Эволюция движения астероидов Апофис и 1950 DA за 1000 лет и возможное их использование

Среди возможных различных применений спутника отметим два. Первое - это создание с его помощью космического лифта. Как известно, космический лифт состоит из каната, одним концом прикрепленному к точке на экваторе Земли, а другим - к массивному телу, которое обращается в плоскости экватора с периодам суточного вращения P_d = 24·3600 сек. Радиус такой геостационарной орбиты спутника равен:

= 42241 км = 6.62 R_Ee (16)

Для обеспечения натяжения каната расстояние массивного тела от центра Земли должно быть большим радиуса геостационарной орбиты R_gs. По этому канату, или по нескольким, могут быть выведены в космическое пространство различные грузы, а другие грузы могут быть приняты на Землю из космоса.

Если превратить астероид Апофис в спутник, а затем повернуть эту орбиту в плоскость экватора, то такой спутник может быть использован для создания космического лифта.

Второе применение астероида может быть в качестве “челнока” по доставке грузов на Луну. В этом случае астероид должен иметь вытянутую орбиту с радиусом перигея близким к радиусу геостационарной орбиты, а радиусом апогея, приближающимся к радиусу перигея Лунной орбиты. В этом случае грузы с геостационарной орбиты в перигее перекладывались бы на Апофис-спутник, а затем в апогее эти грузы могли доставляться на Луну.

Представленные две схемы использования астероида потребуют преодоления многих сложных проблем, которые сейчас могут показаться даже неразрешимыми. Но, безусловно, понятно, что этих проблем действительно не решить, если астероид не превратить в спутник Земли. Поэтому рассмотрим, какие здесь имеются возможности.

Скорость астероида относительно Земли в точке сближения Ap_e равна =7.39 км/c. Скорость спутника Земли на расстоянии R_minA на круговой орбите

км/c (17)

Чтобы превратить астероид в спутник необходимо его скорость приблизить к . Было выполнено интегрирование уравнений (1) при скорости Апофиса в момент T_A уменьшенной в 1.9 раза, т.е. скорость =7.39 км/с уменьшается до 3.89 км/c. В этом случае Апофис превращается в спутник Земли со следующими параметрами орбиты: эксцентриситет e_s1 = 0.476; угол наклона к плоскости экватора i_s1 = 39.2°; большая полуось a_s1 = 74540 км и сидерический период обращения вокруг Земли P_s1 = 2.344 дня.

Мы исследовали эволюцию движения этого спутника на протяжении 100 лет. Несмотря на более существенное колебания элементов его орбиты по сравнению с колебаниями элементов орбит планет, большая полуось и период обращения этого спутника находится вблизи указанных значений. Их относительные изменения не превышают значений: |a| < ±2.75·10^-4 и |P| < ±4.46·10^-4. Однако обращение спутника происходит против вращения Земли и против орбитального вращения Луны. Поэтому использование такого спутника в рассмотренных двух случаях оказывается невозможным.

Итак, обращение спутника должно иметь такое же направление, как и вращение Земли. Если Апофис (см. рис. 5, б) будет огибать Землю не с дневной стороны, как показано линией 1, а с ночной (см. т. 3), тогда при уменьшении его скорости он превратится в спутник, который будет обращаться в необходимом направлении.

С этой целью были проинтегрированы уравнения (1) при вариации скорости астероида в т. Аp₁ на рис. 4. В этой точке орбиты, расположенной примерно на половине оборота от точки Ap_e сближения с Землей, Апофис находится в момент T_Ap1=0.149263369488169 столетия. В т. Аp₁ проекции скорости Апофиса в барицентрической экваториальной системе координат равны: = -25.6136689 км/с; = 17.75185451 км/c ;= 5.95159206 км/c. В этих численных экспериментах компоненты скорости пропорционально изменялись в одинаковые число раз, т.е. они умножались на коэффициент k, а затем уравнения (1) интегрировались, и определялась траектория астероида. На рис. 6 показана зависимость минимального приближения Апофиса к центру Земли в зависимости от множителя k уменьшения его скорости в т. Аp₁.

В результате было установлено, что при уменьшении коэффициента k (см. рис. 6) астероид начинает ближе подходить к Земле и при множителе k = 0.9999564 Апофис сталкивается с Землей. При дальнейшем уменьшении скорости астероида он сближается с Землей на противоположной от Солнца стороне и при k = 0.9992 астероид проходит (см. т. 3 на рис. 5, б) на расстоянии R_min3 = 39157 км от центра Земли в момент T₃ = 0.2036882 столетия. Расстояние R_min3 практически такое же, как и расстояние R_minA при прохождении астероида между Землей и Солнцем.

Рис. 6. Зависимость минимального расстояния R_min прохождения Апофиса от центра Земли от коэффициента коррекции k его скорости в т. A_p1 на рис. 4. Положительные значения R_min соответствуют дневной стороне: R_min - в км; 1 - минимальное расстояние прохождения Апофиса от центра Земли 13 апреля 2029 г. (дневная сторона); 2 - минимальное расстояние прохождения Апофиса от центра Земли после коррекции орбиты (ночная сторона); 3 - радиус геостационарной орбиты R_gs.

В этом случае скорость Астероида относительно Земли также =7.39 км/c. При уменьшении её также в 1.9 раза, т.е. до 3.89 км/c Апофис превращается в спутник Земли со следующими параметрами орбиты: эксцентриситет e_s2 = 0.486; угол наклона плоскости экватора i_s2 = 36°; большая полуось a_s2 = 76480 км и сидерический период P_s2 = 2.436 дня. Мы также исследовали эволюцию движения этого спутника на протяжении 100 лет. Орбита спутника также устойчива, и он обращается в том же направлении, что и Луна.

Итак, для превращения траектории Апофиса в орбиту спутника с необходимым направлением его обращения необходимо выполнить два замедления его скорости. Первое осуществляется до сближения Апофиса с Землей, например в т. Ap₁ (рис. 4) за 0.443 года до сближения Апофиса с Землей. При этом скорость Апофиса необходимо уменьшать на 2.54 м/c. Второе торможение астероида необходимо реализовывать в момент сближения с Землей. В рассматриваемом нами примере его эллиптической орбиты скорость необходимо уменьшить на 3.5 км/с.

Уменьшение скорости тела массой 30 млн. тон на 3.5 км/c в настоящее время представляет серьёзную научно-техническую проблему. Например, в работе [4] сообщение Апофису скорости порядка 10^-6 м/с полагается возможным имеющимися техническими средствами. А увеличение скорости на единицы см/с авторы [4] уже считают как сложную научно-техническую задачу. Но впереди 20 лет. И нам известно, что после окончания Второй мировой войны, практически за 10 лет, была решена значительно более серьезная проблема: это создание первого искусственного спутника Земли, а затем и пилотируемых космических аппаратов. Поэтому не вызывает сомнения, что при постановке обществом такой цели, она будет успешно реализована.

Представленные на рис. 6 результаты позволяют определить, какое изменение скорости в т. Ap₁ на рис. 5 потребуется, чтобы отклонить Апофис на расстояние, равное радиусу Земли. По графику на рис. 6 множители k при R_min = 0 и R_min = R_Ee получаем k₀ = 0.99996366 и k_R = 0.99996998, соответственно. Тогда изменение скорости = (k_R - k₀)· = 0.202 м/сек. Итак, в случае угрозы столкновения Апофиса с Землей её можно предотвратить, изменив за полгода до столкновения его скорость на величину порядка 20 см/сек.

Следует отметить, что в работе [1] авторы рассматривают возможность изменения орбиты Апофиса для столкновения его с астероидом (144898) 2004 VD17. Существует малая вероятность столкновения второго астероида с Землей в 2102 г. Однако вопросы необходимой точности координации движения сразу обоих астероидов вызывают сомнения у авторов относительно реальности решения этой проблемы. Этот пример и др. показывают, что многие исследователи приходят к выводу о необходимости существенных воздействий на астероид, для решения разнообразных космических задач.

8. Исследование сближений астероида 1950 DA с Землей

Расстояние сближения астероида 1950 DA с телами показаны на рис. 7 в зависимости от времени. Из рис. 7,а видно, что с 30.0 ноября 2008 г. в течение 100 лет наиболее близко астероид пройдет у Луны: в т. А в момент T_A=0.232532 cyr и R_min=11.09 млн. км, а также в т. B в момент T_B=0.962689 cyr и R_min= 5.42 млн. км. На рис. 7,б показано сближение астероида с телами за 100 прошедших лет. В точках C и D он наиболее близко проходил у Земли: в т. C в момент T_C = -0.077395 cyr и R_min=7.79 млн. км, а также в т. D в момент T_D=-0.58716 cyr и R_min=8.87 млн. км.

Рис. 7. Сближение астероида 1950 DA за время ?T на минимальное расстояние R_min в км с небесными телами: а, б - ?T=1 год; в - ?T = 10 лет. Календарные даты сближений см. табл. 5, остальные обозначения см. на рис. 1.

На интервале времени 1000 лет (см. рис. 7,в) представлены минимальные сближения астероида с телами на отрезках ?T=10 лет. Наиболее близко астероид 1950 DA подходит к Земле: в т. E в момент T_E = 6.322500 cyr и R_min=2.254 млн. км, а также в т. F в момент T_F = 9.532484 cyr и R_min=2.248 млн. км.

Итак, за тысячелетний интервал времени астероид 1950 DA ближе всего подойдет к Земле в два момента времени T_E и T_F практически на одно и то же расстояние 2.25 млн. км. Моменту T_E соответствует дата 6 марта 2641 года, а моменту T_F - 7 марта 2962 года.

В работе [24] Giorgini et al. расчет проводился для номинальной траектории по данным для более ранних элементов орбиты астероида 1950 DA, а именно на эпоху 10.0 март 2001 г. (решение JPL sol. 37). Кроме того, задавались вариации начальных условий для астероида, которые в три раза превышали неопределенность элементов его орбиты. При крайних значения начальных условий, столкновения были в 33 случаях. В связи с этим Giorgini et al [24] назвали свою работу: «Столкновения астероида 1950 DA с Землей в 2880 г.».

Наши расчеты выполнены по элементам орбиты астероида на эпоху 30.0 ноября 2008 г. (решение JPL sol. 51) (см. табл. 1). По системе Horizons решение JPL sol. 37 можно продлить до 30.0 ноября 2008 г. В этом случае видно, что отличие орбитальных элементов решения 37 от решения 51 на два-три порядка меньше, чем неопределённости элементов орбиты, т. е. практически орбитальные элементы совпадают.

Чтобы посмотреть, как разные методы расчета повлияли на движение астероида 1950 DA, в табл. 5 сопоставлены моменты сближения на рис. 7 с близкими по времени сближениями в работе [24]. Из табл. 5 видно, чем ближе моменты времени (см. т. C и т. A) ко времени начала расчета (2008-11-30), тем лучше совпадают даты сближения и расстояния R_min. Для более дальних моментов (см. т. D и т. B) моменты сближения уже отличаются на 1 день. A в точке E, отдаленной на 680 лет от времени начала расчета, моменты сближения уже отличаются на 8 дней, в то время как расстояния сближения мало отличаются. А в самой далекой т. F по нашим расчетам астероид подходит к Земле в 2962 г. на расстояние 0,015 a.e. в то время как по расчетам авторов работы [24] он пройдет у Земли в 2880 г. на более близком расстоянии.

Табл. 5. Сравнение результатов расчетов сближения, астероида 1950 DA: наши расчеты обозначены буквами A, B, C, D, E, F из рис. 7; Giorg. - расчеты Giorgini et al [24].

Итак, по нашим расчетам астероид 1950 DA к Земле близко не подходит. Следует отметить, что наш метод расчета движения астероида отличается от метода в работе [24]. Мы решаем неупрощенные уравнения [1] высокоточным численным методом. При этом учитывается только ньютоновское гравитационное взаимодействие. В работе [24] кроме этого взаимодействия, учитываются дополнительные слабые воздействия на астероид. Однако, положение небесных тел, воздействующих на астероид, рассчитываются из эфемерид серии DE. Эти эфемериды аппроксимируют данные наблюдений, поэтому на интервале наблюдений они хорошо их описывают. Однако, чем дальше находится момент времени от интервала наблюдений, тем хуже предсказание движения небесных тел. Поэтому представленные в табл. 5 отличие расчетов [24] от наших через 600 и 900 лет (т. E и т. F в табл. 5), на наш взгляд, объясняется этими обстоятельствами.

9. Эволюция орбиты астероида 1950 DA

На рис. 8 представлена эволюция элементов орбиты астероида 1950 DA на интервале 1000 лет с промежутком между точками ?T=10 лет. Эксцентриситет орбиты e немонотонно растет со временем. Углы долготы восходящего узла , наклона орбиты к плоскости эклиптики i_e и аргумента перигелия щ_e изменяются более монотонно. Полуось a и период обращения P колеблются вокруг некоторого значения. В моменты сближения астероида с Землей T_E и T_F полуось a и период P, как видно из графиков рис. 8 претерпевают скачки. В более слабом виде скачки в отмеченные моменты времени испытывают и остальные элементы орбиты.

На графиках рис. 8 штриховой линей нанесены значения элементов орбиты в начальный момент времени, которые представлены в табл. 1. Как видно из графиков они совпадают с элементами орбиты, полученными в результате интегрирования уравнений (1), в момент T=0. Относительное отличие параметров e, , i_e, щ_e, a и P от начальных значений (в табл. 1) равно: -3.1·10^-4; -1.6·10^-5; -6.2·10^-5; -1.5·10^-5; -1.5·10^-5; -1.0·10^-4; -3.0·10^-4, соответственно. Такое совпадение свидетельствует о достоверности выполненных вычислений на всех этапах: определение начальных условий, интегрирование уравнений, определение параметров орбиты и преобразование между различными системами координат.

Следует отметить, что относительное отличие этих же элементов для Апофиса на порядок меньше. Причина заключается в следующем. По результатам интегрирования уравнений (1) мы определяем элементы орбиты в момент времени равный полупериоду обращения. Поэтому на этот отрезок времени наши элементы отстоят от времени определения начальных условий. Так как период обращения Апофиса меньше периода обращения астероида 1950 DA, то время определения элементов Апофиса находится ближе ко времени начальных условий на 0.66 года, нежели аналогичное время для астероида 1950 DA.

Рис. 8. Эволюция параметров орбиты астероида 1950 DA под воздействием планет, Луны и Солнца на интервале 0ч1000 лет от эпохи 30.0 ноября 2008 г: 1- по результатам интегрирования уравнений движения (1) (с интервалом между точками ?T =10 лет): 2 - начальные значения согласно табл. 1. Угловые величины: , i_e,_e - даны в градусах, большая полуось a - в а.е., а период обращения P - в днях.

10. Исследование траектории астероида 1950 DA при сближении с Землей

Так как расстояние сближения в моменты времени T_E и T_F мало отличаются, то рассмотрим траектории астероида и Земли в ближайшее время T_E, т.е. 6 марта 2641 года. На рис. 9 эллипсом E₀E_f представлена проекция на экваториальную плоскость xOy траектория Земли за 2.5 года. По ней, начиная от т. E₀ Земля совершает 2.5 оборота. Траектория астероида 1950 DA начинается в точке A₀. В точке A_e он сближается с Землей в 2641 г. на расстояние 0.01507 a.e. После сближения траектория астероида практически не изменилась. Затем траектория астероида проходит через точки перигелия A_p и афелия A_a, и в т. A_f она заканчивается.

На рис. 10,а показана траектория астероида относительно Земли. Относительные координаты x_r и y_r определяются по формуле аналогичной (15). Астероид 1950 DA, начиная от т. A₀ движется до точки A_e сближения с Землей, и заканчивается его траектория в т. A_f. Петля на траектории астероида представляет его возвратное движение относительно Земли.

Рис. 9. Траектории Земли (1) и астероида 1950 DA (2) в барицентрической экваториальной системе координат xOy за 2.5 года в эпоху сближения 6 марта 2641 г. (т. A_e): A₀ и E₀ - начальные точки траекторий астероида и Земли; A_f и E_f - конечные точки их траекторий; 3 - орбита астероида 1950 DA после коррекции в т. A_a показана условно; координата x и y даны в a.e.

Рис. 10. Траектория астероида 1950 DA геоцентрической экваториальной системе координат x_rOy_r: a - в обычном масштабе; б - в увеличенном масштабе на момент сближения астероида с Землей: в т. О находится Земля, а в т. A_e - астероид в момент сближения с Землей; координаты x_r и y_r дана в а.е.

В более крупном масштабе сближение астероида показано на рис. 10,б. Солнце находится в верхнем правом квадранте. Скорость астероида относительно Земли в точке сближения A_e равняется v_AE=14.3 км/c.

11. Превращение траектории астероида 1950 DA в орбиту спутника

Если затормозить астероид в т. A_e (см рис 9,б), то он может превратиться в спутник с тем же направлением обращения, что и Луна. В этой точке E (см. табл. 5) расстояние астероида до центра Земли R_minE = 2.25 млн. км, а его масса m_A = 1.57 млрд. т. Согласно (17) скорость спутника на расстоянии на R_minE на круговой орбите v_cE=0.421 км/с. Чтобы превратить астероид в спутник, необходимо приблизить его скорость к величине v_cE, т.е., по существу, нужно уменьшить скорость астероида на ?V?13.9 км/с. В этом случае потребуется уменьшить количество движения астероида на m_a?V=2.18·10¹⁶ кг·м/c; в то время как в случае Апофиса - на m_a·?V=1.08·10¹⁴ кг·м/c, т.е. в 200 раз больше. Кроме того спутник с радиусом орбиты в 2.25 млн. км, возможно, не найдет широкого применения. В связи с этим рассмотрим другой способ превращения траектории астероида в орбиту спутника. Увеличим скорость астероида в афелии его орбиты (т. A_a на рис. 9) так, чтобы в перигелии своей орбиты астероид обогнул орбиту Земли и прошел снаружи её орбиты на расстоянии R₁. Для упрощения вычислений принимаем орбиту Земли круговой с радиусом равным полуоси орбиты Земли a_E = 1 a.e. Таким образом, в скорректированной орбите астероида радиус перигелия будет

R_pc = a_E+R₁. (18)

В перигелии скорректированной орбиты уменьшим скорость астероида до такой величины, чтобы он стал спутником Земли. Чтобы убедиться в эффективности этого способа, выполним необходимые вычисления на основании модели взаимодействия двух тел: астероида и Солнца [16], [21]. Запишем выражение для параметра траектории в разных видах

, (19)

где

m₁--=---G (m_S+m_As) - (20)

- параметр взаимодействия Солнца и астероида;

m_S и m_As - массы Солнца и астероида;

a₁--= -0.6625 - параметр траектории астероида 1950 DA.

Тогда из (19) для скорректированной орбиты астероида с параметрами R_pc и v_ac можем записать

. (21)

Из (21) получаем скорректированную скорость астероида в афелии

. (22)

Выразив из (19) m₁ через a₁ и v_a, после подстановки в (22) получаем скорректированную скорость в афелии

. (23)

Из второго закона Кеплера R_a·v_ac=R_pc·v_pc находим скорость в перигелии скорректированной орбиты

. (24)

В качестве числового примера рассмотрим преобразование астероида 1950 DA в спутник с радиусом перигея равному радиусу геостационарной орбиты R₁=R_gs=42241 км. Скорость астероида в афелии до коррекции v_a=13.001 км/с, а рассчитанная согласно (23) скорость после коррекции составляет v_ac=13.912 км/с. Таким образом, чтобы астероид обогнул земную орбиту необходимо в т. A_a на рис. 9 увеличить его скорость на 0.911 км/c. Скорректированная орбита показано условно линией 3 на рис. 9.

Согласно (24) скорость астероида в перигелии скорректированной орбиты v_pc=35.622 км/c. По формуле (7) для круговой орбиты Земли при ?_?=-1; R_p=a_E, и вместо массы астероида m_AS используем массу Земли m_E, получаем орбитальную скорость Земли v_oE=29.785 км/c. Скорость спутника на геостационарной орбите согласно (17) v_gs=3.072 км/c. Так эти скорости складываются, то для превращения траектории астероида в орбиту спутника необходимо скорость астероида уменьшить до величины v_oE+v_cE=32.857 км/c. Таким образом, астероид 1950 DA превратится в спутник на геостационарной орбите, если в перигелии скорректированной орбиты его скорость уменьшить на величину v_pc-(v_oE+v_cE)=2.765 км/c.

Мы выполнили расчеты для эпохи 2641 г. Однако они справедливы для любой эпохи. Важно только подобрать момент коррекции орбиты астероида 1950 DA так, чтобы в перигелии скорректированной орбиты он сблизился с Землей. Подобная задача рассмотрена в работе [16] для определения момента запуска космического аппарата, чтобы он прошел вблизи Венеры. Вычисления, представленные формулами (18) - (24) выполнены в предположении, что плоскости орбит астероида и Земли и экватора Земли совпадают. Методика, использованная в работе [16], позволяет проводить расчеты при произвольной ориентации этих плоскостей. В этой же работе показано, что после определения ближайшего момента времени коррекции, можно рассчитать такие моменты в последующие эпохи. Они повторяются с определенным периодом.

В приведенном способе превращения траектории астероида 1950 DA в орбиту спутника необходимо приложить суммарный импульс m_a·?V = m_a·(0.911+2.765)·10³ = 5.77·10¹⁵ кг·м/c. Он меньше в 4.8 раза, чем в первом варианте, но в 53 раза превышает импульс для превращения Апофиса в спутник. Поэтому предпочтительно начать создавать такие спутники Земли с Апофиса. На стр. 189 [25] сообщается, что американский астронавт Дендридж Коул и его соавтор Дональд Кокс [26] предлагали захватывать планетоиды, находящиеся между Марсом и Юпитером, и подводить их к Земле. По их словам, человек может выбрать породу из их недр и создать во внутренней полости искусственные условия для своего существования. Отметим, что эти авторы предлагают еще одно применение таких спутников - это использование на Земле их ценной породы.

Хотя превратить астероид в спутник является задачей на порядки более легкой, чем захватить планетоид, однако все-таки это небывалая по трудности проблема. Но если человек решит эту проблему, то возможность предотвратить серьезную астероидную опасность многократно возрастает. Поэтому, если общество возьмется за решение этой проблемы, то это будет свидетельствовать о переходе от чисто теоретических изысканий к практическим работам в противоастероидной защите Земли.

Выводы

1. Проанализированы недостатки существующих методов расчета движения астероида.

2. Новым методом численно проинтегрированы неупрощенные дифференциальные уравнения движения астероида, планет, Луны и Солнца за 1000 лет и исследована эволюция орбиты астероидов Апофис и 1950 DA.

3. В 21 час 45' по Гринвичу 13 апреля 2029 г. Апофис пройдет возле Земли на расстоянии 6 земных радиусов от ее центра. Это будет самое близкое к Земле прохождение Апофиса в ближайшую 1000 лет.

4. Выполнены расчеты по превращению траектории Апофиса в орбиту спутника, который может решать различные задачи для дальнейшего освоения космического пространства.

5. В ближайшую 1000 лет астероид 1950 DA дважды пройдет вблизи Земли на расстоянии порядка 2.25 млн. км: в 2641 г. и 2962 г.

6. Траекторию астероид 1950 DA можно в любую эпоху превратить в орбиту спутника путем увеличения его скорости в афелии на ~ 1 км/c и уменьшения его скорости в перигелии на ~ 2.5 км/c.

Благодарности

Авторы выражают признательность Т.Ю. Галушиной и В.Г. Полю за представленные материалы по астероиду Апофис. Выражаем благодарность сотрудникам Лаборатории реактивного движения (JPL) США, из сайтов которой мы использовали начальные условия для интегрирования. Сайт Эдварда Боуэлла (ftp://ftp.lowell.edu/pub/elgb/) помог нам понять все особенности данных по астероидам и избежать ошибок при их использовании. В вычислениях движения Апофиса по системе Horizons принимал участие О.И. Кротов. Вычисления проводились на суперкомпьютере Сибирского Суперкомпьютерного Центра СО РАН. Работа выполнялась в 2008 г. ч 2010 г. при поддержке Интеграционной Программой 13 Президиума Российской академии наук.

Литература

1. Giorgini J.D., Benner L.A.M., Ostro S.I., Nolan H.C., Busch M.W. Predicting the Earth encounters of (99942) Apophis // Icarus. 2008 v.193, pp. 1-19.

2. Tucker R., Tholen D., Bernardi F. //MPS 109613, 2004.

3. Garradd G.J. // MPE Circ., 2004, Y25.

4. Рыхлова Л.В., Шустов Б.М., Поль В.Г., Суханов К.Г. Насущные проблемы астероидной опасности // Околоземная астрономия 2007// Материалы международной конференции 3-7 сентября 2007 г. п. Терскол. Международный центр астрономических и медико-экологических исследований Национальной академии наук Украины и Институт астрономии РАН. г. Нальчик, 2008 г., с. 25-33.

5. Емельянов В.А., Меркушев Ю.К., Барабанов С.И. Периодичность сеансов наблюдения астероида Апофис космическими и наземными телескопами // Там же, с. 38 -43.

6. Емельянов В.А., Лукьященко В.И., Меркушев Ю.К., Успенский Г.Р. Точность определение параметров орбиты астероида Апофис, обеспечиваемая космическими телескопами // Там же, с. 59-64.

7. Соколов Л.Л., Башаков А.А., Питьев Н.П. О возможных сближениях ACЗ 99942 Апофис с Землей // Там же, с. 33 - 38.

8. Everhart E. Implicit single-sequence methods for integrating orbits // Celest. Mech., 1974 Vol.10, Pp. 35-55.

9. Быкова Л.Е. Галушина Т.Ю. Эволюция вероятной области движения астероида 99942 Апофис // Там же, что и в статье [4], с. 48 - 54.

10. Быкова Л.Е., Галушина Т.Ю. Опасные для Земли траектории в области возможных движений астероида 99942 Аpophis// Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики. Материалы VI Всероссийской научной конференции, посвященной 130-летию Томского государственного университета и 40-летию НИИ Прикладной Математики и Механики Томского государственного университета. Томск, 30 сентября - 2 октября 2008 г. - 2008 г. - С. 419-420.

11. Смирнов Е.А. Современные численные методы интегрирования уравнений движения астероидов, сближающихся с Землей // Там же, что и [4], с. 54-59.

12. Ивашкин В.В., Стихно К.А. Анализ проблемы коррекции орбиты астероида Апофис // там же, с. 44 - 48.

13. Гребеников Е.А., Смульский И.И. Эволюция орбиты Марса на интервале времени в сто миллионов лет / Сообщения по прикладной математике. Российская Академия Наук: ВЦ им. А.А. Дородницына. М.: ВЦ РАН А.А. Дородницына. - 2007. 63 с. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/EvMa100m4t2.pdf.

14. Мельников В.П., Смульский И.И. Астрономическая теория ледниковых периодов: Новые приближения. Решенные и нерешенные проблемы. - Новосибирск: Академическое изд-во «Гео», 2009. - 98 с. Книга на двух языках. С обратной стороны: Melnikov V.P., Smulsky J.J. Astronomical theory of ice ages: New approximations. Solutions and challenges. - Novosibirsk: Academic Publishing House “GEO”, 2009. - 84 p.

15. Мельников В. П., Смульский И.И., Смульский Я.И. Составная модель вращения Земли и возможный механизм взаимодействия континентов // Геология и Геофизика, 2008, №11, с. 1129-1138.

16. Смульский И.И. Оптимизация пассивной орбиты с помощью гравиманевра // Космические Исследования, 2008, том 46, № 5, с. 484-492.

17. Смульский И.И. Теория взаимодействия. - Новосибирск: Из-во Новосиб. ун-та, НИЦ ОИГГМ СО РАН, 1999 г. - 294 с. http://www.ikz.ru/~smulski/TVfulA5_2.pdf.

18. JPL Small-Body Database. Jet Propulsion Laboratory. California Institute of Technology. 99942 Apophis (2004 MN4). http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=Apophis;orb=1.

19. Bowell E. The Asteroid Orbital Elements Database. Lowell Observatory. ftp://ftp.lowell.edu/pub/elgb/.

20. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Под ред. Г. Н. Дубошина. Изд. 2-е, доп. и перераб. М., Наука, 1976, 862 с.

21. Смульский И.И. Математическая модель Солнечной системы / В сб. Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа. Российская Академия Наук: ВЦ им. А.А. Дородницына. М.: ВЦ РАН А.А. Дородницына. - 2007. С. 119-139. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/MatMdSS5.pdf.

22. Эфемериды лаборатории реактивного движения США (JPL) см. http://ssd.jpl.nasa.gov/?ephemerides .

23. Standish E.M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405.// Interoffice memorandum: JPL IOM 312. F - 98-048. August 26. 1998. (ftp://ssd.jpl.nasa.gov/pub/eph/export/DE405/).

24. Giorgini J.D. et al. (13 authors). Asteroid 1950 DA Encounter with Earth in 2880: Physical Limits of Collision Probability Prediction // Science. - 2002, V. 296, №5565, pp.132 - 136.

25. Корлисс У. Загадки Вселенной. М.: «Мир». - 1970, 248 с.

26. Cole D.V., Cox D.W. Islands in Space. Chilton Books, Philadellphia, 1964.

27. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Под ред. Г. Н. Дубошина. Изд. 2-е, доп. и перераб. М., Наука, 1976, 862 с.

Печатается в соответствии с решением Ученого совета Института криосферы Земли

Сибирского отделения Российской академии наук от 17 декабря 2010 г., протокол № 8.

Размещено на Allbest.ru