Розвиток методу динамічного програмування в задачах будівельної механіки та оптимального проектування стержневих систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Придніпровська державна академія будівництва та архітектури

УДК 624. 04:519. 857

Бараненко Валерій Олексійович

Розвиток методу динамічного програмування в задачах будівельної механіки та оптимального проектування стержневих систем

05.23.17 - Будівельна механіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Дніпропетровськ - 2001

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Придніпровській державній академії будівництва та архітектури (ПДАБА) Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор Почтман Юрій Михайлович, Дніпропетровський фінансово-економічний інститут, завідувач кафедри вищої математики і комп'ютерних технологій;

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Дєхтяр Анатолій Соломонович, Український транспортний університет Міністерства освіти і науки України, завідуючий кафедрою комп'ютерної і інженерної графіки(м. Київ); доктор технічних наук, професор Грищак Віктор Захарович, Запорізький державний університет Міністерства освіти і науки України, проректор з науково-дослідної роботи і міжнародного співробітництва, професор кафедри прикладної математики (м. Запоріжжя); доктор технічних наук, професор Колесник Іван Антонович завідуючий кафедрою будівельної механіки Національної металургійної академії України Міністерства освіти і науки України(м .Дніпропетровськ);

Провідна установа: Дніпропетровський національний університет Міністерства освіти і науки України, кафедра обчислювальної механіки і міцності конструкцій.

Захист дисертації відбудеться 25 квітня 2001 р. о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д08.085.02 при Придніпровській державній академії будівництва та архітектури за адресою: 49600, м. Дніпропетровськ, вул. Чернишевського, 24-а.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Придніпровської державної академії будівництва та архітектури за адресою: м. Дніпропетровськ, вул. Чернишевського, 24-а.

Автореферат розісланий 23 березня 2001 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, докт.техн.наук, проф. Кваша Е.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Зниження матеріаломісткості виробів нової техніки, підвищення їхнього ресурсу і надійності на основі максимального використання всіх міцнісних резервів являє собою найважливіший напрямок прогресу в галузях будівельної індустрії, машино-, авіа-, суднобудування. Тому зараз особливої актуальності набуває розробка нових полегшених інженерних конструкцій, машин, механізмів і апаратів. Вирішення цієї проблеми здійснюється різними підходами, у тому числі і за допомогою теорії оптимального проектування(ОП). У зв'язку з цим одним із найбільш перспективних, а найчастіше і єдино можливим є підхід, при якому задача вибору найкращого проектного розв'язку формалізується у вигляді відповідних оптимізаційних моделей, що адекватно відбивають реальний стан і функціонування системи, що проектується. Реалізація цих моделей дозволяє отримати оптимальні розв'язки, роль яких полягає в оцінці граничних можливостей конструкції, аналізу впливу різних параметрів, поліпшенні якості і культури проектування, що обумовлює створення легких, міцних, надійних і економічних конструкцій, які необхідні для господарських потреб держави.

У рамках теорії ОП для вирішення зазначених вище задач, природно, потрібні розвиток і підвищення ефективності впровадження сучасних математичних методів і засобів обчислювальної техніки, що надає процесу проектування необхідну наукову обгрунтованість і зводить до мінімуму елемент суб'єктивності при виборі проектних розв'язків. Подальший розвиток теорії і методів оптимального проектування: розробка нових моделей оптимізації для проведення багатопланових досліджень в механіці, застосування сучасних методів дослідження операцій і реалізація цих моделей на сучасних засобах обчислювальної техніки є важлива загальнонаукова задача. Вирішенню цієї задачі присвячена дана дисертаційна робота.

Під задачею оптимізації тут розуміється вибір найкращих розв'язків за критеріями, що характеризують матеріаломісткість, жорсткість, потенціальну енергію та ін., для об'єктів будівельної механіки в умовах суперечливих вимог. Такі задачі є складовою частиною інженерної оптимізації - нового напрямку механіки. У рамках цього напрямку вирішуються багато конструктивних і технологічних задач, забезпечивши при цьому раціональну ефективність, економію ресурсів і патентоспроможність отриманих розв'язків. Тому формулювання і розв'язання оптимізаційних задач з метою досягнення найкращих варіантів мають істотне значення в техніці, оскільки при цьому можна одержати значний економічний ефект на стадії проектування. В умовах дефіциту енергії, металу проблема зниження матеріаломісткості стає дуже актуальною і вирішення її якоюсь мірою, безсумнівно, піде на користь України.

У даній дисертаційній роботі розглянутий визначений клас задач оптимізації, вирішення котрих доцільно виконувати за допомогою одного з методів дослідження операцій - методу динамічного програмування(ДП). Цей клас зв'язаний із розв'язанням нелінійних задач оптимального проектування шарнірно-стержневих систем(ШСС), розрахунком й оптимізацією гнучких стержнів, математичні моделі яких містять цільові функції й обмеження, допускають декомпозицію і застосування "принципу оптимальності" Р.Беллмана.

Динамічне програмування є порівняно новим напрямком тієї галузі математики, що займається аналізом і розробкою чисельних процедур розв'язання різних екстремальних задач. Цей метод дає своєрідний підхід до дослідження екстремальних задач. Основною перевагою ДП є те, що цей метод пред'являє дуже слабкі вимоги до властивостей функцій, що беруть участь у формуванні задачі. Однак ефективне застосування можливе лише для порівняно вузького класу екстремальних задач через великі вимоги, в першу чергу, до "пам'яті" обчислювальних пристроїв. От чому доцільно подальше удосконалення і розробка ефективного алгоритмічного забезпечення, а також розширення зони задач, зокрема в будівельній механіці та оптимальному проектуванні, які допускають застосування ДП, і в результаті чого цей напрямок досліджень є розвитком самого методу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в Придніпровській державній академії будівництва й архітектури у відповідності:

- з планами науково-дослідної роботи академії на 1986-1990 рр. (д.б. робота № 01870005/701. Тема "Розвиток методів оптимального проектування, дослідження міцності, стійкості і коливань інженерних конструкцій і споруд") і на 1995 р.(Тема №71 "Розробка математичного, алгоритмічного і програмного забезпечення для проектування пружних конструкцій за критерієм матеріаломісткості в умовах повної інформації про вихідні дані");

- з тематикою науково-дослідних робіт академії разом із Національною металургійною академією (Тема "Розробка математичних моделей і методик реалізації на ЕОМ у задачах визначення оптимальних параметрів виготовлення й опрацювання гарячекатаних труб". Договір про творчу співдружність № 89-83 ДМетІ; 1984-1985 рр.), із Дніпропетровським заводом металоконструкцій ім. Бабушкіна (Тема: "Провести дослідження, розробити і здійснити дослідницьке впровадження будівельних металоконструкцій. Розробити методику проектування (по вазі і вартості) гратчастих металевих ферм із термозміцненої сталі". Г.д. № 994-ДІБІ; 1984-1985 рр.), із Іжевським механічним інститутом (Тема "Оптимізація конструкторських і технологічних розробок в умовах серійного випуску виробів". № Д.б. роботи 13322-77 (ВФ-78); 1979 р.);

- з комплексною програмою Держбуду СРСР і Міністерства чорної металургії СРСР наукових досліджень і дослідницько-промислових робіт із створення прогресивних процесів виробництва високоміцних видів прокату і підвищення ефективності їх застосування в будівництві на 1986-1990 рр. (Завдання 2. "Розширення сортаменту, об'єму виробництва та застосування термозміцненого фасонного прокату з межею текучості не менше 390 МПа в металевих конструкціях);

- з комплексною науковою програмою АН УРСР щодо розробки основ механіки деформівного твердого тіла і методів розв'язання нових класів задач на 1979 - 1985 р. (Завдання 3. Розробити теорію і методи розрахунку напружено - деформованого стану, стійкості, коливань і несучої спроможності інженерних конструкцій. Етап 3.4 "Розробити методи оптимізації проектування елементів інженерних конструкцій, у тому числі із сучасних матеріалів").

Мета і задачі дослідження. Дисертаційна робота присвячена розвитку і систематичному застосуванню методу ДП до реалізації моделей багатокрокових процесів прийняття оптимальних розв'язків у будівельній механіці. Основна мета дисертації полягає в розробці на основі методу ДП обгрунтованих положень, ефективних методик, алгоритмів і програмних засобів вирішення задач оптимізації пружних стержневих систем в умовах повної і неповної інформації про вихідні дані за критеріями, що характеризують матеріаломісткість, енергію, жорсткість та ін.

Задачі досліджень полягали в:

- адаптації методу ДП до детермінованих та імовірнісних задач оптимізації конструкцій і їхніх елементів за критеріями матеріаломісткості, енергії, жорсткості та ін.;

- розробці й обгрунтуванні ефективних ітераційних процедур розв'язання задач ОП пружних стержневих систем на основі ДП і спільного використання з іншими чисельними методами, з метою зменшення обчислювальних вимог до пристроїв оперативної пам'яті ЕОМ, і впровадженні їх у практику проектування конструкцій і їхніх елементів;

розробці й обгрунтуванні алгоритмів мінімізації квадратичних функціоналів потенціальної енергії на основі методу ДП;

формулюванні нових оптимізаційних моделей проектування за критеріями максимуму коефіцієнта використання матеріалу і мінімуму математичного сподівання об'єму, з урахуванням локальних пошкоджень;

-розв'язанні задач оптимізації форм стержнів і проектування оптимальних стержневих систем типу ферм при різних силових впливах за одним і двома критеріями.

Об'єкт дослідження - проблема зниження матеріаломісткості виробів нової техніки.

Предмет дослідження - метод ДП в застосуванні до задач будівельної механіки й оптимального проектування ШСС.

Наукова новизна отриманих результатів визначається тим, що автором уперше запропонований комплекс теоретичних, обчислювальних і прикладних розробок для аналізу й оптимального проектування стержневих систем і їхніх елементів при різних видах навантажень на основі єдиного підходу динамічного програмування.

Ступінь новизни отриманих результатів полягає у наступному:

сформульовані детерміновані та імовірнісні моделі оптимального проектування конструкцій(ОПК) з боку багатокрокових процесів прийняття оптимальних розв'язків за критеріями, що характеризують матеріаломісткість, енергію, жорсткість, та ін.;

одержало подальший розвиток розширення можливостей ДП за рахунок притягнення техніки послідовних наближень і спільного використання з іншими методами оптимізації, зокрема з методом випадкового пошуку, у результаті чого удосконалені відомі, розроблені й обгрунтовані нові ефективні алгоритми;

- сформульовані і доведені твердження про стійкість і збіжність запропонованих тут обчислювальних процедур;

-сформульовані і розв'язані вперше нові задачі, що мають самостійне значення, оптимального проектування стержневих систем при імовірнісному завданні вихідних даних(навантаження і довжина елементів);

- запропонована методика чисельного розв'язання імовірнісних задач оптимізації, суть якої полягає у використанні критерію Байеса, "принципу оптимальності" Р.Беллмана і побудови області пошуку значень змінних проекту за умовами несучої спроможності елемента або конструкції;

- установлено, що при врахуванні неповноти інформації про вихідні дані оптимальні проекти у порівнянні з детермінованим підходом, урахуванні можливих місцевих пошкоджень змінюються у бік збільшення матеріаломісткості конструкції;

- запропонований підхід із притягненням розробленої методики до оцінки коефіцієнта надійності по навантаженню.

Вірогідність отриманих результатів забезпечена:

- строгістю і коректністю формулювань оптимізаційних задач;

- математичним обгрунтуванням розроблених обчислювальних алгоритмів і процедур;

- дослідженням збіжності отриманих результатів і їх фізичним осмислюванням;

- порівнянням із наявними розв'язками, даними інших авторів, а також даними, отриманими за допомогою інших методів.

Практичне значення отриманих результатів полягає в реалізації розроблених методик у вигляді математичного, алгоритмічного і програмного засобів, які дозволяють проводити чисельні дослідження в рамках пропонованих оптимізаційних моделей проектування ШСС і стержнів при різних типах зовнішнього навантаження. Запропоновані розробки можуть бути використані для проведення досліджень в напрямку оптимізації при проектуванні несучих конструкцій і їх елементів, а також в навчальному процесі.

Впровадження результатів.

Результати досліджень були впроваджені:

1) на Воткинському машинобудівному заводі в 1980 році (НДР № 13322-77(ВФ-7-78)). Автором розроблена на основі ДП методика оптимального проектування пружних стержнів і стержневих систем. Впровадження її дало можливість оптимальним чином запроектувати технологічну оснастку, що привело до підвищення надійності виробництва виробів;

2) при проектуванні державним науково-дослідним конструкторсько-технологічним інститутом трубної промисловості і Дніпропетровського металургійного інституту агрегату для виготовлення виробництва труб на Волгоградському трубному заводі в 1985 р.(Договір про творчу співдружність №89-83 ДМетІ,1985 р.). Автором розроблений алгоритм вибору оптимальних параметрів редукування труб за критерієм різностінності на багатоклітьових станах на основі методу ДП. Впровадження алгоритму дало можливість зменшити поперечну різностінність труб (4...30 мм) і вага погонного метра готової труби і як наслідок - збільшити приріст виробництва в метрах і тоннах теоретичної ваги, що складає відповідно 11.81Ч106 м 145.626 т. Отримано авторське посвідчення № 1324696 від 19.ХI.1985 р. "Спосіб прокатування труб на багатоклітьовому редукційному стані";

3) на Дніпропетровському заводі металоконструкцій ім. Бабушкіна (Г.д. робота № 994 ДІБІ, 1988-89 р.). Автором розроблена методика проектування оптимальних (по об'єму) гратчастих ферм із термозміцненої сталі при обмеженнях по міцності і жорсткості. У результаті впровадження отримана економія сталі, а також зниження вартості будівельних конструкцій при одночасній економії легуючих елементів.

Крім того, результати досліджень по оптимальному проектуванню ферм знайшли застосування в навчальному процесі деяких вузів (ДІБІ і ДМетІ).

Особистий внесок здобувача. Уся робота виконана самостійно. Основні результати, що викладені в дисертації і виносяться на захист, отримані автором самостійно й опубліковані в 15 статтях без співавторів. Нижче, в списку праць здобувача доводяться дані про особистий внесок у наукових роботах, опублікованих у співавторстві, і який використано в дисертації.

Апробація результатів дисертації. Результати, які включені в дисертацію, повідомлені та одержали схвалення на таких конференціях, нарадах і наукових семінарах: на другому Всесвітньому конгресі з оптимізації конструкцій і міждисциплінарної оптимізації (WSMO-2, Закопане, Польща, 1997), Міжнародному конгресі з промислового будівництва (IKIB-91, Лейпциг, Німеччина, 1991), Y і YI Всесоюзних з'їздах з теоретичної і прикладної механіки (Ташкент,1985, Москва, 1991), Всесоюзних конференціях: "Застосування ЕОМ в механіці деформівного тіла" (Ленінград, 1972, Ташкент, 1975), "Проблеми оптимізації і надійності в будівельній механіці" (Вільнюс, 1979, 1983, 1988), "Зниження матеріаломісткості силових конструкцій" (Горький, 1984, 1989), "Екстремальні задачі і їх застосування" (Н. Новгород, 1972, 1992), "Сучасні методи й алгоритми розрахунку і проектування будівельних конструкцій" (Таллінн, 1974), на Міжнародних конференціях з проблем механіки неоднорідних структур (Тернопіль, 1995), проблеми оптимізації в механіці деформівного твердого тіла (Н. Новгород, 1995), математичного моделювання суцільного середовища з використанням методів граничних і скінченних елементів (С.- Петербург, 2000), науково-технічних конференціях: із питань надійності й оптимізації будівельних конструкцій і машин (Севастополь, 1989,1991), оптимального проектування непружних елементів (Тарту, 1989); республіканській конференції з питань надійності в будівництві (Дніпропетровськ, 1977); Всесоюзному симпозіумі з чисельних методів у будівельній механіці корабля (Миколаїв, 1976), Всесоюзних школах - семінарах: з чисельних методів нелінійного програмування (Харків, 1976); з проблем застосування методів оптимального проектування будівельних конструкцій (Фрунзе-Чолпон-ата, 1988, Суздаль, 1990); із проблем оптимізації конструкцій при динамічному навантаженні (Тарту, 1986), на Всесоюзній координаційній нараді "Розробка принципів оптимального проектування будівельних конструкцій "(ЦНДІБК ім. В.О.Кучеренка, Москва, 1986), на регіональному науковому семінарі "Актуальні проблеми комп'ютерної механіки" (Дніпропетровськ, 1998), на 7 і 8 українсько-польських семінарах "Теоретичні основи будівництва" (Дніпропетровськ, 1999, Варшава, 2000), наукових семінарах в Інституті механіки НАН України (керівник, чл.-кор. НАН України Я.М. Григоренко, Київ, 1979), в Інституті проблем механіки НАН Росії (керівник, проф., докт. фіз-мат. наук М.В.Банічук, Москва, 1991), у Тартуському держуніверситеті (керівник, проф., докт. фіз-мат. наук Ю.Р. Лепік, Тарту, 1980), у Дніпропетровському держуніверситеті (керівник, академік НАН України В.І.Моссаковський, 1989,1995), на науковому семінарі в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України( керівник, чл.-кор. Бурак Я.Й., Львів, 1996), на сумісному засіданні кафедри будівельної механіки та опору матеріалів Придніпровської державної академії будівництва та архітектури і міжвузівського наукового семінару "Проблеми нелінійної механіки" під керівництвом професорів, докт. техн. наук Е.М.Кваші і докт. техн. наук А.І.Маневича( Дніпропетровськ, 1996, 2000), на наукових семінарах кафедр будівельної механіки і прикладної математики технічного університету залізничного транспорту ( Дніпропетровськ, 1996).

Публікації. Результати даного дослідження опубліковані в одній монографії[1], у 30 статтях наукових журналів, збірників наукових праць[2-31]]. Є одне авторське свідоцтво[32].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел (231 найменувань) та додатка. Загальний обсяг роботи становить 285 сторінок, у тому числі 45 рисунків і 34 таблиці.

динамічне програмування стержневі системи

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розглянуто сутність і стан розв'язання задач ОПК як одного із напрямків вирішення актуальної проблеми - зменшення матеріаломісткості виробів сучасної техніки, обгрунтування і доцільність необхідності проведення досліджень в цій області на користь держави. Наведено дані про наукову новизну, теоретичне і практичне значення одержаних результатів, а також зв'язок з науковими планами, програмами. Визначено, що суттєвий внесок у сучасний розвиток теорії і практики ОПК зробили такі вчені: П.В.Алявдін, А.М.Арасланов, Я.Арора, М.В.Банічук, Г.Вандерплаатц, З.Васютінські, Е.М.Герасимов, М.Жичковські, Б.Карихалло, І.Б.Лазарєв, Ю.Лєпік, Ф.Ніордсен, К.Мажід, В.П.Малков, А.Мітчел, З.Мруз, Н.Ольхофф, Л.В.Пєтухов, Д.Рожвани, В.О.Троїцький, Р.Хафтка, Е.Хог, О.О.Чирас, С.Чжу, Р.Шилд, Є.Шнак та ін. Важливе місце у вирішенні вказаної проблеми займають дослідження українських вчених: В.А.Баженова, Я.Й.Бурака, О.І.Виноградова, Ю.С.Воробйова, В.Б.Гриньова, В.М.Гордєєва, В.І.Гуляєва, А.П.Дзюби, А.С.Дехтяря, В.Я.Михайліщева, В.О.Пермякова, Ю.М.Почтмана, Е.А.Симсона, В.О.Трофимовича, В.М.Шимановського та ін.

Перший розділ присвячений огляду літератури за темою. Тут: 1) розглянуто стисло основні етапи розвитку теорії оптимального проектування пружних систем і сучасний стан в реалізації обчислювальних процесів в ДП; 2) окреслено зону і наведено особливості застосування методу ДП в задачах будівельної механіки; 3) сформульовано питання, які залишились невирішеними, оптимізації багатокрокових процесів проектування стержнів і ШСС зокрема в умовах неповної інформації про вихідні дані і при векторному завданні критерію ефективності.

У другому розділі: 1) наведено визначення багатокрокових процесів прийняття оптимальних розв'язків в умовах повної і неповної інформації про вихідні дані та сутність методу ДП; 2) обгрунтовано вибір методу досліджень при розв'язанні тих задач ОПК, які допускають декомпозицію цільових функцій, обмежень та системи, що проектується; 3) сформульовані складові загальної методики дисертаційного дослідження.

У третьому розділі розроблено та удосконалено обчислювальні процедури розв'язання функціональних рівнянь методу ДП, записаних у дискретній формі, що виникають у процесі вирішення задач будівельної механіки та ОПК. Формулювання цих задач за адитивним критерієм (мінімум об'єму, вартості, піддатливості та ін.) приводить до розгляду оптимізаційної моделі виду, де деякі функції; шукані змінні; задана непуста множина; - відомі величини. Використання "принципу оптимальності" Р.Беллмана до задачі (1) дає таке функціональне рівняння змінна "стану" системи, що проектується;

функція "стану".

Для рівняння (2):

1)запропоновано обчислювальну процедуру, яка грунтується на використанні техніки послідовних наближень та аппроксимації функцій деякими неперервними функціями відповідно G і F. Доведено твердження, що ця аппроксимація призводить до обмежених похибок оптимальних розв'язків .

2)показано, що, коли на кроці i=n можна єдиним чином визначити через змінну , тобто , задача багатовимірної оптимізації (1) з урахуванням рівняння (2) зводиться до послідовного розв'язання n одновимірних задач виду

Оптимальний розв'язок отримується як границя одержаної послідовності значень , тобто, де

3) розроблено на основі (3)-(5) ітераційний алгоритм знаходження оптимальних розв'язків

,

головним етапом якого є мінімізація функції з урахуванням "оптимальних" значень і обмеження . Для деяких задач із необхідної умови досягнення екстремуму можна отримати аналітичний вираз. Ця обставина обумовлює ефективність алгоритму. Доведено твердження про збіжність ітераційного процесу до граничної точки .

4) побудовано на основі вищезазначеного алгоритму модифіковану процедуру для задачі, де - закон розподілу випадкової змінної ;; - визначення ймовірності появи події , причому виконується умова Задача (6) виникає при наявності неповної інформації про початкові дані проекту. Мінімізація тут провадиться на непустій множині , що утворюється за допомогою перетину заданих множин , тобто

5) розроблено на основі методу ДП прямий ефективний алгоритм мінімізації неоднорідної квадратичної форми з граничними умовами, що виникає при розгляді варіаційних задач будівельної механіки, таких як вигін стержнів, мембран, пластин, скрут призматичних стержнів при використанні скінченнорізницевій(СР) або скінченноелементній(СЕ) аппроксимації функцій. При використанні формалізму ДП крайова задача мінімізації квадратичної форми зводиться до виконання двох задач з початковими умовами. Кожна така задача уявляє собою рекурентні матричні співвідношення. Доведено твердження про стійкість обчислювального процесу. Ефективність алгоритму, що пропонується, в порівнянні зі СР - або СЕ - підходом обумовлена зниженням порядку матриць: з () до послідовного (М - разів) виконання операцій з матрицями порядку (N), де N, M - задана кількість дискретних значень шуканих функцій уздовж, відповідно, осей Оx та Оy. Алгоритм ілюстрований прикладами визначення функцій напруг при скручуванні квадратного в перерізі ізотропного стержня і вертикальних переміщень при оптимальному проектуванні при згину пружного стержня.

У четвертому розділі в межах розробленого математичного апарата розглянуто задачі оптимального проектування ШСС в умовах повної інформації про вихідні дані.

1.Сформульована оптимізаційна модель проектування ШСС мінімального об'єму при обмеженнях по міцності (для розтягнутих елементів), стійкості(для стислих елементів) і жорсткості у вигляді, де

;

n - кількість елементів ШСС; - відповідно довжина і площа поперечного перерізу i -го елемента; задані величини (в обмеженні на габарити); - нормальна напруга в i - му елементі. Величини і визначаються відповідно як для і для та. Тут - величина розрахункового опору; - коефіцієнт поздовжнього вигину; - відповідно поздовжні зусилля в елементі від дії зовнішнього навантаження і від дії одиночного навантаження у вузлі по напрямку зовнішнього навантаження; - модуль пружності. Для статично невизначених ШСС у модель (7) додається обмеження у формі рівності, яке описує умову спільності деформації.

2.Одержано для задачі (7) аналітичний вираз, який породжує ітераційний процес знаходження граничної точки при . У формулі (8) величина уводиться таким чином: для

і .

3.Виконано ілюстративні приклади проектування деяких плоских і просторових ШСС (рис.1). Проведено параметричний аналіз оптимальних проектів в залежності від зміни параметра жорсткості. Знайдено на основі одержаних результатів раціональні форми перерізів стислих елементів ферми покриття (рис.1а). Відзначається, що ефективними є замкнуті прямокутникові профілі, які утворені із прокатних кутиків, швелерів. Для цих профілів економія досягає до 20% в порівнянні із традиційними розв'язками. Алгоритм також використаний для визначення розподілу площин перерізів елементів ферми(рис.1а) мінімального об'єму при заданій основній частоті вільних коливань. Визначення частоти коливань в залежності від вибраного розподілу перерізів здійснюється за допомогою балки з постійною жорсткістю уздовж її довжини. Використано ідею декомпозиції ШСС на ряд панелей постійної структури.

В результаті, розрахунок поздовжніх зусиль в елементах виконано рекурентним чином з використанням матриць перетворення навантаження невеликого порядку. Це дало можливість ефективно застосувати метод ДП. Чисельні експерименти показали, що збільшення заданої основної частоти вільних коливань призводить до значної витрати матеріалу конструкції (табл.1.)

4. Сформульована і реалізована задача оптимального проектування ШСС з урахуванням локального пошкодження елементів, що може виникнути при експлуатації. В цьому випадку в оптимізаційну модель (7) уводиться обмеження у формі нерівності , де h - глибина пошкодження (рис.2).

Для перерізу елемента у формі кільця одержано аналітичний вираз визначення h в залежності від коефіцієнта пошкодження і площини перерізу А, де d, D - відповідно внутрішній і зовнішній діаметри кільця; е - ексцентриситет. Визначення випливає з положення, що гарантує надійність елемента, а саме: гранично допустимим вважається таке пошкодження, при якому несуча здатність елемента (або конструкції) відповідає проектній.

Виявлено зону "нечутливості" оптимального проекту до (табл.2), а саме: для проект "не реагує" на можливе пошкодження. При значеннях витрати матеріалу збільшуються нелінійно в порівнянні з оптимальним проектом із непошкоджених елементів.

5. Сформульована задача оптимізації ШСС за енергетичним критерієм максимуму коефіцієнта використання матеріалу(КВМ). Уведення до розгляду цього коефіцієнта засновано на твердженні: для допустимих силових систем, що знаходяться під впливом розрахункової комбінації силових навантажень, дійсна(накопичена) енергія деформації складає частину можливо-допустимого значення потенціальної енергії. Оскільки КВМ є безрозмірним і приймає значення в інтервалі (0,1], його можна використовувати для експертної оцінки силової конструкції. Розроблено за методом ДП алгоритм розв'язання задачі. Для ШСС (рис.1в) виконано порівняльні розрахунки за методом випадкового пошуку.

6. Запропоновано методику розв'язання оптимізаційних задач синтезу за одним і векторним критерієм ефективності для класу ШСС зі структурою, яка має вертикальні стояки, а до вузлів верхнього поясу прикладене зовнішнє навантаження. Ця методика дозволяє відшукувати оптимальний контур нижнього поясу, а також оптимальні значення площин перерізів елементів при виконанні умов несучої здатності. Розглянуто задачі синтезу із заданими умовами на довжину крайніх стояків(фіксовані і вільні). При визначенні зусиль в елементах тут використано підхід з боку декомпозиції ШСС на ряд панелей з постійною структурою і використання рекурентних співвідношень. При векторному завданні критерію ефективності задача оптимального проектування ШСС згорнута в однокритеріальну за допомогою уведення коефіцієнтів важливості критеріїв. До розв'язання однокритеріальної задачі використано стандартну процедуру методу ДП. Отримано чисельні розв'язки для таких двохкритеріальних задач: , за якими визначено зону компромісних розв'язків(область Парето).

Тут позначено: W - об'єм, U - потенціальна енергія, - квадрат частоти вільних коливань. Задача б) ілюстрована рисунком 3, на якому визначена область (АВ) компромісних розв'язків. Визначено лінійний характер зміни оптимальних значень стояків щодо коефіцієнтів важливості критеріїв (рис.4).

Для різних значень коефіцієнтів важливості с1 і с2 отримані оптимальні проекти(рис.5а, б). Слід ураховувати, що уведення в оптимізаційну модель двох критеріїв призводить до витрат матеріалу в оптимальному проекті.

П'ятий розділ роботи присвячений розв'язанню задач проектування ШСС мінімального об'єму з урахуванням неповної інформації про навантаження і геометричні характеристики.

1. Сформульована оптимізаційна задача проектування ШСС в припущенні, що навантаження, яке прикладене в один із вузлів ШСС, являє собою випадкову величину із відомим a priori законом розподілу імовірностей.

2. Отримано за методом ДП для сформульованої задачі мінімізації математичного сподівання функції об'єму функціональні рівняння, на підгрунті яких розроблено обчислювальну процедуру. Виконано чисельний експеримент, за допомогою якого отримано дані про вплив на оптимальний проект невизначеності завдання навантаження. Так, наприклад, при дії на ШСС (рис.1г) навантаження із випадковою компонентою, що розподілена за нормальним законом, збільшення характеристики розкидання - дисперсії призводить до того, що об'єм конструкції, що проектується, збільшується нелінійно (рис.6) у порівнянні з проектом при детермінованому завданні навантаження . При цьому навантаження Р1 і Р3 мають детерміновані значення.

3. Розглянуто оптимальне проектування ШСС, коли величини навантаження мають детермінований характер, а інформація про місце розташування прикладених навантажень є неповною і задається імовірнісним чином. Для кожної комбінації навантажень визначається компонента розподілу імовірностей, а із умов несучої здатності - область пошуку можливих розв'язків. Подальший перетин цих областей утворює шукану зону, яка гарантує знаходження оптимального розв'язку. Отримано, що урахування невизначеності місце розташування призводить до зменшення об'єму в порівнянні з оптимальним проектом при дії "найгіршого" навантаження.

4. Впроваджено методику розв'язання імовірнісних оптимізаційних задач: а)для визначення оптимального проекту ШСС, коли інформація про довжину елемента неповна і задається апріорним законом розподілу імовірностей; б) для оцінки однієї із таких важливих характеристик розрахунку будівельних конструкцій - коефіцієнта надійності по навантаженню, яке припускалось випадковим, визначеним за усіченим нормальним законом розподілу імовірностей. На прикладі оптимального проектування ШСС(рис.1г) побудована номограма(рис.7) для знаходження цього коефіцієнта. В рамках "правила 3s" при таких даних, як s, , за допомогою номограми визначається оптимальний проект (на кривій 1) і відповідно(на лінії 2) проект з деяким детермінованим навантаженням (або розрахункове навантаження). Відношення дає величину шуканого коефіцієнту. Тут Р- детермінована складова частина (або нормативне навантаження) випадкового навантаження , прикладеного у вузол 2, ; відповідно дисперсія і математичне сподівання випадкової компоненти .

У шостому розділі метод ДП застосовано до розв'язання задач знаходження оптимальних значень параметрів, які визначають форму повздовжніх і поперечних перерізів стержнів при вигині, скруту, коливаннях за різними критеріями. Крім того, метод ДП використано до чисельного розв'язання нелінійних задач аналізу тонких стержнів із нелінійно - пружного матеріалів та оптимального проектування.

1. Сформульовано на підгрунті багатокрокових процесів прийняття оптимальних розв'язків і "принципу оптимальності" Р.Беллмана задачі оптимального проектування пружних стержнів мінімального об'єму при обмеженні на величину вертикального зміщення характерної точки та виконанні умов міцності. У класі кусково-сталих функцій отримано аналітичний вираз, за допомогою якого побудовано ітераційний процес знаходження шуканої змінної величини, зокрема висоти прямокутникового перерізу стержня при фіксованій його ширині: згинальні моменти в і-ому перерізі відповідно від дії зовнішнього і одиничного навантаження. Тут приведено дані про збіжність процесу до граничної точки, параметричний аналіз та підхід з боку ДП і параметризації Без'є для одержання розв'язків у класі гладких функцій.

2. Отримано в класі кусково-сталих функцій розв'язуючі співвідношення для задачі оптимального проектування ступеневого стержня при дії деякого навантаження, що викликає скручувальні моменти, за одним критерієм, мінімуму об'єму, повного кута закручування, енергії з умов міцності і обмежень на габарити. Зокрема, для задачі,

де

дотична напруга;

модуль зсуву; n - задана кількість ступенів стержня,

одержано дані (рис.8) щодо залежності значень повного кута скруту і радіуса ступенів стержня від кількості матеріалу, що розподіляється між ступенями(n=3). Виконано аналіз оптимальних проектів, коли інформація щодо навантаження має неповний характер і задається дискретним законом розподілу імовірностей.

3. З боку методу ДП розглянуто двохкритеріальний підхід до задачі проектування n-ступеневого стержня.

Уведення до розгляду коефіцієнтів важливості дає змогу згорнути задачу (12) в таку задачу ОПК за одним критерієм,де розв'язки однокритеріальних задач (j=1,2). Подальше використання пропонованої методики розв'язання однокритеріальних задач за методом ДП дає можливість отримати шуканий проект для заданих коефіцієнтів важливості.

4. Розроблено на підгрунті методу ДП математичне забезпечення розв'язання задачі відшукання форми поперечного перерізу ортотропного стержня з модулями зсуву , , для якої жорсткість

при виконанні умови досягала б максимального значення, де Г -границя області W, функція напруг, що забезпечує мінімальне значення функціоналу енергії

Задача максимізації жорсткості С зведена до послідовного виконання операцій і щодо функціоналу П в області перерізу, заданій у вигляді, де припускається, що - симетрична відносно осі y функція і яка підлягає визначенню. У класі кусково-сталих функцій оптимізаційна задача, що сформульована вище, запишеться, де деяке фіксоване значення абсциси х; Г- границя області W. Реалізація моделі (14) при визначених значеннях здійснюється за методом ДП і техніки послідовних наближень таким чином, як задача (1). При цьому область W перетворена у прямокутник

за допомогою трансформації координат. Внутрішня операція П в області з урахуванням крайової умови виконана також за допомогою методики, розробленої у третьому розділі.

5. Розглянуто задачу сталих(без урахування тертя) вимушених поздовжніх коливань консольного пружного стержня, змінного в перерізі, під впливом періодичного навантаження, що має випадкову компоненту. Припускаються відомими функція розподілу імовірностей цієї компоненти, а також числові характеристики - математичне сподівання і дисперсія. Ставиться задача визначення неперервної змінної - площини поперечного перерізу, що задає профіль стержня(по довжині), забезпечує умову постійності об'єму і надає мінімум математичному сподіванню функціоналу, який характеризує динамічну піддатливість відносно навантаження. При цьому виконується диференціальне рівняння поздовжніх коливань. На площину перерізу накладаються двобічні обмеження у формі нерівностей (обмеження на габарити). Застосування методу ДП до поставленої задачі дало такий результат: для тієї ділянки оптимальної конфігурації стержня, де виконуються обмеження на габарити, різниця амплітудних значень потенціальної енергії деформації і кінетичної енергії, що віднесені до одиниці об'єму, є стала величина. Це твердження являє собою особливий вид характеристики необхідних умов оптимальності.

6. Запропоновано постановку нової задачі оптимального проектування форми смужки для пружного нерозрізного кільця під дією радіального навантаження Q, що стискує, у випадку великих прогинів (рис.9). Ширина смужки має двоступеневу форму і визначається змінними b1 і b2. Проектування здійснюється за критерієм мінімуму(максимуму) значення вертикального відхилення деякої характерної точки кільця від заданого радіуса. Розроблено синтетичний чисельний алгоритм на підгрунті сумісного використання методів випадкового пошуку і ДП. За допомогою методу ДП отримано картину деформованого стану(рис.9) і вид цільової функції при фіксованому значенні b1(рис.10) для смужки кільця із лінійно пружного матеріалу з урахуванням умов міцності і обмеження на об'єм.

7. Визначено за методом ДП картину деформованого стану консольного гнучкого прямого стержня(рис.11) із нелінійно пружного матеріалу, що йде за законом

,

де A - площина перерізу, E - модуль пружності, l довжина стержня. (пунктирна лінія відповідає фізично-лінійному випадку (b=0); суцільна - b=1). Проведено порівняльний аналіз із результатами інших авторів щодо кута повороту кінцевого перерізу стержня в залежності від величини прикладеного навантаження Р на кінці стержня. Розглянуто також підхід з боку методу ДП до задачі визначення великих прогинів тонких стержнів із в'язко - пружного матеріалу.

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджені можливості і особливості застосування методу ДП в оптимізаційних задачах будівельної механіки стержневих систем. З єдиних позицій методу ДП розглянуто як задачі параметричної і структурної оптимізації, так і задачі аналізу. Проведені дослідження показали доцільність застосування ДП для широкого кола задач проектування стержнів і стержневих систем, які є складовими будівельних, машинобудівних та ін. конструкцій. Основні результати, що отримані в дисертаційній роботі, можуть бути сформульовані таким чином:

1.Запропоновано детерміновані й імовірнісні моделі оптимізації пружних ШСС і стержнів з цільовими функціями та обмеженнями, які допускають декомпозицію і задовольняється "принцип оптимальності" Р.Беллмана. Запропоновано також підхід рекурентного визначення поздовжніх зусиль в елементах на підгрунті методу сил, коли стержньова система має властивості декомпозиціїї на скінченну кількість підсистем із постійною структурою. Цей підхід "вписується " в схему методу ДП, завдяки чому значно скорочуються обчислювальні вимоги до ПЕОМ за рахунок використання матриць перетворення навантаження, що мають невеликий порядок.

2.Дано інтерпретацію нелінійних задач оптимального проектування пружних ШСС і стержнів при вигині, скруту, коливаннях, деформованого стану тонких стержнів із нелінійно-пружного матеріалу як багатокрокових процесів прийняття розв'язків. Для цих процесів вимагається виконання "принципу оптимальності" Р.Беллмана. Дано рекомендації щодо застосування методу ДП в будівельній механіці та ОПК.

3.Розроблено та обгрунтовано на основі ДП і техніки послідовних наближень для вищезазначених задач обчислювальні алгоритми розв'язання функціональних рівнянь методу. Показано їх ефективність, яка обумовлена скороченням вимог до пам'яті ЕОМ в порівнянні зі стандартною процедурою методу. На основі розроблених методик у вигляді програмних засобів проведено чисельні експерименти. Виконано параметричний аналіз. Встановлено нелінійний характер цільових функцій відносно параметрів.

4. Запропоновано для оптимізаційних задач проектування стержнів синтетичні алгоритми на основі сумісного використання ДП з іншими чисельними методами, а саме: з випадковим пошуком, методом скінчених елементів, параметризації Без'є.

5. Сформульовано і розв'язано в рамках пропонованого математичного та алгоритмічного забезпечення нові задачі оптимального проектування ШСС за критеріями Байєса, коефіцієнта використання матеріалу, з урахуванням локальних можливих пошкоджень в елементах та ін. Отримано результати, які свідчать про те, що випадковий характер величин, урахування пошкодження елемента в оптимізаційній моделі суттєво впливають на розв'язок.

6. Розглянуто задачі синтезу ШСС, як за одним, так і за векторним критерієм якості. Розроблено методика керування геометрією ШСС. Отримано при різних крайових умовах(щодо довжин елементів) оптимальні об'єм, конфігурацію ШСС і значення площин перерізів елементів. Визначено зону компромісних розв'язків і показано як призводить багатокритеріальний підхід в оптимізації ШСС до збільшення витрат матеріалу, а також до зміни конфігурації в порівнянні з проектом, отриманим за одним критерієм.

7. Досліджені оптимальні розв'язки в задачах проектування пружних стержнів при скруту, вигині, поздовжніх коливаннях в умовах повної і неповної інформації, а також проекти тонкого нерозрізного кільця, що стискується радіальним навантаженням, і великі прогини фізично нелінійних стержнів.

8. Впроваджено в рамках розроблених методик алгоритми ДП для проектування оптимальних(за критерієм мінімуму об'єму) гратчастих ферм із термозміцненої сталі (Дніпропетровський завод металевих конструкцій ім. Бабушкіна), вибору оптимальних параметрів за критерієм різностінності при проектуванні технологічного процесу редукування труб на багатоклітьових станах (Державний науково-дослідний конструкторсько-технологічний інститут трубної промисловості, Дніпропетровськ).

Таким чином, сукупність отриманих у дисертації результатів можна кваліфікувати як новий напрям будівельної механіки, який полягає у розвитку теорії і використанні методів оптимізації, зокрема динамічного програмування, до задач аналізу та ОПК.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

За результатами дисертаційної роботи опубліковано 32 праці:

Монографія

1.Почтман Ю.М., Бараненко В.А. Динамическое программирование в задачах строительной механики. - М.: Стройиздат, 1975. -110 с. (Здобувачем виконано 3 та 4 розділи, а також пункти 3 та 6 розділу 2).

Статті в наукових журналах:

2. Бабич В.В., Бараненко В.А. К вопросу об оптимальном проектировании решётчатых конструкций// Прикладные проблемы прочности и пластичности. Анализ и оптимизация конструкций/ Всесоюзн. межвуз. сб./ ННГУ. Нижний Новгород, 1991. - Вып. 48. - С. 47-55. (Здобувачем запропонована оптимізаційна модель, отримані розв'язуючі співвідношення задачі, розроблене алгоритмічне забезпечення).

3. Бараненко В.А., Почтман Ю.М. О решении некоторых нелинейных задач теории гибких стержней с помощью динамического программирования// Прикладная механика. - 1971. - Т. УII, Вып. 1.- С. 128-132. (Здобувачем розроблено математичне та програмне забезпечення, проведені чисельні розрахунки).

4. Бараненко В.А., Почтман Ю.М. Динамическое программирование в задачах синтеза оптимальных стержневых систем// Сопротивление материалов и теория сооружений. Респ. научн.сб. - Киев, 1971. - Вып. ХШ. - С. 119-126. (Здобувачем розроблено програмне забезпечення, проведені чисельні розрахунки та виконано аналіз впливу вагових коефіцієнтів на оптимальні розв'язки).

5. Бараненко В.А., Журакова В.К., Филимонов Л.А. Динамическое программирование в двумерных задачах теории упругости// Прикладная механика. - 1971. - Т. УII, Вып. 11. - С. 59-64. (Здобувачем запропоновано підхід використання методу динамічного програмування до таких варіаційних крайових задач як кручення пружних стержнів, згин мембран і пластин. Ним розроблено математичний апарат розв'язання задачі).

6. Бараненко В.А., Журакова В.К. Решение краевых задач математической физики методом динамического программирования// Математическая физика: Респ. Межведом. сб. - Киев, 1972. - № 12.- С. 6-9. (Здобувачем запропоновано використання динамічного програмування для розв'язання варіаційних двохвимірних задач математичної фізики з квадратичним функціоналом, отримані розв'язуючі співвідношення задачі).

7. Бараненко В.А., Почтман Ю.М., Филатов Г.В. О совместном использовании методов динамического программирования и случайного поиска в задачах оптимального проектирования// Строительная механика и

расчет сооружений. - 1973. - № 1. - С. 3-6. (Здобувачем отримані розв'язуючі співвідношення сумісного використання динамічного програмування та випадкового пошуку та проведені чисельні розрахунки).

8. Бараненко В.А. Кручение ортотропных стержней с переменными модулями сдвига// Гидроаэромеханика и теория упругости: Межвуз. сб. научн. тр./ ДГУ. - Днепропетровск, 1976. - Вып. 21.- С. 93-100.

9. Бараненко В.А., Чуднов К.У. Устойчивость и большие перемещения нелинейно-упругих стержней// Гидроаэромеханика и теория упругости: Межвуз сб. научн. тр./ ДГУ. - Днепропетровск, 1977. - Вып. 22. - С. 123-129.(Здобувачем сформульована постановка задачі, розроблено алгоритмічне забезпечення та проведено аналіз отриманих результатів).

10. Бараненко В.А. Большие перемещения вязкоупругих стержней// Механика композитных материалов. - 1979. - № 6. - С. 995-998.

11. Бараненко В.А. Динамическое программирование в задачах исследования напряженного состояния стержней из упрочняющихся материалов// Динамика и прочность тяжелых машин: Межвуз. темат. сб. научн. тр./ ДГУ. - Днепропетровск, 1980. - Вып. 5. - С. 110-114.

12. Бараненко В.А. Совместное использование метода конечных элементов и динамического программирования в оптимальном проектировании конструкций// Гидроаэромеханика и теория упругости: Межвуз. сб. научн. тр. / ДГУ. - Днепропетровск. 1981. - Вып. 28.- С. 76-83.

13. Бараненко В.А. Двухкритериальный анализ при оптимизации скручиваемого вала// Прикладные проблемы прочности и пластичности. Автоматизация научных исследований по прочности. Всесоюзн. межвуз. сб./ ГГУ. - Горький, 1986. - Вып. 33. - С. 120-122.

14. Бараненко В.А. Оптимизация скручиваемых валов// Динамика и прочность тяжелых машин. Моделирование и эксперимент: Межвуз. темат. сб. научн. тр./ ДГУ. - Днепропетровск, 1987. - Вып. II. - С. 80-85.

15. Бараненко В.0. Оптимальні конфігурації пружних стержн1в при випадкових вимушених поздовжніх коливаннях// Доповіді АН УРСР. Сер. А. - 1988. - № 7. С. 29-32.

16. Бараненко В.А. Оптимальное проектирование ферм при локальных повреждениях// Прикладные проблемы прочности и пластичности. Анализ и оптимизация конструкций: Всесоюзн. межвуз.сб./ ГГУ. - Горький, 1989. - Вып. 42. - С. 29-34.

17. Бараненко В.А. Оптимизация параметров элементов конструкций в условиях неопределенности// Моделирование и оптимизация сложных механических систем: Сб. научн. тр./ АН УССР, Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова. - Киев, 1990. - С. 4.-10.

18. Бараненко В.А. Об одном алгоритме многоцелевой оптимизации упругих систем в условиях неопределенности// Алгоритмизация решения задач прочности и оптимального проектирования конструкций: Сб. научн. тр./ АН УССР. Ин-т кибернетики им. В.М.Глушкова. - Киев, 1991. - С. 34-39.

19. Бараненко В.А., Чуднов К.У. Оптимизация нелинейно-упругих колец// Математические методы в задачах расчета и проектирования сложных механических систем: Сб. научн. тр./ АН Украины, Ин-т кибернетики им. В.М.Глушкова. - Киев, 1992. - С.33-37.(Здобувачем запропоновано постановку та алгоритм розв'язання задачі).

20. Бараненко В., Вельчева Н., Чаплыгина С. Оптимизация упругих систем по критериям материалоёмкости// Прикладные проблемы прочности и пластичности. Анализ и оптимизация.Межвуз.сб./Нижн.ГУ. - М.: 1997. - Вып.57. - С. 13-20.(Здобувачем сформульовано постановкау, розроблено математичне забезпечення задачі та виканоно аналіз отриманих результатів).

21. Бараненко В.А., Вайнаков А.Ю. Параметризация границы кривыми Безье в оптимальном проектировании изгибаемых стержней// Тр. Таврической агротехнической академии. - Мелитополь -1998. - Вып.44, Т.3. - С. 74-77. (Здобувачем розроблено математичне та алгоритмічне забезпечення розв'язання задачі).

22. Бараненко В.А., Динамическое программирование и последовательные приближения// Придніпровський науковий журнал. Фізико-математичні науки. - Дніпропетровськ. - 1998.- №112 (179). -. С. 38-44.

23. Бараненко В. Проектування ферм мінімальної ваги з урахуванням локальних пошкоджень// Зб. наук. праць Придніпровської державної академії будівництва та архітектури " Теоретичні основи будівництва". - Дніпропетровськ, 1999. - Вип.7. - С.39 - 46.

24. Бараненко В.О. Оптимальне проектування ферм мінімального об'єму в умовах невизначеності завдання вихідних даних// Вісник академії: Науков. та інформ. бюл./ Придніпровська державна академія будівництва та архітектури. - Дніпропетровськ, 1999. - № 11. - С. 9 - 19.

25. Бараненко В.О. Керування геометрією при проектуванні ферм мінімального об'єму// Зб. наук. праць Придніпровської державної академії будівництва та архітектури "Теоретичні основи будівництва". - Дніпропетровськ, 2000. - - Вип. 8. - С. 391 - 395.

26. Бараненко В.О. Проектування ферм мінімального об'єму при заданій величині першої частоти вільних коливань// Вісник Придніпровської державної академії будівництва та архітектури. - Дніпропетровськ: Gaudeamus, 2000.-№ 7. - С. 4 - 11.

...