Определение сил взаимодействия колес электровозов ЭП1 с рельсами при движении в переходных и круговых кривых малого радиуса

. (2.102)

где q - параметр переходной кривой [см. формулу (2.3)].

Относительное движение - это движение тележки (системы Стxтyт) относительно подвижной системы координат А'n. В этом движении тележка имеет две степени свободы: относительный сдвиг в рельсовой колее

А'Ст = L

и поворот тележки на угол . и - обобщенные скорости относительного движения тележки в рельсовой колее переходной кривой до момента касания гребнем наружного рельса. Относительное движение тележки описывается линейной скоростью центра Ст относительно центра А' и угловой скоростью . Линейная скорость направлена перпендикулярно оси кузова и по модулю определяется по формуле

(2.103)

Угловая скорость относительного движения есть первая производная по времени угла поворота тележки относительно системы А'n, то есть

. (2.104)

Рассмотрим определение скорости точки 2. Данная точка имеет переносную скорость , которая определяется выражением:

. (2.105)

и относительную скорость:

, (2.106)

где - скорость точки 2 относительно центра тяжести тележки Ст, определяемая формулой

, (2.107)

где и - скорости контактной точки 2 в направлении осей xт и yт, при этом

, (2.108)

. (2.109)

При определении скоростей контактных точек колес необходимо учитывать также их скорости от вращения колесных пар вокруг своих продольных осей. Данная скорость для точки 2 определяется выражением

, (2.110)

где - угловая скорость колесной пары; b2 - радиус окружности катания колеса в точке контакта 2 поверхности бандажа и рельса.

Радиус колеса в контактной точке изменяется при смещении колесной пары в рельсовой колее за счет конусности бандажа и плавного уширения рельсовой колеи. Радиус колеса в контактной точке 2 определяется по формуле

, (2.111)

где bп - радиус окружности катания колеса при среднем положении колесной пары в рельсовой колее; 0,79 - половина расстояния между окружностями катания расчетных точек; - конусность бандажа.

После подстановки выражения (2.93) в формулу (2.111) получим

, (2.112)

Где

,(2.113)

. (2.114)

Для остальных контактных точек формула (2.112) записывается в следующем виде:

,(2.115)

. (2.116)

Абсолютная скорость контактной точки 2 (рис. 2.11) определяется векторным сложением трех скоростей

. (2.117)

С учетом формул (2.93) - (2.112) проекции на оси x' и y' определяются следующими выражениями:

; (2.118)

,(2.119)

где 1, 2 - коэффициенты, введенные для упрощения расчетных зависимостей и определяемые по формулам:

;(2.120)

.(2.121)

Формулы вида (2.118) и (2.119) в проекциях на оси x' и y' для остальных контактных точек колес тележки с рельсами примут вид:

; (2.122)

; (2.123)

; (2.124)

. (2.125)

Используя полученные выражения скоростей упругого проскальзывания колес по рельсам, можно получить формулы для определения касательных сил взаимодействия колес с рельсами в четырех контактных точках (рис. 2.12):

;i = 1, 2, 3, 4, (2.126)

где д - динамический коэффициент упругого проскальзывания колеса по рельсу; Ni - вертикальная нагрузка на i-е колесо тележки; - вектор скорости контактной точки i-го колеса.

Вертикальная нагрузка на i-е колесо тележки определяется по формуле

; (2.127)

.

где - поправка, учитывающая влияние на Ni момента Mn; - поправка, учитывающая влияние момента M; - поправка, учитывающая влияние гироскопического момента.



Рис. 2.12 Расчетная схема касательных сил в точках контакта колес тележки электровоза с рельсами

Указанные поправки рассчитываются по формулам

; (2.128)

. (2.129)

. (2.130)

Гироскопический момент, действующий на колесную пару, рассчитывается по формуле

. (2.131)

где - момент инерции колесной пары с зубчатым колесом относительно продольной оси; - угловая скорость собственного вращения оси колесной пары; - угловая скорость поворота оси собственного вращения (прецессия).

В формуле (2.127) , Мn и М определяются по формулам (2.72), (2.73) и (2.74), соответственно.

Примечание. Верхний знак в формулах (2.127) необходимо принимать для нечетных номеров колесных пар, а нижний - для четных.

При определении динамического коэффициента проскальзывания д воспользуемся результатами исследований проф. С. М. Куценко, который рекомендует касательные силы в точках контакта колес локомотива с рельсами определять по формуле, которая в принятых нами обозначениях имеет вид

, (2.132)

где Kк - коэффициент, вычисляемый по эмпирической формуле

Kк = [132,48 + 0,00106 (N - 100)]х[17,95 + 0,06325 (N - 100)], (2.133)

где N - расчетная нагрузка от колеса на рельс, кН.

Из сопоставления формул (2.126) и (2.132) с учетом приблизительно выполняющихся соотношений

получим зависимость для определения д

. (2.134)

Для электровоза ЭП 1, у которого N = 112,5 кН, имеем

. (2.135)

Окончательные выражения проекций на оси x' и y' касательных сил взаимодействия колес электровоза с рельсами (рис. 2.12) имеют вид:

; (2.136)

; (2.137)

; (2.138)

; (2.139)

;(2.140)

;(2.141)

; (2.142)

. (2.143)

Примечание. При расчете численных значений скоростей контактных точек Vi и касательных сил Ri по формулам (2.122)-(2.125) и (2.136)-(2.143) необходимо учитывать, что значения величин , , и для различных тележек различны.

2.7 Определение законов изменения обобщенных координат тележки в переходной кривой до момента касания гребнем наружного рельса

Рассмотрим расчетную схему тележки (см. рис. 2.12), в которой, как и на предыдущей расчетной схеме (см. рис. 2.11), ось n направлена к мгновенному центру кривизны G осевой линии криволинейного участка рельсовой колеи; ось направлена по касательной к осевой линии в сторону движения локомотива; продольная ось тележки (ось Xт) отклонена от оси на угол ; центры названных выше систем координат расположены в плоскости рельсовой колеи, проходящей через контактные точки (1, 2, 3, 4). В центре Ст приложены проекции главного вектора F, Fn и главного момента Мb. На схеме также обозначены проекции на оси Xт, Yт касательных сил взаимодействия поверхностей катания колес с рельсами Rxi, Ryi.

Приведем три уравнения кинетостатики для сил, изображенных на рис. 2.12:

; (2.144)

; (2.145)

(2.146)

где и - координаты контактных точек в системе координат С0x'y' (i = 1, 2, 3, 4), которые определяются по формулам:

; (2.147)

, (2.148)

где xi, yi - координаты контактных точек, определяемые по формулам (2.98) - (2.101), и - координаты центра масс тележки в системе А'x'y'

; (2.149)

. (2.150)

В уравнения (2.144) и (2.145) включен главный вектор сил инерции тележки в относительном движении:

, (2.151)

где - ускорение центра Ст в относительном движении тележки:

, (2.152)

g - ускорение свободного падения.

В уравнениях (2.144) и (2.145) учитывается главный вектор кориолисовых сил инерции тележки, который определяется выражением:

, (2.153)

где акор - кориолисово ускорение центра тяжести тележки, определяемое по формуле

, (2.154)

где - скорость центра тяжести тележки Ст.

Из формул (2.153) и (2.154) следует, что кориолисовы силы инерции тележки - малые величины второго порядка, поэтому в дальнейших расчетах они не учитываются.

После подстановки в уравнения (2.144) - (2.146) найденных аналитических выражений для Rix', Riy', и получим систему трех дифференциальных уравнений:

(2.155)

(2.156)

(2.157)

В уравнениях (2.155) - (2.157) неизвестной является угловая скорость колесной пары и законы изменения обобщенных координат и от времени движения тележки в переходной кривой; F, Fn, Fb, Mb, , определяются по формулам (2.70), (2.71), (2.72), (2.75), (2.128) и (2.129), соответственно. Из первого уравнения системы (2.155) находим:

. (2.158)

После подстановки выражения (2.158) в формулу (2.156) и некоторых преобразований получим следующее дифференциальное уравнение:

;(2.159)

где t1 - время движения от момента входа тележки в переходную кривую (первый этап); А1 - А7 - постоянные коэффициенты, определяемые по следующим формулам:

;(2.160)

;(2.161)

;(2.162)

; (2.163)

; (2.164)

; (2.165)

. (2.166)

После подстановки выражения (2.158) в формулу (2.157) и некоторых преобразований получим второе дифференциальное уравнение следующего вида

, (2.167)

где В1 - В8 - постоянные коэффициенты, определяемые по следующим формулам:

; (2.168)

; (2.169)

; (2.170)

; (2.171)

; (2.172)

; (2.173)

;(2.174)

. (2.175)

В совокупности уравнения (2.159) и (2.167) представляют собой систему неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка, интегрируя которую определим законы изменения обобщенных координат и в функции времени, для первого этапа движения тележки в переходной кривой.

Расчет системы дифференциальных уравнений необходимо провести на ЭВМ с использованием системы математического программирования Maple.

Методика решения полученной системы дифференциальных уравнений в символьном и численном виде для некоторых исходных данных представлена в приложении.

Решение системы дифференциальных уравнений будет имеет следующий вид:

(2.176)

(2.177)

где n1, n2, k1, k2 - вещественные и мнимые части комплексных сопряженных корней характеристического уравнения соответственно; X1 - X3, Y1 - Y3 - коэффициенты, определяемые из начальных условий; 1 - 4 - коэффициенты формы колебаний; Д1, Д2, Е1, Е2 - коэффициенты алгебраических полиномов частных решений исходных дифференциальных уравнений.

После определения зависимостей и от времени движения t1 запишем условие, при котором гребень колесной пары коснется наружного рельса переходной кривой:

. (2.178)

Таким образом, совокупность формул, рассмотренных в разделе 2, представляет собой математическую модель, описывающую вход двухосных локомотивных тележек в переходную кривую, т. е. до момента времени, когда произойдет касание гребнем набегающего колеса наружного рельса переходной кривой.

2.8 Определение закона изменения обобщенной координаты тележки после касания гребнем наружного рельса переходной кривой

локомотив колесо электровоз кривая

Рассмотрим процесс движения тележки в переходной кривой после касания гребнем колеса 2 наружного рельса. На рис. 2.13 показан контур тележки для второго этапа движения. После того, как передняя колесная пара коснется наружного рельса в переходной кривой, тележка будет иметь одну степень свободы, характеризуемую углом перекоса .

Для определения скоростей упругого проскальзывания контактных точек для второго этапа движения тележки необходимо проделать аналогичную процедуру (см. подразд. 2.6).

Рис. 2.13 Расчетная кинематическая схема тележки после касания гребнем наружного рельса переходной кривой

Так как колесо 2 прижато гребнем к наружному рельсу, то расстояние между контактной точкой 2 и вертикальной продольной плоскостью симметрии тележки будет определяться формулой

. (2.179)

Соответственно и расстояние между контактной точкой 1 и средней продольной плоскостью тележки определится по формуле

. (2.180)

Указанные расстояния для контактных точек 3 и 4 имеют вид:

; (2.181)

, (2.182)

где Сз - смещение центра задней колесной пары в поперечном направлении за счет перемещения в плоскости колеи центра тяжести тележки и поворота тележки на угол :

, (2.183)

здесь А'Ст - отрезок (см. рис. 2.13), характеризующий смещение центра тяжести тележки в рельсовой колее:

, (2.184)

где 1 - коэффициент, учитывающий плавное уширение рельсовой колеи переходной кривой (формула 2.90).

Координаты контактных точек в системе А'x'y' определяются следующими выражениями:

; (2.185)

. (2.186)

После подстановки в эти формулы выражений (2.179)-(2.183), (2.184) и принимая во внимание малые величины углов и , получим окончательные выражения для определения координат контактных точек:

;(2.187)

;(2.188)

.(2.189)

.(2.190)

Переносные скорости контактных точек определяются по формуле (2.105), а проекции этих скоростей на оси x' и y' для всех четырех точек будут определены по следующим формулам:

; (2.191)

; (2.192)

; (2.193)

; (2.194)

Относительные скорости контактных точек определяются формулой (2.106). Проекции относительных скоростей на оси x' и y' будут иметь следующий вид:

; (2.195)

; (2.196)

; (2.197)

, (2.198)

где , - проекции на оси X и Y относительной скорости центра масс тележки, определяемые по формулам:

; (2.199)

.(2.200)

После подстановки выражений (2.199) и (2.200) в (2.195) - (2.198) получим окончательные формулы для проекций относительных скоростей контактных точек:

; (2.201)

;(2.202)

; (2.203)

. (2.204)

Примечание. Во всех приведенных формулах верхний знак необходимо принимать для нечетных номеров колесных пар, а нижний - для четных.

Для определения относительных скоростей точек от вращения колесных пар вокруг своих продольных осей необходимо определить радиус окружности катания колеса в каждой контактной точке поверхности бандажа. Радиус колеса в каждой точке контакта рассчитывается по формуле (2.111), в которую вместо необходимо подставить расстояния между точками контакта и вертикальной продольной плоскостью симметрии тележки, определяемые по формулам (2.179)-(2.182). После подстановки формул радиус окружности катания колеса в каждой точке контакта определяется так:

;(2.205)

; (2.206)

; (2.207)

, (2.208)

где - коэффициент, введенный для упрощения выражений, которые определяются по формуле

. (2.209)

Расчет скоростей точек от вращения колесных пар производится по формуле (2.110).

Абсолютная скорость для каждой контактной точки (рис. 2.13) определяется векторным сложением трех скоростей, а именно: переносной, относительной и скорости от вращения колесных пар (формула 2.117). Проекции абсолютных скоростей на оси x' и y' имеют следующий вид:

(2.210)

; (2.211)

(2.212)

(2.213)

(2.214)

(2.215)

(2.216)

(2.217)

где 0, 4, 5 и 6 - коэффициенты, определяемые по формулам:

; (2.218)

; (2.219)

; (2.220)

. (2.221)

Для определения касательных сил взаимодействия колес с рельсами (см. рис. 2.13) используется формула (2.126). Запишем следующие формулы для определения этих сил:

(2.222)

(2.223)

(2.224)

(2.225)

(2.226)

(2.227)

(2.228)

(2.229)

При исследовании второго этапа движения тележки необходимо учитывать, что точка контакта гребня с рельсом «забегает вперед» относительно соответствующей точки контакта на круге катания. Представим расчетную схему для второго этапа движения тележки в переходной кривой (рис. 2.14), в которой приняты следующие обозначения:

· точка 2г - точка касания гребнем наружного рельса;

· - проекция силы нормального давления гребня на рельс на плоскость А'x'y';

· - приведенный коэффициент трения скольжения;

· г - угол трения;

· г - угол между осью y' и проекцией силы нормального давления гребня.

Все остальные обозначения аналогичны обозначениям на рис. 2.12.

Рис. 2.14 Расчетная схема тележки для второго этапа движения в переходной кривой

Для дальнейших выводов необходимо определить координаты точки контакта гребня с рельсом 2г в системе координат Ox'y'. «Забегание вперед» точки контакта гребня с рельсом относительно соответствующей точки контакта на круге катания определяется выражением

, (2.230)

где а2, b2 - координаты центра боковой выкружки рельса, определяемые по формулам:

; (2.231)

, (2.232)

где d1, d2, h1 и h2 - геометрические параметры головки рельса; а - половина ширины колеи в переходной кривой, определяемая по формуле

, (2.233)

где ап - половина ширины колеи в прямой.

Запишем формулу (2.230) в следующем виде:

, (2.234)

Где

. (2.235)

Так как радиус в переходной кривой постоянно изменяется, то формула (2.234), с учетом (2.235), примет вид

, (2.236)

Где

. (2.237)

Таким образом, координаты точки 2г определяются выражениями:

; (2.238)

, (2.239)

где x2 - координата контактной точки 2; - номинальное расстояние между рабочими гранями гребней колес одной колесной пары; - колейный зазор в переходной кривой:

. (2.240)

После определения касательных сил и координат точки контакта гребня колеса с рельсом, используя принцип Даламбера, сформируем систему уравнений:

; (2.241)

; (2.242)

(2.243)

где - сумма моментов касательных сил относительно точки О.

Уравнение (2.243) является уравнением моментов всех сил относительно точки О1 (см. рис. 2.14).

В уравнения (2.241), (2.242) включен главный вектор сил инерции тележки в относительном движении:

; (2.244)

Кориолисова сила инерции тележки не учитывается, так как это (как и в случае для первого этапа) малая величина второго порядка.

После подстановки в уравнения (2.241) - (2.243) найденных аналитических выражений для Rix', Riy' (для второго этапа) и , получим систему трех дифференциальных уравнений:

(2.245)

(2.246)

(2.247)

где 4, 5 - коэффициенты, определяемые по формулам:

; (2.248)

, (2.249)

Где

; (2.250)

. (2.251)

В выражениях (2.250) и (2.251) члены и определяются по формулам (2.80) и (2.81), соответственно.

В уравнениях (2.245)-(2.247) неизвестной является угловая скорость колесной пары и законы изменения обобщенной координаты и силы нормального давления гребня на рельс от времени движения тележки в переходной кривой. Из второго уравнения системы (2.246) выразим силу нормального давления гребня на рельс :

(2.252)

Величиной в формуле (2.246) можно пренебречь, так как она мала по сравнению с единицей. Для определения угловой скорости колесной пары необходимо выражение (2.252) подставить в первое уравнение системы (2.245). Тогда после преобразований получим

(2.253)

Путем подстановки выражения (2.253) в третье уравнение системы (2.247), с учетом всех известных членов и некоторых преобразований получим дифференциальное уравнение, характеризующее изменение обобщенной координаты в функции времени:

(2.254)

Коэффициенты С1 - С6 дифференциального уравнения определяются по следующим формулам:

; (2.255)

; (2.256)

; (2.257)

; (2.258)

; (2.259)

(2.260)

Где

; (2.261)

(2.262)

(2.263)

- путь, пройденный k-й тележкой от начала переходной кривой до момента касания гребнем наружного рельса (первый этап движения); t2 - время движения тележки в переходной кривой после касания гребня наружного рельса (второй этап).

При решении дифференциального уравнения (2.240) за начальные условия принимались значения, соответствующие моменту касания (удара) рельса гребнем в конце первого этапа движения тележки в переходной кривой. Принято, что при ударе имеет место закон сохранения количества движения тележки:

(2.264)

где - скорость центра тяжести тележки.

Согласно указанному закону, количество движения тележки до удара равно количеству движения после удара , то есть

, (2.265)

Или

. (2.266)

Скорость центра тяжести тележки до удара определяется по формуле (2.103), а после удара - как первая производная от закона смещения центра масс тележки, определяемого по формуле (2.184). Формула (2.266) в проекции на направление примет вид

. (2.267)

Пренебрегая малой величиной , которая составляет 2,5 % от угловой скорости перекоса , получим начальную обобщенную скорость второго этапа движения тележки

. (2.268)

Начальное значение обобщенной координаты принимается равным значению угла перекоса в конце первого этапа .

Решение дифференциального уравнения (2.254) необходимо выполнить на ЭВМ с использованием пакета программ Maple.

Пример решения дифференциального уравнения (2.254), характеризующего изменение обобщенной координаты в символьном и численном виде, представлен в приложении.

2.9 Определение закона изменения силы нормального давления гребня колеса на рельс

Расчетная схема тележки изображена на рис. 2.14. Вектор силы нормального давления гребня колеса на рельс образует с нормалью к плоскости рельсовой колеи угол, мало отличающийся от в, угла наклона прямой вставки профиля гребня к продольной оси колесной пары. Величина этого угла для колес электровоза ЭП1 с различной степенью износа находится в интервале: . Поэтому фактическое, нормальное давление гребня на рельс должно определяться формулой

. (2.269)

Вектор силы трения гребня о рельс направлен противоположно вектору скорости точки контакта гребня колеса с рельсом. Величина угла - между вектором силы трения и касательной к рельсовой нити - может принимать значения в интервале . В расчете будем использовать следующую зависимость между и :

, (2.270)

где f - коэффициент трения скольжения гребня колеса о рельс, и - средние значения углов и , равные, соответственно, 750 и 530; - приведенный коэффициент трения скольжения

. (2.271)

В связи с этим в уравнениях (2.241) - (2.243) используются приведенный коэффициент трения скольжения гребня о рельс и проекция силы нормального давления гребня .

Силу нормального давления гребня колеса на рельс можно определить по формуле (2.252), но для этого необходимо предварительно определить: угловую скорость колесной пары [формула (2.253)], найденную из дифференциального уравнения (2.254), обобщенную координату и ее производные по времени и . Действуя таким образом, получим закон изменения силы нормального давления гребня колеса на рельс при движении электровоза в переходной кривой.

Совокупность формул, приведенных в подразделах 2.8 и 2.9, представляет собой математическую модель, описывающую движение тележки электровоза с осевой формулой 20-20-20 в переходной кривой. Эта модель позволяет определить изменение силы нормального давления гребня колеса на рельс в зависимости от параметров переходной кривой, от параметров упругого проскальзывания колес, от геометрических, массовых и динамических параметров электровоза.

2.10 Определение закона изменения угла перекоса тележки, и силы давления гребня на рельс при движении в круговой кривой

Рассмотрим процесс движения тележек локомотива серии ЭП1 в круговой кривой, учитывая условия движения в переходной кривой.

Исходя из того, что математическая модель, рассмотренная в подразделе 2.8, является универсальной, применим ее и для круговых кривых. Обобщенные координаты и силы в этой математической модели представлены как зависимости от дуговой координаты S (точки на осевой линии рельсовой колеи). Подставляя вместо дуговой координаты S длину переходной кривой Lпк, можно исключить параметр переходной кривой q. Вместо него в формулах останется радиус круговой кривой о. Преобразование формул по этой методике в настоящем пособии не приводится с целью сокращения объема издания. Дифференциальное уравнение, характеризующее изменение угла , будет имеет вид

(2.272)

Где

; (2.273)

(2.274)

(2.275)

(2.276)

Уравнение (2.272) можно получить и из уравнения (2.254) путем подстановки вместо дуговой координаты S длины переходной кривой Lпк.

При этом члены правой части дифференциального уравнения (2.254) примут следующий вид:

; (2.277)

; (2.278)

(2.279)

Для определения закона изменения силы давления гребня на рельс необходимо в формулу (2.252) вместо дуговой координаты S подставить длину переходной кривой Lпк.

Контрольные вопросы

1. Что такое математическая модель процесса перекашивания тележек в рельсовой колее?

2. Каковы назначение и особенности переходной кривой?

3. Что такое кривизна переходной кривой?

4. Каким уравнением описывается ось пути на участке переходной кривой?

5. Что такое переносное и относительное движение тележки?

6. Что такое обобщенные координаты тележки?

7. От чего зависят углы между продольной осью кузова и осью автосцепки?

8. Что такое плоскость рельсовой колеи?

9. От чего зависит центробежная сила кузова в кривой?

10. С какой целью определяются скорости упругого проскальзывания колес по рельсам?

11.Какими скоростями характеризуется относительное движение тележки?

12. Какие составляющие входят в выражение абсолютной скорости контактной точки?

13. От чего зависит вертикальная нагрузка на колесо?

14. Из каких этапов состоит движение тележки в переходной кривой?

15. В чем суть закона сохранения количества движения тележки?

16. От чего зависит сила нормального давления гребня на рельс?

17. Что позволяет определить математическая модель, представленная в разделе 2?

3. АНАЛИЗ ФАКТОРОВ, ВЛИЯЮЩИХ НА ИНТЕНСИВНОСТЬ ИЗНОСА ГРЕБНЕЙ ЛОКОМОТИВНЫХ КОЛЕС ПРИ ДВИЖЕНИИ В КРИВЫХ МАЛОГО РАДИУСА

Рекомендованный библиографический список

[1, гл. 7 § 7.6]

[3, гл. 2]

[4, гл. 2 пп. 2.1, 2.2]

[5, гл. 2 пп. 2.2; гл. 3]

[6, гл. 1, 2]

3.1 Общие положения

Как известно, сила давления гребня на рельс существенно влияет на боковой износ гребней колесных пар и рельсов. Для оценки интенсивности износа колес и рельсов важно иметь обобщенный показатель, называемый фактором или критерием износа гребней колес. Учеными для оценки износа предлагаются различные критерии износа [1, 2], но везде прослеживается прямая зависимость между силой давления гребня на рельс и интенсивностью износа. В нашем случае будем рассматривать так называемый энергетический критерий износа:

.(3.1)

где - сила нормального давления гребня колеса на боковую поверхность головки рельса; - скорость проскальзывания гребня по боковой поверхности рельса; - скорость электровоза.

Как показали исследования [4], отношение скорости проскальзывания гребня к скорости локомотива при движении существенно не изменяется. Поэтому сила давления гребня на рельс является определяющей величиной в боковом износе гребней колес. На основании теоретических исследований (раздел 2) можно заключить, что сила давления гребня на рельс зависит от многих параметров [см. формулу (2.252)]. В этой связи определим влияние различных факторов (см. подраздел 2.1) на изменение величины силы давления гребня, а следовательно, и на критерий износа.

Для проведения численного анализа воспользуемся табл. 3.1, где приведены значения постоянных и переменных параметров, входящих в расчетные зависимости (см. разд. 2).

Таблица 3.1 Исходные данные для проведения численного анализа

№ п/п	Параметры
	Название	Обозначение, ед. изм.	Величина
Кузов секции электровоза ЭП1
1.	Полубаза кузова	В, м	6,765
2.	Расстояние от средней оси до оси клина автосцепки	А, м	10,3
3.	Расстояние от центра массы тележки до центра крепления буфера наклонной тяги	Сб, м	3,48
4.	Высота центра массы кузова над плоскостью, проходящей через мнимые шкворневые узлы	h, м	1,8
5.	Высота осей автосцепок над плоскостью, проходящей через мнимые шкворневые узлы	hа, м	0,5
6.	Угол наклона наклонной тяги к оси X	, рад	0,15708
7.	Сила тяжести кузова	Ркуз, кН	709
8.	Момент инерции кузова относительно вертикальной оси	, кНм	2573
Люлечное подвешивание
9.	Расстояние между плоскостью проходящей через шарниры люлечной подвески на тележке и плоскостью шарниров на кузове	сл, м	0,54/1,18
10.	Длина стержня люлечной подвески	ел0, м	0,553/1,18
11.	Расстояние от шарнира подвески на тележке до поперечной оси тележки	ал, м	0,6/0,25
12.	Расстояние от шарнира подвески на кузове до продольной оси кузова	bл, м	1,435/1,1
13.	Расстояние от шарнира подвески на тележке до продольной оси тележки	dл, м	1,315/1
Тележка
14.	Полубаза тележки	L, м	1,45
15.	Расстояние от плоскости рельсовой колеи до плоскости, проходящей через центр тяжести тележки	h3, м	0,746
16.	Расстояние от плоскости рельсовой колеи до плоскости, проходящей через мнимые шкворневые узлы	h4, м	0,58
17.	Сила тяжести тележки	Рт, кН	207,3/199,6
18.	Момент инерции тележки относительно вертикальной оси	, кНм	55/53
Колесная пара
19.	Радиус по кругу катания в расчетной точке	bп, м	0,625
20.	Конусность бандажа	tgб	0,05
21.	Угол наклона прямой вставки профиля гребня к продольной оси колесной пары	в	70
22.	Расстояние между рабочими гранями гребней одной колесной пары	, м	1,506
Рельсовая колея
23.	Радиус круговой кривой	, м	200-1000
24.	Длина переходной кривой	Lпк, м	50-150
25.	Возвышение наружного рельса	, м	0-0,015
26.	Ширина колеи в круговой кривой	, м	1,525-1,545
27.	Продольный уклон пути	iп, рад	0,028
Движение
28.	Тяговая нагрузка на одну колесную пару	W, кН	10-60
29.	Скорость электровоза	, м/с	10-25
31.	Динамический коэффициент упругого проскальзывания колеса по рельсу	д
Примечание. Значения, указанные в числителе, относятся к параметрам крайней тележки, в знаменателе - средней тележки

3.2 Анализ процесса разворота тележек в рельсовой колее переходной кривой

Как уже было отмечено (см. раздел 2), процесс движения тележки в переходной кривой состоит из двух этапов: первый - вход в переходную кривую до момента касания гребнем набегающего колеса наружного рельса; второй - движение тележки с набеганием гребня на наружный рельс.

При описании процесса входа тележки в переходную кривую рассмотрим графики (рис. 3.1-3.5). Приведенные графики построены для первой тележки электровоза по результатам расчетов для следующих конкретных данных: электровоз ЭП1 движется в режиме тяги (W = 40 кН), с постоянной скоростью = 10 м/с по переходной кривой (Lпк = 100 м), радиус круговой кривой о = 300 м, возвышение наружного рельса h = 0,15 м, ширина колеи круговой кривой 2а = 1,535 м, уклон пути iп = 0,028), параметры экипажной части электровоза и рельсовой колеи имеют номинальные размеры (табл. 3.1).

На рис. 3.1 представлены зависимости обобщенных координат и от времени движения t1. Из анализа результатов расчета (подразд. 3.1) следует, что гребни набегающих колесных пар тележек электровоза ЭП1 уже на первых метрах переходной кривой начинают прижиматься к наружному рельсу.

Рис. 3.1 Зависимости обобщенных координат от времени для первого этапа движения тележки

Время движения тележки в переходной кривой до момента прижатия гребня колеса к наружному рельсу при указанных выше исходных данных составляет 1,03 с. Таким образом, тележка проходит путь 10 м в переходной кривой длиной 100 м без набегания на наружный рельс.

Прижатие к наружному рельсу происходит в основном за счет поперечного смещения центра масс тележки, то есть за счет увеличения обобщенной координаты до момента прижатия гребня к рельсу; величина угла перекоса остается незначительной. При других исходных параметрах, приведенных выше, законы изменения обобщенных координат и изменяются несущественно.

Изменение во времени угловой скорости , углового ускорения , величин и , определяющих поперечное смещение центра масс тележки от момента входа в переходную кривую до момента прижатия гребня набегающего колеса к наружному рельсу, характеризуется графиками (рис. 3.2, 3.3, 3.4 и 3.5).

Рис. 3.2 Угловая скорость перекашивания тележки

Рис. 3.3 Угловое ускорение перекашивания тележки

Рис. 3.4 Изменение величины , характеризующей скорость поперечного смещения центра масс тележки



Рис. 3.5 Изменение величины , характеризующей ускорение поперечного смещения центра масс тележки

В расчетах при построении графиков предполагалось, что в начальный момент первого этапа , , и . Программная реализация математической модели позволяет исследовать процесс входа тележки в переходную кривую и при других начальных условиях. После численного анализа можно сделать вывод, что, при ненулевых начальных условиях, зависимости обобщенных координат и изменяются незначительно (2%). Если гребень набегающей колесной пары прижат к наружному рельсу в самом начале переходной кривой, то первый этап движения тележки будет отсутствовать.

При нулевых начальных условиях обобщенные координаты и для первой тележки в момент касания гребнем наружного рельса имеют следующие значения: кас1 = 0,00169 рад; кас1 = 0,00377. Это соответствует смещению центра масс тележки в рельсовой колее от среднего положения на величину А'Ст = 5,5 мм.

Для первого этапа движения тележки также была проанализирована зависимость его продолжительности от радиуса круговой кривой 0, длины переходной кривой Lпк, возвышения рельса и скорости электровоза (рис. 3.6 и 3.7).

Рис. 3.6 Зависимость продолжительности первого этапа от радиуса кривой и возвышения наружного рельса: Lпк = 150 м, нижняя граница области h = 0 м, верхняя h = 0,15 м

Рис. 3.7 Зависимость продолжительности первого этапа от скорости и длины переходной кривой: о = 200 м; h = 0,1 м; нижняя граница области Lпк = 50 м; верхняя Lпк = 150 м

На основании выполненных расчетов относительно времени можно сделать следующие выводы:

· время от момента входа в переходную кривую до момента касания гребнем наружного рельса увеличивается с увеличением радиуса круговой кривой и с возвышением наружного рельса;

· это же время уменьшается с увеличением скорости электровоза, хотя путь, проходимый тележкой до касания гребнем наружного рельса, получается практически одинаковый;

· это же время незначительно уменьшается при уменьшении длины переходной кривой.

Такие же расчеты могут быть выполнены аналогичным образом для средней и последней тележки (в пособии не рассматриваются). Следует отметить, что промежуток времени от входа в переходную кривую до касания гребнем наружного рельса для средней и последней тележки увеличивается по сравнению с первой тележкой (см. рис. 3.1), а именно: для средней tкас = 1,09 с, для последней tкас = 1,43 с. Обобщенные координаты и в момент касания гребнем наружного рельса для средней и последней тележки имеют следующие значения: кас3 = 0,001665 рад; кас3 = 0,00367 и кас2 = 0,00211 рад, кас2 = 0,00345, соответственно.

Второй этап движения тележки (с набеганием на наружный рельс) характеризуется графиками, представленными (рис. 3.8, 3.9 и 3.10).

Приведенные графические зависимости построены для исходных данных, представленных выше (подразд. 3.1). Время t2 - это время движения от момента касания гребнем наружного рельса до конца переходной кривой (время 2-го этапа движения тележки).

Зависимости угловой скорости и ускорения для второго этапа движения представлены на рис. 3.9 и 3.10.

При построении графиков второго этапа движения тележки начальные условия определялись с использованием закона сохранения количества движения тележки в момент касания рельса гребнем (2.264). Для первой тележки получены следующие начальные условия для второго этапа:

= кас1 = 0,00169 рад,

(см. рис. 3.4).

Рис. 3.8 Зависимость угла перекоса от времени для второго этапа движения тележки

Рис. 3.9 Угловое ускорение перекашивания тележки



Рис. 3.10 Угловая скорость перекашивания тележки

Анализ зависимостей второго этапа движения, представленных на рис. 3.8, 3.9 и 3.10, позволил сделать следующие выводы:

· после прижатия гребня набегающего колеса к наружному рельсу переходной кривой угол перекоса локомотивной тележки плавно увеличивается;

· угол перекоса первой тележки в конце переходной кривой не достигает максимального значения, определяемого базой тележки и шириной рельсовой колеи, значение угла составляет = 0,0088 рад.

Значения угла перекоса и угловой скорости процесса перекашивания тележки в конце переходной кривой приняты в качестве начальных условий для круговой кривой.

Проанализируем изменение угла перекоса тележки при входе в круговую кривую. Изменения угла кр, угловой скорости кр и ускорения кр в круговой кривой, характеризуется графиками, представленными на рис. 3.11, 3.12 и 3.13.



Рис. 3.11 Угловая скорость перекашивания тележки в круговой кривой

Рис. 3.12 Угол перекоса в круговой кривой



Рис. 3.13 Угловое ускорение перекашивания тележки в круговой кривой

На этих графиках tкр - время движения тележки в круговой кривой от момента входа до достижения максимального угла перекоса .

Изменение величины - силы нормального давления гребня на рельс в процессе разворота тележки в переходной кривой характеризуется графиком (рис. 3.14). Величина , согласно формуле (2.252), зависит от многих параметров. Выделим три составляющих силы [см. (2.252)]:

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Первая составляющая характеризует влияние на касательных сил на поверхностях катания колес, зависящих от вертикальной нагрузки ; вторая составляющая зависит от горизонтальных сил в поперечных связях кузова с тележкой; третья составляющая зависит от главного вектора сил инерции тележки. Проанализируем каждую составляющую силы давления гребня на графике (рис. 3.15).

Рис. 3.14 Изменение величины в переходной кривой

Рис. 3.15 Составляющие силы нормального давления гребня на рельс

Из рис. 3.15 видно, что в начале процесса перекашивания тележки величина определяется в основном силами инерции тележки (кривая ). Поэтому на начальном этапе (участок I - II, рис. 3.14) наблюдается некоторое уменьшение силы нормального давления гребня на рельс. Но затем доминирующим фактором становятся касательные силы на поверхностях катания колес (кривая ), величина которых зависит от и (см. рис. 3.8). На участке II - III происходит возрастание величины с увеличением и в конце переходной кривой она достигает значения 64,4 кН (точка III на рис. 3.14) при = 0,0088 рад. Составляющая от сил в поперечных связях кузова с тележками (зависимость ) незначительно влияет на силу давления гребня.

Изменение величины в круговой кривой характеризуется графиком (рис. 3.16).

Рис. 3.16 Изменение величины в круговой кривой

Прежде всего, следует подчеркнуть, что разворот тележки в рельсовой колее кривой есть дополнительное вращательное движение тележки относительно бинормали b, проходящей через мнимый шкворневой узел, при условии что, основное вращательное движение - вращение тележки вокруг оси b по часовой стрелке с угловой скоростью , а дополнительное - вращение тележки вокруг оси b против часовой стрелки с угловой скоростью .

Существенным для процесса разворота тележки в рельсовой колее круговой кривой является то, что при tкр 1,8 с становится равным нулю угловая скорость перекоса (см. рис. 3.12). Это значит, что после достижения угла перекоса кр = 0,00906 рад (см. рис. 3.11) процесс перекашивания тележки заканчивается, сила нормального давления гребня на рельс достигает значения 66 кН. Дальнейшее движение тележки в круговой кривой происходит при сохранении этого угла перекоса, а вращение тележки вокруг вертикальной оси b происходит с угловой скоростью .

Следовательно, существенного уменьшения величины силы давления гребня на рельс можно добиться только за счет уменьшения угла перекоса тележки. Если специально созданное устройство позволит создать момент сил, действующий на тележку, плавно изменяющийся в переходной кривой до заданного значения в круговой, то у тележки при вписывании в кривую не возникнет тенденция к перекашиванию. Давление на рельс гребня набегающего колеса в этом случае будет минимальным. Определение величины и функции изменения момента сил в переходной кривой будет рассмотрено далее, в подразделе 3.3.

3.3 Определение закона изменения разворачивающего момента в переходной кривой

Наиболее просто в эксплуатации реализовать изменение разворачивающего момента в переходной кривой по линейному закону (см. подразд. 2.4.)

(3.5)

где mр - величина момента, создаваемого механизмом принудительного разворота, в конце переходной кривой.

Величину разворачивающего момента mр предлагается определять из условия равенства нулю правой части дифференциального уравнения (2.254). Получается следующее алгебраическое уравнение

. (3.6)

Коэффициенты С4, С5, С6 определяются по формулам (2.258), (2.259) и (2.260), соответственно. В эти коэффициенты входит разворачивающий момент mр. При подстановке в выражение (3.6) численных значений исходных данных, представленных в подразд. 3.2, для конца переходной кривой получим

.(3.7)

Уравнение (3.7) имеет три решения: mр = 2897634,86 кНм, mр = 42,26 кНм, mр = 98 кНм. Значение mр = 2897634,86 кНм не может быть принято, вследствие большой величины. Если принять mр = 42,26 кНм, то максимальная величина угла перекоса тележки при движении по переходной кривой составит рад, а сила давления гребня на рельс - 36 кН. При mр = 98 кНм угол перекоса тележки в переходной кривой в определенные моменты становится отрицательным, а максимальная величина силы давления гребня составляет всего 0,5 кН.

Для обеспечения безотрывного движения гребня величина разворачивающего момента была откорректирована в сторону уменьшения таким образом, чтобы минимальному, положительному значению угла перекоса соответствовало минимальное значение величины силы давления гребня на рельс.

Указанное условие выполняется при величине mр = 87 кНм. Это значение принято в качестве расчетной величины разворачивающего момента в конце переходной кривой для исходных данных, представленных в начале подраздела 3.2.

Согласно формуле (3.5), для найденного значения величины mр зависимость разворачивающего момента от времени движения в переходной кривой характеризуется графиком (рис. 3.17).

Рис. 3.17 Зависимость Мp от времени движения в переходной кривой

При этом изменения угла перекоса и силы нормального давления гребня на рельс также представлены графиками (рис. 3.18 и 3.19).

Рис. 3.18 Зависимость угла перекоса при действии разворачивающего момента

Рис. 3.19 Зависимость силы при действии разворачивающего момента

Максимальный угол перекоса тележки при изменении разворачивающего момента от 0 до 87 кНм составляет рад, а сила давления гребня на рельс - 6,8 кН.

Из анализа этих графиков можно сделать вывод, что разворачивающим моментом, приложенным к тележке, возможно существенно (на 88,6 %) уменьшить угол перекоса тележки и силу нормального давления гребня (на 89,4 %).

3.4 Влияние различных факторов на силу нормального давления гребня колеса на рельс в обычных условиях эксплуатации

В обычных условиях эксплуатации можно варьировать величиной следующих параметров:

· временем движения по переходной кривой;

· скоростью состава;

· параметрами переходной кривой (радиус кривой, длина переходной кривой);

· шириной рельсовой колеи;

· продольным и поперечным наклоном пути;

· параметрами упругого проскальзывания по рельсу поверхностей катания колесных пар;

· геометрическими, массовыми и динамическими параметрами электровоза.

Определенный практический интерес представляет оценка влияния радиуса криволинейного участка пути на величины сил нормального давления гребней электровозных колес на рельс. Для этого были выполнены расчеты для радиусов кривой 200, 400, 600, 800, 1000 м. Построены графики изменения величины от радиуса кривой и длины переходной. Показана зависимость от о и Lпк (рис. 3.20).

На основании построенных графиков можно сделать следующие выводы:

· уменьшается с увеличением радиуса кривой о;

· незначительно уменьшается с уменьшением длины переходной кривой ( 3 %);

· растет с увеличением возвышения наружного рельса ( 8 %).

· Следует иметь в виду, что для других тележек электровоза (средней и последней) сила давления гребня увеличивается по мере удаления тележек от головы состава.

Рис. 3.20 Зависимость от радиуса и длины переходной кривой: область 1 - W = 40 кН; h = 0; =10 м/с (нижняя граница области Lпк = 50 м, верхняя Lпк = 150 м); кривая 2 - W = 40 кН; h = 0,15; =10 м/с; Lпк = 150 м

Численный анализ влияния на величину радиуса кривой 0 показал, что во всех случаях уменьшение о вызывает рост , причем особенно интенсивный рост этой величины отмечается при уменьшении о ниже 500 м (рис. 3.20).

На основании вышеизложенного можно сделать следующее заключение: кривые радиуса менее 500 м нельзя рекомендовать для основных направлений железных дорог. В то же время изменить план пути существующих дорог в сегодняшних условиях - задача практически невыполнимая.

Кроме того, было установлено влияние на силу скорости и ширины рельсовой колеи при различных тяговых нагрузках и возвышениях наружного рельса. Указанные зависимости представим (рис. 3.21 и 3.22).

Рис. 3.21 Зависимость от скорости движения: область 1 - о = 200 м; h = 0,1 м; Lпк = 150 м (нижняя граница области - W = 60 кН, верхняя - W = 10 кН); кривая 2 - W = 40 кН; h = 0,1 м; Lпк = 50 м

Рис. 3.22 Зависимость от ширины рельсовой колеи: о = 300 м; Lпк = 150 м; W = 40 кН; =10 м/с; (нижняя граница области h = 0, верхняя h = 0,15 м

На основании рассматриваемых зависимостей сделаем следующие выводы:

растет с уменьшением скорости движения , (при изменении от 25 м/с до 10 м/с увеличивается на 9-10 %);

растет с уменьшением тяговой нагрузки на колесную пару W (при изменении W от 60 до 10 кН, увеличивается на 10-20 %);

незначительно уменьшается при увеличении ширины рельсовой колеи в круговой кривой и уменьшении возвышения наружного рельса h (при изменении ширины колеи от 1525 мм до 1545 мм уменьшается на 7 %).

Следует иметь в виду, что на всех представленных графиках (рис. 3.20-3.22) величина рассчитывалась в конце переходной кривой.

Таким образом, варьирование переменными параметрами , h и W в реальных интервалах их изменения не приводит к существенному изменению силы нормального давления гребня набегающего колеса на рельс.

Контрольные вопросы

1. Чем оценивается интенсивность износа колес и рельсов?

2. Что такое фактор или критерий износа и от чего он зависит?

3. За счет чего главным образом происходит прижатие гребня к наружному рельсу на первом этапе движения тележки в переходной кривой?

4. От каких параметров зависит продолжительность первого этапа (см. рис. 3.6 и 3.7)?

5. Какие составляющие входят в выражение силы давления гребня?

6. Какая из составляющих существенно влияет на силу давления гребня?

7. Проанализировав рис. 3.14 и 3.15, дайте объяснение участку I-II графика.

8. Почему в круговой кривой процесс перекоса тележки прекращается?

9. За счет чего возможно существенно уменьшить величину силы давления гребня на рельс?

10. Какой вывод можно сделать из анализа графиков (рис. 3.18 и 3.19)?

11. Как влияет радиус кривой и длина переходной кривой на величину силы давления гребня?

12. Как влияет скорость движения локомотива, тяговая нагрузка и ширина рельсовой колеи кривой на величину силы давления гребня?

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящем учебном пособии на основе теоретических исследований рассмотрено влияние различных факторов на интенсивность бокового износа гребней локомотивных колес электровоза ЭП1 в кривых малого радиуса и даны практические рекомендации с целью ее уменьшения.

Рассмотрена математическая модель движения тележек электровоза с осевой формулой 20-20-20 в криволинейных участках пути, позволяющая получать закономерности изменения угла перекоса локомотивной тележки и сил взаимодействия колес с рельсами в зависимости от параметров кривой, параметров упругого проскальзывания колес, а также геометрических, массовых и динамических параметров электровоза. Разработанная математическая модель является универсальной, так как ее можно применять не только для условий движения в переходных кривых, но и для круговых кривых.

Установлено:

1. Тележки электровоза ЭП1 при входе в переходную кривую на первых метрах пути прижимаются гребнем набегающего колеса к наружному рельсу.

2. После прижатия к рельсу гребня набегающего колеса обратного отхода его (гребня) не происходит на протяжении всей переходной кривой, а угол перекоса тележки плавно увеличивается, не достигая максимального значения, определяемого базой тележки и шириной рельсовой колеи.

3. Сила нормального давления гребня на рельс увеличивается с увеличением угла перекоса тележки. В хордовом положении тележки, когда угол перекоса равен нулю, сила давления гребня на рельс становится минимальной. Доминирующим фактором, определяющим величину силы нормального давления гребня колеса на рельс, являются дополнительные составляющие касательных сил на поверхностях катания колес, возникающие в процессе перекашивания тележек. В круговой кривой тележки движутся в перекошенном положении с постоянным углом перекоса.

4. Влияние наклонных тяг несущественно сказывается на процессе перекоса тележки и на силе давления гребня на рельс набегающего колеса.

5. Для трехтележечного экипажа с двухосными тележками, по мере удаления тележек от головы электровоза сила давления гребня набегающего колеса на рельс увеличивается, в то же время особенности подвешивания средней тележки мало сказываются на процессе разворота тележки в рельсовой колее.

6. Численный анализ с использованием разработанной математической модели позволяет установить, что варьирование скоростью, возвышением наружного рельса, тяговой нагрузкой не приводит к существенному изменению силы нормального давления гребня колеса на рельс.

7. Сила давления гребня на рельс уменьшается незначительно с увеличением ширины рельсовой колеи. Однако отмечается особенно интенсивный рост величины силы давления гребня при уменьшении радиуса кривой ниже 500 м.

8. Управляя величиной момента сил в механизме принудительного разворота, полученного на основе аналитического, можно полностью исключать перекос тележек локомотива и обеспечивать близкие к нулю значения силы нормального давления гребня колеса на рельс. Внедрение рассмотренного устройства с целью снижения износа колес позволит уменьшить эксплуатационные расходы, связанные с обточкой и заменой колесных пар.

Использование учебного пособия при изучении дисциплины «Динамика электроподвижного состава» позволит развить навыки по определению сил взаимодействия колес локомотива с рельсами, проводить оценку влияния эксплуатационных и конструкционных факторов локомотива на эти силы, а, следовательно, и на процесс износа гребней колес и рельсов.

ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРОГРАММА ДЛЯ АНАЛИЗА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Расчет системы дифференциальных уравнений в символьном виде

> restart; Переинициализация Maple

Система дифференциальных уравнений, характеризующих движение тележки в общем виде:

>sys:={diff(psi(t),t$2)+A1*diff(psi(t),t)+A2*diff(tetta(t),t)+A3*tetta(t)=A4*t-A5, diff(tetta(t),t$2)+B1*diff(psi(t),t)+B2*diff(tetta(t),t)-B3*psi(t)+B4*tetta(t)= B5*t+B6};

Решение системы дифференциальных уравнений:

> dsolve(sys,{psi(t),tetta(t)});

Пример расчета для исходных данных, представленных в таблице 3.1

> restart; Переинициализация Maple

Постоянные коэффициенты дифференциальных уравнений, определяемые по формулам (2.160)-(2.166) и (2.168)-(2.175):

> A1:=30.64;

> A2:=1368.49;

> A3:=9.56;

> A4:=0;

> A5:=9523.69;

> A6:=2.14;

> A7:=-0.63;

> B1:=55;

> B2:=13.86;

> B3:=2529.45;

> B4:=-715.19;

> B5:=954.11;

> B6:=10.56;

> B7:=0.0023;

> B8:=0.11;

Система дифференциальных уравнений, характеризующих движение тележки:

>sys:=A1*diff(x(t),t$2)+A2*diff(x(t),t)+A3*diff(y(t),t)+A4*y(t)+A5*y(t)=A6*t+A7, B1*diff(y(t),t$2)+B2*diff(x(t),t)+B3*diff(y(t),t)+B4*x(t)+B5*y(t)=B6*t+B7*(t)^2+B8;

Решение системы дифференциальных уравнений методом Лапласа при нулевых начальных условиях:

>dsolve({sys,y(0)=0,x(0)=0,D(x)(0)=0,D(y)(0)=0},{y(t),x(t)},method=laplace);



> res:=simplify(%); Упростить предыдущее выражение



> assign(res); Назначить результат

> Psy:=x(t); Зависимость Пси(t) первого этапа (поперечное смещение центра масс тележки)

> Tetta:=y(t); Зависимость Тетта (t) первого этапа (угол перекоса тележки)

> plot([Tetta],t=0..10,color=[black]); Построение графика Тетта (t)

> plot([-Psy],t=0..10,color=[black]); Построение графика Пси (t)

Расчет дифференциального уравнения в символьном виде

> restart; Переинициализация Maple

> du:=C1*diff(y(t),t$2)+C2*diff(y(t),t)+C3*y(t)= C4+C5*t;

> dsolve(du,{y(t)});

Пример расчета для исходных данных, представленных в таблице 3.1

> restart; Переинициализация Maple

Постоянные коэффициенты дифференциального уравнения, определяемые по формулам (2.255)-(2.260)

> C1:=101.76;

> C2:=4697.84;

> C3:=14731.93;

> C4:=13.59;

> C5:=0.000014;

> C6:=10.57;

>

>du:=C1*diff(y(t),t$2)+C2*diff(y(t),t)+C3*y(t)=C4*t+C5*(10.3+10*t)^2+C6;

Решение дифференциального уравнения методом Лапласа при ненулевых начальных условиях:

> dsolve({du,y(0)=0.002,D(y)(0)=-0.01},y(t),method=laplace);

> res:=simplify(%); Упростить предыдущее выражение

> assign(res); Назначить результат

> Tetta:=y(t); Зависимость Тетта(t) второго этапа (угол перекоса тележки)



> plot([Tetta],t=0..3,color=[black]);

РЕКОМЕНДУЕМЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

...