Динамика СПУКА и управление МКТС и ВКА в атмосфере

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДИНАМИКА СПУКА И УПРАВЛЕНИЕ МКТС И ВКА В АТМОСФЕРЕ



Введение

При обслуживании МКС первая часть полётного задания (ПЗ) для МКТС состоит в причаливании к станции, разгрузке доставленной ПН и погрузке на свой борт возвращаемых грузов, которыми могут быть результаты экспериментов, неисправная аппаратура и др. Вторая часть ПЗ состоит в возвращении на Землю с сохранением возвращаемых грузов, а также со спасением всех составляющих МКТС в таком состоянии, при котором она готова совершить новый космический полёт без кардинальных обновлений и ремонта. Способ спасения и один из вариантов устройства для его осуществления описаны в патенте авторов на изобретение [1].

В данной главе представлено математическое описание динамики углового движения в атмосфере на примере возвращаемого космического аппарата (ВКА) в новой нетрадиционной аэродинамической компоновке, составленной из двух конусных корпусов снятых с вооружения и разряженных боевых блоков баллистических ракет большой дальности полёта, состыкованных и скреплённых по днищам [2]. Такая аэродинамическая конфигурация ВКА впервые была предложена в ГРЦ «КБ им. академика В.П. Макеева, г. Миасс, в 1992 году в рамках программы конверсии ракетной техники [75]. Именно в развитие данного подхода в главе 1 предложена и описана конструктивно-компоновочная схема (ККС) многоразовой космической транспортной системы (МКТС).

Отметим, что не все КТС предназначены для возвращения на Землю. Например, частная ракета Antares компании Orbital Sciences Corp., а также японский космический корабль «Конотори» (Белый аист) предназначены только для доставки грузов на МКС, а после выполнения космического задания входят в атмосферу и сгорают.

После погрузки возвращаемых грузов и установления крышек на стыковочные люки МКТС совершает угловой разворот, направляя РД для вырабатывания тормозного импульса в определённом направлении. После схода с орбиты движение МКТС в пакетной двухосной компоновке направлено к атмосфере. Вращательное движение при поступательном движении МКТС стабилизируется с помощью РРД, удерживающих заданную угловую ориентацию с довольно большими допустимыми отклонениями для экономии топлива за счёт не частых включений РРД.

При подходе к атмосфере примерно на высоте 100 км МКТС из пакетной компоновки трансформируется в компоновку одноосную, используя для относительного углового движения обоих корпусов друг относительно друга рулевые ракетные двигатели. В одноосной конфигурации при спуске в атмосфере МКТС приобретает особые свойства без каких-либо дополнительных конструктивных приспособлений и устройств. Во-первых, одноосная конфигурация автоматически ориентируется продольной осью перпендикулярно вектору скорости и занимает в такой ориентации устойчивое балансировочное равновесие, приобретая максимальное аэродинамическое сопротивление. Такое трение со стороны атмосферы достигается без применения каких-либо дополнительных устройств типа парашютов, тормозных экранов, выдвижных щитков и др. и его достаточно для торможения почти круговой скорости при спуске в атмосфере вплоть до отвесного падения с высоты около 15 км.

Во-вторых, за счёт создания аэродинамической или массовой асимметрии одноосная компоновка МКТС ориентируется не строго перпендикулярно вектору скорости, а под углом, несколько отличающим от прямого, также сохраняя устойчивое балансировочное равновесие в этой ориентации и практически не теряя максимальное аэродинамическое сопротивление. Несмотря на свою малость, образующийся атаки угол достаточен для того, чтобы в течение сравнительно большой продолжительности полёта в атмосфере изменять поступательное движение МКТС в больших пределах отклонения точки приземления от первоначально назначенной.

В-третьих, за счёт придания одноосной компоновке принудительного вращения вокруг продольной оси с помощью соответствующих РРД тепловые потоки, образующиеся в результате перехода кинетической энергии в тепловую, равномерно распределяются по всей поверхности и толщине теплозащитного покрытия. Это не только исключает образование стационарных точек нагрева до критических температур, но также позволяет применить обычный углерод-углеродный теплозащитный материал, не аблирующий в полёте и, следовательно, не требующий послеполётного восстановления или ремонта. Применение аблирующего, т.е. уносимого в полёте теплозащитного материала, например, на КА «Союз» или “Dragon” - это одна из главных причин, почему эти КА невозможно полностью спасти и сделать их многоразовыми в применении. Кроме того, критические точки прогара, трудно прогнозируемые в расчётах, становились причиной постоянного разрушения теплозащитных керамических плиток на поверхности космических челноков даже в успешно завершаемых космических полётах.

В-четвёртых, вращение МКТС в одноосной компоновке придаёт ей прецессионные свойства гироскопа, когда момент вращения, создаваемый вокруг одной из поперечных осей, мгновенно вызывает вращение вокруг другой поперечной оси. Такой гироскопический эффект при вращении МКТС открывает новый принцип управления поступательным движением, который рассматривается в данной главе.

При достаточной эффективности рулевых РД одноосная конфигурация МКТС допускает мягкое приземление без обратной трансформации в пакетную компоновку на специально подготовленное место посадки, например, на водную поверхность моря, озера или бассейна. Наконец одноосная конфигурация существенно упрощает методологию определения аэродинамических характеристик, включая определение координаты центра давления при спуске МКТС и ВКА в атмосфере, в том числе с балансировочными углами атаки.



1. Математическая модель углового движения МКТС в атмосфере

При спуске в атмосфере МКТС трансформируется в одноосную осесимметричную компоновку с поперечной плоскостью симметрии, проходящей через геометрический центр, которая в упрощенном виде представляет собой ВКА из двух конусов, состыкованных днищами друг к другу, как показано на рис.1. Относительно центра масс ВКА, совпадающего с геометрическим центром, действует аэродинамический момент, стремящийся развернуть продольную ось симметрии перпендикулярно вектору скорости. Угловое движение двухконусного ВКА напоминает вращение симметричного тяжелого волчка вокруг точки, несовпадающей с центром масс, решение которого найдено Лагранжем [10].

Рис.1. Принципиальная схема двухконусного ВКА

Постановка задачи. Используя сходство ВКА в двухконусной конфигурации, вращающегося вокруг оси OZ, с симметричным тяжелым волчком, получим решения дифференциальных уравнений углового движения ВКА в атмосфере как тела в форме стержня с одинаковыми поперечными моментами инерции, превышающими продольный момент инерции. В силу осевой симметрии распределения массы главные моменты инерции не изменяются при вращении ВКА. Кроме того, считается, что при смещении центра масс на малые расстояния от геометрического центра главные оси инерции остаются центральными, что означает отсутствие центробежных моментов инерции в динамических уравнениях Эйлера [7,10].

1.1 Математическая модель свободного углового движения

Свободное угловое движение происходит без воздействия внешнего момента. Для его исследования введём связанную с ВКА систему координат , начало которой помещено в геометрическом центре ВКА; оси и расположены в поперечной плоскости симметрии, ось направлена вдоль продольной оси корпуса и образует с осями и правую прямоугольную декартову систему координат (рис.2).

Введем также инерциальную правую декартову систему координат , начало которой совпадает с началом осей , а ось направлена вертикально вверх и строго противоположно вектору скорости центра масс ВКА при квазиустановившемся отвесном падении ВКА после завершения аэродинамического торможения (рис.1). Угловое движение ВКА описывается углами Эйлера и относительно в соответствии с кинематической схемой, показанной на рис.2. Окончательное положение связанной системы координат после каждого ее последовательного поворота на угол , угол и угол собственного вращения показано на рис.2.



Рис.2. Кинематическая схема систем координат и

В соответствии с данной кинематической схемой проекции вектора угловой скорости ВКА на оси связанной системы координат , записываются в виде:

(1)

Разрешим систему (1) относительно скоростей вращения углов Эйлера , , . Для этого сначала умножим первое уравнение на , второе - на и сложим. Затем первое уравнение умножим на , второе - на и сложим. В итоге получаем кинематические уравнения углового движения, отличающиеся от уравнений, приведённых в Приложении П.5, другой последовательностью поворотов:



, (2) .

которые решаются вместе с динамическими уравнениями углового движения:

(3)

где , , - главные моменты инерции; , , - составляющие момента внешних сил на оси , , связанной осей.

1.2 Исследование свободного углового движения МКТС и ВКА

Рассмотрим случай свободного углового движения двухконусного ВКА при отсутствии внешних моментов: Подставим в (3) выражения для угловых скоростей из (1) и их производных:

Умножим первое уравнение на , второе - на и сложим. Затем первое уравнение умножим на , второе - на - и сложим. В результате получаем систему:

После несложных преобразований приходим к системе из трех дифференциальных уравнений второй степени, описывающих свободное угловое движение ВКА и МКТС [10]:

(4)

Благодаря особой аэродинамической конфигурации, когда центра масс совпадает с геометрическим центром, ВКА после схода с орбиты при спуске в атмосфере займет статически устойчивое угловое положение, при котором продольная ось направлена перпендикулярно вектору скорости, как показано на рис.1. Именно при такой ориентации ВКА получает максимально возможное сопротивление в атмосфере, позволяющее эффективно тормозить скорость, полученную при входе в атмосферу.



Рисунок 3. Статически неустойчивое положение двухконусного ВКА

Это утверждение легко доказывается от противного. Пусть статически устойчивым положением ВКА, как это кажется на первый взгляд, является положение, показанное на рис.3, т. е. когда продольная ось строго противоположна вектору скорости и угол (рис.2). В силу того, что первый конус находится в аэродинамической тени второго, центр давления равнодействующей аэродинамических сил, образующихся на первом и втором конусах, будет расположен на втором конусе. Тогда при некотором возмущении, отклоняющем продольную ось от вектора скорости, возникает момент аэродинамической силы (на плече относительно центра масс, совпадающего с геометрическим центром), стремящийся увеличить первоначальное отклонение. А это означает статическую неустойчивость ВКА в положении, показанном на рис. Рассуждая подобным образом относительно других значений углов , легко проследить, что положение ЛА, показанное на рис.1, является статически устойчивым. Таким образом, приходим к выводу, что угловое движение ВКА будет протекать при ориентации продольной оси под углом (рис.1 и рис.2). Введём новую переменную , где - угол между продольной осью и плоскостью, перпендикулярной вектору скорости. Из системы (4) при , получаем:

;(5) .

Из третьего уравнения системы (5) следует:

.(6)

Учитывая третье уравнение в системе (1) и свойство (6), записываем:

.(7)

Подставляя первый интеграл (7) в первые два уравнения (5), получаем:

(8)



Умножая второе уравнение в (8) на , приходим к уравнению:

из которого следует второй первый интеграл:

(9)

Умножим первое уравнению в (8) на , второе - на и оба сложим. Получим уравнение:

из которого следует третий первый интеграл:

(10)

Получили незамкнутую систему из трёх уравнений (7), (9) и (10) с неизвестными , , , , .

1. Свободное угловое движение со смещённым центром масс Одно из преимуществ рассматриваемой двухконусной аэродинамической формы ВКА состоит в том, что при статически устойчивом положении, когда центр масс совпадает с геометрическим центром, теоретическое положение центра давления известно достоверно: оно совпадает с геометрическим центром. Это существенно облегчает определение аэродинамических характеристик ВКА по сравнению с обычным изолированным конусом. Рассмотрим случай, когда центр масс ВКА смещен на небольшое расстояние вдоль продольной оси от геометрического центра O в сторону второго конуса (рис.4). Такое смещение можно получить в полёте естественным образом, например, расходуя топливо на торможение для схода с орбиты только из одного бака (бака конуса 1), оставляя топливо в баке конуса 2 для торможения при мягком приземлении. Симметричность аэродинамического обтекания здесь нарушается. Покажем, что ВКА со смещенным центром масс будет иметь статически устойчивое положение при балансировочном угле (рис.4). Доказательством этого утверждения будет служить равенство моментов аэродинамических сил и на обоих конусах относительно центра масс (ц.м.) при таком балансировочном угле. Действительно, несмотря на изменение плеч из-за смещения центра масс (на втором конусе плечо уменьшилось на , а на первом - увеличилось на ), с физической точки зрения равновесие моментов достигается благодаря увеличению и соответствующему уменьшению величины . Отметим, что данное положение полностью согласуется как с данными теории, так и с результатами летных испытаний по определению аэродинамических характеристик боеголовок в форме конусов большого удлинения и с малым радиусом притупления.

Замечание 1. Для простоты рассуждений в условиях отсутствия достоверных данных по аэродинамическим характеристикам ВКА нетрадиционной двухконусной конфигурации аэродинамическая форма ВКА считается простой комбинацией изолированных круговых конусов без интерференции. Реальное значение при будет превышать алгебраическую сумму коэффициентов и изолированных конусов.

Из рис.4 запишем равенство аэродинамических моментов от конусов 1 и 2:

(11)

где - коэффициенты нормальных составляющих аэродинамических сил на конусах 1 и 2 соответственно; , - расстояния до центров давления на соответствующих конусах, отсчитываемые вдоль продольной оси Oz от геометрического центра; - смещение центра масс от геометрического центра вдоль оси ; - скоростной напор; - характерная площадь ВКА. Типичная зависимость коэффициента , , для изолированного конуса от угла показана для и на рис.5. Максимальное значение и достигается при угле , соответственно большем и меньшем на половину угла раствора конуса (), равную для боевых блоков баллистических ракет (на рис.4 для второго конуса при ). Линеаризуем коэффициенты , , относительно их значений при в диапазоне :

,, ,(12)



где 3,6 при и , 1/град - примерные значения для аэродинамической компоновки при 0,5 м² с числом Маха =6.

Рис.5. Зависимости аэродинамических коэффициентов

Далее предполагаем, что положения центров давления на обоих конусах изменяются в силу достаточной малости угла на одинаковую величину на конусе 2 - в сторону носка, на конусе 1 - в сторону геометрического центра, т. е.

;,(13)

где - значения и при и

Подставляя соотношения (12), (13) в уравнение (11), приходим к выражению для балансировочного угла:

,(14)



где ; ; ; - длина конуса ( м). Пусть , тогда при относительном смещении центра масс и при балансировочный угол составит 6,0є. Замечание 2. На балансировочном угле 6є ускорение, перпендикулярное вектору скорости, достигает значения:

3,6 м/с².

При таком ускорении, действующем в течение 100 с, ВКА получает боковое отклонение 18 км. Учитывая , из первого уравнения (8) получаем:

(15)

Таким образом, свободное угловое движения ВКА (аналог случая Эйлера) представляет собой перманентное вращение вокруг продольной оси симметрии с угловой скоростью (7) и прецессию с угловой скоростью (15) относительно вертикальной оси с ориентацией продольной оси ВКА под углом к плоскости, перпендикулярной вектору скорости.



1.4 Уравнения движения при воздействии аэродинамического момента

Рассмотрим сначала действие аэродинамического момента, направленное на отклонение продольной оси из начального неустойчивого положения равновесия , для ВКА с массовой симметрией, когда центр масс совпадает с геометрическим центром,. Суммарный момент от аэродинамических сил на обоих конусах по аналогии с (11) представим в виде: ,(16) где - безразмерный коэффициент. Геометрическая интерпретация коэффициента показана на рис.6.

Рис.6. Зависимость коэффициента аэродинамического момента

В диапазоне аэродинамический момент (16) достаточно точно аппроксимируется зависимостью: ,(17) или, в результате перехода к переменной , выражением: (18) где - амплитуда колебаний . Момент совпадает с направлением вектора (рис.2) вдоль оси и на оси связанной системой координат дает две составляющие и . Динамические уравнения (3) углового движения ВКА принимают вид:

(19)

Аналогично выводу системы (4) приходим к следующей системе дифференциальных уравнений 2-й степени для несвободного углового движения:

(20)

Система (20) напоминает случай Лагранжа, в котором вместо момента силы тяжести (для тела, опёртого не в центре масс) действует аэродинамический момент (18) в том же направлении, что и момент силы тяжести.

С учетом первого интеграла (7), следующего из третьего уравнения системы (20), запишем:

(21)

где (7). В результате умножения первого уравнение в (21) на , а второго на и последующего их сложения получаем уравнение: , решение которого имеет вид: (22) Для случая массовой асимметрии в предположении сохранения уравнений движения в виде (19), для которого , имеем и из первого уравнения в (21) следует квадратное уравнение относительно :

(23)

которое имеет решение:

,

которое запишем в более удобном виде:

(24)

где (). При () из первого уравнения системы (21) следует, что В безвоздушном пространстве и уравнение (24) имеет два решения: . В атмосфере и существуют две скорости прецессии: и Таким образом, на основе приближенных оценок аэродинамических характеристик для осесимметричного двухконусного ВКА с поперечной плоскостью симметрии получено выражение для (24), определяющее физический способ ориентации подъемной составляющей полной аэродинамической силы и, следовательно, способ управления полетом ВКА в атмосфере. Изменение скорости продольного вращения по направлению и величине позволяет регулировать скорость прецессии таким образом, чтобы плоскость, содержащая вектор скорости и подъемную силу, совпадала с заданным направлением полета ВКА. При этом знак (<0 или >0) в формуле (24) выбирается с учетом предыстории поведения , сложившейся в зависимости от начальных условий входа в атмосферу, измеряемых бортовыми акселерометрами. В бортовом компьютере на основе формулы (24) на каждом текущем шаге управления из условия получения требуемого конечного угла вычисляется значение скорости с учётом разгона и торможения, которое уточняется на последующих шагах по измеренным значениям , , .



2. Программирование угловых разворотов в атмосфере

При проектировании возвращаемых космических аппаратов (ВКА), при разработке алгоритмов управления их спуском в атмосфере обычно динамику углового движения заменяют алгебраическим уравнением статического равновесия аэродинамического и управляющего моментов по углам тангажа или рыскания. Из уравнения статики определяется балансировочный угол атаки или скольжения, участвующий в определении аэродинамических сил при моделировании динамики полёта ВКА в атмосфере. Такое упрощение обосновывалось двумя соображениями: быстротечностью переходных процессов в установлении балансировочных равновесий и трудоёмкостью в проведении большого объёма вычислений при численном интегрировании дифференциальных уравнений углового движения. И хотя сейчас последняя проблема решается применением современных персональных компьютеров, вопрос о справедливости замены динамических уравнений углового движения соответствующими балансировочными уравнениями не всегда рассматривается. Решение современной актуальной проблемы создания многоразовых ВКА и повышения комфортабельности спуска в атмосфере как для экипажа и полезного груза, так и для конструкции самого ЛА, связано с более тщательным исследованием динамики углового движения ВКА в атмосфере и, в первую очередь, выполнения угловых разворотов в канале тангажа или рыскания [11]. В данном разделе рассматривается задача формирования программных угловых разворотов ВКА и МКТС в одноосной конфигурации в атмосфере на основе аналитического решения дифференциальных уравнений, составленных с учётом основных физических условий полёта в атмосфере.

Управляющий момент, с помощью которого выполняется разворот ВКА и МКТС и который входит в правую часть динамических уравнений Эйлера, можно создавать рулевыми органами, действующими на основе различных физических принципов. Для определённости рассмотрим ВКА в двухконусной конфигурации, между корпусами которого установлен отсек двигательной установки, как показано на рис.1.3 главы 1. Управляющий момент по углам тангажа и вращения создаётся ракетными двигателями, сопла которых выходят на поверхность корпуса данного отсека.

2.1 Угловые развороты в разреженной атмосфере

Критерием разреженности атмосферы служит превышение управляющего момента над моментом аэродинамическим : .(25) Учитывая, что управляющий момент определяется величиной силы тяги ракетного двигателя P, а аэродинамический момент пропорционален углу атаки, или углу разворота , перепишем неравенство (25) в виде: .(26) Управляющий момент в конкретной конструкции ВКА при неизменной величине силы тяги есть величина постоянная:

,(27)

где , - расстояния, отсчитываемые вдоль продольной оси от носка ВКА соответственно до центра масс и линии действия вектора тяги.

Считая аэродинамический момент линейной функцией от угла атаки, запишем его в виде:

,(28)



где - производная коэффициента нормальной составляющей полной аэродинамической силы по углу атаки;

- плотность атмосферы; V - скорость спуска; S - площадь миделевого сечения; , - относительные координаты; - расстояние от носка до центра давления; l - длина ВКА. Разность относительных координат:

(29)

определяет запас статической устойчивости и при достаточно малой абсолютной величине, равной 0,015 - 0,020, обеспечивает необходимую управляемость ВКА в угловом движении.

Угловое движение опишем дифференциальным уравнением 2-й степени относительно угла атаки:

,(30)

где - коэффициент аэродинамического момента, который при умножении на угол атаки представляет ускорение, направленное на уменьшение модуля угла атаки; - ускорение от управляющего момента; I - поперечный момент инерции.

Задача состоит в том, чтобы совершить разворот продольной оси ВКА из начального положения: ;;,(31)

в заданное конечное положение при нулевой конечной угловой скорости:

; ;,(32)

где T - заранее неизвестное время. Наискорейший разворот. Разворот осуществляется двухимпульсным управляющим моментом: первый импульс тяги, создаваемый одним соплом, выполняет разгон до момента , после которого второй импульс, создаваемый вторым соплом, тормозит угловую скорость до терминального момента T. Такая структура управления оптимальна по критерию быстродействия. Рассмотрим последовательно динамику углового разворота ВКА по участкам, приняв для определённости . 1. Разгон на полуинтервале описывается уравнением: (33) с нулевыми начальными условиями , . Данное уравнение после приведения к виду:

(34)

представляет частный интегрируемый случай дифференциального уравнения 2-й степени. Интегрирование (34) от до и от до при начальном положении (31), с нулевыми значениями скорости и угла и , даёт решение для угловой скорости: .(35)

Последующее интегрирование уравнения (35) даёт решение для времени:



,(36)

откуда получаем зависимость угла атаки от времени:

(37)

и зависимость угловой скорости от времени:

.(38)

При разгон завершается следующими параметрами углового движения:

,.(39)

2. Торможение на отрезке начинающееся с параметрами (39), описывается дифференциальным уравнением: ,(40)

интегрирование которого даёт выражение для угловой скорости:

,(41)



а интегрирование (41) даёт выражение для времени:

. (42)

По окончании разворота, , согласно (41) и условию (32) имеем:

,(43)

откуда с учётом (39) получаем выражение для определения времени разгона в зависимости от заданного терминального угла разворота :

.(44)

Подставляя (44) в первое соотношение (39), получим формулу для определения угла разворота к окончанию разгона в зависимости от :

.(45)

Подставляя (44) во второе выражение (39), получим формулу для определения угловой скорости по окончании разгона:

,(46)



которую с учётом (45) можно записать в более простом виде:

.(47)

Окончание разворота определяется согласно выражению (42) временем:

.(48)

С учётом (45) и (47) получаем:

.(49)

Наконец с учётом (44) имеем окончательное выражение для определения времени разворота в зависимости от заданного угла разворота :

.(50)

Из уравнения балансировочного равновесия определим согласно дифференциальному уравнению (33) величину балансировочного угла атаки:



,(51)

которую по условию задачи ВКА при развороте не достигает. С помощью соотношения (51) перепишем формулу (50) в виде:

. (52)

Из формулы (51) следует, что пропорциональное изменение коэффициентов M и m, например, при изменении момента инерции ВКА, не влияет на величину балансировочного угла атаки. Время разворота, как показывает формула (52), обратно пропорционально аэродинамическому моменту. Чем он больше, тем меньше время разворота, но одновременно уменьшается угол разворота.

Зависимость текущей величины угла атаки от времени выражается из (42) с учётом (44) и (47:

.(53)

Формула для скорости изменения угла атаки по времени имеет вид:

.(54)



Пример 1. Рассмотрим ВКА с характеристиками: P=100 кгс, I=10 кгмІ, S=0,2 мІ, l=1,6 м, =2,0 1/рад, , который на высоте 50 км с плотностью =0,001067 кг/мі имеет скорость V=7,0 км/с. Вычисления ускорений дают m=3,461 1/сІ и M=43,949 1/сІ. Пусть разворот проводится на угол =30°. Вычисления по формул (44) показывают, что разгон длится 0,128 с до угла =0,314 (17,999°). К этому моменту угловая скорость достигает наибольшего значения =4,930 1/с (282,446°/с). Полный разворот совершается за время T=0,205 с. Балансировочный угол атаки достигает величины =75,255°, что в 2,5 раза превышает заданный угол разворота. Поэтому, если управляющий момент уменьшить более чем в два раза, разворот ВКА на заданный угол =30є выполнить не удастся. При достаточно большой эффективности, обеспечивающей большие располагаемые угловые ускорения, разворот ВКА на достаточно большие углы занимает доли секунды. Угловой разворот с одноимпульсным управлением. Как показали расчёты в разделе 2.1, двухимпульсный разворот с разгоном и торможением, создаваемыми управляющим моментом, хотя и происходит достаточно быстро, но требует переключения на противоположный управляющий двигатель, что усложняет алгоритм управления и увеличивает суммарный расход топлива за все развороты, выполняемые при спуске в атмосфере. Рассмотрим угловой разворот с одноимпульсным управляющим моментом, действующим только на разгон в течение времени . После этого он отключается, и последующее торможение угловой скорости проходит только за счёт аэродинамического момента. Отличие программирования одноимпульсного разворота определяется уравнением движения при торможении, в правой части которого отсутствует ускорение от управляющего момента: .(55)

Проводя последовательное интегрирование уравнений углового движения по участкам, как это сделано в разделе 2.1, получим выражение для определения времени разгона:

.(56)

К этому моменту разворот на угол (57)

достигается с угловой скоростью, определяемой выражением:

или .(58)

Время полного разворота определяется по формуле:

,(59)

или формулой, выраженной через балансировочный угол атаки:

.(60)

Решения для и при разгоне, который выполняется с помощью управляющего момента, абсолютно совпадают с (37) и (38), а соответствующие решения для кинематических параметров торможении только с помощью аэродинамического момента имеют вид:



,(61) .(62)

Замечание 1. Полученные аналитические решения (53), (54), (61), (62) для кинематических параметров углового движения выражены через параметры переключения , , . Это означает, что расчёт текущих параметров углового движения проходит последовательно сначала при разгоне, а затем при торможении. При этом конец разгона или начало торможения может фиксироваться не только по времени , но и по углу или угловой скорости . Пример 2. Расчёты параметров программного разворота с одноимпульсным управлением для ВКА с такими же характеристиками и при тех же условиях, что и в примере 1, показывают, что время разгона сократилось до =0,069 с, в течение которого угол атаки достиг величины всего 6,0є при угловой скорости 2,970 1/с (170,187є/с), разворот на заданный угол = 30є осуществлён за более продолжительное время T=0,306 с.

Сопоставление законов управления. Проведём сравнение полученных законов двухимпульсного и одноимпульсного управлений по продолжительности разворотов, имея в виду, что одноимпульсный разворот более экономичен по расходу топлива и менее сложен в практической реализации. Для сравнения вычислим продолжительность наискорейшего разворота ВКА с характеристиками, принятыми в примерах 1 и 2, в отсутствии атмосферы и при идеальном срабатывании ракетных двигателей. Для этого воспользуемся формулой (2.5) из главы 2: (63) и составляет 0,219 с. С учётом (63) формулу (52) для двухимпульсного управления перепишем в виде:

. (64)

Расчеты в приведенных примерах показывают следующее. Время разворота в отсутствии атмосферы (63) практически совпадает с временем двухимпульсного разворота в атмосфере (50), (52): насколько аэродинамический момент мешает при разгоне, настолько он помогает при торможении. Но продолжительность одноимпульсного разворота примерно в полтора раза больше. Оценки программных разворотов, выражающиеся в короткой продолжительности, получены для малого ВКА с большой эффективностью управления. При увеличении поперечного момента инерции в 100 раз, чему соответствует примерное увеличение массы ВКА от 200 кг до 1 - 1,5 т, продолжительность разворота возрастает до 2,05 с при двухимпульсным управлении и до 3,06 с при одноимпульсном управлении. Такие продолжительности подтверждают мысль о необходимости программирования разворотов не только при разработке алгоритмов управления, но и при проектировании ВКА.

2.2 Угловые развороты в плотных слоях атмосферы

По мере погружения в атмосферу многие типы ВКА, обладающие достаточно малым баллистическим параметром, первоначально не сильно теряют свою скорость. Поэтому коэффициент аэродинамического момента m может существенно увеличиться, в то время как управляющий момент остаётся практически неизменным. Рассмотрим аналитическое программирование угловых разворотов ВКА для случая, когда m >M. Как следует из (51), величина балансировочного угла атаки может принимать весьма малые значения. Тогда задача состоит в проведении предельно возможного углового разворота на балансировочный угол атаки. Двухимпульсный разворот. Формула для вычисления времени полного разворота на балансировочный угол атаки следует из выражения (6.28) при

: ,(65)

выражение которого представляет весьма удобную и простую оценку. Для времени разгона имеем оценку: .(66)

Угол разворота по окончании разгона оценивается по формуле:

.(67)

Угловая скорость по окончании разгона имеет оценку: .(68) Одноимпульсный разворот. Для времени полного одноимпульсного разворота из выражения (60) при получаем оценку:

.(69)

Время разгона оценивается по формуле:

.(70)



Угол разворота по окончании разгона имеет выражение

.(71)

Угловая скорость по окончании разгона имеет оценку

.(72)

Сравнение оценок для двухимпульсного разворота с оценками для одноимпульсного разворота показывает, что двухимпульсный разворот проходит быстрее одноимпульсного, однако промежуток времени разгона при одноимпульсном развороте короче, чем при двухимпульсном.

Таким образом, в результате аналитического программирования получены два закона программного углового разворота ВКА в атмосфере на заданный терминальный угол или балансировочный угол атаки с одновременным обеспечением нулевой угловой скорости: 1) с двухимпульсным приложением управляющего момента при разгоне и торможении и 2) с одним импульсом при разгоне и только аэродинамическим моментом при торможении.

Представленные результаты обладают следующими свойствами:

- закон программного разворота при неизменном управляющем моменте полностью определяется моментом времени переключения (выключения) управления и длительностью разворота;

- на основе аналитического решения для угла и угловой скорости оказалось возможным получить простые и наглядные оценки для параметров углового движения;

- полученные оценки для управляющих параметров и параметров углового движения позволяют достаточно просто учесть динамику переходных процессов при угловых разворотах и повысить точность моделирования динамики полёта и спуска ВКА в атмосфере без интегрирования дифференциальных уравнений углового движения, что особенно важно как в проектных расчётах, так и в разработке бортовых алгоритмов управления.



3. Динамика и управление поступательным движением в атмосфере

Полёт в атмосфере ВКА совершает по определённой траектории, на которой решается ряд задач - это максимальное сопротивление для торможения скорости, максимальное рассеивание тепла в атмосфере при минимальном его поступлении в теплозащитное покрытие (ТЗП), минимальная аэродинамическая перегрузка, полёт в заданную точку приземления на поверхности и др. В применении по военному назначению ВКА может решать задачу перехвата подвижной сильно маневрирующей цели, к которым относятся управляемые и маневрирующие ББ МБР и БРПЛ, а также сам может выполнять манёвры уклонения от ударных противодействующих средств противника. Необходимая траектория полёта ВКА в атмосфере формируется за счёт управления подъёмной аэродинамической силой, возникающей на корпусе ВКА при его отклонении на угол атаки, с помощью изменения угла скоростного крена.

1. Математическая модель поступательного движения в атмосфере Введём прямоугольную систему координат , начало которой расположено в точке на поверхности, являющейся проекцией точки начала управления ВКА. Ось расположена в плоскости, касательной к поверхности, и направлена по проекции вектора скорости на эту плоскость. Ось направлена по вертикали к касательной плоскости, ось дополняет тройку осей до правой системы координат.

Математическая модель пространственного движения для анализа динамики полёта ВКА в атмосфере и синтеза законов управления представляет собой систему из шести обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений:



, , ,(73) , , ,

где - скорость; - угол наклона траектории; - угол пути; - высота; - продольное горизонтальное расстояние полёта; - боковое отклонение; - плотность атмосферы; - ускорение силы земного притяжения; , - длина радиус-вектора, проведённого из центра Земли до центра масс ВКА; - радиус сферической Земли; - угол скоростного крена; - аэродинамическое качество; - коэффициент силы лобового сопротивления; - коэффициент подъёмной силы; - угол атаки; - баллистический параметр; - масса; - площадь миделевого сечения; - плотность атмосферы, в экспоненциальной модели которой справедливо дифференциальное соотношение: ,(74) где - константа, входящая в экспоненциальную модель атмосферы.

Система (73) решается с начальными условиями: ; ; ; ; ; ; ,(75)

соответствующими параметрам движения в начале управляемого движения ВКА в атмосфере.

Полёт ВКА в атмосфере направлен на выполнение полётного задания, которое в большинстве случаев предписывает решение терминальной задачи, т.е. попадание в конечную точку, в которой заданы все или часть координат в пространстве состояний:



; ; ; ; ; ; ,(76)

где - конечное время полёта, которое задаётся в терминальных задачах сближения и не задаётся в позиционных терминальных задачах.

Решение терминальной задачи (73), (75), (76) состоит в формировании программной траектории с соответствующим законом векторного управления: ,(77) содержащим две составляющие: аэродинамическое качество и скоростной угол крена . По известной величине легко вычисляется угол атаки, который реализуется рулевыми органами. Для ВКА и МКТС рулевыми органами являются ракетные двигатели, определённым образом расположенные на корпусе для создания управляющих моментов по трём углам Эйлера.

2. Типовые траектории полёта в атмосфере Типовой траекторией называется траектория продольного или пространственного движения ВКА с постоянным управлением: , , для дифференциальных уравнений движения по которой на некотором промежутке времени (полуинтервал или отрезок) получены аналитические решения. Для этого по каждой типовой траектории принимают адекватные допущения и предположения, позволяющие упростить уравнения движения. Например, при достаточно большой скорости полёта дифференциальные уравнения для скорости и угла наклона траектории упрощают, отбрасывая составляющие гравитационного ускорения. После того как скорость заметно упадёт благодаря большому сопротивлению ВКА при спуске в атмосфере, эти уравнения решаются с гравитационными составляющими ускорения по методу Пикара: сначала находят строгие решения приближённых уравнений (без гравитационных составляющих), а затем их подставляют в исходные уравнения, для которых находят уточнённые решения.

Для конструирования составных траекторий продольного и пространственного движения ВКА в атмосфере, используются следующие типовые траектории. 1). Кабрирование. Полёт в атмосфере под действием достаточно большой подъёмной силы, направленной вверх, . При происходит строгое кабрирование, когда подъёмная сила направлена вертикально вверх. 2). Пикирование. Полёт в атмосфере под действием подъёмной силы, направленной вниз, . При происходит строгое пикирование, когда подъёмная сила направлена вертикально вниз. В частном случае кабрирования или пикирования, , вся подъёмная сила направлена на разворот вектора скорости вправо, , или влево, , если смотреть по направлению полёта. 3). Свободное движение. Полёт в атмосфере под действием аэродинамического сопротивления и силы притяжения, без воздействия подъёмной силы, .

При большой скорости полёта в атмосфере для дифференциальных уравнений движения на принятых типовых траекториях получены строгие решения, представляющие аналитические соотношения кинематических параметров движения, выраженные в элементарных функциях, за исключением продолжительности полёта, строгое решение для которого (в виде суммы бесконечного ряда) получено только для траектории свободного полёта. 4). Плоский разворот. При формировании траекторий пространственного движения вводится понятие плоского разворота. Плоский разворот устанавливает полёт в атмосфере под действием подъёмной силы, направленной перпендикулярно вектору скорости и параллельно поверхности, . Решения дифференциальных уравнений плоского разворота выражены через специальные функции: интегральные синус и косинус и интегральную показательную функцию. Они получены в предположении , которое с большой степенью достоверности справедливо при скоротечном плоском развороте, выполняемом с большой величиной аэродинамического качества.

Четыре типовых траектории используются при конструировании составных программных траекторий полёта в атмосфере, обеспечивающих решение различных терминальных задач в виде законов программного управления.

Закон программного управления Вектор управления (77) содержит две составляющие - аэродинамическое качество и угол скоростного крена . Требуется найти такие законы их изменения, которые решают одну из терминальных задач, поставленную в терминах системы (73), (75), (76). Закон программного управления - это математическая зависимость изменения каждой из составляющих управления и в функции времени. В большинстве случаев в роли независимой переменной выступает один из параметров движения, который на данном типовой траектории монотонно возрастает. Поскольку нахождение закона управления ограничено рамками системы (73) - (76), не содержащей многочисленных возмущений (внешних и параметрических), присутствующих в реальном полёте, то управление называется программным, и закон программного управления предписывает поведение объекта управления в программных, или идеальных условиях полёта. Класс функций управления определяется структурой закона управления, которая состоит из кусочно-постоянных функций: и , принятых постоянными на соответствующем типовом куске составной траектории. Переход с одного типового промежутка траектории на следующий, т.е. изменение значений и происходит в точках переключения управления, нахождение которых совместно с величинами и по существу представляет конструирование закона управления. Точка переключения управления - это обыкновенная точка фазового пространства, определяемая тремя координатами вектора положения, тремя составляющими вектора скорости и временем её достижения. В программных условиях полёта точку переключения в законе управления достаточно определить временем её достижения, по которому вычисляются остальные координаты. Изменение величины в законе управления зависит от ККС. Если объект управления по условию решаемых терминальных задач обладает достаточно большим аэродинамическим качеством, обеспечиваемым неизменной аэродинамической конфигурацией (отклонённый наконечник, срезанная донная часть, поперечное смещение центра масс), то чтобы уменьшить подъёмную силу до нуля, необходимо преодолеть большой аэродинамический момент. А для этого нужны весьма эффективные рулевые органы, что связано с проблемами конструктивного исполнения не только рулей, но и их рулевых машин (рассчитать массу, прочность, запас рабочего тела). Хотя условие неизменности большой и известной величины сужает класс возможных законов управления при решении одной и той же терминальной задачи, предпочтение отдаётся законам управления со структурой, в которой величина не регулируется.

Такое управление облегчает не только конструктивное исполнение ВКА, но также вид закона управления благодаря однородному набору управляющих параметров, которыми служат искомые значения одной из координат в точках переключения управлений. Что касается угла скоростного крена, то его величина всегда сохраняется постоянной, , на всех типовых траекториях из соображений оптимальности по быстродействию и простоты исполнения. Управление по углу скоростного крена имеет физический смысл только при , поэтому если в структуре закона управления величина аэродинамического качества не регулируется, то составная траектория может содержать избыточное число типовых промежутков, что усложняет конструирование законов управления и их исполнение в полёте.

Таким образом, в общем случае программная траектория полёта ВКА в атмосфере конструируется из последовательного сочетания трёх типовых промежутков движения, а структура закона управления формируется из величины и постоянной величины , значения которой определяют: - кабрирование, - пикирование, - плоский разворот вправо, если знак плюс, и плоский разворот влево, если знак минус. Программная траектория - это идеальная траектория не только потому, что в ней не учитываются возмущения, возможные в реальном полёте, но также потому, что на ней не учитывается динамика разворота по углу скоростного крена. На практике ВКА имеет рулевые органы, эффективность которых в образовании управляющих моментов достаточна велика для выполнения весьма быстрых разворотов вокруг продольной оси. Поэтому в полёте некоторые отклонения реальной траектории от программной не будут вносить больших возмущений из-за углового движения, возникающего при стабилизации программного движения. Кроме того, в реальном полёте совсем необязательно строго придерживаться той программной траектории, которая составлена из типовых промежутков и по которой определены законы управления и . Главное, чтобы в конце полёта на каждом типовом отрезке реальные параметры движения мало отличались от программных. А это достигается соответствующими алгоритмами управления угловым движением, разработке которых посвящены разделы 1 и 2.

Больше того, и в конце внутренних промежутков реальной траектории также не всегда обязательно выдерживать программные значения координат точек переключения. Важно, чтобы они были выдержаны в терминальной точке, достижение которой составляет решение терминальной задачи и выполнения ПЗ.

Следует отметить, что при решении терминальной задачи с переменной конечной точкой (задача перехвата) из-за погрешностей прогнозирования перемещения конечной точки конструирование программной траектории и построение закона управления неоднократно обновляются. Такие обновления могут происходить на различных промежутках реализующейся траектории.

4. Аналитические решения уравнений поступательного движения Для системы (73), (75) с уравнениями, записанными по переменной интегрирования , не всегда удаётся получить строгие аналитические решения даже в модельной системе, которая получается из системы (73) в результате отбрасывания вторых слагаемых в первых двух уравнениях:

;; ;,(78)

с начальными условиями:

;;;;.(79)

Модельная система дифференциальных уравнений (78), (79) продольного движения получена из исходной системы дифференциальных уравнений (73) в предположении преобладающего воздействия на полёт в атмосфере аэродинамического ускорения по сравнению с гравитационным ускорением. Это в полной мере относится к ВКА и МКТС, совершающим полёт в атмосфере после схода с околоземной орбиты. Справедливость второго уравнения системы (78), не содержащего гравитационную составляющую, в равной степени относится ко всем ВКА с большой величиной аэродинамического качества.

Благодаря переходу к другим переменным интегрирования на различных промежутках составной траектории удаётся получить строгие решения дифференциальных уравнений движения, причём различными способами. На основе строгих решений модельных уравнений (78) получены приближённые решения для исходных уравнений (73).

Основу теории аналитического конструирования траекторий полёта ВКА в атмосфере составляют аналитические зависимости параметров на типовых траекториях, получаемые из решения соответствующих дифференциальных уравнений движения при кабрировании, пикировании и свободного полёта [80-85].

5. Траектории кабрирования Кабрированием называется полёт в атмосфере с подъёмной силой, направленной вверх, . Если угол наклона вектора скорости принимает значения из диапазона , кабрирование называется нисходящим, если из диапазона , то восходящим. Движение с кабрированием описывается системой (78) при на отрезке . В общем случае границы типового промежутка движения задаются моментами времени, однако строгие решения этих уравнений не всегда удаётся выразить через переменную . Часто аналитическая зависимость кинематического параметра движения выражается через другой кинематический параметр, который принимается в качестве независимой переменной на соответствующей траектории, если он удовлетворяет условиям непрерывности и монотонного возрастания. Тогда результаты построения закона управления выражаются с помощью промежутков движения, определяемых не временем, а одним из параметров движения. Имея строгие решения дифференциальных уравнений движения, всегда можно представить траекторию движения через любой параметр, включая время.

Строгие решения приближённых уравнений не всегда удовлетворяют требуемой точности, поэтому следующий этап построения законов управления состоит в получении приближённых решений для точных уравнений движения в результате уточнения полученных решений методом Пикара [108].

Угол наклона траектории кабрирования. Из второго уравнения системы (78) имеем: . Умножим и поделим обе части этого уравнения на :



.

С учётом уравнения (74) получаем: . Приходим к уравнению с разделёнными переменными и : .(80) На траектории восходящего кабрирования убывают обе величины и . Ни одну из них нельзя принять за переменную интегрирования. Получили случай, когда отрезок движения не совпадает с отрезком интегрирования. Интегрирование проведём на отрезке, противоположном движению, . На нём обе переменные монотонно возрастают и любую из них можно принять за переменную интегрирования. В интегралах с переменным верхним пределом уравнение (80) принимает вид:

.

После вычисления интегралов получаем: .(81)

В конце отрезка интегрирования, который является началом промежутка движения, имеем: .

Из последнего соотношения выразим косинус угла наклона траектории в конце отрезка:

.(82)



Подставим выражение (82) в (81):

,(83)

откуда выразим текущую плотность атмосферы:

.(84)

Получили аналитическое выражение для текущей плотности атмосферы в зависимости от текущего угла наклона траектории. Нетрудно проверить, что выражение (84) также справедливо для определения плотности на траектории нисходящего кабрирования. Скорость кабрирования. Деление первого уравнения системы (78) на второе при даёт новое уравнение: , с переменными и . Движение рассматривается на временном отрезке , на котором скорость уменьшается, а угол наклона траектории увеличивается. В качестве переменной интегрирования принимаем угол , и интегрирование ведётся на отрезке . Соответственно изменение скорости рассматривается на отрезке . Разделим переменные и выразим решение последнего уравнения через интегралы с переменным верхним пределом: .

Вычисление интегралов даёт зависимость скорости от угла наклона траектории: .(85) В конце промежутка движения, , скорость определяется выражением: .(86) В данном случае промежуток движения совпадает по направлению с отрезком интегрирования. С учётом выражения для текущего угла , получаемого из (83), запишем выражение для текущей скорости кабрирования в зависимости от угла наклона :

.(87)

Для конечной скорости получаем формулу:

.(88)

Дальность кабрирования. Четвёртое уравнение системы (78) имеет вид: .

Из второго уравнения системы (78) запишем дифференциал времени:

,(89)

выражение которого подставим в предыдущее уравнение: .

Выражения (89) и (84) подставим в уравнение для дальности:



.(90)

Решение для (90) запишем через интеграл с переменным верхним пределом:

,(91)

где . После преобразования получаем выражение с одним интегралом:

.(92)

Вычисление интеграла в соотношении (93) зависит от величины коэффициента , которая в первую очередь определяется величиной . Дальность кабрирования при большом . При интегрированием уравнения (92) получаем сначала зависимость текущей дальности от угла , а затем после подстановки пределов интегрирования получаем формулу для определения дальности кабрирования на отрезке :

,(93)

где . Дальность кабрирования при малом . При интегрированием того же уравнения (92) получаем следующую формулу для определения дальности кабрирования на отрезке :

...