Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

МОДЕЛІ ТА МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ БУДІВЕЛЬНОЇ МЕХАНІКИ КОНСТРУКЦІЙ ЗІ ЗМІННИМИ ГЕОМЕТРИЧНИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

ЗЕЛЕНЦОВ Дмитро Гегемонович

УДК 539.3

05.23.17 - Будівельна механіка

Київ - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Українському державному хіміко-технологічному університеті

(УДХТУ) Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор

КОЛЕСНИК Іван Антонович,

Національна металургійна академія України, професор кафедри будівельної механіки (м. Дніпропетровськ)

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор

ГАВРИЛЕНКО Георгій Дмитрович

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, головний науковий співробітник (м. Київ);

доктор технічних наук, професор

ДЕХТЯР Анатолій Соломонович,

Національний транспортний університет, завідувач кафедри комп'ютерної і інженерної графіки (м. Київ);

доктор технічних наук, професор

ГАЙДАЙЧУК Віктор Васильович,

Київський національний університет будівництва і архітектури, завідувач кафедри теоретичної механіки (м. Київ).

Провідна установа: Придніпровська державна академія будівництва та архітектури, кафедра будівельної механіки та опору матеріалів, Міністерство освіти і науки України (м. Дніпропетровськ).

Захіст відбудеться 16.03.2007 р. о 13-й годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.04 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою: 03680, м. Київ, Повітрофлотський проспект, 31.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради, к.т.н., с.н.с. В.Г. Кобієв

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

будівельний механіка задача конструкція

Актуальність теми. Одним з найважливіших напрямків прогресу в галузях машино-, авіа-, суднобудування, металургійній, гірничодобувній, хімічній і нафтохімічній промисловості та будівельній індустрії є підвищення надійності і довговічності, зниження матеріаломісткості виробів нової техніки на основі максимального використання всіх міцнісних резервів. Це обумовлює особливу актуальність розробок нових полегшених і одночасно надійних і довговічних інженерних конструкцій, машин, механізмів та апаратів.

У низці галузей промисловості, в першу чергу - у хімічній, нафтопереробній, металургійній, технологічні процеси спричинюють контакт елементів конструкцій з робочими агресивними середовищами, що викликають корозію, тобто руйнування приповерхового шару металу. При цьому об'єм пошкодженого металу може виявитися дуже значним, що призводить до істотної зміни початкових геометричних характеристик конструкційних елементів. Ігнорування впливу агресивних середовищ може викликати передчасну, нерідко аварійну відмову конструкцій. З метою обґрунтованого призначення термінів і виду ремонтів та інших профілактичних заходів, забезпечення надійної і безпечної експлуатації конструкцій протягом заданого терміну, велику увагу варто приділяти урахуванню умов експлуатації ще на стадії проектування.

Вирішення цієї проблеми полягає, у першу чергу, в правильному визначенні раціональних параметрів і терміну експлуатації конструкції. У зв'язку з цим, одним з найбільш перспективних, а часто і єдино можливим, є підхід, який ґрунтується на розвитку існуючих і побудові нових моделей та методів розв'язання задач будівельної механіки зі змінними геометричними характеристиками.

Створення моделей і методів, що дозволять у комплексі оцінити міцність і довговічність конструкцій з урахуванням зміни їх геометричних характеристик, яка викликана корозією, є важливою проблемою. Розробка нових методів розрахунку довговічності конструкцій важлива і тому, що експериментальні дослідження в умовах корозії звичайно тривалі, трудомісткі і вимагають великих матеріальних витрат. Використання ж розрахункових моделей і методів дозволяє зменшити обсяг експериментальних робіт і скоротити час проектування.

Деформування і руйнування кородуючих конструкцій викликається не тільки прикладеними навантаженнями, але і фізико-хімічними процесами, що відбуваються на поверхні конструкційних елементів. Їх інтенсивність залежить від виду і рівня напруженого стану. Тому розрахунок напружено-деформованого стану (НДС) і довговічності конструкцій, що працюють у контакті з агресивними середовищами, а також визначення їх оптимальних розмірів являють собою складні задачі. Вони є складовою частиною проблеми розрахунку та оптимізації конструкцій зі змінними геометричними параметрами - нового напрямку механіки.

Для розв'язання поставленої проблеми потрібен розвиток і підвищення ефективності сучасних математичних моделей і методів, що додають процесу проектування необхідну наукову обґрунтованість, і зводять до мінімуму елемент суб'єктивності при виборі проектних рішень. Тому розвиток теорії корозійного деформування і оптимізації - розробка нових математичних моделей для здійснення багатопланових досліджень, застосування сучасних методів розв'язування задач будівельної механіки і оптимального проектування, що використовують засоби сучасної обчислювальної техніки, є важливою загальнонауковою проблемою. Слід зазначити, що безпосереднє узагальнення існуючих методик дослідження поведінки конструкцій зі змінними геометричними характеристиками часто не дозволяє не тільки ефективно розв'язати задачу, але у деяких випадках взагалі не гарантує отримання вірогідного результату. Для вирішення проблеми необхідна їх адаптація, настільки істотна, що це дає підставу вести мову про створення нового методу розв'язання задач будівельної механіки конструкцій такого класу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана згідно з тематикою наукових досліджень кафедри вищої математики, а також тематикою науково-дослідних робіт Українського державного хіміко-технологічного університету - держбюджетні теми № 0102U001947 (2001 - 2002 рр.), № 0103U001455 (2002 - 2004 рр.), де автор був науковим керівником, і № 0102U004051 (2001 - 2004 рр.), де автор був відповідальним виконавцем, науковим керівником підтеми.

Мета і задачі дослідження. Дисертаційна робота присвячена створенню нових математичних моделей і методів розв'язання задач будівельної механіки конструкцій зі змінними геометричними характеристиками. Основна мета полягає в розробці обґрунтованих положень, нових математичних моделей, ефективних методик, алгоритмів і програмних засобів розв'язку задач напружено-деформованого стану, довговічності та оптимального проектування конструкцій з урахуванням зміни їх геометричних характеристик, яка викликана корозійними процесами.

Задачі досліджень полягали в:

- виборі та обґрунтуванні узагальненої моделі корозійного зносу, яка враховує вплив механічних напружень і може бути застосовна для широкого кола агресивних середовищ, що викликають процес корозії;

- розробці нових уточнених математичних моделей корозійних процесів в конструкційних елементах, зокрема тих, що враховують можливі зміни форми поперечного перерізу стержневих елементів, зміни положення центру ваги перерізу і його головних осей, можливість появи наведеного ексцентриситету прикладеного навантаження і зміни початкової схеми навантаження;

- побудові аналітичних формул, що визначають залежність між параметрами корозійного процесу, характером і рівнем навантаження, геометричними розмірами конструкційних елементів, параметрами агресивного середовища і часом експлуатації;

- розробці та обґрунтуванні нових ефективних чисельних алгоритмів, зокрема, заснованих на використанні отриманих аналітичних залежностей, для розрахунку НДС і довговічності багатоелементних стержневих і континуальних кородуючих конструкцій;

- створенні модифікованих скінченних елементів змінної жорсткості, які дозволяють підвищити точність і ефективність чисельних алгоритмів розрахунку, що використовують метод скінченних елементів (МСЕ);

- формулюванню нових оптимізаційних моделей проектування навантажених конструкцій з урахуванням корозійних процесів, що відбуваються в них, при обмеженнях з довговічності та дослідженні їх специфічних особливостей;

- розробці та обґрунтуванні нових ефективних чисельних алгоритмів розв'язання задач оптимізації, які грунтуються на адаптації методу ковзного допуску, алгоритмів методу деформованого багатогранника і генетичних алгоритмів, та дозволяють одержувати рішення на неперервному та дискретному просторах;

- розв'язанні нових задач напружено-деформованого стану, довговічності та оптимального проектування конструкцій з урахуванням корозійних процесів, що відбуваються в них.

Об'єкт дослідження - проблема підвищення надійності і зниження матеріаломісткості виробів нової техніки, які призначені для експлуатації в сильноагресивних середовищах.

Предмет дослідження - математичні методи механіки деформівного твердого тіла і нелінійного математичного програмування стосовно задач будівельної механіки та оптимального проектування кородуючих конструкцій.

Наукова новизна отриманих результатів визначається тим, що автором уперше запропонований комплекс теоретичних, обчислювальних і прикладних розробок для аналізу та оптимального проектування кородуючих конструкцій та їх елементів на основі спільного підходу.

Ступінь новизни отриманих результатів полягає в наступному:

- уперше запропоновані математичні моделі, що описують корозійний процес у стержневих елементах при згині і спільній дії згину і розтягу (стиску), засновані на кусково-лінійній та параболічній апроксимації форми перерізу, що змінюється;

- уперше отриманий в аналітичному вигляді розв'язок задачі довговічності для стержневих елементів довільного перерізу при осьовому розтягу (стиску) і перерізу, що складається з прямокутних фрагментів, при згині, і встановлені межі застосовності отриманих формул;

- з використанням отриманих математичних моделей і аналітичних формул здійснена адаптація чисельних алгоритмів розрахунку кородуючих конструкцій, що ґрунтуються на використанні методу скінченних елементів, зокрема - з допомогою напіваналітичних алгоритмів розв'язання систем диференціальних рівнянь і модифікованих скінченних елементів змінної жорсткості;

- здійснене дослідження розбіжності розрахункових значень довговічності, визначених за існуючими і уточненими методиками, що ґрунтуються на напіваналітичних алгоритмах розв'язання систем диференціальних рівнянь та застосуванні модифікованих скінченних елементів змінної жорсткості; визначені причини розбіжностей, виконані їх якісний і кількісний аналізи;

- одержано розвиток використання можливостей методу ковзного допуску в оптимізаційних задачах за рахунок спільного його використання з іншими методами оптимізації та удосконалених алгоритмів прямого розрахунку, у результаті чого розроблені і обґрунтовані нові ефективні чисельні оптимізаційні алгоритми;

- сформульовані і вперше розв'язані нові задачі розрахунку і оптимального проектування одно- і багатоелементних кородуючих конструкцій, що мають самостійне значення.

Вірогідність отриманих результатів забезпечена:

- строгістю і коректністю формулювання задач напружено-деформованого стану, довговічності і оптимального проектування;

- математичним обґрунтуванням розроблених обчислювальних алгоритмів і процедур;

- дослідженням збіжності отриманих результатів і їх фізичним осмисленням;

- порівнянням, де це можливо, отриманих результатів з відомими результатами, що отримані іншими дослідниками, чи за допомогою інших методів.

Практичне значення отриманих результатів полягає в реалізації розроблених методик у вигляді математичного, алгоритмічного і програмного засобів, що дозволяють здійснювати чисельні дослідження в межах запропонованих математичних моделей розрахунку та оптимального проектування металевих конструкцій з геометричними параметрами, що змінюються, у першу чергу - кородуючих конструкцій. Запропоновані розробки можуть бути використані для виконання досліджень з метою підвищення надійності і зниження матеріаломісткості конструкцій та їх елементів, а також у навчальному процесі.

Результати досліджень були впроваджені:

1) в ВАТ НДІ “Чорметмеханізація” у 1996 році при розробці проекту реконструкції стану 250 ВАТ “Сулинський металургійний завод”. Автором розроблена методика розрахунку довговічності багатоелементних балкових і рамних конструкцій, що працюють в агресивному заводському середовищі. Її використання дозволило підвищити надійність і довговічність обладнання, уникнути аварійного виходу його з ладу, обґрунтовано призначити терміни ремонтних заходів;

2) в ВАТ “Шахта “Степова” ДХК “Павлоградвугілля” у 2001 році при розробці проекту реконструкції галереї подачі вугілля. Автором розроблені алгоритм визначення раціонального режиму виконання ремонтних робіт, що передбачає заміну деяких елементів галереї, з метою зниження її початкової металомісткості та забезпечення заданого терміну експлуатації.

Крім цього, окремі результати досліджень були використані в навчальному процесі, зокрема - у вигляді спецкурсів та у дипломному проектуванні.

Особистий внесок здобувача. Уся робота виконана самостійно. Основні результати, що викладені в дисертації і виносяться на захист, отримані автором самостійно та опубліковані в монографії та 6 статтях без співавторів. Нижче, у списку праць здобувача наводяться дані про особистий внесок у наукові праці, що опубліковані в співавторстві, і які використані в дисертації.

Апробація результатів дисертації. Результати, включені в дисертацію, були повідомлені і одержали схвалення на наступних конференціях і наукових семінарах: Всесоюзній конференції “Механіка неоднорідних структур” (Львів, 1991); Всесоюзній конференції “Підвищення надійності і довговічності машин і споруджень” (Київ, 1991); Міжнародній конференції з механіки руйнування (ICF-8, Київ, 1993); Всеросійській конференції “Міцність і живучість конструкцій” (Вологда, 1993); ІІ Міжнародному симпозіумі “Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій” (Львів, 1996); XVІІІ Міжнародній конференції по теорії оболонок і пластин (Саратов, 1997); Міжнародному колоквіумі з оболонок і просторових структур (Тайпей, 1997); Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблемі механіки і математики” (Львів, 1998); VI Міжнародному конгресі з сучасних будівельних матеріалів, структур і технологій (Вільнюс, 1999); XIV Польській конференції з комп'ютерних методів у механіці (Ржешов, 1999); Міжнародній конференції “Проблеми реконструкції та експлуатації промислових та цивільних об'єктів” (Дніпропетровськ, 1999); XVІІІ Міжнародній конференції “Математичне моделювання в механіці суцільних середовищ на основі методів граничних і скінченних елементів” (С.-Петербург, 2000); Міжнародній конференції “Проблеми механіки гірничо-металургійного комплексу” (Дніпропетровськ, 2002); ІІ Всеукраїнській конференції “Математичні проблеми технічної механіки” (Дніпродзержинськ, 2002); VП, VШ і ІХ українсько-польських семінарах “Теоретичні основи будівництва” (Дніпропетровськ, 1999 і 2001, Варшава, 2000); наукових семінарах у Дніпропетровському державному університеті (керівники - академік НАН України В.І. Моссаковський і д.т.н., проф. Ю.М. Почтман, Дніпропетровськ, 1995, 1996, 1998); міжвузівському науковому семінарі “Проблеми нелінійної механіки” (керівники - д.т.н., проф. Е.М. Кваша і д.т.н., проф. А.І. Маневич, Дніпропетровськ, 2000); міжвузівському науковому семінарі з механіки деформованого твердого тіла, будівельної механіки, будівельних конструкцій, будинків і споруджень (керівник - д.т.н., проф. В.А. Баженов, Київ, 2003, 2005 і 2006); науковій раді ВАТ “УкрНДІпроектстальконструкція ім. В.М. Шимановського” (Київ, 2004), науковому семінарі відділу механіки тонкостінних конструкцій Інституту механіки НАН України ім. С.П. Тимошенка (Київ, 2006).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в одній монографії [1], у 29 статтях наукових журналів, збірників наукових праць і матеріалах конференцій [2-29], отримані 3 авторських свідоцтва [30-32].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, восьми глав, висновку, списка використаних джерел (273 найменування) і додатка. Загальний обсяг роботи складає 315 сторінок, у тому числі 87 рисунків і 58 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розглянуті зміст і стан проблеми розв'язання задачі НДС, довговічності та оптимального проектування металевих конструкцій, що функціонують в агресивних середовищах, як одного з напрямків вирішення актуальної проблеми - підвищення надійності і зниження матеріаломісткості виробів сучасної техніки, обґрунтування і доцільність здійснення досліджень у цій області на благо держави. Наведені дані про наукову новизну, теоретичне і практичне значення отриманих результатів, а також зв'язок з науковими програмами. Показано, що суттєвий внесок у розвиток теорії і практики деформування конструкцій, що підлягають впливу агресивних середовищ, зробили вчені: Ф.Ф. Ажогін, Г.В. Акімов, Ю.І. Арчаков, Б. Віттакер, Г. Грюлинг, Е.М. Гутман, Н. Денісон, Р. Ділон, В.М. Долинський, В.Г. Карпунін, І.А. Колесник, В.П. Корольов, А. Ліддар, І.Г. Овчинников, І. Палмер, В.В. Петров, Ю.М. Почтман, В.Д. Райзер, Н.Д. Томашев, Г.В. Філатов, Л.Я. Цикерман, К. Швайцер, Л.Л. Шрайер, Я.П. Штурман та інші. Важливе місце в рішенні проблеми оптимального проектування кородуючих конструкцій займають дослідження І.Г. Овчинникова і Ю.М. Почтмана.

Перший розділ присвячений аналізу літератури з теми досліджень. Розглянуті і проаналізовані основні математичні моделі, що описують корозійні процеси в елементах конструкцій; відомі підходи до розв'язку задач НДС і довговічності навантажених металевих конструкцій, які зазнають впливу агресивних середовищ; сучасний стан проблеми оптимального проектування конструкцій з урахуванням корозійних процесів, що відбуваються в них.

На підставі здійсненого огляду сформульовані проблеми, які дотепер залишалися невирішеними, а також мета і задачі дослідження.

У другому розділі наводиться обґрунтування моделей корозійного зносу, що використовуються в подальших дослідженнях.

Застосування цих двох моделей замість більшості відомих дозволить використовувати спільний підхід у розвитку теорії деформування конструкцій та їх елементів з урахуванням корозійних процесів, що відбуваються в них.

Запропоновані методики визначення коефіцієнтів, які забезпечують найкраще наближення моделей (3) і (4) до існуючих. Здійснене оцінювання похибок моделей, підтверджені їх адекватність і стійкість за вихідними даними, визначені межі їх застосування.

В третьому розділі отриманий розв'язок задачі довговічності кородуючих стержневих елементів довільного поперечного перерізу при осьовому розтягу (стиску).

В останньому рівнянні при побудові функції мінімального моменту інерції перерізу уперше враховується можлива зміна положення та орієнтації головних осей для стержнів несиметричного профілю.

Досліджений вплив форми поперечного перерізу і геометричних розмірів стержневих елементів на їх довговічність, отримані розв'язки задачі оптимізації форми і розмірів перерізів для розтягнутих та стиснутих елементів. Здійснене порівняння чисельного та аналітичного розв'язків задачі довговічності стержневих елементів різного профілю. Встановлено, що наперед визначити параметри чисельних процедур, які забезпечують необхідну точність обчислень, для стержня довільного перерізу неможливо, а існуючі чисельні алгоритими, що ґрунтуються на методах типа Рунге-Кутта, є нестійкими за вихідними даними.

На прикладі зварних стиснутих стержнів досліджений вплив концентраторів корозії на їх несучу здатність. Встановлено, що момент часу, який відповідає повному зруйнуванню зварного шва, може бути точкою розриву 1-го роду для функції критичних напружень втрати стійкості.

В четвертому розділі як об'єкти дослідження розглядаються кородуючі балкові елементи, що згинаються, переріз яких наданий сукупністю прямокутних фрагментів. Проблема розрахунку довговічності таких елементів ускладнюється необхідністю урахування зміни не тільки розмірів, але і форми перерізу, що обумовлене неоднорідністю напружень по його висоті. У цьому випадку для визначення форми і розмірів перерізу в деякий момент часу недостатньо одного параметра. У відомих моделях число таких параметрів досягає декількох десятків. Автором пропонується новий підхід до моделювання корозійних процесів у стержневих елементах, що згинаються, який принципово відрізняється від існуючих.

Визначені види апроксимуючих функцій, що дозволяють з високим ступенем точності описати форму перерізу в довільний момент часу. У якості таких функції, виходячи з вигляду правої частини рівнянь (3) і (4), приймаються кусково-лінійна і параболічна функції. Використання апроксимуючих функцій дозволяє в десятки разів скоротити кількість параметрів, що визначають форму і розміри перерізу, в порівнянні з відомими моделями.

Так, при параболічній апроксимації форми перерізу досить двох параметрів, що однозначно визначають його форму і розміри, і система диференціальних рівнянь, що описує процес корозійного руйнування, має вигляд:

З використанням апроксимуючих функцій вперше отримані аналітичні вирази для геометричних характеристик для простих і складних перерізів, які надані сукупністю прямокутних фрагментів. Для кородуючої двотаврової балки, наприклад, значення моменту інерції перерізу має вигляд:

Для статично визначної балки прямокутного перерізу, що згинається, при чистому згині вперше отриманий аналітичній розв'язок задачі довговічності. Формули, що визначають зв'язок між параметрами агресивного середовища, геометричними розмірами перерізу, початковим і кінцевим рівнем напружень та часом.

Обґрунтована можливість узагальнення формули (10) на випадок поперечного згину і визначені межі її застосування.

Для прямокутних фрагментів перерізу розроблена модель прямокутного еквівалентного перерізу, момент інерції якого протягом усього терміну експлуатації дорівнює моменту інерції перерізу з формою, що змінилася. Це досягається шляхом введення коефіцієнтів усереднення напружень по висоті перерізу в праві частини диференціальних рівнянь, які описують корозію вертикальних граней. Значення коефіцієнтів усереднення отримані з умови рівності похідних моментів інерції існуючого та еквівалентного перерізів за часом.

Застосування моделі еквівалентного прямокутного перерізу дозволяє спростити моделювання процесу корозії при згині, особливо в перерізах складного профілю. Розв'язок деяких прикладних задач без його використання є дуже важким, а іноді і неможливим.

В п'ятому розділі в рамках розробленого математичного апарата розглянуті ілюстративні прикладні задачі розрахунку та оптимального проектування статично визначених кородуючих балкових конструкцій.

На прикладі балки двотаврового профілю розв'язана задача НДС і довговічності статично визначних балок складного профілю. Досліджений вплив параметрів агресивного середовища, рівня навантаження і геометричних розмірів перерізу на довговічність балок. Визначені зони активності обмежень, які визначають момент вичерпання несучої здатності конструкції. Встановлено, що іноді в якості таких обмежень виступають обмеження зі злитності перерізу.

Побудовані нові алгоритми розв'язання задачі довговічності кородуючих балок, що згинаються, зі складним профілем. Для балок несиметричного профілю вперше враховується можлива зміна положення центру ваги перерізу з часом. Показано, що ігнорування цього фактора призводить до значної (до 5%) похибки убік завищення розрахункового значення довговічності.

Вперше отриманий напіваналітичний розв'язок задачі довговічності статично визначної балки при обмеженнях на переміщення. Для балки прямокутного перерізу отримані аналітичні вирази для функцій кутових і лінійних переміщень, як функцій двох змінних - поздовжньої координати і часу. Деформування балки в агресивному середовищі досліджувалося шляхом розв'язку задачі Коші для системи диференціальних рівнянь (8) розмірності , де - кількість параметрів, що визначають форму і розміри перерізу.

З метою максимально коректного порівняння результатів оптимізаційні задачі розв'язувалися з використанням моделі прямокутного еквівалентного перерізу.

Оптимальні проекти, що були отримані для кожної з постановок, мали не тільки кількісні, але і якісні розходження. Проект, який отриманий у першій постановці, виявляється кращим - економія металу досягає 16% для розглянутих діапазонів навантажень і параметрів агресивного середовища. Пояснюється це тим, що при розв'язанні задачі в першій постановці відбувається істотний перерозподіл матеріалу по перерізу; у другій постановці периметр ігнорується, і урахування корозії відбувається шляхом збільшення варійованих параметрів, які отримані без урахування корозії, на величину, що її компенсує.

Переваги нової моделі полягають в її високій ефективності, яка визначається кількістю ітерацій при розв'язку задачі Коші, що зростає з жорсткістю впливу агресивного середовища, та можливості використання градієнтних методів розв'язку задачі математичного програмування.

Здійснена ідентифікація нової моделі за коефіцієнтом впливу периметра перерізу. Визначені основні якісні залежності і кількісні оцінювання впливу виду активного обмеження, величин граничних напружень, параметрів корозійного зносу та заданого терміну експлуатації на його величину.

Сформульована і розв'язана задача оптимізації форми поперечного перерізу балки, яка підлягає корозійному зносу. Передбачалося, що переріз має дві осі симетрії і наданий сукупністю прямокутних фрагментів. Для розв'язання задачі використовувався генератор форми перерізу. Можливість деяких варійованих параметрів приймати нульові значення дозволило врахувати окремі випадки форми перерізу (прямокутник, двотавр та ін.). Задача розв'язувалась з використанням обох оптимізаційних моделей. Розбіжність результатів не перевершувала 2% на усій множині простору пошуку, що підтверджує вірогідність нової моделі. Отримані значення оптимальних перерізів у залежності від рівня навантаження, заданого терміну експлуатації і параметрів агресивного середовища.

Шостий розділ присвячений розробці нових ефективних чисельних алгоритмів розв'язання задач НДС і довговічності кородуючих багатоелементних стержневих конструкцій. Як модельні конструкції тут розглядаються статично невизначені ферми, балки і рами. Алгоритми будуються на основі МСЕ з використанням розроблених у попередніх розділах математичних моделях корозійного процесу у стержневих елементах. Передбачається, що в місцях з'єднання стержнів закони зміни геометричних розмірів такіж, що і для всієї конструкції в цілому.

У відомих алгоритмах поточне значення матриці визначається з чисельного розв'язку системи (17). У кожному вузлі часової сітки розв'язується задача МСЕ; це призводить до того, що число звертань до процедури МСЕ може досягати декількох десятків, а в деяких випадках - і сотень. Ефективність алгоритму може бути підвищена шляхом зменшення числа звертань до процедури МСЕ, кількості СЕ і параметрів СЕ, що змінюються.

Розроблений новий напіваналітичний алгоритм розв'язання задачі НДС та довговічності навантажених ферм. В основі його лежить гіпотеза про те, що зміна геометричних розмірів перерізу внаслідок корозійного зносу має значно більший вплив на збільшення напружень в елементах конструкцій, ніж зміна в них внутрішніх зусиль. Це дозволило розглянути диференціальні рівняння системи (17) протягом деякого проміжку часу як незалежні та застосувати для їх розв'язку аналітичні формули (5). Застосування аналітичних формул дозволяє обрати раціональний крок за часом і спростити логіку алгоритму. Таким чином, число звертань до процедури МСЕ зменшується на порядок без втрати точності розв'язку.

Досліджена збіжність відомих алгоритмів розв'язання задачі довговічності навантажених ферм в умовах корозійного зносу. Як модельна конструкція розглядалась статично визначена ферма, для якої розв'язок задачі здійснювався з використанням аналітичних формул. Задача МСЕ розв'язувалась один раз - в початковий момент часу, а довговічність визначалась точно або з заданою похибкою.

Висока похибка обчислень при малих значеннях N пояснюється похибкою розв'язку задачі Коші для системи (17), при великих - накопиченням похибки при розв'язку задачі МСЕ, коли система лінійних алгебраїчних рівнянь великої розмірності розв'язується чисельно. Показано, що похибка традиційних алгоритмів обмежена знизу, і збільшення числа звертань до процедури МСЕ не призводить до уточнення розв'язку задачі.

Для розв'язання задачі НДС і довговічності статично невизначених балок довільного поперечного перерізу, який наданий як сукупність прямокутних фрагментів, побудовані скінченні елементі змінної жорсткості. Елементи матриць жорсткості СЕ отримані з використанням математичної моделі процесу корозії в перерізі стержня, що згинається. На відмінність від раніше відомих, вони дозволяють урахувати зміну геометричних характеристик перерізу по довжині елемента:

Застосування модифікованих СЕ дозволяє значно скоротити як кількість елементів в скінченно-елементній моделі конструкції, так і кількість параметрів, що визначають властивості СЕ при одночасному збільшенні точності розв'язку задачі. В таблиці 1 наведені результати розв'язку задачі довговічності двоопорної статично визначеної балки, які отримані за допомогою різних СЕ, в порівнянні з аналітичним розв'язком.

Таблиця 1

Довговічність балки прямокутного перерізу

Вид розв'язку	, років	, %
Аналітичний СЕ змінної жорсткості (2 СЕ) СЕ постійної жорсткості (4 СЕ) СЕ постійної жорсткості (10 СЕ)	2,845 2,839 2,999 2,991	- 0,201 5,119 4,879

Для стержневого елемента, що знаходиться в умовах згину та осьового розтягу (стиску) запропонована нова математична модель корозійного процесу в перерізі. Вперше врахована можлива зміна форми перерізу, положення нейтральної вісі та центру ваги перерізу за час його експлуатації в агресивному середовищі, а також появу наведеного ексцентриситету осьового навантаження і зміну внаслідок цього величини згинального моменту.

З використанням запропонованих математичних моделей корозії, нових напіваналітичних обчислювальних алгоритмів, та модифікованих СЕ змінної жорсткості з більш високою точністю, а для деяких конструкцій уперше, здійснене дослідження НДС та довговічності стержневих систем. Урахований вплив зміни форми перерізів та появи ексцентриситету осьового навантаження; дане оцінювання похибки, що викликане ігноруванням цих факторів. Отримана нова інформація про вплив параметрів агресивного середовища, розмірів і форми перерізів на довговічність конструкцій, встановлені деякі загальні закономірності процесу їх деформування та руйнування.

Сьомий розділ присвячений розв'язанню задач НДС та довговічності тонкостінних континуальних конструкцій. Тут обчислювальні алгоритми розрахунку, які були розроблені для стержневих систем, узагальнюються на випадок континуальних конструкцій. Як об'єкти досліджень розглядаються кородуючі пластини, що навантажені в своій площині. Задачі розв'язуються в межах плоскої задачі теорії пружності.

Усі недоліки відомих алгоритмів, що використовують МСЕ сумісно зі скінченно-різничними методами розв'язання задачі Коші для системи вигляду (17), мають місце і у випадку континуальних конструкцій. Крім того, розмірність задачі МСЕ при розрахунку континуальних конструкцій, як правило, значно вища. Ефективність і точність обчислювальних алгоритмів пропонується підвищувати шляхом побудови модифікованих СЕ змінної жорсткості та використання напіваналітичних алгоритмів розв'язку задачі довговічності.

Сформульовані та обґрунтовані гіпотези, на яких побудований обчислювальний алгоритм розв'язання задачі:

- механізм корозійного зносу є однаковим для всіх точок конструкції і нерівномірний характер корозії викликає тільки нерівномірність поля напружень;

- існує деяке еквівалентне напруження, при якому корозійні процеси в випадку складного напруженого стану відбуваються з тією ж швидкістю, що і при простому розтягу або стиску.

Запропоновані адаптовані скінченні елементи змінної жорсткості: чотирикутний з вісьмома (а) і трикутний з дванадцятьма (б) ступенями свободи.

Відмінність запропонованих елементів полягає в тому, що їх товщина є

Застосування аналітичних залежностей дозволило при розв'язку задачі довговічності на порядок скоротити число звертань до процедури МСЕ, та підвищити його ефективність і точність.

З використанням розроблених СЕ змінної жорсткості та обчилювальних алгоритмів вперше розв'язані нові задачі НДС та довговічності кородуючих плосконапружених пластин в постановках, що передбачають неперервність товщини по області конструкції. Досліджений вплив рівня навантаження та параметрів агресивного середовища на процес деформування і довговічність конструкцій, а також зміну внаслідок корозії геометричних розмірів конструкції за час її експлуатації. В таблиці 2 виконане порівняння результатів розв'язання задачі довговічності кородуючої пластини, що отримані за допомогою різних СЕ та обчислювальних алгоритмів.

Таблиця 2

Довговічність конструкції. Еталонний розв'язок t* = 8,126 років

Кількість ітерацій	t*, років (, %)
	32 СЕ	128 СЕ	512 СЕ
Чисельний розв'язок. СЕ постійної жорсткості.
9 17 33 66	8,984 (10,6) 8,847 (8,9) 8,658 (6,5) 8,626 (6,2)	8,672 (6,7) 8,493 (4,5) 8,388 (3,2) 8,412 (3,5)	8,591 (5,7) 8,403 (3,4) 8,315 (2,3) 8,266 (0,2)
Напіваналітичний розв'язок. СЕ змінної жорсткості.
1 4 8 16	8,516 (4,8) 8,389 (3,2) 8,256 (1,6) 8,132 (<0,1)	8,507 (4,7) 8,380 (3,1) 8,224 (0,1) 8,116 (-0,1)	8,488 (4,5) 8,361 (2,9) 8,247 (1,5) 8,135 (0,1)

Показано, що використання нового СЕ змінної жорсткості та нових алгоритмів призводить до більш точного розв'язку задачі довговічності при одночасному зниженні її розмірності.

В восьмому розділі сформульована і розв'язана задача оптимального проектування багатоелементних статично невизначених конструкції при корозійному зносі. Задачі такого класу мають дві характерні особливості. Перша є в тому, що на кожному кроці пошуку оптимального проекту розв'язується задача довговічності за допомогою МСЕ; це призводить до дуже великих обчислювальних втрат. Друга полягає в тому, що функції обмежень не є диференційованими, і реалізація задачі НЛП можлива тільки за допомогою пошукових методів розв'язку. Тому в межах глобального алгоритму тут використовуються адаптований алгоритм методу деформованого багатогранника та генетичний алгоритм методу випадкового пошуку для розв'язання задачі на неперевному і дискретному просторах.

В вигляді задач нелінійного математичного програмування сформульована низка постановок оптимізації багатоелементних кородуючих конструкцій за крітерієм мінімуму об'єму при заданому терміні експлуатації для випадку, коли варійовані параметри є неперервними.

Якщо варійовані параметри змінюються дискретно, постановка задачі НЛП має той же вигляд, але в даному випадку , де - кількість можливих значень -го варійованого параметра. Як варійовані параметри можуть розглядатися не тількі числа, але і такі параметри, як форма перерізу елемента.

На основі виконаного аналізу відомих методів розв'язання задач нелінійного математичного програмування з обмеженнями синтезований новий чисельний алгоритм, який максимально враховує специфіку таких задач. Він грунтується на використанні методу ковзного допуску, де критерієм допуску є величина похибки розв'язку задачі довговічності. Алгоритм передбачає пошук оптимального проекту не тільки в допустимій області та на її межі, але і за її межами на заданій відстані від неї, яка є убутною функцією числа ітерацій.

Запропонований метод дозволяє значно скоротити витрати на обчислення функцій обмежень та запобігти можливій втраті розв'язків. В той же час він забезпечує виконання всіх обмежень в околі точки локального мінімуму. Висока ефективність обчислювального алгоритму підтверджується розв'язком низки задач.

Запропонований чисельний алгоритм розв'язання задачі дискретної оптимізації, що використовує метод випадкового пошуку. Якщо кількість значень кожного з варійованих параметрів не перевищує 10, а їх загальна кількість не перевищує максимально можливої кількості розрядів числа, то алгоритм передбачає одномірну оптимізацію, де в якості глобального варійованого параметра приймається випадкове число. Для більш загального випадку дискретної оптимізації, в тому числі, коли в якості варійованих параметрів приймаються не тількі числа, але і деякі інші параметри (форма перерізу стержневих елементів), пропонується підхід, що грунтується на використанні генетичного алгоритму.

Перевага нової двоетапної моделі в порівнянні з відомими полягає в її високій ефективності, значно меншій чутливості до похибок обчислень та можливості використання на першому етапі градієнтних методів.

З використанням розроблених алгоритмів отримані розв'язки задач вагової оптимізації статично невизначених стержневих систем. Задачі були сформульовані як задачі параметричної, структурної та змішаної оптимізації. Для ілюстрації можливостей генетичного алгоритму розв'язана задача змішаної оптимізації кроквеної ферми ВАТ НТЗ (м. Дніпропетровськ). Тут вперше в якості варійованих параметрів розглядалися типи перерізів ферми. Показано, що в оптимальних конструкціях здійснюється вирівнювання напружень в їх елементах. Так, в кородуючих фермах і балках, якщо обмеження з жорсткості не є активними, напруження в елементах досягають своїх граничних значень одночасно в момент руйнування.

З використуванням модифікованого балкового СЕ змінної жорсткості отриманий розв'язок задачі оптимізаціі форми кородуючої балки. Застосування цього елементу дозволило прийняти в якості варійованих параметрів висоти перерізів в вузлах СЕ. Для порівняння розв'язана оптимізаційна задача, де використувався СЕ постійної жорсткості та варіювалися розміри елемента, тобто висота перерізу передбачалася постійною в межах СЕ. Показано, що варіювання лінійних розмірів в вузлах призводить до більш раціонального проекту.

Деякі результати, що підтверджують ефективність двоконтурної моделі в порівнянні з відомими, наведені в таблиці 3. Тут як варійовані параметри приймались висота та товщина перерізів в вузлах скінченно-елементної моделі.

Таблиця 3

Порівняння результатів для різних моделей

Метод розв'язання задачі НЛП в межах глобального алгоритму	V, см3	Кількість звертань до процедури МСЕ
Метод проєкції градієнту (двоетапна модель)	2926,03	53572
Метод випадкового пошуку	3131,71	11793056
Метод деформованого багатогранника	3056,36	7682317

З використуванням модифікованого СЕ змінної жорсткості в межах плоскої задачі теорії пружності розв'язані задачі вагової оптимізації кородуючої пластини. Як варійовані параметри приймались значення товщин груп СЕ, координат деяких точок контуру та одночасно товщини СЕ і координати точок контуру. В результаті

здійсненого чисельного експерименту встановлені деякі загальні закономірності оптимальних проектів. Окремо встановлено, що оптимальна конструкція прагне мінімізувати площу поверхні, яка контактує з агресивним середовищем; на її оптимальну геометрію впливають, головним чином, граничні умови, вид та рівень навантаження, а урахування корозії відбувається шляхом збільшення товщин. Деякі результати розв'язку задачі структурної оптимізації для плосконапруженої пластини наведені в таблиці 4.

Таблиця 4

Результати розв'язку задачі оптимізації (; t* = 2,0 роки)

h, см	yA, см	xB, см	yB, см	yE, см	V, см3	F, см2
1,0	-11,44	163,68	43,73	29,89	8942,6	8942,6
1,5	7,8	169,78	50,53	47,49	9782,5	6521,8
2,0	15,52	164,79	51,56	49,99	11667,6	5833,8

Здійснене кількісне оцінювання ефективності запропонованих оптимізаційних алгоритмів, яка завдяки новим постановкам задач оптимізації, методикам їх розв'язання і процедурам обчислення функцій обмежень підвищена в десятки разів.

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі одержали розвиток моделі і методи розв'язання задач будівельної механіки конструкцій з характеристиками, що змінюються в часі. Запропоновані нові математичні моделі процесів накопичення внаслідок контакту із сильноагресивними середовищами геометричних ушкоджень. На їх основі розроблені методики, чисельні алгоритми і програмні засоби розв'язання задач НДС, довговічності та оптимального проектування навантажених конструкцій з урахуванням корозійних процесів, що відбуваються в них. Основні результати, які отримані в дисертаційній роботі, можуть бути сформульовані таким чином:

1. Запропоновані та обґрунтовані нові уточнені математичні моделі процесів накопичення геометричних ушкоджень у конструкційних стержневих елементах, що враховують можливі зміни форми поперечного перерізу, положення його центра ваги, положення та орієнтації головних осей. Застосування цих моделей дозволяє врахувати також можливість появи наведеного ексцентриситету осьових навантажень і зміни початкової схеми навантаження.

2. З використанням нових моделей побудовані аналітичні залежності, що визначають взаємозв'язок між параметрами процесу накопичення пошкоджень, часом експлуатації, характером і рівнем навантаження та геометричними характеристиками перерізів елементів. Отримані аналітичні формули довговічності для стержневих елементів при розтягу (стиску) і згині.

3. Синтезовані нові ефективні чисельні алгоритми розв'язання задачі НДС і довговічності багатоелементних конструкцій, які підлягають впливу сильноагресивних середовищ. Вони засновані на використанні МСЕ разом з чисельними методами розв'язання задачі Коші та отриманими раніше аналітичними залежностями. Досліджена похибка розв'язання поставлених задач з використанням традиційних алгоритмів і підтверджена доцільність використання нових.

4. З використанням запропонованих моделей, аналітичних формул і чисельних алгоритмів отримані розв'язки нових задач НДС, довговічності та оптимального проектування стержневих елементів, розв'язання яких відомими методами є дуже важким, а в деяких випадках - неможливим.

5. Запропоновані модифіковані СЕ змінної жорсткості для розв'язання задач НДС і довговічності конструкцій з геометричними характеристиками, що змінюються: ряд балкових елементів з чотирма ступенями свободи, чотирикутний та трикутний СЕ плосконапруженої пластини з вісьмома і дванадцятьма ступенями свободи відповідно. Їх використання дозволило підвищити порядок апроксимації функцій геометричних характеристик по області конструкції. Показано, що застосування адаптованих СЕ змінної жорсткості дозволяє істотно підвищити точність і ефективність чисельних алгоритмів, що використовують МСЕ.

6. Отримані розв'язки нових задач НДС і довговічності статично невизначених кородуючих багатоелементних стержневих і континуальних систем. Досліджений вплив рівня навантаження і параметрів корозійного зносу на НДС і довговічність конструкцій. Показано, що відомі методики розрахунку, у яких використовується лише нульовий порядок апроксимації функцій геометричних характеристик за просторовими координатами, призводять до істотно завищеного (до 10%) значення довговічності конструкції.

7. Запропонований та обґрунтований ефективний алгоритм розв'язання задач оптимізації багатоелементних конструкцій, заснований на спільному використанні методу ковзного допуску, МСЕ, а також аналітичних формул довговічності окремих елементів. Запропонована адаптація методів випадкового пошуку і деформованого багатогранника для пошуку оптимальних проектів на неперевній множині розв'язків. Для випадку, коли варійовані параметри змінюються дискретно, запропонований генетичний алгоритм методу випадкового пошуку.

8. Досліджені оптимальні розв'язки в задачах проектування багатоелементних стержневих систем типу ферм, балок, рам і плосконапружених пластин з геометричними характеристиками, що змінюються. Для плоских ферм і плосконапружених пластин розв'язані задачі параметричної оптимізації та оптимізації форми. Використання модифікованих СЕ змінної жорсткості дозволило розглянути нові постановки оптимізаційних задач, зокрема - прийняті в якості варійованих параметрів геометричні розміри конструкції у вузлах скінченно-елементної моделі.

9. Результати, що отримані при виконанні дисертаційної роботи були впроваджені:

- в ВАТ НДІ “Чорметмеханізація” (м. Дніпропетровськ) у 1996 році при розробці проекту реконструкції стану 250 ВАТ “Сулинський металургійний завод”;

- в ВАТ “Шахта “Степова” ДХК “Павлоградвугілля” (м. Павлоград) у 2001 році при розробці проекту реконструкції галереї подачі вугілля.

Деякі результати досліджень були використані в навчальному процесі.

Таким чином, сукупність отриманих у дисертаційній роботі результатів у цілому можна кваліфікувати як теоретичне узагальнення і розв'язок значної наукової проблеми, що має важливе практичне значення. Вона полягає в створенні моделей і методів розв'язання задач будівельної механіки конструкцій зі змінними геометричними характеристиками.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Монографія

1. Зеленцов Д.Г. Расчет конструкций с изменяющейся геометрией в агрессивных средах. Стержневые системы. Монография. - Днепропетровск: УГХТУ, 2002. - 168 с.

Статті в наукових журналах

2. Зеленцов Д.Г., Почтман Ю.М. О влиянии химически активных сред на напряженно-деформированное состояние и долговечность тонкостенных конструкций // Изв. АН Арм. ССР. - Механика. - 1990. - № 5. - С. 38 - 43.

3. Почтман Ю.М., Алексеенко Б.Г., Зеленцов Д.Г. Оптимальное проектирование ферм, подверженных коррозионному износу, на основе метода конечных элементов // Сопротивление материалов и теория сооружений. - 1991. - Вып. 59. - С. 72 - 76.

4. Зеленцов Д.Г. Оптимальное проектирование дискретно подкрепленных пластин, подверженных коррозионному износу // Компьютерное моделирование и оптимизация механических систем и процессов. Сб. научн. трудов ИК НАН Украины. - К., 1994. - С. 15 - 23.

5. Зеленцов Д.Г., Почтман Ю.М. Исследование влияния агрессивных сред на длительную устойчивость подкрепленных пластин // Прикладная механика. - 1995. - № 2. - С. 55 - 62.

6. Зеленцов Д.Г., Почтман Ю.М. Исследование устойчивости регулярно подкрепленных пластин, подверженных воздействию агрессивных сред // Докл. НАН Украины. - 1995. - № 6. - С. 50 - 52.

7. Зеленцов Д.Г., Кольчик С.В. Моделирование процесса коррозионного износа в задачах оптимального проектирования, использующих метод конечных элементов // Компьютерные методы в задачах прикладной математики и механики. Сб. научн. трудов ИК НАН Украины. - К., 1998. - С. 40 - 47.

8. Зеленцов Д.Г., Почтман Ю.М. Исследование долговечности нагруженных балок двутаврового сечения, подверженных коррозионному износу // Строительство. Материаловедение. Машиностроение. Сб. научн. трудов. Вып. 9. - ч. 1. - Днепропетровск: ПГАСА, 1999. - С. 29 - 35.

9. Зеленцов Д.Г. Решение задачи долговечности нагруженной балки при коррозионном износе с учетом изменения формы сечения // Системні технології. Системні технології в задачах моделювання технічних систем: Збірник наук. праць. - Вип. 8. - Дніпропетровськ, 1999. - С. 36 - 42.

10. Скалозуб В.В., Зеленцов Д.Г., Солодкая Н.А. Исследование компромиссно-оптимальных свойств изгибаемых стержней, работающих в агрессивных средах // Строительство. Ресурсосберегающие технологии в транспортном и гидротехническом строительстве. Сб. научн. трудов. Вып. 6. - Днепропетровск, 1999. - С. 163 - 167.

11. Зеленцов Д.Г., Кольчик С.В., Почтман Ю.М. Расчет долговечности нагруженных пространственных систем, функционирующих в агрессивных средах // Математичне моделювання. - № 2 (5). - 2000. - С. 48 - 50.

12. Колесник И.А., Зеленцов Д.Г., Храпач Ю.А. Многокритериальная оптимизация стержневых конструкций, подверженных коррозионному износу // Геотехнічна механіка. Міжвід. зб. наук. праць / Ін-т геотехнічної механіки НАН України. - Дніпропетровськ, 2000. - Вип. 40. - С. 151 - 156.

13. Зеленцов Д.Г., Солодкая Н.А. Долговечность балки, подверженной коррозионному износу, при ограничениях по жесткости // Науковий вісник НГА України. - 2002. - № 2. - С. 45 - 47.

14. Зеленцов Д.Г. Новые конечные элементы переменной жесткости для расчета конструкций, подверженных коррозионному износу // Сборник научных трудов Национальной горной академии Украины. - Днепропетровск: “Навчальна книга”, 2002. - № 13. - Т. 2. - С. 169 - 174.

15. Колесник И.А., Зеленцов Д.Г., Храпач Ю.А. Об одном подходе к решению задачи долговечности статически определимых ферм, функционирующих в химически активных средах // Техническая механика. - 2002. - № 1. - С. 95 - 100.

16. Колесник І.А., Зеленцов Д.Г., Храпач Ю.О. Про похибку скінчено-елементних процедур в задачах довговічності багатоелементних конструкцій, які підлягають корозійному зносу // Опір матеріалів та теорія споруд. - 2002. - Вип. 70. - С. 176 - 181.

17. Зеленцов Д.Г., Солодкая Н.А. Весовая оптимизация статически неопределимой балки при коррозионном износе с использованием конечных элементов переменной жесткости // Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. - Вип. 4 (21). - Дніпропетровськ, 2002. - С. 28 - 32.

18. Зеленцов Д.Г., Казанцева Т.С. Обґрунтування вибору математичних моделей, які описують процес корозії під напругою в металевих елементах конструкції // Вопросы химии и химической технологии. - 2003. - № 2. - С. 146 - 148.

19. Зеленцов Д.Г. Использование адаптированных конечных элементов переменной жесткости для расчета континуальных конструкций в условиях коррозионного износа // Вопросы химии и химической технологии. - 2004. - № 6. - С. 167 - 171.

20. Зеленцов Д.Г., Солодкая Н.А. Конечно-элементный расчет балочных конструкций при коррозионном износе с использованием конечных элементов переменной жесткости // Науковий вісник НГУ. Науково-технічний журнал. - Дніпропетровськ: НГУ. - 2004. - № 12. - С. 23 - 26.

21. Зеленцов Д.Г., Науменко Н.Ю. Использование конечно-элементных моделей в задачах оптимизации корродирующих континуальных конструкций // Математичне моделювання. - 2004. - № 2(12). - С.61 - 66.

...