Актуальность темы. Системы с разрывным управлением находят самое широкое применение во всех областях техники. В первую очередь это релейные системы, которые благодаря своей простоте используются в виде многочисленных регуляторов с двухпозиционным управлением ("включено/выключено"). Развитие теории релейных систем в 40-50-ые годы связано главным образом с появлением конструкций релейных рулевых приводов (L. Maccoll, H. Bilharz, I. Flugge-Lotz) и вибрационных регуляторов напряжения (Л. Гольдфарб). Позднее появился ряд работ по теории релейных систем, в которых были предложены различные подходы к анализу периодических движений и их устойчивости: частотные методы (Я. Цыпкин, B. Hamel), матричный метод (П. Бромберг), метод, использующий z-преобразование (E. Jury), метод анализа в пространстве состояний (D. Atherton, K. Astrom), метод конечно-разностных операторов (Г. Поспелов). Также были разработаны и методы синтеза релейных систем - синтез в пространстве состояний (Н. Фалдин). Кроме того, для анализа и проектирования релейных систем широко используется приближенный метод гармонической линеаризации (Е. Попов). В 60-70-ые годы понятие разрывного управления стало ассоциироваться не только с релейными системами, но и появившимися в то время системами с переменной структурой, а также скользящими режимами, существование которых возможно как в релейных системах, так и в системах с переменной структурой (С. Емельянов, В. Уткин).

Несмотря на простоту принципа действия (в особенности релейных систем), динамика систем с разрывным управлением значительно сложнее динамики линейных систем. В системах с разрывным управлением возможны такие эффекты как автоколебания, наличие нескольких положений равновесия, скользящие режимы, хаос. В силу этого существует несколько различных теорий, отражающих те или иные теоретические или практические аспекты анализа и синтеза таких систем. В то же время можно отметить, что проблеме анализа и синтеза таких систем с учетом их реакции на внешние управляющие и возмущающие воздействия, уделено значительно меньшее внимание в исследованиях и публикациях, чем проблеме анализа автономных движений. Это в еще большей степени относится к теории систем со скользящими режимами. Подавляющее большинство публикаций, посвященных этой теме (за некоторыми исключениями, основывающимися на отличающихся от настоящей работы подходах), затрагивает только так называемые идеальные скользящие режимы, реализуемые как переключения управления с бесконечно высокой частотой, и в основном автономные режимы работы. При использовании методов, ориентированных на идеальные скользящие режимы (если поверхность переключения при этом формируется с учетом всех компонент вектора состояния), анализ системы как следящей оказывается невозможным, поскольку слежение в такой системе имеет идеальную точность. В то же время известно, что на практике точность систем не идеальна. Поэтому построение модели, учитывающей причины этой неидеальности, и соответствующих методов анализа и синтеза очень важно для практики проектирования таких систем.

Появление теории так называемых скользящих режимов высокого и в частности второго порядка (А. Левант, G. Bartolini, Л. Фридман) - теории, которая активно развивается в последнее десятилетие - ставит новые научные проблемы как в плане развития частотных методов анализа и синтеза, так и в приложениях этой теории. Предложенные как средство устранения высокочастотных вибраций, присущих обычным скользящим режимам, разработанные алгоритмы реализации скользящих режимов высокого (в частности второго) порядка поставили новые вопросы (на которые, в частности, призвана ответить настоящая работа) - действительно ли они позволяют устранить высокочастотные вибрации, и дают ли они преимущества перед обычными скользящими режимами в плане динамики осредненных движений. Ответы на эти вопросы могут быть получены путем создания частотных методов анализа скользящих режимов второго порядка.

Таким образом, создание частотной теории систем с разрывным управлением помогло бы решить многие теоретические проблемы, а также породить целый ряд методов и методик анализа и синтеза систем с разрывным управлением в различных областях техники, включая усовершенствование существующих методов проектирования вышеперечисленных систем.

Целью работы является повышение эффективности проектирования релейных систем, а также систем с переменной структурой, имеющих скользящие режимы (в том числе скользящие режимы второго порядка), в частности, таких систем как релейные автоколебательные рулевые пневмоприводы, настройщики регуляторов в распределенных системах управления, использующих релейные тесты, и наблюдатели состояния, основанные на скользящих режимах.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать частотный метод анализа автоколебаний и прохождения внешних воздействий через релейную систему, основанный на предложенной автором новой частотной характеристике (названной годографом возмущенной релейной системы - ГВРС).

2. Получить аналитические зависимости для ГВРС, связывающие его с моделью системы, и методы его расчета.

3. Разработать метод анализа систем со скользящими режимами, имеющих паразитную динамику (динамику датчиков и исполнительных механизмов).

4. Разработать метод анализа систем со скользящими режимами второго порядка, имеющих паразитную динамику (динамику датчиков и исполнительных механизмов).

релейная система годограф частотный

5. Разработать метод синтеза корректирующих устройств в релейных автоколебательных рулевых пневмоприводах.

6. Разработать методы идентификации динамики технологических процессов и проектирования (настройки) пропорционально-интегрально-дифференциальных (ПИД) регуляторов в распределенных системах управления технологическими процессами, основанные на релейных тестах с обратной связью.

7. Разработать метод анализа динамической и параметрической точности наблюдателей состояния, основанных на скользящих режимах.

Методы исследования. Проблема, поставленная в работе, решалась теоретически и экспериментально. Теоретические исследования базируются на основных положениях теории колебаний, теории автоматического управления, методов математического и компьютерного моделирования, дифференциального и интегрального исчисления. Экспериментальные исследования проводились в лабораторных и производственных условиях с использованием промышленного оборудования (распределенных систем управления Honeywell Experion PKS и Honeywell TPS) и современных измерительных средств.

Объектом исследования в настоящей работе являются частотные методы анализа и проектирования широкого класса систем с разрывным управлением и, в частности, методы проектирования релейных автоколебательных пневмоприводов, программ-настройщиков ПИД регуляторов в распределенных системах управления и наблюдателей состояния на скользящих режимах.

Научная новизна заключается в разработке частотных методов анализа и синтеза систем с разрывным управлением, в совокупности составляющих частотную теорию систем с разрывным управлением, а также приложений этой теории к задачам анализа и синтеза систем.

Автор защищает следующие новые результаты:

1. Частотный метод анализа автоколебаний и прохождения внешних управляющих и возмущающих воздействий через релейную систему, основанный на предложенной автором новой частотной характеристике - ГВРС. Связь свойств ГВРС с возможностью существования автоколебаний, параметрами автоколебаний, параметрами осредненных движений, возможностью существования скользящих режимов, астатизмом системы, индексом передаточной функции объекта управления. Условия локальной орбитальной устойчивости возможных периодических решений.

2. Методы расчета ГВРС для различных видов описания систем (матрично-векторное, передаточная функция, разложение на простые дроби) и различных типов систем (линейные и некоторые нелинейные, статические и астатические, с запаздыванием), включая аналитические зависимости, алгоритмы и программное обеспечение для вычисления ГВРС.

3. Методы анализа движений, возникающих в системах со скользящими режимами, включая анализ высокочастотных вибраций и осредненных движений, при наличии паразитной динамики (в виде динамики датчиков и исполнительных механизмов) в системе. Адаптацию метода ГВРС для анализа скользящих режимов в системах с переменной структурой (при отличном от релейного управлении).

4. Методы анализа движений, возникающих в системах со скользящими режимами второго порядка, включая анализ высокочастотных вибраций и осредненных движений, при наличии паразитной динамики (в виде динамики датчиков и исполнительных механизмов) в системе.

5. Метод синтеза корректирующих устройств в релейных автоколебательных рулевых пневмоприводах, основанный на целенаправленном изменении формы ГВРС пневмопривода путем введения соответствующих корректирующих устройств.

6. Метод идентификации динамики объектов управления, а также "параметрический" и "непараметрический" методы проектирования (настройки) ПИД регуляторов в распределенных системах управления технологическими процессами, основанные на применении двух вариантов релейного теста с обратной связью.

7. Метод анализа динамической и параметрической точности наблюдателей состояния на скользящих режимах, базирующийся на применении метода ГВРС к построению моделей высокочастотных вибраций и осредненных движений в наблюдателях.

Практическая ценность.

Практическая ценность выполненной диссертации заключается:

- в возможности более эффективного проектирования широкого класса релейных систем управления таких, как пневматические, гидравлические и электрические приводы, системы отопления и кондиционирования помещений с двухпозиционным регулированием, двухпозиционные регуляторы температуры, давления, и уровня жидкости в технологических процессах, электронные регуляторы и преобразователи напряжения, дельта-сигма модуляторы, автоматические настройщики регуляторов, наблюдатели состояния, основанные на использовании скользящих режимов, и другие системы;

- в разработанных методах идентификации динамики технологических процессов и автоматической настройки ПИД регуляторов;

- в разработанных методиках синтеза корректирующих устройств в релейных автоколебательных рулевых пневмоприводах;

- в разработанных методах анализа влияния характеристик используемых аппаратных средств и точностных характеристик используемой динамической модели системы на точность оценки в наблюдателях состояния, основанных на использовании скользящих режимов;

- в обосновании невозможности достижения идеальной робастности и нечувствительности к внешним возмущениям в системах со скользящими режимами, и таким образом предотвращении многочисленных попыток достижения необоснованно завышенных динамических характеристик (имеющих место в настоящее время);

- в обосновании обязательного существования высокочастотных вибраций и невозможности получения идеальной робастности и нечувствительности к внешним возмущениям в системах со скользящими режимами второго порядка, и таким образом предотвращении многочисленных попыток достижения необоснованно завышенных динамических характеристик (имеющих место в настоящее время).

Реализация работы. Результаты данной работы внедрены в ГУП "Конструкторское бюро приборостроения" (г. Тула), на заводе "TengizChevrOil" фирмы ChevronTexaco (США), заводе "Syncrude Canada" (Канада), фирме Honeywell (Канада). Материалы диссертации используются в учебном процессе при изложении курса лекций: "Нелинейное управление" в Университете Калгари (Канада), Национальном Автономном Университете Мексики (Мексика). Метод ГВРС, представленный в диссертации, включен в учебник по теории систем с переменной структурой.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы были представлены и получили одобрение в 32 докладах на наиболее представительных в мире международных конференциях по автоматическому управлению: Конгрессах ИФАК (IFAC Congress) в 2005г. (Прага, Чехия) и в 2008г. (Сеул, Южная Корея), Американской конференции по управлению (American Control Conference) в 1999г. (Сан-Диего, США), 2000г. (Чикаго, США), 2001г. (Арлингтон, США), 2003г. (Денвер, США), 2004г. (Бостон, США), 2005г. (Портлэнд, США), 2006г. (Миннеаполис, США), 2007г. (Нью-Йорк, США), 2008г. (Сиэтл, США) и 2009г. (Сант Луис, США), на Конференциях IEEE по управлению и принятию решений (IEEE Conference on Decision and Control) в 2002г. (Лас-Вегас, США), 2003г. (Гавайи, США), 2004г. (Багамские острова) и 2006г. (Сан-Диего, США). Кроме того, 18 работ было представлено на других международных конференциях: Конференции IEEE по применению управления (IEEE Conference on Control Applications) в 2000г. (Анкорадж, США) и 2009г. (Санкт-Петербург, Россия), симпозиуме IFAC по энергетическим системам (IFAC Symposium on Power Systems) в 2006г. (Кананаскис, Канада), Всемирной мульти-конференции по системам, кибернетике и информатике (World Multi-Conference on Systemics, Cybernetics and Informatics) в 2001г. (Орландо, США), Конференциях IEEE по системам с переменной структурой (IEEE Conference on Variable-Structure Systems) в 2004г. (Барселона, Испания), 2006г. (Алгеро, Италия) и 2008г. (Анталия, Турция). А также 10 работ было представлено на национальных конференциях в России, Мексике и Италии.

Публикации. Основное содержание диссертации, полученные результаты, выводы и рекомендации опубликованы в 77 научных работах, в том числе в 1 монографии, 1 главе в учебнике, 1 учебном пособии, 3 главах в книгах,19 статьях в журналах, 2 патентах, 8 статьях в сборниках научных статей, 42 статьях в материалах международных научных конференций, в том числе в 20 статьях в реферируемых изданиях, внесенных в список ВАК.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, восьми разделов, составляющих две части диссертации - теоретическую и прикладную, а также выводов, списка использованных источников из 248 наименований и приложения. Работа содержит 289 страниц машинописного текста, включая 79 рисунков и 7 таблиц.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая ценность защищаемых автором научных результатов, изложены методы исследования и результаты апробации работы.

В первом разделе рассматриваются два подхода к анализу автоколебаний в нелинейных системах, состоящих из симметричной нелинейности и произвольной линейной части, заданной в виде дифференциальных уравнений

, (1)

где , , , либо передаточной функцией , где I - единичная матрица размерности n, (рис.1), и в частности, в релейных системах: это отображение Пуанкаре (точечное отображение) и метод гармонической линеаризации. Эти два подхода являются базовыми для метода, разработанного и представленного в последующих разделах работы. Показана связь между этими двумя подходами при решении задачи отыскания возможных периодических решений в нелинейных системах с одной нечетно-симметричной нелинейностью.

Далее рассматриваются релейные системы с постоянным входным сигналом f₀ и нелинейностью вида реле с гистерезисом, в которых управление определено следующей зависимостью:

, (2)

где 2b - гистерезис реле, c - амплитуда (ограничение) реле (рис.1), (предел слева). Показано, что, используя известные формулы для коэффициента гармонической линеаризации реле с гистерезисом , где a - амплитуда, а ? - частота гармонического сигнала на входе реле (амплитуда и частота автоколебаний, если рассматриваются как искомые неизвестные), возможно записать уравнение гармонического баланса для нахождения a и ? как

, (3)

решив которое, можно найти частоту и амплитуду автоколебаний в релейной системе. Рассматривается так называемая функция смещения (зависимость постоянной составляющей в сигнале управления от постоянной составляющей в сигнале ошибки) , дифференцированием которой по ?₀ может быть получено выражение для эквивалентного коэффициента передачи реле

. (4)

Рис.1. Релейная система

Заменяя релейную функцию эквивалентным коэффициентом передачи реле, получаем модель прохождения внешних медленных по сравнению с автоколебаниями сигналов через релейную систему, которая оказывается близкой к линейной благодаря так называемому эффекту вибрационного сглаживания нелинейностей. Таким образом, в качестве вводного материала излагается подход к анализу релейных систем с позиций метода гармонической линеаризации и отображения Пуанкаре. Кроме того рассматриваются понятия функции смещения и эквивалентного коэффициента передачи реле, которые используются в последующих разделах работы, сохраняя свой изначальный концептуальный смысл, но уже в качестве точных характеристик.

Во втором разделе на базе анализа двух подходов, рассмотренных выше, вводится в рассмотрение новая частотная характеристика, названная годографом возмущенной релейной системы (ГВРС), которая позволяет соединить в себе точность, даваемую отображением Пуанкаре, и удобство применения в инженерной практике анализа и проектирования, присущее методу гармонической линеаризации. Дается определение этой функции как комплексной функции частоты, анализируется связь этой функции со свойствами релейной системы, в частности с параметрами автоколебаний и эквивалентным коэффициентом передачи реле, и рассматриваются методы и алгоритмы вычисления ГВРС.

Показано, что условие гармонического баланса (3) с учетом формулы (4) и условия переключения реле в режиме установившихся автоколебаний может быть переписано следующим образом:

, (5)

где - значение выходной координаты системы в момент времени t=0, соответствующий моменту переключения реле с "-" на "+". В формуле (5) переменные в правой части равенства имеют индекс "DF" для обозначения расчета методом гармонической линеаризации (от английского "describing function"). Из формул (3) - (5) следует, что частота автоколебаний в системе может варьироваться путем изменения гистерезиса 2b. Соответственно, будут изменяться величины эквивалентного коэффициента передачи и выходной координаты системы в момент переключения . Поэтому можно рассмотреть следующие два отображения: и . Предполагая, что отображение M₁ имеет обратное (полученное ниже), можно записать следующие отображения: и .

Определим некоторую комплексную функцию J таким образом, чтобы она содержала в себе рассмотренные два отображения аналогично формуле (5), но потребуем, чтобы значения эквивалентного коэффициента передачи и значения выходной координаты системы в момент переключения были бы точными. Рассматривая частоту в качестве независимой переменной , запишем определение этой функции:

. (6)

Функция и ее график на комплексной плоскости названы годографом возмущенной релейной системы или ГВРС (в англоязычных публикациях "locus of a perturbed relay system - LPRS"). Дальнейшее изложение материала диссертации (во втором и последующих разделах) связано с методом ГВРС.

Показано, что, зная ГВРС, легко определить частоту автоколебаний в релейной системе как точку пересечения ГВРС и горизонтальной прямой, отстоящей от горизонтальной оси на : выше оси, если , и ниже оси, если (рис.2). Причем значение этой частоты - точное.

Рис.2. Определение частоты автоколебаний и эквивалентного коэффициента передачи

Та же самая точка пересечения дает и точное значение эквивалентного коэффициента передачи реле. Нахождение частоты автоколебаний может быть записано как решение следующего нелинейного уравнения:

, (7)

а эквивалентный коэффициент передачи определяется как

. (8)

Однако формула (6) - всего лишь определение и не может использоваться для вычисления ГВРС. Таким образом, необходимы иные пути вычисления этой функции. Дальнейший материал раздела 2 посвящен именно этому.

Вначале рассмотрено матрично-векторное описание системы вида (1) для линейной части с астатизмом нулевого порядка (статической). Из рассмотрения отображения Пуанкаре для системы (1), (2) и нахождения неподвижной точки этого отображения, а также последующего нахождения предела в соответствии с определением (6) получена следующая формула для ГВРС:

(9)

Достаточные условия асимптотической орбитальной устойчивости периодического решения, задаваемого формулой (7), для системы с нулевым порядком астатизма получены ранее в работе К. Астрома.

Далее рассмотрено описание статической линейной части в виде произвольной передаточной функции W_l (s) с индексом большим нуля, являющейся удобной формой описания системы в случае, если линейная часть содержит обратные связи, и получено следующее аналитическое выражение для ГВРС в виде суммы бесконечных рядов (сходящихся):

(10)

После этого осуществлен анализ релейной системы с астатической линейной частью, и показано, что для существования неподвижной точки в отображении Пуанкаре необходимо, чтобы структура анализируемой релейной системы соответствовала виду рис.3 (точка приложения постоянного входного сигнала находилась перед интегратором).

Рис.3. Релейная система с астатической линейной частью

Аналогично предыдущему получены аналитические выражения для ГВРС при матрично-векторном описании системы:

(11)

где . Получены достаточные условия асимптотической орбитальной устойчивости периодического решения, задаваемого формулой (7), как условия нахождения собственных значений матрицы

, (12)

где - период автоколебаний, v - вектор фазовой скорости,

,

в единичном круге комплексной плоскости. Кроме того, предложено проверять выполнение соотношения, задающего правильное направление переключения реле: .

Получено аналитическое выражение ГВРС для системы с запаздыванием t-- в управлении:

(13)

Получены достаточные условия асимптотической орбитальной устойчивости периодического решения, задаваемого формулой (7), как условия нахождения собственных значений матрицы

, (14)

где - период автоколебаний, v - вектор фазовой скорости,

,

в единичном круге комплексной плоскости. Кроме того, предложено проверять выполнение соотношения, задающего правильное направление переключения: .

Рассмотрено вычисление ГВРС путем разложения передаточной функции линейной части на простые дроби. Соответственно, рассмотрены динамические звенья первого и второго порядка, и получены аналитические выражения ГВРС для этих звеньев, а также звена первого порядка с запаздыванием (табл.1). Получены аналитические выражения для условий орбитальной устойчивости периодического решения в релейной системе со звеньями первого и второго порядка. Показано, что при устойчивой линейной части первого или второго порядка периодические решения орбитально асимптотически устойчивы. Дан анализ асимптотических свойств ГВРС при и . В частности доказано, что в случае статической линейной части справедливо следующее соотношение, задающее начальную (по частоте) точку ГВРС: , где произведение матриц CA^-1B есть отрицательная величина от коэффициента передачи объекта управления, а в случае астатической линейной части этот предел равен . Доказано также, что в обоих случаях конечная (по частоте) точка ГВРС есть начало координат: .

Далее рассмотрена релейная система с нелинейным объектом управления, и показано, что концепция ГВРС применима и в этом случае (рассмотрены только нечетно-симметричные нелинейности). Доказано свойство аддитивности ГВРС, формулируемое следующим образом.

Утверждение (свойство аддитивности ГВРС). Если объект управления релейной системы может быть представлен в виде суммы N нелинейных объектов (параллельное соединение N объектов), описываемых следующими уравнениями: , , , где функции , удовлетворяют условиям нечетной симметричности, и при этом , то ГВРС системы равен сумме N частичных ГВРС, каждый из которых вычислен для системы, у которой объект управления есть i-ый частичный объект , , , (объект 1, объект 2, … объект N), так что J (w) =J₁ (w) +J₂ (w) +…+J_N (w).

Отмечается, что ГВРС есть функция только лишь объекта управления, и, соответственно, рассматривается задача определения ГВРС в системе с разомкнутой обратной связью. Вводится определение ГВРС в системе с разомкнутой обратной связью, которое в некоторых ситуациях более удобно по сравнению с формулой (6) для экспериментального определения ГВРС, в том числе в системах с нелинейными объектами. Отдельно рассмотрены релейные системы с нелинейными объектами в виде моделей Хаммерштейна и Винера.

Дано сравнение ГВРС с другими известными частотными методами анализа релейных систем: методом гармонической линеаризации, годографом Цыпкина, фазовым годографом. В частности показано, что метод ГВРС дает точную модель автоколебаний и передаточных свойств релейной системы по сравнению с методом гармонической линеаризации. Таким образом, учитывается негармоническая форма сигнала, и не требуется выполнение условия фильтра.

По сравнению с методом Цыпкина, который является методом анализа возможных периодических движений, ГВРС предоставляет возможность для комплексного анализа: решения периодической проблемы и анализа прохождения внешних воздействий через релейную автоколебательную систему (ослабление внешних возмущений и анализ прохождения внешних входных воздействий), а также синтеза корректирующих устройств в релейных системах.

Таблица 1. Формулы ГВРС J ()

По сравнению с методом фазового годографа ГВРС дает возможность осуществлять синтез корректирующих устройств, направленный не только на получение требуемых параметров автоколебаний, но и на достижение требуемых показателей точности, характеризующих прохождение внешних сигналов через релейную систему (управляющих и возмущающих воздействий).

В третьем разделе анализируются передаточные характеристики релейных систем при воздействии сигналов, не являющихся "сравнительно медленными" по отношению к автоколебаниям.

Понятие эквивалентного коэффициента передачи реле было получено в предыдущем разделе работы в результате анализа реакции системы на постоянное входное воздействие. Поэтому естественным ограничением применимости метода ГВРС является допущение о "медленности" входных сигналов по сравнению с автоколебаниями. Поскольку само определение эквивалентного коэффициента передачи реле предопределяет статический характер зависимости между осредненным сигналом ошибки и осредненным сигналом управления, то даже при возможном фактическом наличии в ней динамики (при воздействии на систему сигналов, не являющихся постоянными) динамический характер этой зависимости не смог бы быть выявлен с помощью осуществленного подхода. В этой связи важным вопросом в задаче анализа прохождения внешних сигналов через релейную автоколебательную систему является вопрос о том, привносит ли гистерезис реле некоторое фазовое или временное запаздывание в прохождение полезного сигнала (так же как он привносит его в прохождение сигнала автоколебаний; последнее в частности следует из формулы (3), где правая часть уравнения содержит отрицательную мнимую часть), то есть остается ли эквивалентный коэффициент передачи реле по-прежнему действительной величиной при воздействии сигналов, не являющихся постоянными, например, гармонических. Это позволило бы ответить на вопрос, возможно ли распространение метода ГВРС и понятия эквиваленитного коэффициента передачи реле, рассмотренного ранее, на случай входных сигналов, не являющихся "сравнительно медленными" по отношению к автоколебаниям.

Рассмотрен наиболее простой случай возможного сигнала ошибки в релейной системе, когда он является суммой двух синусоидальных сигналов с кратными частотами, где первый сигнал представляет автоколебательную составляющую, а второй - вынужденную составляющую:

(15)

где щ и A₁, соответственно, частота и амплитуда автоколебательной составляющей сигнала ошибки, щ/M и A₂ - соответственно, частота и амплитуда вынужденной составляющей сигнала ошибки, M - произвольное положительное целое число (предполагается, что вынужденный сигнал имеет меньшую частоту, чем автоколебания, но не является медленным, как предполагалось ранее). Анализ прохождения сигнала (15) через реле с гистерезисом (2) призван выявить, является ли коэффициент передачи по вынужденной составляющей комплексной или действительной величиной.

Рассмотрено прохождение вынужденной составляющей сигнала через релейный элемент. Для случая малых амплитуд доказано, что если переключение реле происходят два раза за период автоколебательной составляющей (один раз с "-" на "+" и один раз с "+" на "-"), так что наличие вынужденной составляющей движения не изменяет этого условия (что возможно при соблюдении следующего неравенства: ), а только приводит к смещению моментов переключения, то гистерезис реле не вносит в прохождение вынужденной составляющей временного или фазового запаздывания, независимо от того, является ли вынужденное движение медленным по сравнению с автоколебаниями. Помимо аналитического решения представлены результаты численного моделирования для сравнительно больших амплитуд , подтверждающие тот же вывод. Таким образом, в разделе доказано, что эквивалентный коэффициент передачи реле может быть распространен и на случай быстрых входных сигналов, если выполняется условие: .

В четвертом разделе рассмотрен частотный анализ систем со скользящими режимами. Предполагается, что поверхность скольжения выбрана или спроектирована соответствующим образом, а также произведен синтез разрывного управления, обеспечивающего существование скользящего режима. Кроме того, предполагается наличие в системе некоторой паразитной динамики (из-за присутствия датчиков и исполнительных механизмов). Задачей этого раздела является разработка методов анализа движений, возникающих в системах со скользящими режимами, включая анализ высокочастотных вибраций и осредненных движений, при наличии паразитной динамики. Это также включает адаптацию метода ГВРС для анализа скользящих режимов в системах с переменной структурой при отличном от релейного управлении.

При идеальном скользящем режиме переключения разрывного управления происходят с бесконечной частотой. Однако любой реальный скользящий режим реализуется как переключение с достаточно высокой, но не бесконечной частотой. Этот эффект известен как эффект "высокочастотных вибраций", который в англоязычной литературе носит название "chattering". Широко признано, что эффект "высокочастотных вибраций" является самым большим недостатком принципа скользящих режимов, и анализ этого эффекта имеет большое теоретическое и практическое значение. Иное проявление эффекта реального скользящего режима по сравнению с идеальным заключается в отличии осредненных движений от движений в системе с так называемым пониженном порядком. Это касается не только характера переходного процесса, но и установившегося значения выходной координаты (в отношении некоторых переменных состояния). При воздействии на систему внешних возмущений переходный процесс в системе с реальным скользящим режимом сойдется не к началу координат, как идеальный скользящий режим, а к некоторой другой точке. Эта теоретическая проблема не освещена в имеющейся литературе по скользящим режимам.

Вначале рассмотрена задача аппроксимации разрывного, но не релейного управления в системах с переменной структурой релейным управлением, которая решена следующим образом. Рассмотрена система управления, имеющая линейный объект управления с постоянными параметрами:

, (16)

где xRⁿ, uR¹, A - матрица размерности n x n, B - матрица размерности n x 1 и скалярное управление, заданное следующим законом:

, (17)

и поверхность скольжения, являющаяся гиперплоскостью и заданная следующим равенством: , где S - матрица-строка коэффициентов. Управления u⁺ (x) и u^- (x), названы, соответственно, управлениями в подпространстве "выше поверхности скольжения" и "ниже поверхности скольжения". Предполагается, что существует некоторая ?-окрестность поверхности скольжения, такая, что каждая траектория, которая входит в ?-окрестность, остается в ней в течение всего последующего времени. Решается задача аппроксимации каждого из управления подпространств в ?-окрестности. При этом каждое из управлений подпространств u⁺ (x) и u^- (x), будучи функцией x, может быть разложено в ряд Тейлора в точке x=x_s, соответствующей положению траектории на поверхности скольжения, по отклонению x_n от поверхности скольжения (?x_n), которое определяется следующей зависимостью: , где - n-ый элемент матрицы S. Таким образом, функции управления подпространства имеют две компоненты: член, зависящий от переменных x₁, x₂, …, x_n-1 и т.д. ("релейный член"), и член, зависящий только от переменной x_n ("непрерывный член"). Поэтому управление в ?-окрестности поверхности скольжения может быть записано как:

, (18)

где x* x, x* R^n-1 есть вектор x без элемента x_n, - амплитуда симметричного релейного управления, - смещение релейного управления, а непрерывный член определяется аналитически как ряд Тейлора. Изложенный метод аппроксимации управления позволяет привести исходную систему к эквивалентной релейной форме (18). Анализ скользящих режимов в системах с переменной структурой может быть сведен к анализу автоколебаний в эквивалентной релейной системе (методом ГВРС) и анализу осредненных движений в эквивалентной линеаризованной системе (рис.4).

Далее рассматривается проблема существования режима высокочастотных вибраций, а также решаются задачи анализа высокочастотных вибраций и осредненных движений в системе. Последняя решается путем построения модели с исходным порядком (нередуцированной модели) для осредненных движений. Отмечается, что ГВРС, будучи частотной функцией, содержит все возможные периодические решения для заданной линейной части, включая решение бесконечной частоты, соответствующее идеальному скользящему режиму. Поскольку периодическое решение находится как точка пересечения ГВРС с действительной осью, расположение высокочастотной части ГВРС несет в себе информацию о режиме, существующем в системе: идеальном скользящем режиме либо режиме высокочастотных вибраций. Доказано следующее утверждение, позволяющее установить возможность существования скользящего режима.

Рис.4. Анализ высокочастотных вибраций и осредненных движений

Утверждение. Если передаточная функция W_l (s) есть отношение двух многочленов B_m (s) и A_n (s) степеней m и n соответственно (m<n), то высокочастотная часть ГВРС J (?), соответствующего передаточной функции W_l (s), расположена в том же самом квадранте комплексной плоскости, что и высокочастотная часть годографа Найквиста W_l (j?). При этом либо действительная ось (если (n-m) четное), либо мнимая ось (если (n-m) нечетное) являются асимптотами ГВРС.

Данное утверждение позволяет сделать вывод о том, что существование идеального скользящего режима возможно только в том случае, если индекс передаточной функции W_l (s) будет равен одному или двум, причем во втором случае имеет место так называемый асимптотический скользящий режим второго порядка, реализующийся как колебательный процесс, частота которого стремится к бесконечности при t0 (в отличие от обычного скользящего режима не выполняется условие конечного времени сходимости). Доказанное свойство согласуется с известными результатами, полученными другими методами.

Анализ высокочастотных вибраций основан на нахождении точки пересечения ГВРС, соответствующего динейной части системы, включающей в себя объект управления, уравнения поверхности переключения и паразитную динамику (датчиков и исполнительных механизмов), с действительной осью.

Представлен вывод модели осредненных движений с исходным порядком (нередуцированной модели осредненных движений) на основе применения ГВРС и концепции эквивалентного коэффициента передачи реле. Нередуцированная модель получена как следующие уравнения:

, (19)

где индекс "0" обозначает осредненные величины. Широко известная редуцированная модель осредненных движений (модель с пониженным порядком) получается из (19) при .

Представленное выше утверждение и модель (19) позволяют также вскрыть механизм образования высокочастотных вибраций и неидеальной динамики осредненных движений из-за введения в контур управления паразитной динамики. Введение паразитной динамики приводит к изменению точки пересечения ГВРС с действительной осью, которая в идеальном скользящем режиме - начало координат. При этом не только частота высокочастотных вибраций становится конечной (в соответствии с (7)), но и величина эквивалентного коэффициента передачи также становится конечной (в соответствии с (8)), что и приводит к ухудшению динамики осредненных движений.

Таким образом, в разделе рассмотрен частотный анализ высокочастотных вибраций и осредненных движений в системе со скользящим режимом, в которой имеется паразитная динамика. Показано, что высокочастотные вибрации могут анализироваться как предельный цикл в релейной системе или эквивалентной релейной системе, а осредненные движения могут быть найдены как решение некоторой линейной системы, полученной путем замены реле на эквивалентный коэффициент передачи.

В пятом разделе представлены методы частотного анализа движений, возникающих в системах со скользящими режимами второго порядка, включая анализ высокочастотных вибраций и осредненных движений, при наличии паразитной динамики (в виде динамики датчиков и исполнительных механизмов) в системе

Скользящие режимы второго порядка позволяют привести за конечное время к нулю не только так называемую переменную скольжения (сигнал ошибки), но и его первую производную. Скользящие режимы второго порядка были разработаны как средство борьбы с высокочастотными вибрациями, возникающими в системах со скользящими режимами первого порядка. Однако, в настоящей работе (и ряде предшествующих публикаций автора) показано, что при наличии паразитной динамики высокочастотные вибрации будут существовать и в системах со скользящими режимами второго порядка.

Рассмотрено математическое описание субоптимального алгоритма, которое выглядит следующим образом (для автономной системы): , где y_Mi - i-ая сингулярная точка в сигнале y (t), определяемая как последняя точка локального максимума при убывающем y (t) или минимума при возрастающем y (t); - параметр алгоритма (). Предположено, что устойчивым режимом в системе будет периодический режим. Если движение в системе реализуется как периодическое, то последовательность сингулярных точек будет знакочередующейся последовательностью , - , , - ., где есть амплитуда y (t). Тогда, реализация субоптимального алгоритма в установившемся режиме будет эквивалентна релейной системе, имеющей реле с отрицательным гистерезисом . Однако, в отличие от обычной релейной системы величина гистерезиса неизвестна, так как неизвестна амплитуда автоколебаний. Предложенный приближенный анализ включает использование метода гармонической линеаризации, приводящего к следующему уравнению гармонического баланса, имеющему простое графическое решение.

(20)

Периодическое решение может быть найдено как точка пересечения годографа Найквиста и прямой, исходящей из начала координат и образующей с действительной осью угол (рис.5). Далее рассмотрено точное решение задачи нахождения периодического решения в такой системе. Для ее решения предложено использовать функцию , где - величина выходной координаты системы в момент переключения реле, - амплитуда автоколебаний, которая находится как , величина может быть найдена по формуле

,

где , - значения ФЧХ и АЧХ для на частоте w.

В этом случае геометрическая интерпретация нахождения периодического решения та же, что и при использовании гармонической линеаризации. На рис.5 функция W (jw) должна быть заменена на Ф (w), и ищется точка пересечения той же прямой и графика Ф (w). При таком подходе найденные значения амплитуды и частоты автоколебаний - точные.

Таким образом, если в системе существует некоторая паразитная динамика, так что годограф Найквиста частично расположен во втором квадранте комплексной плоскости, то в системе с субоптимальным алгоритмом всегда будет существовать режим высокочастотных вибраций.

Рис.5. Периодическое решение в системе с субоптимальным алгоритмом

Далее решается задача анализа передаточных свойств субоптимального алгоритма при воздействии на систему внешних сигналов (возмущений). Так же, как и в случае обычной релейной системы и скользящего режима первого порядка, вначале анализируется реакция системы с субоптимальным алгоритмом на постоянное внешнее воздействие. Показано, что точная величина эквивалентного коэффициента передачи алгоритма находится как

, (21)

где - ГВРС, , - момент времени, соответствующий максимуму в автономном режиме, - частота автоколебаний. Как показывает анализ, в окрестности частоты автоколебаний величина мала по сравнению с (по абсолютной величине), и основное увеличение эквивалентного коэффициента передачи реле - за счет множителя .

Таким образом, в разделе представлен частотный анализ субоптимального алгоритма, относящегося к классу алгоритмов, реализующих скользящие режимы второго порядка. Анализ осуществляется приближенно с помощью метода гармонической линеаризации и точно методом ГВРС. Показано, что по сравнению с обычным скользящим режимом реализуется опережающее переключение реле. За счет этого возможно увеличение частоты высокочастотных вибраций, а также уменьшение амплитуды этих вибраций. Однако, полное устранение вибраций невозможно. Проанализированы передаточные свойства системы с субоптимальным алгоритмом. Показано, что его применение позволяет увеличить эквивалентный коэффициент передачи по сравнению с обычным скользящим режимом первого порядка. Представлены приближенные и точные аналитические зависимости, связывающие параметры алгоритма с эквивалентным коэффициентом передачи.

В шестом разделе представлен метод синтеза корректирующих устройств в релейных автоколебательных рулевых пневмоприводах, основанный на целенаправленном изменении формы ГВРС пневмопривода путем введения корректирующих устройств.

Известно, что пневмопривод может анализироваться и проектироваться как релейная система либо с линейным объектом управления, либо с нелинейным объектом (при более точном описании). Используется следующая модель пневмопривода (при линейном описании объекта и отсутствии шарнирной нагрузки).

Рис.6. Релейный автоколебательный пневмопривод

На рис.6: f - входной сигнал, u - выход релейного усилителя (оцененный в величинах угла поворота якоря электромагнита), ? - угол поворота якоря электромагнита, F - момент, развиваемый пневмодвигателем, - угловая скорость поворота руля, y - угол поворота руля (от нейтрали), - коэффициент передачи по скорости, - коэффициент, характеризующий жесткость механической характеристики, - пневматическая постоянная времени, , , - скорость холостого хода пневмодвигателя, - максимальный угол поворота якоря электромагнита (и пневмораспределителя), - максимальный развиваемый момент, - максимальный угол поворота руля, - суммарный момент инерции подвижных частей пневмодвигателя и нагрузки, - коэффициент вязкого трения, 2b - гистерезис релейного усилителя.

Синтез релейных автоколебательных рулевых пневмоприводов является комплексной проблемой, включающей этапы проектирования пневмодвигателя исходя из требуемых мощностных характеристик, электро-механического преобразователя (ЭМП), а также синтеза корректирующих устройств (фильтров), обеспечивающих требуемые динамические показатели замкнутой системы. В настоящей работе рассматривается лишь задача синтеза корректирующих устройств, обеспечивающих требуемую динамику пневмопривода (более широкая задача синтеза структуры системы, номиналов параметров и допусков на параметры, обеспечивающих заданную вероятность работоспособности пневмопривода при известных режимах его эксплуатации рассматривалась ранее в кандидатской диссертации автора). В настоящей работе предполагается, что пневмодвигатель и ЭМП спроектированы соответствующим образом, и задачей является синтез корректирующих устройств. Динамика привода оценивается по его реакции на гармоническое входное воздействие в определенном диапазоне частот и амплитуд . При этом технические требования определены как требования к нелинейности амплитудно-частотной характеристики и максимально допустимому фазовому запаздыванию в указанном диапазоне частот и амплитуд. При указанном подходе ЭМП и пневмодвигатель могут рассматриваться в качестве объекта управления, а корректирующие фильтры вместе с электронным релейным усилителем - в качестве регулятора.

Наиболее сложной подзадачей в задаче синтеза регулятора является выбор типа (синтез структуры) корректирующих устройств. Опыт синтеза показывает, что подход, заключающийся в попытке определения подходящей структуры корректирующего фильтра путем параметрической оптимизации в некоторой структуре сравнительно высокого порядка, оказывается неэффективным, поскольку предполагает решение задачи параметрической оптимизации в параметрическом пространстве высокой размерности. Сложность же задачи параметрической оптимизации существенно возрастает с увеличением числа параметров. В диссертации предложен подход, использующий ГВРС для синтеза структуры, поскольку расположение ГВРС непосредственно связано с динамическими характеристиками замкнутой системы. Использован подход, предполагающей разделение спектров частот входных сигналов и возможных частот автоколебаний, и принцип синтеза, направленный на формирование расположения ГВРС в диапазоне частот входного сигнала и диапазоне частот, включаещем частоту автоколебаний. Желаемое же расположение ГВРС рассчитывается исходя из технических требований к динамике пневмопривода: