Дисперсионное уравнение является уравнением для нахождения собственных значений матрицы передачи или волновой матрицы.

При анализе только продольного взаимодействия электронного пучка и ЗС количество нормальных волн связанной системы уменьшается. Тогда решение системы уравнений и матричного уравнения ищется в виде , j=1, …, 4.

Подставляя данное решение в уравнение (2.20) и приравнивая детерминант полученной системы нулю, получаем дисперсионное уравнение связанной системы в виде уравнения (2.21).

Полученное уравнение применимо в широких пределах изменения параметров связанной системы, на произвольных частотах, включая области частот вблизи границ полосы прозрачности и за ее пределами.

При анализе продольного взаимодействия электронного почка с полями периодических ЗС с положительной и отрицательной дисперсией дисперсионное уравнение является уравнением для описания синхронизма быстрой и медленной волн пучка с различными пространственными гармониками номера m.

Выражения для расчета постоянной распространения волн вm и коэффициента замедления для пространственной гармоники номера m находится по уравнениям ниже и находится по значениям сдвига фаз цm:

, .

При M=0 с помощью данного дисперсионного уравнения получаются «холодные» дисперсионные зависимости для несвязанной системы, то есть когда электронный пучок не взаимодействует с ней, а также - невозмущенные зависимости медленной ц4 и быстрой ц3 волн пространственного заряда электронного пучка. Дисперсионные линии подчиняются следующий соотношениям: .

Коэффициент взаимодействия, отличный от 0, вносит изменения в постоянные распространения и затухания волн. Кроме того, затухание зависит также от параметров связанной системы и точки синхронизма волн пучка и поля.

Чтобы более точно определить влияние отражения от оконечных нагрузок на усиление сигнала, изрезанность амплитудно-частотной характеристики и самовозбуждение колебаний необходимо учитывать граничные условия. Амплитуда нормальной волны в электронном потоке на входе в связанную систему зависят от наличия начальной модуляции электронного пучка.

Если известны значения элементов матрицы передачи Gs для отдельной s-ой ячейки ЗС, то можно определить общую матрицу передачи всей секции прибора , где S - общее число резонансных ячеек секции, s=1, 2, …, S. Учитывая данное выражение, можно найти матричное уравнение связи между векторами комплексных амплитуд волн электронного потока, напряжений и токов эквивалентной схемы на входе X1 и выходе Xs+1 секции прибора:

Xs+1=GX1.

Также матричное уравнение необходимо дополнить уравнение граничных нагрузок на концах связанной системы, чтобы решить общую краевую задачу с учетом граничных нагрузок. Граничных нагрузок определяются особенностями согласующих устройств и оконечных нагрузок на входе и выходе системы, а также наличием внешних источников модулированного сигнала и начальной модуляции электронного пучка:

, , , k=1, …, 4,



где параметр - амплитуды нормальных волн потока на входе в систему (если возбуждение по пучку отсутствует, то ); и - амплитуды входного высокочастотного сигнала в системе (, - возбуждение справа, на входе в ЗС); Z0 и Zн - комплексные эквивалентные сопротивления входного и выходного согласующих трактов (рисунки 30 и 31).

Решая совместно уравнения комплексные амплитуды волн в электронном потоке, напряжений и токов s-ой ячейки связанной системы можно получить из уравнения:

.

Таким образом, выполняя данные вычисления модно получить «горячее» входное сопротивление системы и усиление с использованием соотношения:

,

где - входная мощность прибора при условии возбуждения на входе в устройство, - выходная мощность устройства.

Для учета граничных нагрузок при волновом решении необходимо записать граничные условия (2.23) с учетом разложения поля структуры для по собственным волнам нагруженной системы:

, .

Кроме того, выполняются соотношения

, j=1, 2, …, 6.

Чтобы получить граничные условия нужно учесть соотношения (2.26) и (2.23), а также выражения для комплексных амплитуд и напряжений ЗС и . Тогда граничные уравнения принимают вид:

, , , k=1, 2, 3, 4.

где , .

Решив граничные уравнения и дисперсионное уравнение, найдем неизвестные коэффициенты разложения , таким образом определяя амплитуду нормальных волн и структуру поля в терминах нормальных волн связанной системы. электронный волновой эквивалентный дисперсионный

Применять данный анализ в непосредственной близости к границам полосы прозрачности трудно, так как на частотах отсечки волновое сопротивление Zв становится равным 0 на частоте 2р-вида колебаний или на частоте р-вида колебаний. В связи с этим уравнения (2.26) и (2.27) изменяются на частотах вблизи полосы прозрачности.

3. ПОЛУЧЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЕТЛЯЮЩЕГО ВОЛНОВОДА И ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА СВЯЗИ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ СВЯЗИ ОПИСАНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СХЕМЫ

Как уже описывалось ранее, замедляющую систему с электронным пучком можно заменить последовательностью волноводных трансформаторов, который в свою очередь представляется связанными многополюсником, в данном случае четырехполюсником. Продольные элементы отражают взаимодействие магнитной составляющей поля, а поперечные - электрической.

Рисунок 32 - Общая эквивалентная схема электронного прибора с продольным взаимодействием пучка с полем резонансной ЗС

Связь напряжений и токов в данной ячейке отражают следующие выражения:

,

, (3.1)

Где . Подставим данное выражение в (3.1) и получим:

,

, (3.2)

где , - электронная проводимость пучка, J0 - постоянная составляющая тока электронного пучка, V0 - ускоряющий потенциал.

Согласно линейной теории связанных продольных волн электронного потока кинетической потенциал и первая гармоника пучка определятся как:

,

,

где - комплексны амплитуды быстрой и медленной волн пучка на выходе s-ой ячейки, Дz - период замедляющей структуры, - комплексные амплитуды нормальных продольных волн пучка на входе s-ой ячейки после прохождения пучком зазора взаимодействия, - эквивалентное волновое сопротивление пучка, - редуцированная плазменная частота, - плазменная частота, R - коэффициент понижения (редукции) плазменной частоты.

Используя эти выражения, можно записать уравнения для волн пространственного заряда в электронном пучке:

,

,

где , - параметр угла пролета.

Представим каждое сопротивление через емкости, индуктивности и сопротивления. Получившая схема, которая будет использоваться в данной работе, приведена ниже.



Рисунок 33 - эквивалентная схема двух соседних ячеек петляющего волновода

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ СХЕМЫ И ПОЛУЧЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Для анализа дисперсионных характеристик петляющего волновода и коэффициента связи необходимо рассчитать параметры схемы, в данном случае это G, L1, L2, L3, C1, C2. Часть из них задается вручную, а часть - можно рассчитать исходя из граничных условий. В частности, в данной работе задаются L3, C1, C2, а L1, L2 рассчитываются.

Для начала рассчитаем сопротивление продольной части цепи Z и проводимость поперечной части цепи Y. Так как рассматриваем случай без потерь, то источников тока и сопротивления G в цепи нет. Обозначим как Z1 сопротивление элементов с индексами 1, Z2 - с индексами 2, Z3 - с индексами 3, и запишем для них выражения:

,

,

.

Тогда выражения для Z и Y рассчитываются как:



,

.

Применяя граничные условия и используя выражение (2.11), можно найти значения L1 и L2. При максимальной частоте произведение ZY принимает значение 1, при минимальной - 0. Используя это, получаем следующие выражения:

,

.

Напряжения и токи в цепочке, показанной на рисунке 30, связаны следующими соотношениями:

,

,

,

.

Как уже описывалось ранее, с помощью данных уравнений можно получить дисперсионное уравнение (2.21), решая его матричным методом, получаем дисперсионные характеристики. Для начала получим «холодные» дисперсионные характеристики петляющего волновода (M=0) при заданных значениях ускоряющего напряжения (18кВ) и тока электронного пучка (90мА). Затем получим «горячие» дисперсионные характеристики и пронаблюдаем, как изменение данных параметров повлияет на них.

Рисунок 34 - Дисперсионные характеристики (M=0) при ускоряющем напряжении 18кВ и токе электронного пучка 90мА

Прямые линии на рис. 34 соответствуют дисперсионным зависимостям быстрой и медленной волн пространственного заряда электронного пучка. Кривая линия представляет собой дисперсионную характеристику замедленной электромагнитной волны «+1» пространственной гармоники петляющего волновода. Желтая кривая (появится на «горячих дисперсионных характеристиках» при M?0) характеризует частотную зависимость параметра нарастания или затухания в связанной электродинамической системе с электронным пучком.



Рисунок 35 - Дисперсионные характеристики при ускоряющем напряжении 18кВ, токе электронного пучка 90мА и коэффициенте взаимодействия (а) M=0.2, (б) M=0.3, (в) M=0.5

Рисунок 36 - Дисперсионные характеристики при коэффициенте взаимодействия M=0.3, токе электронного пучка 90мА и ускоряющем напряжении (а) 18кВ, (б) 19кВ, (в) 20кВ

Искривление параллельных линий отображает взаимодействие электронного пучка с электромагнитным поле волновода. В случае изменения коэффициента взаимодействия полоса пропускания изменяется наиболее заметно. Она становится больше и занимает более широкую полосу частот. При увеличении ускоряющего напряжения наблюдается обратная ситуация, полоса пропускания становится заметно уже, а также смещается в область более низких частот. С увеличением тока электронного пучка такого значительного расширения или сужения полосы пропускания, как при изменении других параметров, не замечается. При увеличении тока пучка полоса пропускания становится немного шире, при этом нижняя граница остается той же, а верхняя - увеличивается.

Рисунок 37 - Дисперсионные характеристики при коэффициенте взаимодействия M=0.3, ускоряющем напряжении 18кВ и токе электронного пучка (а) 80мА, (б) 85мА, (в) 90мА

Далее рассмотрим более подробно коэффициент взаимодействия M, найдем его зависимость от сопротивления связи. Для этого получим выражение для параметра усиления Пирса. Его можно найти согласно формуле: , где - коэффициент связи пучка с полем, - напряженность продольного электрического поля, - мощность, переносимая прямой бегущей волной, Us и Is - напряжение и ток в эквивалентной схеме представленной на рисунке 33, Vs - напряжение в зазоре резонатора, V0 и J0 - ускоряющие напряжение и ток электронного пучка.

Подставляя все необходимые соотношения в выражение для нахождения коэффициента усиления Пирса и учитывая уравнения для связанной системы, представленной на рисунке 31, получаем следующее выражение:

.

Выразим из этого выражения коэффициент взаимодействия M:

.

Зная, что , , , , получаем:

.

Учитывая, что потери малы и ими можно пренебречь, то есть и , выражение принимает следующий вид:



.

Получаем выражение, показывающее зависимость коэффициента связи M от сопротивления связи. Также коэффициент M зависит от параметров схемы и сдвига фаз, который также зависит от параметров схемы.

Выражения для параметры схемы описаны ранее, остается одна неизвестная - сопротивление связи. Его можно найти из электродинамического расчета, используя программу CST Studio Suite. CST Studio Suite - это программный комплекс, который представляет собой инструменты для проектирования, моделирования и оптимизации трехмерных электромагнитных систем. С помощью данного программного комплекса возможно создавать виртуальные прототипы, которые моделируют поведение реальных систем.

В данной программе возможно использовать один из 2 методов для поучения электродинамических характеристик петляющего волновода без учета взаимодействия с электронным пучком. Моделирование проводилось с использование расчетного модуля Eigen Mode Solver.

При использовании первого метода резонатор рассматривается как отрезок ЗС, представляющий собой один период системы p, с граничными условиями на концах. Собственная частота определяется на основе сдвига фаз на ячейку ЗС, соответствующему «+1» пространственной гармонике. Коэффициент замедления рассчитывается как:

,

где c - скорость света, vф - фазовая скорость волны «+1» пространственной гармоники, - фазовая постоянная распространения в продольном направлении, k - волновое число.



Рисунок 38 - Модель ЗС

Если использовать другой метод, то необходимо рассматривать несколько ячеек ЗС, также используя граничные условия на торцах. Затем необходимо решить задачу на собственные значения, чтобы определить частоты колебательных мод полученного резонатора. Для каждой колебательной моды с номером i можно записать сдвиг фаз на ячейку i и частоты fi:

,

,

где i - фазовая постоянная i-ой моды резонатора, (i=1, 2, …, N-1), k - волновое число, c - скорость света, p - продольный размер ячейки, 0=0 - в случае системы с положительной дисперсией, 0=р - для ЗС с отрицательной дисперсией волны основной пространственной гармоники.

Рисунок 39 - Модель резонаторной ЗС



В данной работе параметры петляющий волновод согласно [11] принимают следующие значения: a=1.7мм, b=0.2мм, p=1.1мм, h=1.3мм, d=0.5мм. Учитывая данные параметры, были построены зависимости частоты и сопротивления связи на оси исследуемой ЗС от сдвига фазы на ячейку ЗС. Результаты моделирования представлены на рисунке 40.

Рисунок 40 - Зависимости нормированной частоты и сопротивления связи от сдвига фазы на ячейку петляющего волновода

Для полученных значений сопротивления связи в программе CST Studio Suite можно рассчитать коэффициент связи M по формуле (3.16). Построение этой зависимости производилось в программном комплексе MATLAB. Программный код для получения графического представления данной зависимости описан в приложении 1. Зависимость коэффициента электронного взаимодействия M от частоты, соответствующая заданной частотной характеристике сопротивления связи петляющего волновода, рассчитывалась для следующих нормированных параметров эквивалентной схемы: , , . При этом значения сопротивления связи были получены при трехмерном электродинамическом моделировании петляющего волновода. Для указанных параметров получаем неизвестные - L1 и L2. Их нормированные значения составили 0.0157 и 0.029 соответственно.

Графическое представление зависимости коэффициента связи от нормированной частоты приводится ниже:



Рисунок 41 - Зависимость коэффициента связи от нормированной частоты

Из этого графика видно, что на частотах близких к границе полосы прозрачности значение коэффициента связи стремится к бесконечности. На остальных же частотах нет никаких резких скачков и перепадов. Наблюдается относительно пологий участок, с некоторым спадом, а затем спад увеличивается и с приближением к другой границе полосы значение коэффициента устремляется к 0.

Затем, при этих параметрах получим дисперсионные характеристики.

Рисунок 42 - Дисперсионные характеристики петляющего волновода для значений параметров, рассчитанных из сопротивления связи



Теперь посмотрим, как влияет ускоряющее напряжение и ток электронного пучка на полосу усиления. Ускоряющее напряжение изменялось в диапазоне от 18 до 20 кВ, а ток электронного пучка - в пределах от 80 до 90.

Рисунок 43 - Дисперсионные характеристики при рассчитанных параметрах для тока электронного пучка 90мА и ускоряющего напряжения (а) 18кВ, (б) 19кВ, (в) 20кВ



Рисунок 44 - Дисперсионные характеристики при рассчитанных параметрах для ускоряющего напряжения 18кВ и тока электронного пучка (а) 80мА, (б) 85мА, (в) 90мА

Анализируя данные графики, можно заметить, что при изменении ускоряющего напряжения полоса пропускания заметно изменяется. При его увеличении происходит сдвиг полосы в сторону более низких частот. Также полоса становится уже и при этом наблюдается незначительный рост усиления. Что касается тока электронного пучка, при его изменении полоса пропускания остается практически такой же. При данном анализе не предполагается изменение значений тока электронного пучка в более широком диапазоне. Возможно, при большем увеличении или уменьшении тока, произойдут более заметные изменения полосы пропускания.



ВЫВОДЫ

Анализируя полученные результаты, можно сделать несколько выводов. Получены дисперсионные характеристики петляющего волновода, учитывающие взаимодействие его электромагнитного поля и электронного пучка. Для начала были получены характеристики для параметров, полученных в результате теоретического расчета, а после - исходя из расчетов, учитывая полученные значение сопротивления связи при помощи 3D моделирования. Оценивая данные результаты, можно заметить, что полоса пропускания стала заметно уже, что показывает правильность расчетов, так как на практике полоса пропускания СВЧ приборов достаточно мала.

Также проводилась оценка влияния изменения параметров таких, как ускоряющее напряжение и ток электронного пучка. Сравнивая полученные результаты до и после учета сопротивления связи, можно сказать, что влияние одинаково в обоих случаях. Увеличение ускоряющего напряжения сужает полосу пропускания, а изменение тока электронного пучка не приводит ни к ее расширения, ни к сужению (для тех значений тока, которые рассматривались в данной работе) Таким образом, для увеличения полосы пропускания необходимо выбирать наибольшие допустимых значения тока электронного пучка, а значение ускоряющего напряжения, наоборот, - уменьшать.

Что касается коэффициента взаимодействия, получена его зависимость от сопротивления связи. Полученная кривая не имеет резких скачков и перепадов и по своей форме схожа с кривой для сопротивления связи.

В данной работе были рассмотрены современные научные работы, в которых исследовались различные характеристики петляющих волноводов. Большинство работ посвящено получению и анализу дисперсионных и импедансных характеристик. Также были рассмотрены основные положения электронно-волнового взаимодействия, уравнения, с помощью которых оно описывается. Приведены выражения для расчета параметров петляющего волновода, например, сопротивления связи, сдвига фаз. Был описан метод эквивалентных цепочек, который использовался для получения дисперсионных характеристик петляющего волновода. В результате данной работы был произведен расчет нелинейного взаимодействия электронного пучка и электромагнитного поля петляющего волновода.

В рамах метода эквивалентных цепочек петляющий волновод был разбит на ячейки, каждая из которых представлялась в виде четырехполюсника. Записаны уравнения, связывающие входные и выходные напряжения и токи ячейки. На их основе было решено дисперсионное уравнение с использованием рассчитанных параметров и получены дисперсионные характеристики петляющего волновода при различных значениях ускоряющего напряжения, тока электронного пучка и коэффициента взаимодействия. Затем, из уравнения для параметра усиления Пирса был получен коэффициента взаимодействия.

Получена частотная зависимость коэффициента взаимодействия M. Для этого было произведен электродинамический расчет в программе 3D моделирования CST Studio Suite, чтобы получить значения сопротивления связи. Данная зависимость была представлена графически при помощи программного комплекса MATLAB. Связь коэффициента взаимодействия и сопротивления связи ранее не рассматривалась и не была представлена в опубликованной литературе.

На мой взгляд, полученное выражение коэффициента электронного взаимодействия через сопротивление связи будет полезно для дальнейших исследований характеристик петляющего волновода и приборов на их основе. Также были получены «горячие» дисперсионные характеристики. Многие исследователи данной области получают дисперсионные характеристики, однако, они рассчитаны без учета взаимодействия с электронным пучком. «Горячие» же характеристики вызывают больший интерес и представляют большую значимость, чтобы в дальнейшем их использовать для разработки и создания усилителей и генераторов коротковолновой части миллиметрового диапазона.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. John H. Booske et al., “Accurate Parametric Modeling of Folded Waveguide. Circuits for Millimeter-Wave Traveling Wave Tubes” IEEE transactions on electron devices, vol. 52, no. 5, May 2005, pp. 685-694.

2. M. Sumathy, K. J. Vinoy and S. K. Datta, “Equivalent Circuit Analysis of Serpentine Folded-waveguide Slow-wave Structures for Millimeter-wave Traveling-wave Tubes”, Journal of infrared, millimeter and terahertz waves 30(2), Feb. 2009, pp. 151-158

3. Jun He, Yanyu Wei, Zhigang Lu, Yubin Gong and Wenxiang Wang “Investigation of a Ridge-Loaded Folded-Waveguide Slow-Wave System for the Millimeter-Wave Traveling-Wave Tube”, IEEE transactions on plasma science, vol. 38, no. 7, July 2010, pp. 1556-1562

4. H. J. Curnow, A general equivalent circuit for couple-cavity slow-wave structures. IEEE Transmisions on Microwave Theory and Techniques, vol. 13, no. 5, 1965, pp. 671-675

5. Thomas M. Antonsen, Jr, Alexander N. Vlasov, David P. Chernin, Igor A. Chernyavskiy and Baruch Levush, “Transmission Line Model for Folded Waveguide Circuits” IEEE transactions on electron devices, vol. 60, no. 9, Sept. 2013, pp.2906-2911

6. S. -T. Han, J. -II Kim, and G. S. Park, “Design of a folded waveguide traveling-wave tube” Microw. Opt. Technol. Lett. 38, 161-165 (2003).

7. Y. H. Na, S. W. Chung, and J. J. Choi, “Analysis of a broadband Q-band folded-waveguide traveling-wave tube” IEEE Trans. Plasma Sci. 30, 1017-1022 (2002).

8. L. Shunkang, “Folded waveguide circuit for broadband MM wave TWTs” Int. J. Infrared Millim. Waves 16, 809-815 (1995).

9. Силин Р. А. Периодические волноводы - М.: ФАЗИС, 2002. - 438 с.

10. Канавец В. И., Мозговой Ю. Д., Слепков А. И. Излучение мощных электронных потоков в резонансных замедляющих системах - М.: Изд-во МГУ, 1993. - 208 с.

11. Азов Г. А., Евремова М. В., Солнцев В. А., Хриткин С. А. Моделирование импульсной лампы бегущей волны трехмиллиметрового диапазона длин волн // Радиотехника и электроника, 2016, - том 61. №8. - с.788-793

12. Клэмпитт Л. (ред.) Мощные электровакуумные приборы СВЧ - М.: Мир, 1974, - Ч.1 - 32 с.

13. Клэмпитт Л. (ред.) Мощные электровакуумные приборы СВЧ - М.: Мир, 1974, - Ч.2 - 36 с.

14. Igor A. Chernyavskiy, Thomas M. Antonsen, Jr, John C. Rodgers, Alexander N. Vlasov, David Chernin and Baruch Levush, “Modeling Vacuum Electronic devices Using Generalized Impedance Matrices” IEEE transactions on electron devices, vol. 64, no. 2, Feb. 2017, pp. 536-542

15. Ю.Д. Мозговой, С.А. Хриткин, Е.М. Никитина, «Дисперсионные характеристики петляющего волновода с электронным потоком» // Актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП-2018: материалы международной научно-технической конференции (Саратов, 27-28 сент. 2018). - Саратов: из-во ООО «Амирит», 2018. - Т.1, с.113-119



ПРИЛОЖЕНИЕ

Листинг. Расчет параметров L1 и L2 и построение графика зависимости коэффициента взаимодействия от сопротивления связи.

clear all; close all;

f1=91; f2=127;

w1=2.*pi.*f1; w2=2.*pi.*f2;

f=[90.31818, 90.38718, 90.524995, 90.731245, 91.005365, 91.34662, 91.75411, 92.226775, 92.76342, 93.362715, 94.02322, 94.7434, 95.52163, 96.356205, 97.245355, 98.187215, 99.17972, 100.21988, 103.63785, 104.85705, 106.11815, 107.41815, 108.7549, 110.1264, 111.5307, 112.9656, 114.4286, 115.91685, 117.42665, 118.95295, 120.48815, 122.01925, 123.52195, 124.9447, 126.1667, 126.92905];

w=2.*pi.*f;

C1=1*10e-5; C2=2*10e-5; L3=1*10e-5;

w0=w1;

L1=1/((w2^2)*C1);

Lx=L1/(1-(w1^2)*L1*C1);

L2=(Lx+L3)/((w1^2)*C2*L3+Lx*(w1^2)*C2-1);

Z1=1./(1i.*w.*C1+(1./(1i.*w.*L1)));

Z2=1./(1i.*w.*C2+(1./(1i.*w.*L2)));

Z3=1i.*w.*L3;

Z=Z2+Z3;

Y=1./Z1;

fi=2.*asin(sqrt(-Z.*Y));

K=[2482.8, 785.57512, 448.80399, 304.15482, 222.45756, 173.87044, 139.70686, 113.38239, 93.803079, 78.872638, 67.709586, 57.49325, 49.048385, 42.396033, 37.067745, 32.232929, 28.128275, 26.146855, 18.671778, 17.366617, 16.48125, 16.046826, 15.264971, 14.553523, 13.776618, 11.745343, 6.5432269, 1.9654796, 0.53630184, 0.31214505, 0.25983686, 0.16494345, 0.092793418, 0.035476408, 0.007444985, 0.010654256];

Ksv=K./16;

M=sqrt(Ksv.*(w0.*L1).*(((w./w0).^2).*abs(sin(fi)).*((C2.*w).^2)));

figure(1), plot(w./w0, M), title('Зависимость коэффициента взаимодействия от нормированной частоты'), xlabel('w/w0'), ylabel('M'), ylim([0 1.6]), hold on

Размещено на Allbest.ru

...