Розрахунки бруса при простих видах деформування



Рисунок 2.9

У зв'язку з симетрією задачі Запишемо функції і визначимо характерні значення і для ділянок:

перша ділянка:

.

друга ділянка:

,

.

Поперечна сила на ділянці дорівнює нулю, отже const, ділянка зазнає чисте згинання.

третя ділянка:

;

.

Приклад 4.

Розглянемо двоконсольну балку (рис. 2.10).

Рисунок 2.10

1. Визначаємо опорні реакції:

звідки кН.

звідки кН.

Перевірка:

2. Побудуємо епюри внутрішніх зусиль. Для цього розбиваємо балку на ділянки, показуємо перерізи на кожній з них, вказуємо межі зміни координати , визначаємо й обчислюємо функції і .

Перша ділянка:

кНм.

Друга ділянка:



кН; кНм; кН; кНм.

На другій ділянці поперечна сила змінює знак, а згинальний момент досягає максимального значення при . Координата визначиться з умови:

звідки м,

кНм.

Третя ділянка:

; кНм.

2.2.5 Правила побудови та перевірки епюр і

Вищенаведені приклади та диференціальні залежності (2.2) і (2.3) дозволяють установити закономірності розподілів поперечних сил та згинальних моментів по довжині балки.

На ділянках, де розподілене навантаження відсутнє (), епюра постійна, а епюра представляє лінійну функцію (рис. 2.9).

На ділянках з рівномірно розподіленим навантаженням епюра лінійна, а епюра ? квадратична парабола, причому опуклість парабо-ли спрямована в протилежну сторону дії розподіленого навантаження (рис. 2.7). У точці , де поперечна сила (змінює знак), момент досягає екстремального значення ( ) (рис. 2.8).

На ділянках, де , епюра постійна.

На ділянці, де поперечна сила позитивна, епюра моменту зростає, і убуває - якщо негативна (у випадку руху зліва направо).

У перерізі, де до балки прикладена зосереджена сила F:

· на епюрі спостерігається стрибок на величину F у напрямку прикладеної сили;

· на епюрі з'являється злам, причому вістря зламу спрямоване проти дії зосередженої сили.

У перерізах, де до балки прикладено зосереджений момент, на епюрі спостерігається стрибок на величину цього моменту.

2.3 Напруження при поперечному згинанні

При прямому поперечному згинанні в перерізі виникають поперечна сила , що викликає деформацію зсуву і появу дотичних напружень, та згинальний момент , що викликає деформацію згинання і нормальні напруження у перерізі балки.

2.3.1 Нормальні напруження при чистому згинанні

Розглянемо випадок чистого згинання, коли в перерізі виникає тільки згинальний момент. Покажемо стержень до його деформування (рис. 2.11 а) та після навантаження згинальними моментами (рис. 2.11 б).

Спостерігаючи за деформацією ортогональної сітки, попередньо нанесеної на бічну поверхню балки до і після навантаження (рис. 2.11 а,

рис. 2.11 б), відзначимо, що подовжні лінії при чистому згинанні викривляються по дузі кола, а контури поперечних перерізів залишаються плоскими та перетинають подовжні лінії під прямими кутами. У стиснутій області (у даному випадку внизу) волокна коротшають, а в зоні розтягання (угорі) подовжуються. Існує поздовжній шар, довжина якого при чистому згинанні залишається незмінною. Цей шар називається нейтральним, його радіус кривизни позначимо .

Рисунок 2.11

Поперечний переріз балки перетинається з нейтральним шаром по прямій, яка називається нейтральною лінією перерізу.

Відзначені обставини дозволяють ввести наступні гіпотези:

– при чистому згинанні дотримується гіпотеза плоских перерізів: усі поперечні перерізи стержня при чистому згинанні не викривляються, а лише повертаються один відносно одного навколо осі X;

– поздовжні волокна не тиснуть одне на одне;

– по ширині перерізу нормальні напруження не змінюються.

Логічно припустити, що в точках поперечного перерізу при чистому згинанні виникають тільки нормальні напруження, що приводять до інтегрального внутрішнього силового фактора - згинального момента .

Через відсутність поперечних сил у напрямку осі Y, очевидно, що в точках перерізу дотичні напруження відсутні.

Розглянемо прямолінійний стержень довільного поперечного перерізу площею з віссю симетрії Y при чистому згинанні (рис. 2.12 а), тоді вісь Y - головна центральна, а вісь X збігається з нейтральною лінією.

У перерізі з координатою z визначимо внутрішній згинальний момент (рис. 2.12 б). Момент дорівнює сумі моментів від розподілених внутрішніх зусиль.

Задача про визначення внутрішніх зусиль відноситься до класу статично невизначених задач, тому далі застосовуємо схему рішення таких задач.

Статична сторона задачі. Із шести рівнянь статичної рівноваги три рівняння

виконуються тотожно.

Виділимо елемент площі з координатами () (рис. 2.12 в). Елементарна сила в осьовому напрямку, що діє на площадку dA дорівнює а результуюча сила знайдеться як

.



Рисунок 2.12

Елементарний момент сили щодо осей X і Y запишеться як та Відповідно згинаючі моменти: ; .

Таким чином, умови статики приймуть вигляд:

; ; (2.4)

; ; (2.5)

; . (2.6)

Відзначимо невідомі: нормальне напруження (величина та закон його розподілу за висотою перерізу); радіус кривизни нейтрального шару; положення нейтральної лінії в перерізі. Геометрична сторона задачі. Розглянемо деформацію елемента довжиною . Нехай волокно належить нейтральному шару. Виділимо на відстані y від нього волокно (рис. 2.13). Первісна довжина волокна , тому що волокно не деформується. Після деформування волокно ab перетворюється на дугу з радіусом кривизни та довжиною:

Рисунок 2.13

.

Визначимо відносну деформацію волокна :

.

Така залежність має місце для будь-якого волокна:

. (2.7)

Фізична сторона задачі. При чистому згинанні поздовжні волокна піддаються розтяганню ? стисканню, тому закон Гука запишемо як

.

Після підстановки значення з виразу (2.7) маємо:

. (2.8)

Підставляючи (2.8) послідовно в рівняння (2.4), (2.5), (2.6), одержимо наступне:

.

Таким чином, статичний момент площі , тому що модуль поздовжньої пружності та радіус кривизни є ненульовими. Отже, нейтральна лінія при чистому згинанні проходить через центр ваги поперечного перерізу.

.

Таким чином відцентровий момент інерції щодо центральних осей дорівнює нулю, тому осі Х, У є головними центральними осями інерції. При прямому згинанні силова лінія (вісь Y) перпендикулярна нейтральної лінії (вісь Х).

,

звідси кривизна нейтрального поздовжнього шару визначається виразом:

 , (2.9)

де - осьовий момент інерції перерізу, а EI_x - жорсткість стержня при згинанні.

Порівнюючи значення кривизни з рівнянь (2.8) і (2.9) одержимо:

.

Формула для визначення нормальних напружень в довільній точці перерізу набуває вигляду:

. (2.10)

З отриманої формули випливає, що нормальні напруження по висоті перерізу змінюються лінійно. На рис. 2.14 показані розподіли нормальних напружень по висоті для різних за формою перерізів.

Максимальні напруження виникають у найбільш віддалених точках від нейтральної лінії при , тобто

.

Рисунок 2.14

Умова міцності при згинанні набуває вигляду:

. (2.11)

Ця умова використовується для розрахунку перерізів, що мають одну вісь симетрії (рис. 2.14 б). Для перерізів із двома осями симетрії (рис. 2.14 а), враховуючи, що - осьовий момент опору, зручніше використовувати умову міцності при згинанні у вигляді:

. (2.12)

Коли поперечна сила не дорівнює нулю, відбувається скривлення поперечних перерізів, і гіпотеза плоских перерізів не дотримується. Як показують дослідження, при відношенні довжини стержня до висоти h поперечного перерізу (що має місце для більшості балок) можна вважати, що поперечний переріз практично не скривляється, тоді формула (2.10) для визначення нормальних напружень при чистому згинанні справедлива і при поперечному згинанні.

Приклад. Визначити розміри різних форм поперечних перерізів, якщо згинальний момент в перерізі кНм, допустиме напруження при згинанні МПа.

З умови міцності (2.12) осьовий момент опору перерізу

=500 см³.

Далі розраховуємо геометричні параметри перерізів:

Прямокутний переріз (рис. 2.15 а), для якого повинне задаватися відношення (візьмемо ). Осьовий момент опору см³ , звідки см. Висота перерізу см, площа поперечного перерізу см².

Прямокутний переріз з відношенням (рис. 2.15 б). Осьовий момент опору см³, звідси

см, см, см².

Круглий суцільній переріз діаметром d (рис. 2.15 в). Осьовий момент опору см³, звідси діаметр перерізу см; площа см².

Кільцевий переріз (рис. 2.15 г). Задаємо відношення діаметрів . Осьовий момент опору для цього перерізу см³.

Тоді см, см.

Площа перерізу см².

Двотавровий переріз (рис. 2.15 д). За ГОСТ 8239-89 підбираємо номер двотавра з найближчим більшим значенням осьового моменту опору до розрахункового. Так, для двотавра № 30а: см³, см².

Визначимо коефіцієнт перевитрати матеріалу як відношення окремих площ до площі раціонального поперечного перерізу (двотавр). Складемо таблицю (рис. 2.15), з якої робимо висновок, що раціональним є двотавровий переріз з найменшою витратою матеріалу.



Рисунок 2.15

2.3.2 Дотичні напруження при поперечному згинанні

Дія в перерізі поперечної сили викликає дотичні напруження , що збігаються по напрямку з нею. Дотичні напруження по ширині перерізу не змінюються та визначаються за формулою Д.І.Журавського:

, (2.13)

де ? поперечна сила, що діє в перерізі; ? осьовий момент інерції перерізу щодо центральної осі X (нейтральної лінії); ? ширина перерізу на тім рівні у від нейтральної лінії, де визначаються дотичні напруження; ? абсолютне значення статичного моменту щодо центральної осі X частини перерізу, що лежить вище (чи нижче) того рівня, де визначаються дотичні напруження.

Умова міцності по дотичним напруженням при поперечному згинанні записується у вигляді:

. (2.14)

Таким чином, при поперечному згинанні маємо умови міцності по нормальним та дотичним напруженням. Основним вважається умова міцності по нормальним напруженням, а умова (2.14) по дотичним напруженням, як правило, перевіряється.

Розподіл дотичних напружень для прямокутного перерізу

В перерізі діють момент М_х і поперечна сила (рис. 2.16). Оскільки , ширина перерізу та осьовий момент інерції є постійними величинами, то дотичні напруження змінюються за таким же законом, що і статичний момент відсіченої частини площі .

Рисунок 2.16

Визначаємо дотичні напруження на довільному рівні y. Площа відсіченої частини перерізу

,

положення її центра ваги

.

Статичний момент відсіченої частини площі:

Таким чином, дотичні напруження змінюються за законом квадратичної параболи. Максимальні дотичні напруження виникають на нейтральній лінії, де нормальні напруження дорівнюють нулю. Для визначення необхідно обчислити статичний момент половини площі перерізу . Тоді маємо:

.

Розподіл дотичних напружень для двотаврового перерізу

В перерізі діють згинальний момент М_х та поперечна сила (рис. 2.17). Використовуючи вираз (2.13) для дотичних напружень, визначимо

їхні значення в характерних точках перерізу. З достатнім ступенем точності можна замінити реальну форму полиці і стінки на прямокутники.



Рисунок 2.17

Точка 1: , тому що (вище рівня 1 відсічена площа відсутня).

Точки 2, 3. Ці точки мають однакову координату y, але належать полиці та стінці одночасно, тобто різній ширині b₂=b; b₃=d. Тому в місці переходу полки в стінку виникає скачок дотичних напружень.

Точка 2 (приналежна полиці):

.

Точка 3 (приналежна стінці):

.

Точка 4:

.

 ? статичний момент щодо центральної осі половини площі перерізу (для стандартних профілів приведений у таблицях сортаменту). Графік розподілу дотичних напружень приведено на рис. 2.17.

2.3.3 Порядок виконання проектувального розрахунку при згинанні

1. З умови міцності по нормальним напруженням визначаємо осьовий момент опору поперечного перерізу, тобто , та проектуємо переріз.

2. Перевіряємо переріз по дотичним напруженням. Якщо , то розрахунок закінчений. Якщо (перевищення більш 5%), то розміри перерізу визначаються з умови міцності по дотичним напруженням.

Приклад 1. Визначити розміри двотаврового поперечного перерізу балки (рис. 2.18), якщо допустиме нормальне напруження МПа, дотичне - МПа.

1.Визначаємо реакції:

кН;

кН.

Перевірка:

.

2.Розбиваємо балку на три ділянки та записуємо для поточного перерізу на кожній ділянці вирази для і :

; кН; ;

; кН; ;

; кН; .

Обчислюємо і в характерних перерізах та будуємо епюри.

3.З побудованих епюр видно, що небезпечними є перерізи на обох опорах (де =24 кНм), та будь-який переріз на консолях

(де =30 кН).

4.З умови міцності по нормальним напруженням визначаємо осьовий момент опору:

м³ = 160см³.

По таблицях ГОСТ 8239?89 обираємо двотавр №18а, для якого см³, що незначно менше розрахункового значення.

Рисунок 2.18

Інші необхідні для розрахунку параметри двотавру: см² , см⁴ ; мм, см³.

5.Перевіряємо виконання умови міцності по дотичним напруженням:

Па =36,9 МПа < [].

Умова міцності виконується і розрахунок закінчено.

Приклад 2. Для даної схеми навантаження дерев'яної балки перекриття (рис. 2.19) визначити розміри прямокутного перерізу, якщо відношення сторін прямокутника ; допустиме нормальне напруження МПа, дотичне МПа. Оскільки навантаження симетричне, опорні реакції однакові і дорівнюють половині зовнішнього навантаження, тобто кН.

1. Визначаємо поперечні сили та згинальні моменти по ділянкам.

Перша ділянка: ; кН; .

Друга ділянка: ; ;

кНм.

Третя ділянка: ; кН; .

З епюр (рис. 2.9) видно, що небезпечними є перерізи на обох опорах, де та одночасно приймають максимальні значення

( кН, кНм).



Рисунок 2.19

2. З умови міцності по нормальним напруженням знаходимо осьовий момент опору перерізу:

м³ = 400 см³.

Як відомо, для прямокутника

см³,

звідки обчислюємо розміри його сторін та площу:

см, см,

см²

3. Перевіримо виконання умови міцності по дотичним напруженням. Максимальне дотичне напруження для прямокутного перерізу дорівнює: Па = 4,22 МПа , що перевищує допустиме напруження =2,5МПа - умова міцності не виконується.

Визначаємо розміри поперечного перерізу з умови міцності по дотичним напруженням:

,

звідки знаходимо площу поперечного перерізу:

м² = 240 см²

Площасм², звідки ширина перерізу: см, а висота см. Таким чином, умова міцності по дотичним напруженням виявилась більш строгою, тому остаточно обираємо такі сторони прямокутника: см, 11 см.

2.4 Розрахунково-проектувальне завдання

Для засвоєння матеріалу розділу «Згинання прямолінійних стержнів» студенти повинні виконати навчальне завдання. Для цього необхідно:

- вивчити теоретичний матеріал відповідного розділу курсу;

- проаналізувати вихідні дані і постановку задачі і намітити план її виконання;

- намалювати схему балки, записати необхідні для рішення задачі формули і рівняння (рівняння статичної рівноваги і т.д.).

- оформити задачу в чернетці і, у разі потреби, проконсультуватися у викладача.

Розрахунки необхідно робити в загальному виді з проміжними викладеннями в звичайних чи десяткових дробах, зберігаючи усюди дві значущі цифри.

Для побудови епюр внутрішніх силових факторів, напружень і переміщень необхідно правильно вибрати масштаб по координатних осях, проставити позначення відповідного параметра і його розмірність, а потім по необхідному числу крапок побудувати графік.

Завдання підлягає заліку при виконанні наступних умов:

- здано чистовий варіант розрахунково-проектувального завдання і дані правильні відповіді на контрольні питання;

- вирішено контрольні задачі на консультаціях.

2.4.1 Склад та порядок виконання розрахунково-проектувального завдання

Студенти повинні виконати чотири розрахункові задачі.

Схеми навантаження балок наведені в додатку 2.1, а величини зовнішніх сил та геометричні розміри балок, межа текучості матеріалу балки , коефіцієнт запасу міцності ? у додатку 2.2.

При виконанні завдання необхідно:

1. Побудувати епюри внутрішніх поперечних сил і згинальних моментів до усіх розрахункових схем балок.

2. Для четвертої розрахункової схеми підібрати згідно з умовою міцності за нормальними напруженнями ряд простих перерізів та зробити порівняльний аналіз ступеня їх раціональності.

План розвязання

Відповідно до заданого варіанта накреслити розрахункові схеми балок разом з їх навантаженням, додержуючись певного масштабу.

Для кожної балки визначити опорні реакції, скласти вирази і підрахувати внутрішні зусилля і на усіх ділянках, накреслити їх епюри та перевірити відповідність епюр до диференціальних співвідношеннь між силовими факторами при згині.

Для кожної балки знайти небезпечний переріз (де діє максимальний за модулем згинальний момент ).

Обчислити допустиме напруження .

Для розрахункової схеми балки № 4 визначити осьовий момент опору перерізу з умови міцності по нормальним напруженням та підібрати розміри наступних перерізів (див. рис. 2.15):

? прямокутника із співвідношенням сторін ;

? прямокутника із співвідношенням сторін ;

? кола;

? кільця, у якому ;

? двотавра.

6)Обчислити площу перерізів. Одержані результати подати у вигляді таблиці.

Для двотаврової балки побудувати епюри розподілу нормальних і дотичних напружень у небезпечних перерізах з максимальними значеннями внутрішніх зусиль.

2.4.2 Приклад виконання завдання

Послідовність виконання завдання

Будуємо епюри внутрішніх силових факторів для чотирьох балок свого варіанту завдання. Визначаємо небезпечний переріз, в якому діє максимальний за модулем внутрішній момент згину .

Умова міцності за нормальними напруженнями для перерізів, які симетричні відносно нейтральної лінії має вигляд:

.

Звідси знаходимо осьовий момент опору перерізу:

,

де допустиме напруження визначається за формулою:

.

Підбір необхідних розмірів перерізів балки виконується таким чином:

- для двотавра номер профілю визначається з порівняння знайденого моменту опору із даними сортаменту (ГОСТ 8239-89)

- для прямокутника осьовий момент опору визначається за розмірами сторін h та b : , де h - бік прямокутника, перпендикулярний нейтральній осі X.

Позначимо , ( =2; 0,5 ), тоді і звідки , а площа перерізу дорівнює ;

- для кола , тоді , а площа перерізу .

- для кільця , де ;

d, D - внутрішній і зовнішній діаметри кільця відповідно. Площа кільця

.

Графіки розподілу нормальних і дотичних напружень треба збудувати тільки для балки двотаврового перерізу. Епюри нормальних напружень визначити у перерізі, де діє , а розподіл дотичних напружень знайти для перерізу з максимальною за модулем поперечною силою Q_ymax. На епюрі зазначити зони розтягу та стиску, а на епюрі - напрям вектора дотичних напружень.

Підрахунок дотичних напружень провести за формулою Д.І.Журавського (2.13). Визначити дотичні напруження в характерних точках перерізу:

- найбільш віддалених від нейтральної осі;

- що лежать на стику полки двотавра зі стінкою;

- що лежать на нейтральній осі перерізу.

Зразок виконання завдання

Розрахунок на міцність балки 4:

1. Визначення реакцій опор:

Перевірка:

2. Визначення поперечних зусиль Q_y та моментів згину M_x :

Підбір перерізів з умови міцності:

Для двотавра згідно з додатком 4 приймаємо Й №16:

.

Як відомо, для прямокутного перерізу , тоді

4. Визначимо нормальні та дотичні напруження у двотаврі



Додаток 2.1 ? Розрахункові схеми

Додаток 2.2 ? Вхідні дані

Варіант
1.	10	20	30	40	20	10	30	10	1,7	1,5	1,0	2,0
2.	30	10	20	30	30	20	50	30	1,4	2,0	2,5	2,0
3.	20	20	10	20	40	20	40	10	1,5	1,5	1,5	2,0
4.	10	30	20	20	10	20	20	40	1,6	2,5	2,5	1,5
5.	20	30	10	30	40	20	20	30	1,8	2,0	2,0	2,0
6.	30	10	20	10	30	40	10	20	2,0	1,5	2,0	2,5
7.	30	20	10	30	40	10	20	10	1,8	2,5	3,0	2,0
8.	50	10	20	20	20	30	30	20	1,6	2,0	2,0	2,0
9.	30	20	10	20	10	30	10	40	1,5	1,0	1,5	2,5
10.	10	40	30	10	40	20	20	30	1,4	1,5	2,5	2,0
11.	20	20	20	30	10	10	30	10	1,6	1,5	2,0	2,5
12.	20	30	40	20	30	40	40	30	1,4	2,5	3,0	2,0
13.	40	10	20	10	20	40	50	20	1,5	1,0	2,5	3,0
14.	50	20	10	20	10	20	10	30	1,6	1,5	1,2	2,5
15.	30	10	30	30	30	10	10	40	1,8	2,5	2,0	1,5
16.	10	20	30	40	20	10	30	10	1,7	1,5	1,0	2,0
17.	30	10	20	30	30	20	50	30	1,4	2,0	2,5	2,0
18.	20	20	10	20	40	20	40	10	1,5	1,5	1,5	2,0
19.	10	30	20	20	10	20	20	40	1,6	2,5	2,5	1,5
20.	20	30	10	30	40	20	20	30	1,8	2,0	2,0	2,0
21.	30	10	20	10	30	40	10	20	2,0	1,5	2,0	2,5
22.	30	20	10	30	40	10	20	10	1,8	2,5	3,0	2,0
23.	50	10	20	20	20	30	30	20	1,6	2,0	2,0	2,0
24.	30	20	10	20	10	30	10	40	1,5	1,0	1,5	2,5

Примітка. Матеріал ? сталь Ст. 30: = 300 МПа.

Додаток 2.3 ? Основні поняття, позначення, формули, формулювання та правила з теми «Згинання стержнів»

Позначення та формули	Одиниця виміру	Назва
	Н (ньютон)	внутрішня поперечна сила
	Нм	внутрішній згинальний момент
	Па (паскаль)	нормальне напруження
	Па	умова міцності за нормальними напруженнями
	Па	умова міцності за дотичними напруженнями
	м4	осьовий момент інерції
	м3	осьовий момент опору

Поперечна сила в даному перерізі - чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на нормаль (вісь Y) до осі стержня сил, розташованих по одну сторону від перерізу (всіх однобічних сил), та утворює заміну діі відкинутої частини на залишену.

Згинальний момент в даному перерізі z - чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів щодо поперечної осі перерізу сил, які розташовані по одну сторону від цього перерізу (всіх однобічних сил).

Правила знаків :

Контрольні питання

1. Що називається згинанням балок?

2. Класифікація згинання.

3. Як знайти внутрішній згинальний момент у довільному перерізі балки?

4. Правило знаків для згинального моменту.

5. Як знайти внутрішню поперечну силу в довільному перерізі балки?

6. Правило знаків для поперечної сили.

7. Диференційні залежності при згинанні.

8. Правила побудови та перевірки епюр внутрішніх силових факторів.

9. Як визначити нормальні напруження при чистому згинанні?

10. Що таке нейтральна лінія і де вона знаходиться?

11. У яких точках перерізу виникають максимальні нормальні напруження?

12. Умова міцності по нормальним напруженням при згинанні.

13. Яку форму мають раціональні перерізи при згинанні?

14. Як визначити дотичні напруження при поперечному згинанні?

15. У яких точках перерізу виникають максимальні дотичні напруження?

16. Умова міцності по дотичним напруженням при згинанні.

3. Кручення

В даному розділі посібника розглядаються два основних види деформації стержня: зсув (зріз) та кручення.

Зсув або зріз виникає тоді, коли зовнішні сили зміщують два паралельні плоскі перерізи стержня один відносно одного при незмінній відстані між ними.

Кручення виникає при дії на стержень зовнішніх сил, які утворюють момент відносно осі стержня. Деформація кручення супроводжується поворотом поперечних перерізів стержня один відносно одного навколо його осі.

3.1 Зсув

Деформація зсуву відбувається тоді, коли з шести компонент головного вектора сил та головного вектора моменту внутрішніх зусиль не дорівнюють нулю тільки поперечні сили або .

3.1.1 Основні поняття та визначення

Деформація зсуву виникає при дії на площадках виділеного елемента тільки дотичних напружень. Такий напружений стан називається чистим зсувом (рис. 3.1).

Деформація зсуву може бути отримана (приблизно), коли на стержень діють дві рівні по величині і протилежно спрямовані сили, перпендикулярні до осі стержня. Прикладом такої дії сил на брус може бути різання ножицями металевих прутків (рис. 3.2 а).

Через те, що між діючими силами існує деяка відстань, то, звичайно, деформація зсуву супроводжується іншими видами деформацій, найчастіше деформацією згинання (рис. 3.2 б). Розглянемо короткий прямокутний елемент, затиснений одним кінцем, під дією сили (рис. 3.3).

Дія сили викликає зсув елемента. Так як відстань між площинами, що зсуваються, мала, то виникаючим згинальним моментом зневажаємо. З рис. 3.3 неважко переконатися, що . Величина називається абсолютним зсувом.

При деформації прямокутного елемента прямі кути змінюються на

величину , тангенс якого . Через малість кута , тоді - називають відносним зсувом (кут зсуву, зрушення), що являє собою відношення абсолютного зсуву до відстані між площинами.

Використовуючи метод перерізів (рис. 3.4 а), визначимо напруження, що виникають при зсуві. Візьмемо переріз 1-1 і розглянемо рівновагу відсіченої частини (рис. 3.4 б), для чого складемо рівняння : . Це рівняння не може бути вирішене без геометричного аналізу деформування (невідомі величина та закон зміни ).

При розрахунках на зсув умовно приймається рівномірний закон розподілу по перерізу, тобто . Тоді:

, (3.1)

де - площа зрізу. Як і при будь-якому розрахунку опору матеріалів напруження в матеріалі повинні зіставлятися з напруженням, що допускається (допустиме напруження), тобто умова міцності на зріз має вигляд:

. (3.2)

Допустиме напруження приймається рівним : .

Дослідне вивчення зсуву в матеріалах проводиться на спеціальних тонкостінних трубках, що навантажуються крутним моментом до руйнування. У результаті цього одержують діаграму зсуву, що для пластичного матеріалу має вид (рис. 3.5). По діаграмі можна визначити характеристики міцності матеріалу при зсуві (зрізі).

Рисунок 3.5

Межа (границя) пропорційності матеріалу при зсуві - це найбільше напруження, до якого виконується закон Гука (точка 1).

Межа (границя) текучості - це найменше напруження, при якому відносний зсув зростає при практично постійному навантаженні (т. 2).

Межа (границя) міцності при зсуві - це максимальне напруження в матеріалі, при якому не настає руйнування (точка 3).

3.1.2 Закон Гука при зсуві

При центральному розтяганні - стисканні між нормальним напруженням , відносною деформацією та модулем подовжньої пружності Е існує залежність , що називається законом Гука при розтяганні - стисканні. Аналогічна залежність, як показують експерименти, також існує між дотичним напруженням , відносним зсувом та модулем зсуву , тобто закон Гука при зсуві:

(3.3)

Зв'язок трьох пружних постійних для ізотропного матеріалу (модуля поздовжньої пружності , модуля зсуву і коефіцієнта Пуассона ) визначається залежністю /2/:

(3.4)

Таким чином, модуль поздовжньої пружності , модуль зсуву і коефіцієнт Пуассона характеризують пружні властивості матеріалу.

3.2 Розрахунки на міцність і жорсткість при крученні

3.2.1 Основні поняття та визначення

Розповсюдженим стержневим елементом конструкцій машин, що працюють на кручення, є вал. Якщо навантаження на прямолінійний стержень (вал) складається тільки з моментів , площини дії яких перпендикулярні до осі стержня, то із шести внутрішніх зусиль та моментів у довільному перерізі залишається лише один - внутрішній крутний момент.

Відзначимо, що крутний момент, наприклад, виникає у валах, що обертаються з кутовою швидкістю [об/хв] та передають потужність [кВт] розподільні та передавальні вали зубчатих, пасових передач. У цьому випадку на валу в місцях посадки зубчатих коліс, шківів виникає зовнішній зосереджений крутний момент, :

.

Визначення внутрішніх крутних моментів та побудова епюр ґрунтуються на методі перерізів:

внутрішній крутний момент у даному перерізі чисельно дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх крутних моментів, що розташовані по один бік від перерізу.

Правило знаків:

Зовнішній крутний момент вважається додатним, якщо при спостеріганні з боку перерізу вздовж осі вала він намагається обертати відсічену частину проти годинникової стрілки.

Сформулюємо правила для побудови і перевірки правильності епюр крутних моментів:

1. При побудові епюр необхідно перевіряти рівновагу вала, тобто .

2. На ділянці з інтенсивністю розподіленого моменту епюра лінійна, а якщо , то епюра по довжині вала є кусочно-постійною по ділянках вала, тобто .

3. У точці прикладення зосередженого моменту на епюрі спостерігається стрибок на величину зовнішнього моменту.

Експериментально встановлено, що при дії на вал двох протилежно спрямованих крутних моментів (рис. 3.6) одні перерізи вала будуть повертатися щодо інших навколо осі, у той час як довжина вала залишається незмінною.



Якщо закручувати вал аж до руйнування і представити графічно залежність крутного моменту від кута закручування то одержимо діаграму кручення, що у випадку пластичного матеріалу має вид діаграми, показаної на рис. 3.7. На цій діаграмі також, як і на діаграмі розтягання, можна відзначити ряд характерних точок, що відповідають характеристикам матеріалу при крученні: точка 1 відповідає максимальному значенню моменту , до якого зберігається лінійна залежність між навантаженням і кутом закручування ; у точці 2 спостерігається явище текучості матеріалу при крученні, коли при практично постійному моменті збільшується кут закручування; точка 3 відповідає максимальному значенню моменту , при якому відбувається руйнування зразка.

3.2.2 Дотичні напруження при крученні стержнів круглого та кільцевого перерізів

На валу з круглим перерізом (рис. 3.8 а) відзначимо утворюючі (меридіани) та поперечні перерізи (паралелі) та розглянемо експериментальні результати його кручення:



1. При крученні поперечні перерізи стержня повертаються навколо його осі і відносно один одного.

2. Утворюючі повертаються на один і той же кут . Прямокутники перетворюються в паралелограми, прямі кути змінюються, як і у випадку чистого зсуву (рис. 3.8 а). Це свідчить про те, що виділений елементарний обсяг будь-якого шару вала знаходиться в умовах чистого зсуву.

3. При крученні стержня круглого перерізу дотримується гіпотеза плоских перерізів: переріз плоский і нормальний до осі перед деформуванням залишається плоским і нормальним до осі в процесі деформівання.

4.Відстані між перерізами в процесі деформації не змінюються (), це підтверджує відсутність у перерізі нормальних напружень.

5. Довжина і прямолінійність радіусів перерізів не порушується, тобто дотичні напруження у будь-якій точці перерізу перпендикулярні радіусу (рис. 3.8 б).

Розглянемо стержень діаметром , довжиною , що навантажений моментом (рис. 3.9 а). На відстані від правого краю виділимо елемент довжиною і розглянемо його рівновагу (рис. 3.9 б).

Вважаючи, що початок координат співпадає з центром ваги О перерізу, запишемо рівняння статичної рівноваги елементу :

. (3.5)



Проведемо геометричний аналіз деформацій при крученні. Для цього з нескінченно малої ділянки вала довжиною виділимо трубку, перерізом якої є нескінченно тонке кільце товщиною (рис. 3.9 в). Умовно вважаємо, що лівий переріз нерухомий. Правий переріз повернеться навколо осі на кут , причому назвемо абсолютним кутом закручування. Утворюючі і на бічній поверхні циліндра переміщаються в положення і відповідно, зміщаючись на кут зсуву .

Обчислимо довжину дуги (рис. 3.9 в), розглядаючи спочатку криволінійний трикутник аbb₁: , а потім трикутник

Оbb₁ : (для малих кутів ). Зневажаючи нескінченно малими величинами другого порядку, одержуємо , звідки

.

Введемо поняття відносного кута закручування:

 , (3.6) тоді :

(3.7)

Так як в нескінченно малому елементі виникає напружений стан чистого зсуву (рис. 3.9 г), то в межах малих деформацій виконується закон Гука при зсуві:

(3.8)

З виразів (3.7) , (3.8) одержимо:

. (3.9)

Остання залежність виражає закон Гука при крученні, на підставі якого можна зробити висновок про те, що дотичні напруження вздовж радіуса переріза змінюються по лінійному закону.

Підставимо залежність (3.9) у рівняння (3.5) та одержимо наступне:

,

де - полярний момент інерції перерізу.

Це дає можливість визначити відносний кут закручування:

 (3.10)

Величина називається жорсткістю вала при крученні.

З виразів (3.9), (3.10) одержуємо формулу для визначення дотичних напружень при крученні вала круглого чи кільцевого перерізів:

(3.11)

З рівняння (3.6) з урахуванням виразу (3.10) кут закручування дорівнює:

Якщо , є постійними величинами, то абсолютний кут закручування вала можна обчислити за формулою:

(3.12)

3.2.3 Розрахунок на міцність при крученні стержня круглого та кільцевого перерізу

З рівняння (3.11) випливає, що дотичні напруження по радіусу перерізу розподіляються лінійно, тому максимальні дотичні напруження виникають у крайніх точках перерізу, де :

 . (3.13)

Епюри дотичних напружень для круглого та кільцевого перерізів наведені на рис. 3.10.

З огляду на те, що величина є полярним моментом опору перерізу, умова міцності при крученні запишеться у вигляді:

(3.12)

де - допустиме дотичне напруження (? границя текучості матеріалу, ? коефіцієнт запасу міцності).

Значення полярного моменту опору круглого перерізу дорівнює:

,

а для кільцевого перерізу:

, де .

Діаметр вала круглого перерізу обчислюється з умови міцності (3.12) за формулою:

,

а зовнішній діаметр кільцевого перерізу:

.

3.2.4 Розрахунок на жорсткість при крученні стержня круглого та кільцевого перерізу

Крім розрахунку на міцність вали розраховуються на жорсткість. Умова жорсткості має вигляд:

, (3.13)

де - допустимий відносний кут закручування, що вимірюється у [рад/м].

Полярний момент інерції для круглого перерізу визначається як

,

а для кільцевого:

.

Тоді, з умови жорсткості, діаметр вала круглого перерізу дорівнює:

.

Для кільцевого перерізу зовнішній діаметр визначається як:

.

Приклад

Рисунок 3.11

З умов міцності та жорсткості визначити діаметр вала круглого перерізу (рис. 3.11) при таких значеннях крутних моментів:

; ;

; .

Допустиме напруження , допустимий відносний кут закручування .

Модуль пружності сталі при зсуві .

З епюри крутних моментів визначаємо небезпечну ділянку, де діє найбільший момент: .

Доберемо діаметр вала з умови міцності:

.

Тепер доберемо діаметр вала з умови жорсткості:

.

Із двох діаметрів слід вибрати більший, знайдений з умови жорст-кості та округлити його в більшу сторону до найближчого стандартного значення: При цьому, максимальні дотичні напруження будуть на другій ділянці валу:

.

3.2.5 Кручення стержнів прямокутного перерізу

При крученні стержнів некруглого перерізу (прямокутних, трикутних, еліптичних, прокатних, тонкостінних і ін.) гіпотеза плоских перерізів не виконується. Поперечні перерізи не залишаються плоскими, окремі точки виходять із площини - перерізи піддаються депланації. При крученні стержня постійного перерізу крутними моментами, прикладеними до вільних його кінців, депланація всіх поперечних перерізів виявляється однаковою. При рівномірній депланації нормальні напруження в поперечних перерізах не виникають. Такий вид кручення називається чистим (вільним) крученням, при якому величини і характер розподілу дотичних напружень в усіх перерізах однаковий.

Рішення задачі про чисте кручення некруглих стержнів методами опору матеріалів неможливо. Точні рішення задач про кручення стержнів некруглого перерізу отримані в теорії пружності. Остаточні формули для визначення максимальних дотичних напружень , відносного кута закручування і абсолютного кута закручування стержня довжиною , як і для стержнів круглого перерізу, мають вигляд:

де - момент опору на кручення, - момент інерції на кручення.

Розподіл дотичних напружень для прямокутного перерізу приведене на рис. 3.12. Найбільші напруження виникають на серединах довгих сторін перерізу (точки А и В). Дотичні напруження на серединах коротких сторін (точки С,D) визначаються за формулою .

Момент опору на кручення і момент інерції на кручення для прямокутного перерізу мають вигляд:

Коефіцієнти визначаються в залежності від відношення довгої сторони прямокутника до короткої сторони і наведені в таблиці 3.1.

Рисунок 3.12

Умова міцності при крученні стержня прямокутного перерізу має вигляд:

Умова жорсткості при крученні приймається для відносного кута закручування:

,

або для абсолютного кута закручування:

.

Таблиця 3.1 ? Кручення призматичного стержня прямокутного перерізу (таблиця коефіцієнтів )

1,00	0,208	0,141	1,000
1,05	0,211	0,147	0,981
1,10	0,214	0,154	0,963
1,15	0,217	0,160	0,946
1,20	0,219	0,166	0,931
1,25	0,221	0,172	0,916
1,30	0,223	0,177	0,903
1,35	0,225	0,182	0,891
1,40	0,227	0,187	0,879
1,45	0,229	0,191	0,869
1,50	0,231	0,196	0,859
1,55	0,233	0,200	0,850
1,60	0,234	0,204	0,842
1,65	0,236	0,207	0,834
1,70	0,237	0,211	0,827
1,75	0,239	0,214	0,821
1,80	0,240	0,217	0,815
1,85	0,242	0,220	0,809
1,90	0,243	0,223	0,804
1,95	0,245	0,226	0,800
2,00	0,246	0,229	0,795
2,10	0,248	0,234	0,787
2,25	0,252	0,240	0,778
2,50	0,258	0,249	0,766
2,75	0,263	0,257	0,759
3,00	0,267	0,263	0,753
3,25	0,271	0,269	0,750
3,50	0,275	0,273	0,748
3,75	0,279	0,277	0,746
4,00	0,282	0,281	0,745
5,00	0,292	0,291	0,743
6,00	0,298	0,298	0,743
7,00	0,303	0,303	0,742
8,00	0,307	0,307	0,742
	0,333	0,333	0,742

3.3 Статично невизначувані системи при крученні

Статично невизначуваною називається кінематично незмінна система, у якої число невідомих зусиль, включаючи реакції опор і внутрішні силові фактори (крутні моменти), більше числа рівнянь статики, які можна скласти для даної задачі.

Порядок рішення статично невизначуваних задач розглянемо на прикладі.

Приклад

Розкрити статичну невизначеність стержня (рис. 3.13), побудувати епюру крутних моментів та визначити параметр круглих поперечних перерізів стержня з умови міцності.

Статична сторона задачі

Складемо єдине можливе рівняння рівноваги з двома невідомими , тому задача є один раз статично невизначеною:

(3.14)



Рисунок 3.13

Геометрична сторона задачі

Для розкриття статичної невизначуваності необхідно скласти одне рівняння спільності переміщень.

Умовно відкинемо праве затиснення, а його дію замінимо моментом , при цьому задача стає статично визначуваною. Момент визначається з умови, що поворот правого торцевого перерізу щодо лівого під дією моментів дорівнює нулю:

(3.15)

Фізична сторона задачі

Скористаємося законом Гука при крученні для кутів закручування. Момент закручує в напрямку проти руху часової стрілки весь стержень; момент ? в напрямку за рухом часової стрілки частину стержня між лівим затисненням та місцем розташування ; момент ? проти руху часової стрілки тільки першу ділянку стержня:



(3.16)

,

де , ? полярні моменти інерції круглого перерізу першої та другої половини стержня.

Спільне рішення рівнянь

Підставимо (3.16) в (3.15):

З обліком того, що , , а , одержимо:

звідки: .

З рівняння рівноваги (3.14) знаходимо момент в лівому затисненні:

.

Побудова епюри крутних моментів

Обчислюємо значення внутрішніх крутних моментів по ділянках стержня, які показані на рис. 3.13:

Перевіряємо правильність рішення задачі, для чого обчислимо кут повороту правого торцевого перерізу щодо лівого затиснення , який повинен дорівнювати нулю:

Визначення розмірів поперечного перерізу

Обчислення параметру поперечного перерізу проводимо в найбільш напруженій ділянці стержня. Для цього здійснюємо порівняльний аналіз найбільших дотичних напружень на чотирьох ділянках згідно виразу (3.12):

1-а ділянка діаметром :



2-а ділянка діаметром

3-я ділянка діаметром :

;

4-а ділянка діаметром :

У вищенаведених виразах полярні моменти опору перерізів окремих ділянок стержня дорівнюють:

, .

Порівнюючи результати аналізу, робимо висновок, що найбільш навантаженою є друга ділянка стержня діаметром .

З умови міцності (3.12)

,

одержимо:

.

3.4 Розрахунково-проектувальне завдання

При вивченні розділів „Зсув” та „Кручення” в курсі „Опір матеріалів” ставиться мета навчити студентів основам інженерного розрахунку елементів конструкцій машин і механізмів на міцність і жорсткість з урахуванням умов роботи, властивостей матеріалів та різноманітних типів поперечних перерізів.

Для кращої організації і більш ефективної самостійної роботи студентів, згідно з вимогами програми курсу , студентам пропонується до виконання задачі по темі „Розрахунки на міцність та жорсткість при крученні”. Виконуючи цю роботу, студент практично знайомиться з методами обчислення крутних моментів, побудови епюр моментів та напружень, визначення розмірів та форми поперечного перерізу для різноманітних схем, що забезпечують умови міцності та жорсткості.

3.4.1 Склад розрахунково-проектувального завдання

Розрахунково-проектувальне завдання складається з трьох етапів:

1. Рішення запропонованих викладачем задач для певних варіантів розрахункових схем і вихідних даних, оформлення їх за вимогами кафедри „Опору матеріалів”.

2. Написання контрольних робіт.

3. Захист завдання. Захист включає в себе пояснення методів і принципів розв'язання задач і відповідь на контрольні теоретичні запитання. Кількість та об'єм цих запитань визначається викладачем індивідуально для кожного студента.

Мета роботи - проведення проектувального розрахунку для визначення розмірів поперечного перерізу з умов міцності та жорсткості.

Для цього задані:

1. Схема заданої системи з вказівкою довжин дільниць і зовнішнього навантаження.

2. Форма і співвідношення розмірів поперечного перерізу.

3. Допустиме дотичне напруження , допустимий відносний кут закручування , модуль зсуву матеріалу .

Завдання складається з двох обов'язкових для рішення задач:

Задача 1: З умов міцності та жорсткості обрати розміри поперечних перерізів (діаметр круглого і кільцевого валів) для статично визначуваної системи. Порівняти їхні ваги. Варіанти розрахункових схем наведені в додатку 3.1, а чисельні дані - в таблиці Д3.1.

Задача 2: Для заданої статично невизначуваної системи з послідовним розташуванням ділянок стержня з розрахунку на міцність визначити розміри поперечних перерізів на всіх ділянках стержня і побудувати епюру кутів закручування, порівнявши їх значення з допустимим значенням кута закручування. В разі потреби відшукати розміри поперечних перерізів стержня з умови жорсткості. Варіанти розрахункових схем наведені в додатку 3.2, а чисельні дані - в таблиці Д3.2.

3.4.2 Порядок виконання завдання

Задача 1. Для статично визначуваного валу, який навантажено крутними моментами, з умови міцності та жорсткості визначити розміри поперечного перерізу.

1. Виписати для заданого варіанту чисельні дані. В певному масштабі накреслити схему заданої системи з зазначенням її лінійних розмірів і зовнішніх навантажень.

2. Визначити значення зовнішніх крутних моментів на шківах.

3. Побудувати для заданої схеми епюри крутних моментів.

4. Визначити діаметр суцільного круглого валу з умови міцності.

5. Розташувати шківи рац...