Размещено на http://allbest.ru

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

ВОЕННАЯ КАФЕДРА

"УТВЕРЖДАЮ"

Начальник военной кафедры МАИ

__________________________

"______"______________200__г.

Специальность 531000

Методические разработки (планы-конспекты)

Тема: Показатели эффективности использования вооружения

Обсужден и одобрен на заседании цикла

Протокол № _____ от "____"_________200__г.

Разработчик:

старший преподаватель, к.т.н., доцент,

полковник запаса Чернышев В.Л.

г. Москва

Содержание

Организационно-методические указания

Занятие 1 Лекция. Показатели эффективности поражения целей

Занятие.2. Практическое. Расчет показателей эффективности поражения и попадания

Занятие 3. Групповое. Точные методы оценки вероятности попадания в цель

Занятие 4. Групповое. Модели оценки вероятности поражения цели

Занятие 5. Лекция. Модели оценки вероятности поражения цели с учетом противодействия

Занятие 6. Практическое. Расчет показателей эффективности поражения целей

Занятие 7. Семинар. Оценка показателей применения оружия

Контрольные вопросы

Приложение 1. Задачи для углубленного изучения

Приложение 2. Таблицы для решения задач

Организационно-методические указания

Методика проведения занятий по данной теме определяется особенностями логической структуры раскрытия материала и его содержанием. Учебная цель темы заключается в рассмотрении и изучении основных показателей эффективности применения вооружения, которые используются в целевых функциях оперативно-тактических задач. Мотивация изучения данного материала основывается на факте разработки СПОУ в интересах решения оперативно-тактических задач управления силами флота.

Изложение материала по лекции проводится по линейной (ступенчатой) схеме. Изложение материала внутри лекций проводить по концентрической схеме, использовать сравнительную оценку и проблематику применения различных моделей формализации показателей эффективности. Этому способствует структура вопросов лекций.

На групповом занятии основное внимание сосредоточить на углубленном изучении частных показателей эффективности, связывать изложение с рассмотрением особенностей разработки СПО в предметной области.

На практических занятиях привить навыки решения задач с использованием табулированных данных. Это дает понимание вопросов функционирования СПОУ в части взаимодействия с БД.

Оценку степени усвоения материала провести в ходе занятий и самостоятельной подготовки в форме текущего контроля в рамках выдаваемых заблаговременно вопросов.

Воспитательные цели ставить и достигать на каждом виде занятия, связывая их с важностью рассматриваемых вопросов и текущим моментом современных вопросов реформирования вооруженных сил.

Занятие 1. Лекция. Показатели эффективности поражения целей

Учебная цель: Изучить закономерности и факторы, влияющие на выполнение боевой задачи.

Учебные вопросы:	Время.
Вводная часть
1. Моделирование решений в военной области
2. Обобщенный показатель эффективности поражения цели
3. Условный закон поражения цели.
4. Оценка факторов влияющих на точность попадания в цель.
Заключение.

Литература

1. Конспект лекции.

2. Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. Теория вероятности и её инженерные приложения._М.:Наука. 1988. 480с.

3. Под ред.Дж.Моудера Исследование операций, 2т.Модели и применение М.:Мир.1981г.

4. Методические указания по теме «Основные принципы построения и применения математических моделей управления СиС ВМФ»: Таганрог. 1990с. Инв.232-ДСП.

Вводная часть

Невозможно начать изучение автоматизированной системы управления (АСУ) без представления об объекте управления. В качестве объекта управления у нас выступают силы и средства (СиС) военно-воздушных сил (ВВС). Теория и практика подготовки и ведения боя этими силами и средствами - называется ТАКТИКОЙ. Подготовка специалиста по выполнению функций при подготовке и ведении боевых операций обеспечивается тактико-специальной подготовкой. Для нас это обеспечение надежной (безотказной) работы всех средств автоматизации пункта управления (в основном общесистемного и специального программного обеспечения (СПО)). СПО - это формализованные мероприятия тактики ВВС (назначенные объекты и площади поражения, имеющиеся СиС ВВС, возможные ситуации развития боевых действий, в виде моделей и алгоритмов, реализованные средствами информационного, математического, программного обеспечения АСУ).

Любой анализ задач, порождаемых предметной областью (системой сил и средств ВВС), начинается с выбора и обоснования показателей и критериев эффективности по каждой задаче. Эффективность любых действий и мероприятий в рамках операции ВВС определяется степенью достижения поставленной цели. Чтобы судить об эффективности решений по способу применения сил и средств ВВС или об относительной ценности различных вариантов этих решений необходимо выбрать и обосновать показатель и критерий эффективности строго соответствующий поставленной цели операции (создание комплекса вооружения в общем случае).

Важность оценки эффективности принимаемого решения АСУ состоит в том, что она позволяет командиру и его штабу в ограниченное время найти наиболее целесообразный (оптимальный) вариант применения своих СиС из множества возможных. Эффективность решения во многом определяется качеством разработанных математических моделей, алгоритмов и на их базе СПО АСУ. вооружение боевой тактический

Эффективность боевых действий определяется степенью достижения поставленной цели. Чтобы судить об эффективности решений, о способах применения сил и средств ВВС или об относительной ценности различных вариантов этих решений необходимо выбрать и обосновать показатель и критерий эффективности. Степень достижения цели использования ВВТ определяется эффективностью, т.е. степенью приближения выбранного (разработанного) показателя эффективности к требуемому значению.

Для оценки эффективности вводится понятие показателя эффективности, под которым понимают числовую или функциональную характеристику достижения цели (результата боевых действий, качество носителя вооружения,…). С показателем эффективности тесно связано понятие критерия, под которым понимают правило, на основании которого принимается решение (например, максимума или минимума показателя).

Следовательно, если мы говорим, что один образец вооружения эффективнее другого или один способ нанесения удара эффективнее другого, то всегда должны добавлять, по какому показателю и критерию сделан данный вывод. В реальных практических приложениях по принятию оценочных решений используются комплексные показатели и критерии, которые формируются из частных по определенным правилам. Любой анализ задач, порождаемых предметной областью (системой СиС ВВС) начинается с выбора и обоснования показателя эффективности, оценки его чувствительности к исходным данным (параметрам оптимизации).

Основной принцип выбора показателя состоит в строгом соответствии цели, которая должна быть достигнута в результате выполнения боевой задачи. Рассмотрим пример неправильного выбора показателя эффективности из-за нарушения вышеуказанного принципа.

Вторая мировая война. Основной формой действий Германии против союзников была борьба на морских коммуникациях. Флот США нес большие потери от подводных лодок и авиации. Для защиты судов на коммуникациях было принято решение установить зенитную артиллерию на транспортах, сняв её с охраны наземных объектов. Через некоторое время командование поставило вопрос - правильно ли было принято решение и какова его эффективность.

В качестве показателя эффективности была принята оценка доли сбиваемых зенитной артиллерией самолетов в налете на конвои. Она составила 4% атаковавших самолетов, что свидетельствовало о низкой эффективности принятого решения.

Однако эта оценка вызвала сомнение, задача оценки эффективности решения была поставлена перед группой исследования операций при командовании ВМС США. Входящие в неё специалисты подошли к её решению, исходя из цели поставленной задачи: снижения потерь транспортов на морских коммуникациях. В качестве показателя эффективности была принята доля недоставленного транспортами груза до, и после решения (по критерию минимума показателя). Оказалось, что по этому показателю потери транспортного флота снизились в 2.5 раза. Это произошло не в результате уменьшения числа самолётов у противника, а в результате того, что наличие артиллерии на транспортах вынудило его действовать более осторожно, с больших высот и меньшей точностью т.е. привело к резкому снижению эффективности атак.

Для оценки показателей эффективности необходимо конкретизировать некоторые понятия и определения.

1. Моделирование решений в военной области

Известно, что всякая корректно поставленная задача имеет решение. Однако всякое ли решение имеет свою математическую постановку (математическую задачу)? Всякое ли решение нуждается в математическом обосновании. Большинство принимаемых решений в повседневной практике вообще не имеет никакого обоснования. («Всякий гусар хвастун, но не всякий хвастун гусар»).

В рамках объекта изменения (АСУ) нас будут интересовать только те решения, которым предшествуют необходимые обоснования. Исходя их этого (с учетом этого) следует вопрос поставить более точно: могут ли существовать решения, имеющие обоснования, но не имеющие математического описания задачи? Если отождествлять понятия обоснование и математическое описание задачи, то конечно, же могут. Однако это не конструктивно и в некоторых случаях обоснование может быть безмодельным.

Для обоснования наиболее ответственных решений необходимо не только математическое описание задачи, а ее системная модель.

Есть много определений, мы будем использовать, понимать под системой некоторую совокупность элементов, связанных между собой и взаимодействующих с окружающей средой как целое.

Для того что бы говорить о системной модели в терминах данного определения, необходимо располагать описанием свойств модели (функциональное описание), ее структуры (морфологическое описание) и информационным описанием.

Функциональное описание устанавливает соответствие между зависимым и независимыми переменными системной модели.

Различают:

- функциональные, аналитические и алгоритмические модели (прямая связь с понятием непрерывной функции);

- нефункциональные модели (имитационные модели);

- модели анализа (прямая задача - например, оценить эффективность имеющегося тактического оружия по определенным целям);

- модели синтеза - выбрать количество и вид комплекса вооружения (снарядов разного типа) для обеспечения заданной эффективности поражения конкретных целей.

Задачи синтеза представляют собой производные модели, позволяющие предпринимать с той или иной достоверностью облик объекта или процесса (наращивания необходимых СиС на ТВД например), отвечающего некоторым наперед заданным свойствам..

В ТПР задачи синтеза делятся на существенно различных подкласса: задачи направленного и ненаправленного синтеза.

Ненаправленный - по аналогу, нескольких прототипов, по известным (эвристическим) правила пересчета.

Направленный - то же, но собирательный образ объекта (процесса) идет по критерию. Необходимо отметить, что модель синтеза увеличивает исходное количество информации, их называютт «расширителями» информации. Модель анализа «концентраторами» информации. Подробнее рассмотрим дальше.

Отметим, что все модели создаются с какими-то целями, цель определяет критерий и показатель эффективности, используемый при решении задач.

Под морфологическим описанием понимается описание структуры модели т.е. ее графическое или иное представление, задающее отношения на ее элементах, и схему действующих связей. Так, иерархическая структура устанавливает отношения «эквивалент», «предпочтение», а схема связей отношения: «вложение», «пересечение»… Позволяет проводить демонстрацию системы путем разделения на подсистемы и элементы.

Наиболее часто в системном моделировании используются два принципа декомпозиции систем, каждому из которых отвечает свой тип структурного представления. Это аспектный(стратификация) и объектный (эшелонирование) принципы.

Стратификация. В данном случае система задается семейством моделей, каждая из которых описывает поведение системы на различных уровнях абстрагирования. Это означает, что для каждого уровня существует ряд характерных особенностей, законов, принципов, с помощью которых и описывается поведение системы.

Эшелонирование. Совокупность взаимосвязанных элементов различных уровней. Структурное представление обладает замыканием. Сумма переменных нижнего уровня определяют значения переменных верхнего уровня. || Для ПУ все подходит. Это компонентные системы.

Распределенные системы - носитель вооружения - снаряд (ракета)…аппаратная модель.

Информационное описание системы.

Взаимодействие системы и среды описывается с помощью вырожденных функций связей, т.е. чисел. Вся совокупность таких числовых знаний образует информационное описание системы. Особенность АСУ военного направления в нашем случае, что среда для нас - это поле боя (ТВД), которое в той или иной степени формализовано в виде МО,ПО,НО…

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИНТЕЗА

Задачи синтеза являются обратными к задачам анализа. Задачи определения эффективности всех штатных образов вооружения (КВ) имеются в БД.

Модель синтеза может быть построена следующим образом:

1. Использование механизма ситуационного выбора, при этом поиск можно проводить по атрибуту СиС противника. Выбор варианта решения из каталога.

2. Построение итерационного цикла решений прямых задач анализа до выполнения некоторых условий по эффективности или наличия СиС.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИЗА

Когда информация о представленных альтернативах и особенностях предстоящего выбора собрана, наступает время ее анализа.

Степень достижения постоянной цели обычно определятся как эффективность, количественной мерой которой является показатель эффективности .

Обычная постановка (по показателю эффективности, ограничения на ресурс)

Оптимальный ресурс показателя

Рассмотрим особенности постановок таких задач в предметной области на примерах.

Для оценки эффективности достаточно сложных систем (объектов) или способов их применения (стратегий) часто становится необходимым введение в рассмотрение частных показателей эффективности эпизодов для учета вклада отдельных элементов в формирование величин общего показателя эффективности.

Чтобы структурно связать частные показатели в интересах получения общей оценки эффективности на предварительных этапах моделирования разрабатывается сценарий действий в операции. Под операцией понимаем целенаправленные действия, проводимые с использованием различных вариантов сил, средств и способов их действий. Сценарий представляет собой неформализованное описание, отражающее последовательность действий моделируемых сил и средств участников операций. Часто такой сценарий представляют эпизодами, которые формализуются случайными событиями в виде так называемой марковской цепи, используемой в качестве приема в одноименной теории случайных процессов.

Основным допущением теории марковских процессов, позволяющий таким образом описывать операцию, является предложение о том, что состояние системы на каждом из последующих этапов не зависит от ее состояния на предшествующих этапах и определяется на каждом этапе самостоятельно. Финальная вероятность достижния успеха в операции E может быть определена как произведение вероятностей Е: достижения успеха в каждом из составляющих ее фрагментах:

Принципиально можно различать два типа математических моделей оценки эффективности.

Первый тип - модели оценки эффективности, связанные с оптимизацией поведения объектов, действующих в рамках оговоренного сценария. В таких моделях уже известны возможности участвующих в операции сил, состав их средств и т.п. Такие модели, как правило, сложны и насыщены фрагментами действий участников операций. Они чаще всего являются имитационными и используются специалистами в области обоснования способов поведения.

Второй тип - модели, предназначенные для оптимизации вектора характеристик объекта при его создании (Вектор характеристик группировки, при ее наращивании)

Методы используемые часто в военной области: агрегирования - процесс объединения результатов моделирования частных фрагментов системной модели, с целью получения оценки свойств более высокого иерархического уровня.

Необходимо всегда оценивать модель на:

- адекватность

- корректность

- точность

2. Обобщенный показатель эффективности поражения цели

Основной принцип выбора показателя эффективности установлен и обоснован академиком А.Н. Колмогоровым и состоит в строгом соответствии цели, которая должна быть достигнута в результате выполнения боевой задачи. Рассмотрим пример неправильного выбора показателя эффективности из-за нарушения вышеуказанного принципа.

Существует множество моделей определения вероятности поражения объекта W(n), где n - число выпущенных снарядов. Модели имеют различие в зависимости от цели (объекта поражения), применяемого комплекса вооружения, типов оружия и целого ряда других факторов. В основу разработки этих моделей положена обобщенная модель, основу которой составляет формальное описание определенной последовательности случайных событий:

1) непоражения КВ (совместно с носителем) и ПУ до их боевого применения, которое оценивается показателем живучести;

2) своевременное и обоснованное принятие решения с помощью КСА и доведение его до объекта управления (в узком смысле надежность функционирования КСА);

3) готовность КВ к боевому применению в момент получения приказа на использование, которая оценивается обобщенным показателем готовности;

4) попадание в цель, которое происходит с определенной вероятностью;

5) поражение цели (нанесение ущерба).

Только последовательное свершение данных событий с определенной эффективностью позволяет достичь цели - поражения объекта противника. Каждое из перечисленных случайных событий оценивается соответствующими показателями, которые определяют их вероятность по определенной модели. Общая вероятность поражения (ущерба) определяется в этом случае выражением:

(1.1)

где

- показатель живучести применяемого КВ и его носителя:

- показатель надежности функционирования ПУ АСУ;

- комплексный показатель надежности КВ:

- вероятность поражения цели при условии попадания;

Необходимо отметить, что показатели , учитываются в моделях СПО, а - непосредственно при функционировании ПУ (или КСА в узком смысле).

Эта модель позволяет отдельно рассматривать параметры, характеризующие живучесть носителя применяемого оружия, готовность к его использованию, точность применения оружия и параметры, характеризующие мощность боеприпаса, живучесть цели и их взаимосвязь. Необходимо отметить что все приведенные частные показатели эффективности, кроме показателя живучести), являются условными вероятностями.

Одним из основных частных показателей эффективности применения комплексов вооружения (КВ) является вероятность поражения объекта, при условии, что КВ находится в боеготовом состоянии. Под вероятностью поражения объекта понимают меру наносимого ему ущерба от попадания боезарядов.

Существует множество моделей определения вероятности поражения объекта , где число выпущенных снарядов. Модели имеют различие в зависимости от цели исследования от типов оружия, вида, размеров и живучести объектов и целого ряда других факторов. В основу разработки этих моделей положена обобщенная модель, предложенная академиком А.Н. Колмогоровым:

,(1.2)

где - вероятность попаданий при выстрелах, - условная вероятность поражения цели при попаданиях, т.е. количественная величина ущерба.

// Колмогоров Андрей Николаевич (род. 1903 г.)

Советский математик, Герой Социалистического Труда (1963 г.), Академик АН СССР (1939 г.), окончил МГУ (1925 г.), с 1931 г. профессор МГУ, основатель научных школ по теории вероятности и теории функций. Автор фундаментальных трудов по теории информации и теории стрельб.//

Выражение (1), есть не что иное как формула полной вероятности, которая применяется во всех случаях, когда опыт ( n_ выстрелов ) со случайным исходом (поражение цели) распадается на два этапа: в первом как бы «разыгрываются» условия опыта (1,2,…,m _ попаданий со своими законами распределения), во втором его результат (поражение объекта при 1,2,…,m - попаданиях).

Эта модель позволяет отдельно рассматривать параметры, характеризующие точность применения оружия и параметры, характеризующие мощность боеприпаса, живучесть цели и их взаимосвязь.

Точность применения оружия характеризуется распределением числа попаданий , а мощность боеприпасов и живучесть цели - условной вероятностью .

В дальнейшем будем, там где нет необходимости в детализации, называть стрельбой любые виды боевого использования оружия, снарядом - различные виды носителей боеприпасов (снаряд, ракета, торпеда, бомба), выстрелом и залпом - различные виды пуска одного или нескольких снарядов, целью - любой объект воздействия.

3. Условный закон поражения цели

Вероятность поражения цели при заданном числе попаданий в цель зависит от целого ряда факторов, основными из которых являются:

тип цели, ее прочность и живучесть;

тип снаряда и его мощность;

содержание вкладываемое в понятие «поражение цели».

В отдельных случаях для поражения цели достаточно одного попадания, а в некоторых случаях для поражения цели необходимо несколько попаданий. Под живучестью цели понимают ее способность сохранять свою боеспособность при попадании снарядов (получение боевых повреждений). Она обеспечивается конструктивно и организационно-техническими мероприятиями (наличие систем борьбы с пожарами, затоплением отсеков, действия личного состава по ликвидации повреждений и аварий).

Зависимость вероятности поражения цели от числа попаданий получила название условного закона поражения цели (УЗПЦ) или просто закона поражения цели. Таким образом, закон поражения описывает процесс поражения цели, который зависит от типа и мощности боеприпаса снаряда и характеристик живучести цели.

Свойства закона поражения G(m) вытекают из физической сущности процесса поражения (см. факторы влияющие на поражение) и выбранного показателя эффективности (вероятность поражения объекта). Следовательно, закон поражения цели как функция числа попаданий имеет смысл только для целых неотрицательных чисел и обладает следующими свойствами:

· может принимать значение, как всякая вероятность в пределах [0,1], т.е. ;

· и ;

· является неубывающей функцией числа попаданий, т.е.

при .

УЗПЦ как дискретная случайная величина (СВ) имеет свой закон распределения, который изначально определяется рядом распределения. Ряд распределения СВ вычисляется в зависимости от типа цели и мощности боезарядов по результатам военно - морских учений, стрельб, иммитационного моделирования и др. способами (опытными и расчетными). Ряд распределения может иметь вид представленный в Табл. 1.

Таблица 1.

	1	2	3	4	5	6	7	8
	0,11	0,16	0,40	0,72	0,88	0,93	0,98	1

Графически закон поражения цели изображается в виде дискретных точек с неубывающими ординатами (рис.1).

Размещено на http://allbest.ru

Рис. 1. Закон поражения цели.

Анализируя законы поражения на рис.1, можно определить, что снаряд, имеющий закон более мощный, чем снаряд, имеющий закон (цель одна и та же, снаряды разные). Если считать, что снаряды одни и те же, а цели разные, тогда графики характеризуют живучесть целей. Цель, которой соответствует закон более живуча, чем цель, соответствующая закону . Как видно из рис.1, график закона отличается от остальных наличием перегиба, т.е. при изменении от 1 до 2 вероятность поражения возрастает медленно, что свидетельствует о том, что цель как бы накапливает ущерб, в результате чего снижается ее живучесть, а затем при происходит резкое возрастание вероятности поражения, объясняющееся накоплением ущерба.

При отсутствии эффекта накопления ущерба, снаряды поражают цель независимо друг от друга. Вероятность поражения цели в этом случае можно выразить через вероятность поражения от одного попадания. Тогда можно перейти от дискретной СВ к непрерывной, которая характеризуется одной из известных функций распределения, в нашем случае показательным законом распределения.

Математически это может быть записано следующим образом:

(1.3)

Принимая во внимание, что выражение постоянная величина, можно представить ее как показательную функцию вида

(1.4)

тогда

,(1.5)

где - вероятность поражения цели при одном попадании, - параметр показательного закона, определяемый по формуле

(1.6)

Для аппроксимации реальных законов поражения заданных рядом распределения можно применять выражение (1.3) или (1.5), называя его показательным законом поражения (на рис.1 - и ).

Частным случаем показательного закона поражения цели является так называемый единичный закон поражения, при котором имеет место такая мощность боеприпаса, при которой цель поражается достоверно при попадании в нее. Например, мощность боеприпаса (БП) ЗУР такова, что одного попадания достаточно для поражения самолета или ракеты.

Единичный закон поражения цели записывается

.(1.7)

Показательный закон поражения в чистом виде в природе не встречается (кроме единичного), т.к. все реальные цели, как уже отмечалось, обладают свойством накопления ущерба.

Цель обладает свойством накопления ущерба, если попадания в нее, не приводящие к поражению, снижают ее живучесть и облегчают (повышают вероятность) поражения при последующих попаданиях. У кораблей после попаданий появляется крен, дифферент (из-за затопления помещений, отсеков), в результате снижается остойчивость, уменьшается прочность, возникают пожары, выходят из строя системы энергоснабжения и управления борьбы с авариями, что приводит к снижению живучести корабля в целом и повышает вероятность его поражения последующими попаданиями. В самом общем виде закон поражения цели можно записать:

(1.8)

где - вероятность поражения цели за счет накопления ущерба при попаданиях. Величина может принимать значения от 0 (для показательного закона поражения) до максимального значения равного , когда поражение цели может быть достигнуто только в результате накопления ущерба при , т.е. при . Из (1.8) следует, что

(1.9)

Если в (1.9) подставить (показательный закон), то если в (1.9) подставить то

Другим, не встречающимся в чистом виде, но применяемым для аппроксимации действительных законов поражения, является ступенчатый закон поражения (рис. 2):

(1.10)

Из (1.10) видно, что этот закон является обобщением единичного закона поражения, при имеет место единичный закон поражения.



Размещено на http://allbest.ru

Рис.2. Единичный закон поражения цели.

Ступенчатый закон целесообразно применять для аппроксимации действительного закона поражения цели в том случае, когда незначительным приращением ущерба при можно пренебречь, а при получении и более попаданий, считать поражение цели достоверным фактом.

Важнейшей числовой характеристикой закона поражения является математическое ожидание числа попаданий, необходимое для поражения цели - .

Рассмотрим модель стрельбы, при которой фиксируются результаты каждого попадания и которая прекращается либо при достижении поражения цели, либо при достижения попаданий.

Рассматриваемый процесс является дискретной однородной цепью Маркова т. т.к. объект может находиться в одном из m состояний ( m - состояний ущерба от от m _попаданий снарядов) Смена состояний ( шаг процесса ) осуществляется в фиксированные моменты времени ( при попадании ). Известны или могут быть вычислены вероятности того, что система (объект поражения ), которая до очередного шага была в состоянии в результате этого шага перейдет в состояние Обратный переход невозможен. Переходы системы в возможные состояния составляет полную группу несовместных событий.

Переходные вероятности такого процесса определяются выражением Вероятность того, что в такой стрельбе будет ровно попаданий, равна вероятности не поражения цели предыдущими попаданиями:

По правилам определения математического ожидания дискретной случайной величины найдем

Изменим модель и будем считать, что стрельба продолжается до поражения цели, устремив . Необходимо отметить, что суммирование производится с Это необходимо учитывать при решении практических задач и разработке СПО.

Тогда

(1.11)

Для показательного закона по формуле (1.3)

(1.12)

(1.13)

Тогда, принимая во внимание, что выражение (2.13) представляет собой сумму бесконечно убывающей прогрессии, получим

(1.14)

Определив G(1) из (1.14) и подставив его в (1.3), получим выражение для показательного закона:

(1.15)

Показательный закон в виде (1.15) весьма часто используется для аппроксимации УЗПЦ непоказательного вида в моделях оперативно-тактических расчетов путем уравнивания первых моментов, т. е. математических ожиданий числа попаданий, необходимых для поражения цели.

Применение показательного закона поражения цели для аппроксимации действительного значительно упрощает модели, но вызывает определенные погрешности. При этом действительный закон пересекает показательную функцию всегда снизу вверх, т. е. при малых значениях т аппроксимация завышает, а при больших занижает истинные значения условных вероятностей поражения (рис. 3).

Размещено на http://allbest.ru

Рис.3. Виды условного закона поражения цели

Когда закон поражения резко отличается от показательного, и явление накопления ущерба существенно влияет на исследуемые закономерности (рис.3), замена действительного закона G₂(т) показательным может привести к большим ошибкам.

В этом случае аппроксимация действительного закона может быть осуществлена линейной комбинацией показательных законов вида

(1.16)

где

А_i - положительные или отрицательные коэффициенты;

G_i(m) - i-тый показательный закон:

(1.17)

Определение A_i и G_i(m) производится с использованием метода наименьших квадратов. Суть метода заключается в минимизации суммы квадратов отклонения линейной комбинации показательных законов (1.17) от усредненного, вычисляемого по формуле (1.16).

Кроме описанной формы закона поражения существует его координатная форма или координатный условный закон поражения цели.

Этот закон используется при избыточной мощности боеприпаса, когда цель поражается не только при одном попадании в нее, но и при попадании в некоторую область, вокруг нее, называемую поражающим пространством или зоной поражения. В этом случае условная вероятность поражения цели при условии попадания в зону поражения является некоторой функцией расстояния от центра цели до эпицентра взрыва боеприпаса и обозначается G(r). Если живучесть цели зависит от азимута направления эпицентра, зависимость обозначают G(, r).

Вид координатного закона поражения показан на рис.4 для .

Наиболее часто его аппроксимируют ступенчатым законом поражения вида

(1.18)

где R_п - радиус поражения, зависящий от типа цели, мощности взрыва, выбирается из таблиц.

Размещено на http://allbest.ru

Рис. 4. Координатный закон поражения цели

4. Оценка факторов влияющих на точность попадания в цель

Точность попадания снарядов, под которыми мы понимаем ракеты всех типов, торпеды и др. носители боезаряда -- одна из важнейших технических характеристик, оказывающая наиболее сильное влияние на боевую эффективность КВ. Повышение ее приводит к изменению представлений о возможных целях ударов, последствиях обмена массированными ударами, в том числе возможности сохранения потенциала сдерживания и т. п. С повышением точности попадания становится возможным значительно уменьшить мощность зарядов боеголовок, обеспечив при этом высокую вероятность поражения сильно защищенных малоразмерных целей.

Точность попадания -- это характеристика, в которой сфокусированы достижения практически всех областей науки, техники и технологии в военной области, ее показатели отражают уровень технического совершенства многих систем КВ.

Несмотря на значительный прогресс в снижении рассеивания боеголовок разработанных в последние годы КВ, работы по повышению точности попадания продолжают вестись с высокой интенсивностью в различных направлениях.

Под точностью попадания боезаряда в широком смысле подразумеваются характеристики отклонений боеголовок от точек прицеливания. В узком смысле точность попадания характеризуется отклонением центра группирования точек падения боеголовок от точек прицеливания, которое зависит от того, насколько полно учитываются при подготовке исходных данных и расчета полетных заданий факторы, вызывающие систематическое смещение точек падения. Случайные отклонения точек падения из-за разбросов параметров систем управления, ракет, боеголовок, вариаций параметров атмосферы и других случайных факторов, учет которых при подготовке исходных данных на пуски ракет и при расчете полетных заданий затруднен, определяют так называемую кучность попадания. Как правило, основная часть систематических смещений точек падения оценивается в результате летных испытаний и компенсируется в дальнейшем корректировкой алгоритмов расчета полетных заданий и исходных данных на пуски, а также моделей ошибок попаданий. Поэтому ниже рассматриваются главным образом случайные составляющие отклонений, а точность попадания трактуется в широком смысле.

Известно, что стрельба снарядами сопровождается их рассеиванием на плоскости или в пространстве. Рассмотрим систему координат ХОY на плоскости, центр которой поместим в точку прицеливания. Если допустить, что установочные данные, выработанные в процессе подготовки стрельбы (в общем случае пеленг и дальность стрельбы) выработаны точно, то центр рассеивания снарядов будет совпадать с назначенной точкой прицеливания, и случайные координаты точек падения снарядов (X, Y) будут группироваться вокруг этого центра, т. е. будет иметь место случайное рассеивание снарядов, вызванное воздействием на них при стрельбе множества случайных факторов. Многие из этих факторов учитываются поправками, однако в силу их случайного и нестационарного характера, этот учет производится с ошибками, т. е. воздействие этих факторов не может быть исключено, а может быть только уменьшено.

В теории стрельбы установлено, что процесс рассеивания снарядов, т. е. закон распределения случайных координат точек падения, на основании центральной предельной теоремы Ляпунова соответствует нормальному закону (закону Гаусса).

Смысл центральной предельной теоремы заключается в следующем: какими бы ни были законы распределения слагаемых случайных величин (СВ), при условии их равномерной малости, закон распределения СВ, являющейся их суммой, с увеличением числа слагаемых неограниченно приближается к нормальному.

Случайные отклонения точек падения снарядов от центра рассеивания по дальности или в боковом направлении являются суммой большого числа малых отклонений, обусловленных воздействием случайных факторов. Эти факторы могут быть различными в зависимости от типа снаряда. К наиболее общим из них можно отнести: отклонения от расчетных (номинальных) значений массы снаряда, тяги двигателя, массы порохового заряда, аэродинамической формы; ошибки ассиметрии и эксцентриситета тяги двигателя, ошибки работы бортовых приборов управления и др.

Совместная плотность распределения системы двух непрерывных СВ (один опыт - выстрел, две СВ - координаты точек падения по осям X,Y), которые распределены по нормальному закону распределения и являются независимыми (закон распределения по одной оси не зависит от того, какое значение приняла СВ по другой оси) определяется по формуле:

(1.19)

Тогда плотность вероятности распределения точек падения можно записать:

,(1.20)

где

_х, _у - среднее квадратическое отклонение (с.к.о.) координат точек падения;

- математическое ожидание X и Y, т. е. координаты точки прицеливания (центра рассеивания, при их совпадении).

Величины _х, _у ; - являются характеристиками рассеивания. В теории стрельбы в качестве характеристик рассеивания используются срединные отклонения Е_x и Е_у. Срединное отклонение связано с с.к.о. соотношением

.

При использовании Е плотность вероятности распределения точек падения имеет вид

(1.21)

Срединным отклонением называется половина длины участка, симметричного относительно центра рассеивания, вероятность попадания в которой равна 0,5 (рис. 5)

.

Рассмотренная первая группа ошибок стрельбы вызывается факторами технического характера и называется техническим рассеиванием. Если носителем является корабль, то к факторам, вызывающим техническое рассеивание, добавляются факторы, вызванные специфическими условиями носителя вооружения (самолета).

Размещено на http://allbest.ru

Рис. 5. Интервал срединного отклонения.

Рассмотренные ошибки не исчерпывают всю их совокупность. Существует еще вторая группа ошибок, которая получила название ошибки подготовки. Эта группа ошибок вызывает при стрельбе случайное отклонение центра рассеивания от точки прицеливания. Характерной особенностью этих ошибок является то, что их реализация приводит к реализации случайных координат центра рассеивания, которые остаются неизменными в процессе всей стрельбы и изменяются не от выстрела к выстрелу, а от стрельбы к стрельбе. Наиболее общими причинами ошибок второй группы являются: определение координат носителя и цели с ошибками; ошибки приборов, вырабатывающих исходные данные стрельбы; ошибки учета влияния ветра и баллистических факторов. Наиболее существенными из них являются ошибки определения взаимного положения носителя оружия и цели.

Случайные отклонения центра рассеивания относительно точки прицеливания аналогично рассеиванию точек падения снарядов относительно центра рассеивания подчиняется нормальному закону распределения и имеет свои аналогичные численные характеристики. Плотность вероятности распределения центра рассеивания определяется выражением (20), где _х и _у будут иметь смысл С.К.О. координат центра рассеивания от точки прицеливания.

Заключение

Занятие 2. Практическое. Расчет показателей эффективности поражения и попадания

Время: 2 часа

Учебная цель:

1) Углубить знания, полученные на лекциях

2) Приобрести практические навыки решения задач моделирования

3) Изучить закономерности и факторы, влияющие на выполнение боевой задачи.

Учебные вопросы:	Время.
Вводная часть	5
1. Расчет вероятностей поражения, анализ результатов расчета.	50
2. Расчет вероятностей попадания, анализ результатов расчета	20
Заключение.	5

Литература

1. Конспект лекции.

2. Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. Теория вероятности и её инженерные приложения._М.:Наука. 1988. 480с.

3. Раздаточный материал.

Вводная часть

Методические указания студентам по подготовке и проведению занятия:

До начала занятий студенты должны:

проработать по рекомендованной литературе и конспекту лекций следующие вопросы:

Условный закон поражения целей.

Вероятность попадания в цель и различные степени зависимости выстрелов.

Вероятность поражения цели.

Вопросы для проверки подготовленности студентов к практическому занятию:

Закон поражения цели вида .

Закон поражения цели вида .

Что понимается под рассеиванием снарядов.

Какие ошибки включают в себя 1-ая и 2-ая группы ошибок стрельбы.

От чего зависит вероятность поражения цели.

Методические указания по технологии решения задач:

Задача 1:

Опытом установлено, что корабль поражается при одном, двух, трех, четырех, пяти и более попаданиях с вероятностями 0,1; 0,55; 0,80; 0,90 и 1,0 соответственно. (Менять по вариантам).

Определить МОЖ числа попаданий, необходимых для поражения корабля. Произвести аппроксимацию опытного закона поражения показательным и построить графики обоих законов.

Решение

Математическое ожидание числа попаданий, необходимых для поражения корабля, может быть определено по формуле

Для аппроксимации показательным законом используем формулу



Построим ряд распределения, полученный опытным путем

m	0	1	2	3	4	5
G(m)	0	0.1	0.55	0.8	0.9	1

Определим МОЖ числа попаданий по ф.8

(1-0)+(1-0,1)+(1-0,55)+(1-0,8)+(1-0,9)+(1-1)=2,65

Теперь имеем возможность провести аппроксимацию опытного закона показательным

и т.д.

Результаты расчетов занесем в таблицу

m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
G*(1)	0.38	0.62	0.76	0.85	0.91	0.95	0.97	0.98	0.99	0.995

Построим графики опытного и показательного распределений

Размещено на http://allbest.ru

Повторить:

Расчет показателей эффективности попадания в цель.

Задача 2

По цели производится четыре выстрела. Выстрелы независимы. Вероятность попадания для каждого выстрела соответственно равны 0,635; 0,665; 0,625; 0,675

Определить с помощью точной и приближенной формул вероятности получения хотя бы одного попадания.

Решение

Вероятность получения хотя бы одного попадания может быть вычислена по точной формуле

или по приближенной

Где . //Напомнить!

Для приведенных исходных величин имеем:

Вывод:

при близких вероятностях вполне допустимо считать по приближенным формулам.

Задача 3

По авианосцу производится бомбометание. Поражаемая площадь авианосца может быть заменена прямоугольником со сторонами, равными 320 и 77 м.

Определить вероятность попадания в авианосец, если средняя круговая ошибка рассеивания бомб равна 160 м.

Решение

Вероятность попадания может быть рассчитана как вероятность попадания в площадь с помощью приведенной функции Лапласа.

,

где b_x и b_y - полуширина и полудлина.

Повторить:

Вероятность попадания в цель 1-ой группы ошибок

!Обратить внимание в ф. 30 > замена >E и переход к приведенной ф. Лапласа.

//Круговое вероятностное отклонение КВО, обозначаема r₅₀ и равная радиусу круга, вероятность попадания в который равна 0,5.

R= r₅₀=1.177; r₅₀=1,746E

по E

по

//

Перечень руководств и пособий, подлежащих изучению перед занятием:

Основные

Раздаточный материал на занятия по ВТ и ВСП (приложение к методической разработке по Т.2.2)

Конспект лекций.

Занятие 3. Групповое. Точные методы оценки вероятности попадания в цель

Учебная цель:

Углубить знания по оценке показателей эффективности попадания.

Время: 2 часа

Учебные вопросы:	Время
Вводная часть	5
1.Модель схемы двух групп ошибок.	85
2.Оценка вероятности попадания в модели двух групп ошибок.	85
Заключение	5

Литература

1. Конспект лекции.

2. Под ред.Дж.Моудера Исследование операций, 2т.Модели и применение М.:Мир.1981г.

Вводная часть

На данном занятии рассмотрим более подробно количественную оценку вероятности попадания в цель, с учетом всех основных факторов влияющих на точность. Здесь в основном будут рассмотрены модели оценки вероятностных характеристик при одном выстреле.

1. Модель схемы двух групп ошибок

Случайные отклонения точек падения снарядов зависят в основном от точности прицеливания (вторая группа ошибок) и рассеивания снарядов по техническим причинам и погодным условиям (первая группа ошибок).

Наличие описанных двух групп ошибок приводит к тому, что рассеивание снарядов при стрельбе подчиняется композиции двух нормальных законов, каждый из которых имеет свои числовые характеристики. На одной стрельбе при пуске п снарядов мы будем иметь одну реализацию координат центра рассеивания и п реализаций точек падения; при проведении N стрельб по одной цели - N реализаций центра рассеивания и N· п реализаций точек падения снарядов.

Провести композицию двух законов распределения - значит найти закон распределения суммы двух независимых СВ, распределенным по этим законам. СВ в виде отклонений от точки прицеливания и точки рассеивания снарядов по причинам первой и второй группы ошибок считаются независимыми по определению (исходя из физической сущности ошибок).

Математическое описание рассеивания снарядов с учетом двух групп ошибок (композиции законов распределения) будем называть моделью схемы двух групп ошибок. Схематически ее можно представить как на рис.1, где обозначены:

Размещено на http://allbest.ru

Рис. 1. Схема модели двух групп ошибок.

- координаты точек прицеливания (Т_П); - повторяющиеся отклонения центра рассеивания (Т_ц.р.) от Т_П;

х_н, у_н - неповторяющиеся отклонения точек падения i-того снаряда (Т_пад.i) от центра рассеивания.

Модель схемы двух групп ошибок является наиболее полным (но не адекватным) отражением реальной действительности. Наличие двух групп ошибок определяет совокупность точек падения, т. е. зависимость от выстрелов. Эта зависимость количественно определяется ковариацией (корреляционным моментом) двух случайных величин. Повторяющиеся и неповторяющиеся отклонения вызываются различными причинами, поэтому они несовместны и независимы, т. е. моменты корреляции между ними равны нулю:

для

Момент корреляции между неповторяющимися отклонениями также равен нулю, как это следует из самой сущности ошибок 1 группы (два попадания в одну точку при одной стрельбе считается невозможным событием).

Поэтому в модели схемы двух групп ошибок дисперсия по оси Х определится:

(3.1)

где - С.К.О. первой и второй групп соответственно.

Аналогично по оси Y.

Найдем момент корреляции координат по оси Х для i-го и j-го выстрелов при одной стрельбе (Х_i и X_j) по известной формуле:

,(3.2)

т. к. из вышесказанного следует:

.

Аналогично

(3.3)

где - центрированные СВ, определяемые СВ отклонений от математического ожидания по осям Х и Y соответственно (см. рис.1). При допущении, что условия стрельбы от выстрела к выстрелу не меняются, коэффициенты корреляции (нормированные моменты) для любой пары выстрелов определяются выражениями:

.(3.4)

Как видно, r_x и r_y [0, 1], т. е. степень коррелированности выстрелов, определяется соотношением характеристик двух законов распределения. Чем меньше величина _П, тем меньше коррелированность выстрелов и при _П=0 (совпадение центра рассеивания с точкой прицеливания) коррелированность нулевая (r = 0), т. е. распределение точек падения соответствует независимому распределению. И наоборот, при уменьшении _н коррелированность возрастает, а при _н = 0, мы имеем полную зависимость выстрелов (r= 1).

Величина коэффициента корреляции имеет большее значение при вычислении вероятности попадания в цель и определяет целесообразность перехода к модели схемы одной группы ошибок. Модель схемы одной группы ошибок предполагает независимость выстрелов, т. е. отсутствие второй группы ошибок, а следовательно, отсутствие композиции двух законов и наличие одного закона распределения точек падения снарядов. Так как в реальных условиях ошибки второй группы всегда имеют место, то переход к модели одной группы ошибок есть аппроксимация модели двух групп ошибок путем уравнивания их характеристик рассеивания. При переходе к модели схемы одной группы ошибок допускают отсутствие распределения центров рассеивания вокруг точки прицеливания, а среднеквадратическое отклонение распределения точек падения принимают равным суммарному С.К.О.: или . Целесообразность такого перехода зависит от конкретных условий и целей моделирования и обычно считают это целесообразным при r 0,5, что обеспечивает значительную долю реальных условий моделирования оперативно-тактических ситуаций.

2. Оценка вероятности попадания в модели схемы двух групп ошибок

2.1 Вероятность попадания в цель в модели первой группы ошибок

Вероятность попадания в цель при известном законе рассеивания снарядов и его характеристиках в модели схемы 1 группы ошибок можно определить как вероятность того, что случайные координаты точки падения снаряда будут принадлежать площади цели:

(3.5)

Интеграл (5) использует модель схемы одной группы ошибок и его можно выразить через известные специальные функции. Такими функциями для одномерного случая (одной координаты) являются:

функция Лапласа ,(3.6)

где Ф(Z) - вероятность того, что СВ t примет значение в интервале [0; Z], где Z - стандартная нормальная переменная с определяемая выражением:

...