Пространственное распределение амплитуд внешних и внутренних волн в ограниченной многослойной структуре с периодической неоднородностью. Волна в диссипативной среде

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пространственное распределение амплитуд внешних и внутренних волн в ограниченной многослойной структуре с периодической неоднородностью. Волна в диссипативной среде

И.В. Антонец, В.Г. Шавров, В.И. Щеглов



Аннотация

Методом пошагового алгоритма рассмотрено распространение одномерных и электромагнитных волн в многослойной структуре с периодической неоднородностью. Рассмотрено распределение амплитуд волн в слоях структуры. Обнаружен новый вид распределения - линейно-синусоидальный, обусловленный диссипацией среды. Найдено критическое значение проводимости, определяющее переход свойств структуры от диэлектрических к металлическим. Выполнено сравнение эффективности механизмов диссипации для одномерной и электромагнитной волны. Выявлена роль диссипации в формировании дискретного характера амплитудно-частотных характеристик отражения и прохождения. Обнаружен обусловленный проводимостью диссипативный резонанс, а также превышение потока энергии отраженной волны по сравнению с падающей, подобное наблюдавшемуся ранее для двухслойной структуры. В качестве возможного механизма превышения указана локализация энергии во внутренних слоях структуры в виде совокупности активной и реактивной составляющих. Показано, что в случае металлической проводимости необходимым условием синусоидального распределения является превышение глубины проникновения волны над толщиной барьера.

Ключевые слова: распространение волн, периодическая структура, частотный спектр, диссипативная среда.



Abstract

The method the one-dimensional and electromagnetic waves propagation in multi-layer structure with periodical nonuniformity is investigated by successive steps algorithm. The distribution of wave amplitudes inside the layers of structure is considered. The new form of distribution - linear-sinusoidal - which depends on medium dissipation is found. The critical value of electrical conductivity which determines the transition of structure from dielectric to metal properties is found. The comparison of effectiveness of dissipation mechanism for one-dimensional and electromagnetic waves is made. The role of dissipation in formation of discrete character of amplitude-frequency characteristics for reflection and passing of waves is found. The dissipative resonance which is due to conductivity and the exceeding of energy flow of reflected wave compared with falling wave, as it was observed early for two-layer structure, are found. As the possible mechanism for such exceeding the energy localization in the inner slides of structure in the form of active and reactive components is proposed. It is shown that in the case of metal conductivity the necessary condition of sinusoidal distribution is the exceeding the penetration length under the barrier thickness.

Key words: wave propagation, multi-layer structure, periodical nonuniformity, frequency spectrum, dissipative medium.



Введение

В предыдущих частях настоящей работы [1-3] было рассмотрено пространственное распределение амплитуд внешних и внутренних волн прямого и обратного направлений в ограниченной многослойной структуре с периодической неоднородностью меандрового вида. В качестве инструмента исследования был использован пошаговый алгоритм [4-7], позволяющий удобным путем как получать аналитические выражения для амплитуд волн, так и рассчитывать распределение этих амплитуд численно.

Первая часть работы [1] была посвящена одномерным волнам, являющимся элементарным аналогом многих типов волн в различных средах. Введен эквивалент периодической многослойной среды как структуры, состоящей из одинаковых барьеров, разделенных одинаковыми промежутками. Были рассмотрены особенности распространения волн, связанные с периодичностью структуры, исследованы амплитуды волн прямого и обратного направлений, в том числе при большом изменении соотношения между волновыми числами сред, составляющих структуру. Исследована пространственная модуляция амплитуды, выявлены пять основных режимов: синусоидальный, полусинусоидальный, линейный, экспоненциальный, а также синусоидальный с верхним пределом.

Во второй части работы [2] проведенные исследования были обобщены на случай электромагнитных волн. Пошаговый алгоритм видоизменен применительно к ситуации волн, распространяющихся в структуре, свойства которой определяются электродинамическими адмиттансами составляющих ее сред. В широком диапазоне изменения диэлектрической проницаемости сред исследованы частотные зависимости амплитуд волн прямого и обратного направлений. Относительно распределения амплитуд во внутренних слоях структуры, выявлены два главных его вида - синусоидальное и экспоненциальное. Введены понятия сильной и слабой неоднородностей и получен критерий перехода между ними. Рассмотрена трансформация частотных зависимостей в широком интервале изменения соотношения проницаемостей слоев.

Третья часть работы [3] посвящена расширению результатов части второй на случай магнитных сред. Было показано, что в такой среде возможно распространение двух независимых волн - гиромагнитной и гироэлектрической. Рассмотрено отражение и прохождение гиромагнитной волны при падении на плоскую границу раздела двух сред с магнитными параметрами. Получены амплитуды отраженной и проходящей волн, выраженные через адмиттансы сред. Введен в рассмотрение «параметр расходимости», представляющий собой комбинацию из компонент тензора магнитной проницаемости. Показано, что в случае отрицательного знака параметра расходимости распространение гиромагнитной волны невозможно. Рассмотрен баланс потоков энергии распространяющихся волн на структуре в целом. В широком диапазоне рассмотрена частотная зависимость амплитуд волн обоих направлений. В спектре распространения выявлено появление широкой линии, обусловленной магнитными свойствами среды.

В первой и второй частях работы среды, составляющие структуру, полагались бездиссипативными. Магнитная среда, рассмотренная в третьей части, обладала затуханием, феноменологически описываемым механизмом Гильберта [8-11]. Однако было показано, что в случае многослойной среды формальное введение такого затухания не приводит к пространственному уменьшению амплитуды волны в целом, то есть в подобной ситуации гильбертово затухание не является активным, а обладает лишь реактивным характером. Там же было указано на ограничение такого подхода и отмечены условия его применимости.

С другой стороны, многие реальные среды (полупроводники, электролиты, металлы) в той или иной степени обладают электрической проводимостью, которая неизбежно приводит к активной диссипации энергии волны.

Поэтому настоящая работа посвящена рассмотрению распространения электромагнитных волн в средах, где диссипация обусловлена именно проводимостью. В качестве объекта для сравнения выбрана одномерная волна, позволяющая рассмотреть некоторые явления в более элементарном виде.



1. Геометрия задачи

Геометрия задачи совпадает с приведенной в первых трех частях настоящей работы [1-3]. Ее схема показана на рис.1. Рассматривается симметричная меандровая структура, в которой неоднородность представляет собой периодически расположенные одинаковые прямоугольные барьеры, с одинаковыми промежутками между ними. Линейные протяженности барьеров и промежутков равны друг другу.

Структура содержит два вида сред, обозначаемых индексами «» и «», каждый из которых имеет собственные значения параметров. В случае одномерной задачи таковыми являются волновые числа , , а в случае электродинамической - диэлектрические , и магнитные , проницаемости, а также проводимости , . По вертикальной оси отложены значения адмиттансов сред , в случае одномерной задачи их роль играют волновые числа . Остальные обозначения совпадают с приведенными в [1-3].

Число слоев - . Полная длина структуры, кроме особо оговоренных случаев - , толщины слоев - ,



Рис.1. Общая схема ограниченной многослойной структуры с периодической неоднородностью симметричного меандрового вида. Цифры в кругах - номера слоев (сред).

2. Распределение амплитуд для одномерной волны

Для того, чтобы выявить основные закономерности распространения волн в периодической структуре с диссипацией, обратимся сначала к случаю одномерной волны, как имеющему более элементарный характер. Для одномерной волны основным фактором ее распространения является волновое число, которое в среде с диссипацией является комплексным, причем спад амплитуды по координате описывается мнимой частью волнового числа.

Рассмотрим рис.2, где показаны распределения амплитуд волн обоих направлений в многослойной структуре при некоторых характерных значениях комплексного волнового числа.



Рис.2. Распределение нормированных амплитуд волн прямого (сплошные линии и сплошные точки) и обратного (пунктирные линии и открытые точки) направлений от координаты при различных значениях комплексного волнового числа. Волновое число промежутка: .

Волновое число барьера:

а - ; б- ;

в - ; г - ;

д- ; е - ;

При построении рисунка значения волновых чисел были подобраны таким образом, чтобы в случаях а,б,в действительная составляющая волнового числа для барьера значительно (в раза) превышала таковую для промежутка, тогда как в случаях г,д,е действительная составляющая волнового числа для барьера равнялась таковой для промежутка, а волновые числа барьера и промежутка отличались только мнимой составляющей.

Для построения непрерывных кривых на рис.2 использовались следующие эмпирические формулы (с точностью до постоянной составляющей и сдвига фазы):

а - ; ; (1)

б - ;

; (2)

в - ;

; (3)

г - ; ; (4)

д - ; ; (5)

е - ;

; (6)

Распределение, приведенное на рис.2а, соответствует чисто действительному волновому числу и показано здесь для сравнения.

Распределения, приведенные на рис.2б,д и 2в,е, соответствуют относительно малой (б,д) и сравнительно большой (в,е) мнимым составляющим волнового числа.

Распределение, приведенное на рис.2г, соответствуют точному равенству волновых чисел барьера и промежутка при отсутствии мнимой составляющей. То есть неоднородность структуры в целом отсутствует и волна, не испытывая отражения, полностью проходит насквозь.

Распределения, приведенные на рис.2д и 2е соответствуют тем же значениям малой (д) и большой (е) мнимой составляющей волнового числа, что и на рис.2б и 2в, при условии сохранения действительной части волнового числа для барьера равной таковой для промежутка.

Из рис.2 можно видеть, что в рассматриваемом случае комплексного волнового числа наблюдаются те же основные виды распределения, что и при волновом числе действительном - синусоидальное и экспоненциальное [1].

Более точно наблюдаемые распределения можно классифицировать следующим образом (буквы соответствуют эпюрам рисунка):

а - синусоидальное;

б - линейное с добавкой синусоидального, называемое далее линейно-синусоидальным;

в - экспоненциальное;

г - постоянное;

д - для волн прямого направления - линейное, для волн обратного направления - синусоидальное с малой амплитудой;

е - экспоненциальное для волн обоих направлений.

Отметим некоторые особенности, следующие из общего вида приведенных кривых.

На рис.2а обе синусоиды имеют одинаковый период и одинаковую фазу; средний уровень амплитуды волн прямого направления () выше среднего уровня амплитуды волн обратного направления () примерно в три раза.

На рис.2б коэффициент линейного спада для волн прямого направления () больше коэффициента линейного спада волн обратного направления () примерно в три раза; соотношение средних уровней синусоидальных составляющих амплитуд волн прямого и обратного направлений также около трех раз. Для волн прямого направления средний уровень вблизи составляет , амплитуда синусоидальной составляющей - , отношение этих величин равно . Для волн обратного направления средний уровень вблизи составляет , амплитуда синусоидальной составляющей - , отношение этих величин равно . Таким образом, для волн прямого направления в распределении преобладает линейная составляющая, для волн обратного направления - преобладает синусоидальная составляющая.

На рис.2в обе зависимости описываются одной и той же экспонентой, различие состоит только в линейном числовом коэффициенте: для волн обратного направления он составляет от такого же коэффициента для волн прямого направления.

Подобные особенности наблюдаются и для кривых, приведенных на рис.2г,д,е.

Характерна наблюдаемая при сравнении горизонтальных пар рисунков несколько более слабая зависимость распределений от координаты, свойственная правому столбцу (рис.2г,д,е) по сравнения с левым (рис.2а,б,в). При этом различие между амплитудами волн прямого и обратного направлений при экспоненциальном распределении (рис.2е) составляет около восьми раз, при линейно-синусоидальном (рис.2д) достигает тридцати, а при постоянном (рис.2г) стремится к бесконечности. Можно полагать, что такое отличие обусловлено тем, что для левого столбца в формировании распределений участвуют как действительная, так и мнимая обе составляющие волнового числа, тогда как для правого столбца - только одна мнимая, вклад которой меньше.



3. Роль комплексного характера волнового числа

Рассмотрим теперь специфические особенности приведенных зависимостей, обусловленные именно комплексным характером волнового числа.

Явное отличие от случая действительного волнового числа здесь состоит в том, что синусоидальное распределение не является самостоятельным, а накладывается на линейное (особенно хорошо это заметно на рис.2б), образуя распределение линейно-синусоидальное.

Наблюдаемое здесь линейное распределение не является переходным от синусоидального к экспоненциальному, а получается как результат убывания амплитуд волн того и другого направлений при удалении их от точки возбуждения (то есть от слоя №1).

Очевидно, такое убывание является следствием затухания волны по координате, что и описывается мнимой составляющей волнового числа. Когда мнимая составляющая становится достаточно большой, линейно-синусоидальное распределение сменяется экспоненциальным, как это видно из рис.2в и 2е. Однако здесь спадающий характер распределения обусловлен не наличием «полос непропускания» при действительном волновом числе, определяемых интерференцией волн при их многократном переотражении [1], а именно затуханием волны по мере ее распространения по координате.

Это хорошо видно из сравнения рис.2а с рис.2в, где действительная часть волнового числа соответствует области пропускания, а распределение на рис.2в спадает по экспоненте, и особенно из сравнения рис.2г с рис.2д и 2е, где действительная часть волнового числа в переотражении волн вообще не участвует, так как ее значения для барьеров и промежутков между собой равны. Тем не менее, достаточно большая мнимая часть волнового числа и здесь приводит к спаду распределения сначала по линейному закону (рис.2д), а затем по экспоненте (рис.2е).

Таким образом, из проведенного рассмотрения видно, что мнимая часть волнового числа может приводить к таким же видам распределения амплитуд в слоях, что и действительная, однако главная ее роль состоит в уменьшении амплитуд волн по координате по мере удаления от источника возбуждения, которое накладывается на распределения, обусловленные действительной частью волнового числа.

Замечание. В проведенном рассмотрении между синусоидальным и экспоненциальным распределениями выделено линейно-синусоидальное, являющееся как бы наложением синусоидального на линейное. Более подробное исследование показывает, что в некоторых случаях подобное наложение синусоидального распределения возможно и на экспоненциальное. То есть на экспоненциальном распределении проявляются следы синусоидального. Однако такое наложение синусоиды на экспоненту является крайне слабым: в исследованных случаях вариации амплитуды за счет синусоиды не превышали нескольких (не более пяти) процентов от амплитуды экспоненты, поэтому в рамках настоящей работы выделение подобного распределения в отдельный вид экспоненциально-синусоидального не проводилось.

4. Отражающие и пропускающие свойства структуры для одномерной волны

Рассмотрим теперь, какое влияние оказывает затухание волны на отражающие и пропускающие свойства структуры в целом. Как и ранее в качестве наиболее простого примера используем одномерную волну.

Рис.3. Зависимости амплитуд волн обратного в слое №1 (а,б,в) и прямого в слое №16 (г,д,е) направлений от действительной части волнового числа внутри барьера при различных значениях его мнимой части. Волновое число промежутка: . Действительная часть волнового числа барьера: . Мнимая часть волнового числа барьера: а,г - - затухание отсутствует; б,д - - затухание слабое; в,е - - затухание сильное.

Обратимся к рис.3, где показаны зависимости амплитуд волн обратного в слое №1 (а,б,в) и прямого в слое №16 (г,д,е) направлений от действительной части волнового числа внутри барьера при различных значениях его мнимой части (для простоты обозначение «» при действительной части волнового числа опущено).

Рис.3а и 3г соответствуют чисто действительному волновому числу, то есть полному отсутствию затухания. Показанные на них кривые практически тождественны таковым, приведенным в работе [1] на рис.13 и 14, так что представлены здесь для сравнения.

Рис.3б и 3д соответствуют мнимой добавке к волновому числу равной , то есть, как и в предыдущем разделе, сравнительно малому затуханию.

Рис.3в и 3е соответствуют мнимой добавке к волновому числу равной , то есть, как и в предыдущем разделе, затуханию довольно большому.

Из рис.3 видно, что все спектры, на нем представленные, как и в работе [1], имеют дискретную структуру, образованную чередованием областей пропускания и непропускания. При увеличении затухания упомянутые области остаются на своих местах, задаваемых действительной частью волнового числа, то есть их чередующийся характер от величины затухания не зависит.

При увеличении затухания амплитуда волн того и другого направлений в областях пропускания уменьшается, причем на волнах проходящих (рис.3д,е) такое уменьшение проявляется заметнее, чем на волнах отраженных (рис.3б,в). Так во второй области пропускания (обозначенной в [1] как «1S»), то есть при ) амплитуда отраженных волн в слое №1 в отсутствие затухания (рис.3а) (на уровне максимумов тонкой структуры, считая от верхнего края рисунка) равна , а амплитуда подобных волн при большом затухании (на рис.2в) равна , то есть отношение этих амплитуд составляет . Для проходящих волн в этих же условиях (рис.3в,е) амплитуды составляют и , так что их отношение равно . В третьей области пропускания («2S» по [1]), то есть при , амплитуды отраженных волн равны и , а амплитуды проходящих - и , то есть их отношения в этом случае составляют и соответственно, что превышает подобные отношения для второй области в среднем в два раза.

Таким образом, как сказано выше, затухание волн обоих направлений, обусловленное мнимой частью волнового числа, сказывается тем сильнее, чем номер области выше. С физической стороны это происходит из-за того, что увеличение номера области означает укладывание большего числа полуволн на длине одного барьера, в результате чего добротность каждого межбарьерного резонатора падает [12-14] и общее затухание возрастает.

Другой важной особенностью наблюдаемых спектров является тот факт, что на месте исходных областей непропускания (то есть при - область «1Е» по [1] и - область «2Е» по [1]), где в отсутствие затухания волна практически целиком отражается (области экспоненциального распределения амплитуд) при увеличении затухания отражение ухудшается тем более, чем затухание выше (то есть на рис.3б отражение меньше, чем на рис.3а, а на рис.3в - еще меньше).

Можно полагать, что такое ухудшение отражения при увеличении затухания также обусловлено уменьшением добротности межбарьерных резонаторов, в результате чего их отражающие способности снижаются.

Весьма наглядной особенностью наблюдаемых спектров для волн как отраженных (рис.3а,б,в), так и проходящих (рис.3г,д,е) является происходящее по мере увеличения затухания постепенное уменьшение тонкой структуры резонансных линий, соответствующих областям пропускания, вплоть до полного ее исчезновения (рис.3в, 3е). Такое уменьшение расщепления резонансных линий сходно с расщеплением общей резонансной линии системы двух и более связанных резонаторов, уменьшающимся при увеличении затухания [12-14].

Таким образом, из проведенного рассмотрения можно сделать вывод, что при увеличение затухания общая структура спектра, то есть расположение областей пропускания и непропускания по волновому числу в целом не меняется, тогда как прохождение волн и их отражение в соответствующих областях ухудшаются тем сильнее, чем номер области больше, причем тонкое расщепление спектра внутри областей пропускания с увеличением затухания сглаживается.

5. Электромагнитная волна в проводящей среде

Теперь, когда распространение одномерных волн в многослойной структуре с диссипацией в основном рассмотрено, обратимся к более сложному случаю электромагнитных волн.

Для электромагнитной волны главной причиной диссипации является проводимость среды. Общие принципы введения проводимости в расчетный аппарат пошагового алгоритма рассмотрены в работе [2]. Здесь повторим лишь некоторые необходимые далее основные положения.

Диэлектрическая проницаемость в среде с проводимостью принимает вид [15-17]:

, (7)

где - диэлектрическая проницаемость в отсутствие проводимости, являющаяся действительной.

Волновое число, становясь комплексным, приобретает вид:

. (8)

Следуя правилам извлечения квадратного корня из комплексного числа [18], получаем:

, (9)

где:

; (10)

. (11)

В таком виде волновое число входит в показатели экспонент в выражениях, получающихся в ходе реализации пошагового алгоритма.

Адмиттанс в проводящей среде также становится комплексным:

, (12)

где:

; (13)

. (14)

В таком виде адмиттансы входят в линейные суммы выражений, получающихся в ходе реализации пошагового алгоритма.

Для практики представляет большое значение случай высокой проводимости, какой например, обладают металлы. При этом форма выражений (10)-(11) и (13)-(14) определяется величиной последнего слагаемого под внутренним корнем по сравнению с единицей. Так при выполнении условия:

, (15)

что может иметь место при высокой проводимости или низкой частоте, действительная и мнимая компоненты волнового числа и , а также адмиттанса и , становятся попарно равными друг другу, приобретая вид:

; (16)

. (17)

Можно видеть, что в обоих случаях зависимость от проводимости имеет корневой характер.

Замечание. В рассматриваемой здесь задаче о диссипации магнитные свойства вещества не учитываются, то есть магнитная проницаемость, входящая в выражения (8)-(17), полагается равной единице. В работе [3] при рассмотрении магнитной проницаемости в тензорном виде, был сделан вывод об отсутствии диссипации для структуры в целом, несмотря на учет затухания в магнитной среде с помощью механизма Гильберта [8-11]. Такой результат получен из-за предположения о действительности компонент тензора магнитной проницаемости, представленных в работе [3] в виде формул (108)-(109). В этом случае как волновое число, так и адмиттанс остаются действительными, что и проявляется как отсутствие диссипации, несмотря на наличие гильбертова затухания.

Для последовательного учета диссипации, обусловленной гильбертовым механизмом, надо учитывать комплексный вид компонент магнитной проницаемости, описываемый в работе [3] формулами (103)-(104). При этом приведенные здесь компоненты волнового числа (10)-(11) и адмиттанса (13)-(14) приобретают более сложный вид, требующий отдельного рассмотрения, выходящего за рамки настоящей работы.

6. Волновое число и адмиттанс в присутствии проводимости

Согласно методу пошагового алгоритма, амплитуды волн в слоях определяются значениями волнового числа и адмиттанса. Рассмотрим, что происходит с этими параметрами при изменении проводимости, для чего обратимся к рис.4, где показаны зависимости диэлектрической проницаемости (а), волнового числа (б) и адмиттанса (в) от проводимости.

При построении рисунка частота была выбрана равной из того соображения, что такой диапазон СВЧ является рабочим для широкого класса устройств на ферритах [8-10,19-21], на метаматериалах [22], а также используется в спин-волновой электронике [23].

На рисунке сплошными линиями показаны действительные части соответствующих величин, пунктирными - мнимые их части.

Интервал рассмотренных значений проводимости выбран таким образом, чтобы действительные и мнимые части различались друг от друга заметным образом. Этим условием можно определить критическое значение проводимости:

. (18)

При неравенство (15) резко не выполняется, то есть среда ведет себя преимущественно, как диэлектрик.

При неравенство (15) выполняется, то есть среда ведет себя, как металл.

Случай соответствует полупроводящей среде.

Можно видеть, что это критическое значение соответствует критерию перехода между диэлектриком и металлом, введенному в работе [24, форм.(27)]:

, (19)

который переходит в (18) при .

Рис.4. Зависимости диэлектрической проницаемости (а), волнового числа (б) и адмиттанса (в) от проводимости. Сплошные линии - действительные части соответствующих величин, пунктирные - мнимые их части.

Частота: . Параметры среды: , .

В рассматриваемом здесь случае, полагая , , , получаем: . Именно такая величина на рисунке лежит в левой части исследуемого диапазона.

Видно, что левее этого значения проводимости действительные величины диэлектрической проницаемости (рис.4а) и особенно волнового числа (рис.4б) и адмиттанса (рис.4в) заметно превышают их мнимые части, то есть среду можно считать по преимуществу диэлектрической с некоторой проводимостью, то есть как бы «плохим полупроводником».

Правее этого значения мнимые части становятся заметными, после чего начинают преобладать над действительными, в результате чего действительная и мнимая ветви для волнового числа (рис.4б) и адмиттанса (рис.4в) сближаются («хороший полупроводник»). Далее (за правым краем рисунка) мнимая часть еще более сближается с действительной, причем зависимость от проводимости приобретает корневой характер в соответствии с выражениями (16)-(17) («металл»).

Для определенности на рисунке проведены вертикальные точечные линии через те значения проводимости, где действительные части исследуемых параметров превышают мнимые в два раза. Для диэлектрической проницаемости (рис.4а) это соответствует проводимости (левая точечная линия). Для волнового числа (рис.4б) и адмиттанса (рис.4в) - проводимости (правая точечная линия, как следует из (10)-(11) и (13)-(14), для обоих параметров совпадает). Соответствующие значения действительных частей исследуемых параметров показаны стрелками.

Можно видеть, что критическая величина проводимости находится вблизи от середины между этими значениями.

Хотя видно, что диэлектрическая проницаемость (рис.4а) более чувствительна к величине проводимости, чем волновое число (рис.4б) и адмиттанс (рис.4в), однако в ходе пошагового алгоритма фигурируют именно эти два последних параметра, то есть можно полагать, что проводимость должна существенно сказываться на распределении амплитуд волн в слоях начиная именно с приведенного критического значения.

7. Характер проникновения волны в металл

Из (18) можно видеть, что при увеличении частоты критическое значение проводимости также увеличивается. То есть, казалось бы, на более высоких частотах диэлектрические свойства среды относительно законов распространения волны проявляются до более высоких значений проводимости.

Однако, благодаря мнимой составляющей волнового числа (11), образующейся за счет проводимости, амплитуда волны по мере распространения в среде уменьшается. Так в соответствии в классическим критерием убывания амплитуды в раз, то есть полагая , из (16) получаем «глубину проникновения» волны в металл, обусловленную скин-эффектом:

, (20)

совпадающую с классикой [15-17,25,26].

Таким образом, при увеличении частоты, хотя действительная часть адмиттанса относительно мнимой еще может оставаться достаточно высокой, но амплитуда волны в среде настолько резко затухает, что волна сохраняет способность проникать через слой тем меньшей толщины, чем проводимость больше.

Интересно проверить соотношение частоты, соответствующей критической проводимости, с глубиной проникновения волны реальный металл. Так, разрешая (20) относительно частоты:

(21)

и подставляя типичное значение для металла значение проводимости [24,27], получаем: . Такая частота соответствует длине волны , которая приближается к границе ультрафиолетового и рентгеновского диапазонов. При такой частоте, согласно (20) (при ), глубина проникновения равна: . То есть в реальном металле на частоте, соответствующей критической проводимости, волна затухает по амплитуде почти в три раза на расстоянии меньшем четверти ее длины, так что распространение волны является полностью апериодическим.

8. Распределение амплитуд для электромагнитной волны

Теперь, после того как основные закономерности распространения волн в периодической структуре с диссипацией на примере одномерной волны рассмотрены, обратимся к более сложному случаю электромагнитной волны.

Здесь, в отличие от одномерной волны, определяющим параметром является не волновое число, а частота, задаваемая источником возбуждения. Геометрию задачи будем полагать той же самой (рис.1). В качестве возбуждения будем считать амплитуду электрического поля волны прямого направления в слое №1, то есть , на которую будем нормировать поля во всех остальных слоях. Источником диссипации волны полагаем электрическую проводимость материала каждого слоя.

В качестве инструмента расчета будем пользоваться пошаговым алгоритмом, вариант которого для электромагнитной волны описан в работе [2], причем для получения волнового числа и адмиттанса в среде с проводимостью используем выражения (10)-(11) и (12)-(13).

Основные результаты иллюстрируются рис.5, где показаны распределения нормированных амплитуд волн прямого (сплошные линии и сплошные точки) и обратного (пунктирные линии и открытые точки) направлений от координаты при различных значениях проводимости.

Рис.5. Распределение нормированных амплитуд волн прямого (сплошные линии и сплошные точки) и обратного (пунктирные линии и открытые точки) направлений от координаты при различных значениях проводимости.

распределение диссипативный электромагнитный многослойный

Критическое значение проводимости: . Частота - . Параметры: везде , в промежутке: , . Внутри барьера: а,б,в - , г,д,е - . Проводимость барьера:

а - ; б - ; в - ; г - ; д - ; е - .

При построении рисунка значения диэлектрической проницаемости барьеров были подобраны таким образом, чтобы в случаях а,б,в она значительно (в раз) превышала таковую для промежутка , тогда как в случаях г,д,е обе проницаемости равнялись друг другу: .

При этом проводимости в случаях а,б,в и г,д,е нарастали от нуля в случаях а,г до превышения над критической проводимостью в и раза в случаях в и е соответственно.

Различные значения превышения для левого ( раз) и правого ( раза) столбцов на рис.5 были выбраны для обеспечения большей наглядности рисунка, исходя из максимально возможного соответствия характера распределений случаю одномерной волны. В то же время, для близкого характера изменений распределения амплитуд между столбцами в случае правого столбца требовалось меньшее значение проводимости, чем для левого из-за того, что в левом столбце проводимость барьера действовала на фоне довольно высокой диэлектрической проницаемости, тогда как в правом - на нулевом фоне по сравнению с промежутком.

Для построения непрерывных кривых на рис.5 использовались следующие эмпирические формулы (с точностью до постоянной составляющей и сдвига фазы):

а - ;

; (22)

б - ;

(23)

в - ;

; (24)

г - ;

; (25)

д - ;

; (26)

е - ;

. (27)

Распределение, приведенное на рис.5а, соответствует отсутствию проводимости барьера и показано здесь для сравнения.

Распределения, приведенные на рис.5б,д и 5в,е, соответствуют относительно малой (б,д) и сравнительно большой (в,е) проводимостям барьера.

Распределение, приведенное на рис.5г, соответствует точному равенству диэлектрической и магнитной проницаемостей барьера и промежутка при нулевой проводимости обоих. То есть неоднородность структуры в целом отсутствует и волна, не испытывая отражения, полностью проходит насквозь.

Распределения, приведенные на рис.5б и 5в соответствуют малой (б) и большой (в) проводимостям барьера на фоне относительно большой диэлектрической проницаемости барьера в сравнении с таковой для промежутка.

Распределения, приведенные на рис.5д и 5е соответствуют малой (д) и большой (е) проводимостям барьера на фоне равенства диэлектрических проницаемостей барьера и промежутка.

Из рис.2 можно видеть, что в рассматриваемом случае отличной от нуля проводимости наблюдаются те же основные виды распределений, что и при ее отсутствии [1,2], а также для случая одномерной волны, рассмотренном здесь в разделе №2.

Более точно наблюдаемые распределения можно классифицировать следующим образом:

а - синусоидальное;

б - линейное с добавкой синусоидального, называемое далее линейно-синусоидальным;

в - экспоненциальное;

г - постоянное;

д - для волн прямого направления - практически линейное с незначительной (около от максимума) добавкой синусоидального, для волн обратного направления - синусоидальное с большой амплитудой и незначительной (около тех же ) добавкой линейного;

е - экспоненциальное для волн обоих направлений.

Отметим некоторые особенности, следующие из общего вида приведенных кривых.

На рис.5а обе синусоиды имеют одинаковый период и одинаковую фазу; средний уровень амплитуды волн прямого направления () выше среднего уровня амплитуды волн обратного направления () почти в два раза.

На рис.5б коэффициент линейного спада для волн прямого направления () больше коэффициента линейного спада волн обратного направления () примерно в четыре раза. Соотношение средних уровней синусоидальных составляющих амплитуд волн прямого () и обратного () направлений - обратное по сравнению с таковым на рис.5а и составляет около двух раз.

Для волн прямого направления средний уровень вблизи составляет , амплитуда синусоидальной составляющей - , отношение этих величин - около раз. Для волн обратного направления средний уровень вблизи составляет , амплитуда синусоидальной составляющей - , отношение этих величин близко к .

Таким образом, для волн прямого направления в распределении преобладает линейная составляющая, для волн обратного направления - преобладает синусоидальная составляющая, хотя здесь такое преобладание выражено значительно слабее, чем для одномерной волны: там в раз, здесь - всего в раза.

Такое различие, по-видимому, вызвано большим различием диэлектрических проницаемостей барьера и промежутка здесь, чем в случае одномерной волны для волновых чисел. Так в пересчете на волновое число здесь различие составляет раз, тогда как для одномерной волны: . Хотя, по такому пересчету отношение здесь составляет всего , что мало отличается от единицы, можно полагать, что электромагнитная волна более чувствительна к изменению проводимости, чем одномерная к изменению волнового числа.

Возможной причиной такой более высокой чувствительности может быть то обстоятельство, что в формировании волнового возмущения в электромагнитной волне участвуют два поля - электрическое и магнитное, тогда как в одномерной волне всего одно - смещение по координате, то есть электромагнитная волна по эффективности связана со средой распространения как бы сильнее, чем одномерная.

На рис.5в обе зависимости описываются одной и той же экспонентой, различие состоит только в линейном числовом коэффициенте: для волн обратного направления он составляет от такого же коэффициента для волн прямого направления. Как видим, здесь этот коэффициент превышает таковой для одномерной волны () более чем в три раза, что может быть вызвано той же причиной.

Подобные особенности наблюдаются и для кривых, приведенных на рис.5г,д,е.

Характерна наблюдаемая при сравнении горизонтальных пар рисунков несколько более слабая зависимость распределений от координаты, свойственная первым двум эпюрам правого столбца (рис.5г,д) по сравнения с таковыми для левого (рис.5а,б).

Однако здесь, в отличие от случая одномерной волны, такая «слабость» выражена значительно меньше. Так здесь отношение средних уровней для волн прямого и обратного направлений на рис.5б составляет , а на рис.5д - , то есть увеличивается примерно в три раза. Для одномерных же волн, как можно видеть из рис.2б, 2д, подобные же цифры равны и , то есть отношение увеличивается всего в полтора раза.

То есть здесь наблюдается то же увеличение «чувствительности» электромагнитных волн к диссипации по сравнению с одномерными, обусловленное той же причиной.

На рис.5в и 5е экспоненты в обоих случаях почти не отличаются, что говорит о преобладании роли проводимости над диэлектрической проницаемостью при экспоненциальном распределении.

Здесь опять проявляется сильно выраженное повышение «чувствительности» электромагнитной волны к диссипации над одномерной волной. Так отношение начальных амплитуд на рис.2в и 2е равно и соответственно, что дает соотношение в раз, тогда как для электромагнитной волны, как видно из рис.5в и 5е эти же цифры составляют и , а их отношение - всего раз, то есть более чем вдвое меньше.

Таким образом, несмотря на то, что в формировании распределений в левом столбце рис.5 участвует наряду с проводимостью также и диэлектрическая проницаемость, тогда как в формировании распределений правого столбца только проводимость, влияние проводимости для электромагнитной волны значительно преобладает над влиянием диэлектрической проницаемости, в отличие от случая одномерной волны, где такое соотношение является обратным.

9. Сочетание различных видов распределений

Отметим еще одну характерно выраженную особенность приведенных зависимостей, явно параллельную подобной особенности для одномерной волны.

Так отличие от случая отсутствия проводимости здесь состоит в том, что синусоидальное распределение не является самостоятельным, а накладывается на линейное (особенно хорошо это заметно на рис.5в, а также частично на рис.5д), образуя распределение линейно-синусоидальное.

Наблюдаемое здесь линейное распределение не является переходным от синусоидального к экспоненциальному, а получается как результат убывания амплитуд волн того и другого направлений при удалении их от точки возбуждения (то есть от слоя №1). Очевидно, такое убывание является следствием затухания волны по координате, что описывается мнимой составляющей диэлектрической проницаемости, обеспечиваемой проводимостью (7).

Когда мнимая составляющая диэлектрической проницаемости (7) становится достаточно большой, линейно-синусоидальное распределение сменяется экспоненциальным, как это видно из рис.5в и 5е. Однако здесь спадающий характер распределения обусловлен не наличием «полос непропускания» в отсутствие проводимости, определяемых интерференцией волн при их многократном переотражении [2], а именно затуханием волны по мере ее распространения по координате. Это хорошо видно из сравнения рис.5а с рис.5в, где действительная диэлектрическая проницаемость соответствует области пропускания, тогда как распределение на рис.5в спадает по экспоненте. То же следует из сравнения рис.5г с рис.5д и 5е, где действительная часть диэлектрической проницаемости в переотражении волн вообще не участвует, так как ее значения для барьеров и промежутков между собой равны. Тем не менее, обеспечиваемая проводимостью достаточно большая мнимая составляющая проницаемости и здесь приводит к спаду распределения сначала по линейному закону (рис.5д), а затем по экспоненте (рис.5е).

Таким образом, из проведенного рассмотрения видно, что проводимость, обеспечивая мнимую добавку к действительной диэлектрической проницаемости, может приводить к таким же видам распределения амплитуд в слоях, что и действительная диэлектрическая проницаемость, однако главная ее роль состоит в уменьшении амплитуд волн по координате по мере удаления от источника возбуждения, которое накладывается на распределения, обусловленные действительной диэлектрической проницаемостью.

При этом влияние проводимости на диссипативные свойства электромагнитной волны сказывается значительно (более чем в два-три раза) сильнее, чем влияние мнимой части волнового числа на те же свойства для одномерной волны, причиной чего может явиться участие в формировании распределений амплитуд одновременно обоих полей волны - электрического и магнитного, что приводит к повышению эффективности связи волны со средой распространения.



10. Сравнение эффективности диссипации

В предыдущем разделе был сделан вывод о том, что влияние проводимости на диссипацию электромагнитной волны сказывается значительно (более чем в два-три раза) сильнее, чем влияние мнимой части волнового числа на то же свойство для одномерной волны. Однако параметры, использованные при построении распределений на рис.5, будучи выбранными из условия сходства характера распределений случаю одномерной волны, не были эквивалентны подобным параметрам, принятым при построении рис.2. Такое обстоятельство не позволило сравнить диссипативные свойства этих случаев в достаточной полноте.

Для сравнения эффективности механизмов диссипации для одномерной и электромагнитной волны зададим диэлектрическую проницаемость и проводимость таким образом, чтобы волновые числа барьера и промежутка были пропорциональны таковым для одномерной волны.

Так для одномерной волны при построении рис.2в были приняты следующие параметры:

волновое число промежутка: ,

волновое число барьера: .

При построении рис.2е те же параметры равнялись:

волновое число промежутка: ,

волновое число барьера: .

Потребуем выполнения условий пропорциональности действительных и мнимых частей волновых чисел:

; (28)

, (29)

где индексами «» и «» отмечены волновые числа для одномерной и электромагнитной волны соответственно.

Из условий (28)-(29) находим:

; (30)

. (31)

Для электромагнитной волны в промежутке воспользуемся определением волнового числа:

, (32)

из которого при частоте и , , получаем:

. (33)

Согласно (30)-(31), получаем волновое число для электромагнитной волны внутри барьера при отличной от единицы диэлектрической проницаемости:

. (34)



При этом, в соответствии с (32), действительная часть диэлектрической проницаемости равна: . В случае вместо (34) получаем:

. (35)

Для нахождения значения проводимости, требуемой для обеспечения мнимой части волнового числа для электромагнитной волны внутри барьера , разрешим (11) относительно проводимости:

. (36)

Подставляя в эту формулу , получаем: . При соответственно получаем: .

Рассмотрим теперь рис.6, где показаны распределения нормированных амплитуд волн прямого (сплошные линии и сплошные точки) и обратного (пунктирные линии и открытые точки) направлений от координаты при различных значениях проводимости.

Рис.6. Распределение нормированных амплитуд волн прямого (сплошные линии и сплошные точки) и обратного (пунктирные линии и открытые точки) направлений от координаты при различных значениях проводимости.

а,в - одномерная волна, параметры - те же, что на рис.2в, 2е.

б,г - электромагнитная волна. Частота - .

Параметры: везде , в промежутке: , .

б - , ;

г - , .

Волновые числа, соответствующие распределениям, приведенным на рис.6:

а - , ;

б - ,

;

в - , ;

г - ,

.

Верхний ряд эпюр (а,в) соответствует одномерной волне, нижний (б,г) - электромагнитной. Параметры структуры, в которой распространяется электромагнитная волна, подобраны таким образом, чтобы волновые числа в промежутках и барьерах были пропорциональны волновым числам для одномерной волны (то есть - в соответствии со значениями, приведенными выше).

Из сопоставления верхнего и нижнего рядов рисунков видно, что при одинаковом соотношении действительных и мнимых частей волнового числа для одномерной волны (а,в) распределения становятся экспоненциальными, тогда как для электромагнитной волны (б,г) сохраняется преобладающая синусоидальная составляющая. При этом, когда действительная компонента волнового числа барьера отличается от таковой для промежутка (а,б), такое преобладание выражено сильнее, чем в случае, когда эти компоненты равны (в,г).

То есть при установлении эквивалентности параметров структур по волновым числам, влияние проводимости на затухание волны проявляется слабее, чем такое же влияние за счет мнимой составляющей волнового числа.

Этот вывод находится в определенном противоречии со сделанным в предыдущем разделе. Однако надо учесть, что здесь для установления пропорциональности между волновыми числами проводимость для рис.6б положена равной , тогда как для рис.6г - ее пришлось уменьшать до величины , то есть более чем в два раза (точнее - в раза). Такое уменьшение проводимости соответственно уменьшило ее влияние на затухание волны, что и привело к сохранению синусоидальной составляющей на рис.6б и 6г.

То есть, можно полагать, что сделанный в предыдущем разделе вывод о более высокой эффективности взаимодействия электромагнитной волны со средой по сравнению с таковой для одномерной волны обусловлен принятием там более высокого значения проводимости, что было сделано, исходя из требования сходного характера распределений в правом и левом столбцах рис.2.

Замечание. Сделанный здесь вывод является по сути дела качественным, имеющим силу при принятых параметрах задачи. Для более корректного ответа на вопрос об эффективности взаимодействия волны со средой, по-видимому, должен быть введен какой-то параметр взаимодействия, величина которого была бы критерием такой эффективности. В основу определения такого параметра можно положить или волновое число, как это сделано здесь, или сходство характеров распределений при заданном различии диэлектрических проницаемостей барьеров и промежутков, как это сделано в предыдущем разделе. По-видимому, возможны и другие варианты, однако на данном этапе задача получения такого параметра выходит за рамки настоящей работы.

11. Отражающие и пропускающие свойства структуры для электромагнитной волны

Рассмотрим теперь, какое влияние оказывает проводимость на отражающие и пропускающие свойства структуры относительно электромагнитной волны.

Предварительное исследование показало, что частотная зависимость отражающих и пропускающих свойств структуры относительно электромагнитной волны во многом подобна зависимости от волнового числа для одномерной волны, рассмотренной в разделе №4. То есть и здесь спектр имеет дискретную структуру, образованную чередованием областей пропускания и непропускания. При увеличении затухания области пропускания-непропускания остаются на своих местах, задаваемых действительной частью волнового числа, то есть их чередующийся характер от величины затухания не зависит.

Однако в отличие от случая одномерной волны здесь затухание волн обоих направлений, обусловленное проводимостью, не приводит к сильному уменьшению амплитуды волн при увеличении частоты. То есть, в более высокочастотных областях пропускания и непропускания амплитуда распространяющихся волн сохраняется на такой же величине, какой она была в низкочастотных. В ходе настоящей работы такое свойство было проверено вплоть до пятой-седьмой областей непропускания, то есть при принятых параметрах (, , , , ) на частотах до .

С другой стороны, дискретный характер структуры каждой области, заметнее проявляющийся при , при повышении частоты от до несколько сглаживается: амплитуда изрезанности областей падает в полтора-два раза, что аналогично подобному свойству для одномерной волны.

В то же время, для электромагнитной волны наблюдается ряд особенностей, заметно отличающих ее свойства от таковых для одномерной волны, на более подробном рассмотрении которых здесь и остановимся.

Обратимся к рис.7, где на примере одной области показаны зависимости нормированных амплитуд волн обратного в слое №1 (а,б,в) и прямого в слое №16 (г,д,е) направлений от частоты возбуждения при различных значениях проводимости.

Рис.7. Зависимости нормированных амплитуд волн обратного в слое №1 (а,б,в) и прямого в слое №16 (г,д,е) направлений от частоты возбуждения при различных значениях проводимости относительно критического значения .

а,в - ; б,д - ; в,е - .

Параметры: , , , .

Приведенный частотный интервал соответствует первой области непропускания, края которой отмечены парными вертикальными пунктирными линиями. Эти края по уровню отражения соответствуют частотам и , а середина приходится на частоту . В работе [2, форм.(66)] для расчета центральной частоты первой области непропускания получена формула:



. (37)

Подставляя приведенные здесь значения, получаем частоту , что несколько ниже наблюдаемой величины. Подобное занижение в ряде случаев отмечалось в той же работе [2], для компенсации чего были введены поправочные коэффициенты, для случаев слабой и сильной неоднородности равные и . С помощью этих коэффициентов получаем частоты и , первая из которых ниже наблюдаемой, а вторая - выше. Для рассматриваемого здесь случая наиболее подходит коэффициент , занимающий как раз промежуточное значение между приведенными в работе [2]. Таким образом, с учетом этого коэффициента можно считать согласие приведенной формулы с полученным расчетным значением вполне удовлетворительным.

В той же работе [2] показано, что первая область непропускания по резонансным свойствам подобна электродинамическому резонатору длиной с диэлектрической проницаемостью равной средней величине между проницаемостями барьера и промежутка, то есть .

При построении приведенных на рис.7 зависимостей использовались значения , , то есть усредненное значение равно . Подставляя это значение и частоту середины области непропускания в формулу (18), получаем критическое значение проводимости .

Как можно видеть из рис.4, при таком критическом значении действительные части волнового числа и адмиттанса превышают мнимые несколько более чем в два раза (точнее - в раза). То есть можно ожидать, что при решающую роль в формировании области непропускания играют еще действительные части волнового числа и адмиттанса, а начиная с роль мнимых частей становится значительной.

В соответствии с этим при построении зависимостей на рис.7 были приняты следующие значения проводимости: для рис.7б,д - , что значительно меньше , а для рис.7в,е - , что как раз равно . Зависимости на рис.7а,г соответствуют отсутствию проводимости и приведены здесь для сравнения.

Из рис.7а,г видно, что в отсутствие проводимости внутри области непропускания амплитуда от частоты не зависит, тогда как по обе стороны от краев области амплитуда имеет осциллирующий характер. Подобная структура области, представляющая собой большой центральный лепесток, сопровождаемый по сторонам лепестками-сателлитами спадающей амплитуды, отмечалась в работах [1] для одномерной волны и [2] для электромагнитной волны, то есть, как и там, обусловлена интерференционными явлениями при многократном переотражении волн обоих направлений.

...