Пространственное распределение амплитуд внешних и внутренних волн в ограниченной многослойной структуре с периодической неоднородностью. Волна в диссипативной среде

При увеличении проводимости до уровня (рис.7б,д) дискретный характер сателлитов сглаживается, амплитуда их размаха падает в раз и более, что обусловлено частичным затуханием интерферирующих волн за счет проводимости.

При увеличении проводимости до , то есть до критического значения (рис.7в,е), сателлиты совсем пропадают, а на их месте появляются плавные участки отражения (рис.7в) или прохождения (рис.7е). Уровни отражения при этом примерно соответствуют среднему уровню в отсутствие проводимости (около ), тогда как для прохождения, особенно ниже основного лепестка, снижаются в несколько раз (с до ). Такое сохранение уровня для отраженной волны в сочетании с его падением для волны проходящей, по-видимому, обусловлено тем, что в отражении волны в слой №1, откуда происходит возбуждение, решающую роль играют слои, наиболее близкие к этому первому слою, где волна еще не успевает затухнуть в значительной степени. Падение уровня проходящей волны в слое №16 происходит из-за того, что волна до попадания в этот слой должна пройти через множество промежуточных слоев, в каждом из которых она частично затухает. То есть в формировании волны в последнем слое участвуют все промежуточные слои структуры, каждый из которых, внося свой вклад в общее затухание, приводит к совокупному значительному уменьшению амплитуды проходящей волны.

12. Диссипативный резонанс

Важной особенностью наблюдаемых на рис.7 амплитудно-частотных характеристик отражения и прохождения является наличие резкого выброса амплитуды вверх на высокочастотном конце области (между двумя правыми по рисунку пунктирными линиями). Максимум наблюдаемого пика соответствует частоте , а края на половине высоты приходятся на частоты и , то есть ширина составляет . По уровню от максимума края приходятся на частоты и откуда получаем ширину , что соответствует добротности резонансной системы .

С другой стороны, амплитуда пика при увеличении проводимости также увеличивается. Так для отражения при проводимости (рис.7б) его максимум составляет , а при проводимости (рис.7в) уже достигает Такой же рост амплитуды пика наблюдается и для прохождения (с на рис.7д при до на рис.7е при ).

Таким образом, наблюдаемый пик во-первых связан с геометрическими размерами структуры, о чем говорит его расположение точно на высокочастотном краю области непропускания, и во вторых - обусловлен именно проводимостью определенных слоев, о чем говорит его рост при увеличении проводимости. То есть по характеру частотной зависимости и обусловленности проводимостью его можно назвать «диссипативным резонансом».

13. Аномалия баланса потоков энергии

Другой важной особенностью приведенных амплитудно-частотных зависимостей является наблюдаемое на рис.7б и 7в превышение амплитуды отраженной волны над амплитудой возбуждающей. Такое превышение наблюдается при проводимости (рис.7б) в интервале частот от до , а при проводимости (рис.7в) происходит в еще более широком диапазоне частот от до , захватывая также диссипативный резонанс.

С физической стороны превышение амплитуды отраженной волны над амплитудой падающей означает увеличение потока энергии отраженной волны по сравнению с потоком энергии падающей, что находится в определенном противоречии с законом сохранения энергии.

Такое обстоятельство в диссипативных средах, в том числе обладающих проводимостью, вообще говоря, более или менее известно. Так в классической монографии [28] не только обозначается такая проблема, но и упоминается многолетняя дискуссия на эту тему. Неоднократно отмечено, что превышение суммарного потока энергии волн, выходящих из структуры - отраженной и проходящей над потоком энергии падающей волны имеет место при прохождении волны из диссипативной среды в бездиссипативную [29-34].

Для преодоления такого противоречия предложен ряд приемов, в том числе введение «фиктивного» слоя [32], учет неоднородности электромагнитных волн вблизи границы раздела сред [31], привлечение для выполнения баланса энергии понятия интерференционного потока [33,34], введение нового специального вида определения энергетического коэффициента прохождения волны [30], опять же на основе интерференционного потока.

В работе [35] для выполнения баланса энергии в случае одномерной волны для структуры из трех диссипативных сред, разделенных двумя границами, предложено использовать кроме потоков энергии отраженного и проходящего, также поток локализованный, содержащий активную и реактивную части. Такая модель обеспечивает выполнение баланса энергии в случае представления распространяющихся волн в комплексном виде. Некоторое расширение этой модели в том числе для электромагнитных волн и магнитных сред, выполнено в работах [36-41]. Однако общая задача о балансах энергии волн, распространяющихся в многослойной структуре, требует более подробного рассмотрения, выходящего за рамки настоящей работы. Можно полагать, что, как и в работах [35-41], к определенному успеху приведет использование комплексных потоков энергии с учетом локализации активной и реактивной составляющих в промежуточных слоях такой структуры.

Замечание. Появление дополнительного резонанса, обусловленного диссипативными свойствами структуры, вообще говоря, является несколько неожиданным. Для проверки возможности существования такого резонанса было выполнено контрольное исследование распространения электромагнитной волны в многослойной структуре, все слои которой обладают одинаковой диэлектрической и магнитной проницаемостями, но чередующейся от слоя к слою проводимостью. Было получено, что диссипативный резонанс имеет место и в этом случае, причем его амплитуда с увеличением проводимости увеличивается, но не монотонно, а переменным образом, при некоторых значениях проводимости достигая весьма больших величин, а при других падая до малых. Так при равенстве проводимости критическому значению амплитуда диссипативного резонанса достигала по проходящей волне и по отраженной, при проводимости амплитуды возрастали до и соответственно, а при снова падали до и При этом частота диссипативного резонанса при составляла , а при линия раздваивалась на две при частотах и . Вообще говоря, по-видимому, природа диссипативного резонанса - та же, что и природа превышения потоков энергии выходящих волн над входящими. В пользу этого говорит единый непрерывный характер частотных зависимостей, при которых диссипативный резонанс является как бы продолжением частотной характеристики внутри области непропускания. Однако вопрос в целом представляется довольно сложным и требует отдельного рассмотрения.

14. Особенности случая металлической проводимости

Проведенное в предыдущих разделах рассмотрение для электромагнитной волны выполнено в условиях, сходных с таковыми для одномерной волны. То есть проводимость выбиралась такой, чтобы порядок величин действительной и мнимой частей волнового числа был близким. Это было сделано для того, чтобы, во-первых, рассмотреть возможные варианты соотношений величин действительной и мнимой частей, и во-вторых, результаты, получаемые для электромагнитной волны удобно было бы сравнивать с таковыми для одномерной волны. При этом проводимость составляла не более нескольких единиц , что соответствует полупроводниковым материалам [24,27]. Однако при этом оставался за пределами рассмотрения широкий класс материалов с более высокой проводимостью, каковой обладают металлы. Так для металлов типичное значение проводимости составляет порядка и даже несколько более [24,27,42,43]. То же касается проводимости некоторых композиционных сред, в том числе содержащих металлические гранулы в диэлектрической матрице [44-48]. Поэтому в рамках данной работы представляет интерес рассмотрение периодических структур, барьеры которых обладают именно металлической проводимостью, что и сделано далее.

15. Распределение амплитуд при металлической проводимости

В случае металлической проводимости, как это видно из разделов №5-6, мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости (7) значительно (на несколько порядков) превышает действительную, а мнимые части волнового числа (11) и адмиттанса (14) приближаются к действительным частям тех же величин. При этом на рассматривавшихся выше частотах СВЧ диапазона () глубина проникновения поля волны в металл (20) становится на несколько порядков меньше принятой в том рассмотрении не только полной длины структуры (), но и толщины одиночного барьера (). В такой ситуации является очевидным тот факт, что волна не только не проходит через структуру, но и отражается практически целиком на толщине одного барьера, то есть распределение амплитуд волн с слоях структуры становится экспоненциальным с весьма высоким показателем. Поэтому для выявления разнообразия распределений имеет смысл рассмотрение таких структур, где толщина барьера имеет тот же порядок, или менее, чем глубина проникновения, то есть в рассматриваемом диапазоне частот и проводимостей составляет единицы микрометров.

Для такого рассмотрения обратимся к рис.8, где показаны распределения нормированных амплитуд волн прямого и обратного направлений от координаты в случае металлической проводимости при различных значениях толщины барьера. Частота выбрана равной . При проводимости барьера и остальных типичных параметрах (, , ) глубина проникновения, согласно (20), составляет . Исходя из условия не очень большого затухания волны на толщине барьера (не более чем в раз), толщины барьеров выбраны в интервале от (рис.8а) до (рис.8г). При этом, учитывая, равенство толщин барьера и промежутка (), полная длина структуры , содержащей слоев (рис.1), получается равной от (рис.8а) до (рис.8г), с промежуточными значениями (рис.8б) и (рис.8в) при толщинах барьеров и соответственно.

Для показанных на рис.8 распределений построение непрерывных кривых осуществлялось с помощью следующих эмпирических формул (с точностью до постоянной составляющей и сдвига фазы):

а - ; (38)

б - ; (39)

в - ; (40)

г - (41)

В ходе построения рис.8 было выявлено, что при принятых параметрах частоты и проводимости амплитуды волн прямого и обратного направлений в каждом отдельном слое совпадают друг с другом с точностью Поэтому в приведении отдельных данных для каждого из направлений в принятом масштабе рисунка не было необходимости. Таким образом, показанные на рис.8 уровни амплитуд относятся к волнам как прямого, так и обратного направлений в равной степени.

Рис.8. Распределение нормированных амплитуд волн прямого и обратного направлений (совпадают) от координаты в случае металлической проводимости при различных значениях толщины барьера. Частота - .

Толщина барьеров: а - ; б - ; в - ; г - .

Параметры: , , , .

Из рис.8 видно, что при металлической проводимости в выбранном диапазоне толщин совокупность наблюдаемых распределений, в общем подобна таковой для случая полупроводящей среды (раздел №8).

Так распределение на рис.8а, соответствующее структуре, для которой глубина проникновения превышает толщину барьера на порядок, согласно принятой в разделе №2 терминологии, является постоянным.

Распределение на рис.8б, где глубина проникновения превышает толщину барьера в пять раз, является синусоидальным, однако, благодаря тому, что период его составляет , то есть более чем вдвое превышает длину структуры (), его можно считать уже полусинусоидальным [1], то есть переходным от синусоидального к линейному.

Распределение на рис.8в, где глубина проникновения превышает толщину барьера всего в раз, представляет собой сумму экспоненциального и линейного, хотя линейный его характер еще выражен более явно, чем экспоненциальный. Так отклонение от прямой, проведенной через точки 7-16 слоев для слоя №1, где оно максимально, не превышает . Следы же синусоиды в этом случае уже отсутствуют.

Распределение на рис.8г, где глубина проникновения равняется толщине барьера (с точностью более ), является ярко выраженным экспоненциальным, без заметного вклада линейного и тем более синусоидального.

Таким образом, можно сделать вывод, что в формировании распределений, отличных от чисто экспоненциального (рис.8а-в), необходимым условием является превышение глубины проникновения над толщиной барьера в полтора-два и более раз. Заметим, что это относится именно к толщине барьера, но не к структуре в целом, длина которой может более чем на порядок превышать глубину проникновения (в рассматриваемых примерах - до раз).

Укажем дополнительно, что во всех рассмотренных случаях достаточно большая (сравнимая с единицей) амплитуда волн имеет место только внутри промежутков (нечетные слои), тогда как внутри барьеров величины полей значительно меньше и составляют порядка Так для рис.8а, где распределение постоянно, амплитуды волн во всех промежутках близки к единице, тогда как амплитуда в слое №1 (первый барьер) составляет , а в слое №16 (последний барьер) равняется На рис.8г, где распределение является ярко выраженным экспоненциальным, то есть по длине структуры значительно спадает, те же величины равны и соответственно.

То есть видно, что все перечисленные виды распределений проявляются достаточным образом уже на амплитудах, соответствующих только промежуткам (верхние участки утолщенных горизонтальных линий).

16. Отражающие и пропускающие свойства структуры при металлической проводимости

Рассмотрим теперь, как сказывается металлическая проводимость на частотных свойствах структуры, для чего обратимся к рис.9, где показаны зависимости нормированных амплитуд волн обратного в слое №1 (а) и прямого в слое №16 (б) направлений от частоты возбуждения при различных значениях толщины барьера.

Для удобства сравнения с данными предыдущего раздела, значения толщин барьеров выбраны теми же самыми. На рис.8, при построении которого частота выбрана равной , нормированная амплитуда в слое №1 при всех толщинах близка к единице, а нормированная амплитуда при тех же условиях в слое №16 близка к нулю. Из рис.9 видно, что на той же частоте в тех же слоях №1 и №16 эти величины составляют и , то есть отличаются от единицы и нуля на величины порядка , то есть соответствие можно считать весьма хорошим.

Рис.9. Зависимости нормированных амплитуд волн обратного в слое №1 (а) и прямого в слое №16 (б) направлений от частоты возбуждения в случае металлической проводимости при различных значениях толщины барьера.

Толщина барьеров: а - ; б - ; в - ; г - .

Параметры: , , , .

Другой важной особенностью наблюдаемых частотных зависимостей является их плавный монотонный вид с полным отсутствием областей непропускания, имеющих место при малой проводимости (рис.7 здесь, а также рис.6 в работе [2]). Можно полагать, что такое отсутствие упомянутых областей, а также вообще какой-либо изрезанности обсуждаемых кривых, обусловлено общей тенденцией сглаживания амплитудно-частотных зависимостей при увеличении проводимости. Такое сглаживание было отмечено в разделе №11 уже при сравнительно малых ее значениях (рис.7в и 7е, где ), а здесь при металлической проводимости () оно проявляется с особой силой.

Из рис.9а далее видно, что до амплитуда волн обратного направления в слое №1, то есть отраженных от структуры, при любой толщине с повышением частоты падает. Та же тенденция сохраняется при толщинах выше (кривые 2,3,4) во всем диапазоне исследованных частот (до ). Такое уменьшение отражения обусловлено тем, что совокупная амплитуда обратно направленной волны в слое №1 складывается из амплитуд волн, отраженных от двух поверхностей каждого слоя. При этом, если волна внутри какого-либо слоя доходит до его противоположной поверхности без сильного ослабления, то после отражения от этой поверхности она складывается с той частью волны, которая отражается от первой поверхности до вхождения в слой. То есть суммарная амплитуда отраженной волны увеличивается. Если же волна на толщине слоя заметным образом затухает, то она уже не может внести вклада в общее отражение и суммарная амплитуда отраженной волны формируется только за счет отражения от передней поверхности слоя. Величина затухания волны в слое определяется глубиной проникновения волны в металл. Так если толщина слоя меньше глубины проникновения, то волна затухает мало и отражение получается большим. Если же толщина слоя больше глубины проникновения, то волна в слое затухает и отражение получается малым.

Как показано в предыдущем разделе, глубина проникновения на частоте составляет около . На частоте она уменьшается уже до . Соответственно на фиксированной частоте отражение должно быть тем больше, чем толщина барьера меньше. Это и наблюдается для всех исследованных структур на частотах от до . Ниже эта тенденция несколько нарушается, по-видимому, благодаря вступлению в игру интерференционных эффектов, проявляющихся на полной толщине структуры.

С другой стороны, по мере увеличения частоты волна все меньше проникает в слой, то есть затухает сильнее, в результате чего отражение уменьшается. Именно так на рис.9а ведут себя кривые 2 (толщина барьера - ), 3 () и 4 (). Подобным образом ведет себя и кривая 1, соответствующая толщине барьера , но только до частоты порядка . Выше этой частоты кривая 1 идет вверх, стремясь к единице и, как следует из дополнительного исследования, несколько превышая ее (за правым краем рисунка), что может быть обусловлено явлениями разбаланса потоков энергии [28-41], упомянутыми в разделе №13.

Обратимся теперь к рис.9б, где показаны подобные частотные зависимости для волн прямого направления в слое №16, соответствующие прохождению волны через структуру в целом. В соответствии со сказанным относительно соотношения толщины барьера с глубиной проникновения, естественно ожидать, что на любой заданной частоте по мере увеличения толщины барьера прохождение должно уменьшаться. Это и наблюдается на рис.9а: ниже всех идет кривая 4, которой соответствует наибольшая толщина, а выше - кривая 1 с толщиной наименьшей.

С другой стороны, по мере увеличения частоты при неизменной толщине, затухание волны должно увеличиваться, так как глубина проникновения волны при этом уменьшается, то есть волна на толщине барьера затухает сильнее. Это и наблюдается для толщин и (кривые 3 и 4 соответственно) на частотах выше , где интерференционные явления уже не сказываются. Для толщины (кривая 2), начиная с частоты , наступает противодействующая тенденция, так что уменьшение прохождения сменяется почти горизонтальным участком, а для толщины (кривая 1) эта тенденция становится преобладающей, приводя к росту прохождения по мере повышения частоты с последующим стремлением к насыщению на уровне порядка В качестве возможной причины можно предполагать и здесь проявление разбаланса потоков [28-41], аналогичное ответственному за рост кривой 1 на рис.9а.

Таким образом, можно сделать вывод, что нормальное поведение частотных зависимостей, то есть по мере увеличения частоты уменьшение как отражения, так и прохождения, имеет место только при толщинах барьеров, превышающих примерно четвертую-пятую часть от глубины проникновения. При меньших же толщинах по мере увеличения частоты как отражение, так и прохождение увеличиваются, что может быть обусловлено энергетическим разбалансом потоков энергии распространяющихся волн.

Заключение

Рассмотрено распространение электромагнитных волн прямого и обратного направлений в многослойной структуре ограниченной длины с периодической неоднородностью меандрового вида, барьеры которой обладают диссипативными свойствами. В качестве расчетного аппарата использован метод пошагового алгоритма, обобщенный на случай трехмерных электромагнитных волн, распространяющихся в среде с диссипацией.

На примере одномерной волны рассмотрено распределение амплитуд волн в слоях в случае комплексного волнового числа для барьеров. Рассмотрены два варианта соотношения составляющих волнового числа для барьера и промежутка - первый, когда действительная составляющая волнового числа для барьера значительно превышает таковую для промежутка, второй - когда действительная составляющая волнового числа для барьера равняется таковой для промежутка, а волновые числа барьера и промежутка отличаются только мнимой составляющей. Показано, что в обоих случаях наблюдаются те же основные распределения амплитуд, что и в случае без диссипации: синусоидальное и экспоненциальное.

Наряду с упомянутыми обнаружено новое распределение - линейно-синусоидальное, синусоидальный характер которого обусловлен интерференционным переотражением волн в слоях, а линейная составляющая - затуханием волны по мере удаления от источника возбуждения.

Дополнительно показано, что хотя мнимая часть волнового числа может приводить к таким же видам распределения амплитуд в слоях, что и действительная, однако главная ее роль состоит в уменьшении амплитуд волн по координате по мере удаления от источника возбуждения, которое накладывается на распределения, обусловленные действительной частью волнового числа.

Для случая одномерной волны рассмотрены отражающие и пропускающие свойства структуры на основе зависимости от действительной части волнового числа для барьера. Показано, что при увеличении затухания общая дискретная структура спектра, то есть расположение областей пропускания и непропускания по волновому числу, в целом не меняется, тогда как прохождение волн и их отражение в соответствующих областях ухудшаются тем сильнее, чем номер области больше, причем тонкое расщепление спектра внутри областей пропускания с увеличением затухания сглаживается.

Рассмотрены основные закономерности распространения электромагнитной волны в проводящей среде. Получено волновое число и адмиттанс в виде суммы действительной и мнимой частей, в том числе в приближении большой проводимости, свойственной металлу. Рассмотрены зависимости комплексного волнового числа и адмиттанса от проводимости, получено критическое значение проводимости, при котором проводящие свойства среды начинают преобладать над диэлектрическими. Определена критическая частота, при которой в реальном металле волна затухает по амплитуде в три раза на расстоянии четверти ее длины, так что распространение волны является апериодическим.

На основе полученных результатов проведено рассмотрение распределения амплитуд волн в слоях многослойной структуры, барьеры которой обладают проводящими свойствами. Показано, что в зависимости от величины проводимости наблюдаются те же основные виды распределения амплитуд, что и для одномерной волны: синусоидальное, экспоненциальное и линейно-синусоидальное. Выполнено сравнение эффективности действия на конфигурацию распределений механизмов диссипации одномерной и электромагнитной волны. Показано, что на основе критерия сходства конфигурации распределений механизм диссипации для электромагнитной волны является более эффективным, чем для одномерной. Однако на основе критерия подобия соотношения между действительной и мнимой частями волнового числа соотношение эффективности механизмов является обратным. Такое различие объяснено неэквивалентной ролью проводимости относительно обоих механизмов, так как для обеспечения подобия конфигурации распределений проводимость должна значительно превышать значение, требуемое для подобия волновых чисел.

Рассмотрены отражающие и пропускающие свойства структуры для электромагнитной волны. Показано, что частотная зависимость упомянутых свойств, в основном, подобна зависимости от волнового числа для одномерной волны, то есть имеет сходный дискретный характер, однако здесь при увеличении номера области непропускания максимальная амплитуда волн в слоях преимущественно сохраняется. Показано, что положение областей непропускания от проводимости в пределах ее средних значений от частоты не зависит, то есть подчиняется тому же закону соответствия суммы длин барьера и промежутка нечетному числу четвертей длины волны, что и для бездиссипативной среды.

Исследована частотная конфигурация отдельной области непропускания, показано, что как и для бездиссипативной структуры, область представляет собой широкий центральный лепесток, окруженный узкими сателлитами спадающей амплитуды. Однако по мере увеличения проводимости тонкая структура сателлитов сглаживается, уступая место достаточно гладкому распределению.

В высокочастотной части области непропускания обнаружен обусловленный проводимостью диссипативный резонанс, а также некоторое превышение потока энергии отраженной волны по сравнению с падающей. В качестве возможного объяснения подобной аномалии рассмотрены известные механизмы такого превышения, причем отдано предпочтение механизму, учитывающему локализацию энергии во внутренних слоях структуры в виде совокупности активной и реактивной составляющих.

Рассмотрено распространение электромагнитных волн в периодических структурах, барьеры которых обладают металлической проводимостью. Показано, что при этом в формировании распределений амплитуд, отличных от чисто экспоненциального, таких как синусоидальное и линейное, необходимым условием является превышение глубины проникновения волны над толщиной барьера, тогда как полная толщина структуры может превышать глубину проникновения более чем на порядок. Показано, что амплитуды отраженных и проходящих волн относительно структуры в целом при повышении частоты уменьшаются вплоть до толщин, составляющих четвертую-пятую часть от глубины проникновения волны в металл, а при меньших толщинах испытывают аномальное увеличение, в качестве возможного способа устранения которого указан учет локализации энергии волны в виде совокупности активной и реактивной составляющих.

Литература

1. Антонец И.В., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2015. №2.

URL: http://jre.cplire.ru/jre/feb15/1/text.html (первая часть настоящей работы).

2. Антонец И.В., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2015. №2.

URL: http://jre.cplire.ru/jre/feb15/2/text.html (вторая часть настоящей работы).

3. Антонец И.В., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2015. №3.

URL: http://jre.cplire.ru/jre/mar15/13/text.html (третья часть настоящей работы).

4. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2012. Т.57. №1. С.67.

5. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2013. Т.58. №1. С.16.

6. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2013. №1.

URL: http://jre.cplire.ru/jre/jan13/11/text.pdf.

7. Антонец И.В., Щеглов В.И. Распространение волн через многослойные структуры (монография). Часть пятая. Алгоритмические методы. Сыктывкар: ИПО СыктГУ. 2014.

8. Гуревич А.Г. Ферриты на сверхвысоких частотах. М.: Гос. Изд. физ.-мат. лит. 1960.

9. Гуревич А.Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках. М.: Наука. 1973.

10. Гуревич А.Г., Мелков Г.А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит. 1994.

11. Gilbert T.L. // IEEE Trans. on Magn. 2004. V.40. №6. P.3443.

12. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука. 1964.

13. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука. 1978.

14. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. М.: Физматлит. 2003.

15. Никольский В.В, Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука. 1989.

16. Левич В.Г. Курс теоретической физики. Т.1. М.: Наука. 1969.

17. Красюк Н.П., Дымович Н.Д. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Высшая школа. 1974.

18. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1973.

19. Лакс Б., Баттон К. Сверхвысокочастотные ферриты и ферримагнетики. М.: Мир. 1965.

20. Вашковский А.В., Стальмахов В.С., Шараевский Ю.П. Магнитостатические волны в электронике сверхвысоких частот. Саратов: Изд.Саратовского университета. 1993.

21. Вамберский М.В., Абрамов В.П., Казанцев В.И. Конструирование ферритовых развязывающих приборов СВЧ. М.: Радио и связь. 1982.

22. Вендик И.Б., Вендик О.Г. // ЖТФ. 2013. Т.83. №1. С.3.

23. Вендик О.Г., Калиникос Б.А. // Изв. ВУЗов. Физика. 1988. Т.31. №11. С.3.

24. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2008. Т.53. №8. С.901.

25. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред (Теоретическая физика, т.VIII). М.: Наука. 1982.

26. Вайнштейн Л.А. // Электромагнитные волны. М.: Сов. радио. 1957.

27. Гороновский И.Т., Назаренко Ю.П., Некряч Е.Ф. Краткий справочник по химии. Киев: Наукова думка. 1974.

28. Кизель В.А. Отражение света. М.: Наука. 1973.

29. Веремей В.В., Горбунова Т.А., Пуговкин Л.В. // Оптика и спектроскопия. 1978. Т.44. №2. С.345.

30. Бойко Б.Б., Лещенко В.Г., Петров Н.С. // Ковариантные методы в теоретической физике. Оптика и акустика. Сборник научных трудов. Вып.1. Минск: Изд. ИФ АН БССР. 1981. С.40.

31. Джилавдари И.З., Филиппов В.В. // ЖПС. 1981. Т.35. №1. С.152.

32. Минков И.М. // Оптика и спектроскопия. 1985. Т.58. №2. С.466.

33. Ефимов В.В., Семенцов Д.И. // ЖТФ. 1997. Т.67. № 2. С.118.

34. Афанасьев С.А., Семенцов Д.И. // УФН. 2008. Т.178. №4. С.377.

35. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2009. Т.54. №10. С.1171.

36. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Сборник трудов XVI Международной конференции "Радиолокация и радиосвязь". Москва: НИУ МЭИ. 2008. С.18.

37. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Сборник трудов IX Международного семинара “Магнитные фазовые переходы”. Махачкала: издание Института физики Дагестанского научного центра РАН. 2009. С.67.

38. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Сборник трудов XXI Международной конференции “Новое в магнетизме и магнитных материалах (НМММ)”. Москва: Изд-во МГУ. 2009. С.939.

39. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Сборник трудов XIX Международной конференции «Электромагнитное поле и материалы». Москва: НИУ МЭИ. 2011. С.166.

40. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // "XXXIV Международная зимняя школа физиков-теоретиков - Коуровка 2012". Тезисы докладов. Екатеринбург: ИФМ УрО РАН. 2012. С.101.

41. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Сборник трудов XX Международной конференции «Электромагнитное поле и материалы». Москва: НИУ МЭИ. 2012. С.215.

42. Антонец И.В., Котов Л.Н., Некипелов С.В., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2004. Т.49. №10. С.1243.

43. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2006. Т.51. №12. С.1481.

44. Казанцева Н.Е., Пономаренко А.Т., Шевченко В.Г., Чмутин И.А., Калинин Ю.Е., Ситников А.В. // Физика и химия обработки материалов. 2002. №1. C.5.

45. Калинин Ю.Е., Ремизов А.Н., Ситников А.В. // ФТТ. 2004. T.46. №11. C.2076.

46. Иванов А.В., Калинин Ю.Е., Нечаев А.В., Ситников А.В. //

ФТТ. 2009. T.51. №12. C.2331.

47. Ситников А.В. Электрические и магнитные свойства наногетерогенных систем металл-диэлектрик. Диссертация на соискание ученой степени докт. физ.-мат. наук. Воронеж: ВГТУ. 2010.

48. Антонец И.В., Котов Л.Н., Калинин Ю.Е., Ситников А.В., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // ПЖТФ. 2014. Т.40. №14. С.1.

Размещено на Allbest.ru