Радиосистемы передачи информации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Электронный образовательный ресурс

Подготовлено кафедрой радиоэлектронных и телекоммуникационных систем

Методические указания к лабораторному практикуму

по дисциплине «Радиосистемы передачи информации»

Радиосистемы передачи информации

для студентов всех форм обучения направлений: 110401 «Радиотехника», 110501«Радиоэлектронные системы и комплексы»

А.Е. Манохин И.Ю.Нифонтов

Научный редактор: проф., канд. техн. наук Д.В. Астрецов

Екатеринбург 2020

Оглавление

• Введение
• Лабораторная работа № 1. Дискретизация и восстановление непрерывных сигналов
• 1.1 Цели и задачи работы
• 1.2 Временная дискретизация непрерывных сообщений
• 1.3 Квантование непрерывных процессов по уровню
• 1.4 Описание лабораторной установки для проведения работы
• 1.5 Домашнее задание
• 1.6 Экспериментальная часть
• 1.7 Оформление отчета
• 1.8 Контрольные вопросы
• Лабораторная работа № 2. Помехоустойчивость передачи бинарных сообщений
• 2.1 Цели и задачи работы
• 2.2 Прием бинарных сигналов как статистическая задача проверки гипотез
• 2.3 Относительная фазовая манипуляция
• 2.4 Квадратурная фазовая манипуляция
• 2.5 Частотно-манипулированные сигналы с непрерывной фазой
• 2.6 Описание лабораторной установки для проведения работы
• 2.7 Домашнее задание
• 2.8 Экспериментальная часть
• 2.9 Оформление отчета
• 2.10 Контрольные вопросы
• Лабораторная работа № 3. Исследование сложных фазоманипулированных сигналов
• 3.1 Цели и задачи работы
• 3.2 Формирование, передача и прием сложных фазоманипулированных сигналов
• 3.3 Описание лабораторной установки для проведения работы
• 3.4 Домашнее задание
• 3.5 Экспериментальная часть
• 3.6 Оформление отчета
• 3.7 Контрольные вопросы
• Лабораторная работа № 4. Исследование искажений передачи сообщений в системах с частотным и временным разделением каналов
• 4.1 Цели и задачи работы
• 4.2 Принцип частотного разделения каналов и структура системы с ЧРК
• 4.3 Принцип временного разделения каналов и структура системы с ВРК
• 4.4 Описание лабораторной установки для проведения работы
• 4.5 Домашнее задание
• 4.6 Экспериментальная часть
• 4.7 Оформление отчета
• 4.8 Контрольные вопросы
• Лабораторная работа № 5. Исследование системы связи с обратным каналом и помехоустойчивым кодированием
• 5.1 Цели и задачи работы
• 5.2 Помехоустойчивое кодирование
• 5.3 Описание лабораторной установки для проведения работы
• 5.4 Домашнее задание
• 5.5 Экспериментальная часть
• 5.6 Оформление отчета
• 5.7 Контрольные вопросы
• Библиографический список
• Приложение. Типовое оформление отчета по лабораторной работе

Введение

В соответствии с требованиями Федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по направлению 110401 «Радиотехника» цикл лабораторных работ по дисциплине «Радиотехнические системы передачи информации» участвует в формировании у студента следующих компетенций:

- способности самостоятельно осуществлять постановку задачи исследования, формирование плана его реализации, выбор методов исследования и обработку результатов (ПК-1);

- способности выполнять моделирование объектов и процессов с целью анализа и оптимизации их параметров с использованием имеющихся средств исследований, включая стандартные пакеты прикладных программ (ПК-2);

- способности к организации и проведению экспериментальных исследований с применением современных средств и методов (ПК-4);

- готовности к составлению обзоров и отчетов по результатам проводимых исследований, подготовке научных публикаций и заявок на изобретения, разработке рекомендаций по практическому использованию полученных результатов (ПК-5);

- способности организовывать работу коллективов исполнителей (ПК-15);

В результате выполнения цикла лабораторных работ дисциплины студенты должны знать:

- теоретические основы и принципы построения многоканальных радиоэлектронных систем передачи информации;

- методы преобразования сообщений и методы модуляции;

- методы оптимального приема сигналов;

- методы кодирования и повышения помехоустойчивости передачи сообщений.

Уметь:

- сформулировать и формализовать поставленную задачу синтеза структуры радиосистемы передачи информации (РСПИ);

- грамотно выбрать метод решения задачи с учетом функционального назначения и условий работы РСПИ;

- определять по заданным требованиям технические параметры устройств, входящих в РСПИ;

- провести анализ и синтез оптимальных алгоритмов обработки сигналов;

- провести анализ решений рассматриваемой задачи и определить возможности реализации синтезированных алгоритмов.

Владеть:

- навыками проектирования радиотехнических систем и расчета его основных элементов;

- основной терминологией, присущей радиотехническим системам передачи информации.

Особенностью цикла лабораторных работ является реализация лабораторных установок в пакете Simulink, являющимся расширением системы моделирования Matlab.

Лабораторная работа № 1. Дискретизация и восстановление непрерывных сигналов

1.1 Цели и задачи работы

Цель работы состоит в том, чтобы изучить основы дискретизации и восстановления сигналов по теореме Котельникова, сформировать умения по оценке погрешностей дискретизации и квантования.

Основная задача работы - закрепить навыки оптимального выбора частоты дискретизации, типа интерполятора, шага квантования и разрядности квантователя.

1.2 Временная дискретизация непрерывных сообщений

Под дискретизацией понимается процесс представления непрерывного сообщения x(t), заданного на интервале (0, Т_С), совокупностью координат c₁, c₂,...,c_N, называемых отсчетами.

Преобразование сообщения в виде представления совокупностью отсчетов можно выразить формулой:

(1.1)

где ?_i - весовая функция; N - число отсчетов;

- ортонормированная функция.

Операция временной дискретизации состоит в том, что по заданному аналоговому сообщению x(t) строится дискретный сигнал x(nT), причем в каждой дискретной точке x(nT)=x(t). Физически такая операция эквивалентна мгновенной фиксации выборки x(nT) из непрерывного сообщенияx(t) в моменты времени t = nТ, после чего образуется последовательность отсчетов (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Процесс идеальной дискретизации сообщения

Для сообщения с ограниченным спектром дискретизация производится в соответствии с теоремой Котельникова, на основании которой любую непрерывную функцию со спектром, ограниченным полосой частот от нуля до F_max, можно однозначно определить последовательностью ее мгновенных значений, взятых через интервалы времени Дt = Т_д= 1/2F_max.

Такую дискретизацию можно осуществить с помощью ключа, на один вход которого подается непрерывное сообщение, на второй - д-импульсы. На практике д-импульсы заменяют очень короткими импульсами длительностью ф (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Процесс дискретизации собщений с помощью ключа

Восстановление сообщения по отсчетам можно представить в виде:

(1.2)

где ц - базисная функция.

В качестве базисных функций могут служить функции отсчетов:

(1.3)

Любую функцию ц_i(t) можно получить на выходе идеального фильтра нижних частот, подав на его вход сигнал д(t-iT_Д), что позволит использовать ФНЧ для восстановления дискретизированного сигнала.

Пусть S_x(jщ) - спектральная плотность сообщения x(t), тогда спектральная плотность дискретизированного сигнала x_Д(t)представляет собой сумму бесконечного числа «копий» спектра исходного сообщения с точностью до множителя 1/Т_Д:

. (1.4)

Эти копии располагаются на оси частот через равные промежутки 2р/Т_Д (рис. 1.3).

Частота дискретизации может быть выбрана с некоторым запасом, например по приближенной формуле:

, (1.5)



Рис. 1.3. Спектральная плотность дискретизированного сигнала

где л-некоторый коэффициент, равный 1.25...2.5

Этот запас позволяет снизить степень перекрытия копий спектров непрерывных сообщений, имеющих неограниченный спектральный состав. Кроме того, для исключения эффекта перекрытия спектров целесообразно предварительно фильтровать сообщение.

При восстановлении сообщения можно воспользоваться идеальным фильтром нижних частот с полосой пропускания -р/Т_Д<щ<р/Т_Д. При этом относительный квадрат ошибки, обусловленной непопаданием в полосу пропускания ФНЧ высших спектральных составляющих сообщения, с учетом (1.4) определяется как

, (1.6)

т. е. равен отношению мощности отброшенной части спектра к средней мощности исходного сообщения.

Кроме того, ошибку, вызванную попаданием в полосу частот фильтра составляющих только соседних копий спектра (из-за перекрытий спектров) при симметричности спектра сообщения можно также оценить по формуле (1.6). Поэтому при использовании идеального ФНЧ суммарная ошибка восстановления сигналаравна удвоенному относительному квадрату ошибки дискретизации.

В общем случае восстановление (интерполяция) непрерывного сообщения x(t) по его отсчетам выполняется в соответствии с (1.2). Реализация базисной функции (1.3) влечет увеличение вычислительных затрат, поэтому широко используют алгебраические полиномы. В частности, часто применяются ступенчатая и линейная интерполяции.

При ступенчатой интерполяции (рис. 1.4) используется только один отсчет и одна базисная функцияц₁(t) = 1. Тогда восстановленное сообщение:

. (1.7)

Рис. 1.4. Процесс ступенчатойинтерполяции

При линейной интерполяции (рис. 1.5) используются два отсчета, а базисные функции равны В этом случае восстановленное сообщение выражается:

. (1.8)

Рис. 1.5. Процесс линейной интерполяции

В [1] показано, что для любых стационарных процессов с нулевым математическим ожиданием относительный средний квадрат погрешности интерполяции при ступенчатой интерполяции:

, (1.9)

при линейной интерполяции

, (1.10)

где r_х(х) - нормированная корреляционная функция исходного сообщения;

1.3 Квантование непрерывных процессов по уровню

Операция квантования по уровню заключается в замене непрерывного множества значений, которые может принимать сообщение x(t), дискретным множеством заранее определенных значений хⁱ_кв, i = l,...,L_кв, называемых уровнями квантования. Такое преобразование выполняет нелинейное устройство с характеристикой, изображенной на рис. 1.6, следующим образом. Диапазон возможных значений сообщения разбивается на L_кв интервалов. При попадании отсчета сигнала в i-й интервал ему присваивается значение xⁱ_кв.

Различают равномерное и неравномерное квантование. При равномерном квантовании (рис. 1.4) шаг Дхберется постоянным, а уровень xⁱ_кв соответствует середине i-интервала квантования. При неравномерном квантовании (рис. 1.6) шаг Дх является переменным (например, для речевого сигнала).

Рис. 1.6. Характеристика равномерного квантователя

Замена непрерывного множества возможных значений сообщения дискретным множеством фиксированных значений приводит к погрешности, называемой шумом квантования. При равномерном квантовании дисперсия погрешности квантования определяется как

,(1.11)

где w(x)- плотность распределения вероятностей мгновенных значений сообщения x(t).

1.4 Описание лабораторной установки для проведения работы

Работа выполняется в программном пакете Matlab 7.11.0 (R2010b) и состоит из двух частей: первая часть по теме «Дискретизация», вторая - по теме «Квантование».

Дискретизация

Лабораторная установка по теме «Дискретизация» реализована в модуле Simulink (рис. 1.7) и состоит из блоков формирования сигналов (красный цвет), ступенчатой (желтый цвет) и фильтровой (салатный цвет) интерполяции, переключения (зеленый цвет), выравнивания задержки (синий цвет), дисплеев диаграмм и спектрограмм (розовый цвет) и устройства вычисления относительной погрешности восстановления сигнала (оранжевый цвет).

Рис. 1.7. Схема лабораторной установки по теме «Дискретизация» в Simulink

С помощью спектроанализаторов (B-FFT) выполняется автоматический вывод спектральной плотности дискретного сигнала, непрерывного сигнала, последовательности стробирующих импульсов и восстановленного сигнала. Кроме того, на дисплей выводятся следующие временные диаграммы - интерполированный сигнал, непрерывный сигнал и стробирующие импульсы.

Роль ключа выполняет умножитель, на один вход которого подается непрерывный сигнал, на второй - короткие стробирующие импульсы. На выходе умножителя формируются дискретные отсчеты сигнала. В качестве непрерывного выступает ЛЧМ Линейная частотная модуляция.-сигнал.

Дискретизированный сигнал поступает на блоки интерполяторов (ступенчатого и фильтрового), с выходов которых с помощью специального переключателя восстановленный сигнал подается через выравниватель задержки Позволяет учитывать задержку сигнала, проходящего через фильтр нижних частот. на устройство измерения погрешности восстановления. Для изменения положения переключателя необходимо два раза нажать на него.

Значение погрешности выводится на цифровой индикатор. Элементы «Буфер 2» и «Буфер 3» задают размер выборок (по умолчанию - 8192), по которым вычисляются дисперсии погрешности интерполяции и сигнала.

Ступенчатый интерполятор состоит из блоков «Edgedetector» и устройства ступенчатой интерполяции. «Edgedetector» выступает в качестве синхронизатора и с приходом очередного стробирующего импульса подает команду на фиксацию уровня напряжения на выходе устройства ступенчатой интерполяции.

Фильтровой интерполятор представляет собой последовательно включенный сглаживающий фильтр «Lowpass» и устройство нормировки выходного напряжения, состоящее из вычислителя СКО «RMS» и делителя «Делитель 1».«Буфер 1» задает размер выборки вычисления СКО сигнала на выходе ФНЧ (по умолчанию - 8192).

Квантование

Лабораторная установка по теме «Квантование» реализована вмодуле Simulink (рис. 1.8) и состоит из генераторов сигнала с ЛЧМ и равномерно распределенного случайного процесса (красный цвет), переключателя типа обрабатываемого сигнала (зеленый цвет), усилителя (салатный цвет), квантователя (желтый цвет), дисплея временных диаграмм (розовый цвет) и устройства вычисления относительной погрешности квантования сигнала (оранжевый цвет).

Сигнал с генератора ЛЧМ-сигнала или генератора равномерно распределенного процесса через переключатель, усилитель параллельно подается на ограничитель, квантователь и на один из входов устройства вычисления относительной погрешности квантования сигнала «Устройство вычитания».

Рис. 1.8. Схема лабораторной установки по теме «Квантование» в Simulink

С выхода квантователя квантованный сигнал подается на второй вход устройства вычисления относительной погрешности квантования сигнала «Устройство вычитания». Значение погрешности выводится на цифровой дисплей. Элементы «Буфер 1» и «Буфер 2» задают размер выборок (по умолчанию - 8192), по которым вычисляются дисперсии погрешности квантования и сигнала.

Дисплей временных диаграмм позволяет просматривать квантованный и непрерывный сигнал.

Для задания параметров элементов лабораторных установок необходимо нажать на элемент лабораторной установки два раза.

1.5 Домашнее задание

Импульсные сигналы с внутриимпульсной ЧМ находят широкое применение в радиолокации, связи, измерительной технике и других областях. Привлекли они внимание, прежде всего, в связи с поисками способов сжатия импульсных радиолокационных сигналов, что позволяет повысить разрешающую способность систем [2].

В работе дискретизации и квантованию подвергаются ЛЧМ-сигналы. Требуется:

1. Изучить теоретическую часть по дискретизации и квантованию сигналов.

2. Используя выражения для корреляционной функции ЛЧМ-сигнала:

,

где B=2f_девф_и - база,А₀ - амплитуда ЛЧМ-сигнала, вычислить относительную погрешность его восстановления ступенчатым и линейным интерполятором для параметров ЛЧМ-сигнала: f_дев=200Гц, ф_и=0.1с, А₀=1В при следующих значениях частоты дискретизации F_Д=125, 250, 500, 1000, 1500Гц.

3. Оценить ширину спектра четно-симметричного ЛЧМ-сигнала, используя выражение для огибающей спектра [2]:

, 0 <щ<щ_дев,

где щ_дев - максимальное отклонение от начальной частоты щ₀.

4. Рассчитать относительную погрешность восстановления идеальным ФНЧ для указанных в п. 1 параметров ЛЧМ-сигнала при следующих значениях частоты дискретизации F_Д=125, 250, 500, 1000, 1500Гц.

5. Рассчитать погрешность квантования для равномерно распределенного сигнала в диапазоне от -1В до 1В при следующих шагах квантования: 1В; 0.7В; 0.3В; 0.1В; 0.05В; 0.03В; 0.01В.

6. Рассчитать разрядность кода для каждого шага квантования.

1.6 Экспериментальная часть

Дискретизация

1. Перед запуском компьютерной модели Samplingследует в главном менюSimulation выбрать подкоманду ConfigurationParameters и задать параметр окончания моделирования Stoptimeравный10 с, а параметр Type установить Variable-step.

2. Загрузить компьютерную модель Sampling.

3. Установить следующие параметры ЛЧМ-сигнала: f₀=10 Гц, f_дев=200 Гц (Targetfrequency), четносимметричная ЛЧМ (Sweepmode - Bidirectional), ф_и=0.1 с (Sweeptime, Targettime).

4. Установить период следования стробирующих импульсов (Period) равный 20?10^-4 с, длительность импульса (Pulsewidth - 1?10^-4 с).

5. Синтезировать сглаживающий фильтр с частотой среза равной верхней частоте спектра ЛЧМ-сигнала.

6. С помощью переключателя установить тип интерполятора.

7. Провести моделирование работы лабораторной установки, нажав в верхней части окна иконку “>”. Остановить моделирование можно нажатием кнопки “¦”.

8. По спектру стробирующих импульсов определить частоту дискретизации.

9. По индикатору определить значение погрешности восстановления сигнала.

10. Изменить частоту дискретизации, сначала уменьшив ее в 2 и 4 раза, а затем увеличив в 2 и в 3 раза и повторить моделирование при разных типах интерполяторов.

Квантование

1. Загрузить компьютерную модель Quantizing.

2. Установить следующие параметры ЛЧМ-сигнала: f₀=10 Гц, f_дев=200 Гц (Targetfrequency), четно-симметричная ЛЧМ (Sweepmode - Bidirectional), ф_и=0.1 с (Sweeptime, Targettime).

3. Установить параметры равномерно распределенного процесса во вкладке Parametersзначение Minimum=-1,Maximum=1.

4. С помощью переключателя установить тип квантованного сигнала.

5. Установить в квантователе требуемый шаг квантования (Quantizationinterval).

6. Провести моделирование работы лабораторной установки, нажав в верхней части окна иконку “>”. Остановить моделирование можно нажатием кнопки “¦”.

7. Измерить по индикатору относительную погрешность квантования ЛЧМ-сигнала и случайного равномерно распределенного процесса от шага квантования: 1 В; 0.7 В; 0.3 В; 0.1 В; 0.05 В; 0.03 В; 0.01 В, при коэффициентах усиления 1,1.3,1.6,2,2.2,2.5.

8. Установить зависимость между шагом квантования и усилением сигнала при фиксации ошибки квантования не более чем 10^-3.

9. Определить разрядность ИКМ-кода для каждого шага квантования.

1.7 Оформление отчета

Примерная структура отчета приведена в приложении. Отчет должен содержать по теме«Дискретизация»зависимости погрешностей восстановления сигнала от частоты дискретизации при разных типах интерполяторов; по теме «Квантование»- зависимости погрешности квантования от шага квантования при разных типах входного сигнала, а также расчетные результаты домашнего задания.

1.8 Контрольные вопросы

1. В чем состоит физический смысл теоремы Котельникова?

2. Как выглядит спектр периодических д-импульсов?

3. Назовите причины искажения формы восстановленного после дискретизации процесса?

4. От каких характеристик зависит ошибка восстановления дискретизированного сигнала ступенчатым и линейным интерполятором?

5. Рассчитайте ошибку восстановления идеальным ФНЧ экспоненциального сигнала (), обусловленную ограничением спектра дискретизируемого сигнала.

6. Чему равна ошибка восстановления идеальным ФНЧ экспоненциального сигнала, обусловленная попаданием в полосу сигнала составляющих его соседней копии спектра?

7. Дайте определение операции квантования сигнала.

8. Как вы полагаете, для чего необходимо применять неравномерное квантование?

9. Выведите формулу погрешности квантования для равномерно распределенного сигнала.

Лабораторная работа № 2. Помехоустойчивость передачи бинарных сообщений

2.1 Цели и задачи работы

Целью работы является исследование помехоустойчивости передачи бинарных сообщений с использованием сигналов с фазовой и относительной фазовой манипуляцией, с квадратурной фазовой манипуляцией и квадратурной фазовой манипуляцией со сдвигом, с частотной манипуляцией с непрерывной фазой и ее разновидностями.

Задача работы состоит в том, чтобы закрепить навыки по оценке характеристик оптимального приема указанных сигналов.

2.2 Прием бинарных сигналов как статистическая задача проверки гипотез

Известно, что прием сигналов, как правило, ведется на фоне помех. При отсутствии помех операция разделения заранее известных сигналов достаточно проста. Однако на фоне, например, аддитивной помехи n(t) все намного сложнее и поэтому ставится задача определить, какой из m возможных полезных сигналов s_r(t), r = 1, 2, ..., m, в данный момент поступает на вход приемного устройства.

Пусть имеется множество всех возможных реализаций входного процесса на интервале анализа (T_a),которое разбивается на т непересекающихся подмножеств U_r(рис. 2.1).

Каждому подмножеству U_rставится в соответствие предположение -- «присутствует сигнал s_l» или по-другому выдвигается гипотеза H_l. Однако после выбора той или иной гипотезы Н_rне может быть полной уверенности, что это решение правильное.



Рис. 2.1. Процесс разбиения множества реализаций u(t) на подмножества U_m и выдвижения гипотез H_mо принадлежности реализации к сигналу s_l (u₁, u₂, ..., u_м - выборочные значения реализации)

Рассмотрим бинарный случай т= 2. При справедливости гипотезы Н₁, когда значения процесса u(t) подчиняются условной плотности вероятности (функции правдоподобия) w(u|H₁) существует отличная от нуля вероятность того, что принятая реализация u(t) на отрезке T_a окажется принадлежащей не к подмножеству U₁, а к подмножеству U₂. Тогда решение окажется принятым в пользу гипотезы Н₂ и это решение будет ошибочным. Вероятность такого ошибочного решения при справедливости гипотезы Н₁

.(2.1)

При справедливости гипотезы Н₂вероятность ошибочного решения вычисляется аналогично:

.(2.2)

Как видно из (2.1), (2.2), вероятности ошибочных решений зависят от способа разделения множества Uвсех возможных реализаций процесса u(t) на непересекающиеся подмножества U_r.

Способ разделения зависит от стратегии принятия решения, т. е. от того, какие показатели рассматриваемой радиотехнической системы являются определяющими. Поэтому, необходимо выбрать критерий оптимальности.

Введем понятие условного риска. Это потери при ошибочном выборе гипотезы. В нашем случае при справедливости гипотезы Н₁ условные риски составят

, (2.3)

а при справедливости гипотезы Н₂

, (2.4)

где с₁₂ и с₂₁ - весовые коэффициенты, подчеркивающие значимость ошибки.

Первая и вторая гипотезы оказываются справедливыми с некоторыми вероятностями р(Н₁) и р(Н₂), называемыми априорными. Например, сигналы s₁(t) и s₂(t) могут передаваться с разной частотой, следовательно, иметь различные вероятности появления на входе устройства обработки. В то же время принимается, что p(H₁)+р(Н₂) = 1, поскольку одна из двух гипотез обязательно оказывается справедливой. Тогда средний риск вычисляется

. (2.5)

Затем необходимо выбрать такую стратегию принятия решений, чтобы средний риск соказался минимальным. Эта стратегия называется оптимальной байесовской стратегией, а соответствующий критерий оптимальности - минимум среднего риска. Такую стратегию можно представить следующим образом:

(2.6)

где Л^(м)(u) = w(u|H₁)/w(u|H₂) - отношение правдоподобия,

- порог принятия решения.

Если любая ошибка одинаково нежелательна, то такая стратегия является, оптимальной по Котельникову (по критерию идеального наблюдателя). В этом случае порог принятия решения:

. (2.7)

В том случае, когда априорные вероятности всех гипотез одинаковы, то порог принятия решения (2.7)

Л₀=1. (2.8)

Оптимальная стратегия (2.6) при условии порога (2.8) называется стратегией, оптимальной по критерию максимума отношения правдоподобия.

Использование любой из рассмотренных стратегий принятия решения предполагает вычисление отношения правдоподобия Л^(м)(u). Интуитивно понятно, что многомерная плотность вероятности процесса u(t)определяется многомерной плотностью вероятности w(n) процесса n(t). Следовательно, необходимо задать статистику случайного процесса n(t).

Пусть на вход приемника поступают некоррелированные отсчеты белого гауссова шума n_к с нулевым средним и спектральной плотностью N₀/2 при аддитивном взаимодействии с отсчетами сигнала s_rk. Отсчеты n_к некоррелированы и независимы, поэтому M-мерная плотность вероятностей распределения отсчетов шума определяется как произведение их одномерных плотностей вероятности [3]:

. (2.9)

Для вычисления отношения правдоподобия Л^(м)(u) необходимо определить функции правдоподобия w(u|H_r), причем с учетом выражения

. (2.10)

Тогда отношение правдоподобия Л^(м)(u) можно представить в следующей форме[4]:

(2.11)

При М>? отношение правдоподобия называется функционалом отношения правдоподобия.

Для удобства представления перейдем от экспоненциальной формы к логарифмической и перепишем (2.11) в виде

. (2.12)

С учетом действия бинарного Под бинарным сигналом понимается радиоимпульс с высокочастотным заполнением. сигнала на периоде от 0 до T_c, можно записать:

, (2.13)

где - энергия сигнала s_r(t).

При одинаковых априорных вероятностях полезных сигналов, используя критерий идеального наблюдателя, алгоритм работы оптимального демодулятора с учетом (1.16), (1.18) и (1.23) для m = 2 записываем в виде:

(2.14)

если регистрируется сигнал s₁(t), в противном случае -- сигнал s₂(t).

На практике часто Е₁=Е₂. Тогда

. (2.15)

Из (2.15) следует, что решение о сигнале принимается после сравнения степени корреляции между эталонными сигналами s₁(t) или s₂(t) и входным сигналом u(t). Кроме того, для принятия решения требуется знание фазы высокочастотного заполнения (когерентный прием).

2.3 Относительная фазовая манипуляция

Как показано в [1], наименьшая вероятность ошибочного когерентного приема бинарных сигналов может быть достигнута при использовании фазоманипулированныхBPSK (англ.). (ФМ)на 180 градусов сигналов:

и .

Вместе с тем, возникают серьезные трудности при формировании опорного колебания, когерентного с принимаемым сигналом. Эти трудности вызваны тем, что в спектре ФМ-сигнала отсутствует несущая. При этом известным схемам формирования опорного сигнала при приеме ФМ-сигнала присущ один недостаток -- возможны случайные изменения фазы опорного сигнала на р, которые порождают явление «обратной работы», когда символ 1 регистрируется как 0, а символ 0 -- как 1.

Существует метод Автор -- Н.Т. Петрович., получивший название относительной фазовой манипуляции (ОФМDPSK (англ.).), который заключается в том, что полезная информация содержится не в абсолютном значения начальной фазы сигнала, а в разности начальных фаз двух соседних сигналов. Данное утверждение поясняется на рис. 2.2.

Алгоритм формирования ОФМ-сигнала состоит в следующем: для передачи символа 0 начальная фаза передаваемого колебания сохраняется неизменной по отношению к начальной фазе колебания на интервале длительности предшествующего символа. Для передачи символа 1 начальная фаза излучаемого колебания поворачивается на 180°[3].

Рис. 2.2. Формирование ОФМ-сигнала

Метод ОФМ можно рассматривать как совокупность процедур кодирования и фазовой манипуляции. Декодирование осуществляется с помощью операций задержки на такт и сложения по модулю 2:

(2.16)

где a_k - информационные символы; b_k- перекодированные символы.

Алгоритм оптимального приема сигналов с ОФМ реализован в схеме, изображенной на рис. 2.3. Задержка на время Т₀позволяет сохранять информацию о предыдущем значении напряжения на выходе интегратора в момент окончания каждого сигнала. При реализации данной схемы случайный скачок по фазе на 180° не опасен, т. к. ошибка будет иметь место только в одном символе, а в остальных прием будет правильным.

Потенциальную помехоустойчивость когерентного приема ОФМ-сигналов на фоне белого гауссова шума можно определить как:

,(2.17)

где - интеграл вероятности.

Рис. 2.3. Структурная схема оптимального когерентного демодулятора

2.4 Квадратурная фазовая манипуляция

Ширина спектра последовательности передаваемых сигналов с ФМили ОФМ определяется длительностью сигнала Т. Для бинарных сигналов (т = 2) величина Т равна длительности Т_с одного двоичного информационного символа. Полосу частот, требуемую для передачи сигналов с ФМ (ОФМ), можно сократить путем перехода к многократной фазовой модуляции. При этом исходная последовательность двоичных символов разбивается на блоки по log₂mсоседних символов (m = 4, 8, 16, ...). Количество возможных комбинаций двоичных символов, соответствующих одному такому блоку, равно m. Если для передачи каждой такой комбинации используется элементарный сигнал в виде отрезка гармонического колебания с той или иной начальной фазой ц, то для каждой i-й из возможных mкомбинаций соответствует определенное значение Дц_i=2рi/m разности начальных фаз предыдущего и последующего элементарных сигналов (i=0,1,..,т-1). При таком методе модуляции длительность сигнала оказывается равной T=Т_сlog₂m, что приводит к соответствующему сокращению в log₂mполосы занимаемых частот[4].

Если m равно 4, то метод называют квадратурной ФМ (КФМ.QPSK (англ.).). Необходимо разделить исходную последовательность двоичных информационных символов на последовательности четных х_2kи нечетных x_2k+1символов удвоенной длительности:

(2.18)

где -- удлиняющая функция.

Представим последовательность передаваемых сигналов y(t)с квадратурной фазовой манипуляцией в виде суммы двух гармонических колебаний, промодулированных квадратурными составляющими x₁(t)и x₂(t):

(2.19)

Значения начальной фазы ц колебания y(t)в (2.19) при различных сочетаниях передаваемых символов х_2kи х_2k+1приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

х2k	1	1	-1	-1
х2k+1	1	-1	1	-1
	/2	0		-/2

Как видно из табл. 2.1, в колебании y(t)могут иметь место скачки начальной фазы на 180°. Прохождение последовательности таких сигналов через узкополосные фильтры в моменты скачков фазы колебания на 180° вызывает глубокую паразитную амплитудную модуляцию этих сигналов, приводящую к увеличению их пик-фактора и, как следствие, к дополнительные искажения при нелинейных режимах усиления.

2.4 Квадратурная фазовая манипуляция со сдвигом

Для снижения уровня такой паразитной AM при т=4 разработана модификация метода КФМ, называемая квадратурной фазовой манипуляциейсо сдвигом (КФМСOQPSK (англ.).). В этом случае колебание y(t), в отличие от (2.19), формируется в виде

(2.20)

Как видно из (2.18) и (2.20), знак любой из функций х₁(t) и х₂(t) может меняться лишь в те моменты, когда значение другой функции сохраняется неизменным. Такой сдвиг по времени моментов возможной смены знака модулирующих последовательностей приводит к существенному отличию результирующего колебания y(t) при КФМС по сравнению с КФМ. В табл. 2.2 приведены значения начальной фазы ц колебания y(t) в (2.20) для различных сочетаний последовательно переданных нечетных символов х_2k-1,х_2k+1 и соответствующего четного символа х_2k. Здесь же указаны значения скачка начальной фазы ц в момент появления очередного нечетного информационного символа. Очевидно, что подобная картина будет иметь место и в моменты появления очередного четного символа, когда неизменным оказывается значение функции x₂(t).

Таблица 2.2

х2k	1	1	1	1	-1	-1	-1	-1
х2k-1, х2k+1	1	1	1	-1	-1	1	-1	-1	1	-1	1	-1	-1	1	-1	-1
	/2	/2	/2	0	0	/2	0	0				-/2	-/2		-/2	-/2
	0	-/2	/2	0	0	/2	-/2	0

Как следует из табл. 2.2, скачки начальной фазы ц колебания y(t) возможны лишь на ±р/2, что снижает паразитную амплитудную модуляцию при прохождении сигнала через полосовые цепи.

При приеме сигналов как с КФМ, так и с КФМС можно воспользоваться тем, что составляющие y₁(t) и y₂(t) суммарной последовательности y(t) сдвинуты на 90° по фазе высокочастотного заполнения, а сообщения x₁(t) и x₂(t) независимы. В этих условиях легко осуществить раздельный прием каждой из составляющих y₁(t) и y₂(t) в соответствии с алгоритмом оптимального когерентного приема сигналов с ФМ. Так же строится устройство приема сигнала с КФМС, когда последовательность y(t) имеет вид (2.20).

Рассмотрим помехоустойчивость приема сигналов с КФМ и КФМС. Поскольку возможен раздельный прием четных и нечетных символов сообщения x(t), искомая вероятность ошибочного приема совпадает с вероятностью ошибок при оптимальном когерентном приеме сигналов с ФМ, составляющих любую из последовательностей y₁(t) и y₂(t). Средняя мощность этих сигналов, как видно из (2.19) и (2.20), вдвое меньше средней мощности последовательности y(t) сигналов с КФМ или КФМС, однако их длительность вдвое превышает длительность одного информационного двоичного символа сообщения x(t). Поэтому энергия каждого из рассматриваемых сигналов, составляющих последовательности y₁(t) и y₂(t), совпадает с энергией сигнала, передающего исходное сообщение x(t)методом двоичной ФМ при тех же энергетических затратах. Следовательно, искомая вероятность ошибочного приема сигналов как с КФМ, так и с КФМС определяется выражением для оптимального когерентного приема бинарных фазоманипулированных сигналов.

Таким образом, при переходе от двоичной ФМ к КФМ или КФМС примерно вдвое сокращается полоса занимаемых частот без снижения помехоустойчивости приема, причем метод КФМС обеспечивает снижение уровня паразитной амплитудной модуляции при прохождении сигналов через частотно-избирательные цепи.

2.5 Частотно-манипулированные сигналы с непрерывной фазой

Ширина спектра колебания y(t)в (2.19) и (2.20) определяется видом квадратурных составляющих y₁(t) и y₂(t). Поэтому спектр сигнала с КФМС можно сузить, если ввести вспомогательную амплитудную модуляцию этих квадратурных составляющих, позволяющую уменьшать значение огибающих колебаний y₁(t) и y₂(t) в моменты скачков фазы этих колебаний на 180°. С учетом требования отсутствия амплитудной модуляции в колебании y(t) оказывается удобным указанную вспомогательную амплитудную модуляцию квадратурных составляющих осуществить по гармоническому закону:

(2.21)

Как видно из (2.21)функции и порождают вспомогательную амплитудную модуляцию в квадратурах. Знак x₁(t) может меняться лишь в моменты равенства нулю огибающей квадратурной составляющейy₁(t),x₂(t) -в моменты равенства нулю огибающей квадратурной составляющей y₂(t). Этим обеспечивается непрерывность фазы суммарного колебания y(t)в моменты смены информационных символов. При этом на каждом i-интервале времени [iT_c, (i+1)T_с] колебание y(t) имеет постоянную огибающую и одну из двух возможных частот щ₀±р/2T_с:

 (2.22)

где .

Из (2.22) следует, что на рассматриваемом i-м интервале времени ц_i принимает значения 0 или р, когда функция x₂(t) равна 1 или -1 соответственно. Таким образом, колебание y(t) представляет собой последовательность сигналов с частотной манипуляцией и непрерывной фазой (ЧМНФCPFSK (англ.).).

Рассмотренный метод формирования сигналов с ЧМНФ называется квадратурным.

Существует прямой метод формирования ЧМНФ-сигнала, когда частота каждого сигнала на интервале длительности Т_с определяется непосредственно передаваемым в этот момент символом сообщения. При этом, в общем случае на интервале [kT_с, (k+1)T_c]:

, (2.23)

Где - индекс манипуляции.

Частным случаем ЧМНФ является частотная манипуляция с минимальным сдвигом (ЧММСMSK (англ.).), когда индекс модуляции выбирается равным 0.5. В отличие от обычной двоичной ЧМ, когда разнос частот кратен 1/T_c, в данном случае разнос частот существенно меньше и равен 1/2T_с, что и обусловило название этого метода.

Необходимо помнить, увеличение значениядо единицы и более приводит как к расширению спектра сигнала, так и к снижению помехоустойчивости при приеме. В частности, при выборе =l выражение (2.23) описывает последовательность ортогональных в усиленном смысле сигналов с частотной манипуляцией, спектр которых шире, чем при ЧММС.

Для оценки потенциальных возможностей метода ЧММС (ЧМНФ) рассмотрим когерентный прием, когда можно полностью разделить квадратурные составляющие y₁(t) и y₂(t) как при приеме сигналов с КОФМ или КОФМС. При независимых информационных последовательностях четных и нечетных элементов исходного сообщения x(t) задача оптимального когерентного приема сигналов с ЧММС сводится по существу к задаче раздельной оптимальной обработки последовательностей х₁(t) и х₂(t) вида (2.21).

Рассмотрим в качестве примера оптимальный когерентный прием последовательности элементов сообщения х₁(t), содержащихся в y₁(t). Как следует из (2.18) и (2.21), длительность интервала анализа при приеме каждого сигнала равна 2T_c, так что алгоритм оптимального приема 2k-го (по порядку следования) элемента сообщения с учетом (2.15) имеет вид: регистрируется символ б_i,если

(2.24)

Точно так же для приема сигналов, составляющих последовательность y₂(t) легко получить следующий алгоритм: регистрируется символ б_i, если

(2.25)

Устройство, реализующее алгоритмы (2.24) и (2.25) на основе принципа корреляционной обработки, изображено на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Оптимальный приемник ЧММС-сигнала

Определим вероятность ошибочного приема сигналов с ЧММС. Так же, как и при использовании КФМ или КФМС, эта вероятность равна вероятности ошибочного приема сигналов, составляющих любую из последовательностей y₁(t) или y₂(t) в (2.21). При этом каждая из них представляет собой последовательность сигналов с двоичной ФМ и средней мощностью, вдвое меньшей средней мощности суммарного колебания y(t). Однако длительность интервала анализа в соответствии с (2.24) вдвое превышает длительность Т_с интервала времени передачи одного информационного символа. Поэтому энергия обрабатываемого сигнала, на основе которого принимается решение, например, об очередном символе x_2k, оказывается равной энергии сигнала при передаче сообщения x(t) методом двоичной ФМ при тех же общих энергетических затратах[1].

Тогда очевидно, что вероятность ошибок при оптимальном когерентном приеме сигналов с ЧММС совпадает с вероятностью ошибочного приема сигналов с двоичной ФМ.

Такая же помехоустойчивость реализуется при оптимальном когерентном приеме сигналов с КФМ и КФМС. Однако сигналы с ЧММС имеют существенно более высокую скорость спада внеполосных излучений, пропорциональную четвертой степени отстройки от центральной частоты, тогда как при КФМ и КФМС эта зависимость имеет квадратичный характер.

Разновидностью частотной манипуляции с минимальным сдвигом является гауссовская частотная манипуляция с минимальным сдвигом (ГЧММСGMSK (англ.).)

ГЧММС относится к спектрально-эффективным методам манипуляции и используется в системах сотовой подвижной связи стандарта GSM. Манипуляция называется так потому, что последовательность информационных бит до модулятора проходит через фильтр нижних частот с гауссовской амплитудно-частотной характеристикой, что дает значительное уменьшение ширины полосы частот излучаемого сигнала. Формирование ГЧММС-сигнала аналогично ЧМСС. Манипуляцию ГЧММС характеризуют следующие свойства [1]: -- постоянная по уровню огибающая, позволяющая использовать передающие устройства с усилителями мощности класса С;

- узкий спектр на выходе усилителя мощности передающего устройства, обеспечивающий низкий уровень внеполосного излучения;

- хорошая помехоустойчивость канала связи.

2.6 Описание лабораторной установки для проведения работы

Работа выполняется в программном пакете Matlab 7.11.0 (R2010b) и состоит из трех частей: первая часть - по теме «Исследование помехоустойчивости приема сигналов с ФМ и ОФМ», вторая - по теме «Исследование помехоустойчивости приема сигналов с КФМ и КФМС», третья - по теме «Исследование помехоустойчивости приема сигналов с ЧМНФ, ЧММС и ГЧММС».

Лабораторные установки по указанным темам, реализованные в модуле Simulink по единой структуре (рис. 2.5, 2.6, 2.7), представляют собой радиотехнические системы передачи информации с разными типами манипуляции когерентной обработкой сигналов. Каждая установка состоит из генератора бинарных сообщений (красный цвет), модулятора и демодулятора сигналов (желтый цвет), канала связи (светло синий цвет), дисплеев спектрограмм (розовый цвет), дисплеев фазовых состояний и траекторий движения фазы сигнала (белый цвет), анализаторов ошибок (оранжевый цвет). Генератор бинарных сообщений выдает равновероятные случайные символы 0 или 1. По спектроанализатору возможно сравнить полосу сигналов с разными законами манипуляции.

Рис. 2.5. Лабораторная установка по теме «Исследование помехоустойчивости приема сигналов с ФМ и ОФМ» в Simulink

Рис. 2.6. Лабораторная установка по теме «Исследование помехоустойчивости приема сигналов с КФМ и КФМС» в Simulink



Рис. 2.7. Лабораторная установка по теме «Исследование помехоустойчивости приема сигналов с ЧМНФ, ЧММС и ГЧММС» в Simulink

Дисплей фазовых состояний позволяет идентифицировать закон манипуляции, а дисплей траектории движения фазы - перескоки фазы. Демодуляторы осуществляют когерентную обработку сигналов по критерию «идеального наблюдателя».

В канале связи действует белый гауссов шум и можно задавать отношение сигнал-шум в децибеллах. Анализатор ошибок выполняет подсчет общего числа принятых символов (нижний индикатор дисплея), число ошибочных символов (средний индикатор дисплея) и вероятность ошибки приема символа (верхний индикатор дисплея).

2.7 Домашнее задание

1. Рассчитать зависимости вероятности ошибки приема символов от отношения сигнал-шум:

- при когерентном приеме фазоманипулированных сигналов по формуле:

;

- при когерентном приеме бинарных сигналов с относительной фазовой манипуляцией.

2. По известным вам формулам рассчитайте зависимости вероятности ошибки приема символов от отношения сигнал-шум для приема бинарных сигналов с ЧМНФ, ЧММС, КФМ, КФМС.

3. Продумайте, как будет выглядеть структурная схема оптимального приемника КФМ- и КФМС-сигналов.

4. Зарисовать КФМ- и КФМС-сигналы при передаче бинарного сообщения: 11010011.

5. Загрузите в Matlab модуль BerToolи постройте теоретические зависимости вероятностей ошибки приема символа от отношения сигнал-шум в канале связи для используемых в работе законов манипуляции.

2.8 Экспериментальная часть

Исследование помехоустойчивости приема сигналов с ФМ и ОФМ

1. Перед запуском компьютерной модели следует в главном меню Simulation выбрать подкоманду Configuration Parameters и задать параметр окончания моделирования Stoptime равный 1 с, а параметр Type установить Variable-step.

2. Загрузить компьютерную модель DBPSK.

3. Двойным нажатием на канал связи установить произвольное отношение сигнал-шум.

4. Провести моделирование работы лабораторной установки, нажав в верхней части окна иконку “>”. Остановить моделирование можно нажатием кнопки “¦”.

5. Наблюдая по дисплеям состояния фазы сигнала, зафиксировать влияние шума в канале на фазовый портрет.

6. Изменяя отношение сигнал-шум в канале от -10 до 10 дБ с шагом 2 дБ снять зависимости вероятности ошибки приема символа.

7. Увеличить в 2 раза частоту генерации бинарных сообщений, изменив параметр Sampletime блока «Генератор бинарных сообщений» с 10^-4 на 5*10^-5 и сократить время работы модели в 2 раза. Повторить предыдущий пункт.

Исследование помехоустойчивости приема сигналов с КФМ и КФМС

1. Загрузить компьютерную модель QPSK.

2. Двойным нажатием на канал связи установить отношение сигнал-шум в канале 20 дБ.

3. Провести моделирование работы лабораторной установки.

4. Наблюдая по дисплеям движения фазы сигнала, определить максимальную величину скачков фазы для сигналов с КФМ и КФМС.

5. По спектроанализаторам зарисовать спектры сигналов с КФМ и КФМС. Объяснить их различие.

6. Изменяя отношение сигнал-шум в канале от -10 до 10 дБ с шагом 2 дБ снять зависимости вероятности ошибки приема символапри КФМ и КФМС.

7. Увеличить в 2 раза частоту генерации бинарных сообщений, изменив параметр Sampletime блока «Генератор бинарных сообщений» с 10^-4на 5*10^-5 и повторить предыдущий пункт.

Исследование помехоустойчивости приема сигналов с ЧМНФ, ЧММС и ГЧММС

1. Загрузить компьютерную модель GMSK.

2. Изменяя отношение сигнал-шум в канале от -10 до 10 дБ с шагом 2 дБ снять зависимости вероятности ошибки приема символа при ЧМНФ, ЧММС и ГЧММС.

3. По спектроанализаторам зарисовать спектры сигналов с ЧММС и ГЧММС. Объяснить их различие.

4. Увеличить в 2 раза частоту генерации бинарных сообщений, изменив параметр Sampletime блока «Генератор бинарных сообщений» с 10^-4 на 5*10^-5и повторить пункт 2.

5. Установить отношение сигнал-шум в канале 5 дБ. Снять зависимости вероятности ошибки приема символа при ЧМНФ от индекса манипуляции. Индекс манипуляции изменять в диапазоне от 0.1 до 1в строке Modulationindex меню, которое вызывается двойным нажатием на модулятор и демодулятор CPFSK. Отметить изменение помехоустойчивости. По спектроанализатору зарисовать спектр сигнала при различных индексах.

2.9 Оформление отчета

Примерная структура отчета приведена в приложении. Отчет должен содержать зависимости вероятности ошибки приема символа от отношения сигнал-шум в канале связи при разных законах манипуляции (ФМ, ОФМ, КФМ, КФМС, ЧМНФ, ЧММС, ГЧММС), от индекса манипуляции при приеме ЧМНФ-сигналаcфиксированным отношением сигнал-шум, полученные в ходе эксперимента и расчетов. Кроме того, необходимо зарисовать временные диаграммы КФМ- и КФМС-сигналов, а также структурные схемы оптимальных приемников КФМ- и КФМС-сигналов.

2.10 Контрольные вопросы

1. В чем заключается оптимальная стратегия принятия решения для «идеального наблюдателя»?

2. Как изменится помехоустойчивость передачи бинарных сигналов, если в лабораторной установке изменить вероятность появления символов?

3. Докажите, что при реализации схемы формирования ОФМ-сигнала случайный скачок по фазе на 180° не опасен.

4. Чему равна вероятность ошибочного приема символовпри использовании КФМС?

5. Математически докажите, что скачок по фазе сигнала вызывает паразитную амплитудную модуляцию при его прохождении через узкополосные цепи.

6. От каких параметров сигнала зависит помехоустойчивость приема бинарных сообщений?

7. Сформулируйте закон изменения фазы результирующего колебания ЧММС-сигнала при его квадратурном формировании.

8. Как вы понимаете значение термина «спектрально-эффективный метод модуляции»?

9. В чем, по вашему мнению, заключается основное преимущество использования GMSK-сигнала?

сигнал помехоустойчивость кодирование

Лабораторная работа № 3. Исследование сложных фазоманипулированных сигналов

3.1 Цели и задачи работы

Целью работы является исследование сложных фазоманипулированных сигналов.

Задача работы состоит в том, чтобы закрепить навыки по формированию, передаче и оптимальному приему сложных фазоманипулированных сигналов.

3.2 Формирование, передача и прием сложных фазоманипулированных сигналов

Сложными сигналами называют такие сигналы, у которых произведение ширины спектра на длительность много больше единицы [10]. По-другому это произведение называется базой сигнала:

, (3.1)

где F - ширина спектра сложного сигнала;

Т - длительность сложного сигнала.

Фазоманипулированные сигналы (ФМн-сигналы) - это последовательность радиоимпульсов, начальные фазы которых изменяются по закону изменения сообщения. Как правило, используются сигналы с бинарной фазовой манипуляцией, состоящие из радиоимпульсов с двумя значениями начальных фаз 0 и р, которые соответствуют 0 и 1 бинарного сообщения.

Сложные фазоманипулированные сигналы состоят из элементарных импульсов, имеющих одинаковую несущую частоту и отличающихся по фазе. Если определить полосу сигнала на рис. 3.1 известным соотношением F_c?1/T₀, то при длительности сигнала T_c= NT₀ его база B будет примерно равна N- числу символов в модулирующей кодовой последовательности.

Рис. 3.1. Структура сложных фазоманипулированных сигналов

Автокорреляционная функция (АКФ) комплексной огибающей сложного фазоманипулированного сигнала представляет собой центральный пик с единичной амплитудой, расположенный внутри интервала [-T₀, T₀]. Уровни боковых пиков АКФ значительно меньше и обратно пропорциональны .

Энергетический спектр комплексной огибающей сложного ФМн-сигнала представляет собой произведение энергетических спектров элементарного импульса длительностью T₀и кодовой последовательности длиной N. При большомNспектр кодовой последовательности имеет равномерный характер и равен N. Таким образом, получаем:

...