Динамика СПУКА и управление МКТС и ВКА в атмосфере



Решение двухкоординатной терминальной задачи состоит в определении величины аэродинамического качества K, действующего на кабрирование, K>0.

Структура закона управления в решении двухкоординатной терминальной задачи состоит из одного кабрирующего импульса, , создаваемого подъёмной силой, , до момента выхода в горизонтальный полёт, , на заданной высоте или, что то же самое, благодаря соотношению (215), при заданной плотности . В качестве независимой переменной интегрирования выбираем величину плотности, поскольку она монотонно возрастает на отрезке вплоть до начала горизонтального полёта (рис.8). Угол наклона траектории по окончании кабрирования определяется выражением (82), в котором известны: угол наклона и плотность : , из которого следует величина K:

.(217)

Формула (217) показывает, какую величину аэродинамического качества , должен иметь ВКА, что выйти в горизонтальный полёт на высоте, для которой задана плотность . Высота горизонтального полёта задаётся по формуле: .

Скорость в начале горизонтального полёта вычисляются по формуле (86):

.(218)

Дальность начала горизонтального полёта определяется формулой (93) при большом :

,(219)

где , , и формулой (94) при малом :

,(220)

где , .

Условием применимости формулы (219) или (220) является величина аэродинамического качества: , по которой вычисляется коэффициент . Из выражения с учётом получаем: . Трёхкоординатная терминальная задача. Пусть теперь дополнительно к двум терминальным параметрам из двухкоординатной задачи задаётся ещё одна координата - скорость . В структуре закона управления, показанной на рис.8, имеется только один управляющий параметр и независимая переменная . Чтобы получить ещё один управляющий параметр, необходимо изменить структуру закона управления. Это достигается введением ещё одного управляющего импульса, направленного на пикирование: , как показано на рис.9, с искомым неизвестным управляющим параметром .

Точки переключения в законах управления моделируются изменением скоростного угла крена с на при переходе с режима кабрирования на режим пикирования и с на при переходе с пикирования на кабрирование.

Параметры движения в точке переключения определяются выражениями, полученными в разделе 6, для типовой траектории пикирования:

, .(221)

На второй части составной траектории осуществляется кабрирование, для которого выражения параметров движения получены в разделе 5. При



имеем: , .(222)

Подставим первое уравнение из (221) в первое уравнение системы (222): . Из второго уравнения (222) выразим угол : , где знак минус перед главным значением выбран исходя из принятой кинематической схемы, в которой угол . Это выражение подставим в полученное выражение для (222). В итоге приходим к системе из двух алгебраических нелинейных уравнений относительно управляющих параметров и :

, .(223)

Выразим управление из второго уравнения системы (223):

.(224)

Подставив выражение (224) в первое уравнение системы (223), получим рекуррентное выражение для определения плотности в точке переключения управления с режима пикирования на режим кабрирования:

. (225)



Таким образом, определён закон управления в решении трёхкоординатной терминальной задачи, который состоит в том, что сначала ВКА совершает пикирующий полёт до высоты, на которой плотность атмосферы равна значению, вычисляемому из уравнения (225), а затем аэродинамическое качество, величина которого вычисляется по формуле (224), переключается на кабрирование.

Кабрирование продолжается до выхода в горизонтальный полёт на заданной высоте . Пример 8. Пусть ВКА с баллистическим коэффициентом 0,5 10^-4 м²/кг после входа в атмосферу достиг высоты 20 км (0,0889 кг/м³) под углом ^° при скорости 7000 м/с. Требуется построить закон управления, который обеспечивает его выход в горизонтальный полёт, , на высоте 10 км (0,4135 кг/м³) со скоростью м/с. Примем значение постоянной 7623 м. Из уравнения (225) получаем значение плотности кг/м³, которое соответствует высоте около 13,5 км. Величина управления 24,0 следует из формулы (224). При этом наклон траектории в пикирующем полёте сначала увеличился (по абсолютной величине) до -31^°, а затем при той же величине управления в кабрирующем полёте уменьшился до по достижении конечной высоты с заданной плотностью.

Отметим, что терминальные задачи решаются при таких заданных координатах терминальной точки, которые принадлежат области достижимости, форма, размеры и свойства которой определяются численными расчётами. Четырёхкоординатная терминальная задача. Требуется обеспечить выход ВКА в горизонтальный полёт, , на заданной высоте, , с заданной скоростью, , на заданной дальности . Время полёта не задаётся. В структуре закона управления необходимо выделить дополнительный управляющий параметр. Один из способов - это сделать разные величины аэродинамического качества при пикировании и кабрировании , . Тогда в точке переключения управления параметры пикирования определяются выражениями (123), (125), (128), (129):

;; , (226) г

де , , ,(227) где , .

Параметры кабрирования в конце полёта, т.е. в начале горизонтального полёта определяются выражениями:

;; ,(228)

где , , или ,(229) где , .

Подстановка уравнений (2.226) в уравнения (228) и уравнения (227) в уравнение (229) приводит к системе из трёх алгебраических уравнений:

, , ,(230)

где , , ,

,(231)

где , , , . При заданных терминальных значениях , , выражения (230) или (231) представляют собой систему из трёх алгебраических уравнений с тремя искомыми неизвестными , , , которые определяют закон управления. Они находятся одним из приближённых численных методов.

Условиями применимости формулы (231) служат два неравенства: ,.

Соответственно противоположные неравенства являются условием применимости формулы (230).

Таким образом, на основе аналитических решений дифференциальных уравнений движения на типовых траекториях пикирования и кабрирования в атмосфере с экспоненциальной зависимостью плотности от высоты проведён аналитическое конструирование закона управления полётом ВКА в решении четырёхкоординатной терминальной задачи. В результате получены конечные выражения для вычисления численных значений управляющих параметров, определяющих структуру двухимпульсного закона управления аэродинамическим качеством и скоростным углом крена с одним переключением. При решении трёхкоординатной терминальной задачи синтез закона управления доведён до решения двух простых конечных алгебраических уравнений относительно величины аэродинамического качества, одинакового при пикировании и кабрировании, и плотности атмосферы в точке переключения управления. Полученные результаты демонстрируют применение аналитического синтеза законов управления методом сопряжения типовых траекторий полёта.



5. Терминальные задачи пространственного управления в атмосфере

Применение возвращаемых космических аппаратов (ВКА) по военному назначению, совершающих полёт в атмосфере после схода с околоземной орбиты или после доставки межконтинентальной баллистической ракетой, охватывает решение задач из двух групп. Первая группа - это задачи поражения наземных целей, включая подвижные, с выполнением манёвров уклонения от ударных противодействующих средств обороняющейся стороны. Вторая - это задачи поражения воздушных целей, включая сверхскоростные и сильно маневрирующие боевые блоки межконтинентальных баллистических ракет. Решение этих задач предполагает наличие у ВКА аэродинамических характеристик и управляющих моментов, позволяющих создавать большие поперечные перегрузки на уровне 100 и более.

При большом аэродинамическом качестве и малом баллистическом параметре ВКА составляющие аэродинамического ускорения имеют подавляющее преобладание над составляющими гравитационного ускорения на значительной части траектории полёта ВКА в атмосфере. В таких условиях дифференциальные уравнения движения на типовых траекториях кабрирования, пикирования, свободного полёта и плоского разворота позволяют получить строгие аналитические решения и выразить управляющие параметры закона управления в явных функциях от кинематических параметров в точках переключения управления с одной типовой траектории на другую [82].

Аналитически конструируемая из типовых промежутков траектория полёта в атмосфере ВКА с большим аэродинамическим качеством позволяет оперативно переходить в полёте на новые программные траектории, что необходимо при быстром устаревании информации о положении поражаемой цели. В системе координат , введённой в разделе 1, движение ВКА описывается дифференциальными уравнениями (73). Проведём аналитический анализ пространственного движения ВКА, описываемого системой (73), при большой величине аэродинамического качества и малой величине баллистического параметра. Последнее условие означает плавное торможение в результате аэродинамического сопротивления, при котором скорость на малых высотах сохраняется большой, достаточной для образования большого аэродинамического качества.

Третье уравнение системы (73) с учётом четвёртого и соотношения (74) запишем в виде:

.(232)

Формулы для определения угла наклона траектории при кабрировании (83) и пикировании (123) объединим в одну: ,(233) где . При кабрировании скоростной угол крена задаётся в полуинтервалах: ,,

из которых первый обеспечивает получение отрицательных значений угла курса, а второй полуинтервал - положительных значений. При пикировании скоростной угол крена задаётся в интервале: , причём значения угла крена на полуинтервале приводят к отрицательным значениям угла курса, а на полуинтервале - к положительным значениям.

Дифференцируя выражение (233), получаем:

.(234)



Подстановка (234) в уравнение (232) даёт: .(235) Интегрируя (235) в пределах от до и от до , приходим к выражению:

.(236)

В конечный момент получаем выражение для угла пути:

.(237)

С учётом выражения (233) при последняя формула принимает вид:

. (238)

Формула (238) при известных значениях качества и плотности (то же самое, при заданной высоте) позволяет достаточно просто вычислять угол курса при различных задаваемых значениях скоростного угла крена . Формула (238) показывает, что стремление сформировать траекторию пикирования с конечным углом или кабрирования с конечным углом приводит к , в то время как для траектории кабрирования или пикирования с углом подхода формула (238) сохраняет физический смысл получаемых значений конечного угла пути:



.(239)

Ограничим разворот вектора скорости углом пути при повороте вправо и углом пути при повороте влево. Тогда из выражения (238) получим величину угла скоростного крена, необходимую для получения одной из таких крайних траекторий:

.(240)

Преобразуем шестое уравнение системы (73) с помощью четвёртого уравнения и соотношения (74) к виду: (241)

Получаем квадратуру для боковой координаты конечной точки траектории:

(242)

и квадратуру для продольной координаты конечной точки траектории:

.(243)

Вычисление интегралов (242), (243) приближённым методом позволяет получить оценки по координатам положения проведённого разворота, в котором ВКА сохраняет угол скоростного крена в течение всего полёта. По определению ВКА обладает высоким аэродинамическим качеством, которое необходимо как для эффективного преодоления обороны, так и для перехвата высокоскоростных и сильно маневрирующих целей. На рис.7 представлен один из вариантов чередования плоского разворота с продольным движением. Поэтому можно предположить, что пространственный разворот произойдёт достаточно быстро, не оказывая существенного воздействия на продольное движение, если для разворота вектора скорости до нужного угла курса приложить всю подъёмную силу, т.е. установить скоростной угол крена . В этом случае из соотношения (233) следует: . В разделе 7 получены аналитические решения дифференциальных уравнений движения ВКА при плоском развороте, которые в конце разворота выражают угол пути (142), боковую координату (149), дальность (155), скорость (159), высоту (165), продолжительность плоского разворота (171) или (172). 5.1. Уточнение скорости плоского разворота. Уточним выражение для скорости (159) по методу Пикара. Для этого поделим и умножим второе слагаемое в первом уравнении (73) на и , учтём четвёртое уравнение системы (73) и, наконец, учтём соотношение (74). Получаем уравнение:

,(244)

Подставим в правую часть (244) выражение для текущей скорости (158):



.(245)

В уравнение (245) подставим выражение для текущего угла пути (141). После преобразований получаем:

,(246) где .

Решение дифференциального уравнения с разделёнными переменными (246) имеет вид:

.(247)

Второй интеграл в правой части представляет собой интегральную показательную функцию . Её вычисление по специальной таблице весьма неудобно по сравнению с вычислениями интегральных синуса и косинуса по соответствующим таблицам. Представим функцию в виде ряда [84], тогда уравнение (247) принимает вид:

.(248)

В силу малости значений и достаточную для практики точность дают первые три или четыре члена ряда в (248). Запишем ряд в выражении (248) с тремя первыми членами: 

.

В конце плоского разворота скорость определяется выражением:

.(249)

Из формулы (249) видно, что второе слагаемое в показателе экспоненты положительное и направлено на увеличение скорости из-за воздействия гравитационного ускорения.

5.2. Определение длительности плоского разворота. Четвёртое уравнение в системе (73) с учётом (74) запишем в виде:

.

Подставим в получившееся уравнение выражение для скорости (158), а затем выражение для текущего угла пути (141). С учётом обозначения: , приходим к уравнению:

.(250)



Вычисление интеграла в правой части (250) приводит к интегральной показательной функции, которую заменим степенным рядом:

,

После подстановки пределов интегрирования получаем выражение для текущего времени разворота:

.(251)

Разворот заканчивается в момент времени :

.(252)

С первыми четырьмя членами ряда выражение для определения времени разворота принимает вид:

. (253)

Таким образом, уточнили выражения для определения текущей и конечной скорости и получили более коротким способом выражение для определения времени плоского разворота. Пример 9. Пусть с высоты 8 км, на которой стандартная атмосфера имеет плотность 0,5258 кг/м³ и с которой начинается правый плоский разворот, , скорость полёта ВКА составляет 2000 м/с, а наклон траектории равен -45°. ВКА с баллистическим параметром 0,5·10^-4 м²/кг обладает аэродинамическим качеством 20. Требуется сформировать плоский разворот вектора скорости до направления на точку с координатами =1341 м, 0, 1000 м. Константу в экспоненциальной модели атмосферы примем равной: 7623 м. Решение. Из кинематической схемы разворота в проекциях на плоскость следует соотношение (рис.7):

,

где и - продольная и боковая координаты заданной терминальной точки. В дополнение к нему имеем три выражения: для угла курса (142), дальности (155) и координаты бокового ухода (149). Получили систему из четырёх нелинейных алгебраических уравнений, в два последние из которых входят таблично определённые интегральные функции. Система имеет четыре искомых неизвестных: , , , , однозначно определяющие кинематику заданного плоского разворота. Их находим последовательными приближениями при заданных начальных значениях для плотности кг/м После двух приближений получено значение кг/м³ (высота 7127 м). Разворот заканчивается под углом пути: -0,8263, или 47,345°.

Дальнейшие расчёты дают: 8,0163, 8,8427. 1,5742;1,6538, 0,1245, 0,0796.

При вычислении дальности по формуле (155) получаем: 649,9 м. Вычисление боковой координаты по формуле (149) даёт: 259 м. Скорость окончания разворота оценим по формуле (159): 1942,4 м/с. Вычисления по формуле (249) дают значение скорости, увеличенное менее чем на 0,22% по сравнению с полученным результатом. Время разворота оценено по формуле (253) при 0,5390: 0,5217 с. Полученные оценки показывают, что разворот вектора скорости в направление заданной на поверхности точки =1341 м, 0, 1000 м заканчивается через 0,522 с в точке пространства с координатами 650 м, 7127 м, 259 м, когда угол пути достиг значения 47,345° при скорости 1942,4 м/с. Угол наклона траектории по определению плоского разворота остался без изменения: .

Таким образом, для ВКА с большим аэродинамическим качеством при выполнении пространственных манёвров предложен плоский разворот, в котором вся подъёмная сила, или поперечная перегрузка направлена на разворот вектора скорости по углу пути. Получены аналитические решения дифференциальных уравнений движения при плоском развороте, выраженные в интегральных функциях синуса, косинуса и показательной функции. Для скорости полёта по методу Пикара получено уточнённое выражение, формула для времени получена в виде степенного ряда, в котором с достаточной для практики точностью следует оставлять не более трёх или четырёх первых членов. Предложенная типовая траектория плоского разворота, размещаемая между типовыми траекториями кабрирования, пикирования и свободного полёта, позволяет аналитически формировать составную траекторию подхода к терминальной точке с выполнением разнообразных манёвров для уклонения от противодействующих ударных средств.

Результаты пригодны для формирования программных траекторий и соответствующих законов управления при разработке бортовых алгоритмов управления перспективных ВКА и управляемых артиллерийских снарядов, предназначенных для поражения наземных и воздушных целей, включая сильно подвижные.



6. Перехват летательных аппаратов в однородной атмосфере

Задача перехвата воздушной цели возникла для поражения самолётов, и для её решения разработан целый ряд кинематических методов наведения [88]. В настоящее время она имеет ещё большую актуальность в связи с появлением сверх скоростных и очень маневренных летательных аппаратов, доставляемых межконтинентальной баллистической ракетой. Для решения задачи перехвата ЛА предлагается разрабатывать закон управления, исходя из динамики полёта ВКА в атмосфере после схода с околоземной орбиты.

Рис.10. ВКА военного назначения, состоящий из двух УББ

Задача перехвата - это терминальная задача, требующая достижения за назначенное время конечной точки пространства состояний, для которой заданы координаты положения, но не заданы составляющие вектора скорости [80]. Предполагается, что перехватчик представляет собой конусообразный ЛА, обладающий малым баллистическим параметром и большим аэродинамическим качеством, снабжённый рулевыми органами для регулирования величины и направления вектора подъёмной силы. Он выполняет горизонтальный полёт в той же вертикальной плоскости, в которой проходит полет целевого ЛА [83].

Рассмотрим принципы применения ВКА по военному назначению. Конструктивно-компоновочная схема (ККС) военного космического аппарата (ВКА) показана на рис.10.

Вместо отсеков с ПН установлены отсеки с зарядом. Один общий двигательный отсек разделён на два одинаковых ДО, по одному на каждый заряд. Аппаратура СУ установлена в двух комплектах по одному на каждый заряд. Отличительная особенность ВКА военного назначения состоит в наконечнике, который раньше играл роль заглушки, а теперь становится особенно важным узлом в конструкции управляемых боевых блоков (УББ), которые образуются после разделения ВКА военного назначения на два одинаковых ЛА, предназначенных для полёта в атмосфере, которые показаны на рис.11 [89].

Теперь наконечник предназначен для решения целого ряда проблем. Во-первых, его форма существенно влияет на аэродинамическую конфигурацию УББ, которая при управлении ракетными двигателями должна сохранять неизменным центр давления в широких диапазонах изменения высоты, скорости и пространственного угла атаки. Во-вторых, наконечник должен выдерживать высокие температуры, не разрушаясь и не искажая первоначально выбранную аэродинамическую конфигурацию. При этом решается противоречивая задача: чем острее наконечник, тем более устойчивое положение имеет центр давления. Но при этом возрастает скорость прохождения атмосферы и, следовательно, увеличивается температура нагрева, которую должен выдерживать наконечник. Требования к термической прочности материала ещё больше возрастают. Кроме того, из-за большого удлинения наконечник также теряет механическую прочность.



Рис.11. Разделение ВКА на два УББ

Благодаря большой скорости ВКА гравитационное ускорение достаточно мало по сравнению с ускорением от аэродинамической силы, и для описания динамики полёта в атмосфере ВКА - перехватчика, не выходящего из вертикальной плоскости, воспользуемся системой дифференциальных уравнений (78) с начальными условиями (79), которые известны из решения задачи инерциальной навигации или передаются на борт перехватчика по специальному каналу радиосвязи.

Конечные координаты положения терминальной точки и время, за которое перехватчик её достигает, известны из решения отдельной задачи текущего прогноза будущего поведения цели:

, , .(254)

Предполагается, что перехватчик обладает достаточным временем для попадания в терминальную точку, т.е. за время полёта результаты прогноза не обновляются. Задача перехвата состоит в том, чтобы синтезировать закон программного управления полётом перехватчика, описываемым системой (78) с начальными условиями (79), в терминальную точку (254). Для её решения воспользуемся методом аналитического конструирования составных траекторий из типовых промежутков пикирования, кабрирования и свободного полёта, на которых дифференциальные уравнения (78) при постоянных величинах и допускают аналитическое решение [80,81,82].

6.1 Управление с однородной структурой управляющих параметров

Рассмотрим перехват в восходящем полёте, , когда величина аэродинамического качества не регулируется, а управление полётом происходит в результате изменения направления подъёмной силы разворотом на угол скоростного крена, равный p. Траекторию перехвата составим из трёх типовых промежутков в следующем порядке: кабрирование - пикирование - кабрирование. Структура закона управления состоит из последовательного выдерживания углов скоростного крена: , , на соответствующих типовых траекториях.

Для регулирования в заданный конечный момент времени конечных значений двух координат положения, т.е. для получения трёх заданных терминальных координат на траектории перехвата, необходимо иметь три управляющих параметра. Управляющие параметры - это такие параметры траектории, изменение которых позволяет регулировать значения координат движения в конце траектории. Они выбираются из координат точек сопряжения типовых участков составной траектории, в которых происходит переключение одного режима полёта на другой. Сдвигая точки сопряжения типовых промежутков (отрезков, интервалов, полуинтервалов), можно удлинять или укорачивать траектории пикирования или кабрирования, изменяя тем самым конечные координаты траектории. Управляющими параметрами могут служить высота, дальность, скорость или угол наклона траектории. Причём в одной точке переключения управляющим параметром может быть одна координата, а в другой - другая. Наиболее просто управление определяется, когда управляющими параметрами являются значения независимой переменной, через которую выражены параметры движения в результате аналитического решения дифференциальных уравнений движения на каждом типовом промежутке составной траектории перехвата. В качестве независимой переменной интегрирования выберем угол наклона траектории , причём если переменная убывает, как это имеет место на нисходящей траектории кабрирования или восходящей траектории пикирования, то применяется метод интегрирования в направлении, обратном движению. В качестве управляющих параметров выбраны углы наклона траектории в точках переключения кабрирования на пикирование, переключения пикирования на кабрирование и в конечной точке траектории.

Для решения системы (78) на промежутке первого кабрирования воспользуемся выражениями для кинематических параметров движения, полученными в разделе 11. Эти параметры отметим индексом «1»:

;;

;.(255)

Считая полученные величины начальными условиями для дифференциальных уравнений движения на втором промежутке - полуинтервале траектории пикирования, получим выражения для кинематических параметров движения, отмеченных индексом «2»:

;; ;(256)



Наконец, принимая полученные величины за начальные условия дифференциальных уравнений движения на третьем промежутке - отрезке траектории кабрирования, получим выражения для кинематических параметров движения, отмеченных индексом «3»:

;;

;.(257)

Выражения (255) (260), (257) образуют систему нелинейных алгебраических уравнений. Поскольку величины , , известны, то имеем 12 уравнений с 12 неизвестными: , , , , , , , , , , . Система из 12 уравнений решается приближённым численным методом, при этом известная величина аэродинамического качества принимает разные значения на каждом из трёх промежутков составной траектории. Будем считать, что величина остаётся одинаковой на всей траектории перехвата. Понизим порядок системы, используя особенности полученных выражений. Подставим выражение для из системы (255) в выражение для из системы (256):

.(258)



Выражение (258) подставим в выражение для из системы (257):

.(259)

Вместо трёх уравнений для скорости получили одно. Теперь подобным образом объединим уравнения для времени из трёх систем (255), (256), (257). С учётом (258), (259) и выражения из системы (255) получаем одно уравнение для времени вместо трёх:

.(260)

Объединение подобным образом уравнений для высоты даёт:

.(261)

Объединив уравнения для дальности, получаем одно уравнение вместо трёх:

.(262)

В итоге имеем систему из трёх нелинейных алгебраических уравнений (260), (261), (262) с тремя искомыми управляющими параметрами , , , формирующими структуру закона управления. Понизим порядок системы (260), (261), (262), для чего выразим из уравнения (260) угол:



,

выражение которого подставим в уравнения (261), (262):

, .

Получили систему из двух уравнений с неизвестными , , которые достаточно просто вычисляются одним из приближённых методов пакета программ MATLAB с учётом ограничений на управляющие параметры , , , полученные исходя из составной траектории перехвата.

В случае если структуру закона управления необходимо сформировать с другими управляющими параметрами, то остальные координаты в точках переключения и конечной точке вычисляются по соответствующим формулам в системах (255), (256), (257). Пример 10. Пусть ВКА с баллистическим параметром 0,5·10^-4 м²/кг выполняет горизонтальный полет, , на высоте 10 км. В момент начала перехвата он имеет скорость 5 км/с и аэродинамическое качество 10. Плотность атмосферы примем равной среднему арифметическому плотностей на высотах 10 и 20 км (0,4135+0,0889)/2=0,251 кг/м Пусть из решения задачи прогноза заданы следующие терминальные параметры: =14,9 км, =8,9 км, =2,227 с. Перехват проведём по трёхсоставной траектории «кабрирование - пикирование - кабрирование» с неизменным аэродинамическим качеством. Совместное решение уравнений (260), (261), (262) даёт следующие значения управляющих параметров: (), (), (). Программное управление состоит в двух определённых переключениях направления действия аэродинамического качества и завершении управления в заданный момент. Первое переключение кабрирующего управления на пикирующее управление происходит на высоте 12,3 км, когда дальность полёта составляет 5,6 км; координаты второй точки переключения управления составляют 13,6 км и 7,3 км. Управление завершается по достижении определённого конечного значения угла наклона траектории . К моменту перехвата скорость упала до 4386,5 м/с.

Синтезированный трёхимпульсный закон управления с известной, но нерегулируемой величиной аэродинамического качества, удобен для практической реализации в бортовом алгоритме управления по обратной связи благодаря простоте вычисления управляющих параметров в законах управления с различными структурами.

6.2 Управление с переменным аэродинамическим качеством

В случае если управляющие органы перехватчика допускают регулирование величины аэродинамического качества, что, например, требуется для повышения точности решения задачи перехвата, то структуру управляющих параметров легко изменить. Вместо управляющего параметра вводится искомая величина , а величина угла наклона траектории в конечной точке становится задаваемым терминальным параметром. Формально система нелинейных алгебраических уравнений для определения управляющих параметров , , сохраняет свой вид:



; ;(263) ,

где - заданная величина угла наклона траектории в конечной точке составной траектории.

Отличие двух разработанных законов управления в решения задачи перехвата состоит в структурах управляющих параметров и в значениях задаваемых терминальных координат, что обусловлено различными размерами, формами, расположением и нестационарностью областей достижимости перехватчика в пространстве состояний. Их характеристики рассчитываются заблаговременно численными методами. Поскольку в реальных условиях перехвата размеры области достижимости весьма ограниченны, то перехватчик должен иметь несколько комплектов законов управления с разными структурами управляющих параметров, чтобы всегда получать решение задачи перехвата с терминальными координатами, задаваемыми из широкого диапазона.

Таким образом, при решении модельной задачи перехвата, когда полёт перехватчика и цели проходит в одной вертикальной плоскости, методом аналитического конструирования составных траекторий из типовых промежутков в однородной атмосфере проведён синтез двух законов управления с различными структурами управляющих параметров. Синтез доведён до несложной системы из нелинейных алгебраических уравнений относительно искомых управляющих параметров, вычисляемых приближенным методом. Сконструированные законы управления имеют и самостоятельное значение в практической разработке алгоритмов перехвата при достаточно близком расположении перехватчика от цели или в горизонтальном полёте обоих ЛА, когда управление по обратной связи не дает преимуществ, но излишне загружает бортовой компьютер.

Представленный процесс построения законов управления раскрывает закономерности и показывает приемы дальнейшей разработки законов управления в условиях экспоненциальной атмосферы. Полученные результаты полезны в качестве начального приближения в численных расчетах при синтезе законов управления на пространственных составных траекториях перехвата.

Задача перехвата воздушных целей, в том числе высокоскоростных управляемых и сильно маневрирующих боевых блоков межконтинентальных баллистических ракет, совершающих полёт в атмосфере с уклонением от ударных средств противодействующей стороны, является одной из актуальных задач стратегической оборонной доктрины любого государства. Решение задачи перехвата строится на формировании закона программного управления и соответствующей программной траектории, неоднократно обновляемой в полёте [80-83].

В качестве перехватчика рассматривается ВКА в форме УББ (рис.11), совершивший сход с околоземной орбиты или получивший разгон стартовым ускорителем с поверхности земли. Он обладает высоким аэродинамическим качеством, достаточным для отслеживания перемещений цели, и малым баллистическим параметром для отслеживания цели в течение необходимого времени. Большая подъёмная сила создаётся за счёт аэродинамической асимметрии корпуса, а изменение направления её действия достигается вращением вокруг продольной оси с помощью рулевых органов. Предполагается, что информация о перемещении цели поступает в полном объёме, она достаточно точна и доступна для системы управления перехватчика в любой момент полёта. Движение ВКА описывается системой дифференциальных уравнений (73) с начальными условиями (75). Изменение движения осуществляется с помощью векторного управления , составляющие которого постоянны на типовых промежутках составной траектории перехвата.

С математической точки зрения задача перехвата формулируется как терминальная задача с подвижной терминальной точкой, в которой в дополнение к координатам положении цели задаётся время её достижения. Её решение начинается с синтеза закона управления и построения соответствующей программной траектории, стабилизируемой в полёте за счёт регулирования углового движения.

Стратегию перехвата представим в следующем виде. Перехватчик сначала выходит в горизонтальный полёт на прогнозируемой высоте перехвата, а затем выполняет такое управление полётом в горизонтальной плоскости, которое обеспечивает попадание перехватчика в подвижную терминальную точку. При изменении прогноза координат терминальной точки перехватчик переходит на соответствующую большую или меньшую высоту и совершает управление горизонтальным полётом на новой высоте. Движение ВКА-П в стратегии горизонтального перехвата с учётом описывается модельной системой:

; ;(264) ; ,

где и равно значению плотности атмосферы на прогнозируемой высоте перехвата.

Трёхкоординатная терминальная задача горизонтального перехвата задаёт две координаты терминальной точки и время её достижения: ,

, ,(265)

Принятая стратегия перехвата позволяет понизить на единицу порядок терминальной задачи: в уравнениях (264) отсутствуют уравнения для угла наклона траектории и высоты, а в условиях (265) не заданы конечные величины скорости и высоты. Решение задачи перехвата состоит в синтезе закона управления горизонтальным полётом с помощью воздействия аэродинамического качества в одном из двух возможных направлений: вправо, , или влево, . Для этого горизонтальную программную траекторию составим из трёх типовых промежутков в следующей последовательности: правый разворот - левый разворот - правый разворот, если цель находится справа от направления полёта перехватчика (рис.12), и в последовательности левый разворот - правый разворот - левый разворот, если цель находится слева от направления полёта

Значения одной из координат точек переключения управления с одного направления разворота на другое представляют собой управляющие параметры и определяют трёхимпульсную структуру закона управления. Требуется найти значения трёх управляющих параметров: два в точках переключения управления и одно значение, по которому фиксируется достижение терминальной точки.



Рассмотрим решение терминальной задачи управления перехватчиком с нерегулируемым аэродинамическим качеством, , структура закона управления которого показана на рис.1 Управление полётом осуществляется за счёт переключения скоростного угла крена с правого разворота, , на левый разворот, , и затем обратно на правый разворот, . Составная программная траектория горизонтального полёта построена из трёх типовых траекторий горизонтального разворота, на каждом из которых для дифференциальных уравнений (264) при получены строгие аналитические решения. 1. Первый разворот вправо, , . Деление первого уравнения системы (264) на соответствующие части второго даёт новое уравнение: , в котором обе переменные монотонно убывают на отрезке интегрирования. Выберем в качестве переменной интегрирования величину скорости и проведём интегрирования на отрезке при , противоположном направлению движения на этом отрезке:

.(266)

При получаем: .(267) Выразим из (267) и подставим полученное выражение в (266):

.(268)



Получили зависимость текущей скорости от текущего угла пути на первом полуинтервале конструируемой составной траектории перехвата. По окончании первого разворота вправо величина скорости определяется по формуле:

.(269)

Из первого уравнения системы (264) имеем: . Интегрируем полученное уравнение в пределах от до и от до , используя в качестве переменной время :

.(270)

В конце первого разворота вправо время определяется по формуле:

.(271)

Из соотношения (270) выразим текущую величину скорости:

,(272)



откуда найдём величину скорости после первого правого разворота:

.(273)

Выражение для скорости (272) подставим во второе уравнение (264):

.

После разделения переменных и интегрирования получаем выражение для текущего угла пути:

.(274)

В конце первого правого разворота угол пути определяется выражением:

(275)

Полученное выражение (274) подставим в третье уравнение системы (264):

.



После несложных преобразований приходим к уравнению:

.

Введём обозначение: . Тогда и получаем уравнение:

,(276)

решение которого с учётом даёт выражение для текущей дальности:

.(277)

В конце первого разворота дальность определяется выражением:

,(278)

которое запишем в компактной форме:

.(279)

Аналогичные преобразования четвёртого уравнения системы (264) и его решение дают выражение для конечной величины бокового отклонения:



.(280)

Таким образом, решения дифференциальных уравнений движения на первой типовой траектории разворота вправо дают соотношения (269), (271), (275), (279), (280), которые рассматриваются как система из четырёх нелинейных алгебраических уравнений с неизвестными , , , , :

;; ;.(281)

Для пяти неизвестных имеем систему (281) из четырёх уравнений. 2. Второй разворот влево, , . Кинематические параметры движения с индексом «1» используются в качестве начальных условий для дифференциальных уравнений (264) при . Решение уравнений движения даёт следующую систему нелинейных алгебраических уравнений:

;;

;,(282)

где индекс «2» означает значения параметров движения в конце второго разворота влево. Система (282) содержит пять неизвестных: , , , , . Всего на 10 неизвестных имеем 8 уравнений (281), (282). Третий разворот вправо, , . Интегрирование приходит к следующей системе нелинейных алгебраических уравнений:

;;

;,(283)

где значения конечных параметров с индексом «f» , , известны из прогноза поведения цели, а величина известна по условию задачи. Неизвестными в системе (283) являются две величины с индексом «3»: и . Разработка закона управления перехватом. Выражения (281), (282) и (283) образуют систему из 12 нелинейных алгебраических уравнений с 12 неизвестными: , , , , , , , , , , , . Обязательными искомыми величинами, которые однозначно определяют закон управления, являются два значения одного из параметров движения в двух точках переключения управления. Это могут быть или значения времени и , значения угла пути и или другие параметры. Синтез закона управления состоит в объединении полученных выражений так, чтобы уменьшить число уравнений до трёх относительно трёх обязательных искомых неизвестных или даже до одного с одним обязательным искомым неизвестным управляющим параметром. Выражение для из систем (281) подставим в выражение для из системы (282). Полученное выражение подставим в выражение (283):

.(284)



Аналогичное объединение выражений для , , даёт одно выражение для дальности:

.(285)

Для боковой координаты получаем следующее объединённое выражение:

.(286)

Объединение выражений для времени даёт одно соотношение:

.

С учётом выражения (284) получаем формулу для времени:

.(287)

Получили систему из трёх алгебраических уравнений (285), (286), (287) с тремя неизвестными , , , из которых первые два определяют точки переключения управления с до и с до соответственно, а значение третьего искомого определяет угол пути в точке перехвата. Система решается одним из приближённых численных методов. Три искомых значения , , однозначно определяют составленный закон управления перехватом при заданных значениях , , и :

(288)

Закон управления определяется двумя точками переключения, представляющими значения одной из координат движения, которые служат искомыми управляющими параметрами. Трехимпульсному закону управления соответствует траектория, составленная из трёх разворотов «вправо - влево - вправо». В разворотах используется практически вся величина аэродинамического качества, и только небольшая его доля используется на регулирование высоты и её поддержание. Пример 11. Пусть ВКА с баллистическим параметром 0,5·10^-4 м²/кг вышел в горизонтальный полёт на высоте 10 км (0,4135 кг/м³) прогнозируемого перехвата со скоростью 5 км/с, имея аэродинамическое качество 10. Требуется построить закон программного управления для попадания в терминальную точку, заданную своими координатами 14,5 км и 0,650 км и расположенную справа от начального направления полёта в горизонтальной плоскости, за время 2,850 с. Решение. Примем нулевые начальные условия: , , , . Решение системы (294), (295), (296) даёт такие результаты: -30°, 30°, -30°. Для проверки правильности полученных результатов вычислим по формуле (287) время: с.

По формуле (285) рассчитаем дальность:

м.

По формуле (286) вычислим боковую координату:

м.

Определим изменение скорости за время перехвата:

3848,3 м/с.

Достоинство стратегии горизонтального перехвата состоит в том, что при разработке закона управления получены строгие решения достаточно точных дифференциальных уравнений, описывающих движение в горизонтальной плоскости. Кроме того, ею можно воспользоваться как в полёте снизу с поверхности, так и сверху из космоса. Для практической реализации такой стратегии в полёте перехватчику необходимо периодически изменять высоту горизонтального полёта в соответствии с обновляемыми данными прогноза о поведении цели. Для программирования таких переходных траекторий и построения соответствующих законов управления следует воспользоваться результатами решений трёх- или четырёхкоординатных терминальных задач разделов 4 и 5.

Таким образом, для одной из возможных стратегий горизонтального перехвата воздушной цели методом аналитического конструирования составной траектории в атмосфере перехватчика с большим нерегулируемым аэродинамическим качеством разработана методика вычисления управляющих параметров в законе управления с трёхимпульсной структурой.

7. Космическая спутниковая группировка

На основе полученных в данной главе результатов сформулируем концепцию космической спутниковой группировки (КСГ) двойного назначения [111,112]. Спутник представляет собой двойной УББ, т.е. два УББ, состыкованные днищами друг к другу, как показано на рис.10. Такие спутники в необходимом количестве выводятся на орбиту с помощью существующих или перспективных КРН, где они образуют спутниковую группировку по обеспечению телекоммуникаций, наблюдений за поверхностью Земли, разведывательных и других функций гражданского и военного назначения. Наличие ракетных двигателей в двух двигательных отсеках позволяет не только корректировать орбиту каждого спутника, но также стабилизировать, при необходимости получения высокоточных измерений, угловую ориентацию каждого спутника.

При возникновении необходимости решать задачи военного назначения каждый спутник с помощью ракетных двигателей вырабатывает тормозной импульс для схода с орбиты и разделяется на два УББ. Каждый УББ входит в атмосферу и выполняет индивидуальное полётное задание по типу, описанному в разделе 6.

Если необходимость решать задачи военного назначения отменяется, то КСГ остаётся на орбите до выработки эксплуатационного ресурса или до возникновения неисправности какого-либо спутника. В этом случае спутник вырабатывает тормозной импульс и сходит с орбиты, но не разделяется на два УББ. Спутник входит в атмосферу в той же аэродинамической конфигурации из двух состыкованных днищами УББ, которую он имел изначально при выводе на орбиту. При входе в атмосферу спутник автоматически ориентируется продольной осью перпендикулярно вектору скорости и приобретает все те уникальные свойства, которые описаны в начале данной главы для ВКА в двухконусной конфигурации.

После аэродинамического торможения каждый спутник достигает отвесного падения, в течение которого в определённый момент включаются ракетные двигатели, силы тяги которых тормозят вертикальную скорость и обеспечивают мягкое приземление на заранее подготовленную поверхность, например, водную. летательный атмосфера спутник математический

Решению задачи мягкого вертикального приземления ВКА посвящена глава 5 настоящей монографии, где описано несколько алгоритмов регулирования тормозной силы тяги, применяемых как в проектировании, так и в эксплуатации готовых изделий.

Отличительная особенность предлагаемой концепции КСГ состоит в предусматриваемой возможности возвращения и спасения каждого спутника с двумя УББ в каждом. Это позволяет не только исключить засорение космического пространства опасными объектами, содержащими взрывчатые вещества, но также вернуть в эксплуатацию каждый УББ после восстановительного ремонта.



Библиографический список

1. Мещанов А.С. Скользящие режимы с заданными размерностью и качеством в системах с линейными стационарными объектами при неопределенности // Авиакосмическое приборостроение. - 2009. - № 2. - С.22-27.

2. Мещанов А.С., Давлетшина Л.А. Многоуровневое векторное управление линейными стационарными объектами на скользящих режимах заданного порядка и качества при неопределенной и неполной информации // Вестник КГТУ. - 2013. - № 1. - С.131-139.

3. Мещанов А.С. О режимах движения системах с разрывом управления на двух гиперплоскостях // Изв. вузов. Авиационная техника. - 1976. - № 2. - С.61-67.

4. Мещанов А.С. Режимы скольжения, переключений и линейного векторного управления с заданным качеством переходных процессов при неопределенности // Изв. вузов. Авиационная техника. - 2010. - № 4. - С.12-18.

5. Мещанов А.С. Методы построения многообразий скольжения и управления спутником наблюдения с инерционными приводами при неопределенности // Изв.вузов. Авиационная техника. - 2009. - № 3. - С.17-23.

6. Бобылев Н.А., Бурков В.Н., Коровин С.К. и др. Станислав Васильевич Емельянов (к 70-летию со дня рождения). Избранные труды С.В.Емельянова // Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 5. - С.5-19.

7. Системы с переменной структурой и их применение в задачах автоматизации полета / Под ред. Б.Н Петрова и С.В. Емельянова. M.: Наука, 1968. - 324 с.

8. Изосимов Д.Б., Рывкин С.Е. Скользящий режим в электроприводе. Аналитический обзор. М., 1993 (Препринт/Институт проблем управления). - 135 c.

9. Дегтярев Г.Л., Мещанов А.С. Управление на скользящих режимах при неполной информации. I // Вестник КГТУ. - 2012. - № 2. - С.253-259. II // Вестник КГТУ. - 2012. - № 3. - С.171-176.

10. Drazenovic B. The invariance condition in variable structure systems// Automatica. 1969. Vol. 5, № 3. - P.287-295.

11. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями. // Матем. сб. 1960, т.51(93). - № 1. - С.99-128.

12. Мещанов А.С. О приведении в скользящий режим многомерных разрывных систем с нелинейным нестационарным объектом управления. В кн.: “Устойчивость движения”, Новосибирск: Наука, 1985. - С.230-234.

13. Мещанов А.С. Приведение линейных стационарных объектов на многообразия скользящего режима при неопределенностях// Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2013. - № 2. - С.157-163.

14. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. - М.: Машиностроение, 1976. - 184 с.

15. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. - М.: Наука, 1976. - 424 с.

16. Мещанов А.С. Уравнения скольжения на подвижных многообразиях и синтез векторных управлений для нелинейных объектов при неопределенных возмущениях. Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева. - 2008. - № 2. - С.51-56.

17. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. - М.: Мир, 1971.- 400 с.

18. Квакернах Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. - М.: Мир, 1977. - 650 с.

19. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1959. - 486 с.

20. Теория систем с переменной структурой / Под ред. С.В. Емельянова. - М.: Наука, 1970. - 592 с.

Размещено на Allbest.ru

...