Задачи аэронавигационного обеспечения полетов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задачи аэронавигационного обеспечения полетов



Аэронавигация - это управление траекторией движения ВС, осуществляемое экипажем в полете.

Термин «управление» в самом общем смысле означает воздействие на управляемый объект, направленное на то, чтобы объект принял заданное состояние, являющееся целью управления. Применительно к аэронавигации объектом управления является траектория полета. А цели управления - чтобы траектория завершилась в пункте назначения, чтобы она была точной (как можно ближе к заданной траектории), безопасной (не пересекалась с препятствиями и другими траекториями), экономичной (более короткой)…

Сама аэронавигация осуществляется, разумеется, в полете. Но еще до полета нужно много сделать для того, чтобы облегчить процесс управления и обеспечить выполнение целей управления. Например, нужно выполнить предполетный расчет по прогностическому ветру, чтобы заранее для каждого участка маршрута определить курс следования, путевую скорость, время полета. Необходимо рассчитать требуемое количество топлива, взлетно-посадочные характеристики и многое другое. Необходимо получить данные о предстоящем маршруте полета, информацию об изменениях в работе радионавигационных средств и т.п.

Традиционно всю эту работу выполнял сам экипаж (штурман, пилот) и персонал штурманской службы аэропорта, работники службы аэронавигационной информации. В настоящее время вся эта деятельность все чаще объединяется термином «аэронавигационное обеспечение полетов» (АНО).

Аэронавигационное обеспечение полетов - комплекс мероприятий, осуществляемых на этапах организации, подготовки и выполнения полетов и направленных на создание условий для безопасной, точной и экономичной аэронавигации. То есть это все то, что нужно сделать (как правило, еще до полета), чтобы выполняемая в полете навигация соответствовала предъявляемым к ней требованиям.

Задачи аэронавигационного обеспечения полетов

1. Построение заданных траекторий.

В гражданской авиации полеты должны выполняться по заданным траекториям. Следовательно, сами эти заданные траектории уже должны быть безопасными, экономичными и т. п. Во внеаэродромном пространстве эта задача АНО заключается в разработке маршрутов (сети воздушных трасс, местных воздушных линий и т.п.). Поскольку экипаж определяет местоположение ВС с помощью наземных РТС, а точность определения зависит не только от характеристик этих средств, но и от их удаления от ВС и других факторов, при построении маршрутов это необходимо учитывать.

Гораздо более сложной и громоздкой является построение траекторий полета в районе аэродрома, то есть схем вылета, прибытия, захода на посадку. Документ ИКАО, посвященный этому вопросу, включает в себя более 940 страниц сложного текста (с формулами, чертежами, таблицами).

2. Формирование ограничений на фактические траектории.

ВС должны летать по заданным траекториям, но абсолютно точно по ним никогда не летают. Например, линия фактического пути никогда не совпадает с заданной. Это объясняется, в первую очередь, случайными погрешностями навигационных приборов. Ведь абсолютно точных приборов не существует, а их погрешности измерения носят случайный характер.

Следовательно, просто задать заданную траекторию недостаточно. Необходимо указать допустимые пределы отклонения от нее в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Во внеаэродромном пространстве допустимые отклонения ВС от ЛЗП традиционно устанавливаются в виде ширины трассы, значение которой должно соответствовать возможностям бортовых и наземных навигационных средств. Ведь нет смысла устанавливать жесткие требования к точности полета, если их невозможно выполнить. В настоящее время такие требования все чаще формулируются в терминах навигации, основанной на характеристиках путем установления навигационных спецификаций.

К этой же задаче АНО можно отнести и расчет безопасных высот полета. Ведь они как раз и определяют ограничение траектории в вертикальной плоскости - насколько можно снизиться, чтобы это не повлекло столкновение с препятствием.

3. Определение минимумов аэродромов для взлета и посадки.

Эта задача тесно связана с построением траекторий в районе аэродрома, поскольку, например, минимумы аэродрома для посадки (высота принятия решения, видимость) определяются тем, какая система посадки используется, и, главное, расположением и высотой препятствий в районе аэродрома.

4. Выполнение предполетных расчетов.

Как уже упоминалось, перед полетом многое необходимо рассчитать. Если раньше эти расчеты выполнял в штурманской комнате аэропорта сам экипаж (штурман, пилот), то теперь все чаще эти расчеты выполняются автоматизировано на компьютере. Естественно, это дает возможность выполнять расчеты по более совершенным алгоритмам, более точно и быстро. Но эти алгоритмы необходимо предварительно составить, подготовить исходные данные для расчета (о маршруте, характеристиках ВС и навигационных средств, о ветре и температуре), выполнить расчет, проверить. Все это направлено на обеспечение точности и надежности навигации, то есть это одна из задач АНО.

5. Обеспечение аэронавигационной информацией.

Аэронавигационная информация - это сведения о правилах и процедурах, применяемых в данном районе полетов, о состоянии и характеристиках воздушных трасс, наземных радиотехнических средств, аэродромов и т.п. Вся эта информация необходима для выполнения полетов. Но она непрерывно меняется. Поэтому возникает задача собрать информацию обо всех этих изменениях и своевременно, не исказив, передать ее потребителям, то есть, тем, кому она нужна. К ним, в первую очередь, относятся экипажи ВС, а также специалисты ОВД.

6. Информационное обеспечение навигационных комплексов и систем.

В современной авиации аэронавигационные данные все чаще представлены не в бумажном виде (на картах, в сборниках аэронавигационной информации), а в электронном виде - в бортовых базах аэронавигационных данных (БАД). БАД используются в вычислителях пилотажно-навигационных комплексов современных ВС (FMC, ВСС), а также в отдельных навигационных системах (например, приемниках СНС). Поскольку аэронавигационная информация постоянно изменяется, эти базы данных необходимо периодически обновлять. Общепринятый период обновления БАД составляет 28 дней. При этом к качеству данных предъявляются очень жесткие требования. Ведь искажение даже одного значения в БАД может привести к катастрофическим последствиям. Если в БАД неверно указаны координаты порога ВПП, то бортовая система управления выведет ВС в другую точку.

Поэтому данные должны не только периодически обновляться, но также должен быть обеспечен надежный контроль правильности данных, чтобы обеспечить точную и надежную навигацию. А это и есть одна из задач АНО.

7. Полетное диспетчерское обслуживание (Flight Dispatch).

Для нашей страны это один из новых видов деятельности, который направлен на обеспечение и сопровождение полетов. В зарубежных авиакомпаниях уже давно создаются специальные службы, которые обеспечивают предполетную подготовку и оказывают помощь экипажу во время полета. Экипаж, приходя на вылет, получает готовый комплект необходимой для полета документации, включая оптимальный план полета, бюллетень предполетной информации о произошедших изменениях в аэронавигационной обстановке, метеодокументы и т.п. Если же во время полета возникает необходимость изменить план полета (например, если аэродром назначения закрылся по метеоусловиям, пассажиру стало плохо, отказали бортовые системы), то командир ВС совместно с диспатчером (специалистом по полетному обслуживанию) принимают правильное решение. Ведь у экипажа в полете ограниченные возможности получения информации (о погоде на аэродроме, о наличии больницы и т.п.), а у диспетчера для этого имеются все технические возможности.

АНО - это просто область деятельности, которая, по сути, объединяет то, что раньше по отдельности называлось штурманским обеспечением полетов, обеспечением аэронавигационной информацией, построением аэродромных схем и т.д. Ведь все это направлено на одну цель - обеспечение точности и безопасности аэронавигации. Поэтому и задачи АНО решаются не какой-то отдельной службой, а специалистами, которые могут относиться к разным организационным структурам. Например, построением заданных траекторий должны заниматься специалисты Единой системы организации воздушного движения. Обеспечением аэронавигационной информации занимаются специалисты службы аэронавигационной информации (САИ), а также специалисты авиакомпаний. Какие-то задачи решают старший штурман аэропорта со своими подчиненными дежурными штурманами. Какие-то задачи АНО решает и сам экипаж, и даже диспетчер по ОВД (например, когда передает экипажу изменения в аэронавигационной информации).

Однако все чаще отделы и службы, создаваемые в аэропортах и авиакомпаниях, получают название служб именно аэронавигационного обеспечения полетов.

Вероятностный характер аэронавигации

Существуют разные виды деятельности с точки зрения влияния на их результат случайных факторов. Например, токарь должен вытачивать одинаковые детали. Все его действия одинаковы и многократно повторяются. Он берет заготовку, вставляет ее в станок, обтачивает, вынимает и складывает в ящик для готовой продукции. Все его движения отработаны и, поскольку его действия каждый раз одинаковы, полученный результат - деталь - также является одинаковым. Элемент случайности незначителен. Такие процессы, в которых практически нет места случайности, называют детерминированными.

Конечно, есть действия и процессы практически полностью случайные, где предсказать результат невозможно. К ним относится, например, бросание монеты.

Но большинство процессов включают в себя как детерминированную, так и случайную составляющие. К ним относится и процесс аэронавигации. Несмотря на то, что пилот или штурман полностью выполняет технологию навигационной работы, описанную в руководстве по летной эксплуатации, инструкциях, учебниках, результат его действий даже при полете по одному же маршруту каждый раз будет разным. Фактическая траектория полета всегда отличается от заданной, причем в каждом полете по-разному. Это связано со значительным влиянием случайной составляющей, которая вызвана следующими группами факторов.

1. Случайный характер погрешностей навигационных измерений. В современной навигации полеты выполняются по приборам, то есть с использованием технических средств навигации. Пилот не видит непосредственно ни линию заданного пути, ни фактические место самолета. Он видит только показания приборов и по ним должен судить, где находится ВС и куда оно летит.

Но идеально точных приборов не бывает, не только в навигации, а вообще. Показания прибора всегда отличаются, пусть даже и незначительно, от фактического значения величины, которую он должен измерять. К сожалению, это отличие (погрешность измерения) является случайным. При одном измерении больше, при другом измерении в тех же условиях меньше. При одном погрешность положительна, при другом отрицательна, и каждый раз разная. Предсказать ее значение невозможно и она всегда остается неизвестной - ведь точное значение, с которым можно было бы сравнить показание прибора, остается неизвестным. А если вдруг было бы известным, то зачем тогда вообще измерять?

Пилот видит только показания приборов и стремится выполнять полет так, чтобы показания приборов соответствовали следованию ВС по заданной траектории. Но на самом-то деле из-за погрешностей измерения ВС по ней не следует. Соответственно и уклонение ВС от заданной траектории будет случайным и каждый раз разным.

2. Влияние внешней среды. ВС держится на воздухе и его состояние и движение влияют на полет. Для навигации наиболее существенным является влияние ветра и температуры. Разумеется, зная точные значения скорости и направления ветра, можно рассчитать угол сноса и путевую скорость, и тем самым учесть и скомпенсировать влияние ветра. Но, во-первых, точное значение ветра определить невозможно, ведь его определяют по показаниям приборов, которые имеют случайные погрешности. Во-вторых, ветер меняется в пространстве и времени Пилот рассчитал курс следования для значения угла сноса +5є, но уже через несколько минут ветер может измениться и угол сноса, может быть, составит +4є. Если пилот этого не учтет, то выдерживаемый курс окажется неточным и ВС уклонится от линии заданного пути. Пилот ведь не может определять ветер каждую минуту!

Если изменилась температура воздуха, то изменится и истинная воздушная скорость, которая нужна для различных навигационных расчетов. Изменится и, например, требуемая высота пролета дальней приводной радиостанции по барометрическому высотомеру. А пилот, не знающий об изменении температуры, пролетит радиостанцию на высоте больше или меньше требуемой.

3. Деятельность человека. Человек - не машина, и, несмотря на выполнение всех технологий и инструкций, не может действовать каждый раз абсолютно одинаково. Даже при полете по одному и тому же маршруту сегодня он в данном месте маршрута определил место самолета по АРК, а завтра в этом же месте - по VOR/DME. Сегодня он принял решение выйти на ЛЗП с углом выхода 20є, в завтра в точно такой же ситуации - с углом выхода 30є. В конце концов, пилот может еще и допустить какую-то ошибку. Случайную составляющую имеет и деятельность диспетчера ОВД, который информирует пилота и дает ему команды.

В результате совместного действия всех этих факторов ВС и отклоняются от заданных траекторий (рис. 1).

Рис. 1. Запись реальных траекторий вылета

Учесть случайные погрешности в принципе невозможно, но можно и нужно учитывать случайный характер навигации, как при аэронавигационном обеспечении полета, так и в полете. Например, как часто нужно экипажу определять ветер в полете, чтобы избежать недопустимо больших уклонений от ЛЗП? Очевидно, ответ на этот вопрос зависит от того, насколько быстро меняется ветер и насколько точно пилот сможет его определить. Но ведь изменение ветра является случайным. Он может измениться сильно или не очень, может повернуть как вправо, так и влево. Поэтому для разработки рекомендаций экипажу нужно знать и учитывать вероятностные характеристики ветра.

Другой пример. Для повышения пропускной способности воздушного пространства решили проложить в одном и том же направлении две линии заданного пути. Если проложить их на небольшом боковом расстоянии друг от друга, то самолеты могут столкнуться - ведь по каждой ЛЗП самолеты летят неточно, со случайными отклонениями. А если проложить ЛЗП друг от друга на достаточном большом расстоянии, то вероятность столкновения будет меньше (но все равно будет!), но полет по одной из ЛЗП будет менее экономичным (длина маршрута увеличится). Для решения этой задачи нужно многое знать о характере случайных отклонений, причем не только по боковой координате, но и по высоте.

Для решения задач, связанных со случайными величинами, используется математический аппарат теории вероятностей. Несмотря на такое красивое название, нужно понимать, что это всего лишь математика, которая описывает реальную жизнь лишь приблизительно, да и вообще может быть применена лишь при определенных условиях. Например, теория вероятностей применима только для описания массовых событий, которые могут происходить (или не происходить) при определенных условиях, которые могут повторяться (хотя бы в принципе) большое количество раз. Например, выпадение орла при бросании монеты, уход на второй круг при заходе на посадку. аэронавигация траектория полет экипаж

Погрешности измерений и расчетов

Предполагается, что некоторая величина (обозначим ее, например, a) имеет некоторое фактическое значение aф, и мы хотим определить его путем измерения с помощью прибора, или рассчитать по формуле. Абсолютно точных приборов не бывает, да и расчет не может быть выполнен с идеальной точностью, поэтому в результате измерения (или расчета) мы получим некоторое другое значение aизм, которое отличается от фактического.

Погрешность - это разность между измеренным (или рассчитанным) и фактическим значением величины:

Дa = aизм - aф.

Когда-то давно такую разность называли «ошибкой изменения», этот термин можно еще встретить в старых книгах. Но в настоящее время используется термин «погрешность». А слово «ошибка» применяется только для неправильных действий человека.

Чтобы получить правильный знак погрешности, нужно из измеренного значения отнять фактическое, а не наоборот.

С погрешностью связана соответствующая ей поправка.

Поправка, это величина, противоположная погрешности по знаку. К сожалению, в литературе для погрешности и для поправки используется подчас одно и то же обозначение (например, Дa), и тогда не всегда понятно, что именно имеется в виду. Поэтому, обозначим поправку другой буквой - дa. Тогда

дa = - Дa = aф - aизм.

Измеренное значение известно, а фактическое нет. Чтобы узнать фактическое, нужно к измеренному прибавить поправку, или, что то же самое, вычесть погрешность.

aф = aизм+ дa = aизм- Дa.

Отсюда вытекает известное правило учета поправок в навигации: при переходе от приборных величин (то есть измеренных) к истинным (то есть фактическим) поправки прибавляются (разумеется, с учетом знака самих поправок).

Как правило, погрешность включает в себя две составляющие - случайную и систематическую:

Дa = Дaсист + Дaслуч.



Систематическая погрешность, это такая часть общей погрешности, которая при каждом измерении принимает одно и то же значение. Если выполнить несколько измерений, то в каждом из них будет иметь разное значение, но каждая из них будет иметь какую-то общую одинаковую часть, которая и называется систематической погрешность. Вообще, не обязательно, чтобы она была постоянной. Она может и изменяться по какому-то определенному закону, который можно выявить.

Систематические погрешности вызываются постоянно действующими причинами. Например, если у прибора стрелка кривая или неточно установлена, то при каждом измерении по этой причине мы будем ошибаться на одну и ту же величину. Если при установке своих часов по точному времени вы неверно выставили точное время (например, больше на 1 минуту), то теперь каждый раз, измеряя время, вы будете ошибаться на 1 минуту.

Но может оказаться, что ваши часы, кроме того, еще и спешат на 2 минуты в сутки. Тогда в первые сутки погрешность будет 1 мин, на вторые сутки 3 мин и т.д. Это тоже систематическая погрешность, но которая изменяется по определенному закону (увеличивается каждые сутки на 2 минуты).

Систематические погрешности не доставляют особых неприятностей. Ведь их значения можно один раз выявить и затем при каждом измерении учитывать, вводя поправки. Так, например, и поступают с инструментальными погрешностями приборов - в кабине имеются таблицы поправок для их учета.

Случайная погрешность (точнее будет сказать - случайная составляющая общей погрешности) при каждом измерении в данных условиях принимает различные значения. Конечно, она тоже вызвана какими-то причинами, но они нам не известны, поэтому результат их действия для нас является случайным. Невозможно предсказать заранее, до измерения, какое значение примет эта случайная погрешность и даже какой она будет - положительной или отрицательной. Можно только косвенно судить о том, какие значения более вероятны, а какие менее.

Среднее значение случайной погрешности равно нулю. Ведь в противном случае получилось бы, что это среднее значение присутствует в каждом результате измерения. Но тогда его следует отнести к погрешностям систематическим.

Разделение погрешностей на случайные и систематические является относительным, условным. В зависимости от того, какую ситуацию мы рассматриваем, одна и та же погрешность может быть случайной или систематической.

Например, если мы рассматриваем погрешность измерения высоты на конкретном самолете, то инструментальная погрешность барометрического высотомера является систематической. Действительно, если на высоте 6000 м инструментальная погрешность для данного высотомера имеет значение +20 м, то она будет такой каждый раз, когда самолет займет данную высоту. На других высотах, конечно, могут быть другие значения погрешности, но на каждой высоте вполне определенные.

А если рассматривать не конкретный борт, а множество всех самолетов, которые должны пролетать данный пункт на высоте 6000 м? Тогда значение инструментальной погрешности для наугад выбранного из этого множества самолета будет для нас случайным. Ведь у каждого самолета инструментальная погрешность разная.

Кроме случайных и систематических погрешностей иногда рассматривают стоящие особняком грубые погрешности, или промахи. Они возникают при неисправности прибора или из-за ошибок человека при измерении. Например, часы, которые сломались и стоят, показывают 05.13, хотя на самом деле время 09.27. Разность этих значений и будет грубой погрешностью, она может быть очень большой. Или пилот, при выставке курсового гироскопа по опорному меридиану забыл учесть магнитное склонение или угол схождения меридианов, и, следовательно, выставил гироскоп неправильно, не по тому направлению. Погрешность в измерении ортодромического курса такого прибора может быть большой.

Грубые погрешности нет смысла оценивать и исследовать. Надо просто правильно использовать исправные приборы. А если такая грубая погрешность все же имела место, то такой результат следует просто отбросить и не учитывать.

Причины, которые вызывают появление погрешностей, могут быть самими разными. По своему происхождению погрешности принято классифицировать следующим образом.

1) Личные погрешности. Связаны с индивидуальными психофизиологическими особенностями человека, проводящего измерение. Если на шкалу одного и того же прибора посмотрят несколько человек, то скорее всего они считают с него несколько разные показания, особенно если стрелка прибора стоит между делениями шкалы. Личные погрешности, как правило, являются случайными. Даже один человек, несколько раз посмотрев на одни и те же показания прибора, может каждый раз снять несколько различающиеся показания. Но, возможно, что будет присутствовать и систематическая погрешность, если человек по своим индивидуальным особенностям склонен немного завышать или занижать показания.

2) Инструментальные погрешности. Связаны с неточным изготовлением и износом прибора. Ни один прибор невозможно изготовить идеально точно. Как правило, это систематическая погрешность, то есть при одних и тех же показаниях прибор «ошибается» на одну и ту же величину. Но эта величина может быть различной для разных измеренных значений, например, при скорости 400 погрешность +5, а при скорости 500 она равна -2.

3) Внешние погрешности. Связаны с влиянием на процесс измерения внешней среды. Даже если в нормальных лабораторных условиях прибор не имеет инструментальной погрешности, в реальных условиях полета она может появиться из-за вибрации, изменения атмосферного давления и температуры и т.д.

4) Методические погрешности. Связаны не с самим прибором и его техническим несовершенством, а с методом измерения, который заложен в конструкцию прибора. Например, в указателе скорости должно измеряться полное давление на входе в приемник воздушного давления. Но при этом в приемнике воздушный поток тормозится, плотность воздуха увеличивается и из-за этого поступающее в указатель скорости давление становится больше. Прибор из-за этого показывает скорость больше фактической приборной скорости, возникает погрешность из-за изменения сжимаемости, величина которой зависит от скорости полета и плотности воздуха (а, следовательно, от высоты). Прибор не «виноват» в этой погрешности и ее наличие не означает, что прибор плохой. Скорее «виноваты» те, кто изобрел такой метод измерения скорости.

5) Погрешности модели. Связаны с тем, что мы хотим измерить характеристики реального объекта, а в метод измерения (или расчета) заложили некоторую идеализированную модель этого реального объекта.

Например, мы хотим рассчитать объем металлического цилиндра, стоящего на столе. Измеряем его диаметр, вычисляем площадь основания и умножаем на высоту цилиндра. Ответ готов. Но мы использовали формулы, которые справедливы для идеального цилиндра. А реальный цилиндр, стоящий на столе, возможно, имеет и не совсем круглое основание. И его образующие, возможно, не совсем перпендикулярны к основанию. Ведь изготовить идеальный цилиндр невозможно.

Другой пример. Мы измеряем расстояние между пунктами на карте (разумеется, с учетом масштаба карты). Но карта, даже с учетом масштаба, является лишь моделью поверхности Земли и отличается от нее. Земля круглая, а карта плоская. Поэтому на любой карте присутствуют искажении или расстояний, или углов, или того и другого. Мы проводим измерение с помощью модели, поэтому измеренные значения не соответствуют значениям на реальной Земле.

6) Погрешности классификации.

Как правило, это грубые погрешности (промахи). Возникают в случае, когда выполняется измерение не того объекта, который нужно. Например, пилот настроил АРК и измерил курсовой угол (КУР) приводной радиостанции. Но может оказаться, что он настроил АРК не на ту радиостанцию, которую хотел, а на другую - с похожей частотой. Эта радиостанция находится от самолета совсем в другом направлении, поэтому погрешность измерения, то есть разность между измеренным КУР и КУР нужной радиостанции может быть очень велика.

Числовые характеристики случайных величин

Если СВ по определению не имеет никакого значения, то каким же образом о ней можно судить и хоть что-то о ней сказать?

СВ описывают с помощью числовых характеристик этих СВ. Числовые характеристики - обычные неслучайные величины, которые несут какую-то информацию, что-то говорят об этих СВ.

Самая простая числовая характеристика СВ - это ее математическое ожидание. Математическое ожидание - это не процесс, как можно было бы подумать по названию, а величина, то есть число, которое является средним значением этой СВ, вокруг которого разбросаны (рассеяны) возможные значения, которые эта СВ может принимать в результате опыта. Точное определение понятия «математическое ожидание» будет приведено позже.

Если в качестве СВ рассматривать рост студента, случайным образом выбранного из группы студентов, то математическим ожиданием будет средний рост студентов в данной группе.

Математическое ожидание случайной величины x* обозначают mx, M[x*], а в зарубежной литературе E[x*].

Если обозначить через c обычную неслучайную величину, то можно записать следующие, достаточно очевидные, свойства математического ожидания.



1) M[c] = c.

Действительно, неслучайную величину можно рассматривать как частный случай СВ. То есть, такую СВ, которая в результате опыта принимает одно и то же значение. Разумеется, и ее среднее значение (математическое ожидание) будет равно этому значению.

2) M[cx*] = cM[x*].

Неслучайную величину можно вынести за знак математического ожидания. Пусть x* курс доллара сегодня. Если средний курс доллара за месяц (математическое ожидание) в рублях равен 64, то курс, выраженный в копейках будет 6400. Здесь c = 100 - столько копеек в рубле.

3) M[x1*±x2*] = M[x1*] ± M [x2*].

Математическое ожидание суммы (разности) СВ равно сумме (разности) математических ожиданий слагаемых.

Эти свойства справедливы для любых СВ.

Для наглядности случайные величины удобно иллюстрировать графически с помощью точек на числовой оси, обозначающих некоторые значения СВ (реализации), полученные в результате опыта. На рис. 2 эти значения обозначены кружками с крестиками для двух разных СВ. Там же показаны примерные значения математических ожиданий этих СВ.

Рис. 2. Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание говорит многое о СВ, но далеко не все. Случайные величины, проиллюстрированные на рис.2, имеют одинаковое математическое ожидание (среднее значение), но «ведут» они себя в результате опытов по-разному. У первой из них значения гораздо больше рассеяны вокруг среднего. Характеристикой степени рассеяния (разброса) СВ вокруг своего математического ожидания является числовая характеристика, называемая дисперсией.

Дисперсия - это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания. Это определение может показаться не очень понятным, но если слова «математическое ожидание» заменить словами «среднее значение» оно становится яснее. Дисперсия - это среднее значение квадрата разности между самим значением СВ и средним значением этой СВ.

Дисперсию случайной величины x* обозначают D[x*] или Dx. Тогда определение дисперсии может быть математически записано как

D[x*] = M[(x*-mx)2].

Дисперсия характеризует степень разброса (рассеяния) возможных значений СВ вокруг своего математического ожидания (своего среднего). Это видно и из приведенной формулы: чем больше значения отклонения СВ от среднего (x*-mx), тем больше их квадраты и тем больше дисперсия. В квадрат отклонения возводят для того, чтобы значения стали положительными. Если находить математическое ожидание самих отклонений, а не их квадратов, то получилось бы значение близкое к нулю и никакого рассеивания оно не характеризовало. Ведь примерно половина отклонений окажется положительным, а половина отрицательным.

На рис. 2 у первой СВ дисперсия больше, чем у второй, поскольку у нее разброс вокруг математического ожидания больше.

Дисперсия характеризует рассеивание, но использовать ее не очень удобно, поскольку ее размерность равна квадрату размерности самой случайной величины. Например, если случайной величиной является линейное боковое уклонение ВС от ЛЗП, выраженное в километрах, то дисперсия будет выражена в квадратных километрах, что довольно странно. А если случайная величина измеряется в градусах, то дисперсия будет в градусах в квадрате. Это еще более странно.

Поэтому вместо дисперсии часто используют другую числовую характеристику, которая с ней жестко связана - среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение (СКО) - это положительное значение квадратного корня из дисперсии. СКО величины x* обозначают уx или уx. греческая буква у называется «сигма». Обозначение уx обозначает одну величину, а не произведение сигмы на x (аналогично обозначению дифференциала dx).

Так же как и дисперсия, СКО характеризует степень рассеяния СВ, но размерность СКО такая же, как у самой СВ.

Поскольку в данном учебном пособии под случайной величиной чаще всего понимается погрешность измерения, то вместо СКО будем также использовать термин СКП (средняя квадратическая погрешность).

Не следует думать, что СКП это конкретное значение погрешности, которое будет иметь место в результате измерения. Погрешности случайные и при каждом измерении будут принимать разные значения.

Не следует также думать, что СКП это некоторое предельное значение погрешности, то есть что случайная погрешность будет обязательно лежать в интервале ±уx от ее математического ожидания. В этом интервале она будет находиться лишь с некоторой вероятностью, значение которой зависит от закона распределения погрешности. Но погрешность вполне может превысить сигму, и даже ее удвоенное или утроенное значение.

Применим данные свойства математического ожидания и дисперсии к погрешностям и результатам измерения.

Как уже было показано ранее, погрешность складывается из систематической и случайной составляющей

Дa = Дaсист + Дaслуч .

Найдем математическое ожидание от обеих частей равенства и учтем, что матожидание суммы равно сумме матожиданий:

M[Дa] =M[ Дaсист + Дaслуч ] = M[Дaсист ] + M[Дaслуч ].

Но систематическая погрешность - это неслучайная величина, поскольку при каждом измерении она принимает одно и то же значение. Следовательно, ее матожидание равно самой погрешности.

А матожидание случайной погрешности (второе слагаемое) по логике должно быть равно нулю. Ведь если бы оно было не равно нулю, то это значило бы что эта часть случайной погрешности (ее среднее значение) присутствует в каждом измерении. Но ведь тогда эту часть следовало бы отнести к систематической части погрешности!

Следовательно,

M[Дa] = Дaсист.



То есть систематическая погрешность это и есть матожидание (среднее значение) общей погрешности.

Найдем дисперсию общей погрешности.

D[Дa] = D[ Дaсист + Дaслуч] = D[ Дaсист ] + D[Дaслуч].

Поскольку систематическая погрешность - неслучайная величина, то ее дисперсия равна нулю (нет рассеивания). Значит,

D[Дa] = D[Дaслуч].

То есть, весь случайный характер общей погрешности, из-за которого она принимает разные значения, содержится в ее случайной составляющей, что, впрочем, очевидно и без формул.

Ранее также было показано, что результат измерения складывается из фактического значения измеряемой величины и погрешности

aизм = aфак.+ Дa.

Найдем матожидание результата измерения и учтем, что фактическое значение является неслучайной величиной (хотя нам и не известной). Также учтем полученный только что результат, касающийся матожидания погрешности

M[aизм ] = M[ aфак.]+ M[Дa] = aфак.+ M[Дa] = aфак.+ Дaсист.

Таким образом, матожидание результата измерения складывается из фактического значения измеряемой величины и систематической погрешности. А если систематическую погрешность учесть путем ввода поправки, то в среднем результат измерения равен той величине, которую мы хотим измерить.

Найдем дисперсию результата измерения:

D[aизм ] = D[aфак+ Дa] = D[ aфак]+D[ Дa].

Первое слагаемой равно нулю, поскольку aфак неслучайная величина, а второе слагаемое, как показано выше, равно дисперсии случайной составляющей погрешности. Тогда

D[aизм ] = D[ Дaслуч].

Какова дисперсия погрешности, такова и дисперсия результата измерения. Это также понятно без всякой математики. Ведь вся «случайность» результата измерения вызвана случайным характером погрешности.

Оценки числовых характеристик

Каким же образом можно определить числовые характеристики СВ? Можно попробовать сделать это на основе результатов серии опытов (экспериментов). То есть, произвести опыт в одинаковых условиях несколько раз, и по полученным значениям рассчитать числовые характеристики. По каким формулам следует рассчитывать, чтобы результат был лучше - это предмет дисциплины математическая статистика, которая очень связана с теорией вероятностей и посвящена способам обработки и интерпретации результатов экспериментов. Познакомимся с некоторыми понятиями этой науки.

Пусть произведено n опытов, в которых случайная величина x приняла значения x1, x2, …, xi, …xn.

Этот набор полученных значений называется выборкой, а число n - объемом выборки.

Если мы по этой выборке хотим узнать математическое ожидание нашей СВ, то есть ее среднее значение, то представляется разумным просто рассчитать среднее арифметическое значение нашей выборки. Математическая статистика подтверждает, что такая формула расчета даст самый лучший результат. Но будет ли полученное таким образом число абсолютно точно совпадать с матожиданием нашей СВ? Конечно нет. Ведь если мы проведем еще одну серию аналогичных опытов и по новой выборке рассчитаем среднее арифметическое, оно, наверняка, окажется немного иным - ведь элементы выборки будут уже другими. Третья серия опытов опять даст иной результат и т.д. Можно надеяться, что, полученные в разных сериях, средние арифметические близки к настоящему математическому ожиданию.

Таким образом, по результатам опыта можно определить не фактические значения числовых характеристик, а их приближенные значения, называемые оценками числовых характеристик. Следовательно, рассчитав среднее арифметическое выборки, мы получили оценку матожидания. Оценки обозначают теми же буквами, что и сами числовые характеристики, но с надстрочным знаком в виде «шапочки» над ними. Формула расчета оценки математического ожидания имеет вид

Оценку дисперсии можно рассчитать по формуле

В принципе эта формула соответствует определению дисперсии (среднее значение квадрата отклонения от матожидания). Но может возникнуть вопрос, почему для осреднения производится деление на (n-1), а не на n? Это вызвано тем, что настоящее матожидание нам неизвестно и в формулу мы подставляем его оценку, которая рассчитана по той же самой выборке. В математической статистике доказано, что для получения более точной оценки следует делить на (n-1).

Таким образом, сами оценки являются случайными величинами. Ведь если каждую серию опытов (выборку) рассматривать как единый опыт, то в каждом из них оценка будет получать разные значения. Следовательно, у этой случайной оценки есть свое матожидание и своя «сигма». Математическая статистика и занимается получением таких формул для расчета оценок, чтобы их матожидания совпадали с «настоящими» значениями числовых характеристик, а дисперсия (или СКО) были как можно меньше.

Чем больше объем выборки, тем ближе (в среднем, конечно) оценка к настоящему значению числовой характеристики.

Для оценки математического ожидания известно, что ее точность обратно пропорциональна квадратному корню из объема выборки. Например, чтобы оценка стала в 10 раз точнее (ее сигма стала в 10 раз меньше) надо провести в 100 раз больше опытов.

А чтобы получить точное значение, необходимо провести бесконечное количество опытов, что невозможно. В теории статистике такая бесконечно большая выборка называется генеральной совокупностью.

По результатам опыта можно также оценить вероятность какого-либо события. Наилучшей оценкой вероятности является его частота f, рассмотренная выше. СКП этой оценки может быть рассчитана по формуле

где p - вероятность события, а n - количество опытов.

Например, если было произведено 100 опытов и в них событие произошло 37 раз, то оценка вероятности равна частоте события и составляет

СКП этой оценки, характеризующая ее точность, составит

Закон распределения случайной величины

Нами рассмотрено пока только три вида числовых характеристик СВ: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. На самом деле их можно привести намного больше, и каждая из них будет характеризовать нашу СВ с какой-то одной стороны. Но сколько бы числовых характеристик мы ни использовали, они не смогут описать СВ полностью, исчерпывающе. Так же, как мы не можем охарактризовать человека полностью любым, даже очень большим набором характеристик человека: ростом, весом, баллом ЕГЭ, заработной платой… Все равно каждый человек будет отличаться от другого чем-то еще, что мы не учли.

Полную характеристику СВ дает ее закон распределения. Закон распределения - это общий термин. Математически его чаще всего выражают функцией распределения СВ, или, еще чаще, плотностью распределения (плотностью вероятности).

Функция распределения случайной величины F(x) (рис. 3) - это вероятность того, что случайная величина x* примет значение меньшее, чем x.

F(x) = P(x*<x).

В этой простой формуле x* - это случайная величина, которая до опыта в принципе не имеет никакого определенного значения. А просто x - обычная величина, аргумент F(x). Например, F(5) - это просто вероятность того, что случайная величина x* примет значение меньше 5.

Основные свойства любой функции распределения.

1) F(-?) = 0.

2) F(+?) = 1.

Очевидно, что СВ не может принять значение меньше, чем минус бесконечность, и наверняка примет значение меньше, чем плюс бесконечность.

3) F(x) - функция монотонно возрастающая. Ведь чем больше x , тем больше вероятность, что СВ примет значение меньше x.

Рис. 3. Функция распределения случайной величины F(x)

Зная функцию распределения легко найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале от a до b:

F(a<x*<b) = F(b)-F(a).

Во многих случаях удобнее вместо функции распределения использовать плотность распределения СВ. По определению плотность распределения f(x) - это производная функции распределения:



F(x) = F'(x).

Физический смысл производной - это скорость возрастания функции. Следовательно, чем круче вверх идет кривая F(x) при данном значении x , тем больше в этом месте f(x).

Для наглядности f(x) можно интерпретировать с помощью понятия гистограммы (столбиковой диаграммы, как она названа в Exel) (рис. 4).

x

Рис. 4. Функция плотности распределения случайной величины f(x)

Предположим, что в результате эксперимента получено множество реализаций случайной величины x*. Весь диапазон выпавших значений, от минимального до максимального, можно разбить на несколько интервалов и подсчитать, сколько реализаций попало в каждый из них. Высота столбиков на гистограмме будет пропорциональна частоте попадания в соответствующий интервал.

Если постоянно увеличивать объем выборки (количество реализаций СВ), то в каждый интервал будет попадать все больше значений, высота столбиков станет возрастать. Чтобы этого не происходило, можно делать интервалы группирования меньше, увеличивая их количество. «Зубчики» на гистограмме будут все мельче. В пределе, когда объем выборки будет стремиться к бесконечности, а величина каждого интервала стремиться к нулю, зубчатая линия станет гладкой. Ее форма и будет описывать плотность распределения.

Эту же мысль можно проиллюстрировать еще и таким образом. Представим, что на числовую ось OX случайным образом падают мельчайшие песчинки в соответствии с законом распределения нашей СВ. Когда их выпадет очень много, на числовой оси образуется куча песка. Но в какие-то места песчинок выпало больше, в какие-то меньше. Кривая, описывающая геометрическую форму этой кучи песка и является кривой плотности распределения.

Поскольку f(x) производная F(x), то F(x) - интеграл от f(x). Тогда с учетом формулы *( ) можно определить вероятность попадания случайной величины в интервал от a до b (рис. 5).

Рис. 5. К определению вероятности попадания случайной величины в интервал от a до b

Для любой плотности распределения справедливо выражение

Смысл этого интеграла - вероятность попадания СВ в интервал (-?,+?). Но в этот интервал СВ наверняка попадет, ведь хоть какое-то значение СВ примет. Вероятность этого события равна единице для любого закона распределения.

Геометрический смысл интеграла - площадь под кривой, описывающей подынтегральную функцию.

Применительно к нашей интерпретации с выпадающими песчинками единица - это общее количество выпавшего песка. А вероятность попадания в интервал P(a<x<b) - доля песка, та часть единицы, которая попала в этот интервал.

Если длину интервала уменьшать (сближать a и b), то вероятность попадания в интервал будет уменьшаться. В пределе, когда a = b, вероятность станет равной нулю. Это означает, что вероятность абсолютно точного попадания непрерывной СВ в каждую конкретную точку равна нулю. Ведь точка - это то, что не имеет частей.

Таким образом, f(x) это вовсе не вероятность того, что СВ примет значение x, как иногда неправильно думают. Но величина f(x) действительно говорит о том, какие значения СВ выпадают чаще, а какие реже.

Можно провести аналогию плотности распределения f(x) с плотностью какого-то массивного тела. Само тело имеет какую-то массу (аналог нашей вероятности), но каждая его точка имеет массу, равную нулю. Можно только говорить о плотности тела в данной точке. Плотность - это масса, которую имеет единичный объем, или, более точно - предел отношения массы к объему, который занимает эта масса, при объеме, стремящемся к нулю. И это значение плотности говорит нам о том, насколько плотным (массивным, тяжелым…) является тело именно в данной точке.

Через плотность распределения можно дать математически корректные определения математического ожидания и дисперсии:

Различные СВ могут иметь одинаковые матожидания и дисперсии, но плотность распределения у них может быть разной, то есть форма «кучи песка» может быть разной. Соответственно, будут различаться и вероятности попадания СВ в тот или иной интервал. Поэтому, для правильного определения вероятностей, необходимо знать закон распределения СВ.

Теоретически законов распределения может быть бесконечно много. Любая формула f(x), удовлетворяющая условию ( ) может описывать закон распределения.

Если же под СВ понимать погрешности измерения, то на практике экспериментально установлено, что чаще всего встречаются лишь несколько видов законов распределения.

Закон равномерной плотности

Если известно, что случайная величина x* может принимать значения только в определенном интервале от xmin до xmax, причем в пределах этого интервала все значения имеют равную вероятность, то распределение этой случайной величины описывается законом равномерной плотности вида:

при a<x<b.

Вне данного интервала плотность распределения равна нулю.

Кривая плотности распределения имеет вид прямоугольника (рис. 6).



Рис. 6. Функция плотности распределения случайной величины f(x) для закона равномерной плотности

Математическое ожидание такой случайной величины находится посередине интервала, то есть равно

,

а среднее квадратическое отклонение

где l - половина длины интервала (расстояние от матожидания до его границ).

Вероятность попадания СВ в интервал (a,b), лежащий полностью внутри интервала (xmin , xmax) легко определить без формул на основе здравого смысла: она равна отношению длин этих интервалов.

Рассмотрим простой пример. Предположим, что аэроэкспресс ходит в аэропорт с интервалом ровно один час (60 мин). Пилот приходит на станцию аэроэкспресса в произвольный момент времени, а случайной величиной пусть является время ожидания пилотом очередного аэроэкспресса. Очевидно, что эта СВ может принимать значения только в интервале от 0 до 60 мин. Ее математическое ожидание - 30 мин. Среднее квадратическое отклонение

Какова вероятность, что пилоту придется ждать поезда больше 17 мин, но меньше 23 мин? Очевидно, что

Закону равномерной плотности подчиняются погрешности, возникающие при округлении величин. Например, при отсчете показаний с приборов значения часто округляются до ближайшего деления шкалы. Вряд ли кто-то будет пытаться отсчитать показания компаса с точностью до десятых и сотых градуса.

Пусть 2l - цена деления шкалы прибора. Тогда погрешность из-за округления может лежать только в пределах ± l. Ведь если бы она была больше, пилот округлил бы до следующего деления, которое было бы ближе.

Примем цену деления равной единице, тогда l = 0,5. Следовательно, СКП, характеризующая погрешность округления

А на указателе воздушной скорости цена деления 10 км/ч. И когда пилот округляет отсчитанные показания до значения, кратного 10 км/ч, он к погрешности измерения самого прибора добавляет случайную погрешность округления, которая характеризуется СКП, равной 10·0,29 = 2,9 км/ч.

Нормальный закон распределения

Нормальный закон во всем мире называется гауссовским законом (Gaussian distribution) в честь великого немецкого математика Карла Гаусса. Этот закон наиболее часто используется при вычислении вероятностей, правда, часто без особых для этого оснований. На самом деле, чтобы иметь право использовать какой-либо закон, надо сначала экспериментально доказать его применимость в каждом конкретном случае.

Но для использования нормального закона действительно имеются как теоретические, так и экспериментальные основания.

В теории вероятностей доказана так называемая центральная предельная теорема, которая гласит, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых сильно не доминирует), имеет распределение, близкое к нормальному. При бесконечно большом количестве слагаемых сумма будет иметь нормальное распределение, независимо от того, по какому закону распределено каждое слагаемое.

С другой стороны, экспериментально установлено, что на практике погрешности самых различных измерений действительно имеют распределение, похожее на нормальное. Это, скорее всего, объясняется тем, что обычно погрешность любого измерения вызывается многими совместно действующими причинами, каждая из которых вносит свой вклад в общую погрешность.

Кривая плотности нормального распределения имеет характерный вид симметричной куполообразной кривой (рис. 7). Ветви кривой ассимтотически приближаются к оси x, никогда ее не достигая.

Рис. 7. Вид плотности распределения нормального закона

Плотность распределения нормального закона распределения описывается выражением:

где е = 2.71828… - основание натурального логарифма.

В этом выражении два параметра:

- mx - математическое ожидание,

- уx - среднее квадратическое отклонение.

Если изменять значения этих параметров, то форма кривой все равно будет куполообразной. Если изменять mx (среднее значение СВ), то кривая просто будет перемещаться вдоль оси x, сохраняя свою форму (рис. 8). Если же менять уx , которая характеризует степень рассеяния, то кривая будет становиться более островершинной, компактной, или наоборот, более плоской, пологой (рис. 9). При этом будет меняться и высота кривой, поскольку площадь под ней в любом случае должна быть равна единице.

Рис. 8. Изменение математического ожидания

Рис. 9. Изменение среднего квадратического отклонения



Теоретически СВ, подчиненная нормальному закону, может принимать значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. В реальности, конечно, любая СВ ограничена из физических соображений. Например, погрешность измерения курса не может быть больше 180, а погрешность определения места самолета не может превысить половины окружности земного шара.

Поскольку ветви кривой очень быстро приближаются к оси x, вероятности больших оклонений от матожидания (площадь под «хвостом» кривой) очень быстро убывает при увеличении отклонения.

Для расчета вероятности попадания СВ в тот или иной интервал нужно проинтегрировать f(x). Однако интеграл от плотности распределения нормального закона в элементарных функциях не берется. Поэтому для определения вероятностей, связанных с нормальным законом, используют специальную функцию, называемую функцией Лапласа или интегралом вероятностей. Она является определенным видоизменением функции распределения нормального закона F(X) (то есть, интеграла от f(x)).

К сожалению, на практике используются как минимум четыре разновидности такой функции, различающихся тем, как именно модифицировали F(x). Все они могут одинаково называться и обозначаться, что может привести к недоразумениям, поскольку для каждой модификации по-разному выглядят формулы, которые следует использовать для расчета вероятностей.

Будем использовать ту модификацию функции Лапласа, которая имеет следующий вид:

По самой этой формуле ничего вычислять не приходится, она здесь приводится только для того, чтобы перед вычислением вероятностей убедиться в соответствии используемых формул и выбранной модификации функции.

Значения функции Лапласа заранее вычислены и сведены в таблицы (табл.1).

При использовании функции полезно помнить следующие ее свойства.

1) Функция монотонно возрастает от 0 (при x = 0) до 1 (когда x стремится к бесконечности). На практике, если не требуется очень высокая точность вычислений, можно смело принять значение функции равным единице уже при x>4.

...