описывается как динамический беспорядок. В консервативных системах фазовый объем сохраняется. Этот означает, что выполняется теорема Лиувилля. Данное фундаментальное свойство предопределяет характер эволюции и дает ключ к пониманию происхождения хаотичности в консервативных системах. В диссипативных системах вследствие диссипации имеет место сжатие фазового объема. Эта принципиальное отличие проявляется в том, что в фазовом пространстве диссипативных систем появляются притягивающие множества, которые не существуют в консервативных системах -- аттракторы (от англ. attract -- притягивать).

Использование термина «аттрактор» легко понять, если обратиться к примеру с маятником в вязкой среде. Допустим, что маятник находится в нижнем положении устойчивого равновесия (в устойчивой стационарной точке). Если теперь немного его возмутить, то он начнет совершать затухающие колебания около этого равновесного положения. В этом смысле состояние равновесия маятника будет словно бы притягивающим, или аттрактором. При этом, очевидно, аттрактор будет иметь нулевую меру. Аналогичнымобразомможнополучитьпредставлениеобаттракторах,отвечающих периодическому (предельные циклы) и квазипериодическому (инвариантные торы) движениям. Формализация этих идей приводит к современному понятию аттрактора.

С изменением параметров системы аттракторы тоже меняются. Однако при некоторых значениях параметров может произойти их качественная перестройка. Например, устойчивый фокус может смениться предельным циклом. Такие значения параметров называются бифуркационными, а сама перестройка -- бифуркацией. Установление в динамической системе хаотического поведения в результате той или иной последовательности бифуркаций принято называть картиной или сценарием развития хаоса.

Динамика диссипативных систем в определенном смысле более разнообразна, чем динамика консервативных систем. Здесь встречаются такие инвариантные множества, как устойчивые и неустойчивые стационарные точки и предельные циклы, многомерные притягивающие торы, соответствующие устойчивому квазипериодическому поведению с несоизмеримыми частотами, математический образ хаотических колебаний диссипативных систем -- странный аттрактор, и др.

Странный аттрактор -- это некоторое «сложно устроенное» множество в фазовом пространстве, к которому притягиваются почти все траектории из его некоторой окрестности, а на самом множестве движение имеет экспоненциально неустойчивый характер. Такое сочетание глобального сжатия с локальной неустойчивостью приводит к тому, что аттрактор уже не может быть гладким как, например, тор; он определенным образом расслаивается и представляет собой в некотором сечении канторово множество.

Понятие странного аттрактора состояла в том, что такие подмножества фазового пространства играют определяющую роль в решении проблемы турбулентности. Хотя этот подход в полной мере не оправдался, что послужило стимулом к развитию теории хаотических динамических систем и их приложений.

Актуальность: Проведение исследований, направленных на разработку принципов построения хаотических систем конфиденциальной передачи информации.

Цель работы: Исследование статистических и спектральных свойств сигналов, генерируемых динамическими системами.

А также изучение методов передачи информации на эффектах динамического хаоса.

Задачи: Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи:

1. Проведение аналитического обзора явления динамический хаос, динамических систем, выделение основных преимуществ и недостатков данного явления.

2. Проведение аналитического обзора метода нелинейного подмешивания информационного сигнала к хаотическому.

3. Разработка структурной схемы системы с нелинейным подмешиванием.

4. Проведение расчетов основных каскадов.

5. Построение принципиальной схемы передатчика.



1. Динамические системы и хаос

Вообще говоря, то, что сейчас называют хаосом, в математике известно с начала XX века. Со времен А. Пуанкаре стало ясно, что при изучении сложного поведения обычный подход типа аналитических вычислений индивидуальных траекторий дифференциальных уравнений не работает. По этой причине основной задачей теории является исследование устойчивости, изучение роли инвариантных многообразий, анализ геометрической структуры траекторий, поиск инвариантных мер, расчет инвариантных характеристик и т.п. Хотя такой подход и не дает возможность представить решение в явном виде, он позволяет качественно описывать многие важные особенности динамических систем, в том числе хаотичность. Поэтому в литературе часто используется термин качественная теория.

1.1 Хаос

В настоящее время существует несколько возможностей ввести понятие хаотичности. Они опираются на свойство чрезвычайной (экспоненциально сильной) чувствительности системы к заданию начальных условий или к внешним воздействиям. Это представляется вполне естественным, так как основным проявлением динамического хаоса является экспоненциальное разбегание близких траекторий. Но для определения понятия хаоса одной экспоненциальной неустойчивости недостаточно. В дополнение к этому необходимо выполнение условия транзитивности и наличия некоторой регулярности, называемой плотностью периодических орбит (т.е. циклов). Часто транзитивность заменяется условием топологического перемешивания, которое является более сильным.

Динамический (детерминированный) хаос - явление, вошедшее в научную картину мира сравнительно недавно, лишь в последней четверти ХХ века. Интерес к нему в научной среде не ослабевает. На протяжении этого времени это явление активно исследовалось различными научными группами.

Оно представляет собой сложные непериодические колебания, порождаемые нелинейными динамическими системами. Эти колебания возникают при отсутствии внешних шумов и полностью определяются свойствами самой детерминированной динамической системы. Динамический хаос обладает многими свойствами случайных процессов: экспоненциально спадающей корреляционной функцией, сплошным спектром мощности, непредсказуемостью на большие интервалы времени. Вместе с тем ему свойственны такие чисто динамические свойства, как чрезвычайно высокая чувствительность к начальным условиям, связанное с ней экспоненциальное в среднем разбегание близких траекторий и др.

Динамический хаос -- явление в теории динамических систем, при котором поведение нелинейной системы выглядит случайным, несмотря на то, что оно определяется детерминистическими законами.

Причина появления хаоса - неустойчивость (чувствительность) к начальным параметрам: небольшое изменение начального условия приводит к большим изменениям динамики системы.

Свойства динамического хаоса для современных систем связи:

1. Возможность получения сложных колебаний с помощью простых по структуре устройств;

2. Способность в одном устройстве реализовать большое количество различных хаотических мод;

3. Возможностью управления хаотическими режимами путем малых изменений параметров системы;

4. Большой информационной емкостью;

5. Разнообразием методов ввода информационного сигнала в хаотический;

6. Увеличением скорости модуляции по отношению к модуляции регулярных сигналов;

7. Возможностью самосинхронизации передатчика и приемника;

8. Нетрадиционными методами мультиплексирования;

9. Конфиденциальностью при передаче сообщений.

1.2 Статические свойства динамического хаоса

Динамический хаос подобно случайному процессу требует статического описания. Когда хаотические системы изучаются в компьютерных или физических экспериментах, обычно рассчитываются или измеряются вероятностные характеристики, такие, как стационарное распределение вероятности по аттрактору, корреляционные функции, спектры мощности и другие. Хаотические колебания, математическим образом которых являются разные типы хаотических аттракторов, характеризуются различными статическими свойствами и различной степенью чувствительности к воздействию шума.

С точки зрения строгой теории гиперболический хаос что называют «идеальным» хаосом. Он характеризуется топологически однородной и устойчивой к возмущениям структурой. Однако странные хаотические аттракторы динамических систем, как правило, не являются грубыми гиперболическим. Близкие гиперболические (квазигиперболические) аттракторы содержат неустойчивые орбиты типа петель сепаратрисы. Их рождение и исчезновение не влияет на такие характеристики хаоса, как фазовый портрет аттрактора, спектр мощности, показатели Ляпунова и другие. Динамические системы в хаотическом режиме могут характеризоваться инвариантной мерой, которая не зависит от начального распределения и полностью определяет статические свойства аттрактора. Существование инвариантной меры теоритически доказано для грубых гиперболических и квазигиперболических систем.

Однако в большинстве своем хаотические аттракторы, которые исследуются численно и экспериментально, являются негиперболическим. Проблема существования инвариантной меры на негиперболическом хаотическом аттракторе связана с серьезными трудностями, так как в общем случае невозможно ввести стационарное распределение вероятности, не зависящее от начального распределения. Негиперболический аттрактор является максимальным аттрактором динамической системы и включает в себя счетное множество регулярных и хаотических притягивающих подмножеств. Поэтому об инвариантной мере негиперболического аттрактора можно говорить лишь при условии воздействия внешнего шума. Негиперболические аттракторы, как правило резко меняют свои свойства под воздействием шума, в то время как гиперболические и квазигиперболические аттракторы устойчивы к шумовым возмущениям.

Статическое описание негиперболических хаотических аттракторов с шумом является важной и до сих пор нерешенной задачей теории динамического хаоса. Одна из проблем состоит в изучении процессов установления стационарного распределения во времени. Возникает ряд фундаментальных вопросов, на которые пока нет четких ответов.

Процесс установления стационарного распределения описывается эволюционными уравнениями типа уравнений Фоккера-Планка или Фробениуса-Перрона. Собственные значения и собственные функции оператора эволюции задают процесс установления и характеристики перемешивания, которые связаны с установлением инвариантной вероятностной меры. Однако если динамическая система имеет большую размерность (N?3), то решение уравнение Фоккера-Планка и Фробениуса-Перрона найти практически невозможно даже численно. Поэтому в исследованиях используется метод стохастических дифференциальных уравнений.

Хаотическая динамика по определению означает наличие перемешивания и, следовательно, положительность энтропии Колмогорова. Перемешивание ведет к спаду автокорреляционных функций во времени до нуля (расцепление корреляций). Состояние системы, отделенные достаточно большим интервалом времени, становятся статически независимыми. Важно отметить, что любая система с перемешиванием является эргодической. Для хаотических динамических систем расцепление корреляций во времени связано с экспоненциальной неустойчивостью хаотических траекторий и со свойством системы порождать положительную энтропию Колмогорова. Несмотря на существенную важность свойства корреляции хаотических процессов изучены недостаточно. Часто полагают, что автокорреляционные функции хаотических систем экспонецианально спадают со скоростью, определяемой энтропией Колмогорова. При этом полагается, что энтропия Колмогорова Hk ограничена сверху суммой положительных ляпуновских показателей. К сожалению, в общем случае негиперболических систем эта оценка оказывается неверной.

Для некоторых классов дискретных отображений с перемешиванием (растягивающие отображения с непрерывной мерой и диффеоморфизм Аносова) доказано, что спадание корреляций во времени ограничено сверху экспоненциальной функцией. Существуют разные оценки скорости этого экспоненциального спадания, которые не всегда связаны с показателями Ляпунова. Что касается систем с непрерывным временем, то теоретических результатов по оценке скорости расцепления корреляций до сих пор нет.

Экспериментальные исследования отдельных хаотических систем свидетельствует о сложном поведении корреляционных функций, которое определяется не только положительными показателями Ляпунова, но и закономерностями хаотической динамики системы. Важно выявить конкретные характеристики хаотической динамики, отвечающие за скорость спада автокорреляций и ширину спектральной линии базовой частоты хаотического аттрактора.

Диагностика гиперболичности в хаотических системах

Странные аттракторы в конечномерных системах можно разделить на три основных класса: грубые гиперболические (квазигиперболические) и негиперболические. Свойство грубой гиперболичности хаотического аттрактора означает, что все его траектории относятся к одному седловому типу, и их устойчивые и неустойчивые многообразия всюду трансверсальны, т.е. структура гиперболического аттрактора однородна в любой точке аттрактора. Кроме того, эти свойства сохраняются при малых возмущениях параметров системы. Однако грубые гиперболические аттракторы скорее относятся к идеальным объектам, таким, как соленоид Смейла-Вильямса или аттрактор Плыкина. Для динамических систем, определенных в виде дифференциальных уравнений или дискретных отображений, существование грубого гиперболического аттрактора не доказано. Тем не менее есть несколько примеров почти гиперболических аттракторов: аттрактор Лоренца и аттрактор Шимицу-Мориока в потоковых системах, аттрактор Лози и аттрактор Белыха в дискретных отображениях. Для этих систем характерно присутствие сингулярных фазовых траекторий. Например, аттрактор Лоренца характеризуется присутствием множества петель сепаратрисы седлового состояния равновесия; аттрактор Лози включает негрубые гомоклиничесике кривые без касаний устойчивых и неустойчивых многообразий. Однако эти особые траектории не приводят к рождению устойчивых движений, и с точки зрения вычислительного эксперимента квазигиперболические аттракторы схожи с гиперболическими.

Большинство хаотических аттракторов динамических систем являются негиперболическими. Негиперболические аттракторы включают хаотические предельные множества наряду с устойчивыми периодическим орбитами. Последние, как правило, бывает трудно обнаружить в численных экспериментах, так как размер их бассейнов притяжения чрезвычайно мал. По совокупности свойств негиперболические аттракторы существенно отличаются от гиперболических. Следовательно, диагностика типа аттрактора очень важна как с теоретической, так и с практической точек зрения и имеет большое значение при исследовании нелинейных систем.



Рис.1 Результаты расчета для системы Лоренца (1) при у=10 и в=8/3.

(а) Распределение вероятности угла для аттрактора Лоренца при r=27;

(б) зависимость минимального угла цmin от параметра r. Вертикальная линия обозначает теоретическое начало перехода от аттрактора Лоренца к негиперболическим аттракторам.

Прямой метод определения условий гиперболичности заключается в расчете углов ц между устойчивыми и неустойчивыми многообразиями вдоль фазовой траектории. Численная процедура расчета этих углов была предложена для диагностики гиперболичности хаотических седел в двумерных системах. Этот метод состоит в преобразовании произвольного вектора оператором эволюции в прямом и обратном времени, что позволяет найти угол между направлениями устойчивости для разных точек хаотических множеств.

В двумерных системах многообразия одномерны, и при диагностике эффекта гомоклинического касания принципиальных трудностей не возникает. Для трехмерных систем задача усложняется, так как многообразия становятся двумерными. Такие системы, как система Рёсслера, схема Чуа и осциллятор Анищенко - Астахова, являются типично негиперболическим, т.е. структурно неустойчивыми. Систему Лоренца можно считать исключением. В определенном диапазоне значений параметров аттрактор Лоренца оказывается почти гиперболическим. Устойчивые и неустойчивые многообразия траекторий аттрактора пересекаются трансверсально. Однако при вариации параметров система Лоренца демонстрирует бифуркационный переход к негиперболическому аттрактору. На рисунке 1а изображен график распределения вероятности углов p(ц) для аттрактора Лоренца в системе

.

Как видно из первого графика, вероятность гомоклинического касания строго равна нулю (р(ц)=0). Удаление от области, в которой существует аттрактор Лоренца, приводит к появлению эффекта гомоклинического касания (рис.1б). Видно, что для r?38 угол между многообразиями может обращаться в нуль (рис.1б). Этот эффект главным образом объясняет свойство негиперболического хаоса, которые рассматриваются в последующих разделах настоящей работы.

Хаос в присутствии шума

Фундаментальность и практическую важность имеют нелинейные стохастические проблемы. Существуют два основных подхода к изучению стохастических систем. Первый основан на решении стохастических уравнений (СУ) и называют методом Ланджевена. Каждое частное решение СУ, даже с тем же начальным состоянием, порождает новую реализацию случайного процесса. С помощью этого метода можно получить ансамбль из большого числа реализаций и найти статические характеристики процесса. Усреднение можно проводить по одной достаточно длинной реализации, так как хаотический процесс эргодический. Второй подход состоит в решении уравнений эволюции для вероятностной меры, таких, как уравнение Чепмена-Колмогорова, кинетическое уравнение или уравнение Фоккера-Планка. При этом случайный процесс в системе должен быть по крайней мере марковским, что накладывает определенные требования на источник шума. Чтобы процесс был марковским, случайные воздействия должны быть независимыми. В этом случае справедливо уравнение Чепмена-Колмогорова. Если шум гауссов, то процесс является диффузионным, и для плотности вероятности можно записать уравнение Фоккера-Планка. При соответствующих требованиях к источникам шума метод СУ и метод уравнении эволюции должны давать эквивалентные результаты.

Особый интерес представляет проблема, связанная со статистическими характеристиками динамического хаоса и ролью флуктуаций в хаотических системах. Для систем с хаотической динамикой гиперболического типа переход к статистическому описанию возможен уже в чисто детерминированном случае, т.е. в отсутствии шума. Это означает, что стационарное решение уравнения эволюции для плотности вероятности допускает наличие предела D>0, где D - интенсивность шума, и есть возможность получить решение для вероятностной меры в чисто детерминированном случае. Малые флуктуации (D«1) в гиперболических системах вызывают наибольшие изменения структуры вероятностной меры. Так называемые квазигиперболические (почти гиперболические) аттракторы, такие, как аттрактор Лози и аттрактор Лоренца, с этой точки зрения практически не отличаются от гиперболических. Это обусловлено тем, что квазигиперболические аттракторы, как и гиперболические, не содержат устойчивых периодических орбит. В работе дано строгое доказательство существования вероятностной меры на аттракторе Лоренца без шума.

В негиперболических системах влияние шума играет важную роль. Среднее расстояние между орбитой с шумом и негиперболическим аттрактором без шума оказывается значительно больше, чем в гиперболическом случае, и зависит от информационной размерности аттрактора. Хорошо известно, что в системах с негиперболическими аттракторами шум может вызывать различные фазовые переходы. Когда в систему добавляются источники гауссова шума, бассейны притяжения сосуществующих аттракторов будут объединяться. В результате устанавливается стационарная плотность вероятности, которая не зависит от начального состояния. Статическое описание негиперболического хаоса связано с принципиальными трудностями. В строгом смысле на негиперболических хаотических аттракторах без шума не существует стационарной вероятностной меры, не зависящей от начального распределения. Непрерывный предельный переход при D>0 осуществить здесь нельзя. Более того, вероятностные характеристики негиперболического хаоса очень чувствительны даже к малейшим изменениям параметров системы. Таким образом, о существовании стационарной вероятностной меры на негиперболическом аттракторе можно говорить лишь в случае, когда система находится под воздействием шума.

Установление стационарного распределения вероятности хаотических аттракторов в присутствии шума

Модели и численные методы

Хаотические аттракторы хорошо известных систем, таких, как осциллятор Рёсслера

,

и система Лоренца с шумом

,

,

,

В обеих моделях (t) -- источник гауссова белого шума со средним значением ((t)) ?0 и корреляцией {(t)(t + ф)) ? д(ф), где д(ф)-- функция Дирака. Параметр D обозначает интенсивность шума. Для системы Рёсслера зафиксируем значения параметров а = 0,2 и b = 0,2 и будем варьировать параметр т в интервале [4,25; 13]. В системе Лоренца выберем два различных режима: квазигиперболический аттрактор (у=10, в=8/3 и
r=28) и негиперболический аттрактор (у= 10, в=8/3 и r= 210).

Хаотические аттракторы систем (1) и (2) были детально изучены и являются классическими примерами квазигиперболического и негиперболического хаоса соответственно. Таким образом, результаты, полученные для уравнений (1) и (2), могут быть обобщены на широкий класс динамических систем.

Для исследования процессов релаксации к стационарному распределению в этих системах проанализируем, как точки, расположенные в начальный момент времени в кубе малого размера д вокруг произвольной точки траектории, принадлежащей аттрактору системы, эволюционируют во времени. Выберем размер этого куба д=0,09 и равномерно заполним его точками, количество которых п=9000. С течением времени эти точки распределяются по всему аттрактору. Чтобы охарактеризовать сходимость к стационарному распределению, проследим за эволюцией этого множества точек во времени и рассчитаем среднее по ансамблю:

,

Здесь х -- одна из динамических переменных системы и р(х, t) -- плотность вероятности переменной х в момент времени t, которая соответствует начальному распределению. Введем в рассмотрение функцию г(tk):

,

где и -- последовательные экстремумы ?(t). Функция г(tk) характеризует амплитуду колебаний средней величины . В выражении (5) tk и tk+1 -- последовательные моменты времени, соответствующие экстремумам ?. Поведение во времени г(tk) позволяет судить о характере и скорости релаксации к вероятностной мере на аттракторе. Рассчитывались старший ляпуновский показатель (ЛП) л1 хаотической траектории на аттракторе и нормированная автокорреляционная функция (АКФ) установившихся колебаний х(t):

,

Чтобы сделать некоторые рисунки более информативными и наглядными, вместо г(tk) и на графиках изображались их огибающие (tk) и соответственно.

Установление стационарного распределения в системе Рёсслера. Влияние шума на скорость перемешивания

Негиперболический хаотический аттрактор, реализуемый в системе Рёсслера (2) при фиксированных а = b = 0,2 и при значении параметра т в интервале [4,25; 8,5], служит известным примером спирального (или фазокогерентного) аттрактора. Фазовая траектория на спиральном аттракторе вращается с высокой степенью регулярности вокруг одного или нескольких седло-фокусов.

Автокорреляционная функция имеет колебательный характер, и в спектре мощности выделяются узкополосные пики, соответствующие средней частоте вращения, ее гармоникам и субгармоникам.

При увеличении параметра т аттрактор системы (2) качественно меняется. В интервале 8,5<т?13 появляется аттрактор некогерентного типа, называемый винтовым аттрактором. Фазовые траектории на нем ведут себя более сложным образом. В результате автокорреляционная функция винтового хаоса спадает намного быстрее, чем в случае спирального хаоса, и спектр мощности уже не содержит ярко выраженных пиков.

Расчеты, проведенные для т?[4,25;7,5] (спиральный хаос) и для т?[8,5;13] (винтовой хаос) в отсутствие шума, позволяют предположить, что для рассмотренных значений параметра инвариантная вероятностная мера существует. Все эффекты, наблюдаемые для каждого типа аттрактора в системе (2), качественно сохраняются при изменении параметра т.

На рисунке 2 показано типичное поведение функции y0(t) для спирального и винтового аттрактора системы Рёсслера. Установлено, что шум значительно влияет на скорость перемешивания в режиме спирального аттрактора. Время релаксации заметно уменьшается с увеличением интенсивности шума (рис. 2а). Совершенно иная картина наблюдается для винтового аттрактора. Некогерентный хаос практически нечувствителен к воздействию шума. Поведение y0(/) существенно не меняется при добавлении шума (рис. 2б). Численные эксперименты показывают, что времена корреляции также существенно различны для этих двух хаотических режимов: без воздействия шума они отличаются на два порядка. В случае спирального хаоса время корреляции заметно уменьшается в присутствии шума (рис. 3а), в то время как автокорреляционная функция для винтового аттрактора в детерминированном случае практически совпадает с автокорреляционной функцией в присутствии шума (рис. 3б). Следовательно, некогерентный хаос, который является негиперболическим, проявляет некоторые свойства гиперболического хаоса, т.е. "динамическая стохастичность" оказывается более сильной, чем навязываемая извне, на что указывал Я.Г. Синай. Этот результат интересен и требует более детального рассмотрения.

Отметим еще один результат. Обнаружено, что положительный ЛП как для спирального, так и для винтового хаоса слабо чувствителен к воздействию флуктуаций (рис. 4) и немного уменьшается с ростом интенсивности шума. При этом время корреляции может значительно меняться под влиянием шума. Таким образом, в режиме спирального хаоса перемешивание определяется не только и не столько степенью экспоненциальной неустойчивости. Существуют и другие, более веские причины, которые будут анализироваться ниже.

Рис. 4. Старший ляпуновский показатель лi на спиральном (треугольники) и винтовом (кружочки) аттракторе как функции интенсивности шума D для системы Рёсслера.

С этой целью воспользуемся концепцией мгновенных амплитуды и фазы колебаний. Существует несколько способов введения понятий мгновенной амплитуды и фазы. К сожалению, ни один из них не является универсальным. Для спиральных аттракторов мгновенную амплитуду и фазу обоснованно вводят следующим образом:

,

Мгновенная фаза , как это следует из (7), определяется соотношением



,

где n(t) = 0,1,2,... -- число оборотов фазовой траектории вокруг состояния равновесия.

Нами установлено, что компонента перемешивания вдоль потока траекторий обусловлена дисперсией мгновенной фазы, которая определяет диффузию фазы. На рисунке 5а приведены временные зависимости дисперсии мгновенной фазы на ансамбле изначально близких траекторий для спирального и винтового аттракторов системы (2). Видно, что и в случае с шумом, и в случае без шума дисперсия растет практически линейно на рассмотренных интервалах времени. То, что временная зависимость дисперсии мгновенной фазы хаотических колебаний в системе Рёсслера является линейной функцией, предполагалось в работе. Тем не менее это предположение не было подтверждено ни теоретически, ни численно.

,

Рисунок 5б иллюстрирует зависимости коэффициента диффузии от интенсивности шума для спирального и винтового аттракторов системы Рёсслера (2). Видно, что в обоих случаях растет с увеличением D, но для спирального хаоса этот рост более значительный.

Установление вероятностной меры в системе Лоренца

Хорошо известные квазигиперболические аттракторы в трехмерных дифференциальных системах, такие, как аттрактор Лоренца, аттрактор Шимицу-Мориока, относятся к аттракторам переключательного типа. Фазовая траектория хаотически переключается из окрестности одного седлового состояния равновесия к окрестности другого. Такие переключения сопровождаются случайными изменениями фазы даже в отсутствие шума. Добавление шума не меняет значительно динамику фазы и, следовательно, не влияет на скорость установления стационарного распределения.

На рисунке 6 представлено поведение функции (tk) для квазигиперболического и негиперболического хаотических аттракторов системы (3) как при наличии, так и в отсутствие шумового воздействия. Выявлено, что для аттрактора Лоренца шум практически не влияет на скорость релаксации (рис. 6а). Совершенно другую картину мы наблюдаем для негиперболического аттрактора в системе Лоренца. В этом случае шум оказывает сильное влияние на скорость установления вероятностной меры (рис. 6б).

Теперь проверим, как зависят от уровня шумового воздействия показатель Ляпунова и время корреляции. Для тех же хаотических аттракторов в системе Лоренца вычислялись старший показатель Ляпунова л1 и нормированная автокорреляционная функция ш(ф), ф = t2 -- t1, динамической переменной x(t) для различных интенсивностей шума D. Установлено, что для обоих типов хаотических аттракторов л1 не зависит в пределах точности вычислений от интенсивности шума. На автокорреляционную функцию квазигиперболического аттрактора шум также практически не влияет (рис. 7а). Однако в режиме негиперболического аттрактора в присутствии шума АКФ спадает более быстро (см. кривые на рис. 7б).

Спектрально-корреляционный анализ динамического хаоса

Рассмотрим более детально корреляцию и спектральные свойства различных типов хаотических колебаний. Опыт исследования динамического хаоса в трехмерных дифференциальных системах показывает, что для описания корреляционных и спектральных свойств определенного класса хаотических систем могут быть использованы две классические модели случайного процесса. Это модели узкополосного случайного процесса (гармонического шума) и случайного телеграфного сигнала. Было установлено, что модель гармонического шума достаточно хорошо описывает корреляционные характеристики спирального хаоса, а модель телеграфного сигнала -- статистические свойства аттракторов переключательного типа, таких, как аттрактор Лоренца.

Рассмотрим основные характеристики упомянутых выше моделей случайных процессов.

Гармонический шум -- это узкополосный случайный процесс с нулевым средним, определяемый следующим соотношением:

,

где и -- постоянные (средние) значения амплитуды и частоты колебаний, a(t) и -- случайные функции, которые характеризуют флуктуации амплитуды и фазы колебаний. Предполагается, что процесс a(t) является стационарным. Упрощающие допущения, которые используются наиболее часто, заключаются в следующем: 1) флуктуации амплитуды и фазы статистически независимы; 2) флуктуации фазы представляют собой винеровский процесс с коэффициентом диффузии B. При сделанных допущениях АКФ процесса (10) определяется следующим выражением:

,



где -- ковариационная функция флуктуаций амплитуды a(t). Используя теорему Винера-Хинчина, можно получить соответствующее выражение для спектральной плотности мощности.

Обобщенный телеграфный сигнал -- это процесс, описывающий случайные переключения между двумя возможными состояниями x(t) = ±а. Рассматриваются два основных вида телеграфного сигнала -- случайный и квазислучайный телеграфные сигналы. Случайный телеграфный сигнал характеризуется пуассоновским распределением моментов переключений , откуда следует, что длительности импульсов и имеют экспоненциальное распределение вероятностей:

р(и) = n1 ехр (--п1и), и?0 ,

где n1 -- средняя частота переключения. АКФ такого процесса спадает экспоненциально:

ш(ф) = а2 ехр(-2.

Другой вид телеграфного сигнала (квазислучайный телеграфный сигнал) соответствует случайным переключениям между двумя состояниями x(t) = ±а, которые могут происходить только в дискретные моменты времени tn=п+ а, п=1,2, 3,..., где = const и б-случайная величина. Если вероятность событий переключения равна 1/2, то АКФ этого процесса спадает во времени по линейному закону:

ш(ф)=a2(1-

ш(ф)=0,

Спектрально-корреляционный анализ спирального хаоса

С физической точки зрения хаотические аттракторы спирального типа во многом напоминают свойства зашумленного предельного цикла. При этом необходимо помнить, что спиральные аттракторы реализуются в полностью детерминированных системах, т.е. без источников флуктуаций. Рассмотрим режим спирального хаоса в системе Рёсслера (2) для а=b=0,2 и т=6,5. Введем мгновенную амплитуду A(t) и фазу Ф(t) в соответствии с соотношениями (7). В численном эксперименте определялись: нормированная автокорреляционная функция хаотических колебаний x(t) (рис. 8, точки серой области 1); ковариационная функция флуктуаций амплитуды KA(t); коэффициент эффективной диффузии фазы Beff. На рисунке 8 показаны результаты для Шx(ф) в системе (2) без шума и в присутствии шума. АКФ спадает практически экспоненциально как в отсутствие шума (рис. 8а), так и в присутствии шума (рис. 8б). Кроме того, как видно на рис. 8в, для ф< 20 есть интервал, на котором АКФ спадает намного быстрее. Используя уравнение (10), можно аппроксимировать огибающую рассчитанной АКФ Шx(ф). С этой целью подставим рассчитанные характеристики КА(ф) и В=Beff в выражение для нормированной огибающей Ш0(ф):

,

Результаты расчета для Ш0(ф) представлены на рис.8а, б точками кривых 2. Видно, что поведение огибающей АКФ Шх(ф) хорошо описывается формулой (14).

Заметим, что с учетом множителя / получается хорошая аппроксимация для всех значений ф?0. Это означает, что амплитудные флуктуации играют важную роль на коротких интервалах времени (ф<фcor), в то время как медленный процесс спадания корреляции главным образом определяется диффузией фазы.

Отметим удивительно хорошее соответствие между численными результатами для спирального хаоса и данными по классической модели гармонического шума. В то же время причину такого хорошего согласования достаточно трудно объяснить. Во-первых, соотношение (11) было получено в предположении, что флуктуации амплитуды и фазы статистически независимы. Совершенно ясно, что такое предположение

Рис. 9. Фрагмент нормированного спектра мощности колебаний x(t) в системе (2) для а=b= 0,2, m=6,5 (сплошные линии) и ее аппроксимация уравнением (14) (штриховые линии) для интенсивности шума D=10-3.

Во-вторых, при выводе (10) использован тот факт, что флуктуации фазы описываются винеровским процессом. В случае хаотических колебаний Ф(t) является более сложным процессом, и его статистические свойства неизвестны. Особенно важно подчеркнуть, что результаты, представленные на рис. 8а, были получены в режиме чисто детерминированного хаоса (в отсутствие шумов), что еще раз доказывает сходство хаотических автоколебаний со случайным процессом.

Как следует из результатов, представленных на рис. 8, для ф>фcor огибающая АКФ для хаотических колебаний аппроксимируется экспоненциальным законом ехр (-Beff). Согласно теореме Винера-Хинчина спектральный пик на средней частоте щ0 должен иметь форму лоренциана, и его ширина определяется коэффициентом эффективной диффузии фазы Beff:

,

Результаты расчета, представленные на рис. 9, подтверждают это. Основная спектральная линия аппроксимируется выражением (15), что подтверждается численными результатами для спектра мощности колебаний x(t). Результаты, показанные на рис. 8 и рис. 9 для интенсивности шума D=10-3, воспроизводятся для различных значений D в интервале 0 < D < 10-2, а также для диапазона значений параметра т, который соответствует режиму спирального хаоса. Отметим, что представленные результаты аппроксимации АКФ и форма основной спектральной линии спирального аттрактора в системе Рёсслера полностью подтверждаются исследованиями спиральных аттракторов в других динамических системах.

Корреляционные характеристики аттрактора Лоренца

Модель узкополосного шума нельзя использовать для анализа автокорреляционных функций хаотических колебаний переключательного типа, которые характеризуются сплошным спектром без явно выделенных пиков на выделенных частотах. Такие аттракторы обладают достаточно сложной структурой. Классическим примером аттракторов переключательного типа является аттрактор Лоренца. Рассмотрим систему Лоренца в режиме квазигиперболического аттрактора для значений параметров r=28, у=10 и в=8/3.

Рис.10 Качественная иллюстрация структуры многообразий в системе Лоренца.

Рис.11. Телеграфный сигнал (сплошная линия), полученный для колебаний x(t) (штриховая линия) в системе Лоренца для у=10, в= 8/3, r=28.

В фазовом пространстве системы Лоренца находятся два седло-фокуса, которые симметричны относительно оси z и разделены устойчивым многообразием седловой точки в начале координат. Устойчивое многообразие имеет сложную структуру, которая обеспечивает случайные переключения между седло-фокусами по особым путям (рис. 10). Вращаясь по спирали вокруг одного из седло-фокусов, фазовая траектория приближается к устойчивому многообразию и затем с определенной вероятностью может перейти в окрестность другого седло-фокуса. Вращение вокруг седло-фокусов не вносит значительного вклада в характер зависимости АКФ от времени, в то время как случайные переключения существенно влияют на время корреляции.

Рассмотрим зависимость координаты x от времени, которая показана на рис. 11. Если исключить вращение вокруг седло-фокусов, воспользовавшись методом символической динамики, то можно получить сигнал, подобный телеграфному.

На рисунке 12 показана АКФ колебаний x(t) для аттрактора Лоренца и АКФ соответствующего телеграфного сигнала. Сравнивая эти два графика, можно утверждать, что время спадания корреляций и поведение АКФ на этом временам масштабе определяются преимущественно переключениями, тогда как вращение вокруг седло-фокусов не вносит значительного вклада в спадание АКФ. Важно отметить, что на малых временах АКФ спадает практически линейно. Это примечательный факт, так как линейное спадание АКФ соответствует дискретному эквидистантному распределению вероятности времени пребывания в форме дельта-пиков, и вероятность переключений между двумя состояниями должна быть равна 1/2.

На рисунке 1З показано распределение времен пребывания, рассчитанное для телеграфного сигнала, представленного на рис. 11. Как видно из рис. 1За, распределение времени пребывания действительно имеет структуру, близкую к эквидистантному дискретному распределению. В то же время пики не являются д-выбросами, а характеризуются конечной шириной. На рисунке 1Зб представлено распределение вероятности переключений, которые происходят при значениях, кратных о0, где о0 -минимальное время пребывания в одном из состояний. Эта зависимость показывает, что вероятность перехода на времени о0 (через один оборот траектории) близка к 1 /2. Дискретный характер переключений можно объяснить особенностями структуры многообразий в системе Лоренца (см. рис. 10). В окрестности начала координат x = 0, у = 0 многообразия расщепляются на два листа. Это ведет к тому, что вероятность переключений между двумя состояниями при одном обороте вокруг фиксированной точки примерно равна 1/2. Этот особый аспект динамики обеспечивает то, что АКФ колебаний x(t) и y(t) на аттракторе Лоренца имеют форму, определяемую выражением (14). Однако конечная ширина пиков в распределении и отклонения вероятности Р(о0) от 1/2 могут привести к тому, что АКФ не будет спадать по линейному закону до нуля (см. рис. 1З).

В данной главе был рассмотрен обзор и анализ динамических систем и хаоса, а также статические свойства динамического хаоса, модель поведения хаоса в присутствии шума. Подробно рассмотрена характеристика аттрактора Лоренца.



2. Аналитический обзор по применению нелинейных систем с хаотической динамикой в системах передачи информации

2.1 Области применения динамического хаоса

В теоретических и экспериментальных работах, которых проводилось большое количество, было показано, что динамический хаос может быть использован во многих разделах науки и техники, а именно создания новых технологий на его основе.

Одной из главной перспективы применения динамического хаоса является коммуникационная технология. В нем есть ряд свойств, которые полезны при передаче и обработке информации. Например, использование динамического хаоса дает возможность получения сложных колебаний с помощью простых по структуре устройств, при этом в одном устройстве можно реализовать много различных хаотических мод, так же управлять хаотическими режимами путем малых изменений параметров системы, увеличение скорости модуляции и повышение защиты информации при передаче. Хаотические сигналы имеют большую информационную емкость и помогают пользоваться разнообразными методами ввода информационного сигнала в хаотический. Важная особенность хаотической системы - самосинхронизация передатчика и приемника. В системах связи на хаотических сигналах можно реализовать нетрадиционные методы мультиплексирования и демультиплексирования.

Важнейшая часть системы передачи информации на основе динамического хаоса - генератор хаотических колебаний. Для того, что бы работа системы связи генератора хаоса была эффективной, необходимо обладать некоторыми характеристиками. Например, генерируемый сигнал должен иметь равномерный спектр мощности в нужной полосе частот. Поэтому создание генераторов хаоса с заданными спектральными характеристиками, а также с возможностью управления этими характеристиками является актуальной задачей, определяющей возможность практической реализации коммуникационных систем на основе динамического хаоса.

Первые работы по динамическому хаосу в нелинейных системах начали опубликовываться в середине 60-х годов, тем самым положив начало теоритическим и экспериментальным исследованиям этого явления в различных областях (механика, химия, гидродинамика, радиоэлектроника и другие). Благодаря этим работам, в 80-х начали понимать причины появления, закономерностей и свойств динамического хаоса.

Радиоэлектронные системы вызывают большой интерес , среди других объектов изучения хаоса, из-за возможности проведения экспериментов благодаря измерительной аппаратуре и построения математических моделей, которые описывают поведение системы.

В 80-х о проблеме динамического хаоса в радиоэлектронных системах начали интересоваться и за рубежом. Количество работ по этой теме росло. Большой интерес начали проявлять США, ФРГ и Япония. Много средств было выделено на изучение нелинейных цепей Чуа.

Уже к середине 80-х набрался большой объем знаний о хаотических процессах в радиоэлектронных системах. Большой вклад внесли наши специалисты, были исследованы и разработаны генераторы хаоса как в вакуумном, так и в твердотельном исполнении, которые позволили получить хаотические сигналы в различных диапазонах частот спектра электромагнитных колебаний. Эти факторы стали толчком в поиске практических применений хаоса. С 90-х годов процесс начал свое развитие, сместив исследование динамического хаоса в направлении разных прикладных аспектов.

Внимание исследователей, в поиске возможности применения хаоса, привлекали внимание те проблемы, которые решаются не стандартным способом. Например, использование хаотических сигналов для передачи информации.

Большой спрос на новые персональные беспроводные устройства, стал усиливать давление на доступные частотные диапазоны. Тем самым, делая актуальным постоянное совершенствование техники и создания ее новых поколений. Решением является увеличение доступного диапазона в сторону более высоких частот и эффективное пользование освоенными радиодиапазонами. Первая проблема может рассматриваться на долгосрочную перспективу, а второй является перспективным уже в ближайшее время. В решение этой проблемы внимание исследователей и разработчиков привлекли широкополосные сигналы, с большой информационной емкостью, в отличии от узкополосных сигналов, что следует из теоремы Шеннона и позволяет увеличить скорость передачи информации, а так же с лучшей помехозащищённостью и конфиденциальностью передачи информации.

Для того чтобы использовать систему передачи информации, есть несколько возможных способов получения широкополосных сигналов. Один из них псевдослучайные последовательности, их применяют в коммуникационных системах с расширением спектра. Другие использование дискретных хаотических систем. А также получение широкополосных сигналов из реальных шумовых сверхширокополосных источников путем ограничения ( фильтрации) спектра частот вырабатываемых ими сигналов.

Внимание исследователей привлекли автоколебательные системы с хаотической динамикой (генераторы динамического и детерминированного хаоса). Их колебания близки к случайным шумовым сигналам, но за счет простоты их генераторов, они начали занимать место источников шумовых сигналов в системах передачи информации. Но главное отличие шумовых от хаотических то, что хаотические сигналы обладают привлекательными свойствами, кроме упомянутой простоты конструкции генератора хаоса, а именно:

...