где “d” обозначает желаемое значение, k_nd - желаемое значение эквивалентного коэффициента передачи реле k_n, ?₁, ?₂ - частоты, задающие пределы возможных значений частоты автоколебаний, b - заданное значение гистерезиса реле (обычно малая величина, вводимая лишь для устранения ложных срабатываний реле при наличии шума). Предложенный подход проиллюстрирован на рис.7.

В работе рассматриваются два вида коррекции, способные реализовать требуемую трансформацию ГВРС: традиционно используемая последовательная коррекция фильтром с передаточной функцией W_f (s) = (T₁s+1) / (T₂s+1), где w_max<1/T₂<1/T₁<W, и параллельная коррекция избирательным фильтром с передаточной функцией W_f (s) =KTs/ (T²s²+2Ts+1). Даны методики расчета расположения желаемого ГВРС и расчета параметров последовательного и параллельного фильтров, обеспечивающих это расположение, а, следовательно, и заданных требований к динамическим характеристикам замкнутой системы.

Рис.7. Принцип коррекции за счет трансформации ГВРС нескорректированной системы в желаемый ГВРС

Приведен пример синтеза корректирующих фильтров, а также моделирование нескорректированного и скорректированного пневмопривода как с использованием линейной модели объекта управления, так и нелинейной, в которой учитывается сухое трение, и выход ЭМП описывается трапециидальной функцией времени, что позволяет учесть амплитудно-частотную зависимость ЭМП. Для нелинейной модели указанного вида разработана методика расчета ГВРС, и коррекция осуществляется с применением результатов, полученных в разделе 3 для нелинейных объектов. Продемонстрирована адекватность модели релейного пневмопривода, базирующаяся на ГВРС. Оценена эффективность коррекции с помощью последовательного и параллельного фильтров. Показана высокая эффективность коррекции с помощью параллельного фильтра. Результаты синтеза корректирующих фильтров подтверждены с помощью численного моделирования и последующей обработки результатов с помощью спектрального анализа. Отмечено хорошее соответствие аналитических результатов результатам численного моделирования.

Отмечено, что дальнейшее улучшение динамических характеристик системы может быть получено с помощью оптимизации параметров корректирующих фильтров, что может быть осуществлено методами нелинейного программирования с применением известных алгоритмов и, в частности, специализированных алгоритмов оптимизации корректирующих фильтров в автоколебательных пневмоприводах, представленных ранее в кандидатской диссертации автора.

В седьмом разделе изложен метод идентификации динамики объектов управления, а также "параметрический" и "непараметрический" методы проектирования (настройки) ПИД регуляторов в распределенных системах управления (РСУ) технологическими процессами, основанные на применении двух вариантов релейного теста с обратной связью. Дано описание программы-настройщика ПИД регуляторов в РСУ технологическими процессами, базирующейся на разработанных релейных тестах и методе ГВРС.

Отмечено, что ПИД регуляторы являются основным типом регуляторов, используемых в системах управления технологическими процессами. Обычно ПИД регуляторы выполняются в виде модулей в распределенной системе управления (РСУ). Широко известен релейный тест с обратной связью над объектом управления (K. Astrom), применяемый для настройки как ПИД так и других типов регуляторов. Релейный тест заключается в возбуждении автоколебаний в замкнутой системе путем временной замены ПИД регулятора релейным элементом, измерении параметров автоколебаний и настройке регулятора в зависимости от полученных измерений. Методы настройки основаны либо на использовании некоторой базовой модели динамики технологического процесса, идентификации ее параметров и настройке в соответствии с определенными правилами и формулами (так называемые "параметрические" методы), либо на непосредственном перерасчете результатов теста в параметры регулятора ("непараметрические" методы).

Предложен несимметричный релейный тест, осуществляемый по отношению к приращениям отностительно величин, соответствующих положению равновесия в системе, в котором несимметричность достигается путем подачи ненулевого постоянного внешнего воздействия f₀, и замеряются следующие параметры автоколебаний: длительность положительного импульса и₁ в сигнале управления u (t), длительность отрицательного импульса и₂ и среднее на периоде автоколебаний значение выхода y₀. Входное воздействие f₀, гистерезис 2b и ограничение реле c считаются известными. Затем, рассчитываются частота автоколебаний Щ_m=2р/ (и₁+и₂) и среднее значение сигнала управления u₀=c (и₁-и₂) / (и₁+и₂). Предлагается идентифицировать модель объекта (динамики техпроцесса) путем совмещения рассчитанных точек ГВРС и точек, полученных в результате измерений из релейного теста, то есть путем решения следующих уравнений для ГВРС и коэффициента передачи объекта K: , ,. При наличии более трех неизвестных параметров объекта возможно провести несколько релейных тестов - путем варьирования величины гистерезиса b. Каждый из этих тестов даст одну точку ГВРС.

Для популярной модели динамики многих технологических процессов вида: , где K - коэффициент передачи, T - постоянная времени, ? - время запаздывания, имеющего следующее аналитическое выражение ГВРС: , где , предложена аналитическая методика идентификации модели и расчета оптимальных параметров регулятора по критерию минимального времени переходного процесса при реакции замкнутой системы на ступенчатое воздействие при ограничении величины перерегулирования: , , где - коэффициенты пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющих ПИД регулятора, - время переходного процесса, - величина перерегулирования. Эта задача решена для ряда соотношений методами нелинейного программирования, и таким образом получены аналитические зависимости для оптимального расчета параметров регулятора. Представлен анализ точности алгоритма при моделях процесса, отличных от базовой, наличии шумов и внешних возмущений. Продемонстрирована достаточно высокая эффективность алгоритма в этих условиях.

Предложен модифицированный релейный тест, осуществляемый по отношению к приращениям отностительно величин, соответствующих положению равновесия в системе, позволяющий возбудить в системе колебания с частотой, равной будущей частоте ?_?, на которой фазовое запаздывание разомкнутой системы с ПИД регулятором будет равно 180°. При этом принят следующий формат для формул настройки (проектирования) ПИД регулятора, названных однородными: , где c₁, c₂, и c₃ - некоторые постоянные коэффициенты, которые определяют фактические формулы настройки, при передаточной функция регулятора, заданной следующей передаточной функцией: . Модифицированный релейный тест реализуется с помощью следующего алгоритма:

,

где , , и - последние сингулярные точки в сигнале ошибки, соответствующие последнему максимуму или минимуму временного сигнала после пересечения с нулевым уровнем, ?<1 - положительный коэффициент, (предел слева). Доказано, что если фазовая характеристика объекта управления достигает величины - 180° или ниже, то в системе с модифицированным релейным тестом реализуется режим периодических автоколебаний с амплитудой a и частотой ?, приближенные значения которых находятся из уравнения гармонического баланса в системе: , где ? - параметр алгоритма. Из уравнения гармонического баланса следует, что автоколебания в системе с модифицированным релейным тестом возбуждаются на частоте, на которой значение фазовой характеристики объекта равно . Использование однородных формул настройки и разработанного теста позволило построить проектирование (настройку) ПИД регуляторов, обеспечивающее заданные запасы устойчивости по амплитуде в замкнутой системе с регулятором для произвольных объектов управления, удовлетворяющих вышеуказанным ограничениям.

Доказано, что для обеспечения настройки ПИД регулятора, обеспечивающей заданный запас устойчивости по амплитуде ?, необходимо, чтобы выполнялось следующее соотношение между коэффициентами в однородных формулах настройки: , а модифицированный релейный тест должен выполняться с параметром . Представлен приближенный и точный (ГВРС) анализ модифицированного релейного теста. Получены аналитические зависимости для оптимальной настройки ПИД регуляторов (коэффициенты c₁, c₂, и c₃) по критерию минимального разброса величин перерегулирования в системе с регулятором на множестве анализируемых динамических моделей технологических процессов.

где W - множество анализируемых динамических моделей технологических процессов (объектов управления), g - функция, задающая ограничение вида равенства (соотношение ), h - функция, задающая ограничение вида неравенства, Q - целевая функция (разброс величин перерегулирования). В выражении для Q подразумевается функциональная связь между параметрами c₁, c₂, и c₃, передаточной функцией регулятора, передаточной функцией замкнутой системы и целевой функцией. Использование этого критерия целесообразно ввиду того, что разработанный метод - непараметрический, и должен обеспечивать приемлемое качество настройки при разнообразных объектах управления, динамические модели которых неизвестны.

Рис.8. Страница дисплея программного обеспечения CLTUNE: желтая линия - выход регулятора OP, синяя - регулируемая величина PV, зеленая - уставка SP

Разработаны алгоритмы реализации несимметричного релейного теста и модифицированного релейного теста в РСУ. Показано, что эти тесты могут быть осуществлены в отношении приращений к переменным системы в точке, соответствующей установившемуся режиму, то есть таким образом, что релейное управление реализуется в виде некоторых приращений к величине управления в точке равновесия, а выходной сигнал для теста измеряется как приращение к значению выходной переменной в этой точке. Отмечено, что при таком подходе возможно проведение теста на функционирующем технологическом процессе с минимальным привносимым возмущением в процесс.

Представлено описание программного обеспечения CLTUNE (рис.8) для РСУ TPS^® фирмы Honeywell, в котором реализованы оба разработанных метода настройки. Отмечен положительный опыт эксплуатации программного обеспечения CLTUNE в нефтехимической отрасли промышленности.

В восьмом разделе представлен разработанный метод анализа динамической и параметрической точности наблюдателей состояния, основанных на использовании скользящих режимов, в котором учитывается техническая реализация наблюдателя, привносящая некоторую паразитную динамику. Дан пример анализа динамической и параметрической точности наблюдателей состояния, выполненных на скользящих режимах, а также пример анализа динамической точности дифференциатора на скользящем режиме.

Рассмотрена модификация широко известного наблюдателя Люэнбергера, построенная на принципе скользящего режима, для линейной стационарной системы (1):

, (22)

где - n-мерный вектор-столбец оценок состояния системы, - скалярная оценка выхода системы, - матрица коэффициентов, , , и - матрицы внутренней модели наблюдателя. Предполагается наблюдаемость пары (,). Матрица выбирается таким образом, чтобы обеспечивалась сходимость переменной скольжения к нулю за конечное время.

В настоящей работе предложено рассматривать динамику наблюдаемой системы (1) и наблюдателя (22) как динамику следящей системы, в качестве входного сигнала такой системы использовать гармонический сигнал варьируемой частоты, и оценивать динамическую точность наблюдателя с помощью амплитудно-частотных характеристик по переменной (ошибка выходной координаты) и переменным (ошибки оценок). Однако, использование модели (22) наблюдателя, не содержащей паразитной динамики, приводит к идеальному скользящему режиму и, соответственно, идеальной динамике наблюдателя.

Поскольку наблюдатели, как правило, реализуются как цифровые системы, и уравнения (22) решаются методами численного интегрирования с некоторым шагом интегрирования, в настоящей работе отмечено, что природа паразитной динамики в системе (1), (22) есть запаздывание и предложено учитывать паразитную динамику звеном запаздывания (рис.9).

Рис.9. Блок-схема динамики наблюдаемой системы и наблюдателя (с паразитной динамикой запаздывания)

Однако время запаздывания ? в системе рис.9 неизвестно, так как это время не равно шагу интегрирования или циклу выполнения алгоритма. Предложено определять это время путем идентификации, исходя из равенства частот высокочастотных вибраций в системе рис.9 с непрерывным временем и при реализации уравнений (22) в дискретном времени. Анализ показывает, что при реализации уравнений (22) в дискретном времени период высокочастотных вибраций T_ch равен двум циклам выполнения алгоритма. Отсюда следует, что для идентификации эквивалентного запаздывания необходимо решить следующее уравнение относительно эквивалентного запаздывания t: , в котором и

После идентификации времени t может быть построена линеаризованная модель наблюдателя для осредненных движений, которые и дают оценки переменных состояния. Модель осредненных движений получается в результате замены реле эквивалентным коэффициентом передачи, вычисляемым по формуле (8), в совокупности с системами (1), (22), что приводит к следующей линеаризованной модели наблюдателя (рис.10). Оценка точности наблюдения осуществляется путем построения амплитудно-частотных характеристик модели осредненных движений известными методами.

Далее рассмотрена задача анализа параметрической точности наблюдателя, то есть определение точности оценивания вектора состояния наблюдателем при неидеальном знании параметров модели наблюдаемой системы. Построена модель параметрической чувствительности наблюдателя, позволяющая определить степень влияния неточности каждого из параметров модели на отклонение динамических характеристик наблюдателя от номинальных, а также модель параметрической точности, позволяющая оценить влияние неточного знания параметров модели на общую точность наблюдателя (используя детерминистический или вероятностный подходы). Чувствительность переменных , находится следующим образом:

,

где , , , ,

, ,

Рис.10. Линеаризованная модель наблюдателя и модель системы

В представленном в диссертации примере анализа наблюдателя скорости электродвигателя показано, как, например, могут быть получены номинальные частотные характеристики наблюдателя и поле их разброса, рассчитанное как функция от точности знания параметров модели (рис.11):

Рис.11. Зона распределения положения ЛАЧХ оценки скорости вращения электродвигателя

Далее в разделе рассмотрен аналоговый дифференциатор на скользящем режиме, который может рассматриваться как простейший наблюдатель, и предназначен для получения производной от произвольного аналогого сигнала в реальном времени. Идеальная модель дифференциатора имеет вид:

,

,

где входным сигналом дифференциатора является сигнал f (t), а выходным - u (t) (последний отфильтровывается от высокочастотной составляющей с помощью фильтра низких частот).

Рассмотрена схема его реализации на операционных усилителях (ОУ), и показано, как методом ГВРС рассчитываются частотные характеристики дифференциатора при учете ограниченного диапазона частот ОУ как результата существования малых постоянных времени в усилителях. Показано, что передаточная функция дифференциатора с учетом неидеальностей элементов, есть

,

где , R - сопротивления соответствующих резисторов схемы, C - емкости соответствующих конденсаторов схемы, , f_max - полоса пропускания ОУ, , - максимальное напряжение электронного реле на ОУ, - максимальная скорость нарастания выходного напряжения ОУ, то есть передаточная функция представляет собой произведение передаточной функции идеального дифференциатора и множителя, отражающего наличие неидеальностей в виде ограниченной полосы пропускания ОУ. Таким образом, с помощью метода ГВРС показано, что наличие ограниченной полосы пропускания ОУ приводит к конечной частоте высокочастотных вибраций (колебаний) и к ограниченной полосе пропускания дифференциатора, что выражается в частотной характеристике вида рис.12 (без учета низкочастотного фильтра).

Рис.12. ЛАЧХ аналогового дифференциатора

В результате в разделе решена проблема разработки метода анализа динамической и параметрической точности аналоговых и цифровых наблюдателей состояния на скользящих режимах, учитывающего неидеальности их технической реализации, а также рассмотрены некоторые аспекты проектирования таких наблюдателей.

Основные результаты и выводы

1. Предложен метод анализа и синтеза систем с разрывным управлением, основывающийся на новой частотной характеристике системы - годографе возмущенной релейной системы (ГВРС). Обоснована концепция ГВРС, его использование для анализа автоколебаний и прохождения внешних управляющих и возмущающих воздействий через релейную систему, связь свойств ГВРС с возможностью существования автоколебаний в системе, параметрами возникающих автоколебаний, коэффициентом передачи реле для осредненных движений, параметрами осредненных движений, возможностью существования скользящих режимов, астатизмом системы, индексом передаточной функции объекта управления. Получены условия локальной орбитальной устойчивости возможных периодических решений.

2. Разработаны методы расчета ГВРС. Получены аналитические зависимости для расчета ГВРС для линейных объектов управления исходя из передаточной функции объекта управления, матрично-векторного описания объекта, или разложения передаточной функции на простые дроби. Получены аналитические выражения ГВРС для звеньев первого и второго порядка. Получены аналитические зависимости для статических и астатических объектов, а также объектов с запаздыванием. Разработан алгоритм расчета ГВРС для некоторых нелинейных объектов управления. Разработано и представлено в Приложении программное обеспечение для расчета ГВРС на языке Matlab.

3. Разработаны методы частотного анализа систем управления со скользящими режимами при наличии паразитной динамики (в виде динамики датчиков и исполнительных механизмов) в системе, в том числе и при отличном от релейного (но разрывном) управлении. В частности, разработан частотный метод анализа высокочастотных вибраций и осредненных движений, основанный на применении ГВРС, а также получена модель с исходным порядком, описывающая осредненные движения (отличающаяся от широко используемой модели с пониженным порядком). Доказано, что в системе со скользящим режимом в виду неизбежного наличия паразитной динамики (в виде динамики измерительных датчиков и исполнительных механизмов) всегда будут существовать высокочастотные вибрации и неидеальная динамическая точность в отношении осредненных движений, и как следствие этого, неидеальная робастность в отношении изменения параметров системы и неидеальное парирование внешних возмущений.

4. Разработаны методы частотного анализа систем управления со скользящими режимами второго порядка при наличии паразитной динамики (в виде динамики датчиков и исполнительных механизмов) в системе. В частности, разработан частотный метод анализа высокочастотных вибраций и осредненных движений, основанный на применении ГВРС, а также получена модель с исходным порядком, описывающая осредненные движения. Доказано обязательное существование периодических движений (высокочастотных вибраций) и неидеальной динамической точности в отношении осредненных движений при наличии в системе паразитной динамики.

5. Разработан метод синтеза корректирующих устройств в релейных автоколебательных рулевых пневмоприводах, основанный на выборе структуры и расчете параметров вводимых корректирующих устройств, трансформирующих ГВРС нескорректированного привода соответствующим образом. Получены алгоритм расчета и аналитические зависимости, позволяющие выбирать структуру корректирующего фильтра и проводить расчет его параметров. Предложено использование параллельного избирательного фильтра, настроенного на частоту автоколебаний для улучшения динамических характеристик пневмопривода.

6. Разработаны несимметричный релейный тест и модифицированный релейный тест, а также методы идентификации параметров объектов управления (в системах управления технологическими процессами) и "параметрический" и "непараметрический" методы проектирования (настройки) ПИД регуляторов в распределенных системах управления технологическими процессами, основанные на этих тестах и методе ГВРС. Разработаны алгоритмы и аналитические зависимости для расчета параметров ПИД регуляторов. Описана реализация разработанного метода идентификации и настройки регуляторов в программном обеспечении CLTUNE для широко распространенного типа распределенной системы управления (РСУ) TPS фирмы Honeywell.

7. Разработан частотный метод анализа динамической и параметрической точности наблюдателей состояния на скользящих режимах, учитывающий особенности технической реализации наблюдателей. С использованием метода ГВРС разработана модель для получения таких показателей как частотный диапазон и точность наблюдения при гармонических входных сигналах. Даны рекомендации по проектированию наблюдателей.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах