Ценообразование опционов с учетом фактора ликвидности

В данной части будет рассмотрена основная модель, представленная Четином, Джарроу и др. в работе (зetin U., Jarrow R., Protter P., Warachka M., 2006). Данная теория использует ряд предпосылок в качестве базы для дальнейшего анализа. Предварительно обсудим их, а затем рассмотрим полученные авторами результаты.

На рынке существует два вида активов: безрисковый (облигация или депозит), приносящий гарантированный процент и рисковый (акция, в рамках данной формулировки). Одним из основных предположений модели является утверждение о том, что существует непрерывная и дважды дифференцируемая () кривая предложения для рискового актива. Инвесторы при осуществлении сделок вынуждены принимать цены, описываемые данной функцией. Получается, что в каждый конкретный момент вместо единственного значения, индивид, работающий на рынке, имеет кривую, ставящую в зависимость цену от объема сделки. Как уже обсуждалось ранее, такое построение модели предполагает временное влияние величины торговой операции на изменение стоимости акций, поскольку внутри одного момента времени не происходит изменения кривой вне зависимости от объема и количества прошедших сделок.

Другой важной предпосылкой является утверждение о непрерывности времени. Благодаря ей авторы показывают, что можно полностью исключить влияние издержек ограниченной ликвидности, реализуя непрерывную стратегию хеджирования с конечной дисперсией.

В качестве отправной точки авторы используют вероятностное пространство с фильтрацией, удовлетворяющее стандартным условиям:

,

где - фиксированный момент времени, - вероятностная мера. Как обычно считается, что Также предполагается, что акция не платит дивидендов, а безрисковая процентная ставка нулевая на протяжении всего периода времени

Рассмотрим случайного инвестора. В каждый момент времени он может осуществить сделку с акциями по цене в состоянии При этом означает покупку, а - продажу.

Авторы вводят ряд дополнительных предпосылок относительно кривой предложения, необходимых для дальнейшего анализа:

1. -измерима и неотрицательна;

2. Для почти наверное верно, что почти везде в ;

3. и непрерывны в , кривая является непрерывной по второму аргументу;

4. является семимартингалом;

5. имеет непрерывные траектории, включая нулевой момент времени, для всех значений

Все условия представляются весьма очевидными, в частности второй пункт указывает, что большие объемы акций будут приобретены по более высокой цене. То есть объем торговой операции влияет на величину переплаты (недоплаты) при ее осуществлении.

Далее определяются торговые стратегии, доступные инвестору на рынке. Пусть - количество акций у инвестора в момент времени , - позиция на денежном рынке (то есть стоимость приобретенных облигаций, обеспечивающих безрисковую процентную ставку, или сумма денежных средств, размещенных на депозите). Дополнительно обозначим как момент времени, в который происходит полная ликвидация позиции в базовом активе. Тогда торговая стратегия может быть записана в виде , причем и такие -измеримые процессы, что и , а

Поскольку одной из целей исследователей является проверка справедливости первой и второй фундаментальных теорем финансовой математики в сформулированных условиях для дальнейшего перехода к вопросу ценообразования, то необходимо определить понятие самофинансируемой стратегии. Стратегия называется самофинансируемой, если выполнены следующие условия:

а) процесс непрерывный справа и имеющий лимит слева (cаdlаg) для всех значений , если . Иначе, процесс непрерывный справа и имеющий лимит слева (cаdlаg) с конечной квадратичной вариацией ;

б) ;

в) Для любых значений справедливо,

Условие (а) необходимо для того, чтобы выражение, записанное в пункте (в), было определено. Дело в том, что последние два члена данного выражения всегда неположительные, однако, при определенных спецификациях процесса могут быть равны минус бесконечности. Классическая теория не требует введения данных ограничений, поскольку рынки считаются конкурентными и не подразумевают наличия каких-либо издержек. В качестве примера процесса позиции в акциях, который допустим в базовой теории и не допустим в сформулированной теории, можно представить для некой константы , динамика описывается броуновским движением. В данном случае, каждый раз, когда значение превышает происходит прыжок значения с 0 до 1. Таких моментов может быть неограниченное количество, это ведет к тому, что квадратичная вариация, а значит и издержки ограниченной ликвидности, реализующиеся при изменении позиции в акциях, становятся бесконечностью.

Условие (б) требует нулевых инвестиций в момент времени , что, представляется логичным, в силу того, что стратегия должна быть самофинансируемой.

Условие (в) задает стоимость стратегии в произвольный момент . Остановимся на данном пункте подробнее. Сумма первых двух членов, как уже отмечалось ранее, представляет стоимость портфеля в начальный период времени. Третий член представляет из себя накопленные торговые прибыли (убытки) позиции в акциях к моменту , рассчитанные по цене нулевого объема. Четвертый элемент отвечает за стоимость поддержания позиции в базовом активе. Последние два члена показывает какие издержки несет инвестор из-за отсутствия горизонтальной кривой предложения на акции при осуществлении дискретных и непрерывных изменений позиции, соответственно. Нетрудно догадаться, что именно эти элементы улавливают издержки ликвидности, с которыми вынужден столкнуться работающий на рынке индивид:

Очевидно, что . Кроме того, и является неубывающей по функцией, это прямо следует из второй предпосылки ценового процесса.

Важным представляется вопрос определения рыночной стоимости портфеля, сформированного при следовании стратегии, в конкретный момент времени, а именно цены базового актива, которая должна использоваться для этой процедуры. Можно определить, как минимум три экономически обоснованных значения:

1. Немедленная ликвидационная стоимость стратегии будет ;

2. Аккумулированная стоимость создания портфеля для стратегии: ;

3. Стоимость портфеля, рассчитанная по цене нулевого объема:

Последнее значение используется авторами в дальнейшем описании модели в качестве рыночной переоценки торговой стратегии . Оно отражает стоимость портфеля в рамках базовой теории Блэка-Шоулза, поскольку используется значение цены для нулевого объема сделки.

Дальше Четин и Джарроу переходят к непосредственному анализу модели в заданных предпосылках. На основе полученных выводов авторы формулируют первую и вторую фундаментальные теоремы, необходимые для определения цены производного финансового инструмента в непрерывном времени.

Первая фундаментальная теорема.

Будем рассматривать рынок, на котором существует два типа активов: безрисковый, приносящий некую гарантированную ставку (без нарушения общности выводов далее будем считать, что ), и рисковый (в данной формулировке будем полагать, что это акции некой компании, торгующиеся на фондовой бирже). В рамках модели изучается фиксированный промежуток времени Инвесторы могут осуществлять какие-либо действия, в том числе покупку (продажу) активов только через определенные интервалы причем . Дискретный подход к рассмотрению временного процесса, на мой взгляд, является более правильным, поскольку именно в таких условиях инвесторы осуществляют операции на финансовых рынках.

Также введем стандартное вероятностное пространство с фильтрацией , Вслед за работой Гекая будем рассматривать биномиальный рынок для рискового актива, тогда пространство элементарных событий будет иметь следующий вид:

В таком случае -алгебра может быть записана как , а для вероятностной меры справедливо

Ключевым для формулируемой модели является учет ограниченной ликвидности базового актива, характерной для рассматриваемого рынка. Как обсуждалось ранее, наиболее удобным способом для отражения проекций эластичности рынка и его плотности является построение кривой предложения для базового актива. При этом авторы подавляющего большинства теоретических работ предпочитают концентрироваться на изучении плотности рынка исключительно с позиций влияния объема и направления сделки на величину переплаты (недоплаты), игнорируя рассмотрение данного параметра в самой стандартной формулировке - бид-аск спреда. На мой взгляд, этот фактор является существенным, поэтому будет отражен в формулируемой модели.

Осуществляя сделку с акциями, инвестор в каждый момент времени сталкивается с негоризонтальной кривой предложения следующего вида:

(1)

Предполагается, что означает продажу, а покупку базового актива. Коэффициенты и отвечают за наклоны каждой из частей кривой и могут изменяться с течением времени. Величина может трактоваться как бид-аск спред, с которым сталкивается инвестор торгующий на финансовом рынке.

Рисунок 1. Вид кривой предложения для .

Так, выводы, полученные Блейсом и Проттером (Blais, Protter, 2010) позволяют утверждать, что на американском рынке у акций существуют кривые предложения (для 93,8% бумаг из числа изученных в исследовании). С другой стороны 88% из 1218 использованных для данного этапа анализа акций, как признают сами авторы, могут считаться неликвидными в смысле плотности рынка для них, а значит для них логичнее представлять эту зависимость в виде двух линейных функций с разными наклонами и разрывом в точке Представляется, что поскольку на американском, развитом финансовом рынке для большинства акций характерна кусочно-линейная кривая предложения, то логично в модели использовать именно данный вид для описания зависимости цены сделки от ее объема. Кроме того, устанавливая , а , кусочно-линейная функция может быть легко трансформирована в обычную линейную функцию, которая, по мнению исследователей, отлично подходит для описания кривой предложения ликвидных бумаг.

Теперь рассмотрим вопрос динамики цены акций. Как было указано ранее, рынок для рискового актива является биномиальным. Если считать, что существуют параметры изменения цены , такие что , то динамика цен акций может быть представлена в виде:

Будем считать, что и . Однако, использование именно таких значений не является строгим условием, можно установить другие параметры для биномиальной модели.

Введем следующие обозначения для описания торговых стратегий инвестора: - процесс, отражающий количество акций, находящихся во владении у индивида в момент времени ; - процесс, описывающий позицию инвестора в безрисковом активе в момент времени . Данные процессы измеримы относительно фильтрации и неизменны на временном промежутке Это условие подтверждает дискретность времени, а именно невозможность изменения позиции с некой частотой . Также предполагается, что перед началом осуществления торговых операций у инвестора нет позиции ни в одном из активов: , а в последний момент времени он закрывает позицию в акциях целиком, поскольку ему больше нет необходимости хеджироваться: .

Процесс, описывающий стоимость портфеля активов индивида на рынке, представлен следующей зависимостью Вслед за Четином, Джарроу и некоторыми другими исследователями будем использовать цену нулевого объема для переоценки сформированного инвестором портфеля. Это кажется логичным, поскольку, как упоминалось ранее, данное условие позволит удобно производить сравнение с результатами стандартных моделей ценообразования опционов.

Торговая стратегия может считаться самофинансируемой, если дополнительно выполнены следующие условия:

а)

б)

Первое из указанных утверждений показывает, что формирование стратегии не требует средств. Второе описывает зависимость денежных средств, размещенных в момент времени в безрисковый актив. Третье слагаемое данного выражения представляет накопленные торговые прибыли (убытки) позиции в акциях к моменту , рассчитанные по цене нулевого объема. Четвертый элемент показывает переоценку располагаемого количества базового актива. Последний член характеризует убытки, с которыми сталкивается инвестор из-за того, что на рынке существует негоризонтальная кривая предложения.

Таким образом, издержки ликвидности в момент времени характеризуются выражением:

Теперь перейдем к рассмотрению непосредственно производных финансовых инструментов. Пусть задан некий европейский опцион колл со страйком и временем до экспирации . Тогда, если обозначить через стоимость данного финансового инструмента в начальный момент времени, то ошибка хеджирования опциона, включающая издержки ликвидности, может быть записана в форме:

В сформулированных условиях, как отмечают Четин и Джарроу в своей работе 2006 года рынок больше не является полным, а значит стоимость репликации условного платежного обязательства зависит от стратегий хеджирования. В этом свете важно вспомнить принципы определения цен деривативов. Одним из них является следующее утверждение: если существует такой портфель , что с вероятностью 1 выполняется равенство , то данный портфель является хеджирующим или реплицирующим портфелем. Исходя из соображений отсутствия арбитража разумно предположить, что для . Поскольку рынок не полный, то такой портфель необязательно существует. Задача состоит в том, чтобы найти торговую стратегию, которая наилучшим образом будет реплицировать европейский опцион колл, который требуется оценить. Тогда стоимость портфеля, формируемого в рамках данного процесса, можно будет считать ценой данного условного платежного обязательства.

Допустим, что существует самофинансируемая торговая стратегия стоимостью в момент времени . Она генерирует процесс, описывающий ее стоимость на протяжении последующего существования . Подход, представленный в работе Гекая (Gцkay, 2011), заключается в определении стоимости супер-репликации опциона

,

где . Указанный метод является, на мой взгляд, справедливым для применения к проблеме определения цены заданного условного платежного обязательства, поскольку позволит определить стоимость портфеля, который гарантированно реплицирует опцион в каждый момент времени. Сформулируем для данного подхода задачу динамического программирования, которую требуется решить.

Так как процесс зависит от прошлых значений, то количество ограничений, возникающих при супер-репликации опциона, увеличивается с течением времени. Поэтому задача становится слишком сложной, особенно, если параметр небольшой. Идея, представленная в исследовании (Gцkay, 2011), заключается в том, чтобы возвращаться от конца к началу, при этом в каждый рассматриваемый момент времени задается значение позиции инвестора в акциях и для указанных условий вычисляется, сколько минимум должен стоить портфель активов, чтобы выполнялось условие репликации платежного обязательства:

(2)

Задача динамического программирования состоит в определении значения данного выражения для каждого рассматриваемого этапа эволюции биномиального дерева цены. Эта процедура проводится большое количество раз для разных условий объема позиции в акциях инвестора в начале изучаемого периода времени, и затем определяется стоимость супер-репликации опциона на конкретном этапе, путем минимизации по параметру :

(3)

Данный метод предполагает введение дополнительной переменной, отсутствующей в стандартных моделях ценообразования, не учитывающих влияние фактора ликвидности. Она отражает количество акций в портфеле в момент времени . Преимуществом указанного метода является то, что он может быть применен для биномиальной модели с большим количеством шагов. К недостаткам стоит отнести необходимость большого количества вычислений для каждого этапа и метода в целом, что делает его достаточно трудоемким в применении.

Теперь обсудим некоторые теоретические вопросы, возникающие при использовании данного подхода.

Утверждение 1. Существует оптимальный портфель такой, что он служит решением рассматриваемой задачи динамического программирования. Для удобства введем .

Доказательство: Будем рассматривать изначально сформулированную задачу. Для второй проблемы доказательство проводится аналогичным образом. Обозначим , пусть также. Покажем, что. Легко заметить, что монотонно по , то есть можно утверждать, что , если выполняется . Получается, что множество является непустым для Задача заключается в том, чтобы показать также является непустым. Рассмотрим любую убывающую последовательность такую, что Тогда верно утверждение, что:

Одна часть равенства следует из свойства монотонности по параметру и факта, что для . С другой стороны, если для любых , тогда в силу непрерывности по параметру получается, что при условии, что . Получается, что непустое замкнутое множество, докажем, что оно также является ограниченным. Рассмотрим для этого эквивалентную мартингальную меру для ценового процесса акции. Покажем, что процесс ограниченный. Рассмотрим момент времени и фильтрацию :

Последняя часть утверждения справедлива в силу того, что существуют неотрицательные издержки ликвидности. С учетом биномиальной динамики изменения цены акции:

В силу того, что и неотрицательности выражения получается, что величина ограниченная. Используя индукцию можно показать, что в целом процесс является ограниченным. Из этого следует, что поскольку множества вида для являются компактными, то и множество , являющееся их пересечением, также удовлетворяет этим условиям. Напомним, что согласно предпосылке . Поскольку является замкнутым и ограниченным, можно утверждать, что существует такая стратегия , которая позволяет произвести супер-репликацию опциона.

Инвестор, осуществляя сделки с акциями в таких условиях, сталкивается с ненулевыми издержками ликвидности, которые отсутствуют в базовой модели Блэка-Шоулза. Введем функцию убытков индивида следующей формы:

Тогда функция, описывающая абсолютные убытки от проведения сделки с акциями в момент времени будет иметь вид:

Легко заметить, что данная функция представляет параболу с несимметричными ветвями (Рисунок 2), то есть она является выпуклой и непрерывной.

Рисунок 2. Вид функции абсолютных убытков для .

Эта часть будет посвящена проверке предпосылки о наличии кривых предложения для некоторых акций российского рынка. Сначала обсудим процедуру, которую необходимо реализовать для обсуждения данного вопроса.

Для того чтобы решить данную задачу, необходимо изучить зависимость цены сделки от ее объема. В самом простом виде это можно сделать оценив коэффициенты регрессии вида:

(4)

Где - цена, которую необходимо заплатить за каждую акцию в момент времени , чтобы осуществить торговую операцию по покупке (продаже) бумаг; - цена нулевого объема, может рассматриваться как стоимость актива в указанный момент времени в рамках стандартных моделей, предполагающих абсолютную ликвидность; - показатель, характеризующий наклон кривой предложения. Фактически, параметр отражает насколько изменится цена операции при изменении ее объема на величину . Ненулевое значение данного показателя говорит о том, что инвестор вынужден переплачивать при покупке акций и недополучать денежные средства при их продаже, относительно равновесной величины.

Гипотеза. Необходимо рассматривать кривую предложения для акций в отличном виде, который может быть выражен следующим образом:

Это связано с тем, что переплата (недоплата) возникает не только от объема сделки, но и от существования на рынке бид-аск спреда, накладывающего ограничения на ликвидность актива. Кроме того, другие авторы при изучении рынков акций других стран отмечали, что указанный вид более характерен для кривых предложения этих активов.

Для проверки выдвинутой гипотезы о существовании и виде кривой предложения для акций, торгующихся на российском рынке, предлагается следующий план:

1. Оценить регрессию в виде представленном в формуле (4) для заявок на покупку;

2. Протестировать регрессию в виде представленном в формуле (4) для заявок на продажу актива;

3. Провести оценивание коэффициентов регрессии вида (4) для стакана заявок в целом;

4. Проанализировать качество полученных оценок и их значимость для первых трех пунктов;

5. Провести тест Чоу для проверки гипотезы о кусочно-линейном виде кривой предложения акций российского рынка.

В качестве данных для тестирования гипотезы будут использованы поминутные стаканы заявок в период с 10:00 до 18:39 (максимальным размером - 20 заявок на покупку и 20 заявок на продажу) по обыкновенным акциям компаний ОАО «Газпром», ОАО «Сбербанк России» и НК «Роснефть» с 22 по 25 апреля 2014 года. В таблицах 4-6 приведены основные показатели итогов торгов по указанным инструментам в режиме торгов Т+2 в рассматриваемый промежуток времени.

Таблица 4. Итоги торгов обыкновенными акциями ОАО «Сбербанк России» с 22 по 25 апреля 2014 года.

Источник. Сайт Московской Биржи.

Таблица 5. Итоги торгов обыкновенными акциями ОАО «Газпром» с 22 по 25 апреля 2014 года.

Источник. Сайт Московской Биржи.

Таблица 6. Итоги торгов обыкновенными акциями НК «Роснефть» с 22 по 25 апреля 2014 года.

Источник. Сайт Московской Биржи.

Эти данные позволяют утверждать, что акции ОАО «Сбербанк России» являются наиболее ликвидными среди рассматриваемых инструментов, как с точки зрения количества сделок, так и с позиции объема торгов в денежном выражении. По величине относительного объема торгов за указанный период также лидируют обыкновенные акции ОАО «Сбербанк России». Наконец, величина бид-аск спреда в абсолютном выражении на закрытие торгов у бумаг НК «Роснефть» была значительно выше, чем у акций ОАО «Сбербанк России» и ОАО «Газпром», у которых она стабильно на изучаемом интервале не превышала 2-3 копеек. В силу того, что цена обыкновенных бумаг последней выше, можно утверждать, что именно акции ОАО «Газпром» имели наименьший относительный бид-аск спред на закрытии торгов в период с 22 по 25 апреля 2014 года.

Проведя предварительный анализ указанных инструментов, перейдем к изучению вопроса существования и вида кривых предложения для данных бумаг. Для тестирования сформулированной гипотезы были оценены регрессии вида (4), при этом зависимая переменная была взята в логарифмической форме. Это связано с тем, что в большинстве исследований предполагается, что цена подчиняется логнормальному распределению, не позволяющему принимать ей отрицательные значения.

В таблице 7 указаны средние значения коэффициента детерминации для протестированных регрессий: отдельно для заявок на покупку, продажу и стакана целиком. Как видим, наибольшие значения характерны для обыкновенных акций ОАО «Сбербанк России». Коэффициенты протестированных регрессий значимы для подавляющего количества рассмотренных периодов на 1% уровне значимости. Таким образом есть основания заявлять, что для указанных инструментов характерно существование кривой предложения формы отличной от горизонтальной. Это подтверждает, что они не являются абсолютно ликвидными, а значит необходимо учитывать данный факт при оценивании опционов на данные базовые активы.

Таблица 7. Результаты тестирования регрессий для отобранных бумаг.

Источник. Расчеты автора.

Рассмотрим конкретный момент времени (25 апреля 2014 года 16:27) и результаты, полученные для наблюдений по акциям ОАО «Сбербанк России», зафиксированных в данный период. В таблице 8 приведена часть стакана, отражающая 5 лучших котировок на покупку и продажу в этот момент времени. В верхней части отражена информация по заявкам на продажу, а в нижней - на покупку.

Таблица 8. Часть стакана по акциям ОАО «Сбербанк России» с лучшими заявками по состоянию на 25 апреля 2014 года 16:27.

Источник. Информационно-торговый терминал Quik.

Оценки регрессий для рассматриваемого момента времени отражены в таблице 9. Из них видно, что оценки параметра для раздельного изучения котировок на продажу и покупку отличаются, что косвенно дает подтверждение выдвинутой в начале данной части гипотезы.

Таблица 9. Результаты оценивания регрессий по стакану заявок.

Источник. Расчеты автора.

Рисунок 3. Вид кривой предложения для указанного момента времени.

С этой целью для каждого стакана заявок был проведен тест Чоу, позволяющий проверить, могут ли быть две анализируемые выборки объединены в одну. Итоги, полученные при проведении теста для каждого периода приведены в следующей таблице. В столбце для конкретного дня указано количество внутридневных периодов всего и количество тех, когда отвергается гипотеза о том, что выборки, состоящие из заявок на покупку и продажу, можно объединить.

Таблица 10. Результаты теста Чоу (5% уровень значимости) для набора наблюдений по акциям.

Источник. Расчеты автора.

Полученные данные указывают на то, что практически в каждый из рассмотренных дней в более, чем 50% случаев гипотеза о возможности объединения выборок отвергается. Наиболее наглядно это продемонстрировано для обыкновенных акций ОАО «Сбербанк России», для которых эта гипотеза отвергается в 78-85% случаев. В наименьшем количестве случаев утверждение о возможности объединения наборов наблюдений опровергается для акций НК «Роснефть». Тем не менее, даже для данных ценных бумаг это происходит в более, чем 50% случаев (в 3 из 4 проанализированных дней).

Из полученных результатов теста Чоу можно сделать вывод о том, что для описания зависимости цен выбранных для изучения активов от объема наиболее подходит кусочно-линейная функция предложения с точкой разрыва в нуле. Это позволяет утверждать, что гипотеза, выдвинутая автором, нашла подтверждение. Стоит заметить, что рассмотренные ценные бумаги относятся к активно торгуемом на российском рынке, поэтому справедливость выдвинутого предположения для них, скорее всего, указывает на то, что и для других акций оно будет справедливым. Однако, безусловно, данный факт требует отдельной дополнительной проверки.

Кроме того, отдельно стоит уделить внимание тому факту, что предварительный анализ указывал на то, что акции ОАО «Сбербанк России» по большому количеству показателей выглядит более ликвидной акции, чем две другие. А результаты, полученные при изучении стаканов заявок, говорят о том, что для акций крупнейшего банка РФ в подавляющем большинстве случаев характерна кусочно-линейная функция предложения. Факт, который Блейс и Проттер в своем исследовании (Blais, Protter, 2010) называли как показатель значительных ограничений по уровню ликвидности для актива. На мой взгляд, изучение этого явления и, вообще, связи между значениями стандартных проекций ликвидности и наличием (видом) кривой предложения актива может служить хорошим развитием данной тематики.

Другим фактом, на который стоит обратить внимание, является отличие российского срочного рынка на акции от большинства его зарубежных аналогов. Оно заключается в том, что в нашей стране базовыми активами рыночных опционов являются не сами акции, а фьючерсные контракты на данные бумаги. В этом свете представляется интересным вопрос существования и вида кривой предложения для фьючерсов.

Для подобных контрактов со сроком истечения в июне на обыкновенные акции ОАО «Газпром» и ОАО «Сбербанк России» автором был проведен аналогичный анализ. В целом выводы практически полностью совпадают с полученными для базовых активов, в частности, подтверждается предположение о существовании негоризонтальной кривой предложения для этих производных инструментов. В таблице 11 приведены результаты теста Чоу, проведенного для проверки гипотезы о возможности объединения двух выборок, состоящих из заявок на продажу и покупку, соответственно.

Таблица 11. Результаты теста Чоу (5% уровень значимости) для набора наблюдений по фьючерсным контрактам.

Источник. Расчеты автора.

Отсюда видно, что для указанных фьючерсов на акции также может быть сделан вывод о том, что кусочно-линейная функция лучше всего подходит для описания зависимости цены от объема. Таким образом, выдвинутая гипотеза справедлива и применительно к этим типам производных инструментов, которые выступают в качестве базовых для опционов на российском рынке.

В следующей части данного исследования будет подробно описан метод решения задачи динамического программирования, представленной в рамках модели, сформулированной в главе 2. Это позволит затем определить стоимость опциона с учетом ограниченной ликвидности для заданных начальных условий и обсудить вопрос чувствительности этой величины к изменению параметров.

3.2 Метод решения задачи динамического программирования

Заключение

Данное исследование посвящено изучению вопроса влияния фактора ограниченной ликвидности базовых активов на цены опционов. Эта проблема все еще остается слабо изученной к текущему моменту. Автором был предложена модель определения стоимости опциона на актив, ликвидность которого не является абсолютной, в отличие от предпосылок базовых моделей. Данное условие было учтено посредством формулировки так называемой кривой предложения - функции, описывающей в каждый момент времени зависимость цены базового актива, акции в рамках данной работы, от объема сделки, которую намерен совершить инвестор. Этот подход был до этого использован несколькими авторами и призван учесть плотность и упругость рынка как наиболее значимые проекции ликвидности для процесса оценивания производных финансовых инструментов. Однако, в данном исследовании была предпринята попытка модифицировать сложившийся метод путем включения в него параметра, отражающего бид-аск спред, характерный для анализируемого базового актива. Необходимость такого изменения кроется не только в том, что эта характеристика позволяет лучше отражать плотность рынка, но и в том, что исследование Блейса и Проттера, посвященное изучению вопроса существования кривых предложения на американском рынке, выявило, что для большинства из рассмотренных ценных бумаг наиболее подходит кусочно-линейная форма, фактически предполагающая стабильное существование отличного от нуля спреда между ценами покупки и продажи. Исходя из указанного вида кривой зависимости цены сделки от ее объема была выведена теоретическая модель, позволяющая определить для заданных параметров стоимость портфеля необходимого для репликации рассматриваемого условного платежного обязательства (европейского опциона колл), которая может считаться ценой опциона. К преимуществам сформулированного подхода стоит отнести возможность его несложной модификации для определения стоимости более экзотичных производных инструментов, а также возможность относительно просто реализовать применение модели на практике посредством использования методов динамического программирования. Также стоит заметить, что построенная модель предполагает, что инвестор работает на рынке с дискретным временем, дополнительно, хоть и к...