Определение сил взаимодействия колес электровозов ЭП1 с рельсами при движении в переходных и круговых кривых малого радиуса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Российская Федерация

Министерство путей сообщения

ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный

университет путей сообщения МПС России»

Кафедра «Электроподвижной состав»

В.В. Трофимович

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОЛЕС ЭЛЕКТРОВОЗОВ ЭП1 С РЕЛЬСАМИ ПРИ ДВИЖЕНИИ В ПЕРЕХОДНЫХ И КРУГОВЫХ КРИВЫХ МАЛОГО РАДИУСА

Рекомендовано Дальневосточным региональным учебно-методическим центром в качестве учебного пособия для студентов специальностей 180700 «Электрический транспорт», 181400 «Электрический транспорт железных дорог», 150700 «Локомотивы» вузов региона

Хабаровск

Издательство ДВГУПС

2004

Т 761 Трофимович, В.В. Динамика ЭПС: Определение сил взаимодействия колес электровозов ЭП1 с рельсами при движении в переходных и круговых кривых малого радиуса: Учеб. пособие / В.В. Трофимович. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. - 90 с.: ил.

Учебное пособие соответствует ГОС ВПО направления 657000 (190300) «Подвижной состав железных дорог», разработано в соответствии с программой курса «Динамика ЭПС» и дополняет его новыми теоретическими и практическими расчетами направления 657000 (190300) «Подвижной состав железных дорог».

Приведена методика определения сил взаимодействия колес электровозов ЭП1 с рельсами при движении в переходных и круговых кривых малого радиуса. Рассматриваются численные расчеты, выполняемые с использованием новой модели.

Предназначено для студентов 4-го курса, обучающихся по специальности «Электрический транспорт железных дорог», может быть использовано в курсовом и дипломном проектировании.

Рецензенты:

Кафедра «Двигатели внутреннего сгорания» Хабаровского государственного технического университета (заведующий кафедрой доктор технических наук, профессор В.А. Лашко)

Начальник службы пригородных перевозок ДВЖД П.В. Демин

ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный университет путей сообщения МПС России» (ДВГУПС), 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1. Вписывание локомотивов в кривые участки пути и определение касательных сил в точке контакта колес с рельсами

1.1 К истории вопроса определения сил взаимодействия колес локомотивов с рельсами

1.2 Мероприятия, проводимые с целью снижения бокового износа гребней колес локомотивов и рельсов в кривых

2. Движение тележек электровозов ЭП1 в переходных и круговых кривых малого радиуса

2.1 Геометрия переходной кривой и системы координат, выбранные для исследования движения электровоза

2.2 Определение углов между продольной осью кузова и касательными в мнимых шкворневых узлах

2.3 Определение углов между продольной осью кузова и осью автосцепки

2.4 Определение сил, действующих на кузов секции электровоза в переходной кривой

2.5 Определение активных и инерционных сил, действующих на тележки секции электровоза

2.6 Определение сил взаимодействия колес электровоза с рельсами

2.7 Определение законов изменения обобщенных координат тележки в переходной кривой до момента касания гребнем наружного рельса

2.8 Определение закона изменения обобщенной координаты тележки после касания гребнем наружного рельса переходной кривой

2.9 Определение закона изменения силы нормального давления гребня колеса на рельс

2.10 Определение закона изменения угла перекоса тележки, и силы давления гребня на рельс при движении в круговой кривой

3. Анализ факторов, влияющих на интенсивность износа гребней локомотивных колес при движении в кривых малого радиуса

3.1 Общие положения

3.2 Анализ процесса разворота тележек в рельсовой колее переходной кривой

3.3 Определение закона изменения разворачивающего момента в переходной кривой

3.4 Влияние различных факторов на силу нормального давления гребня колеса на рельс в обычных условиях эксплуатации

Заключение

Приложение. Программа для анализа математической модели

Рекомендуемый библиографический список

ВВЕДЕНИЕ

В дисциплине «Динамика электроподвижного состава» изучаются динамические явления, возникающие в электроподвижном составе (ЭПС) и рельсовом пути при движении подвижного состава, а также при взаимодействии ЭПС с окружающей средой. Изучение этих явлений необходимо для правильного выбора схемы и параметров оборудования ЭПС, в частности виброзащитных устройств (рессорное подвешивание, горизонтальные, продольные и поперечные связи колесных пар с рамой тележки и тележки с кузовом, подвешивание тягового двигателя, тягового редуктора и т. д.), а также для снижения динамических сил, действующих на несущие элементы механической части и железнодорожный путь, на оборудование ЭПС и находящихся в нем людей.

В связи с изменением в процессе эксплуатации параметров, и даже свойств некоторых элементов механической части ЭПС в силу старения и износа, важное значение имеет обеспечение требуемого уровня виброзащиты подвижного состава в течение некоторого времени, например межремонтного пробега. Это необходимо для уменьшения объемов ремонта подвижного состава и обеспечения безопасности его движения.

Для исследования динамики широко применяют расчеты на ЭВМ и испытания отдельных элементов и подвижного состава в целом. Поэтому в курсе «Динамика электроподвижного состава» рассматриваются как расчетные методы, так и современные методы проведения динамических испытаний.

Целью дисциплины «Динамика электроподвижного состава» является изучение:

· способов математического описания динамических явлений, возникающих в подвижном составе, и методов их расчета;

· способов оценки показателей динамических качеств (ПДК) механической части, характеризующих степень защиты от действия вибраций пути, самого подвижного состава, локомотивных бригад и пассажиров, а также безопасность движения подвижного состава по рельсовому пути;

· методов выбора схемы и параметров механической части подвижного состава;

· методов оценки безотказности виброзащитных свойств механической части, определяемой по условию не превышения ПДК своих допустимых значений за межремонтный пробег.

Приступая к изучению настоящей дисциплины, студент должен хорошо владеть методами описания статики и динамики механических систем, изучаемых ранее в курсе «Теоретическая механика», а также способами решения дифференциальных уравнений, действиями над матрицами, излагаемыми в курсе «Высшая математика». Кроме того, здесь используются сведения о конструкциях механической части ЭПС из курсов «Электрические железные дороги» и «Механическая часть ЭПС».

В результате изучения дисциплины, студент должен знать:

· причины возникновения динамических явлений в механической части ЭПС, способы их описания;

· способы описания динамических явлений и методы составления дифференциальных уравнений колебаний, принципы построения динамических моделей;

· методы выбора схем и параметров механической части на основе оценки ее ПДК;

· особенности процесса движения локомотива по кривым участкам пути;

· методы оценки безопасности движения локомотивов.

Кроме того, изучив дисциплину, студент должен уметь:

· выбирать, строить и рассчитывать динамические модели ЭПС в зависимости от конкретно поставленной цели исследования;

· определять динамические показатели качества, комфортабельности, безопасности движения;

· проводить анализ частотных и динамических свойств, оценку устойчивости движения;

· оптимизировать конструкцию экипажной части по динамическим критериям.

С этой целью проводятся лабораторно-практические занятия, в результате которых приобретаются практические навыки при расчетах динамических процессов, происходящих при движении подвижного состава по прямым и кривым участкам пути.

Исследованию движения локомотивов в переходных и круговых кривых малого радиуса посвящено настоящее учебное пособие.

В учебном пособии ставится цель - определить силы взаимодействия колес локомотива с рельсами и дать качественную оценку влияния эксплуатационных и конструкционных факторов на эти силы, а следовательно, и на процесс износа гребней колес и рельсов.

При решении поставленных задач необходимо использовать методы аналитической механики описания движения механических систем, методы интегрирования дифференциальных уравнений.

1. ВПИСЫВАНИЕ ЛОКОМОТИВОВ В КРИВЫЕ УЧАСТКИ ПУТИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ СИЛ В ТОЧКЕ КОНТАКТА КОЛЕС С РЕЛЬСАМИ

Рекомендованный библиографический список

[1, гл. 5 § 5.1 - 5.3; гл. 7]

[2, гл. 1, гл. 2, пп. 2.3, гл. 3, пп. 3.7]

[3, гл. 1]

[4, гл. 1]

[5, гл. 1]

1.1 К истории вопроса определения сил взаимодействия колес локомотивов с рельсами

Для Российских железных дорог решение проблемы уменьшения бокового износа гребней колесных пар подвижного состава и рельсов является одной из первостепенных задач в связи с дополнительной потребностью значительных затрат на поддержание тягового подвижного состава и верхнего строения пути в технически исправном состоянии.

Особо высокий уровень интенсивности бокового износа гребней колес имеет место на железных дорогах с большим количеством кривых участков пути малого радиуса. К таким дорогам в первую очередь относятся Забайкальская, Дальневосточная, Восточно-Сибирская железные дороги.

Исследования причин бокового износа гребней колес электровозов ВЛ80 и рельсов, эксплуатируемых на Дальневосточной и Забайкальской железных дорогах, были начаты 25 лет назад (в 1989) в Дальневосточном государственном университете путей сообщения (бывшем Хабаровском институте инженеров железнодорожного транспорта) под руководством профессора В.Г. Григоренко [4].

Далее опытным путем установлены причинно-следственные связи между изменениями параметров поездной работы электровозов ВЛ80 и интенсивностью бокового износа гребней колес и рельсов в кривых малого радиуса См. учеб. пособие: Доронин С. В., Стецюк А. Е. Определение параметров вписывания электровозов серии ВЛ 80 в криволинейные участки пути. Хабаровск, 2000.[1].

Однако за последние годы локомотивный парк Дальневосточной железной дороги пополнился новыми локомотивами серии ЭП1.

Основные отличия которых заключаются в том, что новый локомотив имеет три двухосные тележки под кузовом и вместо шкворневого узла для передачи продольных сил на электровозе ЭП1 применены наклонные тяги.

Кроме того, вписывание колесных пар локомотивов серии ЭП1 в кривые малого радиуса имеет ряд особенностей в силу значительных отличий их экипажной части от электровозов ВЛ80.

Поэтому, расчеты, выполненные в исследованиях [4], исходя из вышеназванных причин, уже не в полной мере могут быть приняты для локомотивов серии ЭП1 с осевой формулой 20-20-20 и передачей продольных сил через наклонные тяги.

Кроме того, необходимо, с одной стороны, определить начальную установку тележки в круговой кривой, которую следует рассчитать, исходя из движения локомотива по переходным кривым, а с другой - установить методику выявления вышеназванных причин, так как уже за короткий срок эксплуатации интенсивность износа гребней колес некоторых электровозов серии ЭП1 достигла 0,8-0,9 мм на 104 км пробега, что превышает в два раза нормативную величину.

В настоящем учебном пособии дана методика определения сил взаимодействия колес электровозов ЭП1 с рельсами при движении в переходных и круговых кривых малого радиуса, рассмотрен численный анализ по выявлению факторов, влияющих на силы взаимодействия колес с рельсами.

Необходимо отметить, что исследования по этой проблеме были начаты еще Л.В. Шулькиным (1948), который предполагал, что силы трения между колесами локомотива и рельсами подчиняются закону сухого трения.

Далее, в 1951г., В.С. Рябченко применил метод динамического вписывания в круговые кривые, предложенный К.П. Королевым, который, к сожалению, не позволял получить полную картину процесса движения по переходной кривой. В этом же году (1951) А.К. Дюнин, публикует работу, где движение локомотива по переходной кривой рассматривается как движение материальной точки по заданной траектории.

Пять лет спустя Т. Мюллером (1956) был рассмотрен процесс входа в круговую кривую трехосного локомотива при установившемся движении. Но полученные им кинематические соотношения были не применимы для анализа движения в переходных кривых.

Годом позже (в 1957) Де Патер, исследуя движение трехосного локомотива в переходной кривой, получает результаты, аналогичные результатам А.К. Дюнина.

Далее, В.Н. Даниловым (1959-1961) при исследовании движения подвижного состава в кривых переменной кривизны, было учтено влияние силы трения гребня о рельс и конусности бандажей, но за пределами исследования оказалось поперечное смещение центра масс тележек, которое существенно влияло на силы давления гребня на рельс (Железнодорожный путь и его взаимодействие с подвижным составом. М., 1961).

Затем В.М. Панским (1970) была проанализирована кинематика и динамика локомотива в переходных и круговых кривых в режиме тяги и торможения, однако для практического использования, в силу сложности теории, она не нашла своего применения. Кроме того, им не была рассмотрена задача получения закона изменения силы давления гребня на рельс. А это означало, что по полученным соотношениям нельзя достоверно проанализировать все факторы, влияющие на износ гребней колесных пар.

Среди известных исследователей, занимающихся вопросами изучения движения подвижного состава по кривым переменной кривизны, следует выделить Ю.С. Ромена (1964-1969), проделавшего большую работу по динамике вписывания подвижного состава в кривые переменного радиуса и применившего ЭВМ. С целью упрощения математической модели им было принято, что сила давления гребня параллельна продольной оси колесной пары (забегание точки контакта гребня с рельсом отсутствует), кроме того, не учитывалась сила трения гребня о головку рельса. Названные упрощения дали повод усомниться в полной адекватности модели реальному процессу взаимодействия гребня колеса с рельсом.

Поэтому И.В. Бирюковым, Г.П. Бурчаком и Ю.П. Федюниным была опубликована статья «Исследование причин повышенного износа гребней бандажей колесных пар электропоезда ЭР22 и способов его уменьшения» (Труды МИИТ, 1971. Вып. 374), где было представлено математическое описание движения экипажа по переходной кривой, основанное на теории относительного движения. Однако оно не учитывало забегание точки контакта гребня с рельсом, и не была уточнена кинематика вписывания в переходную кривую.

В 1973 г. И.С. Дорониным и А.И. Колесниченко была представлена методика исследования кинематики вагонных тележек в переходной кривой, в которой также было дано упрощенное представление о форме осевой линии переходной кривой, которая не могла быть принята для кривых малого радиуса.

Затем М.А. Фришманом (1974) были исследованы на АВМ движения вагона по переходной кривой (Как работает путь под поездами. М., 1983). Однако разработанная им модель движения вагона может быть использована главным образом для решения проблем комфортабельности, тогда как для анализа факторов, влияющих на износ гребней колес, эту модель использовать не представляется возможным.

Исследованию различных аспектов динамики подвижного состава при движении по участку переменной кривизны посвящены работы американских авторов, опубликованные в 1982-1983 гг., и киевского ученого Н.А. Радченко «Криволинейное движение рельсовых транспортных средств» (К., 1988).

В 1992 г. в обобщающей научной публикации под ред. И.В. Бирюкова Г.П. Бурчаком была представлена динамика вписывания двухтележечного локомотива в переходные кривые, с целью определения законов изменения его обобщенных координат (Механическая часть тягового подвижного состава. М., 1992).

Позднее (1997) Г.П. Бурчаком, совместно с А.Н. Савоськиным, была рассмотрена не только динамика вписывания двухосного экипажа в кривой участок переменной кривизны, но и более подробно - кинематика вписывания экипажа в переходную кривую. Однако формулы для абсолютных скоростей точек контакта колес с рельсами не были приведены, что создавало определенные трудности при оценке точности касательных сил крипа, которые являются основным фактором, определяющим износ гребней колес в кривых. Хотя разработанная ими методика позволяет определять показатели динамических качеств экипажа и выбирать рациональные параметры системы, однако для анализа причин износа гребней колес локомотива 20-20-20 и эта методика была неприемлема.

К тому же следует заметить, что вышеназванными авторами математические модели движения локомотивов в кривых ориентированы только на определение параметров движения локомотива в целом и не позволяют делать качественные оценки влияния различных факторов (скорость, сила тяги, возвышение наружного рельса и т. д.) на интенсивность износа колес и рельсов.

Рассмотрим более подробно, кем проводился анализ поперечных горизонтальных сил, передающихся на рельсы от колес локомотивов в кривых участках пути, в частности сил давления на рельсы гребня колеса.

Определение поперечных сил на колесах представляет собой достаточно сложную задачу. До 1950 г. пользовались упрощенным методом, в основу которого были заложены принципы, сформулированные отечественными и зарубежными учеными: К.Ю. Цеглинским, Боэдекером и Юбелаккером. Дальнейшее усовершенствование метода было выполнено А.С. Раевским и Х. Хейманом.

Следует отметить, что результаты расчетов по указанному упрощенному методу не всегда совпадали с опытными значениями величин, так как рассматривался только установившийся режим движения, не учитывалась упругость рессор и рельсов; считалось, что касательные силы в точках контакта колес и рельсов определяются по закону сухого трения.

С этой целью К.П. Королевым (1950) был уточнен метод, в котором он учел поперечную упругость рельсового пути, перераспределение вертикальных нагрузок от колес на рельсы и ввел коэффициент динамичности силы поперечного давления набегающего колеса.

Далее В.Б. Медель (1953-1955) ввел в расчеты касательные силы на поверхностях катания колес, пропорциональные скоростям продольных сдвигов колес по рельсам. Затем, сила трения гребня колеса о боковую поверхность головки рельса была учтена М.Ф. Вериго. И уже потом С.М. Куценко было рассмотрено пространственное расположение сил, действующих на локомотив, при установившемся движении (Вписывание локомотивов в кривые участки железнодорожного пути. М., 1954). Далее, О.П. Ершковым был дан аналитический способ определения поперечных сил, действующих от колес на рельсы в кривых участках пути. Затем, В.Н. Кашниковым была учтена неравноупругость криволинейного участка пути в плане при входе локомотива в кривую.

Хотя в каждой из указанных работ задача по определению поперечных горизонтальных сил решалась для конкретного типа подвижного состава, однако же обобщенной методики, которую можно было бы применить для новых локомотивов, в частности для локомотивов 20-20-20 с наклонной тягой, в известных публикациях не было.

Заслуживающим особого внимания в определении сил давления гребней на рельс является способ аналитического представления касательных сил, возникающих в точках контакта поверхностей катания колес и рельсов, в основу которого положена гипотеза Картера, которая затем была развита Портером. В соответствии с этим способом касательные силы на кругах катания колес определялись так:

;

,(1.1)

где dx, dy - дифференциалы координат центра колеса в плоскости XY, касательной к рельсовой нити; dS - дифференциал пути, проходимого точкой контакта при условии чистого качения колеса; и - проекции dS на оси X и Y; Kп - постоянный коэффициент, по Портеру

,

где N - нагрузка от колеса на рельс, кH, b - радиус колеса, см.

По этой гипотезе в зоне контакта колеса и рельса происходит упругий сдвиг и изгиб волокон контактирующих поверхностей. Такое явление называют упругим сдвигом, крипом или псевдоскольжением.

Для определения зависимостей, характеризующих явление крипа, также были проведены многочисленные опыты. В этой области следует назвать таких ученых, как: Г. Захс, Р. Дывис, Т. Мюллер, Н.Н. Меншутин, Т. Мацудайр, С.М. Андриевский, С.М. Куценко (Динамика установившегося движения локомотивов в кривых. Харьков, 1975).

В основу методики определения касательных сил была положена методика профессора С.М. Куценко, который предложил определять касательную силу как силу вязкого трения, считая ее пропорциональной скорости упругого проскальзывания по рельсу контактной точки колеса:

;

;

, (1.2)

где ( , ) - скорость упругого проскальзывания по рельсу контактной точки колеса и ее проекции на оси X и Y; b - радиус окружности катания колеса; - угловая скорость вращения колесной пары, которая для установившегося движения считается постоянной; Kк - коэффициент, вычисляемый по эмпирической формуле:

,(1.3)

где N - расчетная нагрузка колеса на рельс, кН.

Формула (1.3) для определения коэффициента Kк получена в результате обработки экспериментальных данных. Эксперимент производился в лабораторных условиях. Следует иметь в виду, что в реальных условиях этот коэффициент зависит не только от нагрузки N на колесо, но и от состояния контактирующих поверхностей колеса и рельса.

Поэтому для коэффициента пропорциональности определена область возможных значений, учитывающая реальные условия работы локомотивов.

Из сказанного выше следует, что до настоящего времени не существовала методика исследования движения трехтележечного локомотива с наклонной тягой в переходных кривых для определения величины силы давления гребня на рельс и установления факторов, влияющих на интенсивность износа гребней локомотивных колес.

1.2 Мероприятия, проводимые с целью снижения бокового износа гребней колес локомотивов и рельсов в кривых

Первое систематическое исследование проблемы износа гребней колес и рельсов было выполнено С.М. Андриевским, результаты опубликованы в работе «Боковой износ рельсов на кривых» (Труды ЦНИИ МПС. 1961. Вып. 374.), который из всех существующих мероприятий по уменьшению бокового износа выделяет два основных: смазка (лубрикация) гребней колес или боковой поверхности головок рельсов; тщательное содержание пути.

Затем для условий движения подвижного состава в кривых малого радиуса были проведены исследования Ю.Н. Ликратовым и А.П. Татуревичем, в результате которых было установлено отрицательное влияние на боковой износ увеличения продольных сил и подсыпки песка под колеса для предупреждения боксования. Однако конкретных рекомендаций по уменьшению бокового износа не было дано.

В результате экспериментов большинство ученых пришли к выводу, что проблему износа можно решить путем смазывания контактирующих поверхностей рельсов и гребней колес. На отечественных железных дорогах опытное применение смазки началось еще в 50-е годы. Однако не для всех условий эксплуатации удавалось подобрать эффективную смазку и надежную технологию нанесения ее на контактирующие поверхности рельсов и гребней колес. Кроме того, лубрикация является не самым дешевым способом уменьшения бокового износа гребней колес и рельсов.

В этой связи некоторые исследователи утверждали, что снижения интенсивности бокового износа можно добиться за счет изменения стандартного профиля поверхности бандажа и увеличения конусности поверхности катания колес. Однако, как справедливо указывал профессор М.Ф. Вериго в [3], эффективность таких мер для снижения интенсивности износа колес будет не велика, особенно в кривых малого радиуса, так как любой начальный профиль после его износа всего на 1-2 мм уже обретает новую конфигурацию.

Кроме того, высказывалось предположение, что увеличение интенсивности бокового износа рельсов и гребней колес связано с уменьшением ширины рельсовой колеи от 1524 мм до 1520 мм. Однако, как указывал профессор М.А. Фришман, для кривых радиуса менее 299 м это изменение нормы практически не влияет на ширину колеи: если при норме 1524 мм наибольшая ширина колеи в таких кривых принималась равной 1546 мм, то при норме 1520 мм - 1545 мм (Как работает путь под поездами. М., 1983). Так, например, при обследовании кривых радиуса менее 250 м на Партизанской дистанции пути Дальневосточной железной дороги фиксировалась максимально допустимая ширина колеи, однако боковой износ от этого не стал меньше [4].

Зарубежные специалисты считают, что решить проблему бокового износа можно за счет смазывания контактирующих поверхностей и подбора оптимальных очертаний рабочих поверхностей бандажей колес.

Значительного снижения сил взаимодействия колес локомотива с рельсовой колеей, а, следовательно, и износа контактирующих поверхностей, можно добиться за счет специальных устройств, управляющих положением тележки в рельсовой колее.

Пионерами исследований в этом направлении являются А.Н. Коняев и Э.П. Равич-Щербо (1964). Систематическим исследованием проблемы управляемого движения тележек локомотива занимались многие ученые, среди которых следует выделить В.Н. Кашникова. Им разработаны алгоритм и основы управляемого движения локомотивов в кривых участках пути, предложено автоматическое поворотное устройство. Полученные им результаты имеют, несомненно, практическую ценность, однако автор, с целью упрощения расчетной схемы и математического описания процесса входа экипажа в кривую, рассматривал вход с прямой в круговую кривую, не учитывая параметры переходной кривой и принимая расчетные величины углов набегания в качестве начальных условий.

Таким образом, чтобы решить проблему бокового износа рельсов и гребней колес локомотивов, необходимо создать условия, при которых исключается перекосная установка локомотивных тележек в переходных и круговых кривых малого радиуса.

Контрольные вопросы

1. Что является основным фактором, определяющим износ гребней колес локомотивов в кривых участках пути?

2. Какие параметры локомотива и пути влияют на износ гребней колес в кривых участках?

3. Кем заложены принципы определения поперечных сил на колесах локомотивов?

4. Что такое крип или псевдоскольжение?

5. В чем заключается сущность методики определения касательных сил С.М. Куценко?

6. От чего зависит коэффициент Кк в формуле 1.3?

7. Какие методы используются для уменьшения бокового износа гребней колес и головок рельсов?

8. Каким способом можно значительно снизить износ контактирующих поверхностей гребня бандажа и рельса?

2. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛЕЖЕК ЭЛЕКТРОВОЗОВ ЭП1 В ПЕРЕХОДНЫХ И КРУГОВЫХ КРИВЫХ МАЛОГО РАДИУСА

Рекомендованный библиографический список

[1, гл. 7 § 7.1 - 7.4]

[4, гл. 2 пп. 2.1, 2.2]

[5, гл. 2 пп. 2.3]

Для установления причин, определяющих процесс перекашивания двухосных тележек в рельсовой колее переходной кривой, рассмотрим математическую модель, представляющую собой совокупность формул, выражающих зависимость угла перекоса тележки и силы нормального давления гребня колеса от следующих параметров:

· времени движения по переходной кривой;

· скорости состава;

· параметров переходной кривой;

· ширины рельсовой колеи;

· продольного и поперечного наклона пути;

· параметров упругого проскальзывания по рельсу поверхностей катания колесных пар;

· геометрических, массовых и динамических параметров электровоза.

Объектом исследования выбрана экипажная часть электровоза с осевой формулой 20-20-20 и передачей силы тяги от тележек к кузову через наклонные тяги.

Качественный и численный анализ полученной модели позволит определить и обосновать пути уменьшения угла перекоса тележки с целью снижения интенсивности бокового износа гребней колесных пар.

2.1 Геометрия переходной кривой и системы координат, выбранные для исследования движения электровоза

Сопряжение прямых участков пути с круговыми кривыми осуществляется переходными кривыми. Переходная кривая является пространственной кривой, имеющей ряд особенностей, а именно [8]:

· плавное уширение колеи в плане;

· изменяющаяся кривизна оси пути;

· плавное возвышение наружной нити.

Для упрощения расчета обычно заменяют пространственную кривую ее проекцией на горизонтальную плоскость, а возвышения наружного рельса на протяжении переходной кривой принимают по линейному закону.

Рассмотрим схему проекции оси переходной кривой на плоскость XY (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Ось рельсовой колеи переходной кривой

В дальнейших расчетах будем принимать, что возвышение наружного рельса определяется углом и в любой точке на расстоянии Sk от начала переходной кривой вычисляется по формуле

, (2.1)

где - угол возвышения наружного рельса в k-й точке; - ширина колеи в круговой кривой; - длина переходной кривой; - возвышение наружного рельса в круговой кривой; - длина дуги от начала отсчета до k-й точки переходной кривой.

Известно, что ось пути на участке переходной кривой аналитически можно описать уравнением радиоидальной спирали (клотоиды). Для клотоиды радиус кривизны обратно пропорционален длине дуги :

,(2.2)

где - радиус кривизны в k-й точке; q - коэффициент пропорциональности, называемый параметром переходной кривой.

Параметр переходной кривой q определяется по формуле

, (2.3)

где - радиус круговой кривой.

В параметрическом виде уравнение радиоидальной спирали имеет вид

; (2.4)

. (2.5)

Поскольку мало по сравнению с q, то значения членов приведенного ряда быстро убывают. Если ограничиться первым членом, то выражения (2.4), (2.5) примут вид

; (2.6)

. (2.7)

Выражения (2.6) и (2.7) представляют собой уравнение кубической параболы. Кубическая парабола отличается от радиоидальной спирали тем, что ее кривизна меняется от 0 до пропорционально не длине дуговой координаты k-й точки, а пропорционально ее абсциссе x.

Однако для кривых малого радиуса применять задание переходной кривой по кубической параболе не корректно, так как . Поэтому в дальнейших расчетах будем использовать заданную переходную кривую в натуральном виде (2.2), что позволит упростить последующие преобразования и нагляднее выразить конечный результат.

Для исследования движения локомотива в переходных и круговых кривых необходимо выбрать системы координат, в которых будет аналитически описан процесс движения кузова и каждой тележки локомотива. Рассмотрим неподвижную систему координат OXYZ с центром в начале переходной кривой (НПК) и подвижную систему координат Аkknkbk с центром в точке Аk (рис. 2.2). Здесь k - касательная к осевой линии рельсовой колеи, направленная в сторону движения; nk - нормаль, направленная к мгновенному центру кривизны; bk - бинормаль, перпендикулярная плоскости Аkknk. Аk - точка осевой линии рельсовой колеи, с которой совпадает проекция на плоскость OXY центра масс тележки при среднем ее положении в рельсовой колее, где k = 1, 2, 3. Далее индекс k обозначает номер тележки в секции электровоза (1 - первая, 3 - средняя, 2 - вторая). Центр, в точке Аk, подвижной системы координат всегда находится на дуге осевой линии рельсовой колеи и движется с постоянной скоростью. Sk - дуговая координата или длина дуги траектории, отсчитываемая от точки О до центра подвижной системы Аk.

Рис. 2.2 Неподвижная и подвижная системы координат

Строго говоря, центр Аk подвижной системы Аkknkbk при движении в переходной кривой будет перемещаться вверх, так как в соответствии с устройством этих кривых известно, что наружный рельс поднимается, а внутренний - остается на месте, поэтому и ось рельсовой колеи также имеет постепенное возвышение, характеризуемое углом о. Углом о можно пренебречь, так как величина этого угла имеет порядок 10-4 [1].

Подвижная система координат Аkknkbk движется относительно неподвижной OXYZ, такое движение называется переносным. В свою очередь тележки локомотива перемещаются относительно подвижной системы координат, такое движение называется относительным. В дальнейшем будем принимать, что продольная ось кузова локомотива параллельна касательной к осевой линии рельсовой колеи, проведенной через точку А3. Под продольной осью кузова понимается прямая проведенная через мнимые шкворневые узлы первой и второй тележек, которые всегда находятся над осевой линией рельсовой колеи.

Условимся, что тележки локомотива в относительном движении имеют поперечный сдвиг в рельсовой колее за счет зазоров между гребнями колес и головками рельсов и угловое перемещение относительно бинормали b. В относительном движении каждая тележка имеет две степени свободы или две обобщенные координаты, которые определяют положение тележки в рельсовой колее.

2.2 Определение углов между продольной осью кузова и касательными в мнимых шкворневых узлах

При движении локомотива по переходной кривой углы между продольной осью кузова и касательными 1, 2, 3 будут изменяться пропорционально пройденному пути. Поэтому вначале необходимо определить зависимости этих углов от дуговой координаты. Рассмотрим расчетную схему расположения экипажной части электровоза в переходной кривой (рис. 2.3).

Рис. 2.3 Расчетная схема расположения электровоза в переходной кривой

Здесь НПК - начало переходной кривой; КПК - конец переходной кривой; А1, А2, А3 - мнимые шкворни крайних и средней тележек соответственно; 1, 2, 3 - касательные к осевой линии рельсовой колеи, проведенные через мнимые шкворни; 1, 2, 3 - углы наклона касательных к оси OX неподвижной системы координат; 1, 2 - углы между продольной осью кузова и касательными 1, 2; Sk - путь, пройденный от начала переходной кривой центром Ak; 2В - база кузова электровоза. Предполагается, что продольные оси тележек расположены перпендикулярно мгновенным радиусам, проведенным к центру тележек, а мнимые шкворни располагаются на оси пути.

Допущения, принятые при определении углов :

· хорда А1А2 равна длине дуги от А1 до А2;

· ось кузова локомотива параллельна касательной к осевой линии рельсовой колеи, проведенной через точку А3, поэтому 3 = 0 и 3 = куз.

Известно, что угол наклона касательной в k-й точке переходной кривой определяется как

. (2.8)

В соответствии с формулой (2.8) можно определить углы наклона касательных 1, 2, 3 в неподвижной системе координат:

, (2.9)

. (2.10)

Углы между продольной осью кузова и касательными 1, 2 определяются выражениями:

, (2.11)

. (2.12)

После подстановки формул (2.9) и (2.10) в формулы (2.11) и (2.12) и выполненных преобразований получим

. (2.13)

В действиях типа верхний знак необходимо принимать для передней тележки, а нижний - для задней.

Формула (2.13) получена для случая, когда весь локомотив находится на переходной кривой. Для определения угла , когда задняя тележка находится на прямой, а передняя - на переходной, введем переходной этап движения. Для переходного этапа путь, пройденный центром масс передней тележки, изменяется в интервале

,

где - расстояние от мнимого шкворня до оси головки автосцепки. После того, как весь локомотив находится на переходной кривой, пройденный путь центром масс передней тележки, изменяется в интервале

.

Определим зависимость угла для переходного этапа путем подстановки вместо в формуле (2.13) выражения . Разделив полученное выражение на и умножив на , получим зависимость угла от пройденного пути:

. (2.14)

Представим формулы (2.13) и (2.14) в следующем виде:

, (2.15)

,(2.16)

где , и определяются по формулам:

, (2.17)

, (2.18)

. (2.19)

2.3 Определение углов между продольной осью кузова и осью автосцепки

Определение углов между продольной осью кузова и осью автосцепки выполняется аналогично тому, как это сделано в подразд. 2.2 для угла . Рассмотрим расчетную схему, для определения углов (рис. 2.4).

Из рисунка 2.4 следует:

- центр системы Аkknkbk, где k - индекс, указывающий на номер тележки в секции локомотива, k = 1, 2, 3; j - номер секции от головы состава;

- центры поворота автосцепок, iс - номер автосцепки в секции, iс =1, 2;

- точка соединения двух автосцепок;

2В - база кузова локомотива;

2В1 - расстояние между мнимыми шкворнями двух смежных секций;

- углы наклона продольной оси кузова к оси OX;

- угол наклона продольных осей автосцепок к оси OX;

- угол между продольными осями кузова и автосцепки;

S1 - расстояние от начала переходной кривой до точки .

Допущения, принятые при определении углов :

· длина дуги равна 2В, а длина дуги равна 2В1;

· отрезок параллелен .



Рис. 2.4 Расчетная схема определения углов между продольной осью кузова и продольными осями автосцепок

Согласно рис. 2.4, угол определяется по формуле

(2.20)

Углы наклона к оси OX продольной оси кузова и осей автосцепок определяются в соответствии с формулой (2.8):

(2.21)

. (2.22)

После подстановки выражений (2.21) и (2.22) в формулу (2.20) угол между продольной осью первой секции и автосцепкой определяется по формуле

. (2.23)

Формула (2.23) получена для случая, когда весь кузов локомотива находится на переходной кривой. Для определения угла , когда задняя тележка находится на прямой, а передняя на переходной, выполним аналогичные преобразования, как это сделано в подразд. 2.3 при определении угла для переходного этапа.

Для переходного этапа угол определяется по формуле

. (2.24)

Для удобства пользования представим формулы (2.23), (2.24) в следующем виде:

; (2.25)

, (2.26)

где , и определим по следующим формулам:

; (2.27)

; (2.28)

. (2.29)

2.4 Определение сил, действующих на кузов секции электровоза в переходной кривой

Рассмотрим расчетные схемы кузова секции локомотива и каждой из тележек, где предусмотрено, что каждая секция имеет три тележки. Передача тягового усилия от тележек к кузову осуществляется через наклонные тяги (рис. 2.5).

Рис. 2.5 Проекции сил, действующих на кузов секции электровоза в плоскости XY

При выводе расчетных зависимостей воспользуемся понятием «плоскость рельсовой колеи». Каждой точке осевой линии рельсовой колеи в переходной кривой соответствует определенное положение этой плоскости: она проходит через касательную к осевой линии и перпендикулярную к ней прямую, проведенную через контактные точки головок наружного и внутреннего рельсов. Принято, что соответствующий центр кривизны осевой линии расположен на указанной прямой, то есть прямая, проведенная через контактные точки рельсов перпендикулярная касательной, есть главная нормаль осевой линии рельсовой колеи.

Рассмотрим проекции сил, действующих на кузов электровоза в плоскости XY (рис. 2.5). Координатная плоскость XY параллельна плоскости рельсовой колеи и проходит через центры мнимых шкворневых узлов, соединяющих кузов с тележками. Здесь приняты следующие обозначения:

· Ak - центр мнимого шкворневого узла на кузове секции для k-ой тележки, k = 1, 2, 3;

· Q1 и Q2 - продольные силы на передней и задней автосцепках секции электровоза;

· Hk - равнодействующая сил реакций в поперечных связях кузова с k-й тележкой;

· Wk - проекция на ось X силы в наклонной тяге, отнесенная к одной колесной паре k-й тележки;

· Ркуз - сила тяжести кузова секции электровоза;

· - центробежная сила кузова секции электровоза;

· Мzk, Мxk, Мyk - проекции на оси X, Y, Z главного момента сил реакции люлечного подвешивания k-й тележки;

· - момент сил инерции кузова относительно оси z;

· Мрk - момент, создаваемый механизмом принудительного разворота k-й тележки относительно кузова секции;

· 1 и 2 - углы между продольной осью секции кузова и осями передней и задней автосцепок;

· k - угол между продольной осью k-й тележки и касательной k;

· k - угол между продольной осью кузова и касательной k, (3=0);

· 1, 2 и 3 - центры узлов крепления на раме кузова буферных устройств наклонных тяг. Центры 1, 2, 3 расположены на оси X.

Рассмотрим проекции сил, действующих на кузов секции электровоза в плоскости XZ и YZ (рис. 2.6 и рис. 2.7), где

· C1 - центр масс кузова секции;

· Fzk - проекция на ось Z силы реакции k-го шкворневого узла;

· h - расстояние центра масс кузова секции от плоскости XY;

· ha - расстояние между плоскостью осей автосцепок и плоскостью XY;

· iп - угол между осью X и горизонтальной плоскостью (при движении на спуск iп < 0);

· - угол между осью Y и горизонтальной плоскостью;

· Cбk - расстояние от центра массы k-й тележки до соответствующего центра узла крепления на раме кузова буферного устройства наклонной тяги;

· - угол между продольной осью наклонной тяги и осью X.

Из указанных сил, действующих на кузов секции электровоза, известными считаются Pкуз, , Wk, Мрk. Необходимо определить силы Q, Fzk, Hk и моменты Мxk, Мzk.

Рис. 2.6 Проекции сил, действующих на кузов секции электровоза в плоскости XZ



Рис. 2.7 Проекции сил, действующих на кузов секции электровоза в плоскости YZ

Для определения неизвестных составлены шесть уравнений принципа Даламбера:

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

(2.35)

Принято, что сила тяги, реализуемая секциями, одинакова. Тогда продольные силы на первой и второй автосцепках определятся по формулам:

; (2.36)

, (2.37)

где j - номер секции от головы состава.

Центробежную силу кузова определим выражением

, (2.38)

где 2 - скорость движения локомотива, ( = const); g - ускорение свободного падения; Sкуз - путь, пройденный центром масс кузова от начала переходной кривой.

Момент сил инерции кузова относительно оси Z при движении в переходной кривой определяется формулой

, (2.39)

где - момент инерции кузова относительно вертикальной оси; - угловое ускорение кузова при движении в переходной кривой. Для определения этого ускорения необходимо найти вторую производную от угла [см. (2.10)]:

(2.40)

Возвышение наружного рельса для кузова локомотива определяется углом (см. (2.41))

, (2.41)

где - ширина колеи в круговой кривой; - длина переходной кривой; - возвышение наружного рельса в круговой кривой.

При выполнении преобразований примем следующее:

· углы , , , - малые величины, поэтому косинус любого угла равен единице, а синус - значению угла;

· усилия в трех наклонных тягах считались заданными и равными

2W1 = 2W2 = 2W3 = 2W;

· расстояние от центра масс k-й тележки до соответствующего центра узла крепления буферного устройства наклонной тяги считалось равным

Cб1 = Cб2 = Cб3 = Cб;

· момент Мxk, действующий на кузов от люлечного подвешивания, принят одинаковым для трех тележек

Мx1 = Мx2 = Мx3 = Мx;

· составляющие вдоль осей Y и Z силовой нагрузки на среднюю тележку равны средним арифметическим величинам, действующим на переднюю и заднюю тележки;

· разворачивающий момент для k-й тележки Мрk изменяется пропорционально дуговой координате Sk, т.е.

(2.42)

где mр - величина момента, создаваемого механизмом принудительного разворота, в конце переходной кривой.

При составлении расчетных схем сил, действующих на кузов секции электровоза, будем учитывать влияние сил и моментов в люлечном подвешивании. Подробный метод определения этих сил представлен в работе [4], поэтому для определения момента воспользуемся только окончательным аналитическим выражением

, (2.43)

где z, z - коэффициенты, зависящие от геометрических размеров люлечного подвешивания, определяются по формулам:

; (2.44)

. (2.45)

где сл - расстояние между плоскостью, проходящей через шарниры люлечной подвески на тележке и плоскостью шарниров на кузове; ел0 - длина стержня люлечной подвески; ал - расстояние от шарнира подвески на тележки до поперечной оси тележки; bл - расстояние от шарнира подвески на кузове до продольной оси кузова; dл - расстояние от шарнира подвески на тележке до продольной оси тележки; - угол между продольной осью кузова и тележки

1 = 1 - 1;

2 = 2 + 2; (2.46)

с = с;

Следует иметь в виду, что упругое опирание кузова на тележки электровоза ЭП1 выполнено в виде четырех пружинных подвесок люлечного подвешивания, т. е. аналогично применяемому на электровозах ВЛ85, ВЛ65, ВЛ80 всех индексов. Однако следует заметить, что средняя тележка отличается от крайних системой опор кузова. Отличие заключается в том, что стержни люлечного подвешивания имеют большую длину по сравнению с крайними. В связи с этим, коэффициенты, определяемые по формулам (2.44) и (2.45) для средней тележки будут иметь другое числовое значение. При определении сил, действующих на кузов секции электровоза, учитывалось влияние конструкции подвешивания средней тележки.

Совместное решение уравнений (2.30) - (2.35) дает следующие результаты:

; (2.47)

(2.48)

(2.49)

(2.50)

В действиях типа или верхний знак необходимо принимать для первой тележки, а нижний - для третьей.

После сравнительного численного анализа членов расчетных уравнений момент сил Мyk в люлечном подвешивании относительно оси Y исключим из окончательных формул, вследствие его незначительной величины (1,4%).

Далее преобразуем выражения (2.48) - (2.50) путем подстановки в них выражений (2.25), (2.38), (2.41) и (2.42), зависящих от дуговой координаты S. Чтобы в выражениях (2.48) - (2.50) выделить постоянные и переменные составляющие, представим их в следующем виде:

(2.51)

(2.52)

(2.53)

где величины с верхним индексом "0" - постоянные слагаемые, а величины со штрихом - коэффициенты слагаемых, зависящие от Sk, которые определяются:

(2.54)

(2.55)

(2.56)

(2.57)

(2.58)

(2.59)

Таким образом, выражения (2.54) - (2.59) представлены для первой тележки секции локомотива. Чтобы формулы (2.51) - (2.53) и входящие в них члены записать для второй или средней тележки, необходимо формулы (2.25), (2.38), (2.41) и (2.42) выразить через дуговые координаты соответствующих тележек.

2.5 Определение активных и инерционных сил, действующих на тележки секции электровоза

Рассмотрим расчетные схемы для первой, второй и средней тележек секции электровоза (рис. 2.8, 2.9 и 2.10).

Рис. 2.8 Проекции сил, действующих на тележку в плоскости An

Рис. 2.9 Проекции сил, действующих на тележку в плоскости Anb

Рис. 2.10 Проекции сил, действующих на тележку в плоскости Ab

Примем, что центры мнимых шкворневых узлов крайних тележек , и соответствующие центры кузова А1, А2 совпадают, а центр смещен относительно центра А3 в поперечном направлении на высоту сегмента (рис. 2.8). Плоскость Аkknk, k = 1, 2, 3 - плоскость рельсовой колеи, соответствующая точке Аk осевой линии (см. подразд. 2.4.), k, nk, bk - касательная, нормаль и бинормаль к осевой линии рельсовой колеи в выбранных точках, причем дополнительно введем следующие обозначения:

· h3 - расстояние от плоскости рельсовой колеи до плоскости, проходящей через центры тяжести тележек;

· h4 - расстояние от плоскости рельсовой колеи до плоскости, проходящей через центры мнимых шкворневых узлов на кузове (до плоскости XY на рис. 2.5 - 2.6).

Проекции главного вектора и главного момента активных и инерционных сил на оси , n, b в плоскости рельсовой колеи определяются следующими выражениями:

; (2.60)

; (2.61)

; (2.62)

; (2.63)

; (2.64)

, (2.65)

где, кроме сил и моментов, перенесенных со схем (рис. 2.5 - 2.7) (с изменением их направлений на противоположные), учтены сила тяжести k-й тележки и центробежная сила:

. (2.66)

Возвышение наружного рельса для k-й тележки определяется углом k

, (2.67)

где - длина дуги осевой линии рельсовой колеи от начала переходной кривой до центра Аk.

Момент сил инерции тележки относительно бинормали b при движении в переходной кривой определяется формулой

(2.68)

где - момент инерции тележки относительно вертикальной оси; - угловое ускорение относительного движения k-й тележки; - угловое ускорение переносного движения k-й тележки в переходной кривой, определяемое по формуле

. (2.69)

После преобразований, в ходе которых исключены несущественные слагаемые, выражения (2.60) - (2.65) примут следующий вид:

(2.70)

(2.71)

(2.72)

(2.73)

(2.74)

(2.75)

Где

(2.76)

(2.77)

(2.78)

; (2.79)

(2.80)

(2.81)

(2.82)

; (2.83)

. (2.84)

Выражения (2.76) - (2.84) представлены для первой тележки секции локомотива. Чтобы формулы (2.70) - (2.75) и входящие в них члены записать для второй или средней тележки, необходимо соотношения (2.15), (2.42), (2.66) и (2.67) выразить через дуговые координаты соответствующих тележек и результаты подставить в формулы (2.70)-(2.75).

2.6 Определение сил взаимодействия колес электровоза с рельсами

Общеизвестно, что касательные силы взаимодействия поверхностей катания колес с рельсами пропорциональны скоростям упругого проскальзывания колес по рельсам [7]. Следовательно, предварительно необходимо получить выражения для этих скоростей.

Рассмотрим процесс входа тележки в переходную кривую (рис. 2.11), где показан контур тележки, находящийся в плоскости рельсовой колеи для первого этапа движения в переходной кривой (касание гребнем набегающего колеса наружного рельса отсутствует). Здесь 1, 2, 3, 4 - точки контакта поверхностей бандажей колес с рельсами. Индексы, обозначающие номера тележек опущены. Приведем принятые обозначения:

· А' - точка на осевой линии рельсовой колеи, соответствующая среднему положению центра масс тележки в рельсовой колее (пунктирный контур);

· - угол перекоса тележки (угол между касательной и продольной осью тележки xт);

· - безразмерная координата, характеризующая поперечный сдвиг тележки в рельсовой колее:

А'Ст = L,

где L - половина базы тележки;

· - - расстояния от контактных точек колес до продольной вертикальной плоскости симметрии тележки;

· G - мгновенный центр кривизны осевой линии рельсовой колеи.

Рис. 2.11 Расчетная кинематическая схема тележки при входе в переходную кривую

Скорости контактных точек (скорости упругого проскальзывания) определяются с использованием координатного метода кинематики точки. Для определения координат контактных точек введена дополнительная система координат С0x'y'. Ось x' направлена по касательной , ось y' направлена противоположно главной нормали n. Координаты контактной точки 2 в системе С0x'y' определяются следующими выражениями:

; (2.85)

. (2.86)

Расстояние между контактной точкой 2 и продольной плоскостью тележки определяется по формуле

, (2.87)

где - расстояние между контактной точкой 2 и продольной плоскостью тележки при среднем ее положении в рельсовой колее переходной кривой.

Колейный зазор в переходной кривой пк изменяется пропорционально дуговой координате, поэтому

, (2.88)

где п - колейный зазор в прямом участке пути; кр - колейный зазор в круговой кривой; S - дуговая координата центра мнимого шкворневого узла А'.

Формулу (2.88) запишем в следующем виде:

, (2.89)

Где

. (2.90)

Расстояние в формуле (2.87) между контактной точкой и продольной плоскостью тележки также зависит от дуговой координаты:

, (2.91)

где - расстояние между контактной точкой 2 и продольной плоскостью тележки при среднем ее положении в прямом участке пути. Воспользуемся окончательной формулой

, (2.92)

где a - половина ширины рельсовой колеи; d1, g1 и - геометрические параметры головки рельса и профиля бандажа. Расстояние при неизношенных бандажах и рельсах составляет 0,79 м.

Согласно выражениям (2.88)-(2.92), формула (2.87) примет вид

, (2.93)

Формулу (2.93) можно записать для всех четырех контактных точек

, (2.94)

. (2.95)

Примечание. В действиях типа верхний знак необходимо принимать для нечетного колеса тележки, а нижний - для четного.

Величины и малы, поэтому принято, что

sin = , sin = , cos = 1, cos = 1.

В связи с этим формулы (2.85) и (2.86) с учетом (2.93), записываются в следующем виде:

; (2.96)

. (2.97)

Остальные координаты контактных точек в системе А'x'y' определяются так:

; (2.98)

; (2.99)

. (2.100)

. (2.101)

Следует иметь в виду, что при определении скоростей в точках контакта колес и рельсов имеем дело не с реальным, а с упругим проскальзыванием, алгоритм определения скоростей упругого проскальзывания будет изложен ниже.

Из общего движения тележки, как твердого тела, выделим переносное и относительное движение. Переносное движение - это поворот подвижной системы С0n в плоскости рельсовой колеи вокруг мгновенного центра кривизны G. Причем центр С0 данной системы всегда находится на дуге осевой линии рельсовой колеи. Переносное движение описывается линейной и угловой скоростями. Линейная скорость направлена по оси и равна . Угловая скорость определяется выражением

...