Ценообразование опционов с учетом фактора ликвидности

Риск ликвидности, связанный с отличной от единицы вероятностью быстрой трансформации актива в деньги без существенного влияния на цену, является одной из важных проблем, с которой вынужден столкнуться инвестор на фондовом рынке. Однако несмотря на это ему уделено значительно меньшее внимание по сравнению с кредитным риском, который также во многом определяет финансовые результаты операций. По мнению Роджерса и Сингха (Rogers, Singh, 2010) это отчасти связано с неопределенностью в терминологии, которая до сих пор характерна для исследований, касающихся вопросов ликвидности не только на рынке производных инструментов, но и базовых активов.

Чтобы понять каким образом влияет несовершенство рынка, выражающееся в форме ограниченной ликвидности, на процесс ценообразования опциона опишем небольшой пример. Пусть существует два одинаковых опциона различающихся лишь степенью ликвидности, базовыми активами для которых являются две акции, которые отличны также исключительно возможностью их обмена на денежные средства за относительно короткий временной интервал без осуществления значительного влияния на цену. В такой ситуации на стоимость опционов будут оказывать влияние следующие факторы:

· косвенный - ликвидность акции, которую можно рассматривать как дополнительный параметр наряду с волатильностью, безрисковой процентной ставкой и т.д., относящийся к базовому активу в текущих условиях и оказывающий влияние на справедливую оценку опциона;

· прямой - ликвидность самого опциона, влияние которой на стоимость данного производного инструмента полностью аналогично влиянию ограниченной ликвидности акций (облигаций) на стоимость акций (облигаций), выражающееся в форме скидок за низкую ликвидность.

Изучению влияния прямого фактора было посвящено немало статей, а общие выводы, полученные авторами этих исследований, представлены в работе Тепловой (Теплова, 2014). Основной результат заключается в том, что менее ликвидные инструменты несут большие риски для инвестора по сравнению с аналогичными активами, поэтому он готов платить за них меньшую цену, что выражается в существовании скидки за низкий уровень ликвидности. В то же время, косвенный фактор, по моему мнению, представляет особый интерес, поскольку он является специфичным для деривативов и мало изученным к текущему моменту. Поэтому в рамках данной работы основное внимание будет уделено вопросу несовершенной ликвидности акций как базовых активов опционных контрактов.

Опишем так называемые проекции ликвидности рынка, которые позволят охарактеризовать ликвидность актива (в нашем случае, акции), на нем торгующегося. Наиболее полно они представлены в работе Тепловой (Теплова, 2014). Всего, как указывает автор, существует пять проекций ликвидности рынка:

Ш Плотность;

Ш Частота совершения сделки/немедленность;

Ш Широта;

Ш Глубина;

Ш Упругость/эластичность.

Вслед за Тепловой дадим определения указанных проекций с целью их дальнейшего использования в исследовании. Первая проекция для котируемых контрактов определяется как отклонение цены спроса или предложения от равновесного значения и отражает величину переплаты (недоплаты) инвестора при покупке (продаже) актива. Меньшее значение данного показателя указывает на большую ликвидность инструмента. Частота совершения сделок отражает задержку по времени, с которой вынужден сталкиваться индивид, работающий на изучаемом рынке, желающий осуществить сделку с активом. Чем чаще проходят сделки, тем, очевидно, более ликвидным является контракт. Широта рынка определяется количеством актива, которое может быть предложено для продажи или покупки. Фактически, данный показатель показывает можно ли осуществить сделку определенного объема на изучаемом рынке. Очевидно, что чем больше показатель широты, тем более ликвидным является рынок актива. Характеристика глубины учитывает, как много присутствует на изучаемом рынке контрагентов относительно числа тех из них, кто предлагает лучшие котировки бид (аск), останется ли у других участников возможность заключать сделки после того, как инвестор осуществит свою. Большее значение данного показателя говорит о том, что рынок актива в меньшей степени отклоняется от предпосылки абсолютной ликвидности. Наконец, последняя проекция отражает насколько сильно отклоняется цена рассматриваемого инструмента от сложившегося значения под влиянием неких условий. Чем сильнее это изменение, тем менее ликвиден актив.

В последней части данной главы, изучив методологии авторов исследований по схожей тематике, будет выбрана проекция ликвидности, которая, по моему мнению, является оптимальной для отражения возможности трансформации актива в денежные средства за относительно короткий промежуток времени без значительного влияния на сложившийся уровень цены и будет использоваться в дальнейшей работе. В рамках решения этой задачи следующий параграф посвящен обзору приемов учета ограниченной ликвидности базового актива в ключевых исследованиях по ценообразованию опционов в условиях существования указанного несовершенств рынка.

1.2 Основные способы моделирования ликвидности актива в работах по ценообразованию опционов

Источник. (Blais, Protter, 2010).

Также используя несложные неравенства, авторы показывают, что наличие нетривиальной кривой предложения действительно приводит к увеличению цен опционов из-за возникновения издержек ликвидности.

Основным итогом данной работы является эмпирическое доказательство существования стохастической кривой предложения для акций на американском рынке. Одной из заслуг исследователей, безусловно, можно считать использование более точного метода по сравнению с широко распространенной процедурой Ли-Реди. Авторы показали, что для описания кривой предложения наиболее ликвидных акций лучше всего подходит линейная функция, а менее ликвидных - кусочно-линейная. Полученные результаты позволили подтвердить на реальных данных основополагающую гипотезу теории ценообразования опционов в условиях ограниченной ликвидности базового актива, развитую в работе Четина У., Джарроу Р. и др. (зetin U., Jarrow R., Protter P., Warachka M., 2006).

Авторы исследования «Numerical Solutions of Option Pricing Model with Liquidity Risk» Ли (Lee J.) и Ким (Kim S.) используют другую технику для введения ликвидности базового актива в модель ценообразования опционов. Ключевым пунктом в их работе является утверждение, что проводимые участниками рынка сделки оказывают непосредственное влияние на цену актива. Исследователи вводят параметр ликвидности, представляющий из себя величину обратную частной производной рыночной цены актива ( по объему торгов (:

Таким образом, уравнение, описывающее динамику цены базового актива, принимает следующий вид:

- ожидаемая доходность базового актива, - случайная величина со стандартным нормальным распределением, - волатильность базового актива, - позиция в активе.

Исходя из данной формулировки и ряда других стандартных условий, авторы получают модифицированное уравнение Блэка-Шоулза для определения цены производного финансового инструмента:

- стоимость дериватива, - безрисковая процентная ставка, Следует отметить, что одной из предпосылок авторов работы является возможность осуществления сделок в непрерывном времени.

Вторая часть исследования посвящена попытке оценить стоимость европейского колл опциона в реальных условиях. Для этого авторы вводят ряд упрощающих предпосылок, позволяющих найти решение указанного ранее уравнения с помощью численных методов.

Полученные результаты исследователи сравнивают с ценами опционов на индекс KOSPI200. В 50% случаев рассчитанная авторами цена оказалась в интервале между максимальным и минимальным значениями за день. Однако следует заметить, далеко не во все анализируемые дни, данные цены различаются. Это может косвенно свидетельствовать о том, что данные опционы сами по себе являются слабо торгуемыми. В связи с этим было бы интересно проверить представленный в исследовании метод на примере более «живых» инструментов.

Совместная работа Ку, Ли и Жу (Ku, Lee, Zhu, 2012) представляет особый интерес в связи с тем, что авторы предпринимают попытку изучить вопрос хеджирования европейских опционов с учетом издержек, возникающих из-за ограниченной ликвидности акций, и дискретности времени. Предполагается, что у инвестора существует ненулевая задержка между моментами осуществления соседних сделок.

Авторы используют в качестве базовой модель Четина и Джарроу 2006 года, корректируя основные положения с учетом дискретности времени. Вслед за авторами базовой модели исследователи рассматривают кривую предложения базового актива вида , где - объем сделки, а - гладкая возрастающая функция, такая, что . Далее они корректируют дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза для определения цены европейского опциона колл в рамках сформулированных предпосылок. Безрисковая процентная ставка предполагается нулевой. В таких предпосылках уравнение принимает следующий вид:

все обозначения аналогичны использованным в работе Ли и Кима (Lee, Kim, 2008).

Затем авторы показывают, что при использовании обычной стратегии дельта-хеджа цены платежного обязательства, полученной при решении сформулированного уравнения, ошибка хеджирования, включающая в себя, в том числе и издержки ликвидности, стремится к нулю при увеличении частоты сделок. С помощью числовых примеров авторы указывают, что при осуществлении сделок ежедневно ошибка оказывается меньше, чем в случае хеджирования раз в неделю.

Кроме того, исследователи и при помощи численных методов, подобно авторам предыдущей работы, стараются определить приблизительное аналитическое решение. Дополнительная ценность исследования заключается в том, что аналогичные аргументы могут быть использованы при определении цен различных деривативов, а не только европейских опционов колл, изученных в работе.

Работа Четина (зetin U.), Сонера (Soner H.) и Таузи (Touzi N.) «Option hedging for small investors under liquidity costs» посвящена изучению влияния ликвидности через негоризонтальную кривую предложения базового актива на хеджирование опционов инвесторами, которые не способны оказать значительного влияния на цену.

Начальные предпосылки модели совпадают с сформулированными в исследовании Четина, Джарроу и др. (зetin U., Jarrow R., Protter P., Warachka M., 2006). Главными отличиями является измененный вид допустимых торговых стратегий, а также введение индекса ликвидности базового актива

,

где - кривая предложения. Процесс, описывающий количество акций у инвестора в момент времени задается сложной формой, которая позволяла бы учитывать скачки, сохраняя при этом конечность квадратичной вариации. Как указывают авторы, эти утверждения подтверждаются эмпирическими данными и работами других исследователей. В итоге, выводы работы Четина, Джарроу и др. (зetin U., Jarrow R., Protter P., Warachka M., 2006) относительно правильности цен опционов, рассчитываемых по формуле Блэка-Шоулза, в условиях непрерывного времени опровергаются. Исследователи показывают, что даже в таких предпосылках при правильно сформулированных торговых стратегиях издержки ликвидности неизбежны и оказывают влияние на цены производных инструментов.

Затем, используя метод динамического программирования, Четин и др. выводят уравнение для определения стоимости опциона в конкретный момент времени:

- волатильность базового актива, - гамма опциона, а - цена на кривой предложения для нулевого объема сделки.

Также авторы сравнивают два вида хеджирующих стратегий в заданных моделью условиях с кривой предложения вида: «buy-and-hold» и динамическое хеджирование. Фактически у инвестора есть выбор между двумя альтернативами, предлагаемыми стратегиями:

· нести издержки из-за несоответствия хеджирования, но избежать издержек ограниченной ликвидности;

· реплицировать опцион динамически, но нести издержки из-за существования кривой предложения.

Результаты, полученные авторами позволяют утверждать, что в зависимости от рыночных условий, в первую очередь от уровня ликвидности, выгоднее использовать тот или иной метод хеджирования опционов, что кажется весьма логичным.

В своей работе Гекай С. (Gцkay, 2011) систематизирует информацию по вопросам ценообразования и хеджирования опционов в дискретном времени на рынке с учетом ограниченной ликвидности базового актива.

Первая часть исследования посвящена обзору основных существующих моделей ликвидности. Основной упор сделан на двух подходах, описанных в параграфе 1.2 данной работы. Кроме того, анализируется вопрос оптимального исполнения некоторого приказа на рынке с ограниченным уровнем ликвидности за фиксированный промежуток времени. По каждой из рассматриваемых моделей авторы разбирают внушительный список публикаций, посвященных как изучению вопроса в непрерывном, так и в дискретном времени.

Во второй части работы исследуется вопрос ценообразования на биномиальном рынке с ограниченной ликвидностью в дискретном времени. Изначально вводится стандартная предпосылка о гладкой, неубывающей по параметру объема сделки кривой предложения на рисковый актив. Далее предполагается, что инвестор может осуществлять какие-либо сделки, изменяющие его портфель только через интервалы времени , причем , где - срок исполнения опциона. Также вводится вероятностное пространство вида , где .

Далее авторы занимаются изучением вопросов, возникающих при репликации обычных европейских и барьерных опционов колл. В частности, рассматривается существование решения, необходимые ограничения. Авторы формулируют задачу динамического программирования, которая должна быть решена для определения стоимости опциона. Она состоит в минимизации начальной стоимости портфеля, необходимого для репликации дериватива. Поскольку количество ограничений увеличивается с ростом числа анализируемых периодов до экспирации опциона (это связано с тем, что решение задачи, зависит от значения оптимизируемого параметра на предыдущем этапе), то авторы переформулируют задачу следующим образом: для некого периода задается стоимость портфеля и определяется какая минимальная позиция в акциях необходима, для того чтобы реплицировать стоимость производного инструмента. Эта процедура проводится для определенного числа значений стоимости портфеля, затем определяется минимальное значение, с помощью которого получается реплицирующая стоимость опциона. Авторы показывают, что в цене присутствует влияние фактора ликвидности.

Переходя к лимитам, авторы распространяют выводы на модель с непрерывным временем, показывая, что издержки ликвидности остаются и в данной формулировке. Это подтверждает результаты, полученные в частности Четином и др. (зetin, Soner, Touzi, 2010). Далее, пользуюсь результатами данного исследования, Гекай (Gцkay, 2011) изучает вопросы границ цены опциона в непрерывном времени.

В заключительной части автор приводит расчет стоимости репликации обычного европейского и барьерного опционов, основываясь на линейной кривой предложения на базовый актив с постоянным параметром неликвидности (отвечающим за уровень наклона) . Также исследователь описывает хеджирующие стратегии для двух указанных типов производных инструментов. Автор обнаруживает, что оптимальная стратегия репликации не всегда соответствует принципу дельта-хеджирования, который часто требует значительных изменений позиции в акциях при определенных рыночных колебаниях. Также анализируется зависимость стоимости опционов разных типов от параметра неликвидности. Автор находят подтверждение разумному выводу о том, что с увеличением данного показателя растут издержки инвестора, желающего захеджировать свою позицию. Другим важным выводом является результат, что издержки ликвидности для барьерного опциона колл выше, чем для обычного европейского опциона.

Работа авторов Чоу Р., Чанга С.-Л. и др. (Chou R.K., Chung S.-L., Hsiao Y.-J., Wang Y.-H., 2011) особенно интересна с точки зрения эмпирической проверки связи цен опционов с факторами, характеризующими ликвидность того или иного контракта. В статье рассматривается влияние ликвидности базовых активов и самих опционов на уровни подразумеваемой волатильности, а значит и на цены опционов.

Авторы используют данные по 30 акциям, использующимся при расчете промышленного индекса Доу-Джонса по состоянию на 31 декабря 2004 года, и по опционам на них. Данные собраны на дневной основе из базы Ivy DB OptionMetrics за период с 1 января 2001 по 31 декабря 2004 года. Авторы изучают влияние ликвидности и на всю кривую волатильности, поэтому в отличие от предыдущих исследований по данной тематике, используют не только опционы на деньгах, но и на других страйках.

В качестве факторов, отражающих уровень ликвидности акций и опционов, исследователи используют широкий набор характеристик, которые представлены в таблице 2.

Таблица 2. Показатели ликвидности акций и опционов, использованные для анализа в статье.

Источник. (Chou R.K., Chung S.-L., Hsiao Y.-J., Wang Y.-H., 2011).

Их можно разделить на две группы: основанные на сделках и заявках. Первая группа является мерой ликвидности ex post, поскольку отражает результаты уже совершенных сделок. При этом нет никаких причин утверждать, что в дальнейшем инвесторы будут продолжать вести себя схожим образом. С другой стороны, показатели, основанные на заявках, все чаще воспринимаются как более надежные оценки (Aitken, 2003), с.54. Первые три меры (VOL, NT, ATS) относятся к характеристикам, основанным на сделках, а последние три - к мерам, основанным на заявках. В качестве показателей, описывающих ликвидность опционов, выбраны объем торгов данным инструментом в абсолютном (OVOL) и денежном выражении (DVOL). Также используется показатель открытого интереса по опционам (OI), который показывает общее количество нереализованных длинных и коротких позиций в данном контракте в исследуемый момент времени. Его колебания позволяют судить о том, насколько часто происходят сделки с тем или иным опционом и связаны они с покупкой или продажей актива.

Также при проведении тестов авторы использовали ряд контрольных переменных, таких как размер фирмы, ее коэффициент рычага, долю систематического риска и другие.

Изначально исследователи строят регрессии, в которые в качестве объясняющих переменных включают контрольные переменные и один из показателей ликвидности. Используя значимость коэффициентов и как критерии были выбраны показатели ликвидности обладающие наибольшим влиянием на волатильность, а значит и на цены опционов: объем торгов (VOL), средний размер сделки (ATS), средний пропорциональный котируемый спред (AQS), объем торгов опционами в денежном выражении (DVOL), пропорциональный бид-аск спред для опционов (OAQS) и открытый интерес (OI). Затем была построены регрессии для разных лет, в которые наряду с контрольными переменными были одновременно включены все отобранные меры ликвидности. Благодарю этому авторам удалось обнаружить, что средний пропорциональный котируемый спред, рассчитываемый для базовых активов, оказывает наибольшее влияние на цены изучаемых производных контрактов. Анализ регрессий для опционов с разными сроками до исполнения позволил обнаружить, что наряду с данным показателем немаловажную роль в определении величины волатильности играет и дневной объем торгов акциями, открытый интерес и пропорциональный бид-аск спред опционов. Интересным является то, что коэффициент при последних двух мерах оказался отрицательным.

Отдельная часть работы посвящена изучению влияния ликвидности базового актива и опционов на кривую волатильности. В качестве мер ликвидности были отобраны пропорциональные спреды для базового актива и опционов как продемонстрировавшие наибольшее влияние на предыдущем этапе исследования. Авторам удалось обнаружить положительное влияние данного показателя базового актива на свободный член кривой волатильности, заданной в линейном виде. Влияние ликвидности опционов на этот показатель оказалось отрицательным и значимым для опционов с любыми сроками до исполнения. На наклон кривой волатильности значимо во всех случаях влияет только показатель, рассчитанный для опционов: чем ликвиднее опцион, тем более крутой будет кривая.

Таким образом, исследование, проведенное авторами, позволило получить ряд важных выводов, на основе существующих эмпирических данных.

1. Величина подразумеваемой волатильности объясняется как ликвидностью базового актива, так и самих опционов.

2. Чем более неликвидным является базовый актив, тем больше цена опциона, а значит выше его подразумеваемая волатильность. Это связано с тем, что инвестор вынужден сталкиваться с риском ликвидности и нести издержки. Полученный вывод согласуется с теоретическими и эмпирическими результатами, полученными в работе Четина и Джарроу (зetin U., Jarrow R., Protter P., Warachka M., 2006).

3. Для менее ликвидных опционов характерны более низкие уровни подразумеваемой волатильности, а значит и цены. Это явление уже было описано другими авторами, в частности Амихудом и Мендельсоном (1986), и представляет собой скидку за низкий уровень ликвидности, который принимает инвестор, приобретающий данный инструмент.

4. Большая ликвидность опционов приводит к тому, что кривая подразумеваемой волатильности становится более крутой.

Работа Бреннера (Brenner M.), Элдора (Eldor R.) и Хозера (Hauser S.) «The Price of Options Illiquidity» является другим исследованием, в котором изучается вопрос зависимости цены опционов от его же показателей ликвидности. Авторы использовали данные по валютным опционам, выпущенным Центральным Банком Израиля, торговля которыми не осуществлялась на рынке. Авторы сравнили цены данных производных инструментов с аналогичными рыночными опционами и обнаружили, что они дешевле на 21%. Это наблюдение также можно рассматривать как пример скидки за отсутствующую ликвидность, то есть за то, что инвестор не имеет возможности продать описанный контракт.

1.4 Место данного исследования в научном окружении