Розробка моделей, методів і алгоритмів оптимізації оболонкових конструкцій з використанням пpинципу максимуму Понтрягіна

Размещено на http://www.allbest.ru

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ДЗЮБА Анатолій Петрович

УДК 539.3

РОЗРОБКА МОДЕЛЕЙ, МЕТОДІВ І АЛГОРИТМІВ ОПТИМІЗАЦІЇ ОБОЛОНКОВИХ КОНСТРУКЦІЙ З ВИКОРИСТАННЯМ ПРИНЦИПУ МАКСИМУМУ ПОНТРЯГІНА

01.02.04 - Механiка деформiвного твердого тiла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Днiпропетровськ - 2004

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана у Днiпропетровському національному унiверситетi Міністерства освіти і науки України.

Hауковий консультант: академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Моссаковський Володимир Іванович, Дніпропетровський національний університет, головний науковий співробітник.

Офiцiйнi опоненти:

- член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Бурак Ярослав Йосипович, Інститут прикладних проблем механіки і математики НАН України ім. Я.С. Підстригача (м. Львів), головний науковий співробітник центру математичного моделювання.

- доктор технічних наук, професор Сімсон Едуард Альфредович, Національний технічний університет „Харківський політехнічний інститут” МОН України (м. Харків), професор кафедри опору матеріалів.

- доктор технічних наук, професор Бараненко Валерій Олексійович, Придніпровська державна академія будівництва та архітектури МОН України (м. Дніпропетровськ), завідувач кафедри нарисної геометрії і графіки.

Провiдна установа: Інститут технічної механіки НАНУ і НКА України, м. Дніпропетровськ

З дисертацiєю можна ознайомитись в бiблiотецi Днiпропетровського національного унiверситету (49025, м.Днiпропетровськ, вул.Козакова, 8).

В.о. вченого секретаря

спецiалiзованої вченої ради, проф. Гоман О.Г.

Размещено на http://www.allbest.ru

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблема енерго- i ресурсозбереження у багатьох галузях людської діяльності природньо належить до найважливiших i розвитку цього напрямку придiляється у свiтi значна увага. Це у повній мірі стосується і фундаментальних та прикладних дослiджень оптимiзацiйних задач механiки деформiвного твердого тiла, які безумовно відносяться до найбільш актуальних у цій галузі, а вирішення проблеми зниження матеріаломісткості силових елементів конструкцій нової техніки в умовах найбільш повного використання резервів їх міцністної та жорсткістної надійності є однією з найважливіших вимог прогресу у багатьох галузях, зокрема, в судно-, авiа-, ракето- та космічному машинобудуванні, будівельній індустрії та ін. проектування оболонковий конструкція понтрягін

Дослідженню різних аспектів цієї надзвичайно обширної і багатогранної проблеми механіки (як з точки зору вибору об'єкту і мети оптимізації, так і розроблюваних математичних моделей та методів вирішення виникаючих задач) присвящено десятки тисяч наукових праць.

Значне місце у вирішенні вказаної проблеми займають, зокрема, дослідження українських вчених В.А. Баженова, В.О. Бараненко, Є.В. Бінкевича, С.І. Богомолова, Я.Й. Бурака, О.І. Виноградова, Ю.С. Воробйова, В.Б. Гриньова, В.І. Гуляєва, А.С. Дехтяря, О.П. Дорошенко, В.О. Заруцького, Ю.Д. Зозуляка, С.Н. Кана, Б.Я. Кантора, В.Г. Литвинова, А.І. Маневича, В.Я. Михайлищева, В.І. Моссаковського, Н.І. Ободан, В.О. Пермякова, Я.С. Підстригача, Ю.М. Почтмана, Е.А. Сімсона, В.О. Трофимовича, А.П. Філіпова, Н.Р. Флейшмана та ін.

Широке застосування оболонкових і пластинчатих елементів у різних галузях техніки та підвищений рівень вимог до їх міцністних та вагових показників обумовлює необхідність розробки нових більш досконалих математичних моделей, достатньо достовірних та маловитратних методів їх прямого розрахунку, ефективних методик і спеціальних алгоритмів оптимального проектування, які надавали б якомога більше можливостей для визначення часто досить значної кількості варійованих змінних з урахуванням особливостей поведінки та обмежень на параметри стану конструкції при мінімальних обчислювальних витратах на пошук оптимального проекту.

У той же час, задача оптимального проектування оболонкових конструкцій (складених, підкріплених силовими елементами, з нерегулярними та неоднорідними параметрами і т. ін.) відрізняється складністю і громіздкістю математичних моделей, описуючих поведінку таких тонкостінних конструкцій, наявністю численних обмежень реального проектування на варійовані параметри і змінні стану та необхідністю забезпечення часто досить жорстких вимог, які гарантували б виконання умов математичної та механічної коректності рівнянь стану досліджуваного об'єкту. Успішне вирішення зазначеної задачі, незважаючи на iснування досить обширних результатiв дослiджень по проблемі ОПК і можливостi формулювання в термiнах сучасних методiв оптимiзацiї практично будь-якої з екстремальних задач механiки, і на сьогоднішній день все ще далеке від завершення.

Слід також зазначити, що виконання усієї гами вимог до створюваної оптимальної конструкції наштовхується, як правило, на суттєві (пов'язані з необхідністю багаторазового розв'язування прямої задачі) обчислювальні, а у більшості випадків, і принципові труднощі. Спроби ж введення спрощуючих припущень у математичну модель об'єкту оптимізації не тільки вступають у протирiччя з вихiдними намiрами найбiльш повної механічно коректної постановки задачi, але іноді викликають і певну недовіру до механічної повноцінності одержуваних розв'язків. Експериментальні ж дослідження конструкцій з оптимальними параметрами фактично відсутні.

Принцип максимуму Понтрягiна (ПМП), як один із стержневих результатiв теорiї оптимального керування, показав себе досить ефективним засобом дослiдження цiлої низки аспектiв проблеми оптимального проектування. Широкі можливості для урахування особливостей математичної моделі та різноманітних вимог до поведінки розглядуваного об'єкту і доцільність більш широкого застосування такого підходу для випадку довiльних обмежень на елементи фазового простору, які характерні для бiльшостi прикладних задач оптимізації оболонкових конструкцій, продемонстровані, зокрема, в роботах Л.В. Андреєва, В.I. Моссаковського, Н.I. Ободан, I.А. Карновского, Р.Б. Рiкардса, В.А. Троїцького, А. Брайсона, Хо Ю-Ши, Е. Хога, П. Кірмсера та ін. Початок систематичним дослiдженням цього аспекту проблеми, стосовно задач оптимізації стержневих елементів, покладенi в кандидатськiй дисертацiї пошукача (1977р.). Задачi оптимiзацiї таким шляхом бiльш складних оболонкових конструкцiй i їх силових елементiв залишались малодослiдженими. Слід при цьому зазначити також і на відсутність достатньо загального алгоритму реалізації підходу для випадку необхiдних умов оптимальностi у формі принципу максимуму при наявності довільних фазових обмежень на змінні стану.

Очевидно, що тiльки в умовах комплексного пiдходу, що грунтується на поєднанні теоретичних, чисельних та експериментальних методів дослідження до вирішення цієї проблеми, можна мати надію на коректну математичну та механічну обгрунтованість і практичну цiннiсть одержуваних результатів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами

Тема дисертації знайшла своє відображення у координаційному плані Міністерства освіти і науки України, зокрема у держбюджетних науково-дослідних темах, що виконувались на кафедрі обчислювальної механіки і міцності конструкцій Дніпропетровського національного університету під науковим керівництвом автора: - “Проблеми матеріаломісткості і прогнозування міцності конструкцій” (№ д.р. 0195U019429, 1995-1997рр.); - “Проблема зниження матеріаломісткості та дослідження властивостей конструкцій з оптимальними параметрами” (№ д.р. 0198U003746, 1998-2000рр.); - “Розробка математичних моделей деформування складних механічних систем, що працюють при екстремальних параметрах навколишніх середовищ, та раціональне проектування їхніх елементів” (№ д.р. 0100U005221, 2000-2002 рр.); - “Моделі та методи оптимізації оболонкових та масивних силових елементів конструкцій при екстремальних параметрах зовнішнього навантаження (№ д.р. 0103U000537, по плану з 2003р. до 2005р.), в цільових науково-технічних програмах Державного фонду фундаментальних досліджень України (як виконавця): -“Моделювання екстремальних задач механіки деформівного твердого тіла і дослідження властивостей оптимальних проектів” (№ 1(3).3-135, 1994-1995 рр.); -“Моделювання екстремальних задач механіки деформівного твердого тіла і прогнозування міцності складних конструкцій” (№ 1.4/433 (№ Ф 4/1768-98), 1996-1998 рр.), у тематиці низки держбюджетних тем у відповідності з комплексними програмами та координаційними планами ДКНТ, Мінвузу та АН СРСР (до 1992 року), а також галузевих і госпрозрахункових тем (№№ 745, 818, 900, 955, 1033, 1072, 43, 106-94/2г та ін., як виконавця, відповідального виконавця, наукового керівника), а також низки договорів про науково-технічне співробітництво ДНУ з провідними підприємствами регіону.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка моделей, методів і алгоритмів оптимального проектування оболонкових конструкцій і їх силових елементів, що грунтуються на використанні принципу максимуму Понтрягіна з довільними фазовими обмеженнями, прогнозування та дослідження властивостей конструкцій з оптимальними параметрами. Досягнення мети здійснюється розв`язуванням наступних основних задач: побудови математично і механічно коректних оптимiзацiйних моделей з використанням теорії оптимальних процесів;  - розробки ефективних методів та чисельних алгоритмiв реалiзацiї виникаючих задач оптимального керування з довільними фазовими обмеженнями;   - дослідження особливостей і переваг підходу;   - адаптації методики для задач механіки та розширення сфери застосування підходу для широкого кола задач оптимiзацiї елементiв тонкостiнних конструкцiй при наявності довільних обмежень на змінні стану в рiзноманiтних постановках;   - розробки методiв i алгоритмiв зниження обчислювальних витрат на одержання оптимальних проектiв та урахування вимог, що виникають в практицi проектування;  - розробки методики і проведення експериментальних досліджень та побудови теоретико-експериментального підходу до вивчення властивостей елементів конструкцій з оптимальними параметрами;  - розв`язування конкретних задач відшукання оптимального розподілу матеріалу оболонкових конструкцій, вивчення та аналіз їх поведінки;  - проведення теоретичних і експериментальних дослiджень для виявлення особливостей конструкцiй з оптимальними параметрами, прогнозування їх загальних властивостей, створення теоретичних основ для формування експертних оцінок їх вагової досконалості та рекомендацiй для зниження матерiаломісткостi оболонкових конструкцiй та їх силових елементів.

Об'єкт дослідження: оболонкові конструкції і їх силові елементи.

Предмет дослідження: математичні моделі, методи та алгоритми оптимізації на основі принципу максимуму Понтрягіна.

Методика дослiджень полягає в інтерпретації задачі ОПК як задачі оптимального керування. Для проведення теоретичних дослiджень i побудови математичних моделей використовуються елементи теорiї оптимальних процесiв та відповідні теорiї оболонок, пластин та їх силових (стержневих) елементiв. Розробка алгоритмiв реалiзацiї пiдходу здiйснюється з використанням чисельних методiв механiки та оптимальних процесiв. Експериментальнi дослiдження проводяться поляризацiйно-оптичним методом, методом голографiчної інтерферометрiї та тензометрiї.

Hаукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

- вперше розроблена комплексна методологiя (моделі, методи, алгоритми, чисельні і експериментальні дослідження, суттєво розширені прикладні можливості і сфери застосування) досить загального пiдходу до розв'язування проблеми оптимального проектування оболонкових конструкцій і їх силових елементів, який грунтується на використаннi необхiдних умов оптимальностi у формi ПМП з фазовими обмеженнями;

- з єдиних позицій побудовані новi iтерацiйнi схеми розв'язування виникаючих задач оптимального керування при наявностi довiльних фазових обмежень в механіці оболонкових конструкцій;

- сформульовані і розв'язані на основі розроблюваного напрямку нові досить складні задачі вiдшукання оптимального розподiлу матерiалу оболонкових конструкцiй i їх силових елементiв в рiзноманiтних постановках, можливість реалізації яких іншими методами у ряді випадків є досить утрудненою;

- запропонована відмінна від традиційної методика розв`язування ряду задач прямого розрахунку.

В рамках пiдходу розробленi i застосованi для задач ОПК тонкостінних конструкцій:

- методика спільного використання методу Фур`є та модифікованого диференційно-різницевого методу прямих і ПМП, що дозволило поширити застосування останнього для задач оптимізації несиметрично навантажених пластин та оболонок обертання з товщиною, змінною як в меридіональному, так і в окружному напрямках;

- авторські варiанти поетапної змiни розрахункової схеми та доробки оптимальних проектiв за технологiчними вимогами;

- нова постановка задачі і методика вiдшукання оптимальної конфiгурацiї поперечних перерізiв, що поєднуються з загальним алгоритмом поетапного синтезу складової тонкостiнної конструкцiї з оптимальними параметрами;

- оригінальні методи iмiтацiйного прогнозування траєкторiї пошуку та апроксимацiї коефiцiєнтiв Фур'є, якi дають суттєвий ефект для зменшення обчислювальних витрат та мають досить загальний характер і широку сферу використання;

- вперше проведено ряд експериментальних дослiджень конструкцiй з оптимально запроектованими параметрами; - виявлені особливості таких конструкцiй;

- розробленi теоретичнi основи для прогнозування загальних властивостей конструкцiй з оптимальними параметрами.

Вiрогiднiсть отриманих результатiв забезпечується: - коректнiстю формулювання математичних моделей дослiджуваних об'єктiв з використанням основних положень механiки деформiвного твердого тiла та теорiї оптимальних процесiв; - застосуванням на окремих етапах побудованих алгоритмiв вiдомих i добре апробованих чисельних методiв та подальшим аналiзом збiжностi iтерацiйних процесiв у цiлому; - стiйкiстю одержуваних чисельних розв'язкiв по вхiдним даним; - апробацiєю пiдходу на тестових задачах; - узгодженням, в часткових випадках, результатiв дослiджень з вiдомими в лiтературi або отриманими iншими методами; - результатами проведених в роботi експериментальних дослiджень, їх аналiзом та вiдповiдними порiвняннями; - практикою застосування окремих прикладних дослiджень.

Теоретичне i практичне значення результатів

Теоретична цiннiсть роботи полягає у подальшому розвитку математично коректного, достатньо ефективного і перспективного пiдходу, що грунтується на застосуванні методiв теорiї оптимального керування (ПМП з фазовими обмеженнями) для розв'язування широкого кола задач розрахунку i оптимального проектування в механiці оболонкових конструкцiй i їх силових елементiв; - розробці, адаптації для задач механіки i апробації чисельних алгоритмів реалiзацiї необхiдних умов оптимальностi у формi принципу максимуму при наявностi довiльних фазових обмежень та суттєвому розширенні області їх використання для розв'язування екстремальних задач механiки; - побудові методики спільного використання ПМП і дискретно-континуальних методів розрахунку; - розробцi методів зниження обчислювальних витрат (алгоритму iмiтацiйного прогнозування, методики апроксимацiї коефiцiєнтiв рядiв Фур'є) i їх використання в задачах оптимiзацiї достатньо складних (несиметрично навантажених та складових) оболонкових конструкцiй. Область застосування цих досить загальних результатiв може бути поширена на вирiшення iнших проблем ресурсозбереження та задач обчислювальної механiки.

Практична цiннiсть роботи полягає у можливостi безпосереднього використання пiдходу в авіа-, ракето-, енерго-, судно- та космічному машинобудуванні і будівництві, металургійній та гірничовидобувній галузях, як ефективного засобу вiдшукання оптимальних параметрів реальних об'єктів та їх рацiональної вагової доробки з метою зниження матерiаломісткостi конкретних конструкцiй. Одержанi в роботi результати (методологiя, алгоритми, фрагменти синтезу, чисельнi i експериментальнi дослiдження особливостей проектiв з оптимальними параметрами) можуть бути використані для побудови нових математичних моделей та підходів при проектуванні і дослідженні поведінки конструкцій з оптимальними параметрами і служити науковою основою для перспективних розробок, прогнозування i створення конструкцiй з наперед визначеними властивостями та експертних оцiнок вагової досконалостi конструкцiй.

Теоретичнi i практичнi результати, якi склали основу дисертацiї, були отриманi здобувачем та знайшли своє використання при виконаннi як низки держбюджетних, так і галузевих та госпрозрахункових тем на замовлення підприємств: ДКБ "Південне", СКБ "Центральноє", п/c В-8116, п/c Г-4213, п/c В-2289, ДК Механосантехмонтаж (м. Дн-ськ) та iнших провідних установ. Загалом, у вiдповiдностi з тематикою держбюджетних i договiрних тем здобувач є спiвавтором бiльше 30 науково-технiчних звiтiв.

Результати дисертацiйної роботи у виглядi методичного, алгоритмiчного i програмного забезпечення та результатiв їх реалiзацiї на конкретних об'єктах знайшли своє безпосереднє упровадження в ДКБ "Південне", Спецiальному КБ "Центральноє" (м. Самара), ДК "Механосантехмонтаж" (м. Дн-ськ), HВО вимiрювальної технiки (м. Калiнiнград Моск. обл.), НТЦ ”Міцність” (м. Дн-ськ), ВО "Кримбудматерiали" (м. Сiмферополь) та в iнших установах, а також при розробці ряду іноваційних проектів регіональної програми науково-технічного розвитку Придніпровського регіону та у навчальному процесi спецiальностi "Динамiка i мiцнiсть" Днiпропетровського національного унiверситету.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповiдались та обговорювались бiльше, нiж на 50 Міжнародних (Міждержавних, Всесоюзних) наукових конференцiях i симпозiумах. Серед них на Мiжнар. конфер. "Проблемы оптимизации в механике деформируемого твердого тела" (H. Hовгород, 1995); - Мiждерж. наук. конфер. "Экстремальные задачи и их приложения" (H. Hовгород, 1992); - I, II Всесоюз. конфер. "Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций (Горький, 1984, 1989); - I та III Мiжнар. симпозіумах українських iнженерів - механiкiв (Львiв, 1993; 1997); - II, III, IV Всесоюз. конфер. "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" (Куйбишев, 1986; Казань, 1988; Харкiв-Рибаче, 1991); - ХIV Всесоюз. конфер. по теорiї пластин i оболонок (Кутаїсi, 1987); - ХІІ Наук. конфер. „Прикладные задачи математ. и механ.” вчених України, Росії, Білорусі (Севастопіль, 2003); - Міжнар. наук. семінарах “Lightweight structures in civil enginiering“ (Warsaw, 1996, 1997); - IV, V Українсько-польських наук. семінарах "Theоretical Foundations of Сivil Engineering" (Варшава, 1996; Дн-ськ, 1997); - III, IV Всесоюз. конфер. по оптимальному керуванню в механічних системах (Київ, 1979; Львiв, 1988 ); - Міжнар. наук. конфер. GAMM - 2001 (Zurich, 2001), GAMM - 2002 (Augsburg, 2002); - Міжнар. наук. конфер. “Сучасні проблеми механ. і математ.” (Львів, 1998); - II Мiжнар. симпозиумi "Механiка i фiзика руйнування будiвельних матерiалiв та конструкцiй (Львiв, 1996); - II Білоруському конгресі з теоретичної і прикладної механіки “Механіка - 99” (Гомель, 1999); - Мiжреспублiканській HТК "Численные методы решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности" (Волгоград, 1990); - Наук. семiнарi "Моделирование, идентификация, синтез систем управления в химических и химико-металлургических производствах" (Донецьк, смт. Ялта, 1986; Донецьк, смт. Ялта, 1988; Алушта, 1990); - III Всесоюз. та IV Мiжнар. конфер. з механiки неоднорiдних структур (Львiв,1991; Тернопiль,1995); - III Мiжнар. наук. конфер. IСМВ'94 "Материалы для строительных конструкций" (Дн-ськ, 1994); - Міжнар. конфер. "Теорія наближення та задачі обчислювальної математики" (Дн-ськ, 1993); - HТК "Оптимальное проектирование неупругих элементов конструкций (Тарту-Кяеріку, 1989);   - I Всесоюз. конфер. "Технологические проблемы прочности несущих конструкций" (Запорiжжя, 1991); - II Всесоюз. школi-семiнарi "Актуальные проблемы оптимизации конструкций" (Суздаль - Владимир, 1990); - Всесоюз. HТК "Автоматизация исследования, проектирования и испытания сложных технических систем" (Калуга, 1989); - I, II HТК "Вопросы надежности и оптимизации строительных конструкций и механизмов (Севастополь, 1986, 1991); - Всеукр. наук. конфер. “Математичні проблеми технічної механіки (Дніпродзержинськ, 2001, 2002, 2003), а також на щорiчних наукових конференцiях, присвячених пiдсумкам науково-дослiдної роботи Днiпропетровського національного унiверситету за 1978-2003 рр., на наукових семінарах ДНУ "Комп`ютерні проблеми механіки" (наук. керівник академік НАН України, д.ф.-м.н., проф. В.І. Моссаковський, неоднаразово), "Оптимальне проектування конструкцій" (наук. керівник д.т.н., проф. Ю.М. Почтман, неоднаразово), на науковому семінарі Українського технічного університету залізничного транспорту "Теорія керування і оптимальні процеси", (наук. керівник, д.ф.м.-н., проф. О.І. Єгоров, 1991, 1994), на об`єднаному науковому семінарі Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (наук. керівник чл.-кор. НАН України д.ф.м.-н., проф. Я.Й. Бурак, 1996), науковому семінарі Придніпровської державної академії будівництва і архітектури (наук. керівники д.т.н., проф. А.І. Маневич, д.т.н., проф. Є.М. Кваша, 2002), розширеному науковому семінарі кафедри обчислювальної механіки і міцності конструкцій Дніпропетровського національного унiверситету (наук. керівник чл.-кор. НАН України, д.т.н., проф. В.С. Гудрамович, 2004).

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертаційної роботи опубліковано більше 120 друкованих праць. Результати, які увійшли до дисертації викладені в 68 публікаціях. Основні положення дисертації опубліковано в 43 статтях і 2 авторських свідотствах. Додаткові публікації включають 3 навчальних посібника загальним об`ємом 22 др. аркуші, 12 статей, а також праці, матеріали та тези конференцій.

Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. Роботи [3, 4, 31-33, 35-37, 46, 53, 60, 64] надрукованi без спiвавторiв. Матерiали, що опублiкованi у спiвавторствi i використанi в дисертацiї, одержанi здобувачем особисто. В спільних роботах здобувачевi належать: постановка та методи розв'язування задач, участь у розробцi математичного, алгоритмічного і програмного забезпечення, аналiз і остаточне викладення результатiв - в [5-7, 10, 12-14, 19, 22, 24-27, 29, 30, 34, 38, 39, 41-43, 48, 50, 52, 54, 55, 57, 59, 65, 66]. У навчальному посiбнику [47] - роздiл 3 та пiдроздiли 1.1-1.3, 2.3-2.5, 4.1, 4.3, 4.5. Оптимiзацiйнi моделi, алгоритми, участь в реалізації задачі та аналізі чисельних результатів - в [1, 8, 9, 17, 49, 51]. Постановка задачi, розрахунок та оптимальне проектування досліджуваних моделей, методика експериментальних дослiджень, участь у їх проведенні i аналiзi результатiв - в [2, 11, 15, 68]. Iдея i методологiя змiни розрахункової схеми та принципи зменшення оптимiзацiйних похибок - в [16]. Принципи та методика вiдшукання параметрiв найбiльш чутливої мембрани - в [44]. Iдея конструкцiї пристрою для iмiтацiї роботи оптимiзацiйного алгоритму рацiонального розмiщення точкових опор пластинчатих конструкцiй - в [45]. Методика експерименту, комп'ютерне моделювання проектів оптимальної конфігурації, участь у проведеннi експериментальних дослiджень i iнтерпретацiї результатiв - в [18, 21, 28, 58]. Iдея, постановка задачі, методичні основи розробки методу, участь в аналізі результатів - в [20, 40, 62, 63, 67]. Фрагменти теоретико-експериментального методу вагової доробки складних конструкцiй - в [23, 56, 61].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, восьми розділів, висновків та додатків. Обсяг основного тексту дисертації становить 301 стор. Вона містить також 109 рисунків, 13 таблиць на 62 стор., список літератури з 396 бібліографічних найменувань на 35 стор. та додатки на 16 стор.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі приводиться короткий аналітичний огляд розвитку і сучасного стану проблеми ОПК та праць близьких за тематикою до дисертаційної роботи. Відзначається внесок відомих вітчизняних та зарубіжних учених у вирішення проблеми оптимального проектування конструкцій. Обгрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, формулюється її мета та основні задачі дослідження, відзначається новизна одержаних результатів, їх наукове і практичне значення. Характеризується зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами та апробація результатів.

У першому розділі приведено огляд досліджень задач оптимального проектування конструкцій з використанням методів теорії оптимальних процесів, зокрема, принципу максимуму Л.С. Понтрягіна. Відзначається внесок у розвиток цього напрямку Ж.-Л. Армана, М.В. Баничука, Ф.Л. Черноусько, В.Б. Гриньова, А.П. Фiлiпова, Е.Р. Данiелова, Л. Діксона, О.І. Єгорова, I.А. Карновського, В. Комкова, Ю.Р.Лепiка, В.Г. Литвинова, О.І. Лур`є, К.О. Лур'є, М.Т. Медведєва, Н.I. Ободан, К.О. Одiшивiлi, Є.Пунгара, М.I. Рейтмана, Р.Б. Рiкардса, Б.М.Д. Сільви, Е.А. Сімсона, В.А. Троїцького, Е. Хога, П. Кірмсера I.К. Ципiнаса, та ін. Показана доцільність та перспективність більш широкого використання підходу в механіці деформівного твердого тіла.

У цьому розділі відомі необхідні умови оптимальності у формі принципу максимуму з обмеженнями загального вигляду (Л.С. Понтрягін, В.Я. Аноров, А. Брайсон, Хо Ю-Ши) інтерпретовані, сформульовані і подані у найбільш прийнятному (включаючи позначення і термінологію) вигляді для побудови коректних оптимізаційних моделей задач механіки деформівного твердого тіла.

Задача оптимального керування полягає у відшуканні оптимального керування із умови мінімуму функціонала

(1)

для процесів, що описуються системою звичайних диференціальних рівнянь

, (2)

з крайовими умовами

; (3)

при наявності обмежень ; , основні з яких мають вигляд

; (а) ; (б) . (в) (4)

Для розглядуваних у роботі задач механіки, рівняння (2) лінійні по фазовим змінним (або зводяться до них) і нелінійні по керуванню , (3) зображають собою умови закріплення або взаємодії підконструкцій, а (4) - обмеження міцності, жорсткості, стійкості, конструктивні, технологічні та інші вимоги.

Розширений гамільтоніан та система для спряжених функцій з крайовими умовами трансверсальності мають вигляд

; (а) ; ; (б) ; , (в) (5)

де ; компоненти вектора-стовпця - суть узагальнені обмеження (4) (для випадку (4,в) - це q-ті із старших похідних обмеження, куди вперше керування входить у явному вигляді); , множники Лагранжа, - відомі коефіцієнти, а оптимальне керування відшукується із умови максимуму

H^*() = H^*(). (6)

У більш складному випадку обмежень, що не залежать від у явному вигляді, у внутрішніх точках виходу на (4,в), додатково повинні бути виконані співвідношення

(а) , (б) (7)

де компонентами вектора є само обмеження та його похідні до q-1 порядку включно, а - вектор множників Лагранжа, що призводить до можливості розриву у цих точках деяких компонент вектора спряжених змінних .

Розглянуто та подано у найбільш зручному для використання вигляді і інші можливі випадки обмежень на змінні стану і керування.

У другому розділі приведено реферативний аналітичний огляд окремих аспектів розрахунку і оптимізації оболонкових конструкцій із змінними параметрами. Відзначається вклад відомих вчених у розробку теорії та прикладних аспектів цієї проблеми.

Основні співвідношення моментної теорії тонких пружних оболонок обертання змінної жорсткості при довільному навантаженні:

, (8)

з використанням методу Фур'є (і далі переходу до глобальних координат, що дозволяє ефективно проводити розрахунок таких оболонок при довільній формі меридіану та нерегулярності жорсткості), подаються у найбільш зручному для застосовуваного методу оптимізації вигляді (2), (3) крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь із змінними коефіцієнтами (з відповідними крайовими умовами), записаними відносно коефіцієнтів таких розкладень

; (а) , (б) (9)

де компонентами вектора є переміщення і зусилля в оболонці , , , , , , , , а елементами матриці і вектор-стовбців відповідно, змінні коефіцієнти системи, компоненти навантажень та крайових умов.

В основу розробки алгоритмів прямого розрахунку, що використовуються в дисертації для розв'язування задач оптимального проектування оболонкових конструкцій і їх силових елементів, покладені, головним чином, ідеї та методи, викладені у працях Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко, В.Л. Бідермана, В.А. Кармішина, В.І. Мяченкова, В.І. Моссаковського, В.С. Гудрамовича та ін.

Подана фізична інтерпретація задачі оптимізації оболонкових конструкцій (і всіх складових її математичної моделі) як задачі оптимального керування з обмеженнями загального вигляду, накладеними на керування і фазові змінні.

Третій розділ присвячено розробці методу послідовних наближень розв'язування задач оптимального керування з фазовими обмеженнями в механіці оболонкових конструкцій. При цьому коротко обговорюються найпростіша схема послідовних наближень (О.І. Крилов, Ф.Л. Черноусько), можливості урахування фазових обмежень та способи інтегрування крайової задачі ПМП, для розв'язування якої у роботі, як основний, приймаєтья метод прогонки з ортогоналізацією С.К. Годунова. Зазначається, що застосування підходу приводить до необхідності розв`язування спеціальної крайової задачі для основної (2), (3) та спряженої (5,б,в) систем і послідовності задач нелінійного програмування невисокої розмірності для максимізації гамільтоніана (6) в фіксованих (вузлових) точках фазової траєкторії, замість розглядування багатовимірної задачі НЛП визначення дискретних варійованих параметрів, кількість яких для тонкостінних конструкцій виявляється, як правило, занадто великою. Це дозволяє не тільки більш коректно сформулювати вихідну задачу ОПК, але і суттєво спростити процес відшукання оптимального проекту шляхом структуризації задачі на простіші складові та можливості застосування фрагментів аналітичних методів досліджень, і як наслідок, зменшити обчислювальні витрати.

Сутність, запропонованого [33, 37, 60] у дисертації, узагальненого методу послідовних наближень, зокрема, при наявності фазових обмежень вигляду (4,а), полягає у безпосередньому спряженні ділянок, що відповідають різним (граничним і вільним) проміжкам траєкторії. Спряжена система при цьому може різнитись на таких проміжках наявністю або відсутністю складових з відповідними компонентами вектора множників Лагранжа , а найпростіша схема методу послідовних наближень вдоволення необхідним умовам оптимальності доповнюється, разом з відшуканням меж ділянок перемикання керувань, модифікованим алгоритмом методу узагальнених множників Лагранжа знаходження та із умов (6) для реалізації внутрішнього ітераційного циклу В (рис. 1).

При наявності фазових обмежень (4,в), що не містять керування у явному вигляді, крайова задача принципу максимуму (яка у зв'язку з необхідністю виконання умов (7,а) у внутрішніх точках фазової траєкторії виявляється у цьому випадку багатоточковою), зводиться до послідовності двоточкових і розв`язується з залученням, запропонованого у роботі, аналогу методу нев`язки крайових умов, суть якого полягає в тому, що невідомі параметри крайових умов для спряжених функцій у внутрішніх точках траєкторії впливають на виконання певних умов (7,а) у цих точках не безпосередньо, як у відомому методі ”пристрілки”, а через таку ланку . Детально розглянуті також випадки інтегральних обмежень (4,б), одночасного виходу на поверхню декількох обмежень, часткові випадки порушення фазових обмежень у початковій (кінцевій) точках траєкторії та інші можливі варіанти алгоритму.

Запропонований алгоритм вдоволення необхідним умовам оптимальності структоризовано та подано у вигляді сукупності автономних процедур, які реалізують окремі добре обгрунтовані алгоритми чисельної механіки. Алгоритм дозволяє враховувати довільні фазові обмеження, що виникають в практиці проектування і має багатогілкову (багатоваріантну) структуру. Для ілюстрації роботи кожної з гілок алгоритму у подальших розділах дисертації сформульовані і розв`язані відповідні задачі відшукання оптимального розподілу матеріалу конкретних конструкцій.

Порівняльна оцінка ефективності [36] застосування ПМП і методів НЛП проводиться на прикладі задачі вагової оптимізації балки (за наявності обмежень ; ; ) зі змінними розмірами (4-ма функціями в n точках по довжині балки) двотаврового поперечного перерізу, оптимальні варійовані параметри якої приведені на рис.2. Результати чисельного моделювання та аналіз відомих (Д. Химмельблау) даних про неохідну кількість прямих розрахунків, що припадають на одну змінну при відшуканні екстремуму різними методами НЛП, доводять, що розв`язування розглядуваних у роботі задач ОПК з використанням дискретних методів НЛП є суттєво трудовитратнішим з обчислювальної точки зору, ніж при застосуванні розроблених алгоритмів ПМП.

Збіжність запропонованого методу послідовних наближень обгрунтовується з використанням відомих результатів дослідження збіжності ітераційних процесів проектування (як часткового випадку) рівноміцних та дискретно-рівноміцних конструкцій (В.А. Комаров, В.П. Малков, Р. Разані, В.М. Рябченко та ін.). Для прискорення збіжності застосовується декілька прийомів, що грунтуються на модифікації методу релаксації для призначення керувань, координат точок їх перемикання та множників Лагранжа наступного кроку, ступеневе розширення (від верхньої до заданих) меж змінювання керування , а також поступове збільшення точності вдоволення відповідним співвідношенням з глибиною ітераційного процесу. Збіжність і стійкість обчислень в окремих блоках алгоритму (сукупності блоків) обгрунтовується збіжністю і стійкістю вживаних обчислювальних методів, а у цілому вірефікована результатами чисельного моделювання.

Однією з актуальних проблем оптимального проектування складних конструкцій є те, що їх прямий розрахунок (результати якого необхідні для обчислення цільової функції, обмежень, а у деяких випадках і похідних від них) на кожному кроці пошуку часто виявляється настільки трудомістким, що ставиться під сумнів сама можливість оптимізації. З цієї точки зору, далі у третьому розділі пропонується оригінальний алгоритм імітаційного прогнозування прискорення збіжності ітераційних процесів в задачах оптимізації конструкцій [20, 29], суть якого (на відміну від відомих підходів до вирішення цього питання: алгоритмів імітаційного моделювання (В.П. Малков, В.В. Торопов), апроксимацій стану конструкції (І.Б. Лазарев, О.І. Круглов, Р. Разані), алгоритмів на основі досліджень чутливості (Е. Хог, В. Комков) та ін.) полягає у моделюванні самого ітераційного процесу шляхом періодичного використання екстраполяцій значень керуючих змінних для побудови прогноз-точок на основі результатів попередніх кроків пошуку, елементів теорії випадкових процесів і результатів чисельних експериментів, замість проведення усього об`єму обчислень k-го кроку наближень.

Значення прогноз-точки відповідно для немонотонної та монотонної послідовності пропонується визначати такими залежностями (; - деякі сталі ):

;

;

Застосування алгоритму (який було апробовано на тестових (”незручних” лощинних) функціях (Д. Химмельблау) в задачах НЛП (для методів градієнта і Н`ютона див.[29]) та оптимального керування) дозволяє зменшити кількість кроків процесу у 1,51,8, а у ряді випадків і більше разів. На рис. 3,б проведено оптимальний розподіл змінної висоти прямокутного поперечного перерізу, а на рис 3,в - ілюстрацію характеру збіжності алгоритму пошуку варійованого параметру в позначених точках кільцевого шпангоута (рис. 3,а,б) мінімального об'єму матеріалу для початкового наближення у вигляді траєкторій алгоритму в залежності від номера ітерації без застосування (лінії 1А, 1а-1g, відповідно, при ц=0⁰, 15⁰, 30⁰, 36⁰, 60⁰, 75⁰, 120⁰, 180⁰) і з застосуванням (лінія 2) алгоритму імітаційного прогнозування, що свідчить про його ефективність та добру збіжність запропонованого методу у цілому.

Четвертий розділ присвячено дослідженню особливостей та демонстрації різних аспектів застосування запропонованих у третьому розділі алгоритмічних схем в задачах розрахунку і оптимального проектування стержневих силових елементів, які часто використовуються для підсилення тонкостінних конструкцій. Особливості урахування термінальних обмежень у внутрішніх точках фазової траєкторії та відповідний випадок алгоритму розглянуті на прикладі вагової оптимізації нерозрізної балки [4], а фазових обмежень, накладених на напруження і кут закручування, та конструктивних вимог - при відшуканні неперервно змінних геометричних розмірів поперечного перерізу тонкостінного бісиметричого двотаврового стержня мінімальної ваги при стисненому скручуванні [6, 12].

Тут же пропонується нетрадиційний, шляхом мінімізації енергетичного функціонала з використанням ПМП, підхід до розв`язування задач прямого розрахунку деяких стержневих елементів. Досліджується стан прямолінійного стержня у полі заданих кінцевих переміщень [27]. Результати дослідження окремих випадків деформування жорстких стержнів при різних крайових умовах та навантаженні з застосуванням підходу співпали з відомими даними. Відзначено доцільность використання одержаних результатів для розрахунку стержневих систем спільно з методом скінченних елементів. Аналогічним чином розглядається задача деформування, а далі і оптимізації фізично нелінійного гнучкого стержня [24, 52]. Результати розв`язування цих задач співпали з даними, одержаними з викорисанням динамічного програмування (В.О. Бараненко, Ю.М. Почтман). Далі у цьому розділі запропоновано [3] авторський варіант застосування принципу максимуму для розв`язування відомої задачі (рис. 4) спільного деформування (відшукання зусиль взаємодії q, p, m) оболонки обертання та підсилюючого її в місті дії зосередженої радіальної сили шпангоута змінної жорсткості (Є.В. Бінкевич, В.І. Моссаковський) шляхом мінімізації функціонала нев`язки переміщень по лінії стику оболонки і шпангоута (відповідно та v_k, w_k, и_k)

. (11)

Зазначено переваги такого підходу для розв`язування цієї задачі над відомими енергетичними, спільно з застосуванням тригонометричних рядів, методами. Приведено чисельні результати спільного деформування шпангоута, підсилюючого циліндричну оболонку при радіальному локальному навантаженні, які для окремого випадку постійного перерізу співпадають з відомими даними.

Розглянуто ряд розрахункових схем, математичних моделей оптимізації, особливостей застосування підходу та одержано низку чисельних результатів розв'язування конкретних задач оптимального проектування силових шпангоутів змінної жорсткості (прямокутного, тришарового та інших перерізів), ізольованих та підсилюючих тонку пружну радіально навантажену оболонку обертання [2, 5, 47]. Зокрема, для випадків криволінійного стержня мінімальної ваги, підсилюючого відкриту циліндричну оболонку з прямолінійними (повздовжніми) бортовими елементами [13] та циліндричну оболонку, затиснуту по косому зрізу з урахуванням діючих на шпангоут силових та температурних навантажень [19]. Обговорені різноманітні випадки обмежень на елементи напружено деформованого стану, що виникають у реальному проектуванні: напруження, радіальні переміщення, зусилля зсуву в оболонці (умови стійкості) та конструктивні параметри перерізу. Одержані [26] та узагальнені результати вагової (при наявності міцністних обмежень) оптимізації кругових шпангоутів для значної кількості розрахункових схем (В.І. Моссаковський, В.С. Гудрамович, Є.М. Макеєв) (див, наприклад, рис 3,б), які можуть бути використані і як довідковий матеріал. Досліджені властивості одержаних оптимальних проектів.

Для задачі проектування кільцевої рами з мінімальними витратами V матеріалу на її виготовлення, що знаходиться під спільною дією температурного і силового навантажень, досліджені властивості проектів з оптимальними параметрами та особливості треєкторії спуску при урахуванні обмежень на величину - відхилення форми осі рами від кругової [18]. Побудовані (рис. 5) залежності V- для проектів постійного перерізу (лінія 2), оптимального (лінія 1) та низки субоптимальних проектів (лінії 3-7), що лежать на відповідних трєкторіях покоординатного спуску відшукання невідомих параметрів крайових умов спряженої системи та вдоволення умовам максимуму (6). При цьому оптимальним проектам відповідає огинаюча всіх таких субоптимальних проектів. Переваги оптимальних проектів випливають з порівнянь, наприклад, проекту С постійного поперечного перерізу (рис.5) з А - за витратами матеріалу V при одинаковому , та з В - за деформівністю при одинаковому V. Зазначається, що можливість подання деяких фрагментів розв'язку в аналітичному і уже далі - чисельному вигляді дозволяє у повній мірі продемонструвати переваги підходу при проектуванні та дослідженні впливу конкретних обмежень, зокрема, фізико-геометричних параметрів конструкції, на форму і властивості оптимальних проектів, а алгоритм імітаційного прогнозування дозволяє суттєво зменшити кількість прямих розрахунків і у розглядуваних у цьому розділі випадках.

Подані тут наукові результати демонструють можливості та розширюють сферу застосування підходу для широкого кола задач розрахунку і оптимального проектування стержневих силових елементів тонкостінних конструкцій та мають, крім того, методичний характер [47], що дозволяє уникнити низки подробиць при викладені матеріалу подальших розділів. Показано також, що застосування підходу дозволяє не тільки одержати проекти, що мають суттєві переваги з точки зору витрат матеріалу (до1268%), жорсткісних показників (до 1,61,8 раз), але і коректно сформувати відповідні оптимізаційні задачі механіки та одержати ефективний засіб їх дослідження і розв'язування.

Задачі відшукання змінної уздовж радіуса жорсткості круглих та кільцевих пластин мінімальної ваги під дією поперечного навантаження та наявності обмежень, накладених на напруження, прогин і товщину пластинки розглянуто у п'ятому розділі. Оптимальні проекти пластинок одержані та досліджені [1, 7, 48] для різних фізико-геометричних параметрів, співвідношень внутрішнього і зовнішнього радіусів, варіантів закріплення контура, навантаження та ін. Як приклад, на рис. 6,б зображено оптимальний розподіл товщини пластинок (лінії 1-4) одержаних при різних значеннях [w] максимального прогину, поданих точками з тими ж номерами на залежностях (рис. 6,в) ваги V матеріалу від [w] для пластинок постійної (лінія ІІ) і змінної (лінія І) жорсткості. Переваги оцінюються порівнянням параметрів відповідних проектів (як приклад 2, 6, 5 на рис. 6,в). Зокрема, у частковому випадку відсутності обмежень на прогини, одержані результати добре погоджуються з відомими даними М.В. Арістова, В.О. Троїцького. Досліджені різноманітні особливості врахування фазових обмежень, проаналізовані властивості оптимальних проектів, проведені відповідні порівняння. Так, наприклад, для пластин з одинаковою жорсткістю виграш у вазі може скласти від 5% до 60% та суттєво залежить від умов закріплення контура і інших чинників. Проілюстрована методика визначення точок перемикання керування та ефективність включення до алгоритму аналітико-чисельних фрагментів. Проведені дослідження показують, що ітераційний процес має досить високу збіжність і дозволяє одержати оптимальний проект за 14-18 ітерацій. Характер збіжності алгоритму по ітераціях для проекту 1 рис.6 продемонстровано на рис.7.

Можливості підходу та вплив конструктивних вимог на властивості оптимальних проектів досліджено [38] розв`язуванням задачі оптимізації кільцевої пластинки при наявності обмеження на її товщину зверху у випадку, коли на цьому ж проміжку одночасно виявляються активними ще й обмеження міцності. Вказується на можливість досить суттєвої перебудови конфігурації оптимального проекту (для прикладу на рис.8 лінія 1 - без обмеження, а лінія 2 - з обмеженнями на товщину зверху) у цьому випадку. Розглянуто введення конструктивного обмеження у вигляді вимоги кусково-постійної жорсткості. Зазначається, що вплив кількості ступеней постійної товщини на зміну характеру розподілу товщин і властивостей оптимальних проектів може бути досить суттєвим (рис.9), що необхідно враховувати при аналізі результатів оптимізації. Досліджується збіжність алгоритму в залежності від ступеня дискретизації. Демонструється ефективність підходу навіть і у такому, більш близькому безпосередньо до задачі НЛП, випадку.

Обговорюється застосування підходу до розв`язування задач оптимізації кільцевих пластинок з урахуванням фізичної та геометричної нелінійності [50]. Реалізація крайових задач ПМП здійснюється при цьому шляхом їх лінеарізації. При пружно-пластичному деформуванні пластинки замість умови міцності вводяться обмеження на попередньо задану глибину поширення зони пластичності по товщині пластинки [48], а крайові задачі розв`язуються з використанням методу змінних параметрів пружності. Аналізуються особливості врахування пружно-пластичних деформацій одночасно, наприклад, з обмеженнями жорсткості та їх вплив на властивості оптимальних проектів. Розв'язано також низку задач оптимізації пружних круглих пластин, проаналізовані чисельні результати, проведені відповідні порівняння. На прикладі задачі оптимізації форми швидкообертаючогося диску досліджено вплив параметрів нерівномірного по радіусу силового і температурного полів на властивості проектів та форми профілю диску і температури навколишнього середовища на розподіл температури в диску [14].

У шостому розділі сформульовано та розв'язано задачі вагової оптимізації оболонок обертання при наявності обмежень міцності, жорсткості і конструктивних вимог [10, 48].

; ; (а) ; (б) h(s) ? h₀, (в) (12)

де ; ? [у]; ;

Розглянуто задачі оптимізації сполучених оболонок з різноманітною формою меридіану, послідовністю їх стикування, з різними (для окремих підконструкцій) фізичними параметрами, умовами закріплення і т. ін. Як приклад, на рис. 10 приведено розподіл матеріалу опукло-вгнутого днища мінімальної ваги в залежності від значення параметра нижнього конструктивного обмеження [9]. Одержані результати свідчать, що як конфігурація конструкції, так і наявність довільних обмежень на параметри її напружено-деформованого стану не вносять принципових ускладнень в алгоритм пошуку її оптимального проекту. Далі розглядається задача оптимізації n-шарової оболонки обертання, (виготовленої методом неперервної перехресної намотки однонаправлених склониток з включеннями) під дією осесиметричного силового і температурного навантажень [42]. Побудовані алгоритми розрахунку (в рамках незв`язаної теорії термопружності) і оптимального проектування, де варійованими вибрані змінні уздовж меридіану кути (s) намотки волокна та товщина h(s) оболонки (рис. 11).

Методика розв`язування задач оптимізації форми серединої поверхні оболонок ілюструється на прикладі проектування круглої гофрованої мембрани з жорстким центром, як пружного елементу вимірювального приладу найбільшої чутливості [43]. На відміну від відомих робіт, де гофрована мембрана інтерпретується як конструктивно-ортотропна кругла пластинка (Андреєва Л.Е.), тут мембрана розглядається як пружна оболонка обертання синусоїдального (y(r) =A(r) sin(щ (r- L)), L ?r?R) профілю. Керування її чутливістю здійснюється шляхом змінювання уздовж радіуса глибини гофрування. Товщина стінки мембрани при необхідності теж може варіюватись. Тут, крім умов міцності і жорсткості, враховуються обмеження на ширину лінійного діапазону шкали вимірюваних тисків. Одержані оптимальні закони зміни глибини гофрування, побудовані пружні характеристики мембрани, досліджені властивості проектів оптимальної конфігурації, дані рекомендації щодо використання одержаних результатів [44]. При цьому чутливість мембрани оптимального профілю (лінія 1) виявляється більшою в 2,1 рази (лінія 2), а довжина лінійної ділянки її характеристики ”w-q” - на 10% від цих показників (лінія 3) для відповідних мембран постійної гофрировки (рис.12).

Постановка розглянутої далі задачі проектування найбільш жорсткого циліндричного резервуару для зберігання нафтопродуктів [35] зумовлена як тим, що виміри реальної кількості рідини в резервуарах, зокрема циліндричних великої місткості, досить неточні, у зв`язку з їх деформуванням під дією гідростатичного тиску та підігріву рідини, так і для демонстрації переваг підходу перед безпосереднім використанням у цьому випадку методів НЛП. Критерієм оптимальності приймається зміна внутрішнього об'єму резервуару при заданих витратах матеріалу на його виготовлення та наявності обмежень (12,а-в).

; . (13)

Слід зазначити, що незважаючи на високий рівень розвитку сучасної технології машинобудування, виготовлення конструкцій з нерегулярними параметрами (у даному випадку товщини стінки оболонки) часто все ж виявляється досить коштовним і оптимальний проект вимушено розглядається як деякий еталон, порівняння з яким дозволяє оцінити лише ступінь досконалості реальної конструкції. Тому у цьому розділі параметри такої раціональної (субоптимальної) оболонкової конструкції пропонується одержувати шляхом найкращої кусково-постійної апроксимації неперервних керувань (як допоміжної задачі НЛП) з урахуванням технологічності і вартості виготовлення та інших вимог: