Для оценки кругового распределения иногда используется характеристика, называемая круговым вероятным отклонением (К.В.О.), обозначаемая r₅₀ и равная радиусу круга, вероятность попадания в который равна 0,50. Найдем ее выражение через и Е.

(3.21)

Отсюда, R = r₅₀ = 1,177. Аналогично, r₅₀ = 1,746Е.

Вероятность попадания в круг, центр которого смещен относительно кругового рассеивания, определяется формулой

(3.22)

где

d - расстояние от центра рассеивания до центра круга S;

-3_ХП(-4Е_ХП) до +3_ХП(4Е_ХП), или увеличив его на одно среднеквадратическое (срединное) отклонение. Это позволит вычислить вероятность попадания в цель в схеме двух групп ошибок по формуле (24) с практически приемлемой точностью.

Литература

1. Конспект лекции.

2. Под ред.Дж.Моудера Исследование операций, 2т.Модели и применение М.:Мир.1981г.

Вводная часть

Изучив числовые характеристики УЗПЦ и методологию оценки вероятностей попадания в цель при единичном выстреле, мы можем перейти к вопросу оценки эффективности с учетом всех факторов при стрельбе.

1. Распределения числа попаданий при стрельбе по цели

Под характером зависимости выстрелов при одной стрельбе будем понимать характер (тенденцию) зависимостей случайных точек падения снарядов. Распределение числа попаданий определяется не только распределением точек попадания, но и характером зависимости выстрелов. Различным значениям коэффициентов корреляции r_x и r_y соответствуют различные степени зависимости выстрелов. Под зависимостью выстрелов, понимается зависимость случайных величин координат их точек падения.

Выстрелы независимы, если вероятность попадания для любого из них не зависит от того, были ли попадания других выстрелов. Для независимых выстрелов коэффициенты корреляции между координатами точек падения снарядов различных выстрелов равны нулю (r_x = r_y = 0). Для приближенной независимости выстрелов достаточно, чтобы эти коэффициенты не превосходили некоторой величины. К примеру, если при моделировании учитывается только техническое рассеивание, а точность прицеливания считается неслучайной величиной равной нулю и от стрельбы к стрельбе не изменяется.

Независимость выстрелов соответствует модели схемы одной группы ошибок и используется для приближенного отображения действительности.

Выстрелы функционально зависимы, если попадание для одного из них влечет за собой обязательно и попадание для всех остальных, а промах для одного из них - промахи для всех остальных. Для функционально зависимых выстрелов r_x = r_y = 1, что означает , т. е. отсутствие разброса точек падений и наличие случайного отклонения только центра рассеивания ( ошибки прицеливания только учитываются).

Так как центр рассеивания изменяется случайным образом только от стрельбы к стрельбе, то его реализация на одной стрельбе остается постоянной, и, если она совпала с точкой, принадлежащей площади цели, то все снаряды попадут в эту точку, т. е. попадут в цель и наоборот. Применяется при моделировании, когда цель значительно больше технического рассеивания и, следовательно, попадание зависит только от точности прицеливания при стрельбе.

Независимость и функциональная зависимость - два предельных случая зависимости выстрелов. Все остальные случаи (0 < r_x < 1 и 0 < r_y <1) соответствуют зависимости выстрелов, являются отображением реальной физической картины и соответствуют модели схемы двух групп ошибок.

В реальных условиях может встретиться случай общей зависимости выстрелов, когда коэффициенты корреляции различны для различных пар выстрелов. Однако этот случай целесообразно сводить к модели двух групп ошибок путем их усреднения.

Рассмотрим случай независимых выстрелов.

Если закон распределения случайных отклонений не меняется от выстрела к выстрелу, например, не меняется дальность, параметры относительного движения, то вероятность попадания остается постоянной, равной p. В этом случае выстрелы можно представить последовательностью независимых испытаний (выстрелов), в которых результатом каждого из испытаний (выстрелов) может быть один из двух исходов (попал, непопал), и вероятность попадания и непопадания одна и та же. Такие опыты называются схемой испытаний Бернулли. В общем случае нас интересует, вероятность m попаданий при n выстрелах.

Если выполняются эти условия, то вероятность определенного числа попаданий при независимых выстрелах, при неизменной вероятности попадания, подчиняется биноминальному закону распределения:

(4.1)

Действительно, т попаданиям и (п-т) промахам соответствует произведение вероятностей которое должно быть умножено на число сочетаний из п по т, чему соответствуют все возможные случаи т попаданий различающиеся хотя бы одним номером ( в общей последовательности выстрелов) попавших снарядов. Биноминальные коэффициенты обычно табулированы, определяются выражением:

(4.2)

Поскольку число попаданий подчинено биноминальному распределению, то математическое ожидание числа попаданий в цель определяется как т = пр, а дисперсия D[m] = np(1-p).

Если вероятность попаданий от выстрела к выстрелу меняется и известно число выстрелов, то распределение числа попаданий подчиняется обобщенному биноминальному закону. Вероятность получения заданного числа попаданий определяется как величина коэффициента при в разложении производящей функции по степеням Z.

Производящая функция нашла широкое применение для определения числовых характеристик дискретных СВ. В частности, для практических приложений имеет большое значение тот факт, что производящая функция суммы независимых СВ равна произведению их производящих функций. Производящей функцией целочисленной СВ m называется функция вида:

(4.3)

где

z - произвольный параметр (0< z <1),

_ вероятность принятия СВ значения m.

Производящая функция для биноминального распределения имеет вид

(4.4)

где последнее выражение есть ни что иное как n - я степень бинома Ньютона (отсюда и термин « биноминальное распределение»).

В общем случае для обобщенного биноминального распределения, когда в группе независимых выстрелов вероятность попадания меняется от выстрела к выстрелу, производящая функция [см. формулу (4)] преобразуется к виду:

,(4.5)

а вероятность получения т попаданий при n выстрелах, определяется величиной коэффициента при Z^т в разложении (Z) по степеням Z. Например, при трех выстрелах с вероятностями попадания р₁, р₂ и р₃ имеем

.

Следовательно,

.

В общем случае вероятность всех промахов равна

,(4.6)

а вероятность хотя бы одного попадания в цель -

.(4.7)

Если вероятность попадания не меняется от выстрела к выстрелу, то

(4.8)

Для функционально зависимых выстрелов имеем:

(4.9)

Для определения вероятности распределения числа попаданий для зависимых выстрелов в схеме двух групп ошибок, будем рассуждать следующим образом. Определим событие А как попадание в цель при условии, что центр рассеивания в точке (х_П, у_П). Тогда условная вероятность попадания в цель при условии, что координаты центра рассеивания (х_П, у_П), есть интеграл по площади цели S ( см. формулу 3.5):

.(4.10)

Условная вероятность получить m попаданий при n выстрелах, при условии, что координаты центра рассеивания (х_П, у_П) равна

(4.11)

Отсюда по формуле полной вероятности с учетом распределения центра рассеивания получим полную вероятность [ в соответствии с формулой (3.24)]

(4.12)

В соответствии с формулой (6) имеем для вероятности всех промахов

(4.13)

а для вероятности хотя бы одного попадания -

(4.14)

2. Оценка вероятности поражения при различных законах попадания и поражения цели

Выбор того или иного закона распределения числа попаданий в цель и условного закона поражения цели для моделирования процесса воздействия средств поражения по ней зависит от условий, в которых будет использовано оружие носителей.

Исходя из этого, развертывание обобщенной модели А.Н. Колмогорова, определяющей вероятность поражения цели при n выстрелах,

(4.15)

приведет к конкретным математическим моделям, отличающимся друг от друга видом зависимости между выстрелами, видом закона распределения числа попаданий в цель, видом законов поражения и рядом других факторов, характеризующих условия использования оружия, принятые допущения и ограничения.

Рассмотрим модель вероятности поражения цели при независимых выстрелах. При отсутствии зависимости (допущений об этом) между выстрелами, выбор закона распределения числа попаданий в цель (Р_п,m) зависит от того, случайно или детерминировано число выстрелов, а также различны или одинаковы вероятности попадания на выстрел. При независимых выстрелах, одинаковых вероятностях попадания на выстрел и детерминированном числе выстрелов, число попаданий в цель подчиняется биноминальному закону распределения. В этом случае:

(4.16)

Для рассмотренных выше единичного, ступенчатого и показательного законов поражения соответственно формула (4.16) преобразуется.

Для единичного закона совпадает с вероятностью хотя бы одного попадания в цель:

(4.17)

Для ступенчатого закона совпадает с вероятностью получить не менее k попаданий:

(4.18)

Для показательного закона поражения, учитывая при преобразовании выражение для бинома Ньютона, получим:

(4.19)

В отличие от вероятности попадания Р, величина называется вероятностью поражающего попадания. В связи с этим вероятность поражения цели, при показательном законе поражения, совпадает с вероятностью получить хотя бы одно поражающее попадание.

При тех же условиях, но при случайном числе выстрелов ( - МО числа выстрелов), в качестве закона распределения числа попаданий целесообразно принимать закон Пуассона. Тогда

(4.20)

где

(4.21)

Для единичного, ступенчатого и показательного законов поражения формула (4.20) принимает соответственно следующий вид:

Для единичного, учитывая разложение элементарной функции получим:

(4.22)

Для ступенчатого закона совпадает с вероятностью получить не менее k попаданий

(4.23)

Для показательного закона поражения, учитывая при преобразовании разложение элементарной функции в ряд получим:

(4.24)

Величина представляет собой МО числа поражающих попаданий и называется потенциалом поражения. С учётом этого (4.24) может быть записана в виде:

(4.25)

Если воздействие по цели растянуто по времени, т.е. выстрелов производится в течение промежутка времени со средней скорострельностью , то формула (4.25) может быть записана в виде:

(4.26)

где

- интенсивность поражения,

(4.27)

- МО времени, необходимого для поражения цели,

(4.28)

При независимых выстрелах и различных вероятностях попадания на выстрел, распределение числа попаданий в самом общем случае подчиняется обобщённому биноминальному закону распределения. С учётом этого вероятность поражения цели, при различных вероятностях попадания на выстрел и детерминированном числе выстрелов может быть вычислена по формуле Колмогорова:

,

где определяется с помощью производящей функции:

(4.29)

Для единичного, ступенчатого и показательного законов поражения соответственно формула Колмогорова приобретает вид:

(4.30)

(4.31)

(4.32)

Если вероятности попадания на выстрел отличаются незначительно, а число выстрелов достаточно велико, можно, усреднив вероятности попадания на выстрел по формуле:

(4.33)

использовать для оценки W(n) формулы (4.17…4.19).

Если вероятности попадания на выстрел различны, но достаточно малы, а число выстрелов достаточно велико, то в качестве аппроксимации обобщённого биноминального закона можно использовать закон Пуассона с параметром В этом случае для оценки W(n) используются формулы (4.22…4.26). Погрешность для такой аппроксимации не превышает порядка величины

Теперь рассмотрим модели оценки вероятности поражения цели при функциональной зависимости выстрелов.

(4.34)

Для единичного, ступенчатого и показательного законов (4.34) соответственно примет вид:

Перейдём к модели оценки вероятности поражения цели при зависимости выстрелов в схеме двух групп ошибок.

При этом виде зависимости выстрелов, распределение числа попаданий в цель определится формулой (4.12). С учётом этого распределения:

(4.35)

Для показательного закона формула (4.35) преобразуется к виду:

(4.36)

где - условная вероятность попадания в цель при условии, что координаты цели приняли значение .

Как видно, вычисления по формулам (4.35) и (4.36) весьма трудоёмки, поэтому при построении моделей целесообразно использовать упрощённые схемы. Одной из них является схема В.П. Кравченко, разработанная для показательного закона поражения. При её разработке учитывалось очевидное соотношение:

(4.37)

Используя это свойство для вычисления вероятности поражения при зависимых выстрелах, берётся линейная комбинация функций для независимых и функционально зависимых выстрелов:

(4.38)

где k - является функцией двух параметров,

U - МО числа поражающих попаданий (потенциал поражения):

(4.39)

r- усреднённый коэффициент корреляции:

(4.40)

Коэффициенты k для различных значений параметров и приведены в таблице 4.1.

Анализ таблицы показывает, что при зависимостью между выстрелами можно пренебречь.

При единичном законе поражение цели (4.38) приобретает вид:

(4.41)

Таблица 4.1

1. Конспект лекции.

2. Под ред.Дж.Моудера Исследование операций, 2т.Модели и применение М.:Мир.1981г.

Вводная часть

Рассмотренные ранее модели не учитывали противодействия противника, что значительно снижает их адекватность реальным условиям применения вооружения.

1. Модели учёта противодействия противника

Рассмотрим математические модели, учитывающие противодействие противника снарядам.

В самом общем случае эффективность преодоления снарядами обороны противника должна оцениваться показателем эффективности, соответствующим цели действий носителей, в частности, вероятностью поражения цели снарядами, прорвавшими оборону противника.

Эффективность преодоления снарядами обороны противника может оцениваться вероятностью преодоления обороны противника каждым снарядом Q или математическим ожиданием числа снарядов, преодолевших оборону противника. При вычислении показателей эффективности в моделях, построенных на основании формулы Колмогорова, необходимо учесть противодействие противника снарядам, преодолевающим его оборону. В результате противодействия оборону преодолевает случайное число снарядов m. Закон распределения числа снарядов, преодолевших оборону противника зависит от целого ряда факторов, основным из которых являются:

- число и эффективность сил и средств противодействия;

- вид зависимости между действиями сил и средств противодействия;

- целераспределения сил и средств противодействия и снарядов и др.

Сведения, в той или иной мере отражающие эти факторы, должны найти отражение в оперативно - тактической постановке задачи.

Так как оборону противника может преодолеть любое число снарядов то модель вычисления вероятности поражения цели, с учётом противодействия снарядам, может быть построена на основе формулы (2.1), где вместо УЗПЦ используется вероятность поражения цели преодолевшими оборону снарядами m:

(5.1)

где P_n,m - распределение числа снарядов, прорвавших оборону. Для иллюстрации рассмотрим некоторые модели.

2. Методика решения задач с учетом противодействия

ЗАДАЧА I. Постановка задачи. По цели производится стрельба n снарядами. Выстрелы независимы, вероятность попадания на выстрел не меняется, закон поражения цели показательный. Анализ условий преодоления снарядами противодействия противника позволяет сделать допущение о равенстве вероятности Q преодоления противодействия для любого снаряда и о независимости преодолении снарядами обороны противника.

Обратимся к разработке математической модели.

В условиях постановки задачи число снарядов, преодолевших противодействие, подчиняется биноминальному закону распределения вероятностей и вероятность преодоления ПРО определяется выражением (5.1), где

(5.2)

а условная вероятность поражения цели может быть определена по формуле (4.19), тогда

(5.3)

Подставив эти выражения в (5.1), получим

(5.4)

Для единичного закона, положив , получим:

(5.5)

Если же число снарядов, прорвавших оборону, известно лишь в среднем, то следует применять закон Пуассона с параметром Тогда, используя преобразования аналогичные (4.24), получим:

(5.6)

Аналогично получаются модели для показательного закона поражения при функциональной зависимости, соответственно при биномиальном и Пуассоновском распределении числа снарядов прорвавших оборону [см. формулу (4.34)]

(5.7)

(5.8)

С учетом (5.4) и (5.5) для зависимости в модели схемы групп ошибок, может быть применена модель Кравченко для показательного и единичного законов соответственно:

(5.9)

(5.10)

Параметрами для определения коэффициента k в этом случае являются усредненный коэффициент корреляции и потенциал поражения с учетом противодействия.

(5.11)

(5.12)

Коэффициенты k для различных значений параметров U и приведены в табл. 4.1. Анализ таблицы дает возможность установить, что при коэффициенте корреляции меньше 0,5 зависимостью между выстрелами можно пренебречь.

В ряде случаев погрешность от пренебрежения зависимостью между выстрелами допустима для оперативно - тактических расчетов и при коэффициенте корреляции больше 0,5

3. Оценка поражения площадных целей

Примерами площадных целей могут быть военно-морские базы, участки побережья с системой противодесантной обороны, группировки войск, конвои, отряды кораблей и др. Эти объекты в общем случае являются сложными системами функционирующих элементов, неравноценных и неравномерно расположенных на некоторой площади.

Когда известно расположение отдельных элементов объекта, а снаряды обладают достаточной избирательностью поражения, эти элементы могут рассматриваться, как отдельные малоразмерные объекты и для моделирования воздействия по ним могут быть применены модели, приведённые выше.

Если же элементы объекта большой протяжённости неразличимы или отсутствует возможность их избирательного поражения, то возникает задача моделирования процесса воздействия средств поражения по площадной цели определённых размеров и конфигурации.

Существенной особенностью моделирования в этом случае является допущение о равноценности всех элементов и их равномерном распределении в пределах площади цели. Такое допущение делает модели довольно грубыми. Однако их применение для сравнительной оценки носителей, приёмов их использования и решения других вопросов, возникающих в процессе управления силами, допустимо и даёт положительный результат.

Выбор показателя эффективности воздействия по площадной цели зависит от таких факторов как цель воздействия, цель исследования, тип носителя, его оружия и др.

Для вычисления любого показателя эффективности необходимо уметь вычислить математическое ожидание поражённой площади цели или её доли. Выбор показателя определяется принятыми допущениями и предполагает, что ущерб, наносимый противнику, пропорционален доли поражённой площади цели. Под поражённой площадью цели будем понимать площадь цели, накрытую зоной поражения с заданным видом разрушения объектов, находящихся на этой площади.

Рассмотрим модель вычисления МО доли поражённой площади цели при следующих допущениях:

распределение попавших в цель снарядов по площади цели равномерное (вероятностью пересечения зон поражения пренебрегаем);

площадь поражения одним снарядом .

Обозначим:

- МО доли поражённой площади цели (п.п.ц.) при одном выстреле;

- МО доли п.п.ц. при i выстрелах,

Рассмотрим стрельбу при n выстрелах. Будем считать, что после любого числа выстрелов, все равновеликие элементарные участки площади цели имеют одинаковую возможность остаться непоражёнными и что исключена возможность повторного «накрытия» зоной поражения ранее пораженных участков цели.

В этом случае выстрелы можно считать независимыми и МОЖ доли пораженной площади при n выстрелах определять по известной формуле:

(5.13)

При малости можно положить, аппроксимируя линейную функцию показательной:

(5.14)

Очевидно, что неизменное от выстрела к выстрелу будет иметь место при неизменной вероятности попадания в цель. Тогда,

,

где - площадь поражения при одном выстреле. С учётом этого окончательную формулу можно записать:

(5.15)

Аналогичную формулу можно вывести при изменяющейся от выстрела к выстрелу вероятности попадания в цель:

(5.16)

Формула (5.15) определяет с тем большей погрешностью, чем меньше ошибки технического рассеивания, и чем больше зона поражения одного снаряда. Наиболее точно в этом случае работает формула (5.16), т.к. она предполагает стрельбу с искусственным рассеиванием, т.е. назначение для каждого выстрела своей точки прицеливания, тем самым искусственно рассредоточивая снаряды по площади цели.

Заключение

Нами рассмотрены большинство аналитических выражений показателей эффективности поражения цели с учетом большинства факторов, влияющих на их значение.

Выбор того или иного способа представления показателя эффективности, определяется конкретной постановкой оперативно-тактической задачи, задачи разработки показателя и их БД, требованиями к разработке моделей СПО.

Занятие 6. Групповое. Точные методы оценки вероятности попадания в цель

Учебная цель:

Углубить знания по оценке показателей эффективности попадания.

Время: 4 часа

Литература

1. Конспект лекции.

2. Под ред.Дж.Моудера Исследование операций, 2т.Модели и применение М.:Мир.1981г.

Вводная часть

Методические указания студентам по подготовке и проведению занятия:

До начала занятий студенты должны:

проработать по рекомендованной литературе и конспекту лекций следующие вопросы:

1) Условный закон поражения целей.

2) Вероятность попадания в цель и различные степени зависимости выстрелов.

3) Распределение числа попаданий.

4) Вероятность поражения цели.

5) Оценка эффективности стрельбы управляемым оружием в условиях противодействия средствам поражения и в условиях противодействия носителям оружия.

Вопросы для проверки подготовленности студентов к практическому занятию:

1) Закон поражения цели вида .

2) Закон поражения цели вида .

3) Что понимается под рассеиванием снарядов.

4) Какие ошибки включают в себя 1-ая и 2-ая группы ошибок стрельбы.

5) Как определяется вероятность попадания в цель в модели схемы 1-ой группы ошибок.

6) Что понимается под распределением числа попаданий.

7) От чего зависит вероятность поражения цели.

1. Решение задач, анализ результатов

Задача 1

По цели производится четыре выстрела. Выстрелы независимы. Вероятность попадания для каждого выстрела соответственно равны 0,635; 0,665; 0,625; 0,675

Определить с помощью точной и приближенной формул вероятности получения хотя бы одного попадания.

Решение

Вероятность получения хотя бы одного попадания может быть вычислена по точной формуле

или по приближенной

где

. //Напомнить!

Для приведенных исходных величин имеем:

Вывод:

при близких вероятностях вполне допустимо считать по приближенным формулам.

Задача 2

По авианосцу производится бомбометание. Поражаемая площадь авианосца может быть заменена прямоугольником со сторонами, равными 320 и 77 м.

Определить вероятность попадания в авианосец, если средняя круговая ошибка рассеивания бомб равна 160 м.

Решение

Вероятность попадания может быть рассчитана как вероятность попадания в площадь с помощью приведенной функции Лапласа.

,

где b_x и b_y - полуширина и полудлина.

//см. Табл.8 с.201Волгин инд. 231

Повторить:

Вероятность попадания в цель 1-ой группы ошибок.

!Обратить внимание: > замена >E и переход к приведенной ф. Лапласа.

//Круговое вероятностное отклонение КВО, обозначаема r₅₀ и равная радиусу круга, вероятность попадания в который равна 0,5.

//R= r₅₀=1.177; r₅₀=1,746E

//по E.

//по .

Задача 3

При испытаниях объекта на поражаемость установлено, что объект поражается при одном, двух, трех, четырех, и более попаданиях с вероятностями 0,2; 0,5; 0,8; 0,9; 1,0 соответственно.

Определить вероятность поражения объекта двумя выстрелами при условии, что выстрелы независимы, а вероятность попадания на выстрел равно 0,6. Как велика относительная погрешность в определении вероятности поражения объекта или замене опытного закона показательным?

Решение

Вероятность поражения в условии задачи может быть определена по формуле

//G(m)- из опытного закона//

где подставим исходные величины, получим W(2)=0.276

//,

//где

Для ответа на 2-ой вопрос рассчитаем

Подставим это значение в формулу аппроксимированного показательного закона поражения

получим 0,407

//

//

Относительная погрешность при такой замене равна

Биномиальный коэффициент табл.1 стр. 192.

//Наводящая подсказка

1) Использовать ф. Колмогорова (1), УЗПУ>опытный закон попадания - подумать самим.

2) Для ответа на 2-ой вопрос, необходимо использовать 11113.

Задача 4

Носитель оружия производит по цели 4-е выстрела. Вероятность попадания на выстрел равняется p=0,3.

Разработать математические модели и определить вероятность поражения цели для следующих вариантов условий использования оружия:

1) Независимые выстрелы и показательный закон поражения цели. Математическое ожидание числа попаданий, необходимых для поражения цели, равняется =3;

2) Независимые выстрелы и единичный закон поражения цели;

3) Независимые выстрелы и ступенчатый закон поражения. Для поражения цели необходимо добиться не менее трех попаданий (k3);

4) Функционально зависимые выстрелы и показательный закон поражения цели. Математическое ожидание числа попаданий, необходимых для поражения цели, равняется =3;

5) Функционально зависимые выстрелы и единичный закон поражения цели;

6) Функционально зависимые выстрелы и ступенчатый закон поражения цели. Для поражения цели необходимо добиться не менее трех попаданий (k3);

7) Независимые выстрелы (схема 2-х групп ошибок) и показательный закон поражения цели.

Математическое ожидание числа попаданий, необходимых для поражения цели, равняется =3. Коэффициент корреляции между выстрелами равен r= 0,85.

Ответ: 1) 0,34; 2) 0,76; 3)0,08; 4)0,24; 5) 0,30; 6) 0,31;

Решение

1) Вероятность поражения цели при заданных условиях определенных по ф. 53

Табл. 2.2 Мет. Ук. Инв. 133у; Табл. 23 Волгин. (задач) с. 233

см. прим. 1

см. прим. 4

тогда

//с. 192. Волгин (задачи).

//По задаче 5 работать без подсказок!

//!обязательно всем решить, проверить потом, с опросом

Задача 7

Планируется нанесение удара с корабля по береговой цели 4-мя снарядами. Стрельба ненаблюдаемая. Вероятность попадания для всех выстрелов одинакова и равна 0,7, математическое ожидание числа попаданий, необходимых для поражения цели =1,4. Среднеквадратическая круговая ошибка в месте корабля на момент начала стрельбы _п=1,8 ед. длины. Накоплением ошибки в месте корабля от выстрела к выстрелу можно пренебречь. Отклонение различных снарядов от цели могут считаться независимыми случайными величинами. Среднеквадратическая круговая ошибка выстрела _н=1 ед. длины. Закон поражения цели показательный.

Определить вероятность поражения цели.

Решения

В условиях задачи вероятность поражения цели может быть определена по формуле

где

где по т.23 Прил. Или т.2.2 МУ

//

//

Тогда

//Волгин Табл. 23 стр. 233.

//Повторить вер. пораж. по схеме Кравченко

//Потенциал поражения 12133 ф. 58

//z>ф. 81 или ф. 20, где

//

Задача 8

По кораблю противника, находящемуся в охранении, планируется четырехкратный залп. Вероятность попадания каждой ракеты в цель равна 0,7. Для вывода из строя корабля противника необходимо получить в среднем 3-и попадания.

Определить вероятность поражения цели, или вероятность несбития каждой ракеты в условиях противодействия равна 0,7

Решение

Для определения интересующей нас вероятности можем использовать ф. 75

Повторить 1. Модель поражения с учетом противодействия противн. Ф. 72-77

Задача 9

По цели планируется удар тремя носителями с 2-мя ракетами на каждом, при условии, что вероятность попадания каждой ракеты в цель равна 0,6, среднее число попаданий, необходимых для поражения каждой ракеты средствами противодействия равна 0б75

Определить:

а) Вероятность поражения цели при отсутствии противодействия носителям;

б) Вероятность поражения цели с учетом противодействия носителям, если =0,5.

Решение

а) без противодействия носителям

б) с учетом противодействия носителям

ф. 82-86.

Заключение

Провести обзор решенных задач, поставить задачи на доработку блок-схем, выдать вопросы на семинарское занятие

Занятие 7. Семинар. Оценка показателей применения оружия

Учебная цель:

1. Углубить знания по оценке показателей эффективности попадания.

2. Привить навыки выступления перед личным составом.

3. Проконтролировать степень усвоения учебного материала.

Время: 2 часа

Литература

1. Конспект лекции

2. Под ред.Дж.Моудера Исследование операций, 2т.Модели и применение М.:Мир.1981г.

3. Методические указания по теме «Теоретико-вероятностные методы построения аналитических моделей оценки эффективности боевых действий СиС флота» Инв. 139у.

ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ

Каждый курсант должен быть готов к 15 минутному докладу по вопросу без конспекта. Остальные курсанты во время доклада готовят вопросы по тематике выступления и оценке выступления.

8. Контрольные вопросы

Обобщенный показатель эффективности комплексов вооружения.

Показатель живучести комплексов вооружения.

Показатели готовности комплексов вооружения к применению по назначению.

Пути обеспечения надежности комплексов вооружения.

Условный закон поражения цели.

Оценка факторов влияющих на точность попадания в цель.

Модель схемы двух групп ошибок.

Оценка вероятностей попадания в модели схемы двух групп ошибок.

Распределение числа попаданий при стрельбе по цели.

Оценка вероятности поражения при различных законах попадания и поражения цели (классификационная).

Вероятность поражения цели в модели схемы двух групп ошибок (модель Кравченко).

Модели учета противодействия.

Оценка поражения площадных целей.

Приложение 1

Задачи для углубленного изучения

Тема: Моделирование использования носителей оружия

Задачи:

1. Опытом установлено, что корабль поражается при одном, двух, трех, четырех, пяти и более попаданиях с вероятностями 0,10; 0,55; 0,80; 0,90 и 1,0 соответственно.

Определить математическое ожидание числа попаданий, необходимых для поражения корабля. Произвести аппроксимацию опытного закона поражения показательным и построить графики обоих законов.

2. По цели, имеющей площадь поражаемого пространства S = 10 м², производится стрельба. Площадь отсеков, попадание в которые приводит к поражению цели, = 2 м². Попадания в другие отсеки не приводят к поражению цели.

Определить вероятность поражения цели при пяти попаданиях и число попаданий, необходимых для поражения цели с вероятностью 0,8.

3. По цели ведется стрельба ударными снарядами. Десять процентов поражаемой площади цели занимают участки, при попадании в которые снаряд рикошетирует, двадцать процентов - участки, при попадании в которые снаряд рикошетирует с вероятностью 0.5. При попадании в остальные участки снаряд не рикошетирует, и взрыватель срабатывает нормально. Если взрыватель сработал, то снаряд поражает цель с вероятностью 0,9.

Определить закон поражения цели и математическое ожидание числа попаданий в цель, необходимых для поражения цели.

4. Производится стрельба по соединению кораблей противника, состоящему из корабля ядра и трех кораблей охранения.

Определить вероятность поражения корабля ядра и каждого корабля охранения одним снарядом, если прицеливание осуществляется в корабль ядра. Радиусы зон поражения корабля ядра и корабля охранения соответственно равны двум и трем ед. длины, а срединное круговое отклонение точки падения снаряда равно двум ед. длины.

Координаты кораблей охранения относительно корабля ядра (в ед. длины): x₁ = - 3; x₂ = 3; x₃= 0; y₁ = - 3; y₂=-3;y₃ = -6.

5. По авианосцу производится бомбометание. Поражаемая площадь авианосца может быть заменена прямоугольником со сторонами, равными 320 и 77 м. Точка прицеливания совпадаете центром цели.

Определить вероятность попадания в авианосец, если средняя круговая ошибка рассеивания бомб равна 160м.

6. По цели производится четыре выстрела. Выстрелы независимы. Вероятности попадания для каждого выстрела соответственно равны 0,635; 0,665; 0,625; 0,675.

Определить с помощью точной и приближенной формул вероятности получения хотя бы одного попадания.

7. По самолету производится стрельба зенитными ракетами. Вероятность попадания каждой ракеты равна 0,6. Выстрелы независимы.

Определить распределение вероятностей получения: а) заданного (0, 1, 2, 3, 4 и 5) и б) не менее заданного (1, 2, 3, 4 и 5) числа попаданий при пяти выстрелах.

8. В результате испытаний установлено, что корабль поражается при одном, двух, трех, четырех и более попаданиях с вероятностями 0,35; 0,65; 0,9; 1,0.

Определить зависимость вероятности поражения корабля от числа выстрелов (n<=6) при условии, что вероятность попадания на выстрел равна 0,6 и выстрелы независимы. Какую мы допустим погрешность при замене опытного закона поражения показательным? Сравнить и проанализировать полученные результаты.

9. При испытаниях объекта на поражаемость установлено, что объект поражается при одном, двух, трех, четырех и более попаданиях с вероятностями 0,2; 0,5; 0,8; 0,9 и 1,0 соответственно.

Определить вероятность поражения объекта двумя выстрелами при условии, что выстрелы независимы, а вероятность попадания на выстрел равна 0,6. Как велика относительная погрешность в определении вероятности поражения объекта при замене опытного закона показательным?

10. В условиях предыдущей задачи ответить на указанные в ней вопросы при числе выстрелов, равном пяти.

11. По кораблю произведен залп из двух крылатых ракет. Вероятность попадания каждой ракеты в корабль равна 0,6. Для потопления корабля в среднем необходимо иметь два попадания.

Определить вероятность потопления корабля при показательном и ступенчатом законах поражения цели, считая, что а) попадание каждой ракеты в корабль не зависит от попадания других ракет; б) попадание каждой ракеты в корабль находится в функциональной зависимости от попадания других ракет.

12. Носитель оружия производит по цели четыре выстрела. Вероятность попадания на выстрел равняется p = 0,3.

Разработать математические модели и определить вероятность поражения цели для следующих вариантов условий использования оружия:

1) независимые выстрелы и показательный закон поражения цели. Математическое ожидание числа попаданий, необходимых для поражения цели, равняется и = 3;

2) независимые выстрелы и единичный закон поражения цели;

3) независимые выстрелы и ступенчатый закон поражения. Для поражения цели необходимо добиться не менее трех попаданий (k>= 3);

4) функционально зависимые выстрелы и показательный закон поражения цели. Математическое ожидание числа попаданий, необходимых для поражения цели, равняется = 3;

5) функционально зависимые выстрелы и единичный закон поражения цели;

6) функционально зависимые выстрелы и ступенчатый закон поражения цели. Для поражения цели необходимо добиться не менее трех попаданий (k>= 3);

7) зависимые выстрелы (схема двух групп ошибок) и показательный закон поражения цели. Математическое ожидание числа попаданий, необходимых для поражения цели, равняется = 3.

Коэффициент корреляции между выстрелами равен r = 0,85.

13. По группе, состоящей из k = 3 однотипных объектов противника, наносится удар n = 6 снарядами. Выстрелы могут считаться независимыми, закон поражения цели показательным. Математическое ожидание числа попаданий, необходимых для поражения цели, равно = 1,6. Вероятность попадания в цель снарядом, который действует против данной цели, одинакова для всех снарядов и при всех возможных условиях использования оружия равна p = 0,6. Вероятность преодоления противодействия противника также одинакова для всех снарядов и равна Q = 0,8.

Определить математическое ожидание числа пораженных объектов противника для следующих вариантой применения оружия:

1. Распределение снарядов по объектам группы случайное, неравномерное. Матрица целераспределения имеет следующий вид:

где -- вероятность того, что j-й снаряд будет действовать против i-го объекта.

2. Распределение снарядов по объектам группы случайное, равномерное.

3. Распределение снарядов по объектам группы детерминированное, неравномерное. Матрица целераспределения имеет следующий вид:

4. Распределение снарядов по объектам группы детерминированное, равномерное.

14. В условиях задачи 12 считать, что число снарядов при нанесении удара равно n лишь в среднем. Определить математическое ожидание числа пораженных объектов противника при заданных в задаче 12 способах целераспределения.

15. Наносится удар ракетами по конвою из четырех транспортов. Число ракет в ударе в среднем n = 8. Цель действия сил на коммуникациях - причинение максимально возможного ущерба грузообороту противника. Грузоподъемность различных транспортов конвоя равна V₁=5000 т; V₂ = V₃ =4000 т; V₄=1000 т. Вероятность несбития ракеты силами ПВО противника в среднем равна Q = 0,75. Распределение ракет по транспортам конвоя случайное, равномерное; вероятность попадания ракеты в транспорт p = 0,6; математическое ожидание числа попаданий ракет, необходимых для поражения различных транспортов, составляет ₁ = 1,5; ₂ = ₃ = 1,2; ₄ = 1.

Разработать математическую модель для оценки эффективности удара. Вычислить значение показателя эффективности для заданных исходных данных.

16. Наносится удар ракетами по десантному отряду, состоящему из трех десантных кораблей. Число ракет в ударе n = 9. Вероятность несбития ракеты, направляемой на первый, второй, третий десантные корабли, равна соответственно Q₁=0,5; Q₂=0,8; Q₃=0,8; вероятность попадания при этом составляет p₁=0,6; p₂=0,4; р₃=0,4 соответственно. Для поражения первого десантного корабля необходимо в среднем два попадания (₁), а второго и третьего кораблей - одно попадание (₂=₃). Ракеты обладают абсолютной избирательностью. Цель удара - поражение живой силы десанта. Известно, что число десантников на различных кораблях десанта равно c₁ = 200 чел, c₂ = с₃ = 100 чел.

Разработать математическую модель для сравнительной оценки различных вариантов распределения ракет по кораблям отряда*. Определить эффективность удара при равномерном распределении.

* Методы оптимального распределения средств поражения.

17. В результате статистической обработки результатов испытаний по определению точности стрельбы и поражаемости цели данным видом боеприпаса установлено, что вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,2, выстрелы зависимы в схеме двух групп ошибок, коэффициент корреляции между выстрелами равен 0,8, а для поражения цели необходимо иметь в среднем три попадания. Определить вероятность поражения цели при 10 выстрелах.

18. Ракетный корабль должен нанести удар по кораблю противника тремя ракетами. Для поражения корабля необходимо в среднем два попадания. Целеуказание на стреляющий корабль передается с КП по данным сил разведки. Места цели и стреляющего корабля распределены по нормальному круговому закону. Среднеквадратическая ошибка в месте цели равна 4 ед. длины, среднеквадратическая ошибка в месте стреляющего корабля - 2 ед. длины. Рассеивание различных ракет в боковом направлении независимо друг от друга и подчинено нормальному закону со среднеквадратическим отклонением, равным 4 ед. длины. Ширина полосы захвата цели устройством самонаведения ракеты равна 6 ед. длины. Вероятность попадания ракеты в цель, захваченную устройством самонаведения, равна p = 0,9.

Разработать модель и определить вероятность поражения цели.

19. Корабль производит четырех орудийный залп по кораблю противника. Вероятность попадания в цель снаряда залпа P = 0,2. Закон поражения цели показательный, математическое ожидание числа попаданий, необходимых для поражения цели, = 5. Отклонение центра рассеивания снарядов залпа от цели подчинено нормальному круговому закону со среднеквадратическим отклонением ₃= 0,2 ед. длины; рассеивание снарядов относительно центра рассеивания залпа - нормальному круговому закону со среднеквадратическим отклонением _с = 0,1 ед. длины. Рассеивание снарядов залпа относительно центра рассеивания может считаться независимым.