Прикладна теорія та методи розв’язання задач механіки складених конструкцій шаруватої структури

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Національний транспортний університет

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Спеціальність 05.23.17 - Будівельна механіка

Прикладна теорія та методи розв'язання задач механіки складених конструкцій шаруватої структури

Марчук Олександр Васильович

Київ 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному транспортному університеті (м.Київ)

Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор Піскунов Вадим Георгійович, Національний транспортний університет, завідувач кафедри опору матеріалів і машинознавства (м.Київ).

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор, академік НАН України Григоренко Ярослав Михайлович, Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, головний науковий співробітник (м.Київ);

доктор технічних наук, професор Городецький Олександр Сергійович, Державний науково-дослідний інститут автоматизованих систем у будівництві Державного комітету будівництва, архітектури та житлової політики України, заступник директора з наукової роботи (м.Київ);

доктор технічних наук, професор

Чибіряков Валерій Кузьмич, Київський національний університет будівництва й архітектури, завідувач кафедри вищої математики (м.Київ).

провідна установа: ВАТ “Український науково-дослідний та проектний інститут сталевих конструкцій ім. В.М.Шимановського” Української державної корпорації з виконання монтажних і спеціальних будівельних робіт, науково-дослідний відділ технічного розвитку (м.Київ).

Захист відбудеться 20.01. 2006 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.059.02 при Національному транспортному університеті за адресою: 01010, м.Київ, вул. Суворова,1, зал засідань (ауд. 333).

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Національного транспортного університету за адресою: 01103, м.Київ, вул. Кіквідзе, 42

Автореферат розісланий 16.12. 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, кандидат технічних наук, доцент І.А.Рутковська

1. Загальна характеристика роботи

конструкція шаруватий континуальний

Актуальнiсть теми. У сучасній техніці поширюється застосування конструктивних систем композитної структури, зокрема шаруватих, із високим рівнем рiзномодульностi складових матеріалів, анізотропії тощо. Це конструкції літальних апаратів, наземного та підземного транспорту, будівельних, дорожніх та аеродромних споруд, машинобудівних систем, інших об'єктів.

Сучасні конструкції перебувають у складних умовах деформування: мають контакт з тілами різної жорсткості та різноманітні умови закріплення, вони підпорядковані дії локальних статичних та близьких до резонансних динамічних навантажень, що можуть спричинити порушення цілісності конструкції, зокрема розшарування композитної системи тощо. Зазначені особливості зумовлюють тривимірний напружено-деформованоий стан (НДС) цих конструктивних систем, зони з високими градієнтами його зміни.

Застосування прямих точних методів просторової теорії пружності для дослідження зазначених особливостей НДС ускладнено, а класичні напрямки теорії, побудовані на спрощених гіпотезах (гіпотези Кірхгофа-Лява,Тимошенка), не дають у цих випадках достатньої точності. Тому продовжують розвиватися наближені до моделей теорії пружності, так звані уточнені, або некласичні, моделі НДС, що зводять тривимірні задачі до двовимірних. Для шаруватих конструктивних систем розвинено два основних напрямки моделювання: континуальні теорії, які функціонально узагальнюють властивості системи за її товщиною, та дискретні теорії, що моделюють властивості структури пошарово. Кожен із цих напрямків має свої переваги та недоліки, що позбавляє їх універсальності.

У зв'язку з викладеним виникає потреба подальшого вдосконалення наведених напрямків моделювання та їх узагальнення у єдину теорію, а також побудови на цій основі ефективних аналітичних та числових методів дослідження НДС, що у цілому має створити можливість розрахунку конструкцій шаруватої структури складених із композитних частин з урахуванням різних умов їх контакту.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень дисертації пов'язані з науковими програмами Національного транспортного університету, були використані та увійшли до звітів науково-дослідних робіт, виконаних на кафедрі опору матеріалів та машинознавства за темами: “Теоретичні моделі та методи розрахунку шаруватих конструкцій транспортних споруд при дії багатоколісних транспортних засобів підвищеної вантажопід'йомності”(1996-1999 рр., № д. р. 0197И00544); “Динаміка та стійкість шаруватих середовищ нерегулярної структури з композитних матеріалів під дією рухомих навантажень” (1999-2002 рр., № д. р. 0100U002442); ”Уточнена методика розрахунку дорожнього одягу на плитних та ребристих залізобетонних прогонових будовах автодорожніх мостів”(№167 від 9.04.2002 р.).“Розробити методику розрахунку нежорстких дорожніх одягів з армуючими прошарками” (2003р. № д.р. 0102U003929); “Розрахунок збірно-монолітної, температурно-нерозрізної ребристої залізобетонної прольотної будови з прольотами 18 - 33 м.” (договір № 108 від 1.05.2003 р. з Державним підприємством “Укрдіпродор”).

Мета i завдання дисертації. Мета дисертації полягає у побудові узагальненої некласичної теорії розрахунку шаруватих композитних конструктивних систем на основі розвитку та об'єднання континуального та дискретного напрямків моделювання їх напружено-деформованого стану, у реалізації запропонованої теорії аналітичними та числовими методами для розв'язку широкого кола задач статики, динаміки, стійкості та контактної взаємодії вказаних систем у складних умовах деформування.

Ця мета потребує реалізації таких завдань:

- побудови удосконаленої континуальної моделі деформування шаруватих плит і оболонок, яка дасть змогу враховувати умови контакту з іншими тілами на обох зовнішніх поверхнях - моделі з двома базовими поверхнями (двоповерхневої моделі), двовимірною за математичним змістом, але просторової за геометричною та фізичною сутністю;

- об'єднання на основі побудованої двоповерхневої моделі континуального та дискретного принципів моделювання шаруватих систем, складання іх із шаруватих пакетів, що узагальнює обидва напрямки моделювання в єдиній теорії, яка дасть змогу уточнювати НДС композитних конструкцій та надасть можливість розглядати не тільки плити та оболонки, а й масиви, напівпростір, шаруваті конструкції складеної структури за товщиною та в плані тощо;

- побудови для окремих випадків умов на контурі точних еталонних розв'язків рівнянь теорії пружності для шаруватих плит і пологих оболонок, зокрема при їх контакті з жорсткою основою та напівпростором, урахуванні неперервної неоднорідності шару за товщиною, при жорсткому та ковзкому контакті між шарами, що в цілому дасть можливість широкого тестування запропонованої теорії для обґрунтування її достовірності;

- аналітичної реалізації запропонованої теорії та її тестування шляхом зіставлення із побудованими та відомими точними розв'язками, із результатами розрахунків за іншими двовимірними теоріями задач статики, динаміки та стійкості шаруватих систем;

- числової реалізації запропонованої теорії методом скінченних елементів та розробки напiваналiтичної скiнченно-елементної методики розрахунку шаруватих конструкцій, дослідження на цій основі задач НДС складних конструктивних систем;

- побудови на основі запропонованої теорії та методів її реалізації методики розрахунку різноманітних об'єктів: плит складеної будови в плані та за товщиною в контакті з пружним напівпростором, з урахуванням відриву від нього для розрахунку одягів автомобільних доріг та аеродромів, шарувато-ребристих систем для розрахунку конструкцій прогонових будов мостів, розв'язку інших прикладних задач.

Об'єктом дослідження є композитні конструкції складеної шаруватої структури з високим рівнем різномодульності матеріалів у різноманітних умовах деформування.

Предметом дослідження є напруженно-деформований стан, характеристики коливань та стійкості композитних конструкцій шаруватої структури залежно від фізико-механічних властивостей складових матеріалів, характеру статичних та динамічних навантажень, умов закріплення та міжшарового контакту, контактної взаємодії з різними тілами, інших особливостей деформування.

Методами дослідження є розроблювана універсальна некласична теорія композитних конструкцій та методики її аналітичної й числової реалізації, а також побудовані точні та наближенні методи розв'язання тривимірних задач теорії пружності стосовно об'єкта досліджень.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

- розроблено нову континуальну модель деформування шаруватих систем, особливістю якої є наявність двох базових поверхонь, що при двовимірності за математичним змістом надає їй просторового характеру за геометричною та фізичною сутністю;

- на основі двоповерхневої моделі побудовано нову некласичну теорію розрахунку шаруватих систем, яка узагальнює континуальний та дискретний напрямки моделювання їх НДС і створює передумови для розрахунку конструкції складної структури за товщиною та в плані;

- розроблено новий варіант точних еталонних розв'язків рівнянь теорії пружності для шаруватих плит та пологих оболонок із різними умовами контакту на зовнішніх поверхнях та міжшарового контакту, врахуванням неперервної неоднорідності шарів за товщиною для задач статики, динаміки з впливом дисипації енергії, стійкості, поздовжньо-поперечного згинання;

- побудовано новий скінченний елемент шаруватих масивів, особливістю якого є незалежність числа ступенів вільності від кількості шарів, можливість його суміщення з елементами іншої будови по зовнішніх поверхнях для розрахунку об'єктів складеної неоднорідної структури за товщиною та в плані, при істотному зменшенні числа невідомих порівняно з дискретизацією об'єктів звичайними просторовими скінченними елементами;

- розроблено новий варіант напiваналiтичної скiнченно-елементної методики розрахунку шаруватих конструкцій з точним розв'язком диференціальних рівнянь відносно розподілення розшукуваних функцій за товщиною конструкції, яка дає змогу уточненого дослідження НДС складних конструктивних систем та підтвердження достовірності скінченно-елементної реалізації запропонованої теорії;

- на основі точних розв'язків рівнянь теорії пружності, аналітичної та числової реалізації побудованої некласичної теорії виконано дослідження для широкого кола нових задач і виявлено нові ефекти НДС композитних конструкцій шаруватої структури залежно від фізико-механічних властивостей складових матеріалів, характеру статичних та динамічних навантажень, міжшарового контакту та контактної взаємодії з різними тілами, інших особливостей деформування.

Практичне значення отриманих результатів полягає у розв'язку на базі запропонованої теорії та методів її реалізації прикладних задач розрахунку різноманітних конструктивних об'єктів: плит складної будови в плані та по товщині в контакті з пружним напiвпростором та з урахуванням відриву від нього для розрахунку одягів автомобільних доріг і аеродромів, шарувато-ребристих систем для розрахунку конструкцій прогонових будов мостів та інших конструкцій. Здобуті результати набули застосування під час проектування та будівництва реальних транспортних об'єктів.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації оголошено на таких конференціях: “Технологічні проблеми міцності несівних конструкцій (Запоріжжя, 1991); “Композитні матеріали в корпусах глибоководних технічних засобів” (Ніколаєв, 1991); “Шляхи підвищення ефективності дорожнього господарства України в нових умовах господарювання”(Київ, 1994); “Механіка композитних матеріалів (МКМ)” (Латвія, Рига, 1996, 1998, 2000), “Composite Science and Technology - ICCST/2” (South Africa, Durban, 1998); “Прогресивні технології i енергозбереження в дорожньому будівництві” (Київ, 2001); “Проблеми економії енергії” (Львів, 2001), а також на Білоруському конгресі з теоретичної та прикладної механіки “Механика - 95” ( Мінськ, 1995); У повному обсязі дисертація доповідалася на семінарах у Національному транспортному університеті, Інституті механіки НАН України ім. С.П.Тімошенко, ВАТ “Укрндіпроектстальконструкція” ім. В.М.Шимановского, Придніпровській державній академії будівництва та архітектури.

Публікації. За темою дисертації загалом опубліковано 60 наукових праць, із яких в авторефераті наведено список із 30 найбільш суттєвих робіт, надрукованих у провідних спеціалізованих фахових виданнях, де викладено основний зміст дисертації. З них 13 самостійних публікацій автора.

Особистий внесок здобувача. Основна частина ідей, теоретичних та практичних розробок дисертації належить здобувачу особисто, що знайшло відображення в його індивідуальних працях: [5-11,13,15-17,22,30]. Співавтори статей [4,27,28] Огарков С.А. та Гриневицький Б.Г. приймали участь у розрахунках та обробці їх результатів. Статті [1-4,12,14,18,19-21,23-29] надруковано разом із науковим консультантом доктором технічних наук, професором В.Г.Піскуновим як постановником проблем дисертації, якому автор висловлює щиру подяку.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складаеться з вступу, восьми розділів, висновків, бібліографії та додатку. Вона викладена на 353 cторінках основного тексту, містить 52 рисунка, 53 таблиці, список використаних джерел з 194 найменувань на 18 сторінках, додатка на 5 сторінках.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертації, визначені мета i задачі досліджень, подана загальна характеристика роботи.

У першому розділі викладено огляд розвитку напрямків розрахунку шаруватих конструкцій. Зазначено, що в моделюванні їх напружено-деформованого стану можна виділити два основних напрямки:

- розв'язання рівнянь просторової теорії пружності;

- використання двовимірних рівнянь некласичної (уточненої) теорії, побудованої методом уведення відповідних гіпотез про розподіл компонент напруженно - деформованого стану за товщиною конструкції.

Істотний внесок в отримання просторових розв'язкiв теорії пружності зробили, Б.Г.Гальоркiн, А.І.Лурьє, Л.Е.Брюккер, Б.Ф.Власов, О.М.Гузь, Ю.М.Немiш, Я.М.Григоренко, А.Т.Василенко, Н.Д.Панкратова, М.О.Шульга, О.П.Прусаков, А.К.Приварнiков, В.С.Нiкiшин, В.К.Чібіряков, а також В.Бартон, А.Нур, Н.Пейгано, Дж.Реддi, М.Савоя, С.Срініваз та iн. Не зважаючи на обмежений клас задач, які можна розв'язати на основі рівнянь просторової теорії пружності, відзначається їх важлива роль у проведенні деяких дослідницьких числових експериментів, а також в одержанні еталонних розв'язків. Вказано на необхідність подальшого розвитку цього напрямку.

Зазначено, що передумови застосування методу гіпотез до побудови некласичної теорії закладені С.П.Тимошенком, який врахував деформації поперечного зсуву для задачі коливань балки, та Е. Рейсснером, який побудував теорію пластин середньої товщини, що врахувала деформації зсуву. Згодом ці передумови були розвинені для шаруватих, насамперед тришарових, конструкцій. На цьому напрямку було сформульовано два підходи:

- дискретний, коли гіпотези застосовують для кожного шару окремо i порядок системи розв'язувальних рівнянь залежить від кількості шарів;

- континуальний, коли гіпотези застосовують для усього пакета шарів i порядок системи розв'язувальних рівнянь не залежить від кількості шарів.

Значний внесок у розвиток дискретного підходу зробили В.В.Болотiн, Ю.М.Новiчков, Е.I.Григолюк, П.П.Чулков, Я.М.Григоренко, А.Т.Василенко, В.А.Баженов, В.І.Гуляєв, Є.А.Гоцуляк, П.П.Лізунов, О.І. Оглобля, Л.П.Хорошун, І.Ю Хома та ін. До переваги підходу належить його висока точність, до недоліку - високий порядок розрахункових рівнянь, що особливо помітно при великій кількості шарів - типовій структурі сучасних композитів.

Континуальний підхід в теорії шаруватих конструкцій започаткували роботи С.А.Амбарцумяна, С.Г.Лхнiцького. Внесок у розвиток цього підходу зробили Я.М.Григоренко, А.Т.Василенко, С.Н.Кан, Б.Л.Пелех, В.В.Пікуль, О.П.Прусаков, А.В.Плеханов, О.Ф.Рябов, О.О.Рассказов, В.Г.Пiскунов, В.Є. Вєриженко, В.С.Сіпетов, В.К.Присяжнюк, О.В.Горик, О.С.Сахаров, О.В.Гондлях, М.О.Шульга, В.Ф.Мєйш та iн. Переваги підходу полягають у незалежності порядку системи розв'язувальних рівнянь від кількості шарів при достатній точності визначення характеристик деформування всього пакета в цілому - прогинів, частот вільних, переважно згинальних коливань, критичних параметрів втрати стійкості усього пакета. У той же час напруження у слабких шарах, частоти складних коливань та значення переміщень i напружень при таких коливаннях, напружено-деформований стан у динамічних процесах, близьких до резонансних, критичні параметри втрати місцевої стійкості можуть визначатися зі значною похибкою або взагалі не можуть бути знайдені. Обмежена можливість урахування граничних умов окремих шарів, складної будови конструкції в плані та за товщиною, адекватного відображення роботи шаруватих конструкцій на жорстких основах, особливо у разі локального навантаження.

На основі викладеного зазначена необхідність створення моделі розрахунку, яка би узагальнювала та розвивала обидва підходи, ліквідуючи їх недоліки та підсилюючи переваги, що визначило поставлену мету дисертації та завдання для її реалізації.

У другому розділі побудовано модель шаруватих пологих панелей, особливістю якої віднесення шуканих функцій до двох зовнішніх лицьових поверхонь.

Розглянуто панель шаруватої структури з фiзико-механiчними характеристиками, що дискретно (пошарово) змінюються за товщиною. Кількість шарів довільна, а їх контакт абсолютно жорсткий.

У роботi застосовуться складання по нiмих нижнiх iндексах. Кома на рівні нижніх індексів позначає операцію диференціювання.

Побудову моделі проведено за ітераційним принципом, що був запропонований С.О.Амбарцумяном для створення уточнених одноповерхневих моделей плит та оболонок.

На першому кроці ітераційного процесу розподіл переміщень за товщиною шаруватої структури прийнято за лінійним законом для тангенціальних переміщень та за полілінійним - для нормальних переміщень:

, (1)

Тут - шукані функції переміщень на зовнішніх поверхнях панелі;-задані лінійні функції по поперечній координаті; - задані полілінійні функції по поперечній координаті (лінійні у межах шару), які враховують жорсткість у поперечному напрямку.

В окремому випадку одношарової однорідної структури функції розподілу переміщень за товщиною відповідають апроксимації переміщень скiнченних елементів масивів, але на відміну від них в якості вузлових ступенів вільності виступають функції переміщень на зовнішніх поверхнях конструкції.

На основі виразів для тангенціальних складових тензора напружень , що випливають iз введеної апроксимацiї (1), iнтегруванням рiвнянь рiвноваги в напруженнях за товщиною шаруватої структури, здобуто уточненi вирази складових та . Далі із закону Гука визначено деформації та . Інтегруванням за товщиною відповідних співвідношень Коші при виконанні умови по переміщеннях на лицьових поверхнях шаруватого пакета одержано уточнені вирази переміщень шаруватої структури, що створюють основу побудови гіпотез про розподіл переміщень за товщиною пакета.

Отже, на другому кроці ітерації беруть такі залежності для шуканих переміщень:

, . (2)

Тут -шуканi функцi, що враховують поперечний зсув; - функцiя поперечного обтиснення;, - заданi полiноми другого степеня, - третього степеня, - четвертого степеня, - п'ятого степеня. Задані функції по поперечній координаті враховують фiзико-механiчнi властивостi шарiв та забезпечують умови нерозривності переміщень за товщиною шаруватої системи.

На рис.1 наведено приклад функцій розподілення перемiщень за товщиною тришарового пакета:

Рис.1 Функції розподілення переміщень за товщиною тришарового пакету

У наступному етапі побудови моделі розглянуто два варіанти: модель з точним виконанням закону Гука для поперечних нормальних деформацій та напружень i модель з їх незалежною апроксимацією. У другому варіанті вираз поперечних нормальних напружень записано на основі співвідношень для тангенціальних переміщень другої ітерації та поперечних переміщень третьої ітерації, з утриманням складових, що містять похідні не вище другої (бажання враховувати вищи похідні надалі призводить до невиправданого підвищення порядку розрахункових диференціальних рівнянь).

Напруження мають форму

,

Деформації отримано з допомогою таких співвідношень:

; , ;

, . (4)

Далі варіаційним шляхом одержано систему диференціальних рівнянь та відповідних граничних умов. Варіант моделі з виконанням закону Гука для поперечних нормальних деформацій та напружень підпорядковується такій лiнеарiзованiй системі диференціальних рівнянь у зусиллях:

=0;

+

. (5)

Для моделі з їх незалежною апроксимацію вони набирають такого вигляду:

=0;

++ . (6)

Якщо рівняння в зусиллях (5) i (6) мають деякі відмінності, то рівняння у переміщеннях, що випливають із них, відрізняються тільки значенням параметрів жорсткості щодо диференціальних операторів відносно шуканих функцій.

Отже, із застосуванням ітераційного підходу побудована двоповерхнева модель деформування шаруватих панелей двовимірна за математичним змістом, але просторова за геометричною та фізичною сутністю.

Застосування iтерацiйного підходу побудови моделі призводить до певних непогодженостей при задовiльненнi умовам на поверхнях чи закону Гука. Запобігання цих непогодженостей спричиняє необхiднiсть використання штучних прийомiв, наприклад множникiв Лагранжа. Штучні прийоми ускладнюють модель i можуть як покращити, так i погіршити показники її якості. Саме тому запропонована модель побудована у двох варіантах: із точним виконанням закону Гука та з незалежною апроксимацією поперечних нормальних деформацій та напружень. Ці варіанти, неістотно відрізняючись за формою, допускають узагальнену реалізацію та забезпечують можливість розв'язання задач із широким спектром фiзико-механiчних властивостей конструкцій.

Характерною особливістю запропонованої моделі прив'язка розшукуваних функцій переміщень до зовнішніх поверхонь конструкції. Це дає можливість у разі потреби ділити конструкцію за товщиною на смуги, які можуть бути однорідними або шаруватими, й описувати їх НДС окремо системою диференціальних рівнянь. Тим самим надано можливість переходити від континуального до дискретного підходу під час розрахунку шаруватих конструкцій, підвищуючи його точність. При цьому збільшується клас конструкцій, який можна розглядати, - шаруваті пологі оболонки, плити, масиви, напівпростір тощо. Варіант моделі з незалежною апроксимацію поперечних нормальних напружень використовується при розрахунку шаруватих систем у рамках континуального підходу з незалежністю порядку розв'язувально системи рівнянь від числа шарів, а варіант моделі з точним виконанням закону Гука - при дискретному підході. Саме таке використання варіантів моделі забезпечить максимальну точність розрахунку.

Диференціальні оператори щодо розшукуваних функцій у запропонованій моделі подібні відомим у класичній теорії оболонок. Це дає можливість використовувати апробовані методики для розв'язання задач. Формальна аналогія між розшукуваними функціями прогину лицьових поверхонь, функціями зсуву та обтиснення істотно спрощує розв'язання системи диференціальних рівнянь високого порядку.

Третій розділ присвячений побудові точних еталонних розв'язкiв для задач статики, динаміки та стiйкостi шаруватих конструкцiй. Запропоновано аналітичну модель, у якій переміщення та напруження записано у вигляді добутку функцій їх розподілу в плані та за товщиною з урахуванням зміни в часі:

, . (7)

Якщо перші з цих функцій взяти у виглядi ; ; , що вiдповiда граничним умовам типу Нав', то рiвняння рiвноваги вiдносно шуканих функцiй набувають вигляду:

; ;

;

;

;

. (8)

Складові від попередньо напруженого стану наступні:

;

Розподіл шуканих функцій за товщиною шаруватого тіла такий:

якщо ,

, ;

, ; (10)

якщо ,

;

, . (11)

Степінь урахування нелінійних складових у виразах для деформацій залежить від співвідношень (4).

Запропонований аналітичний розв'язок точним у межах відомих припущень про пологість конструкцій i точним для плоских конструкцій. Далі на його основі отримано еталонні розв'язки для задач статичного навантаження конструкцій, вільних та вимушених коливань з урахуванням різних видів дисипації енергії, стійкості конструкцій, повздовжньо-поперечного деформування конструкцій. Розв'язки здобуто для пологих оболонок, плит, масивів, напiвпростору. Розглянуто жорсткий контакт шарів, а також контакт із проковзуванням. У межах шару фiзико-механiчнi характеристики можуть бути постійними, а також неперервно змінними.

У четвертому розділі двоповерхневу модель шаруватих панелей, побудовану в другому розділі, реалізовано в подвійних тригонометричних рядах. Результати розрахунку зіставлено із запропонованим у третьому розділі аналітичним розв'язком, а також із відомими розв'язками за альтернативними моделями.

Для задач статики отримано задовільний збіг результатів розрахунку по двоповерхневiй моделі з просторовими моделями Н.Пейгано, А.Е.Брюккера, а також двовимірними прикладними моделями О.О.Рассказова, В.Г.Пiскунова, Дж.Реддi. При цьому виявлено, що запропонована модель певною мірою уточнює результати прикладних моделей при розрахунках шаруватих плит із низькомодульними прошарками. При розрахунках шаруватих плит із сильно обтиснутим заповнювачем вона конкурує за точністю, в межах континуального підходу, із просторовою моделлю А.Е.Брюккера. Перехід до розрахунку в межах дискретного підходу із складанням конструкції з окремих частин по товщині та забезпечення відповідних умов їх контакту зумовлює подальше уточнення.

Вплив уведених узагальнених функцiй (зсуву та обтиснення) на точнiсть запропоновано моделi розглянуто на прикладi розрахунку шарувато плити зображеної на рис.2 ( ; ; ;; ; ). На верхній поверхні плити діє поперечне навантаження, розподілене за синусоїдним законом, на нижній заборонені нормальні переміщення. У табл. 1 наведено результати розрахунку цієї плити при різних коефіцієнтах (; ; - реакцiя жорстко основи; Т - точний розв'язок плити з ковзким контактом шарів). При мамо тришаровий масив, при присутність третьго шару не спостерігаться, тобто моделються ковзкий контакт.

Рис. 2 Ковзкий контакт

Таблиця 1 Моделювання ковзкого контакту прошарком

1	0,3020	-5,995	0,6658
10	0,3056	-6,051	0,6947
100	0,3195	-6,168	0,7615
1000	0,3199	-6,172	0,7638
Т	0,3227	-6,224	0,7600

Розкладання розшукуваних переміщень по складових при різних коефіцієнтах показано на рис. 3.

Для задач стійкості отримано близький збіг результатів розрахунку, здобутих за запропонованою моделлю, з відомими розв'язками С.Срiнiваза, О.О.Рассказова та тривимірним розв'язком, який побудовано в третьому розділі. Можливості запропонованої моделі продемонстровано на прикладі розрахунку тришарової плити (;; ; ; ; ). Результати наведено у табл. 2. При розрахунку першого варіанта конструкції використано континуальний варіант моделі (П), другий, третій та четвертий варіанти конструкції розраховано дискретним варіантом моделі (П_3), з складанням конструкції з трьох шарів та описанням кожного шару запропонованою системою диференціальних рівнянь із забезпеченням відповідних умов їх контакту. Для підтвердження достовірності результатів усі варіанти конструкції перераховано з розбиттям на 16 частин по товщині (П_16). Отримано збіг критичних деформацій за запропонованою прикладною моделлю та розв'язком, розглянутим у третьому розділі.

Запропонована модель дає можливість досліджувати стійкість шаруватих конструкцій, у яких заборонено вертикальні переміщення на нижній поверхні, а також конструкції, що спираються на напiвпростiр. Як приклад розглянуто масив, наведений, із такими параметрами: ; ;

Характеристики двох верхніх шарів збігаються випадку було достатньо розв'язку в межах континуального підходу. В разі потреби можливий перехід до дискретного підходу, що значно розширює можливості запропонованої методики.

Для задач визначення частот вільних коливань результати, здобуті за запропонованою прикладною моделлю, порівнювались з відомими просторовими розв'язками С.Срiнiваза, А.Нура, а також за аналітичною моделлю, розглянутої у третьому розділі. Отримано збіг результатів розрахунку. Наявність розв'язку, розглянутому в третьому розділі, дало змогу провести широке коло тестових зіставлень. Виявлено, що запропонована модель демонструє високу точність у межах континуального підходу для широкого кола задач. Необхідність застосування дискретного варіанта виникає при знаходженні частот планарнх коливань конструкцій, при моделюванні напiвпростору, зокрема зі змінним модулем пружності по товщині, для конструкцій з проковзним контактом шарів.

Запропонована модель дає змогу розглядати власні коливання попередньо напружених конструкцій. Якщо співвідношення i попередня деформацiя для усiх шарiв однакова, задача визначення частоти власних коливань попередньо напружених конструкцiй зводиться до задачi визначення частоти власних коливань ненапружено конструкцi з подальшим визначенням частоти власних коливань напружено конструкцi за допомогою залежності

.

Запропоновані моделі (прикладна та точна аналітична) дають змогу розглядати вимушені коливання шаруватих конструкцій з коефіцієнтом згасання . У табл. 3 наведено результати розрахунку амплітуд

; ; ;; )

тришарово плити з такими фiзико-механiчними властивостями: ; . Другий та третій шари виконані з такого самого матеріалу, але повернуті почергово на кут . Навантажується верхня поверхня плити

Перші три резонансні частоти для неї при такі: ().

Таблиця 2 Амплітуди вимушених коливань на резонансних частотах із розсіюванням енергi

	Модель
0	T П	1,1333 1,1279	1,6356 1,6604	7,0867 7,0649	13,513 13,573	9,7056 9,8462
	T П	4,6618 4,5650	6,6256 6,4748	27,100 27,474	53,884 54,700	39,066 40,065
	T П_4	0,1812 0,1835	0,1822 0,1690	0,1807 0,1735	1,8711 1,8892	1,3488 1,1894
	T П_4	0,1571 0,1645	0,1504 0,1566	0,2200 0,2163	1,9055 1,9013	1,2225 1,2184

При статичному розрахунку плити та при динамічному на першій резонансній частоті прикладну модель застосовано у межах континуального підходу. Для отримання достовірних результатів при коливаннях на другій та третій частоті виникла необхідність застосовування дискретного підходу, з складанням плити з чотирьох частин однакової товщини.

Епюри розподілу переміщень при вільних (тонка лінія) та вимушених (товста лінія) коливаннях за товщиною плити зображені. На першій резонансній частоті (переважно поперечних) коливань вони збігаються i практично однакові з розподілом за товщиною розглядуваних величин при статичному поперечному навантаженні. На другій та третій резонансних частотах (переважно планарних) вони відрізняються i мають інший характер, ніж розподіл переміщень та напружень за товщиною при статичному поперечному навантаженні. Запропоновані моделі (прикладна та аналітична) дають змогу розглядати дисипацію енергії за моделями Сорокіна та Фойхта шляхом уведення комплексного подання модулів пружності конструкції

Розглянута можливість заміни розрахунку за вказаними моделями дисипації енергії розрахунком із коефіцієнтом згасання коливань . При невисоких коефіцієнтах розсіювання енергії така заміна правомірна i веде до значного спрощення розрахунку. При високих коефіцієнтах таке спрощення призводить до значної похибки. У табл. 4 подано результати розрахунку

)

Рис. 3 Епюри наружень конструкцi при статичному та динамiчному навантаженнi з урахуванням попереднього поперечного навантаження

тришарово оболонки (

;

 з взамно ортогонально орiнтованими ортотропними шарами ) при вимушених коливаннях на першiй резонанснiй частотi (; ;

;

з такими параметрами дисипацi енергi: .

Таблиця 3 Результати розрахунку при різних варіантах розсіювання енергії

Вид розсіювання	T П	Т П	Т П
=0,1	173,0 172,9	103,8 104,41	64,17 63,37
0,1	173,0 172,7	103,2 103,69	63,85 62,99
=0,25	69,26 69,22	42,60 42,85	26,33 26,00
0,25	69,18 69,08	41,29 41,51	25,54 25,19
=0,5	34,72 34,41	23,15 23,28	14,28 14,12
0,5	34,73 34,68	20,73 20,83	12,82 12,65
Статика	17,62 17,57	10,48 10,64	6,397 6,316

Отже, запропонована модель демонструє високу точність під час розв'язання задач статики, динаміки та стійкості шаруватих конструкцій. Вона має можливість розрахунку шаруватих конструкцій у межах континуального підходу, з незалежністю числа розв'язувальних рівнянь від числа шарів, з подальшим уточненням результату розрахунку, у разі переходу до дискретного варіанта моделі. Збільшення степенi дискретизації за товщиною дає змогу наближуватись до точного результату. При цьому можливе застосування ітераційних підходів до реалізації дискретного варіанта моделі з використанням результатів, отриманих у разі використання континуального підходу як початкових. Переваги такого підходу особливо істотні під час розв'язання задач стійкості та власних коливань. Зазначені переваги запропонованої моделі дають можливість застосовувати для розглядання широкого класу шаруватих конструкцій - плит, оболонок, масивів, напівпростору. Запропоновану модель слід вважати узагальненням континуального та дискретного підходів до розрахунку шаруватих конструкцій.

У п'ятому розділі на основі запропонованої двоповерхневої моделі побудовано скінченний елемент шаруватого масиву. Прийнято такі ступенi вільності:

- горизонтальнi перемiщення та - вертикальні перемiщення i кути повороту вiдносно осей X ,Y верхньо (1) та нижньо (2) поверхонь масиву; (3,4,5) - ступенi вiльностi пов'язанi з урахуванням функцiй зсуву та обтиснення.

Диференцiальнi оператори вiдносно розшукуваних функцiй аналогiчнi розглянутим у класичнiй теорi оболонок. Це дало можливість застосувати для апроксимації розшукуваних функцій вiдомi поліноми, якi ранiше використовувались при побудовi скiнченних елементiв оболонок.

Побудований елемент шаруватих масивів можна використовувати для розв'язання задач статичного навантаження конструкцій, динамічного деформування з урахуванням дисипації енергії, стійкості конструкцій, статичного та динамічного навантаження попередньо напружених конструкцій. Він розширює клас дискретно-континуальних схем (ДКС МСЕ) та дає змогу при розрахунку шаруватих конструкцій у межах одного елемента за товщиною конструкції розглядати декілька шарів, що істотно зменшує порядок розрахункової системи рівнянь порівнянно з дискретними схемами, в яких кожний шар моделюється окремими елементами. Коло задач, коли за товщиною достатньо взагалі одного елемента досить широке i воно висвітлювалось у четвертому розділі.

Розроблений елемент дає можливість моделювання конструкції складеної будови за товщиною та в плані з урахуванням різних умов контакту між складовими частинами конструкції.

У шостому розділі для подальшого розширення класу можливих тестових розрахунків розроблена напiваналiтична модель розрахунку шаруватих композитних конструкцій. Розділення змiнних проводиться таким чином: довжина элемента ,, , розшукуванi функцi розподiлення перемiщень i напружень у -му вузлi.

(13)

Диференціальні рівняння рівноваги скінченного елемента шару отримано за допомогою варіаційного принципу Рейсснера у такiй формi:

Тут

; - попередн напруження в шарi.

Система диференціальних рівнянь для шару має вигляд

деномери точок, в яких визначаються вiдповiднi розшукуванi функцi з урахуванням граничних умов на контурi.

Розв'язок системи диференциальних рiвнянь розшукуться у такiй формi:

. (16)

Тут

корнi характеристичного рiвняння розв'язувально системи диференцiальних рiвнянь; власнi вектори; сталi iнтегрування, якi визначають з умов контакту шарiв та умов на зовнiшнiх поверхнях у кожному вузлi сiтки розбиття конструкцi на скiнченнi елементи; загальна кiлькiсть розшукуваних функцiй у шарi.

У сьомому розділі побудований у п'ятому розділі скінченний елемент шаруватих масивів тестований шляхом зіставлення з аналітичними розв'язками, здобутим у четвертому розділі, та напiваналiтичними розв'язками, отриманими в шостому розділі. Продемонстровано збіжність елемента в задачах статики, динаміки та стійкості шаруватих конструкцій.

На основі запропонованого елемента розв'язано коло задач, які демонструють його переваги над відомими елементами шаруватих конструкцій.

Розглянуто задачі згинання конструкцій з ковзним контактом шарів при урахуванні тертя між шарами. Доведено, що вплив тертя може призвести до суттєвої зміни результатiв розрахунку. Зображені графіки зміни тангенціальних та нормальних перемiщень, графiки змiни напружень

; ;

за планом плити на рiвнi розшарування (; центр координат збігається з центром плити в планi, за висотою розташований у місці контакту шарів; тонка лiнiя - без урахування тертя; середня лiнiя - з урахуванням тертя, без перерозподiлу напруження ; товста лiнiя - з урахуванням тертя, з перерозподiлом ). Iзотропна плита розшарована на дві складові частини (; ; ; ). Верхня поверхня навантажена, нижня вільна. Розрахунки проводились по запропонованому елементу шаруватих масивів у межах континуального підходу з уведенням низько-модульного прошарку, та в межах дискретного підходу з окремим розгляданням шарів. Результати порівнювались з розв'язком по запропонованому напiваналiтичному підходу. Доведено їх фактичний збіг. У розглянутих задачах вплив урахування перерозподілу поперечних нормальних напружень при розрахунку конструкцій з ковзким контактом шарів за наявності тертя незначний. Тобто розрахунок з урахуванням тертя можна було проводити у два етапи з використанням принципу суперпозиції: спочатку визначити напруження у зонi контакту шарів без тертя, а потiм доповнити його розрахунком на тертя. Перерозподiлом напружень при цьому можна було знехтувати.

Запропонований скінченний елемент застосовано для дослідження напружено-деформованого стану шаруватих конструкцій при дії локальних навантаженнь. Розглянуто тришарову плиту ( ; ; ) з шарнiрним обпиранням по контуру, навантажену вертикально в центрi локальним навантаженням, розподіленним по квадрату. Сторона квадрата дорівнює висоті плити. На наведено результати розрахунку цієї конструкції з вільною та закріпленою нижньою поверхнею ( цифри без дужок отримано розв'язком в рядах за аналітичною моделлю; цифри в дужках - за дискретним варіантом скінченного елемента; цифри в подвійних дужках - за континуальним варіантом скінченного елемента).

При розрахунку плити з вільною нижньою поверхнею континуальний підхід приводить до задовільної точності, розглядаючи кожен шар окремо, підвищуємо . Застосування континуального підходу до розрахунку конструкції із закріпленою поверхнею при локальному навантаженні не приводить до коректного результату, дискретний підхід з розбиттям конструкції на три шари забезпечує задовільну точність. Розглянуто також задачу динамічного локального навантаження на попередньо напружену конструкцію. Попереднє напруження може істотно впливати на напружено-деформований стан конструкції.

Запропонований скінченний елемент застосовано для розрахунку конструкцій складених з шаруватих плит та ребер. Цим елементом моделюється напружено-деформований стан як ребер, так i шаруватої плити. Як приклад розглянуто розрахунок квадратної в плані шаруватої ребристої плити, розрахункову схему якої наведено. Плита рівномірно навантажена розподіленим навантаженням по поверхні. За умови симетрії розглянуто четверту частину. Співвідношення розмірів у плані та за товщиною, а також між фізико-механічними характеристиками шарів зображено. Розрахунок проведено для двох варіантів шаруватої ребристої плити (розглянуто напруження у верхній точці другого шару )

.

У восьмому розділі на основі запропонованого скінченного елемента побудовано методику розрахунку шаруватих плит на пружному напiвпросторi. Матричний аналог системи диференціальних рівнянь шаруватої конструкції має таку форму:

(). (17)

Матричне рівняння рівноваги напiвпростору отримано на основі методу граничних елементів у вигляді

, (18)

де недіагональні члени матриці впливу прогинів визначаються залежністю

при ;

діагональні члени матриці -

(- кількість вузлів; - довжини сторон плити)

Суміщенням рівняння методу скінченних та граничних елементів отримано розв'язувальну систему рівнянь

(), (19)

де

Систему рівнянь шаруватої конструкції, поділеної на (верхнiй iндекс - номер складених частин-смуг ) записано так:

, (20)

Для розв'язання такої системи запропоновану методику, яка аналогом відомого в класичній будівельній механіці методу фокусів. При цьому, блоки матриці жорсткості виступають в якості довжин прогонів багатопрогонної балки, а розшукувані функції переміщень - в якості опорних моментів. Така методика значно зменшує витрати машинного ресурсу на розв'язання складних задач.

Для тестування розробленої методики при розв'язанні задач контакту шаруватих тіл із пружним напiвпростором використана методика, запропонована в третьому розділі. За цією методикою можна розглядати задачі статичного та динамічного згинання попередньо напружених нескінченних шаруватих плит на пружному напiвпросторi, розкладаючі навантаження i розшукувані функції у плані конструкції у тригонометричний ряд. Обидві методики були порівняні з відомими розв'язками О.Я.Шехтер, М.I.Горбунова-Посадова, А.К.Приварнiкова. Отримано близький збіг результатів розрахунку.

Результати розрахунку контактного тиску плити на основу та прогинів плити практично однакові як при розгляданні плити в межах класичної теорії, так і в разі застосування запропонованих просторових розв'язкiв методом скінченних елементів та в тригонометричних рядах, але напруження в плитi пiд штампом значно більші, нiж за класичною моделлю (штрихова лiнiя - класична модель; суцiльна тонка - просторовий розв'язок у рядах; суцiльна товста -просторовий розв'язок методом скінченних елементiв з розбиттям плити на ряд смуг).

Запропоновану числову методику відрізняє можливість моделювання складеної структури плити за товщиною та в плані, що актуально для розрахунку дорожнього одягу. Запропонована числова методика дає змогу легко реалізувати розрахунок з урахуванням відриву плити від основи. Точки з вiд'мним тиском (реактивний тиск відриву вважаємо від'ємним) виводяться з контакту з подальшою перевіркою умов контакту по переміщеннях. Зона відриву дещо більша за зону з вiд'мним тиском. У зоні (; ; ) відриву відбувається деякий перерозподіл напруженно-деформованого стану. Під локальним навантаженням спостерігається високий градієнт зміни напружень (епюри наведено на верхнiй поверхнi плити). Моделювати напружено-деформований стан при такому варіанті навантаження на базі відомих одноповерхневих моделей неможливо. Запропонована модель із послідовним розбиттям плити на складові частини дає таку можливість.

Розглянуто напружено-деформований стан попередньо напружених плит на пружному напiвпросторi (актуальна задача для проектування одягів автомобільних доріг та аеродромів). Наведено результати розрахунку тришарової плити, завантаженої у центрі локальним навантаженням. Параметри конструкції такі, що плиту можна розглядати як нескінченну. Розрахунок проводився запропонованими числовою та аналітичною методикою в рядах. Результати мають близький збіг. Доведено, що попереднє напруження істотно впливає на напружено-деформований стан плити. Як i в попередньо ненапруженій, так i у напруженій плиті урахування зсуву та обтиснення приводить до істотного уточнення результату, особливо в зоні локального навантаження. Отримати достовірну картину розподілу напружень під штампом можна тільки з дробленням плити за товщиною на складові частини за товщиною.

Висновки

В дисертацi отримано наступнi основнi науковi та практичнi результати:

1. Побудовано нову прикладну теорію напружено-деформованого стану пологих шаруватих систем, засновану на континуальній моделі, особливістю якої наявнiсть двох базових поверхонь, що при двовимiрностi за математичним змiстом нада й просторового характеру за геометричною та фiзичною сутнiстю. Вiднесення в цiй моделi розшукуваних функцiй перемiщень до зовнiшнiх поверхонь да змогу здiйснювати контакт із iншими тiлами одночасно на двох зовнiшнiх поверхнях, зокрема це можуть бути шаруватi тiла. Тим самим узагальнюються континуальний та дискретний пiдходи в теорi шаруватих конструкцій, що дає змогу безпосереднього розрахунку широкого класу конструкцій, складених із контактуючих між собою тіл різноманітної структури, шаруватої та іншої, а також штучного утворення шаруватих структур шляхом розподілення конструкцій за товщиною на окремі шари з різними умовами контакту для отримання результатів розрахунку достатньої точності.

2. Для випадку граничних умов Нав' отримано точнi, в межах вiдомих припущень про пологiсть, розв'язки рiвнянь просторово теорi пружностi, які надають можливiсть розглядати шаруваті пологi оболонки та плити, масиви, напiвпростiр із жорстким та ковзким контактом шарiв. Шари можуть мати неперервно-змiннi модулi пружностi за товщиною. Розглянуто задачi статичного навантаження, стiйкостi, вiльних та вимушених коливань вказаних конструкцiй, зокрема з урахуванням розсiювання енергi, повздовжньо-поперечного статичного та динамiчного згинання.

3. Запропонована теорія реалiзована в подвiйних тригонометричних рядах. Шляхом порiвнянь із розв'язками за вiдомими моделями, а також запропонованим точним розв'язком проведено обгрунтування її достовiрностi. Можливiсть застосування теорії як у континуальному, так i у дискректному варiантi да змогу розрахунку широкого кола шаруватих тiл, зокрема, плит, пологих оболонок, масивів, напiвпростору, досягаючи високої точностi результатів.

4. На базi запропоновано моделi побудовано скiнченний елемент шаруватих масивiв, особливiстю якого незалежнiсть числа степенiв вiльностi вiд кiлькостi шарiв. Вiд традицiйних континуальних елементiв шаруватих плит та оболонок вiн вiдрiзняться можливiстю сумiщення на зовнiшнiх поверхнях з елементами iншо будови, що нада можливість розрахунку широкого класу конструкцій, складених із тіл різноманітної структури, шаруватої та іншої, аналізу їх НДС, параметрів динаміки та стійкості.

5. Для розширення класу можливих тестових спiвставлень, а також уточненого аналiзу складних конструктивних систем побудована напiваналiтична скiнченно-елементна методика з точним розв'язком диференцiальних рiвнянь вiдносно розподiлу шуканих функцiй за товщиною конструкцi та х полiлiнiйною апроксимацiю в планi.

6. На базi розроблених скiнченно-елементих схем проведено ряд розрахункiв, якi пiдтвердженi дослiдами напiваналiтичним методом скiнченних елементiв i розрахунком з апроксимацiю шуканих величин у планi конструкцi рядом Фурь та пошуком х розподiлу за товщиною шляхом аналiтичного розв'язання вiдповiдно системи диференцiальних рiвнянь.

Установлено:

- запропоновані скінченно-елементні схеми забезпечують збiжнiсть результатiв розрахунку шаруватих конструкцiй при згущенні сiтки скiнченних елементiв у задачах статики, динамiки та стiйкостi;

- тертя може вiдчутно впливати на напружено-деформований стан конструкцi при ковзкому контактi шарiв;

- в задачах контакту плити з напiвпростором вплив тертя збiльшуться при зменшеннi жорсткостi плити вiдносно жорсткостi напiвпростору;

- можливiсть згущення сiтки скiнченних елементiв не тiльки в планi, а й за товщиною нада змогу розглядати задачi аналiзу напружено-деформованого стану конструкцiй у разi статичного та динамiчного локального навантаження, у тому числi й на жорсткiй основi.

7. На основi запропоновано скiнченно-елементно моделi побудовано методику розрахунку шаруватих конструкцiй з ребрами. Особливiсть методики поляга у тому, що i ребро, i шарувата конструкцiя моделються запропонованим скiнченним елементом. Можливе iстотне згущення сiтки розбиття ребра на скiнченнi елементи без ускладнення розрахунку.

8. На базi запропонованого скiнченного елементу побудовано методику розрахунку шаруватих плит на пружному напiвпросторi. Дискретизацiя плити проводиться методом скiнченних елементiв, дисретизацiя напiвпростору - методом граничних елементiв. У разi подiлу плити на cкiнченнi елементи не тiльки в планi, а й за товщиною розроблена методика, що спрощу такий розрахунок. Проведено ряд тестових спiвставлень із вiдомими методиками розрахунку плит на пружному напiвпросторi, а також із моделлю на основi аналiтичного розв'язку диференцiальних рiвнянь вiдносно розшукуваних функцiй за товщиною конструкцi.

За запропонованою методикою проведено ряд розрахункiв.

Установлено:

- у зонi дi локальних навантажень напружено-деформований стан плити ма високий градiнт, тому для отримання достовiрно картини розподілу напружено-деформованого стану в зонi локальних навантажень необхiдно застосування дискретного варiанту моделi;

- попередн напруження iстотно вплива на напружено-деформований стан плити та на реактивний тиск плити на напiвпростiр;

- урахування одностороннього контакту плити з напiвпростором може привести до перерозподілу напружено-деформованого стану конструкцi у зонi вiдлипання.

9. Практичну цінність роботи підтверджено актами упровадження розрахунків елементів реальних транспортних споруд, що виконані розробленими методами.

Публікації

1. Пискунов В.Г., Марчук А.В. Устойчивость слоистых оpтотpопных плит пpи пpоскальзывании слоев // Пpоблемы пpочности.-1994.-N8.- C. 35-41.

2. Пискунов В.Г., Марчук А.В. Постpоение пpостpанственной математической модели pасчета многослойных плит // Пpоблемы пpочности.-1994.-N12.-C.57-61.

3. Пискунов В.Г., Марчук А.В. К pасчету слоистых оpтоpопных плит в пpостpанственной постановке // Пpикладная механика.- 1994.-Т.30, N11.-C.32-36.

4. Пискунов В.Г., Марчук А.В., Огарков С.А. Модель слоистой плиты с учетом неидеального контакта слоев // Механика композитных материалов.- 1995.-Т..31, N5.- C.671- 676.

5. Марчук А.В. Обобщение дискретно- и непрерывно-структурных подходов к построению математиченской модели расчета слоистых плит и массивов // Механика композитных материалов.- 1996.-Т.32,N3.- C.377-387.

6. Марчук А.В. Учет трения между слоями при определении напряженно-деформированного состояния конструкций с неидеальным контактом слоев // Механика композитных материалов.- 1997.-Т.33,N2.- C.192-199.

7. Марчук А.В. Трехмерное аналитическое решение для слоистых плит с учетом проскальзывания слоев // Прикладная механика.-1997.-Т.33,N9.- C.10-14.

8. Марчук А.В. Трехмерное аналитическое решение для шарнирно опертой плиты на упругом полупространтве // Прикладная механика.-1997.-Т.33,N10.-C.39-43.

...