Параметрическая идентификация космической транспортной системы и воздушно-космических аппаратов

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ МКТС И ВКА

Параметрическая идентификация состоит в определении неизвестных параметров, входящих в полную математическую модель, описывающую динамику полёта МКТС или ВКА, по измеряемым в полёте параметрам движения. К идентифицируемым параметрам относятся массовые, моментные и центровочные характеристики объекта управления, характеристики органов управления, а также характеристики среды, в которой происходит полёт. Средой может быть атмосфера, безвоздушное пространство или установившийся обтекающий поток в рабочей части сверхзвуковой аэродинамической трубы, в которой установлен кардановый подвес с вращающейся моделью или натурным макетом проектируемого изделия. Поскольку для управления МКТС и ВКА используются ракетные двигатели, то идентифицируемыми характеристиками могут быть величина силы тяги в установившемся режиме, удельная тяга, массовый секундный расход и величины задержки выхода тяги на установившийся режим при пуске и спада её до нуля при останове ракетного двигателя.

1. Идентификация эффективности управления в космосе

Задача параметрической идентификации в космосе МКТС и ВКА состоит в определении характеристик ракетных двигателей, используемых для управления угловым и поступательным движением ВКА в безвоздушном пространстве. Управление угловым движением достигается либо за счёт отклонения сопла одного двигателя относительно продольной оси в противоположных направлениях, либо с помощью двух двигателей, каждый из которых включается при создании углового ускорения определённого направления. В любом случае из-за параметрических возмущений, влияющих на характеристики ВКА в технологическом процессе изготовления, действительное угловое ускорение в одном направлении отличается от углового ускорения, создаваемого в полёте в противоположном направлении. Установление различий в угловых ускорениях различных направлений позволяет формировать программную траекторию штатного разворота, максимально приближенную к действительным условиям полёта.

Параметрическая идентификация в полёте состоит из нескольких операций: расчёт траектории разворота, который называется программированием и в результате которого формируется закон управления; угловой разворот по установленному закону управления, в течение которого измеряются параметры углового движения; и установление действительных характеристик КА и его рулевых органов. К последним относятся эффективность управления, разнотяговость, перекос и эксцентриситет вектора силы тяги, инерционность и другие параметры, позволяющие строить программные траектории углового разворота, в максимальной степени учитывающие действительные условия полёта.

Программирование траектории идентифицирующего разворота и сама идентификация проводятся на основе аналитических решений дифференциальных уравнений углового движения [71].

1.1 Идентификация разнотяговости ракетных двигателей

Задача идентифицирующего разворота заключается в построении закона управления разворотом из начального углового положения по тангажу:

; ; ; (1)

в конечное:

; ; ; (2)

за ограниченное время , с эффективностью управления и , различающейся по величине при разворотах в противоположных направлениях. Здесь под эффективностью управления понимается максимальное угловое ускорение , развиваемое ВКА или МКТС в направлении разворота по углу тангажа (рыскания или крена) под действием силы тяги ракетного двигателя.

Программирование двухсоставной траектории разворота. Структура закона управления угловым ускорением определяется постоянным положительным ускорением на первом промежутке - полуинтервале , действующим на разгон, и отрицательным постоянным ускорением на втором промежутке - отрезке , действующим на торможение, как показано штриховыми линиями на рис.1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Величина обозначает расчётное угловое ускорение ВКА при отсутствии возмущений, которое связано с действительным ускорением, развиваемым в полёте, следующими соотношениями:

;

, (3)

где , - отличия действительного углового ускорения от расчётного при разворотах в противоположные направления.

1). Угловое движение на первом промежутке - полуинтервале составной траектории идентифицирующего разворота описывается дифференциальным уравнением второй степени:

, (4)

с начальными условиями (1). Его решение даёт следующие выражения для текущих параметров углового движения:

;

.

В конце первого полуинтервала, , двухсоставной траектории получаем следующие соотношения для параметров углового движения:

;

. (5)

2). Угловое движение на втором промежутке - отрезке траектории разворота описывается уравнением:

, (6)

с начальными условиями (5). Интегрирование уравнения (6) даёт следующие выражения для текущих параметров углового движения:

;

.

В конце траектории разворота параметры углового движения определяются соотношениями:

;

. (7)

Подстановка первого соотношения системы (5.5) в первое выражение системы (5.7) даёт следующее выражение для угловой скорости: ,

из которого получаем первое уравнение относительно искомых неизвестных параметров и :

. (8)

Подстановка соотношений (5) во второе выражение системы (7) даёт второе уравнение:

. (9)

Из уравнения (8) выразим величину ускорения :

. (10)

Выражение (10) подставим в уравнение (9). В результате находим зависимость момента переключения от момента окончания разворота :

. (11)

Выражение (11) подставим в уравнение (8) и после несложных преобразований приходим к квадратному уравнению относительно величины разности :,

из которого получаем формулу для вычисления продолжительности идентифицирующего разворота:

. (12)

Подставим величину (12) в выражение (11) и после преобразований получим формулу для вычисления момента переключения углового ускорения на противоположное по направлению:

. (13)

Таким образом, программирование траектории углового разворота сводится к вычислениям по формулам (12), (13) двух значений моментов времени, которые однозначно определяют закон управления угловым ускорением на двухсоставной идентифицирующей траектории.

Если начальная угловая скорость равна нулю , то формулы (12), (13) упрощаются: , .

Если угловые ускорения одинаковы при разворотах в противоположных направлениях, , то формулы принимают простой вид: , .

Эти формулы известны по разделу 2.1 главы 2.

1.2 Идентификация разнотяговости на двухсоставной траектории

Идентификация состоит в решении задачи, обратной задаче программирования: по измеренным в полёте параметрам углового движения необходимо вычислить действительную эффективность управления, т.е. ускорения , .

Уравнение (8) для идентификации принимает вид:

, (14)

где , - искомые действительные величины эффективности управления при разворотах в противоположных направлениях; - расчётный момент переключения управления; - момент окончания разворота, измеряемый в момент обращения угловой скорости в нуль, .

Из уравнения (14) выразим величину ускорения :

. (15)

Выражение (15) подставим в модифицированное уравнение (9):

, (16)

где - измеряемый в момент угол разворота, отличающийся от расчётного угла, , из-за возмущений. После несложных преобразований получаем формулу для вычисления эффективности управления в одном направлении разворота:

. (17)

Подставив выражение (17) в соотношение (15), получим формулу для вычисления эффективности управления в противоположном направлении разворота:

. (18)

Таким образом, получили решение задачи идентификации в полёте действительной эффективности управления в виде формул (17), (18) на двухсоставной траектории углового разворота. Эти формулы составляют основу методики идентификации, состоящей из последовательности следующих операций в полёте:

1. Программирование траектории идентифицирующего разворота по известным начальным условиям, которое состоит в расчёте моментов и по формулам (11), (12), в которых значения и заданы, например, по данным предыдущей идентификации.

2. Выполнение углового разворота по закону программного управления, в котором момент переключения управления на противоположное по направлению принят равным расчётному , а разворот заканчивается измеряемым моментом при нулевой угловой скорости , когда измеряемый действительный угол разворота не равен расчётному: .

3. Вычисление по формулам (17), (18) действительных значений углового ускорения и в прямом и обратном направлениях разворота.

1.3 Идентификация разнотяговости при развороте с возвратом

В некоторых случаях идентифицирующий угловой разворот желательно завершить при том же угле, при котором он начат. Траектория такого специального идентифицирующего разворота по определённому углу тангажа, рыскания или крена формируется с помощью закона управления угловым ускорением, структура которого показана на рис.2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.2. Структура управления трёхимпульсным разворотом

Программирование траектории углового разворота с возвратом. Траектория разворота по одному из углов Эйлера составлена из трёх типовых промежутков, на каждом из которых действует угловое ускорение постоянной величины. На первом промежутке - полуинтервале , , происходит разгон, в течение которого набирается положительная угловая скорость. В момент первого переключения ускорения, , направление ускорения изменяется на противоположное и начинается торможение. Величина углового ускорения не совпадает с величиной углового ускорения из-за возмущений. Торможение продолжается в течение второго полуинтервала до момента , при котором угол разворота достигает заданного максимального значения: . Затем закон изменения углового ускорения повторяется в обратном направлении.

Составная траектория идентифицирующего разворота с возвратом по углу состоит из четырёх типовых промежутков: три полуинтервала и один отрезок.

1. Разгон на первом полуинтервале, , описывается уравнением (4) с начальными условиями (1). Интегрирование уравнения даёт такие же соотношения для параметров углового движения (5):

;

.

2. Торможение на втором полуинтервале описывается уравнением (6) с начальными условиями (5). Его интегрирование даёт следующие соотношения для параметров углового движения в конце второго полуинтервала:

;

. (19)

Подстановка начальных условий в соотношения системы (19) даёт следующие выражения для угловой скорости и угла: ; .

Учитывая, что в момент угол разворота достигает максимального значения , а скорость равна нулю, , получаем совместную систему из двух нелинейных алгебраических уравнений:

;

,(20)

с двумя неизвестными и . Из первого уравнения (20) выразим :

. (21)

Соотношение (21) подставим во второе уравнение (20), и после преобразований приходим к квадратному уравнению относительно разности : .

Решение последнего уравнения определяет момент первого переключения:

. (22)

Подстановка выражения (22) в соотношение (21) даёт формулу для вычисления момента достижения заданного максимального угла разворота:

. (23)

Таким образом, провели программирование траектории, т.е. рассчитали программную траекторию и получили формулы (22) и (23) для определения момента первого переключения и момента достижения заданного угла при в структуре закона трёхимпульсного управления траекторией углового разворота с возвратом.

Идентификация разнотяговости на первой половине разворота. Первая половина траектории разворота состоит из двух полуинтервалов и . Исходя из значений измеренных параметров углового движения, необходимо определить действительные значения эффективности управления и . Система уравнений (20) следующим образом модифицируется к решению задачи идентификации:

,

, (24)

где - максимальный угол разворота, измеренный в момент времени , фиксируемый по достижении нулевой угловой скорости .

Из первого уравнения (24) выразим величину :

. (25)

Выражение (25) подставим во второе уравнение системы (24), откуда получаем формулу для вычисления эффективности управления при развороте в одном направлении:

. (26)

Подставив выражение (26) в соотношение (25), получим формулу, определяющую эффективность управления при развороте в противоположном направлении:

. (27)

Получили формулы (26), (27) для параметрической идентификации действительной эффективности управления на первой половине трёхсоставного углового разворота. Здесь - максимальный угол разворота, измеряемый в момент , фиксируемый при , значения и известны из начальных условий.

Программирование второй половины траектории разворота. После полуинтервала начинается обратный разворот к исходному углу, угловое движение описывается уравнением (6): , с начальными условиями: , . Интегрируя последнее уравнение дважды, получаем зависимости текущих параметров углового движения от времени: , .

В конце третьего полуинтервала получаем следующие выражения для параметров углового движения: , .

С учётом начальных условий выражения для угловых параметров принимают вид:

,

. (28)

Угловое движение на четвёртом промежутке - отрезке, , описывается уравнением (4) с начальными условиями (28). Его решение даёт выражения для текущих параметров углового движения: , .

В конце четвёртого отрезка угловые параметры принимают выражения:

,

. (29)

Подстановка начальных условий (28) в соотношения системы (29) даёт выражение для угловой скорости: . И выражение для угла: .

В конце идентифицирующего разворота имеем: , , тогда приходим к системе двух нелинейных алгебраических уравнений:

,

, (30)

с двумя неизвестными , . Решим систему (30), для чего из первого уравнения выразим разность:

, (31)

которую подставим во второе уравнение системы (30). После преобразований получаем формулу для вычисления момента второго переключения:

, (32)

Подстановка выражения (32) в соотношение (31) даёт формулу для вычисления момента окончания трёхсоставного углового разворота:

. (33)

Таким образом, проведено программирование второй половины траектории идентифицирующего углового разворота с возвратом.

Идентификация разнотяговости на второй половине разворота. Уравнения для идентификации параметров и следуют из системы (30):

,

, (34)

где - действительное максимальное значение угла разворота, измеренное в момент , при котором действительная угловая скорость становится равной нулю, ; - расчётный момент второго переключения; - момент времени, при котором измеряемая угловая скорость становится равной нулю, .

Из первого уравнения системы (34) выразим величину :

, (35)

которую подставим во второе уравнение системы (34), После несложных преобразований получаем формулу для вычисления действительной эффективности управления в направлении обратного разворота:

. (36)

Подстановка выражения (36) в соотношение (35) даёт формулу для вычисления действительного углового ускорения в прямом направлении разворота:

. (37)

Получили формулы (36), (37), которые решают задачу параметрической идентификации разнотяговости ракетных двигателей на второй половине идентифицирующей траектории углового разворота с возвратом к исходному угловому положению. Они дополняют соответствующие формулы (26), (27) в том смысле, что по ним можно получить средние арифметические значения.

Таким образом, на основе аналитических решений дифференциальных уравнений углового движения в космическом пространстве проведено программирование двух - и трёхсоставных идентифицирующих траекторий углового разворота, которые воспроизводятся в полёте по соответствующим законам управления угловым ускорением с измерением параметров углового движения. Практическое исполнение идентификации эффективности управления с помощью ракетных двигателей заключается в вычислениях по простым формулам действительных величин углового ускорения при разворотах в противоположных направлениях. Решения задач параметрической идентификации получены методом конструирования составных траекторий из типовых промежутков (полуинтервалов и отрезков), когда в качестве начальных условий на последующем промежутке используются параметры движения в конце предыдущего промежутка.

Результаты применимы при проектировании перспективных ВКА и их бортовых систем управления.

2. Идентификация инерционности ракетных двигателей

В главе 2 проведено программирование законов управления угловым и поступательным движениями МКТС с учётом экспоненциального нарастание при пуске и экспоненциального убывание при останове тяги ракетного двигателя. Такие переходные процессы вызывают запаздывание выхода тяги на установившийся режим и запаздывание падения тяги до нуля. Запаздывание в срабатывании двигателя возрастает также из-за «чистого» запаздывания клапанов при открывании для подачи топлива и закрытии их для отсечки подачи топлива, а также из-за запаздывания электрического сигнала [3]. Суммарное запаздывание назовём инерционностью двигателя и будем определять её величиной , устанавливающей возрастание или убывание силы тяги по линейному закону от нуля до установившегося значения или от установившегося значения до нуля, как показано на рис.3.

Из-за внешних и параметрических возмущений величина имеет весьма неопределённый характер. Для повышения точности управления величины инерционности и углового ускорения идентифицируются в полёте, для чего ВКА выполняет идентифицирующее движение, в течение которого измеренные действительные параметры движения сравниваются с расчётными параметрами.

Решение задачи параметрической идентификации ракетного двигателя состоит из программирования идентифицирующей траектории углового разворота и идентификации инерционности и углового ускорения [8].

2.1 Программирование идентифицирующей траектории разворота

На рис.3 показана структура закона управления угловым ускорением с учётом инерционности на идентифицирующей траектории разворота по одному из углов Эйлера (тангажа), заканчивающегося тем же углом, с которого разворот начат, . Параметры идентифицирующего движения получим методом аналитического конструирования составной траектории углового разворота из типовых промежутков, на которых для дифференциальных уравнений углового движения получены аналитические решения. Данная траектория получена из 7 полуинтервалов , , и одного отрезка .

Отметим, что приближённые аналитические решения удаётся получить для весьма сложных траекторий, увеличивая число типовых промежутков.

параметрическая идентификация космический транспортный

Рис.3. Разворот с возвратом для идентификации инерционности

Программирование траектории заключается в нахождении таких моментов времени , , начала переключения углового ускорения на противоположное по направлению и момента начала останова , при которых происходит разворот ВКА из известного начального углового положения по углу тангажа:

, , , (38)

в заданное конечное положение:

, , , (39)

где время не задано. Величины и считаются равными соответствующим проектным значениям. Проведём последовательное интегрирование соответствующих дифференциальных уравнений углового движения на каждом промежутке.

Динамика линейного нарастание углового ускорения на первом полуинтервале, , , описывается уравнением:

, (40)

с начальными условиями (38). Последовательное интегрирование уравнения (40) даёт следующие выражения для текущих параметров углового движения на первом полуинтервале составной траектории: , .

В конце первого промежутка - полуинтервала, , угловое ускорение достигает установившегося значения, а параметры углового движения определяются выражениями:

, . (41)

Динамика углового движения на втором полуинтервале, , с установившимся угловым ускорением описывается уравнением с начальными условиями (41). Последовательно интегрируя данное уравнение, приходим к выражениям для конечных значений угловой скорости и угла на втором отрезке составной траектории:

,

. (42)

Динамика углового движения на третьем полуинтервале, , , с линейным убыванием углового ускорения одного направления (положительного) и последующим линейным нарастанием (по модулю) углового ускорения противоположного направления описывается уравнением: , с начальными условиями (42). Двукратное интегрирование даёт выражения для параметров углового движения в конце третьего отрезка:

.

. (43)

Динамика углового движения на четвёртом полуинтервале, , характеризуется установившимся угловым ускорением и описывается уравнением , с начальными условиями (43). Интегрируя первый раз, получаем выражение для угловой скорости в конце четвёртого полуинтервала: .

Четвёртый полуинтервал введён с таким расчётом, что на его конце достигается максимальное значение угла разворота , которое задаётся заранее. Поскольку , то с учётом соотношения из последнего выражения получаем уравнение:

(44)

где , - искомые управляющие параметры закона управления.

В конце четвёртого полуинтервала выражение для угла разворота имеет вид:

. (45)

Получили систему двух алгебраических уравнений (44), (45) с двумя неизвестными , . Выражая из (44) неизвестную и подставляя её в уравнение (45), приходим к квадратному уравнению относительно разности , решение которого определяет первый из трёх искомых управляющих параметров закона управления идентифицирующим разворотом:

, (46)

где знак перед радикалом выбирается в зависимости от величины и знака начальной угловой скорости. Подставляя выражение (46) в соотношение (44), получаем формулу для вычисления момента достижения задаваемого максимального угла разворота :

. (47)

Продолжая последовательное интегрирование соответствующих дифференциальных уравнений с пятого промежутка до восьмого, в конечном итоге получаем следующие выражения для параметров углового движения в конце восьмого отрезка, т.е. в конце идентифицирующего разворота:

.

. (48)

Решение системы (48) с учётом выражения (47) определяет второй:

, (49)

и третий управляющий параметр:

. (50)

Остальные моменты времени , , , в законе управления вычисляются из соотношений, следующих из рис.3:

, , , . (51)

Пример 1. Построим закон управления идентифицирующим разворотом для ВКА, обладающего эффективностью управления 1 рад/с² и запаздыванием рулевого привода с. Максимальный угол разворота примем равным 1 рад, начальные значения времени, угла и угловой скорости примем равными нулю: 0, 0, 0.

Решение. Моменты начала первого переключения и середины разворота вычислим по формулам (46) и (47) с учётом нулевых условий:

0,951 с, 2,053 с.

Момент начала второго переключения вычислим по формуле (49):

с.

Момент начала отключения управления вычислим по формуле (50):

с.

Полное время разворота равно: 4,101 с.

2.2 Идентификация инерционности двигателя и ускорения МКТС

Идентификация действительных значений и заключается в проведении в полёте идентифицирующего углового разворота по установленному в предыдущем разделе закону управления. В определённые моменты времени , , , ВКА выполняет предусмотренные для этих моментов действия: переключение ускорения с разгона на торможение, переключение ускорения с торможения на разгон и выключение ускорения соответственно. Из-за возмущений действительный максимальный угол разворота , фиксируемый в момент , , будет отличаться от расчётного максимального угла , . Действительный момент не совпадает с расчётным моментом , .

Действительное окончание разворота фиксируется по моменту достижения угловой скоростью нулевого значения . В момент времени действительный угол разворота также не равен расчётному конечному углу: , , .

Из первого уравнения системы(48) получаем формулу идентификации инерционности:

, (52)

Подстановка выражения (52) в одну из формул (49) или (50) даёт формулу идентификации действительного углового ускорения :

, (53)

где волнистая черта сверху обозначает измеряемые в полёте величины.

Пример 2. Проведём идентификацию величин и на идентифицирующей траектории примера 1. Пусть измеренный момент максимального угла разворота строго совпадает с расчётным значением 2,053 с. Тогда по формуле (52) получаем величину инерционности:

0,1 с.

По формуле (5.53) определяем величину эффективности управления:

1/с².

Идентификация показала, как и ожидалась, точные проектные значения идентифицируемых величин, что подтверждает справедливость формул (52) и (53). В случае отличия измеренных значений и от соответствующих проектных данных в пределах сохранения принятой структуры закона управления получим другие значения и , соответствующие действительным условиям полёта.

Таким образом, построен закон управления идентифицирующим разворотом в виде формул для вычисления соответствующих моментов времени, определяющих начало переключения действия углового ускорения в противоположное направление, в виде траектории, возвращающей ВКА в исходное угловое положение. Задача параметрической идентификации является обратной к задаче программирования траектории. Её решение также получено методом припасовывания типовых промежутков, составляющих траекторию идентификации, в виде несложных формул для вычисления действительных значений углового ускорения и инерционности ракетных двигателей ВКА, которые позволяют формировать программные траектории разворота ВКА, максимально приближенные к действительным условиям полёта в космосе.

Полученные результаты позволяют увеличить точность оценок по запасам топлива в проектировании перспективных космических аппаратов, а также поднять качество разработки бортовых алгоритмов систем управления для лётных испытаний и последующей эксплуатации готовых изделий.

3. Идентификации МКТС и ВКА при свободном спуске в атмосфере

Свободный спуск ВКА в атмосфере начинается после аэродинамического торможения той скорости, с которой ВКА вошёл в атмосферу после схода с орбиты. Довольно продолжительный полёт в атмосфере завершается отвесным падением под воздействием силы притяжения и силы аэродинамического торможения.

Параметрическая идентификация ВКА состоит в установлении действительных характеристик МКТС или ВКА, их ракетных двигателей, с помощью которых проводится мягкое вертикальное приземление, а также характеристик среды, в которой оно проводится (плотность атмосферы и ускорение силы притяжения). Параметрическая идентификация МКТС в полёте позволит сократить степень неопределённости внешних и параметрических возмущений и сделать проектирование МКТС и ВКА более «детерминированным». А это позволит упростить и сделать более «точными» бортовые алгоритмы и, следовательно, сделать более надёжной эксплуатацию штатного изделия. После торможения в атмосфере перед мягким приземлением ВКА выходит в режим квазиустановившегося падения, характеризуемого равенством сил лобового сопротивления и притяжения, для которого справедливо равенство:

, (54)

где - скорость падения; - баллистический параметр; - коэффициент силы лобового сопротивления; - характерная площадь; - плотность атмосферы; - ускорение силы притяжения. С учётом экспоненциальной модели атмосферы:

, (55)

где - высота; 1,225 кг/м³; , и обратной квадратичной зависимости ускорения силы притяжения от высоты:

, (56)

где 9,80665 м/с²; 6371 км - радиус Земли; получаем выражение для текущей скорости квазиустановившегося падения:

. (57)

Подстановка (57) в кинематическое уравнение

, (58)

разделение переменных и интегрирование в пределах от до , , и от до даёт алгебраическое уравнение:

. (59)

Представим экспоненты рядами Тейлора с одним членом разложения, тогда приходим к приближённому решению для высоты:

. (60)

Поскольку высота измеряется в определённые моменты полёта, выразим из (59) величину баллистического параметра :

. (61)

Подставим (61) в выражение для скорости (57:)

. (62)

Экспоненту в (62) заменим рядом Тейлора с двумя членами разложения, тогда получаем приближённое выражение для скорости в зависимости от высоты

. (63)

Скорость тоже измеряется в полёте, тогда из (63) приходим к квадратному уравнению относительно параметра :

, (64)

решение которого имеет вид:

. (65)

Формула идентификации параметра в моменты измерений параметров движения принимает вид:

, (66)

где индекс означает предыдущий момент измерения высоты и скорости по сравнению с текущим моментом измерения параметров движения и .

Идентификация баллистического параметра проводится по формуле:

, (67)

которая получается из (61) при замене на и на .

Пример 3. Рассмотрим свободное падения в атмосфере ВКА с баллистическим параметром0,0007 м²/кг, при котором в двух последующих моментах времени 70 с и 71 с измерены следующие параметры движения: 119,4 м/с, 118,7 м/с, 1447,0 м, 1327,9 м. Вычисления по формуле (66) дают значение постоянной для определения плотности атмосферы:

7752,0 м,

а вычисления по формуле (67) дают значение баллистического параметра: =0,665255 10^-3 м²/кг.

Последнее значение менее чем на 5 % отличается от значения 0,0007 м²/кг, заложенного при моделировании свободного падения ВКА. Учитывая, что проектная погрешность этого коэффициента составляет ±20%, результат идентификации можно считать весьма успешным.

Для повышения точности параметрической идентификации следует перейти к численному решению системы из двух алгебраического уравнения (57) и (59) с искомыми неизвестными и . При этом вычисления по формулам (66) и (67) дают начальные приближения для определения точных значений и . При достаточно продолжительном свободном падении параметрическая идентификация проводится многократно и по её результатам выделяется математическое ожидание для баллистического параметра, которое используется в текущем управлении. Кроме того, идентифицированные значения и позволяют получать более точные решения модельных систем при построении программных управлений полётом в атмосфере.

Как показывают результаты моделирования в главе 5 многошаговых алгоритмов вертикального приземления МКТС, преодоление внешних и параметрических неопределённых возмущений, хотя и ограниченных по величине, приводит к заметному изменению проектных параметров МКТС и ВКА. По сравнению с номинальным случаем требуемый запас топлива возрастает, необходимое максимальное значение силы тяги двигателя увеличивается, располагаемый диапазон регулирования силы тяги расширяется. Достоинство разработанных методов параметрической идентификации МКТС и ВКА в полёте состоит в аналитических выражениях для параметров движения как при свободном падении в атмосфере, так и при торможении ракетными двигателями. Полученные из решений дифференциальных уравнений движения, они существенно облегчают разработку бортовых алгоритмов идентификации.

Идентификация константы имеет большое значение не только в полёте, но также для использования её в наземных расчётах и приведения результатов к общему «знаменателю», поскольку до сих пор значения константы заметно различаются в американской и российской научно-технической литературе.

Таким образом, на основе аналитических решений дифференциальных уравнений квазиустановившегося падения МКТС или ВКА, предшествующего началу торможения, разработан алгоритм параметрической идентификации, по которому точность определения реального баллистического параметра по измеряемым параметрам движения в четыре раза превосходит проектную.

4. Параметрическая идентификация одновременно с разработкой управления полётом вка в атмосфере

В данном разделе представлены результаты построения закона программного управления угловым разворотом одновременно с идентификацией параметров ВКА. На основе аналитических решений дифференциальных уравнений углового движения разработан адаптивный алгоритм управления разворотами ЛА в атмосфере[102]. Сначала строится закон программного управления в классической структуре разгон-торможение, в котором используется ускорение от аэродинамического восстанавливающего момента либо при разгоне, либо при торможении в зависимости от направления разворота: от большего к меньшему или от меньшего к большему углу атаки, как это показано в главе 3. Эти же аналитические решения используются в параметрической идентификации ВКА: измеренные в процессе разворота угловые параметры сравниваются с расчётными параметрами. В результате решения нелинейных алгебраических уравнений устанавливаются реальные параметры ЛА, уменьшается неопределённость внешних и параметрических возмущений, и закон программного управления становится адекватным к сложившимся условиям полёта.

Существуют различные режимы полёта ВКА в атмосфере, которые связаны с частым изменением угловой ориентации. Например, полёт из статического равновесия на одном балансировочном угле атаки необходимо перевести в полёт с другим углом атаки. Для этого используется оптимальный по быстродействию закон управления, в общем случае состоящий в приложении с помощью рулевых органов углового ускорения сначала на разгон, а затем противоположного углового ускорения на торможение [11]. Выполнение такого разворота в атмосфере связано с воздействием ускорения от аэродинамического момента, которое существенно усложняет его расчёт. Аналитическое программирование углового разворота и последующее его исполнение ещё больше усложняется в реальных условиях полёта из-за большой неопределённости в аэродинамических характеристиках и конструктивных параметрах ВКА и его эффективности управления. В этой связи представляется целесообразным в полёте одновременно с разворотом проводить параметрическую идентификацию, для чего параметры реального углового движения измеряются и сравниваются с расчётными угловыми параметрами, полученными на основе аналитического решения дифференциального уравнения выполняемого углового движения.

Поскольку управляющее ускорение при выполнении разворотов намного превосходит ускорение от демпфирующего момента, то для описания углового движения воспользуемся дифференциальным уравнением:

, (68)

где - угол атаки, - коэффициент ускорения от аэродинамического момента, - управляющее ускорение, действующее в одном из двух направлений или равное нулю.

4.1 Идентификация в полёте статически устойчивого ВКА

Начиная с момента , , , необходимо перевести ВКА в полёт с другой угловой ориентацией: , , . Делается это с помощью определённого закона управления: в момент управление отключается, и ВКА под действием восстанавливающего аэродинамического ускорения набирает отрицательную угловую скорость , благодаря которой угол атаки уменьшается. В некоторый момент времени включается положительное управляющее ускорение , под действием которого угловая скорость, оставаясь отрицательной, начнёт убывать по модулю. Процесс продолжается до момента , когда угловая скорость и угол атаки одновременно обращаются в нуль. В предположении, что коэффициент и ускорение определены, первая задача состоит в программировании закона управления, т.е. в определении четырёх параметров , , , на основе четырёх аналитических решений дифференциальных уравнений углового движения при разгоне за счёт аэродинамического ускорения в течение полуинтервала времени и торможении за счёт управляющего ускорения в течение отрезка времени .

Первая часть углового движения ВКА, , описывается дифференциальным уравнением второй степени относительно угла атаки :

(69)

с начальными условиями: , , . С помощью преобразования

(70)

переменные в уравнении (69) разделяются, и интегрирование даёт выражение для текущей угловой скорости:

, (71)

которая к моменту набирает наибольшую по модулю величину:

. (72)

Разделение переменных в (71) и интегрирование даёт выражение для текущего времени:

, (73)

откуда следует момент окончания первой части разворота, или момент переключения на тормозящее управляющее ускорение:

. (74)

На второй части разворота включается положительное управляющее ускорение , которому соответствует знак плюс в правой части дифференциального уравнения (68):

, (75)

которое решается с начальными условиями: , , . Для текущей угловой скорости с учётом (72) получаем:

. (76)

Поскольку , , то из (76) следует соотношение для определения угла атаки при переключении на тормозящее управляющее ускорение:

, (77)

Для балансировочного угла атаки , на котором проходил полёт, справедливо соотношение:

, (78)

вытекающее из (68) при , , выражение (77) принимает вид:

. (79)

С учётом (79) получаем выражение для момента переключения:

. (80)

Интегрирование (76) даёт выражение для продолжительности разворота:

, (81)

которое с учётом (79) и (80) принимает вид:

. (82)

К этому моменту угловая скорость достигает минимального значения:

. (83)

Из выражения (82) следует ограничение на величину управляющего ускорения:

. (84)

Пример Если принять , то из (82) получаем простое выражение , по которому при 38,09 1/сІ полная продолжительность разворота составляет 0,509 с.

Таким образом, программный закон управления разворотом определён выражениями угловых параметров (79), (80) и (83), при которых происходит переключение с разгонного аэродинамического ускорения на тормозящее управляющее ускорение, и выражениями (82), , , при которых разворот заканчивается. На практике моменты переключения и окончания фиксируются по соответствующим значениям угловой скорости. Но из-за неопределённых внешних и параметрических возмущений, т.е. из-за отличия реальных значений и от расчётных, реальный разворот отличается от программного. Применяемые законы управления по обратной связи мало помогают при скоротечных разворотах из-за значительной продолжительности и перерегулирования в переходных процессах. Построение адаптивного управления ВКА состоит в том, что в ходе разворота замеряются текущие угловые параметры и сравниваются с угловыми параметрами, рассчитанными по аналитическим решениям, полученным для данного типа угловых разворотов.

Из-за возмущений и методических ошибок при условие не достигается, т.е. имеем реальное значение . Тогда из (76) имеем:

, (85)

где реальное управляющее ускорение не соответствует расчётному . Если, например, коэффициент известен точно, то, представив возмущённое управляющее ускорение в виде:

, (86)

где - отклонение реального управляющего ускорения от расчётного ускорения , подстановкой (86) в (85) с учётом (77) получим выражение:

(87)

для определения реальной добавки к расчётному управляющему ускорению при расчёте последующих разворотов.

На практике идентифицируются оба коэффициента и . Отбросив для простоты надстрочные знаки со всех обозначений величин, выразим из (85):

. (88)

Из (76) с учётом (88) получаем дифференциальное уравнение:

, (89)

интегрирование которого даёт выражение для текущего времени:

. (90)

Момент завершения разворота определяется формулой:

. (91)

Получили два алгебраических уравнения (88) и (91) с двумя неизвестными и . Выразим ускорение из (88):

(92)

и подставим его в (91). В результате получаем выражения для определения коэффициента ускорения от аэродинамического момента:

(93)

и управляющего ускорения:

(94)

по измеренным параметрам углового движения , , , , . Таким образом, одновременно с разворотом проведена идентификация параметра аэродинамического момента и управляющего ускорения , которые упрощают программирование движения и выполнение последующего разворота, на котором также идентифицируются эти параметры и т.д.

4.2 Изменение балансировочного режима полёта ВКА

Пусть требуется изменить текущее угловое положение ВКА, , , разворотом до угла атаки при нулевой угловой скорости . Разгон выполняется с положительным управляющим ускорением и описывается уравнением:

. (95)

Преобразование (95) и интегрирование в пределах от до и от до даёт выражение для текущей угловой скорости:

. (96)

К моменту переключения управляющего ускорения на аэродинамическое скорость определяется выражением:

. (97)

Разделение переменных в (96) и интегрирование в пределах от до и от до даёт выражение для момента переключения:

. (98)

Идентифицирующий разворот ВКА проводится до момента , при котором угловая скорость (97) обращается в нуль, . Тогда из уравнения (97) получаем:

. (99)

Подстановка (99) в (98) даёт формулу для идентификации коэффициента аэродинамического момента:

, (100)

Подстановка (100) в (99) даёт формулу для идентификации управляющего ускорения:

, (101)

идентифицированного по двум измеренным параметрам и . Отметим, что также измеряется угловая скорость и фиксируется её значение . Если реальное управляющее ускорение создавалось отклонением рулевого органа на угол , тогда реальная эффективность управления ВКА равна: .

Пример 5. Пусть за время 0,509 с ВКА совершил разворот на угол 30°. Тогда по формуле (100) получаем 38,09 1/сІ, а по формуле (101) получаем 9,97 1/сІ.

В общем случае коэффициент имеет сложную зависимость от аэродинамических характеристик и конструктивных параметров ЛА и внешних условий полёта (скоростного напора), а для сравнительно простых аэродинамических конфигураций справедливо соотношение:

, (102)

где - производная коэффициента аэродинамического момента по углу атаки; - производная коэффициента нормальной составляющей аэродинамической силы по углу атаки; , - продольные координаты центра масс и аэродинамического фокуса, отсчитываемые от носка ВКА; , , - длина ВКА; - поперечный момент инерции; - площадь миделевого сечения; - скоростной напор; - плотность атмосферы, - скорость полёта.

Величины , , , обычно измеряются перед полётом или определяются другим способом в полёте. Величина рассчитывается по текущим измерениям плотности и инерциальным измерениям скорости . Коэффициент достаточно стабилен и известен из имеющихся аналогов и прототипов ВКА. Тогда из выражения (102) следует величина реализовавшегося в полёте запаса статической устойчивости

, (103)

от которого в наибольшей степени зависит управление последующим полётом. Распорядиться такими данными в полёте можно двумя путями: 1) построить новую программную траекторию и выбрать для неё коэффициенты передачи автомата стабилизации и 2) использовать механизм перемещения центра масс так, чтобы реальное плечо аэродинамической силы приблизить к расчётному, и тогда использовать готовую программу управления.

Пример 6. Пусть 5 кгм², 0,4 м², 1 м, =2,0 1/рад, 10000 Па, тогда по формуле (5.69) получаем

0,0119,

что составляет примерно 1,2% статической устойчивости.

Для торможения используется ускорение от аэродинамического момента. Оно описывается уравнением:

(104)

с начальными условиями , (5.97), (98). Для текущей угловой скорости с учётом (97) получаем выражение:

. (105)

При имеем и из (105) получаем:

. (106)

С учётом (106) имеем уравнение:

, (107)

разделение переменных в котором и интегрирование даёт решение для времени полного разворота:

. (108)

Выражение для момента переключения (98) с учётом (106) принимает вид:

. (109)

Из (109) следует ограничение на величину управляющего ускорения:

. (110)

Из (97) с учётом (101) получаем выражение для определения максимальной угловой скорости:

. (111)

Таким образом, выражения (108), (109), (111) при ограничении (110) и заданном угле определяют закон программного управления разворотом ВКА от нулевого угла атаки до заданного угла атаки .

Из-за внешних и параметрических возмущений и методических ошибок реальные значения параметров и отличаются от расчётных, поэтому значение , измеренное в момент , будет отличаться от заданного значения . Опять отбрасывая надстрочные знаки, из (108) с учётом (106) получаем выражение для коэффициента :

(112)

и управляющего ускорения:

. (113)

В общем случае коэффициент является нелинейной функцией аэродинамических характеристик, конструктивных параметров ВКА и внешних условий полёта в виде скоростного напора, поэтому его идентификация вместе с идентификацией эффективности управления при выполнении угловых разворотов в атмосфере обеспечивают достаточно хорошую адаптацию к реальным условиям полёта и позволяют на практике применять программные законы управления. Полученные результаты открывает новые направления в разработке бортовых алгоритмов системы управления ВКА, применяемых с начала проектирования и кончая эксплуатацией готового изделия.

5. Параметрическая идентификация в аэродинамической трубе

Современный уровень науки и техники позволяет оборудовать даже небольшой макет проектируемого ВКА аппаратным и программным обеспечением, применяемым в штатном изделии, чтобы в наземных условиях моделировать полётные операции по управлению угловым движением. Такой функциональный макет, установленный в кардановом подвесе и помещённый в набегающий поток рабочей части сверхзвуковой аэродинамической трубы (АТ), способен выполнять угловые движения вокруг центра масс, совпадающим с центром вращения карданова подвеса, и управлять ими, формируя управляющие сигналы на исполнительные рулевые органы по обратной связи. Последнее означает, что параметры углового движения известны с такой частотой, с которой они измеряются установленными в макете датчиками. Цель динамических испытаний макета в АТ состоит в получении более достоверных, чем при статических испытаниях, данных по аэродинамическим, конструктивным характеристикам ВКА и параметрам рулевых органов [17]. Поставленная цель достигается формированием угловых движений макета, параметры которых измеряются и сравниваются с угловыми параметрами, вычисленными по аналитическим решениям дифференциальных уравнений формируемых движений. Достижение цели позволит поднять качество проектирования и повысить надёжность эксплуатации готового изделия.

Рассматриваются две среды набегающего потока: с сопротивлением, пропорциональным скорости, и сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости. В специфических условиях рабочей части конкретной АТ более адекватной к реальным условиям может оказаться каждая из двух математических моделей углового движения. Считается, что макет статически устойчив и обладает балансировочным равновесием на нулевом угле атаки. Предполагается, что механизм освобождения макета, с помощью которого он изначально закреплён под углом атаки , не вносит возмущений, т.е. , а подвес, в котором он вращается, не имеет трения.

5.1 Идентификация в среде с сопротивлением, пропорциональным угловой скорости

После освобождения от удерживающих связей и возвращения рулей в исходное положение макет под действием ускорения от восстанавливающего аэродинамического момента в набегающем потоке рабочей части АТ начнёт совершать колебания в вертикальной плоскости с уменьшающейся амплитудой, описываемые однородным линейным дифференциальным уравнением второй степени с постоянными коэффициентами:

, (114)

где , - коэффициенты ускорений от демпфирующего и аэродинамического моментов, с начальными условиями: , , , для которого решение в виде угла атаки записывается [96]:

, (115)

где , и решение для угловой скорости имеет вид:

. (116)

По окончании первого полупериода, , , из (116) имеем , а из (115) получаем алгебраическое уравнение относительно коэффициентов и :

. (117)

Второе уравнение получим по параметрам движения, измеренным в характерный момент обращения угла атаки в нуль: , . Из (115) имеем:

. (118)

Решение (118) дает второе соотношение между коэффициентами и :

. (119)

Второй член под радикалом намного меньше первого, поэтому с большой степенью точности можно принять , после чего имеем:

. (120)

Сравнивая (117) и (120), получаем:

, (121)

где знак минус при извлечении квадрата имеет физическое обоснование, а . После чего получаем окончательное выражение для вычисления коэффициента по тем же измеряемым параметрам:

(122)

В сравнительно простых компоновках ВКА коэффициент связан с аэродинамическими и конструктивными параметрами следующим соотношением (102), из которого с учётом следует формула для идентификации запаса статической устойчивости:

Величины , , , обычно измеряются в других испытаниях. Величина скоростного напора известна в течение динамических испытаний. Коэффициент достаточно стабилен и известен из имеющихся аналогов и прототипов ВКА. Из выражения (102) следует величина запаса статической устойчивости:

, (123)

от которой в наибольшей степени зависит управление ВКА при остальных известных характеристиках.

Пример 7. Пусть измерения параметров угловых колебаний при є показали: 1,9536є и 0,25 с. По формулам (121) и (122) получаем:

0,09389 1/с,

39,48 1/с².

Отметим, что «измерения» проводились по графику кривой , построенной в результате численного интегрирования уравнения (114) с коэффициентом 38,04 1/с². Разница с вычисленным значением 39,48 1/с² показывает точность проведённой идентификации.

Пример 8. Пусть при начальном угле атаки ° первый полупериод колебаний закончился углом є через 0,5 с. По формуле (128) имеем 39,48 1/с². Пусть 5 кгм², 0,4 м², 1 м, =2,0 1/рад, 10000 Па, тогда по формуле (129) получаем:

-0,02467,

что составляет запас статической устойчивости около 2,5%.

5.2 Идентификация в среде с сопротивлением, пропорциональным квадрату угловой скорости

Это другая математическая аппроксимация демпфирования угловых колебаний, которая может оказаться более строгой и удобной в определенных условиях полета. Вопрос, какую аппроксимацию выбрать, следует решать, сравнивая результаты обеих идентификаций в одинаковых условиях. Свободные колебания ВКА описываются нелинейным дифференциальным однородным уравнением второй степени с постоянными коэффициентами [17]:

, (124)

где , а коэффициенты , определяют соответствующие ускорения от демпфирующего и аэродинамического моментов, с начальными условиями: , , , при которых скорость отрицательная, , на первом полупериоде, , и положительная, , - на втором, .

Сделаем замену переменной . Из следует и уравнение (124) преобразуется к линейному неоднородному уравнению первой степени:

. (125)

Общее решение (125) имеет вид [101]:

. (126)

С учетом начальных условий , , , где при и при , константа равна:

, . (127)

Решение для скорости на первом и втором полупериодах имеет вид:

, , . (128)

По окончании каждого полупериода, , , , получаем два трансцендентных уравнения для определения коэффициента :

, . (129)

Свободные колебания макета ВКА в аэродинамической трубе ограничены весьма нешироким диапазоном значений угла атаки , где є. В достаточно разреженном набегающем потоке рабочей части с большой степенью точности можно считать и воспользоваться представлением экспоненты рядом Тейлора с двумя членами разложения: .

Коэффициент ускорения от демпфирующего момента выражается в виде:

, . (130)

В дифференциальном уравнении (128) переменные легко разделяются, но в конечном виде оно не интегрируется, что представляло теоретические трудности для исследователей в теории колебаний при вычислении периода [74]. Представив экспоненту рядом Тейлора с одним членом разложения , получим решения для текущего времени на каждом полупериоде, из которых определяем их продолжительности:

, , (131)

и получаем выражения для определения коэффициента ускорения от аэродинамического момента на каждом полупериоде:

, , (132)

где при и при .

Для вычисления коэффициентов и в одном периоде свободных колебаний получили по две формулы, в которые входят измеряемые параметры углового движения , , , . На практике для параметрической идентификации в полете можно формировать свободные колебания в различные моменты времени и использовать несколько первых периодов при различных начальных условиях , подвергая статистической обработке вычисляемые параметры.

...