Эволюция движения астероидов Апофис и 1950 DA за 1000 лет и возможное их использование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 523.2 + 629.7

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ КРИОСФЕРЫ ЗЕМЛИ

Научная работа

Эволюция движения астероидов апофис и 1950 DA за 1000 лет и возможное их использование

И.И. Смульский, Я.И. Смульский

Тюмень 2011

Аннотация

астероид апофис орбита космический

Рассматривается эволюция движения и возможное использование двух астероидов: Апофис и 1950 DA. Проанализированы литературные источники и установлено, что неопределенности в траектории Апофиса обусловлены несовершенством методов ее определения. Новым численным методом проинтегрированы дифференциальные уравнения движения Апофиса, планет, Луны и Солнца и исследована эволюция орбиты астероида. Апофис 13 апреля 2029 г. пройдет у Земли на расстоянии 6.1 ее радиуса и в течении 1000 лет более близкого его прохождения не будет. Рассчитаны условия по превращению траектории Апофиса в орбиту спутника Земли, который может быть использован для различных задач по освоению космического пространства. Аналогичные исследования выполнены для астероида 1950 DA. Астероид дважды пройдет вблизи Земли на расстоянии порядка 2.25 млн. км: в 2641 г. и 2962 г. Его траекторию можно превратить в орбиту спутника Земли в любую эпоху путем увеличения скорости астероида в афелии на ~ 1 км/c и уменьшением его скорости в перигелии на ~ 2.5 км/c.

Введение

В прошедшем десятилетии, по-видимому, наибольший интерес вызывали два астероида: Апофис и 1950 DA, которые сближаются с Землёй первый в 2029 г., а второй, якобы - в 2880 г. По расчетам ряда исследователей существует вероятность их столкновения с Землей. Однако к концу десятилетия были уточнены элементы орбит астероидов, а также развиты более точные методы расчета взаимодействий тел Солнечной системы. С учетом этих двух факторов в настоящей работе рассмотрены эволюции движения этих астероидов. Кроме того исследованы перспективы их превращения в спутники Земли. Вначале весь метод исследования рассмотрен на примере астероида Апофис. Затем будут представлены результаты исследования движения астероида 1950 DA, выполненные этим методом.

В работе [1] описана история проблемы. Впервые астероид Апофис был обнаружен 19 - 20 июня 2004 г. в обсерватории Kitt Peak [2] и повторно наблюдался в обсерватории Siding Spring Survey [3] 20-го декабря этого же года. С тех пор к нему приковано внимание многих исследователей. По результатам первых определений элементов его орбиты были выполнены расчеты его движения, и оказалось [4], что 13 апреля 2029 г. он пройдет на расстоянии 38000 км от центра Земли. В результате воздействия Земли орбита астероида существенно изменится. Так как существующие методы расчета дают большие погрешности, то, по мнению ряда исследователей [1, 4, 5], траектория его становится неопределенной, недетерминированной и даже хаотической. Различные статические методы анализа предсказывают некоторую вероятность столкновения Апофиса с Землёй 13 апреля 2036 г. Основной интерес исследователей сконцентрирован вокруг этой проблемы.

В работе [4] анализируются возможности сближения Апофиса с Землей и его последствия. Рассматриваются различные противодействия падению астероида на Землю и предлагаются миссии его разведки. В заключении отмечается необходимость прогноза движения Апофиса на период 2029 г с максимальными ошибками, лежащими в пределах до одного километра.

Вопросы, связанные с наблюдением Апофиса наземными и космическими средствами, обсуждаются в ряде работ [1, 4, 5, 6]. Так как орбита астероида находится вблизи орбиты Земли, то на значительной части орбиты диск астероида освещен частично или совсем не виден. Поэтому необходимо установить периоды его наблюдения наземными средствами, а при использовании космических средств требуется определить наиболее эффективное расположение их на орбите.

Расчет движения астероида, представляет, по-видимому, одну из сложных проблем. В работе [7] дифференциальные уравнения возмущенного движения астероида интегрировались методом Эверхардта [8], при этом положения возмущающих тел использовались из эфемерид DE403 и DE405 Лаборатории реактивного движения США. Авторы уделили внимание резонансным явлениям, которые могут приводить к столкновению Апофиса с Землей в 2036 г.

Авторы работ [9, 10] по 933 наблюдениям улучшили начальные параметры орбиты Апрфиса. Однако при исследовании стандартными методами они получили, что в результате прохождения астероида через ряд резонансов с Землей и Марсом его движение становится хаотичным. С целью определения вероятности столкновения Апофиса с Землей в 2036 г. они выполнили 10 тыс. вариаций начальных условий, из которых 13 приводят к столкновению Апофиса с Землей [10].

Смирнов Е.А. [11] задался целью протестировать различные методы интегрирования на предмет пригодности их для расчета движения астероида, который может столкнуться с Землей. Он рассмотрел методы Эверхарта, Рунге-Кутты 4-го порядка, метод Йошиды 6 и 8 порядков, метод Эрмита 4 и 6 порядков, Multistep Predictor-Corrector (MS-PC) метод 6 и 8 порядков и метод Parker-Sochacki. Автор пришел к выводу, что методы Эверхардта и MS-PC уступают другим методам. Например, метод Эверхардта при сближении Апофиса с Землей он заменял методом Рунге-Кутты. Смирнов Е.А. также отмечает, что в этих задачах с особыми точками методы с конечными разностями плохо приближают производные высших порядков. Этот вывод является весьма важным, так как далее будут представлены результаты интегрирования уравнений другим методом, который не имеет указанных недостатков.

В работе [12] рассматриваются математические проблемы расчета орбиты астероида и её изменения различными способами. Оценены возможности ударно-кинетического и термоядерного способов коррекции траектории Апофиса.

Всесторонние исследования астероида Апофис представлены в работе [1]. Хронологически изложена вся наблюдательная история и дана динамика уменьшения погрешностей его элементов орбиты. Авторы работы большое внимание уделили точности расчета орбиты и влиянию на нее различных факторов. Рассмотрено влияние неточности положения планет, физических параметров астероида, возмущения других астероидов. Исследовано влияние на точность интегрирования длины числа, несферичности Земли и Луны, возмущения от солнечной радиации и теплового неравномерного нагрева и др.

Уравнения возмущенного движения астероида интегрировались с помощью стандартной динамической модели (SDM), в которой положение остальных тел использовались из эфемерид DE405. Известно, что эфемериды DE405 являются аппроксимацией несколько сотен тысяч наблюдений до 1998 г. При переходе к эфемеридам DE414, которые аппроксимируют данные наблюдения до 2006 г. ошибка предсказания траектории Апофиса к 2036г уменьшилась на 140 тыс. км. Эта ошибка, как показано в работе [1], в десять раз превосходит ошибки от других возмущений. Отметим, что полученный результат свидетельствует о необходимости более точного другого способа расчета траектории астероида.

В работе [1] весьма детально рассмотрены дальнейшие исследования по уточнению траектории Апофиса. По годам расписаны периоды оптических и радарных измерений, намечены программы наблюдений при сближениях с Землей в 2021 и 2029 гг. и миссии космических кораблей в 2018 и 2027 гг. Оценены величины уменьшения погрешностей траектории астероида, которые будут обусловлены вышеотмеченными действиями.

Следует отметить, что эфемериды, построенные на аппроксимации данных наблюдений, позволяют с хорошей точностью определять положение тел в пределах интервала времени аппроксимации. Предсказание положений тел на момент времени, удаленный от этого интервала, ухудшается и тем больше, чем дальше он отстоит от интервала аппроксимации. Поэтому планируемые в работе [1] наблюдения и миссии к Апофису будут использованы для уточнения будущих эфемерид.

Итак, при расчете траектории Апофиса интегрировались уравнения возмущенного движения [1, 7, 12], а положение остальных тел использовались из эфемерид. Применялись разностные методы интегрирования, которые при сближении тел, дают большие погрешности определения высших производных. Добавление к основному Ньютоновскому гравитационному воздействию других слабых воздействий приводит к усложнению задачи и к увеличению неопределенности траектории. Многие слабые воздействия не имеют достаточного количественного обоснования. Кроме того, неизвестны физические параметры астероида и константы взаимодействия. Поэтому при учете этих воздействий используются экспертные оценки. И самое существенное это то, что погрешность решения задачи о движении астероида при ньютоновском взаимодействии на порядки превышает добавки от малых дополнительных воздействий.

Для исследования влияния начальных условий на вероятность столкновения Апофиса с Землёй применяют методику работы [1]. Начальные условия для астероида определяются из элементов его орбиты, которые известны с некоторой погрешностью у. Например, величина эксцентриситета e=e_n±у_e, где e_n - номинальное значение эксцентриситета, а у_e - среднеквадратичное отклонение при обработке нескольких сотен наблюдений астероида. В этих работах поиск параметров столкновения ведут в области возможных движений астероида 3у, например для эксцентриситета, начальные условия вычисляются в области e=e_n±3у_e. Из неё случайным образом выбирают 10 тыс., а в некоторых работах 100 тыс., наборов начальных условий, т.е. вместо одного астероида рассматривают движение 10 или 100 тыс. астероидов. Некоторые из них могут столкнуться с Землёй. По их количеству определяют вероятность столкновения астероида с Землей.

Такая статистическая постановка некорректна. При наличии многих измерений параметра, номинальная его величина, например, e_n является наиболее вероятной. Поэтому траектория, рассчитанная по номинальным начальным условиям (НУ) является наиболее вероятной. Траектория, рассчитанная с небольшим отклонением от номинальных НУ, является менее вероятной, а вероятность траектории посчитанной по параметрам границы области отклонений (т.е. по e=e_n±у_e) стремится к нулю. Траектория же с НУ, определенным по параметрам, которые в три раза больше возможных их отклонений (т.е. по e=e_n±3у_e) имеет еще меньшую вероятность. Так как НУ определяются 6-ю элементами орбиты, то одновременная реализация граничных значений всеми элементами является еще менее вероятной.

На наш взгляд, исследовать влияние НУ следует на тех наборах, которые получают в результате последовательного накопления данных наблюдения. Если разница движений астероида на последних двух наборах НУ несущественна до определенной даты, то можно сделать вывод, что до этой даты движение астероида начальными условиями определено полностью.

Как показано в работе [1] для дальнейшего уточнения траектории Апофиса потребуется выполнения ряда дополнительных работ. Поэтому представляет интерес более точное определение его траектории, что приведет к снижению их количества.

Для интегрирования дифференциальных уравнений движения тел Солнечной системы за большие интервалы времени [13]-[14] нами разработана программа Galactica. В ней учитываются только сила тяготения Ньютона и не используются разности для определения производных. В задачах о составной модели вращения Земли [15] и гравитационном маневре у Венеры [16] интегрировались уравнения движения с малым расстоянием (порядка радиуса планеты) между телами. В результате решения этих задач и выполнения многочисленных проверок установлено, что с помощью программы Galactica можно рассчитать движение астероида Апофиса как до сближения с Землёй, так и после с достаточно высокой точностью. Поэтому в настоящей работе были выполнены исследования эволюции орбит астероидов Апофис и 1950 DA, в результате которых открылись некоторые перспективы их использования.

1. Постановка проблемы

При взаимодействии астероида, Солнца, планет и Луны по закону тяготения Ньютона дифференциальные уравнения движения имеют следующий вид [17]:

i = 1,2,…, n, (1)

где - радиус-вектор тела с массой относительно какого-либо неускоренного центра, например, барицентра Солнечной Системы;

G - гравитационная постоянная,

= - радиус-вектор до тела с массой m_i от тела с массой m_k.

n = 12 (девять планет, Солнце, Луна и астероид).

В результате численных экспериментов и их анализа мы пришли к выводу, что конечно-разностные методы интегрирования не обеспечивают необходимую точность. Для решения задачи мы разработали алгоритм и программу Galactica. Значение функции в следующий момент времени t=t₀ + t определяется с помощью ряда Тейлора, который, например, для координаты x имеет вид:

, (2)

где x₀^(k) - производная порядка k в момент t₀.

Значение скорости x' определяется по аналогичной формуле, а ускорение x₀'' - по формуле (1). Более высокие производные x₀^(k) определены аналитически в результате дифференцирования уравнений (1). Сейчас используется расчетная схема шестого порядка, т.е. при K=6.

2. Подготовка начальных условий

Задача рассматривается в барицентрической экваториальной системе координат на эпоху J2000.0 с юлианским днем JD_s = 2451545. Элементы орбит астероидов Апофис и 1950 DA (эксцентриситет e, большая полуось a, угол наклона к плоскости эклиптики i_e, угол восходящего узла , аргумент перигелия щ_e и др.) и их положения (средняя аномалия M) были использованы из базы малых планет тел [18] на 30.0 ноября 2008 г. Они представлены 16-ю десятичными знаками и приведены в таблице табл. 1. Для Апофиса в табл. 1 даны три варианта. Сейчас рассматривается 1-ый вариант. Эти элементы соответствуют решению с номером JPL sol. 140, которое получено Otto Mattic 04.04.2008 г. В табл. 1 также даны неопределенности этих данных. Относительная их величина находится в пределах от 2.4·10^-8 до 8·10^-7. Эти же данные имеются в базе данных астероидов Эдварда Боуэлла [19], но они представлены 8-ю десятичными знаками и отличаются от предыдущих элементов в 7-ом знаке, т.е. в пределах неопределенности . В работе [1] использовались элементы орбиты астероида Апофис на эпоху JD = 2453979.5 (01.0 сентября 2006 г.), которые соответствуют решению с номером JPL sol. 142. По публично доступной JPL системе Horizons решение sol. 142 можно продлить до 30.0 ноября 2008 г. В этом случае видно, что отличие орбитальных элементов решения 142 от решения 140 не превышают 0.5· неопределённостей элементов орбиты.

По элементам, представленным в табл. 1, были рассчитаны декартовые координаты и скорости Апфиса в барицентрической экваториальной системе по следующему алгоритму [14, 15, 20, 21].

Из уравнения Кеплера

E - e·sinE = M (3)

определяется эксцентрическая аномалия E, а по ней рассчитывается истинная аномалия j₀

. (4)

Табл. 1. Три варианта элементов орбиты астероида Апофис на две эпохи и элементы орбиты астероида 1950 DA на одну эпоху [18] в гелиоцентрической эклиптической системе координат 2000.0 г. c JD_S = 2451545.

Элемент	Апофис	1950 DA	Единицы
	1-ый вариант 30.0 ноября 2008 г. JD01 = 2454800.5 JPL sol.140	Неопреде- ленности ± 1-ый вар	2-ой вариант 04.0 января 2010 г. JD02 = 2455200.5 JPL sol.144	3-ий вариант 30.0 ноября 2008 г. JD01 = 2454800.5 JPL sol.144.	30.0 ноября 2008 г. JD01 = 2454800.5 JPL sol. 51
	Значение
e	.1912119299890948	7.6088e-08	.1912110604804485	.1912119566344382	0.507531465407232
a	.9224221637574083	2.3583e-08	.9224192977379344	.9224221602386669	1.698749639795436	ае
q	.7460440415606373	8.6487e-08	.7460425256098334	.7460440141364661	0.836580745750051	ае
ie	3.331425002325445	2.024e-06	3.331517779979046	3.331430909298658	12.18197361251942	градус
	204.4451349657969	0.00010721	204.4393039605681	204.4453098275707	356.782588306221	градус
щe	126.4064496795719	0.00010632	126.4244705298442	126.4062862564680	224.5335527346193	градус
M	254.9635275775066	5.7035e-05	339.9486156711335	254.9635223452623	161.0594270670401	градус
tp	2454894.912750123770 (2009-Mar-04.41275013)	5.4824e-05	2455218.523239657948 (2010-Jan-22.02323966)	2454894.912754286546 (2009-Mar-04. 41275429)	2.454438.693685309 (2007-Dec-12.0419368531	JD день
P	323.5884570441701 0.89	1.2409e-05 3.397e-08	323.5869489330219 0.89	323.5884551925927 0.89	808.7094041052905 2.21	день год
n	1.112524233059586	4.2665e-08	1.112529418096263	1.112524239425464	0.445153720449539	градус /день
Q	1.098800285954179	2.8092e-08	1.098796069866035	1.098800306340868	2.560918533840822	ае

В дальнейших расчетах использовались результаты взаимодействия двух тел (Солнца и астероида) [16, 21]. Уравнение траектории тела в полярной системе координат с началом в Солнце, имеет вид:

, (5)

где полярный угол ц (в астрономии: истинная аномалия) отсчитывается от положения перигелия r = R_p;

- параметр траектории;

R_p = a·(2a₁+1)/a₁ - радиус перигелия.

Выражения для радиальной и трансверсальной скоростей имеют вид:

, при j>p----; , (6)

где = r/R_p - относительный радиус, а скорость в перигелии

, (7)

где m_S = m₁₁ - масса Солнца (значение m₁₁ см. табл. 2), а m_As=m₁₂ - масса астероида.

Время движения тела по эллиптической орбите, от точки перигелия до положения на орбите с радиусом , определяется по формуле:

, (8)

где - относительная радиальная скорость.

В начальный момент t₀ = 0, который соответствует эпохе JD₀ (см. табл. 1), полярный радиус r₀ астероида рассчитывается по формуле (5) в зависимости от начального полярного угла (истинной аномалии) j_{_}--.--Начальные радиальная и трансверсальная скорости определяются по формулам (6) в зависимости от r₀.

Декартовые координаты и скорости в плоскости орбиты астероида (ось x_o проходит через перигелий) рассчитывается по формулам:

x_o=r₀·cos j₀; y_o=r₀·sinj₀; (9)

; . (10)

Координаты астероида в гелиоцентрической эклиптической системе координат определяются следующим образом:

x_e = x_o?(cos щ_e·cos - sin щ_e·sin ?cos i_e) - y_o?(sin щ_e·cos + cos щ_e·sin ?cos i_e); (11)

y_e = x_o?(cos щ_e·sin - sin щ_e·cos ?cos i_e) - y_o?(sin щ_e·sin - cos щ_e·cos ?cos i_e); (12)

z_e = x_o sin щ_e·sin i_e + y_o? cos щ_e·sin i_e. (13)

Табл. 2. Массы m_bj планет от Меркурия до Плутона, Луны, Солнца (1 - 11) и астероидов: Апофиса (12а) и 1950 DA (12б), и начальные условия на эпоху JD₀ = 2454800.5 (30.0 ноября 2008 г.) в гелиоцентрической экваториальной системе координат на эпоху 2000.0, JD_S = 2451545. G = 6.67259E-11 м³/(с²·кг).

Тела j	Массы тел в кг, их координаты в м и скорости в м/с
	mbj	xaj, vxaj,	yaj, vyaj	zaj, vzaj
1	3.30187842779737E+23	-17405931955.9539	-60363374194.7243	-30439758390.4783
		37391.7107852059	-7234.98671125365	-7741.83625612424
2	4.86855338156022E+24	108403264168.357	-2376790191.8979	-7929035215.64079
		1566.99276862423	31791.7241663148	14204.3084779893
3	5.97369899544255E+24	55202505242.89	125531983622.895	54422116239.8628
		-28122.5041342966	10123.4145376039	4387.99294255716
4	6.4185444055007E+23	-73610014623.8562	-193252991786.298	-86651102485.4373
		23801.7499674501	-5108.24106287744	-2985.97021694235
5	1.89900429500553E+27	377656482631.376	-609966433011.489	-270644689692.231
		11218.8059775149	6590.8440254003	2551.89467211952
6	5.68604198798257E+26	-1350347198932.98	317157114908.705	189132963561.519
		-3037.18405985381	-8681.05223681593	-3454.56564456648
7	8.68410787490547E+25	2972478173505.71	-397521136876.741	-216133653111.407
		979.784896813787	5886.28982058747	2564.10192504801
8	1.02456980223201E+26	3605461581823.41	-2448747002812.46	-1092050644334.28
		3217.00932811768	4100.99137103454	1598.60907148943
9	1.65085753263927E+22	53511484421.7929	-4502082550790.57	-1421068197167.72
		5543.83894965145	-290.586427181992	-1757.70127979299
10	7.34767263035645E+22	55223150629.6233	125168933272.726	54240546975.7587
		-27156.1163326908	10140.7572420768	4468.97456956941
11	1.98891948976803E+30	0	0	0
		0	0	0
12а	30917984100.3039	-133726467471.667	-60670683449.3631	-26002486763.62
		16908.9331065445	-21759.6060221801	-7660.90393288287
12б	1570796326794.9	314388505090.346	171358408804.935	127272183810.191
		-5995.33838888362	9672.35319009371	6838.06006342785

Компоненты скорости астероида и в этой системе координат рассчитывается по формулам, аналогичным (11) - (13).

Так как уравнения (1) рассматриваются в неподвижной экваториальной системе координат, то эклиптические координаты (11) - (13) преобразуются в экваториальные по формулам:

x_a = x_e; y_a = y_e?cos e₀· - z_e?sin e₀ ; z_a = y_e?sin e₀ + z_e?sin e₀, (14)

где e₀· - наклон между эклиптикой и экватором в эпоху JDs.

Компоненты скорости и в экваториальную систему координат и преобразуются по формулам, аналогичным (14). При известных гелиоцентрических экваториальных координатах x_ai, y_ai, z_ai i = 1,2,… n рассматриваемых n тел Солнечной системы, координата её центра масс, например, вдоль оси x запишется:

, где - масса тел Солнечной системы.

Тогда барицентрические экваториальные координаты x_i астероида и остальных тел определятся по формуле

x_i = x_ai - X_c.

Остальные координаты y_i и z_i и компоненты скорости и в барицентрической экваториальной системе координат рассчитываются по аналогичным формулам.

В этих вычислениях использовано 6 элементов орбиты из табл. 1, а именно: e, a i_e, W,--щ_e и M. Остальные использовались для контроля. Радиусы перигелия R_p и афелия R_a = -R_p/(2a₁+1) сравнивались с q и Q, соответственно. Период обращения рассчитывались по формуле (8) как удвоенное время движения от перигелия до афелия при r = R_a. По этой же формуле рассчитывался при r = r₀ момент прохождения перигелия. Эти два параметра сравнивались с P и t_p из табл. 1, соответственно. Наибольшее относительное отличие по q и Q не превышало 1.9·10^-16, а по P и t_p было не больше 8·10^-9.

Положения и скорости планет и Луны на эпоху JD₀ определены по JPL-теории DE406/LE406 [22-23]. Массы этих тел были модифицированы в [13], а масса астероида рассчитана как для шара с диаметром d = 270 м и плотностью = 3000 кг/м³. Массы всех тел и начальные условия представлены в табл. 2.

Отметим, что весь алгоритм (3)-(14) подготовки начальных условий и их проверки реализован в программе AstCoor2.mcd в среде MathCad.

3. Исследование сближений Апофиса с планетами и Луной

В программе Galactica предусмотрена возможность определения минимального сближения R_min астероида с небесным телом на заданном интервале T. Эти исследования были выполнены интегрированием уравнений (1) с начальными условиями, представленными в табл. 2. Интегрирование выполнялось на суперкомпьютере НКС-160 в ВЦ СО РАН, г. Новосибирск. При этом в программе Galactica использовались расширенная длина числа (34 десятичных знака) и шаг счета dT = 10^-5 года. Исследования были выполнены на трех интервалах времени: 0 ч 100 лет (рис. 1, а), 0 ч -100 лет (рис. 1, б) и 0 ч 1000 лет (рис. 1, в).

На графиках рис. 1 точками, соединенными жирной ломаной линией, представлены минимальные расстояния R_min сближения астероида с телами, которые отмечены точками, объединенные горизонтальной линией. То есть, точка на ломаной линии означает минимальное расстояние, на котором за время T = 1 год астероид прошел у тела, которое отмечено точкой на горизонтальной линии в тот же момент времени. На рис. 1, а видно, что с 30.0 ноября 2008 г. в течении 100 лет будет только одно значительное сближение Апофиса с Землей (т. А) в момент T_A = 0.203693547133403 столетия на расстояние R_minA = 38907 км. Следующее сближение (т. В) будет также с Землей, но в момент T_B = 0.583679164042455 столетия на расстояние R_minB = 622231 км, которое в 16 раз больше расстояния при первом сближении. Из других тел наиболее близкое сближение будет только с Луной (т. D) (см. рис 1, б) в момент T_D = -0.106280550824626 столетия на расстоянии R_minD =3545163 км.

На рассмотренных графиках рис. 1, а и рис. 1, б представлены минимальные сближения астероида с телами на отрезках T = 1 год. При интегрировании уравнений (1) на интервале времени 1000 лет (см. рис. 1, в) рассматривались минимальные сближения астероида с телами на отрезке времени T = 10 лет. На этих отрезках времени сближений с Меркурием и Марсом не проявились, так как на 10-и летних интервалах астероид к другим телам подходит ближе. Также как и на рис. 1, а имеется сближение в момент T_A с Землей. Второе по величине сближение также происходит с Землей в т. Е в момент T_E = 5.778503 столетий на расстоянии R_minE = 74002.9 км. При этом сближении астероид проходит на расстоянии от Земли почти в два раза большем, чем в момент T_A.

С целью проверки результатов, уравнения (1) были проинтегрированы за 100 лет с двойной длиной числа (17 десятичных знаков) с тем же шагом и с расширенной длиной числа с шагом dT = 10^-6 года. Точность интегрирования (см. таблицу 3) определяется [14] относительным изменением M_z, z-проекции момента количества движения всей Солнечной системы за 100 лет. Как видно из таблицы, M_z изменяется от -4.510^-14 до 1.4710^-26, т.е. на 12 порядков. В двух последних колонках табл. 3 приведены разности моментов сближения астероида с Землей в т. А (см. рис. 1, а) и разности расстояний по отношению к решению 1.



Рис. 1. Сближение Апофиса за время T на минимальное расстояние R_min в км с небесными телами: Марс (Ma), Земля (Ea), Луна (Mo), Венера (Ve) и Меркурий (Me); а, б - T = 1 год; в - T = 10 лет. T, cyr - время в юлианских столетиях от эпохи JD₀ (30.0 ноября 2008 г.). Календарные даты сближений в точках: A - 13 апреля 2029 г.; B - 13 апреля 2067 г.; C - 5 сентября 2037 г.; E - 10 октября 2586 г.

В решении 2, с малой длиной числа, момент сближения не изменяется, а минимальное расстояние уменьшилось на 2.7 м. В решении 3, с уменьшенным в 10 раз шагом интегрирования, произошло изменение момента сближения на -210^-6 года = -1.052 минуты. Так как это изменение меньше шага dT =110^-5 решения 1 и равно двум шагам решения 3, то оно является уточнением момента сближения. В этом случае также уточнено расстояние сближения на -1.487 км. По уточненным расчетам сближение Апофиса с Землёй происходит в 21 час 44 мин 45 сек на расстояние 38905 км. Следует отметить, что графически представленные результаты на рис.1, а для решений 1 и 3 совпадают полностью. Небольшие отличия решения 2 от решений 1 и 3 имеются при Т > 0.87 столетий. Так как все исследования были выполнены с параметрами решения 1, то из вышеприведенного анализа следует, что представленные далее результаты достоверны по времени с точностью до 1', а по расстоянию - до 1.5 км.

При интегрировании на интервале 1000 лет относительное изменение момента количества дM_z = 1.45·10^-20. Как видно из решения 1 табл. 3 эта величина превышает величину дM_z при интегрировании на интервале 100 лет в 10 раз, т.е. погрешность при расширенной длине числа пропорциональна времени. Это позволяет оценить погрешность второго сближения Апофиса с Землей в T_E = 578 году по результатам расчетов на интервале 100 лет решения с шагами dT = 1·10^-5 года и 1·10^-6 года. Через 88 лет после начала интегрирования относительная разница расстояний между Апофисом и Землей составила дR₈₈ = 1·10^-4, что приводит к погрешности в расстоянии 48.7 км в T_E = 578 году.

Таблица 3. Сравнение результатов сближения астероида Апофис с Землей при разных точностях интегрирования: L_nb - длина числа в десятичных знаках

№ решения	Lnb	dT, год	Mz	TAi-TA1, год	RminAi-RminA1, км
1	34	110-5	1.4710-21	0	0
2	17	110-5	-4.510-14	0	-2.710-3
3	34	110-6	1.4710-26	-210-6	-1.487

Итак, за тысячелетний интервал времени астероид Апофис существенно сблизится только с Землей. Это произойдет в момент T_A от эпохи JD₀. Моменту сближения соответствует юлианский день JD_A = 2462240.406075 и календарная дата 13 апреля 2029 г. в 21 час 45' времени по Гринвичу. Астероид пройдет на расстоянии 38905 км от центра Земли, т.е. на расстоянии 6.1 радиуса Земли. Следующее сближение Апофиса с Землей произойдет через 578 лет от эпохи JD₀, при котором астероид пройдет на расстоянии почти в два раза большем от Земли, нежели при первом сближении.

Рассчитанный момент сближения Апофиса с Землей 13 апреля 2029 г. совпадает с моментами, полученными в других работах. Например, в последней работе [1] он приводится с точностью до минуты: 21 час 45' UTC. А геоцентрическое расстояние прохождения дано в диапазоне от 5.62 до 6.3 радиуса Земли, т.е. полученное нами расстояние в 6.1 радиуса Земли находится в этом диапазоне. Совпадение результатов расчетов, выполненных различными методами, с одной стороны, свидетельствует о достоверности этого события.

Что же касается сближения Апофиса с Землей в 2036 году, то, как видно из рис. 1, а, его не будет. Близкое по времени в т. С приближение Апофиса на расстояние 7.26 млн. км произойдет с Луной 5 сентября 2037 года.

4. Эволюция орбиты Апофиса

При интегрировании уравнений движения (1) на интервале -1 столетие ? T ? 1 столетие координаты и скорости тел через каждый год записывались в файл, т.е. всего 200 файлов на этом интервале времени. Затем по данным в каждом файле уравнения (1) снова интегрировались за интервал времени, равный периоду обращения Апофиса, а координаты и скорости астероида и Солнца сохранялись в новом файле. По этим данным с помощью программы DefTra определялись параметры орбиты Апофиса относительно Солнца в экваториальной системе координат. Такие вычисления выполнялись для каждого из 200 файлов. Они проводятся в автоматизированном режиме под управлением программы PaOrb. После этого угловые параметры орбиты были пересчитаны в эклиптическую систему координат (см. рис. 2).

Как видно из рис. 2, эксцентриситет е орбиты Апофиса изменяется неравномерно. Имеются скачки или разрывы эксцентриситета. Один из значительных разрывов наблюдается в момент T_A, когда Апофис сближается с Землей на самое малое расстояние. Второй существенный скачок эксцентриситета происходит при сближении с Землей в момент T_B.

Долгота восходящего узла менее подвержена разрывам и, как видно из рис. 2, практически монотонно уменьшается. Остальные элементы орбиты i_e, щ_e, a и P имеют значительные разрывы в момент (T_A) самого близкого прохождения Апофиса у Земли.

Рис. 2. Эволюция параметров орбиты Апофиса под воздействием планет, Луны и Солнца на интервале -100 лет ч +100 лет от эпохи 30.0 ноября 2008 г.: 1 - по результатам интегрировании уравнений движения (1); 2 - начальные значения согласно табл. 1. Угловые величины: , i_e, щ_e - даны в градусах, большая полуось a - в а.е., а период обращения P - в днях.

На графиках рис. 2 штриховой линией нанесены значения элементов орбиты в начальный момент времени, которые представлены в табл. 1. Как видно из графиков, они совпадают с элементами орбиты, полученными в результате интегрирования уравнений (1), в момент T=0: относительное отличие параметров e, , i_e, щ_e, a и P от начальных значений (в табл. 1) равно: 9.410^-6, -1.110^-6, 3.710^-6, -8.510^-6, 1.710^-5 и 3.110^-5, соответственно. Это совпадение свидетельствует о достоверности выполненных вычислений на всех этапах: определение начальных условий, интегрирование уравнений, определение параметров орбит и преобразования между различными системами координат.

Кроме используемых нами неупрощенных дифференциальных уравнений (1) движения небесных тел используются, как упоминалось во Введении, также другие уравнения. В уравнениях возмущенного движения, как известно [20], могут использоваться элементы орбиты. Поэтому такие уравнения будут давать существенные погрешности в представленных на рис. 2 случаях разрывов параметров орбиты. Существуют также другие методы решения дифференциальных уравнений, в том числе с разложением в ряды по элементам орбиты, или с использованием разделенных разностей. Как уже отмечалось во Введении, они чувствительны к различным резонансным явлениям и резким изменениям орбиты при сближении тел. Интегрируемые нами уравнения (1) и использованный метод (2) не имеют отмеченных недостатков. Это дает основания полагать, что полученные в настоящей работе результаты не претерпят существенных изменений в дальнейшем.

5. Влияние начальных условий

С целью проверки влияния начальных условий (НУ) на траекторию Апофиса уравнения (1) были проинтегрированы на интервале 100 лет еще с двумя вариантами начальных условий. Второй вариант НУ задан на 04.0 января 2010 г. (см. табл. 1). Они взяты из базы малых планет [18] и соответствуют решению с номером JPL sol. 144, полученном Steven R.Chesley 23 октября 2009 г. На рис. 3 представлены результаты двух решений с различными НУ. Линией 1 показано изменение во времени расстояния R между Апофисом и Землей за 100 лет при первом варианте НУ. Как видно из графика, расстояние R изменяется колебательно, при этом можно выделить два периода: короткий период T_R1 = 0.87 года и долгий период T_R2. Амплитуда короткого периода R_a1 = 29.3 млн. км, а долгого - R_a2 = 117.6 млн. км. Величина долгого периода до T ~ 70 лет равна T_R20 = 7.8 лет, а далее немного увеличивается. После сближения 13 апреля 2029 г. (т. A на рис. 3) немного увеличивается амплитуда вторых колебаний. Как короткие, так и долгие колебания не являются регулярными, поэтому выше приведены их средние характеристики.

Отметим также второе по минимальному расстоянию сближения Апофиса с Землей на интервале 100 лет. Оно происходит в момент T_F1 = 58.37 г (точка F₁ на рис. 3) на расстояние R_F1 = 622 тыс. км. В дату 13 апреля 2036 г. (т. H на рис. 3) Апофис проходит у Земли на расстоянии R_H1 = 86 млн. км. Вышеотмеченные характеристики решения представлены в табл. 4.

Рис 3. Эволюция расстояния R между Апофисом и Землей за 100 лет. Влияние начальных условий (НУ): 1 - НУ от 30.0 ноября 2008 г.; 2 - НУ от 04.0 января 2010 г. Календарные даты сближений в точках: A - 13 апреля 2029 г.; F₁ - 13 апреля 2067 г.; F₂ - 14 апреля 2080 г.

Линией 2 представлено решение со вторым вариантом НУ при шаге интегрирования dT = 1·10^-5 года. Момент сближения совпал с точностью до 1 мин, а расстояние сближения со вторыми НУ стало R_A2 = 37886 км, т.е. уменьшилось на 1021 км. Для уточнения этих параметров уравнения (1) вблизи точки сближения были проинтегрированы с шагом dT = 1·10^-6 года. По уточненным расчетам Апофис сближается с Землей в 21 час 44 мин 53 сек на расстояние R_A2 = 37880 км. Как видно из табл. 4, этот момент сближения отличается от момента сближения при первых НУ на 8 сек. Так как при шаге dT = 1·10^-6 года точность определения времени составляет 16 сек, то отсюда следует, что моменты сближения в пределах точности их вычисления совпадают.

Короткие и долгие колебания при двух вариантах НУ также совпали до момента сближения. После сближения в т. A период долгих колебаний уменьшился до T_R22 =7.15 года, т.е. стал меньше, чем период T_R20 при первом варианте НУ. Второе сближение на интервале 100 лет происходит в момент T_F2 = 70.28 лет на расстоянии R_F2 =1.663 млн. км. В 2036 г (т. H) Апофис проходит на расстоянии R_H2 = 43.8 млн. км.

При втором варианте начальных условий на 04.0 января 2010 г. по сравнении с первым вариантом изменяются НУ как Апофиса, так и воздействующих тел. Чтобы выявить влияние погрешностей НУ только Апофиса, третий вариант НУ задан (см. табл. 1), как и первый, на 30.0 ноября 2008 г., но НУ Апофиса вычислены в системе Horizons согласно решению с номером JPL sol. 144. Как следует из табл. 1, из шести элементов орбиты e, a, i_e, , щ_e и M отличия трех: i_e, и щ_e от аналогичных элементов первого варианта НУ составляют 2.9, 1.6 и 1.5 соответствующих неопределенностей . Отличие остальных элементов не превышает их неопределенностей.

При третьем варианте НУ при шаге интегрирования dT = 1·10^-5 года момент сближения совпал с таковым при первом варианте НУ. Расстояние сближения стало R_A3 = 38814 км, т.е. уменьшилось на 93 км. Для уточнения этих параметров уравнения (1) вблизи точки сближения были также проинтегрированы с шагом dT = 1·10^-6 года. По уточненным расчетам при третьем варианте НУ Апофис сближается с Землей в 21 час 44 мин 45 сек на расстояние R_A3 = 38813 км. Эти и остальные характеристики решения представлены в табл. 4. По сравнению с первым вариантом НУ видно, что немного изменяется расстояние сближения в 2036 г. и параметры второго сближения в т. F₁. Однако отличия результатов первого варианта с третьим значительно меньшие, чем первого со вторым.

Таблица 4. Влияние начальных условий на результаты интегрирования уравнений (1) программой Galactica и уравнений движения Апофиса системой Horizons: Time_A и R_minA - момент времени и расстояние сближения Апофиса с Землей 13 апреля 2029 г., соответственно; R_H - расстояние прохождения Апофиса у Земли 13 апреля 2036 г.; T_F и R_F - время и расстояние второго сближения (т. F на рис. 3).

Параметры	Решения при разных вариантах начальных условий
	Galactica	Horizons
	1	2	3	1	2	3
	30.11.2008 JPL sol.140	04.01.2010 JPL sol.144	30.11.2008 JPL sol.144	18.07.2006 JPL sol.144	30.11.2008 JPL sol.140	04.01.2010 JPL sol.144
TimeA	21:44:45	21:44:53	21:44:45	21:46:47	21:45:47	21:44:45
RminA, км	38905	37880	38813	38068	38161	38068
RH, млн. км	86.0	43.8	81.9	51.9	55.9	51.8
TF, .юл. ст. от 30.11.08	0.5837	0.7138	0.6537	0.4237	0.9437	0.4238
RF, тыс. км	622	1663	585	1515	684	1541

Во втором варианте изменение положений и скоростей воздействующих тел с 30 ноября 2008 г. по 04.01.2010 г. рассчитано по DE406, а в третьем варианте - по программе Galactica. НУ для Апофиса в двух вариантах определены согласно одного и того решения JPL sol. 144. Как видно из табл. 4, момент сближения в этих решениях отличается на 8 сек, а расстояние сближения на 933 км. Также в большей степени отличаются другие результаты третьего решения со вторым, по сравнению третьего решения с первым. Это свидетельствует, что отличия НУ для Апофиса менее существенны по сравнению с отличиями результатов расчетов по двум программам: Galacticaи DE406 ( или Horizons).

Такие же исследования по влиянию начальных условий мы провели с интегратором NASA. В системе Horizons (the JPL Horizons On-Line Ephemeris System, руководство смотри на сайте http://ssd.jpl.nasa.gov/?horizons_doc) предоставлена возможность вычислять движение астероида по той же стандартной динамической модели (SDM), по которой выполнены расчеты в работе [1]. Кроме рассмотренных двух НУ мы использовали еще одни НУ на дату 12 июля 2006 г. Характеристики и основные результаты всех решений представлены в табл. 4. Время сближения 13 апреля 2029 г. изменяется в пределах 2-х минут, а расстояние находится вблизи 38000 км. Расстояние сближения 13 апреля 2036 г. колеблется от 52 до 56 млн. км. Характеристики второго за 100 лет сближения изменяются примерно в тех же пределах, что и для решений по программе “Galactica”. Отмеченные выше другие закономерности о влиянии НУ также повторились и для интегратора NASA.

Итак, расчеты при разных начальных условиях показали, что Апофис в 2029 г. сблизится с Землей на расстояние 38ч39 тыс. км, и в ближайшие 100 лет он еще раз пройдет у Земли на расстоянии не ближе 600 тыс. км.

6. Исследование траектории Апофиса при сближении с Землёй

С этой целью уравнения (1) были проинтегрированы на промежутке два года с момента T₁ = 0.19 столетия, и значение координат и скорости Земли и Апофиса через каждые 50 шагов интегрирования записаны в файл. В этот двухгодичный период входит момент T_A наиболее близкого прохождения Апофиса у Земли. На рис. 4 эллипсом E₀E₁ представлена проекция на экваториальную плоскость xOy траектория Земли за два года. По ней, начиная от точки E₀, Земля совершит два оборота. Траектория Апофиса в этих же координатах за два года отмечена точками с буквами Ap. Апофис, начиная с точки Ap₀, проходит путь Ap₀Ap₁Ap_eAp₂Ap₀Ap₁ и в точке Ap_e в момент T_A сближается с Землей. После сближения он движется уже по другой орбите, а именно Ap_eAp₃Ap_f.

На рис. 5, а показана траектория Апофиса относительно Земли. Относительные координаты определяются, как разности координат Апофиса (Ap) и Земли (E):

y_r = y_Ap - y_E; x_r = x_Ap - x_E. (15)

По траектории 1, начиная от точки Ap₀, Апофис движется до точки Ap_e сближения с Землей, а заканчивается его траектория в т. Ap_f. Петли на траектории Апофиса представляют его возвратные движения относительно Земли. Такие петли совершают все планеты [21] при изображении их орбит относительно Земли.

Рис. 4. Траектории Апофиса (Ap) и Земли (E) в барицентрической экваториальной системе координат xOy за 2 года: Ap₀ и E₀ - начальные точки Апофиса и Земли; Ap_f - конечная точка траектории Апофиса; Ap_e -точка сближения Апофиса с Землей; координаты x и y дана в а.е.

Рис. 5. Траектория Апофиса (1) в геоцентрической экваториальной системе координат x_rOy_r: а - в обычном масштабе, б - в увеличенном масштабе на момент сближения Апофиса с Землей (2); 3 - положение Апофиса в момент сближения его с Землей после коррекции его траектории с коэффициентом k = 0.9992 в т. Ap₁ на рис. 4; координаты x_r и y_r дана в а.е.

В точке сближения Ap_e с Землей траектория Апофиса претерпевает излом. Этот излом на рис. 5, б показан в крупном масштабе. В начале координат (т. 2) находится Земля. Солнце (см. рис. 4) находится вблизи барицентра O, т.е. в верхнем правом квадранте относительно точки сближения Ap_e. Поэтому Апофис (см. рис. 5, б) в точке сближения проходит между Землей и Солнцем. Как будет показано ниже, это обстоятельство создает определенные трудности по использованию астероида.

7. Возможные использования астероида Апофис

Итак, 13 апреля 2029 г. будет происходить уникальное явление: на расстоянии 6 земных радиусов от центра Земли пройдет тело массой 31 млн. т. В следующие 1000 лет таких сближений Апофиса с Землей не будет.

Многие пионеры космонавтики, например, К.Э. Циолковский, Ю.А. Кондратюк, Дендридж Коул и др. освоение космического пространства вблизи Земли представляли с помощью больших обитаемых орбитальных станций. Однако, доставить с Земли такие большие массы представляет серьёзную техническую и экологическую проблему. Поэтому благодаря счастливому случаю, возникающая возможность превратить астероид Апофис в спутник Земли, а затем в обитаемую станцию, представляет значительный интерес.

...