4.1 Тень горизонтально-проецирующей прямой

Рассмотрим построение тени прямой, перпендикулярной плоскости проекций Н (тень столба). На рис. 10 изображены два отрезка [АВ]. Рассмотрим первый столб. Через каждую точку отрезка [АВ] проходит световой луч, множество этих лучей образует световую плоскость.

Поскольку эта плоскость содержит отрезок [АВ] - на основании признака перпендикулярности двух плоскостей она будет горизонтально-проецирующей и пересечет плоскость Н по прямой. Любая прямая определяется парой несовпадающих точек, следовательно, для построения тени отрезка [АВ] достаточно определить тени двух его точек.

Заметим, что точка В (b, b') принадлежит плоскости Н (столб упирается в землю этой точкой), поэтому b = bТ. Одна из искомых точек определена. Построим тень верхней точки столба - точки А (а, а'). Рассуждения для ее построения приведены выше.

Пусть отрезок [AB] занимает в пространстве общее положение (рис. 13). Тогда множество лучей, проходящих через [AB] образует плоскость общего положения, следы которой PH и PV будут являться тенями этого отрезка на плоскостях проекций H и V. Для решения задачи использована мнимая тень точки B.

Рис. 13. Тени отрезка [AB]

5. Тени плоских фигур

Совокупность сторон треугольника представляет собой контур собственной тени. Лучевые плоскости, проходящие через стороны треугольника, образуют призматическую поверхность, которая, пересекая плоскость V, образует на ней фигуру, равную данному треугольнику, поскольку (ABC)?V. Построение падающей тени треугольного отсека показано на рис. 14.

На основании этих построений можно сделать вывод: граница падающей тени плоской фигуры является тенью от контура собственной тени этой фигуры.

Рис. 14. Падающая тень треугольника

Рис. 15. Падающая тень круга

Множество световых лучей, проходящих через каждую точку окружности другого плоского отсека, образуют поверхность эллиптического цилиндра, которая пересекает плоскость H по окружности.

Окружность-оригинал и падающую тень круга на плоскости H можно считать параллельными сечениями светового эллиптического цилиндра. Для нахождения местоположения падающей тени следует определить действительную тень центра данного круга на плоскости H (рис. 15).

Аналогичные рассуждения можно провести для нахождения падающей тени круга, плоскость которого параллельна плоскости V (рис. 16).

Рис. 16. Тень круга на плоскости V

Вывод: тень плоской фигуры, на параллельную ей плоскость, равна и параллельна одноименной проекции этой фигуры.

На рис. 17 дан эпюр плоскости (ABC), занимающей общее положение. В отличие от предыдущих примеров определение теневой стороны плоскости является самостоятельной задачей.

Для нахождения собственной тени плоского отсека поступим следующим образом. Возьмем случайную точку K(k, k') внутри треугольного отсека на случайной прямой, заведомо лежащей в этой плоскости. Проведем через эту точку прямую, параллельную направлению S.

Рассмотрим конкурирующие точки 1= (2'), принадлежащие стороне [AC] и проведенному лучу.

По горизонтальным проекциям 1 и 2 решаем вопрос о взаимной видимости плоской фигуры и прямой, проведенной через точку K(k, k').

Рис. 17. Определение собственной тени треугольного отсека

Поскольку точка на стороне [AC] находится ближе к наблюдателю она перекрывает точку на вспомогательной прямой. Отсюда следует вывод о видимости, показанной на эпюре.

Рис. 18. Построение падающей тени треугольного отсека

Все множество лучей освещает плоскость (ABC) со стороны, невидимой наблюдателю, в собственной тени будет находиться сторона отсека, выделенная на эпюре цветом.

На приведенном выше рисунке построена падающая тень объекта.

Пусть дана плоскость круга, параллельная плоскости V (рис. 19). Собственная тень закрыта оригиналом. Реальная часть падающей тени на плоскости V представляет собой сегмент круга.

Лучевая поверхность эллиптического цилиндра, проходящая через окружность данного круга, пересекает плоскость H по эллипсу. Поскольку эллипс - лекальная кривая ее следует строить по множеству точек, две из которых являются точками преломления и лежат на оси X. Для нахождения случайных точек можно поступить следующим образом: описать квадрат вокруг данной окружности и построить его падающие тени.

Заметим, что точка А (а, а') одновременно принадлежит кругу и квадрату, поэтому точка аТ для эллипса является искомой. Построение еще двух случайных точек показано на чертеже.

Рис. 19. Тень круга на двух плоскостях проекций

Рассмотрим задачи, связанные с построениями собственных и падающих теней на плоских фигурах.

Задача 1

Построить тень отрезка [MN] на плоскости (ABC).

Возможны различные подходы к решению поставленной задачи. Один из них состоит в том, что можно построить падающие тени данных оригиналов на плоскости проекций независимо друг от друга, а затем применить способ обратных лучей. На рис. 20 показаны эти построения. Далее определены точки 1Т и 2Т , общие для контура падающей тени треугольника и прямой, содержащей точки mT и nT.

По действительным теням 1Т и 2Т с помощью обратных лучей построены точки 1 и 2, а затем найдена горизонтальная проекция падающей тени отрезка [MN] на плоскость данного треугольника. С помощью линий связи на основании свойства инцидентности построены все недостающие фронтальные проекции точек.

Рис. 20. Использование обратных лучей для решения задачи

Рассмотрим другой вариант решения задачи. Поскольку в данной задаче не ставится вопрос о нахождении падающих теней оригиналов, можно воспользоваться классической задачей начертательной геометрии о пересечении прямой с плоскостью (рис .21).

Лучевая плоскость, проходящая через отрезок [MN], согласно выводам, сделанным ранее, оставит след на плоскости в виде прямой линии. Любая прямая определяется парой несовпадающих точек, которыми можно считать точки пересечения световых лучей, проходящих через концы отрезка [AB].

Для их нахождения применим алгоритм классической задачи:

1. проведем через световой луч фронтально-проецирующую плоскость; (луч, проходящий через точку M, заключен во фронтально-проецирующую плоскость P, а через точку N - во фронтально-проецирующую плоскость T)

2. построим линию пересечения данной и вспомогательной плоскости; (на эпюре показаны проекции (12), (1'2') для плоскости P и (34) и (3'4') для плоскости Т)

3. определим искомые точки пересечением данной и построенной прямых; (на эпюре отмечены их горизонтальные и фронтальные проекции).

Искомая тень на плоскости (ABC) - отрезок [MONO].

Рис. 21. Второй вариант решения задачи

Задача 2

Построить тень отрезка [MN] на плоскости параллелограмма (рис. 22).

Для решения задачи применим способ обратных лучей. Построим падающие тени отрезка [MN] и параллелограмма. Поскольку отрезок [AD] и точка M принадлежат плоскости H

а = аТ ; d = dТ и m = mТ.

У падающих теней данных оригиналов есть общие точки 1Т и 2Т = 2ОТ, по которым с помощью обратных лучей можно определить проекции искомых точек и линии пересечения.

Рис. 22. Построение тени от одного объекта на другой

Заметим, что эту задачу также можно было решить и другим способом, изложенным в предыдущей задаче.

6. Тени геометрических тел

Пусть дана прямая призма, стоящая на плоскости H. Требуется построить ее собственные и падающие тени на плоскости проекций H и V. (рис. 23). Проанализируем освещенность граней. При заданном направлении светового потока будут освещены верхняя и левая передняя грань. Остальные грани (в том числе и нижняя) находятся в тени. Для построения падающей тени объемного тела необходимо выявить контур собственной тени, который в данном случае будет представлять собой пространственную ломаную линию. Элементами этой линии являются ребра призмы, находящиеся на границах освещенных и неосвещенных плоскостей. На этом же рисунке представлено изометрическое изображение замкнутого контура собственной тени, от которого построена падающая тень.

Рис. 23. Построение собственных и падающих теней призмы

Приведем задачи, связанные с построением теней многогранников.

Задача 1

Построить собственные и падающие тени пирамиды SABC; определить, какая часть отрезка [MN] отбросила тень на поверхность данного многогранника (рис. 24).

Рис. 24. Тень столба на поверхности пирамиды

При заданном направлении светового потока единственная грань пирамиды (ASB) будет освещена, остальные находятся в собственной тени. Контур собственной тени объекта - стороны треугольника ASB.

Для определения падающей тени столба на поверхность пирамиды заключим отрезок [MN] в горизонтально-проецирующую плоскость P, параллельную направлению светового потока. Эта плоскость пересечет освещенную грань пирамиды по прямой, проекции которой 12 и 1'2' показаны на чертеже. Поскольку луч, проходящий через точку M, находится в этой же плоскости, то можно определить тень точки М на грани ASB. Отметим точку (1, 1') на ребре [AS], по которой с помощью обратного луча определим точку K(k, k') на отрезке [MN].

Задача 2.

Определить освещенность видимых граней правильной шести угольной пирамиды (рис. 25).

Рис. 25. Определение освещенности видимых граней

Заметим, что построение графического условия этой задачи - это уже задача, при решении которой целесообразно применить преобразование чертежа (на рис.25 эти построения не показаны). Видимость ребер на проекциях многогранника устанавливается с помощью конкурирующих точек.

Для нахождения контура собственной тени многогранников в учебных источниках дается следующая рекомендация: для многогранного тела достаточно провести лучи только через вершины и найти падающие тени от этих точек.

По сути дела предлагается вначале построить падающую тень, а по ней найти собственную.

На наш взгляд такой подход возможен, но не всегда приемлем, поскольку если у многогранника большое количество вершин, то многие падающие тени от последних могут оказаться внутри контура падающей тени многогранника и ряд построений окажется нецелесообразным. К сожалению, в учебной литературе по определению контура собственной тени многогранников довольно часто встречаются ошибки.

В задачах, рассмотренных ранее, определение освещенности граней не вызывает трудностей. Если количество видимых на эпюре граней многогранника велико или их освещенность не очевидна - рекомендуем применить метод конкурирующих точек для определения освещенности граней многогранников. Это позволит избежать ошибок при установлении контура собственной тени объекта и при этом выполнить минимальное количество построений.

Проведем световой луч через точку F(f, f') и рассмотрим конкурирующие точки, принадлежащие этому лучу и ребру [DE]. По аппликатам фронтальных проекций точек делаем заключение о видимости точек 1 = (2). Поскольку точка 2, находящаяся на ребре [DE], закрыта точкой 1 светового луча - она невидима, следовательно, вся 6-угольная грань пирамиды находится в тени. Отсюда можно сделать вывод об освещенности грани (AFM).

Часть луча, проходящего через вершину B(b, b') находится над гранью (BMC), что определяется с помощью конкурирующих точек 3 и 4, принадлежащих лучу и ребру [MC]. Устанавливаем, что 3 = (4) и делаем вывод о том, что эта грань находится в собственной тени, а грань (ABM) - освещена. Аналогичным образом анализируем освещенность остальных граней. Часто оказывается, что при установлении теневой грани отпадает необходимость проверки вершин многогранника, тени которых попадает в область контура падающей тени.

Такой подход к определению видимости позволил избежать ошибки в аналогичной задаче в определении освещенности граней, допущенной в одном из учебников.

Задача 3.

Построить собственные и падающие тени правильной шести угольной пирамиды (рис. 26).

Анализ видимых освещенных граней приведен в предыдущей задаче. В собственной тени будет находиться грань (DEM), расположенная

в плоскости H, следовательно,

e = eТ; d = dТ и m = mТ

т.е. три вершины пирамиды и их действительные тени на плоскости H совпадают.

Ребро [ME] входит в состав контура собственной тени пирамиды, т.к. грань(EFM) освещена.

Рис. 26. Построение падающих теней пирамиды

Рассуждая аналогичным образом, определяем весь замкнутый контур собственной тени - это совокупная последовательность ребер

[ME] - [EF] - [FA] - [AB] - [BM].

От этих ребер определяем контур падающей тени данной пирамиды. Решение задачи показано на рис. 26.

6.2 Тени объемных тел, ограниченных кривыми поверхностями

Задача 1

Построить собственные и падающие тени прямого кругового цилиндра, стоящего на плоскости V (рис. 27).

Плоскость основания кругового цилиндра, параллельная плоскости V, освещена световым потоком. Из всего множества лучей можно выделить два подмножества, которые образуют плоскости P и Т (на чертеже показаны их следы), касательные к поверхности цилиндра.

Касание происходит по двум образующим, до которых освещена половина боковой поверхности, другая половина находится в собственной тени, следовательно, обе образующие входят в состав контура собственной тени цилиндра. На границе света и тени находится часть дуги освещенного основания, которая также входит в состав этого контура.

Рис. 27. Собственные и падающие тени цилиндрического тела

Освещенная боковая часть поверхности цилиндра и другое основание, расположенное в плоскости V и находящееся в собственной тени, образуют еще один участок замкнутого контура собственной тени цилиндра.

После этих рассуждений на горизонтальной проекции можно выделить цветом видимую часть контура собственной тени.

От этого контура определяется падающая тень. Вначале выполняется вспомогательное построение - определяется действительная тень точки O (o, o'), затем тень круга переднего основания цилиндра, равная этому кругу на основании свойства, приведенного ранее.

Две образующие, входящие в состав контура собственной тени цилиндра, стоящего на плоскости V, отбрасывают тени в виде отрезков прямых, касательных к данной и построенной окружностям. Общим контуром падающей тени будет полное очертание фигуры, изображенной на фронтальной проекции.

Задача 2.

Построить собственные и падающие тени прямого кругового цилиндра, стоящего на плоскости H.

В предыдущей задаче подробно говорилось о построении контура собственной тени на цилиндрической поверхности. Проведя аналогичные рассуждения для цилиндра, стоящего на плоскости H, получим результат, показанный графически на рис. 28. Сплошной основной линией выделен контур собственной тени тела на ортогональных проекциях, а справа выполнено его наглядное изображение в изометрии.

Рис. 28. Контур собственной тени на теле цилиндра

Построение падающей тени цилиндра начнем с определения действительной тени центра верхнего основания. Проведем через точку O(o, o') луч, параллельный направлению S (рис. 29). Поскольку аппликата точки О больше ее ординаты - действительная тень oТ' окажется на плоскости V на основании вывода, приведенного ранее, а тень цилиндрического тела упадет одновременно на две плоскости проекций. Определим мнимую падающую тень окружности верхнего основания (точнее ее часть, входящую в контур собственной тени). Зная точку oТ', найдем мнимую тень аТ(ф).

С центром в этой точке проведем окружность радиуса основания цилиндра, на которой отметим мнимые тени 1Т(ф), 2Т(ф), … 5Т(ф) и по ним построим тени действительные.

Рис. 29. Построение падающих теней объекта с использованием мнимых

Покажем, как это сделать на примере точки (1, 1'). Через точку 1Т(ф) проведем прямую, параллельную оси X, а через 1' - фронтальную проекцию луча, параллельную s'. На пересечении этих двух множеств определим действительную тень 1Т'. Остальные действительные тени строятся аналогично.

В контур собственной тени входит часть окружности верхнего основания, действительная тень которого определяется пересечением лучевого эллиптического цилиндра с плоскостью V и образует фигуру сечения эллипс, содержащую точки 1Т', 2Т', … 5Т'.

Две образующие цилиндра, лежащие в плоскостях P и Т, и полуокружность нижнего основания - оставшаяся часть контура собственной тени цилиндра, от этих геометрических образов построены падающие тени. Заметим, что точки 1Т' и 5Т' являются точками касания построенной дуги эллипса и падающими тенями двух образующих цилиндра.

Задача 3.

Построить тени на цилиндрической оболочке (рис. 30).

При заданном направлении светового потока S часть наружной и внутренней поверхности оболочки освещена, а границей освещенности будет левая очерковая образующая цилиндрической поверхности, проходящая через точку (4, 4'). На внутренней поверхности, на эпюре тень выделена бледным цветовым оттенком.

Рис. 30. Собственная и падающая тень цилиндрической оболочки

Часть дуги верхней дуги окружности от точки (1, 1') до (4, 4') находится на границе света и тени, следовательно, входит в состав контура собственной тени оболочки. Через каждую точку этой дуги проходит световой луч. Множество лучей образует поверхность эллиптического цилиндра. Ее пересечение с внутренней поверхностью оболочки - кривая четвертого порядка. Для построения этой кривой через вышеуказанные точки проводим световые лучи и отмечаем их пересечение с внутренней поверхностью. Полученные точки 1Т', 2Т', 3Т' и 4Т' соединяем плавной кривой - это падающая тень верхней дуги окружности. Лучевая горизонтально-проецирующая плоскость, проходящая через левую очерковую образующую, пересекает внутреннюю поверхность оболочки по прямой, ей параллельной, которая является ее падающей тенью.

Задача 4.

Построить тень отрезка [AB] на поверхности цилиндрической оболочки (рис. 31).

Нахождение теней оболочки показано в предыдущей задаче, поэтому на чертеже, приведенном ниже, построения не показаны.

Рис. 31. Падающая тень отрезка [AB] на цилиндрическую оболочку

Для решения этой задачи использовано свойство проецирующей цилиндрической поверхности.

Множество лучей, проходящих через отрезок [AB], образует лучевую плоскость. Поскольку она является плоскостью общего положения и пересекает все образующие цилиндрической оболочки, то результатом пересечения этих образов (тенью) будет эллипс (или часть его дуги).

Ввиду того, что эллипс это лекальная кривая, ее построение выполняется по множеству точек. Возьмем на отрезке [AB] точку (1, 1'). Это первая левая точка на данном отрезке, которая заведомо отбросит тень на внутреннюю поверхность оболочки.

Точки, расположенные на отрезке влево от нее, отбрасывают тени на наружную часть цилиндрической поверхности, которая на фронтальной проекции не видна ввиду своей непрозрачности, поэтому их тени строить не имеет смысла.

Проведем через точку (1, 1') луч, параллельный S и отметим его пересечение с цилиндрической поверхностью - действительную тень 1Т'. Затем на отрезке [AB] возьмем случайные точки (2, 2'), (3, 3'), … (6, 6') и выполним аналогичные построения. Заметим, что точка 6Т' оказалась за пределами левой очерковой образующей оболочки. Соединим построенные точки плавной кривой. Заметим, что точка С(с, c'), отбрасывающая тень на окружность верхнего основания цилиндра, может быть найдена лишь приближенно после построения эллиптической дуги по множеству случайных точек.

Для построения теней от одного объекта на другой инженеры-строители применяют следующие приемы:

метод секущих плоскостей;

метод обратного луча.

Архитекторы используют для своих целей девять различных способов (в данной работе они не приводятся).

Рассмотрим метод секущих плоскостей, который заключается в следующем. Заданные геометрические объекты рассекаются вспомогательными плоскостями, параллельными световому лучу и перпендикулярными к какой-либо плоскости проекций. Затем определяются линии сечения каждого объекта вспомогательными плоскостями. Плоское сечение первого объекта необходимо для определения лучей, касательных к его поверхности. Пересечение этих лучей с поверхностью другого объекта позволяет найти точки контура тени, падающей с одного объекта на другой.

Решение задачи, приведенной выше, можно объяснить, применяя метод секущих плоскостей.

Проведем вспомогательные плоскости, параллельные световому лучу и перпендикулярные плоскости H (на чертеже следы этих плоскостей не обозначены). Каждая из этих плоскостей пересекает отрезок [AB] в точке, а цилиндрическую поверхность по образующей. Проведя через построенные точки, лучи до пересечения с оболочкой, найдем их действительные тени, по которым найдем очертание контура падающей тени отрезка [AB].

В приводимых ранее задачах использовался метод обратных лучей. Приведем общие рекомендации по применению этого метода.

Метод обратных лучей заключается в том, что вначале строятся контуры падающих теней от заданных геометрических объектов (эти построения для решения задачи являются вспомогательными). Далее определяются точки пересечения полученных контуров. Из этих точек проводятся в пространстве лучи, направление которых противоположно лучам света. Точки встречи проекций обратных лучей с соответствующими проекциями первого объекта позволяют определить те точки, которые отбрасывают тени на другой объект.

Покажем решение предыдущей задачи с применением метода обратных лучей.

Построим падающие тени двух геометрических объектов на плоскости проекций независимо друг от друга. При нахождении последних использованы мнимые тени. На падающей тени отрезка взяты случайные точки, которым обеспечена принадлежность оболочки цилиндра его образующими. С помощью обратных лучей на отрезке [AB] определены точки, которые отбросили тени на другой объект. Заметим, что применение этого способа позволяет точно построить точку С(с, c').

Рис. 32. Решение задачи с применением метода обратных лучей

На приведенных выше рисунках представлены решения задачи

с применением различных способов. В первом случае нельзя найти точное положение последней точки C(c, с') отрезка [AB], которая отбросила тень на оболочку цилиндра, но можно обойтись без построений падающих теней. Применяя способ обратных лучей можно точно определить местонахождение точки C(c, с'),.но в этом случае, необходимо строить падающие тени.

6.2.2 Тень конического тела

Множество лучей, падающих на шар (рис. 37), образует световой цилиндр, соосный с его поверхностью, поэтому общим элементом для двух поверхностей (на основании леммы о пересечении соосных поверхностей) будет окружность, представляющая собой контур собственной тени шара. Теневой цилиндр пересекает плоскость H по эллипсу, который является падающей тенью шара. При нахождении очертаний этих теней можно использовать преобразование чертежа, например, метод перемены плоскостей проекций. Проведем плоскость V1, параллельную направлению S, и построим новые фронтальные проекции шара и луча. Контур собственной тени шара отобразится на этой плоскости отрезком прямой [а1' b1']. Поскольку аппликаты всех точек контура в старой и новой системе плоскостей проекций одинаковы, можно найти множество точек, принадлежащих очертанию контура на обеих проекциях. Вначале определим с помощью характерных точек размеры осей эллипсов, в которые проецируется контур, а затем аналогичным образом построим необходимое количество случайных точек. Соединив плавной кривой линией одноименные проекции найденных точек с учетом видимости, получим проекции очертания контура собственной тени.

Построение падающей тени шара начнем с нахождения тени точки O(o, o') (центра шара) - точки оТ. Искомая тень на плоскости V1 отобразится прямолинейным отрезком, равным большой оси искомого эллипса

Размер малой оси эллипса [m1Т n1Т] равен диаметру шара. Нахождение случайных точек очертания контура выполняется следующим образом:

На построенном контуре собственной тени берется произвольная точка и определяется ее падающая тень. По множеству найденных падающих теней случайных точек завершаем построение эллипса (нахождение случайных точек на чертеже не показаны для удобства восприятия изображений).

Рис. 37. Построение теней на шаре

На рис. 38 показан другой способ нахождения теней шара. Как отмечалось выше, контурами собственных теней шара являются эллипсы. Большие оси этих эллипсов - отрезки [ab] и [c'd'] равны диаметру шара. Точки A A(a, a') и B (b, b') расположены на экваторе сферы, а C(c, c')

и D(d, d') на главном меридиане, плоскость которого параллельна V. Учитывая симметрию эллипса относительно его большой и малой осей, можно получить точки, симметричные точкам c и d, и а' и b' на соответствующих проекциях. После этого по восьми полученным точкам выполнить очертание эллипсов с учетом видимости.

Построение падающей тени шара как и в предыдущем случае начинаем с нахождения точки оТ. Малая ось эллипса, представляющего собой падающую тень, равна отрезку [aТ bТ]. Большая полуось - высоте правильного треугольника, построенного на отрезке [aТ bТ] Определив точку nТ, строим точку, ей симметричную относительно оси [aТ bТ]. По большой и малой оси можно построить эллипс различными способами (их около шестисот!), один из которых показан на рис. 38 в правом нижнем углу - способ родственного соответствия. Ввиду того, что этот раздел не изучается студентами в курсе начертательной геометрии, приведем только порядок нахождения случайных точек искомого эллипса.

Рис. 38. Второй способ нахождения теней шара

С центром в точке оТ построим две окружности, диаметры которых равны большой и малой осям эллипса. Затем через точку оТ проведем какой-либо луч и отметим точки его пересечения с каждой окружностью.

Из полученных точек проведем прямые, параллельные большой и малой осям и на их пересечении зафиксируем одну из искомых точек эллипса, На рисунке ниже показано построение одной из таких точек - точки 1Т. Остальные точки определяются аналогично и соединяются плавной кривой.

В том случае, когда требуется определить собственную тень шара на одном изображении, можно воспользоваться приемом, показанным на рис. 39.

Рис. 39. Построение собственной тени шара по 8-ми точкам

Точки 1,2,…, 8 указывают на последовательность нахождения восьми точек искомого эллипса.

Аналитическое обоснование этому приему существует, но в данной работе не приводится.

Рассмотрим некоторые задачи, связанные с построением теней на поверхности шара.

Задача 1.

Определить тень точки А на поверхности шара (рис. 40).

Решение данной задачи сводится к нахождению точки пересечения светового луча, проведенного через точку А, с поверхностью шара.

Поскольку в задаче не ставится вопрос о нахождении собственных и падающих теней шара, то достаточно определить только точки пересечения светового луча с поверхностью шара.

Задачи такого рода решаются по известному алгоритму:

1. луч заключается в какую-либо плоскость (или поверхность);

2. строится линия пересечения данной поверхности с проведенной плоскостью (или поверхностью) - фигура сечения;

3. определяются искомые точки пересечения луча с построенной фигурой сечения.

Поскольку луч занимает в пространстве общее положение, авторы учебников по начертательной геометрии обычно рекомендуют применять в этом случае преобразование чертежа (например, метод замены плоскостей проекций), для того чтобы луч или прямая линия заняли в пространстве частное положение, поскольку только в этом случае можно получить точное решение задачи.

Рис. 40. Решение задачи 1

Заметим, что преобразованные чертежи имеют большие достоинства: они легко читаются, их применение позволяет избежать построения лекальных кривых по множеству точек и получить точное решение задачи. Но, к сожалению, преобразованные чертежи занимают большую площадь на поле листа бумаги и потому являются довольно громоздкими.

Известно, что любую задачу по начертательной геометрии можно решить, не прибегая к преобразованию чертежа. Покажем, как в данной задаче обойтись без последнего и в то же время получить точное решение.

Воспользуемся приведенным выше алгоритмом нахождения точки пересечения прямой линии с поверхностью:

1. заключим световой луч, проходящий через точку А, в коническую поверхность вращения, соосную со сферой. За вершину этой поверхности примем точку T (t, t'), лежащую в плоскости главного меридиана сферы. Ось конической поверхности определится парой точек O (o, o') и T (t, t').

Для построения главного меридиана конической поверхности, параллельного плоскости V, применим способ прямоугольного треугольника (рис. 40), который реализован на графическом условии данной задачи, а необходимые пояснения к нему приведены на этом же рисунке справа.

После построения очертания конической поверхности перейдем к выполнению второго пункта алгоритма:

2. найдем линию пересечения данной сферы с проведенной вспомогательной поверхностью;

Обе поверхности сосны по построению, поэтому согласно лемме о пересечении соосных поверхностей они пересекутся по окружностям столько раз, сколько раз пересекутся их главные полумеридианы. В данном случае пересечение произошло по двум окружностям, которые на фронтальной проекции отобразились отрезками прямых линий (на рис. 40 показана только одна из них, которая задействована в задаче).

3. Определяем искомые точки пересечения светового луча, принадлежащего конической поверхности, с построенными фигурами сечения (окружностями).

На эпюре зафиксирована только одна точка аТ' поскольку она является действительной тенью точки А на фронтальной проекции. Горизонтальную проекцию аТ определим с помощью линии связи на горизонтальной проекции луча, пользуясь свойством принадлежности.

Задача 2.

Построить тень отрезка [AB] на поверхности шара (рис. 41).

Наличие собственной тени для решения поставленной задачи необходимо. Способ ее нахождения изложен ранее. Применять способ обратных лучей для этой задачи нерационально, поскольку по условию не требуется определение падающих теней шара.

Подойдем к решению задачи следующим образом. Из аналитической геометрии известно, что любая плоскость пересекает сферу по окружности. Лучевая плоскость, проходящая через отрезок [AB] - горизонтально-проецирующая, поэтому пересекает сферу по окружности, которая на горизонтальной проекции отобразится отрезком прямой [12].

Рис. 41. Нахождение тени отрезка [AB] на поверхности шара

Поскольку окружность одновременно принадлежит лучевой плоскости и данной сфере ее фронтальная проекция (представляющая собой эллипс) может быть построена по точкам, исходя из условия их принадлежности поверхности сферы. Точке обеспечивается принадлежность сфере с помощью параллели, заведомо на ней лежащей. Горизонтальная проекция параллели отобразится окружностью, фронтальная - отрезком прямой, на котором определяется фронтальная проекция точки. На рис. 41 показаны построения всех характерных точек кривой линии и нескольких случайных, затем все точки соединены плавной кривой.

Точка пересечения светового луча с построенным по точкам эллипсом является действительной тенью точки А на поверхности шара, от которой идет дальнейшее отбрасывание тени отрезка [AB] вплоть до точки K (k, k'), построенной на этом отрезке способом обратного луча, после того как на фронтальной проекции определена точка kТ' пересечением контура собственной тени с дугой эллипса. Отрезок [KB] частично отбрасывает тень на поверхность шара в области его собственной тени и на землю (плоскость H) в виде горизонтального следа лучевой плоскости.