Задача голосования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области

Международный университет природы, общества и человека “Дубна”

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Социальное моделирование и программирование»

на тему: «Задача голосования»

Выполнила студентка

4 курса группы 4131 Боровкова К.И.

Руководитель работы: доцент, к.т.н.

Рубчинский А.А.

Дубна, 2013

Введение

С давних времен человечество задумывалось о процедурах и методах принятия коллективных решений, в связи с этим возник интерес к тому, как это коллективное решение должно быть выявлено. На первых порах определялся лишь круг вопросов, который должен быть коллективно решен, однако с перестройкой и демократизацией общества, каждый раз заново возникал вопрос о том, как (т. е. с помощью какой процедуры) это коллективное решение может и должно приниматься. Наиболее распространенным способом принятия коллективного решения является голосование.

Голосование -- один из базовых механизмов принятия коллективных решений.

Голосование характеризуется следующими особенностями: а) каким-либо образом формируется набор вариантов (например, кандидатов на выборную должность, вариантов управленческого решения и т. д.), в отношении которых должно быть принято решение; этот список вариантов вносится в избирательный бюллетень; б) каждый из участников процедуры (избирателей) вырабатывает свое мнение об этих вариантах и отражает его в избирательном бюллетене в соответствии с инструкцией; в) в соответствии с той или иной формальной процедурой по этой информации, поступившей от избирателей, определяется коллективное решение.

Многочисленные процедуры голосования различаются, прежде всего, тем, какой смысл вкладывается в каждый из этих трех пунктов, а любая процедура, в основу которой эти три пункта положены (хотя, быть может, содержащая и другие дополнительные действия), называется процедурой голосования.

Однако даже так широко определенное понятие «процедура голосования» не является единственным способом принятия решения коллективом. Приведем несколько примеров принятия коллективного решения, которые формально не содержат этих трех основных пунктов и поэтому не могут быть названы процедурами голосования.

1. Установление цены на конкурентном рынке в результате взаимодействия спроса и предложения на некоторый товар. Если в результате этого взаимодействия устанавливается некоторая цепа, то она, разумеется, вырабатывается коллективно взаимодействием всех участников торга, однако процедурой голосования она не является.

2. Аукционный торг на выбор коллективного блага и долевое распределение участия в этом благе. Типичный пример: решение о том, построить ли школу или больницу, принимаемое рядом организаций, и решение вопроса о том, какие средства каждая из этих организаций выделит. Такого рода решение может быть принято в форме аукционного торга, когда каждый из участников последовательно вносит свои предложения, меняет их, узнав о предложениях других участников, до тех пор, пока некоторое процедурное правило не закончит такой аукционный торг принятием решения.

3. Иные методы поиска «согласованного решения», в ходе которых ищется компромисс путем изменения подлежащих обсуждению вариантов до тех пор, дока с компромиссным решением ее соглашаются все участники.

Известны и другие методы выработки коллективного решения, которые не содержат явно указанных трех пунктов, характеризующих процедуру голосования, и поэтому не являющихся процедурой голосования «в точном» (или если угодно «в узком») смысле этого термина.

В этой курсовой работе будут рассматриваться лишь процедуры голосования, содержащие указанные выше три признака.

Предмет дальнейшего рассмотрения в работе -- процедура голосования -- необычен. Этим вопросам практически не было посвящено не только книг, но и сколь-либо серьезных исследований на русском языке. В зарубежной литературе встречаются публикации на эту тему. У людей, не знакомых с этой тематикой, сложилось представление о том, что «голосовать -- это просто», что в данной области нет серьезных проблем. Такое представление ошибочно, выбор процедуры голосования -- трудная задача, требующая знания многих фактов, и, как показывает опыт, неудачный выбор процедуры приводит часто к искаженному представлению общественного мнения.

1. Из истории теории голосования

Интерес к процедурам голосования как к способу принятия решения коллективом возник еще в античные времена, когда ученые пытались «на филологическом уровне» изучать эти проблемы. Такие мыслители древности как Плиний-младший, Архимед, Аристотель в своих работах уделяли внимание проблемам голосования. В центре дискуссий оказывались философские, мировоззренческие вопросы, связанные с голосованием (такие, например, как: «Что следует называть большинством?», «Почему надо считаться с тем, как думает большинство?» и т, д.). Техническая сторона дела, различные процедуры голосования в античные времена почти не обсуждались, да и набор процедур, известных философам древности, был весьма ограничен. По-видимому, наиболее древним является выбор по простому большинству голосов -- избирается кандидат, набравший больше голосов, чем другие.

В рамках работы над проектом Конституции Кондорсе разработал новую «конституционную» процедуру голосования. Во Франции эта процедура не была принята. А вот в Женеве почти в течение года выборы в Национальную ассамблею проводились согласно процедуре Кондорсе.

Примерно в это же время в Америке ведется активная работа по созданию Конституции Соединенных Штатов. В числе «отцов Конституции США» были такие известные политические деятели, как Джеймс Мэдисон и Томас Джефферсон. Джеймс Мэдисон по праву считается также специалистом в области коллективного выбора. Во время работы над проектом Конституции США он был безусловно осведомлен об основных работах в теории голосования, проведенных к этому времени во Франции.

Как Джефферсон, так и Мэдисон досконально познакомились с работами Борда и Кондорсе, хотя и не во всем с ними согласились. Можно предположить, однако, что достижения этих ученых оказали сильное влияние на «отцов Конституции». Возможно также, что метод попарных сравнений, применяемый до сих пор в Конгрессе США при решении важнейших государственных вопросов

Итак, к началу XIX века ситуация, сложившаяся в области понимания проблем голосований, выглядит следующим образом:

1. Разнообразие используемых процедур голосования к началу XIX в. было невелико и сводилось к двум-трем вариантам «выбора по большинству голосов».

2. Возникло понимание того, что понятие «большинство»-- не простое и дискутабельное и что, казалось бы, очевидные правила (такие, как выбор по простому большинству) могут приводить к парадоксальным результатам.

3. Выявились различия между конституционным голосованием (на примере выборов в Конвент, парламенты и т. д.) и выборами в малых группах (на примере избрания академиков).

4. Было понято, что проблема голосования -- научная проблема, и в решение ее включились крупные ученые.

5. В арсенал методов, используемых в процедурах голосования, были включены два новых: а) избиратель должен не указать свой выбор (т. е. отметить в бюллетене варианты, с которыми он согласен, или вычеркнуть варианты, с которыми он не согласен), а упорядочить все варианты по степени предпочтительности (например, ранжировать их) и

б) в основу голосования может быть положен метод попарных сравнений вариантов.

На этом фоне могут быть оценены и продвижения в области создания процедур голосования, которые характеризуют XIX век. В области голосований в малых группах, на протяжении XIX века шел процесс эмпирического поиска новых процедур голосований в малых группах.

Центр поиска их сместился в Англию, где в это время становится актуальной задача выбора новых членов в различные престижные клубы, правления и т. п. Предлагаются десятки разных новых процедур коллективного выбора, приводятся различные доводы для выяснения их преимуществ и недостатков, впервые предлагаются и используются многоэтапные процедуры - процедуры с обратной связью.Расширяется круг «изобретателей» новых процедур голосования. Так, английский священник, математик и экономист Чарльз -- Латундж Доджсон (широко известный у нас под псевдонимом Льюис Кэрролл как автор книг «Алиса в Стране чудес» и «Алиса в Зазеркалье»), а также экономисты Джеймс Маршалл, Мэлкворт Прэд и другие исследователи публикуют свои предложения по процедурам голосования. Возникает активная дискуссия, в ходе которой вырабатываются понимание и формулировка проблемы пропорционального представительства. Томас Хар в Англии и независимо от него Карл Джордж Андре в Дании предлагают систему подсчета голосов с помощью квоты.

Однако уже к началу XX века становятся очевидны недостатки и этих, казалось бы «универсальных», способов голосования. Возникшие затем процедуры Варе, Доджсона, Нансона и других ученых увеличили разнообразие возможных способов голосования, однако не привели к появлению «абсолютно приемлемой)) процедуры голосования.

Развитие проблемы идет по пути накопления количества рассматриваемых процедурные по пути углубления их анализа -- почти до конца XIX века глубина анализа процедур не может быть сопоставлена с той, которая была достигнута в конце XVIII века благодаря исследованиям Борда и Кондорсе. В конце XIX века, главным образом в связи с экономическими, социологическими и психологическими исследованиями, в основу теории выбора был положен экстремизационно-критериальный принцип и была понята естественность возникновения многокритериальной ситуации при оценке качества процедур голосования. Наибольшие достижения в этой области связаны с именем итальянского экономиста Вильфредо Парето (1848-- 1929), который объяснил смысл экстремизационной процедуры выбора в многокритериальной ситуации и ввел понятие «множество Парето», до сих пор широко использующееся в теории коллективного выбора. С именем Парето связана также формулировка одного из обязательных требований к процедурам голосования -- принципа Парето: вариант, за который проголосовали все избиратели, включается (соответственно, вариант, за который не проголосовал ни один избиратель, не включается) в коллективный выбор. Принцип Парето до сих пор всегда входит в любой набор обязательных требований к процедуре голосования.

Таким образом, к началу XX века оказались «изобретенными» много десятков процедур голосования в малых группах, но их анализ, наука о голосовании почти не продвинулись вперед: исследования Борда и Кондорсе по-прежнему оставались непревзойденными образцами.

Положение резко изменилось лишь в середине XX века, когда возник новый «всплеск» активности в этой области. Главным образом под влиянием математико-экономических исследований в основу теории индивидуального выбора было вновь положено детальное исследование свойств парных сравнений, и была установлена связь между таким подходом и подходом, основанным на экстремизационно-критериальных принципах. Так, была завершена разработка классической теории индивидуального выбора, а вопросы теории голосования разрабатывались в эти годы лишь в направлении анализа тех процедур, для которых особенности индивидуального и коллективного выбора «звучат одинаково».

Обилие накопившихся процедур голосования и трудности, связанные с выделением среди них «лучшей» процедуры, естественно привели к постановке задачи синтеза «разумных» процедур. В начале 1950-х годов американский ученый Кеннет Эрроу впервые четко и по-новому сформулировал задачу синтеза процедур голосования. Его подход отличался от подхода Кондорсе как объектом исследования, так и постановкой задачи. Объектом исследования у Кондорсе были процедуры выбора в точном смысле этого термина: он синтезировал процедуры, в которых каждый избиратель выделяет из перечисленных в бюллетене вариантов те, которые он считает лучшими (или правильными), а правило агрегирования индивидуальных мнений по этой информации строит коллективный выбор. В отличие от этого Эрроу рассматривает процедуры, возникшие в XIX веке, при которых избиратели не выбирают, а упорядочивают все варианты из бюллетеня, и по этой информации строится коллективное упорядочение (чтобы по нему, используя какое-либо правило, произвести собственно коллективный выбор).Как уже говорилось выше, постановка задачи у Кондорсе связана с поиском процедуры, которая с наибольшей вероятностью приближает коллективное решение к некоторому объективно существующему «правильному». В отличие от этого, Эрроу впервые развивает аксиоматический подход к синтезу процедур голосования. Он сформулировал набор условий, который вошел как канонический во все последующие исследования и, доказав их несовместность, определил центральное направление в развитии задач синтеза систем голосования.

Во второй половине 1970-х годов это направление синтеза переросло в сравнительный анализ различных процедур, т. е. в выяснение того, в какой мере те или иные процедуры удовлетворяют некоторому набору условий или критериев. Не существует стандартных алгоритмов проверки того, удовлетворяет ли процедура тому или иному критерию, установление этого факта в каждом конкретном случае -- результат научных исследований и объект научных публикаций.

Опубликованные до сих пор результаты показывают, что ни одна из известных процедур голосования не удовлетворяет всем вводимым критериям, и при выборе процедуры голосования возникает та же проблема, с которой исходно сталкивается исследователь в многокритериальной ситуации. В ходе работы но сравнительному анализу процедур голосования постепенно уточнялись трудности, которые приходится преодолевать, подбирая процедуру голосования. Для процедур, требующих от голосующего упорядочить варианты по предпочтению, основные трудности -- нетранзитивность коллективного решения, возникновение «циклов предпочтений».

В связи с этим в 50--70-х годах нашего века предлагались новые процедуры голосования, которые позволяют осуществить выбор вариантов в таких «циклических» ситуациях. В эти же годы особое внимание исследователей было привлечено к анализу возможного манипулирования («стратегического поведения») как со стороны организатора голосования, так и со стороны голосующих. Усиленно велся и ведется поиск процедур, защищенных от тех или иных методов манипулирования.

Так постепенно наука накапливает набор нужных для голосования «технических средств»-- процедур голосования и знаний об их свойствах, преимуществах и недостатках.

2. Теорема Эрроу

Теорема Эрроу также известна как «Парадокс Эрроу» (англ. Arrow's paradox) -- теорема о невозможности «коллективного выбора». Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат.

Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.

В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.

Рассмотрим различные формулировки теории:

Формулировка 1951 года

Пусть есть N?2 избирателей, голосующих за n?3 кандидатов. У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив. Система выборов -- функция, превращающая набор из N таких списков (профиль голосования) в общий упорядоченный список. Система выборов может обладать такими свойствами:

Универсальность - для любого профиля голосования существует результат -- упорядоченный список из n альтернатив.

Полнота - система голосования может давать в качестве результата все n! Перестановок альтернатив.

Монотонность - если во всех N списках некоторая альтернатива x останется на месте или поднимется выше, а порядок остальных не изменится, в общем списке x должен остаться на месте или подняться.

Отсутствие диктатора - нет избирателя, предпочтение которого определяло бы результат выборов независимо от предпочтений других избирателей.

Независимость от посторонних альтернатив - если профиль голосования изменится так, что альтернативы x и y во всех N списках останутся в том же порядке, то не изменится их порядок и в окончательном результате.

Для N?2 и n?3 не существует системы голосования, которая отвечает всем пяти условиям.

Формулировка 1963 года

В формулировке 1963 года условия Эрроу таковы: универсальность, отсутствие диктатора, независимость от посторонних альтернатив, принцип единогласия - если у каждого избирателя альтернатива x в списке стоит выше y, это же должно быть и в окончательном результате.

Для N?2 и n?3 не существует системы голосования, которая отвечает всем четырём условиям.

Теорема имеет доказательство. Введем следующие обозначения:

?i - предпочтения i-го агента; [?'] - профиль предпочтений (кортеж, элементами которого являются предпочтения всех агентов);

W : Ln > L - функция общественного благосостояния; ?W - коллективные предпочтения.

Обозначим O - множество исходов, которые каждый агент ранжирует в соответствии со своими предпочтениями.

Дадим формальные определения:

Парето-эффективность - W парето-эффективна, если для любых исходов o1, o2 ? O, ?i (o1 ?i o2) ? (o1 ?W o2)

Независимость от посторонних альтернатив - W независима от посторонних альтернатив, если для любых исходов o1, o2 ? O и для любых двух профилей предпочтений [?'] и [?"] ? Ln, ?i (o1 ?i' o2 ? o1 ?i" o2) ? (o1 ?W([?']) o2 ? o1 ?W([?"]) o2)

Отсутствие диктатора - Считаем, что для W отсутствует диктатор, если не существует такого i, что ? o1, o2 ? O (o1 ?i o2 ? o1 ?W o2 )

Теорема Эрроу. Если |O| ? 3, то любая Парето эффективная, независящая от посторонних альтернатив функция общественного благосостояния W имеет диктатора. Доказательство проведем в 4 этапа.

Этап 1. Утверждение. Если каждый агент помещает исход b в самый верх или самый низ своего списка предпочтений, то и в ?W исход b тоже будет либо вверху, либо внизу списка.

Возьмем произвольный профиль [?] такой, что в нем для всех агентов i исход b расположен либо вверху, либо внизу списка предпочтений ?i. Теперь допустим, что наше утверждение неверно, т.е. существуют такие a,c ? O, что a ?W b и b ?W c. Изменим тогда профиль [?] так, чтобы для всех агентов выполнялось c ?i a, не изменяя при этом ранжирования остальных исходов. Обозначим полученный профиль [?']. Так как после такой модификации исход b для каждого агента все равно останется либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции в списке его предпочтений, то из независимости W от посторонних альтернатив можно заключить, что и в новом профиле a ?W b и b ?W c. Следовательно, в силу транзитивности ?W получаем a ?W c. Но мы предположили, что для всех агентов c ?i a, тогда в силу парето эффективности должно быть c ?W a. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Этап 2. Утверждение. Существует агент, который является центральным в том смысле, что, изменив свой голос, он может переместить исход b из самой нижней позиции в списке ?W в самую верхнюю позицию в этом списке. Рассмотрим любой профиль предпочтений, в котором все агенты расположили исход b в самом низу своего списка предпочтений ?i. Ясно, что и в ?W исход b находится на самой нижней позиции. Пусть все агенты начали по очереди переставлять исход b с самой нижней на самую верхнюю позицию в своих списках предпочтений, не меняя при этом ранжирования остальных исходов. Пусть n (диктатор над всеми парами <a,c>, не включающими в себя b) - агент, который переставив таким образом b, изменил ?W. Обозначим [?1] - профиль предпочтений как раз до того, как n* переместил b, а [?2] - профиль предпочтений сразу же после того, как n* переместил b. Таким образом, в [?2] исход b изменил свою позицию в ?W, при этом для всех агентов b находится либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции ?i. Следовательно, в силу утверждения, доказанного на Этапе 1, в ?W исход b занимает самую верхнюю позицию.

Этап 3. Утверждение. Выберем из пары <a,c> любой элемент. Без потери общности, выберем a. Далее из профиля [?2] построим [?3] следующим образом: в ?n* переместим исход a на первую позицию, оставив остальное ранжирование неизменным; произвольным образом для всех остальных агентов поменяем местами друг с другом a и c. Тогда, как и в [?1] получим, что a ?W b (в силу независимости от посторонних альтернатив) и, как и в [?2] получим, что b ?W c. Тогда a ?W c. Теперь построим профиль предпочтений [?4] следующим образом: для всех агентов поместим исход b на произвольную позицию в списке предпочтений ?i, для агента n* поместим исход a в произвольную позицию до исхода с. Ясно, что в силу независимости от посторонних альтернатив a ?W c. Мы получили, что все агенты, кроме n* имеют совершенно произвольные профили предпочтений, а результат a ?W c получился исходя только лишь из предположения, что a ?n* c. n* - диктатор над всеми парами <a,b>.

Этап 4. Утверждение. Рассмотрим какой-нибудь исход с. В силу Этапа 2 существует некоторый центральный агент n** для этого исхода, он же является диктатором для всех пар <A,B>, где, в частности, A = a, B = b. Но n* и сам может менять ранжирование в ?W (это рассматривалось на Этапе 2). Следовательно, можно заключить, что n** совпадает с n*. Доказательство завершено.

3. Аксиоматический подход

В продолжение рассмотрения теории Эрроу важно обратить внимание на его аксиоматический подход. Суть которого состоит в том, что три наиболее часто используемых правила голосования: простое правило большинства; правило Борда (ранги) и правило относительного большинства имеют свойство приводить к разным результатам. В связи с этим приходится использовать внешние условия, которые помогут оценивать ситуацию.

Далее будут констатированы аксиомы, которым должна удовлетворять процедура голосования F, выстраивающая отношение Р по профилю , т.е. Р = F().

Локальность (независимость от посторонних альтернатив)

Для любой пары вариантов х и у решение о том, какой вариант предпочтительнее другого в коллективном решении Р, зависит от информации относительно только этих вариантов в индивидуальных отношениях Рi.

Предположим, группа из трех человек выбирает куда пойти на выходные. В качестве возможностей рассматриваю кино (f), боулинг (b) и кафе (c). Аксиома 1 требует, чтобы при решении вопроса о том, что, например, предпочтительнее - f или b, принималась во внимание только информация о том, какое предпочтение высказывают об этой паре альтернатив участники, и чтобы не принималась во внимание информация о других парах, например, о том, каковы предпочтения относительно кино или кафе (f и c).

Условно аксиому локальности можно записать так: хРу = F(хРi у), т.е. что решение о включении пары (х, у) в коллективное предпочтение зависит только от индивидуальных предпочтений относительно этой пары.

Правило простого большинства удовлетворяет условию локальности, поскольку, если V(x, y;) = V(x, y;), то либо и V(x, y;) и V(x, y;) образуют простое большинство, либо оба не образуют, т.е. либо хРу и хР'у, либо ху и ху.

Правило Борда этому условию не удовлетворяет.

Пример 5. Пусть N = {1, 2, 3}, А = {х, у, z} и профили Р и Р' имеют следующий вид:

Р1 : xyz;

Р2 : zxy;

Р3 : yzx.

Р1' : xyz;

Р2' : zxy;

Р3' : zyx.

По правилу Борда для профиля Р имеем r(х)=r(у)=r(z)=6, а для Р' - r(x)=6, r(у)=5 и r(z)=7.

Заметим, что V(x, y;)=V(x, y;)={1, 2}, однако результирующие профили Р и Р' отличаются: (х, у)Р, но (х, у)Р'. Аналогично, V(z, x;)=V(z, x;)={2, 3}, однако (z, x)Р, но (z, x)Р'.

2. Единогласие

Если все участники считают, что x лучше, чем у, то таким же должно быть мнение всего коллектива. Формально условие единогласия можно записать так:

((x, y)) (Р) [(V(x, y;) = N) > хРу]. (3)

3. Ненавязанность

Коллективное решение зависит только от мнений участников и не может быть навязано процедурой голосования. То есть процедура голосования не может предписать, что (х, у)Р или (х, у)Р независимо от мнений участников. Например, с предпочтениями препровождения выходных не может быть, чтобы в коллективном решении было fb независимо от того, каково мнение участников. Аналогично, не может быть, что (f, b)Р независимо от предпочтений участников. Формально условие ненавязанности записывается так:

а) ((x, y)) (Р) [(х, у)Р] и (4a)

b) ((x, y)) (Р) [(х, у)Р]. (4b)

4. Монотонность

Предположим, что двое участников, например, 1 и 2, имеют предпочтения fР1b и fР2b, и пусть таково и коллективное решение, т.е. fРb даже при том, что участник 3 имеет противоположное предпочтение bР3f. Пусть теперь третий участник изменил свое предпочтение так, что fР3'b, а предпочтения первого и второго в профиле Р' останутся прежними, т.е., fРi'b, i = 1,2. Тогда условие монотонности требует, чтобы имело место fР'b. Формально условие монотонности можно записать так: пусть для некоторого профиля и альтернатив х, у имеет место хРу. Тогда [V(x, y;) V(x, y;)] > хР'у. (5)

Условия единогласия, ненавязанности и монотонности называются нормативными условиями.

5. Нейтральность

Рассмотрим следующий пример. Пусть для того, чтобы в коллективном решении принять хРу, необходимо простое большинство голосов, а для принятия решения о том, что z лучше w (zРw), надо, чтобы все проголосовали единогласно.

Понятно, что такая процедура «обрабатывает» варианты (х, у) и (z, w) по-разному, т.е. имеет место дискриминация по отношению к различным парам вариантов. Такая ситуация может иметь место, если, например, х, у, z - мужчины, а w - женщина.

Условие нейтральности запрещает такую дискриминацию. Формально оно записывается так:

(x, y), (z, w),(,) [(V(x, y;) V(z, w;)] > [ хРу zР'w]. (6)

голосование коллективный эрроу

Заключение

В заключение для начала хотелось бы озвучить общие выводы по тому, о чём говорилось выше. И так:

Существует множество систем голосования. Наиболее известные из них - системы Кондорсе, Борда, правило большинства голосующих - кажутся справедливыми и убедительными с точки зрения здравого смысла. Однако они приводят к нарушению рациональности. Парадоксы не возникают, если один из кандидатов набрал абсолютное большинство голосов.

* Результаты К. Эрроу показывают, что в принципе невозможно найти систему голосования, которая была бы одновременно решающей, рациональной и демократической. Это означает, что применение демократических процедур голосования требует внимания и тщательного анализа результатов.

* Широко распространенной на практике является задача принятия коллективных решений в малых группах: комиссиях, жюри и т. д. Эффективность работы таких групп могут существенно повысить методы анализа позиций членов группы и рациональная организация работы группы.

Данная курсовая работа несёт в себе теоретический характер. Поскольку в ней изложена история теорий голосования, подробно раскрыта теория Эрроу. Изученная литература по теме позволила прийти к цели - рассмотрение природы процедуры голосования. В дальнейшем эти знания могут использоваться как теоретический фундамент собственного исследования.

Список используемой литературы

1. Алескеров Ф.Т. Вопросы. Голосование. Партии. / Ф.Т. Алескеров, П. Ортешук. - М.: 1995.

2. Ларичев О.И. Теории и методы принятия решений. / О.И. Ларичев. - М.: Логос, 2000. 296 с

3. Шварц Д.А. Аксиоматика для индексов влияния, учитывающих предпочтения участников // Автоматика и техника. -- 2010. -- № 1. -- С. 144--158.

4. Алескеров Ф.Т. Индексы влияния, учитывающие предпочтения участников по созданию коалиций // Доклады Академии наук. -- 2007. -- Т. 414. -- № 5. -- С. 594--597.

5. Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. / М.: Наука. - 1974.

Размещено на Allbest.ru