Заметим, что в линейной перспективе принято допущение: прямые, параллельные картине, точек схода не имеют.

Рис. 66. Перспективы прямых, параллельных картине

Рисунок, приведенный выше, иллюстрирует это положение.

Рассмотрим перспективу пучка параллельных прямых произвольного направления, параллельных предметной плоскости.

Пучок - это множество прямых, проходящих через данную точку.

В проективном пространстве эта точка может быть несобственной (бесконечно удаленной).

На рис. 67 изображены параллельные прямые произвольного направления, две из которых расположены в предметной плоскости, а третья ей параллельна. Ранее отмечалось, что перспективу прямой линии можно построить по двум точкам: начальной и конечной.

Рис. 67. Пучок параллельных прямых произвольного направления

Начальные точки всех прямых и их вторичных проекций отмечены на рисунке выше (это точки пересечения прямых с картиной). Поскольку все данные прямые параллельны, то в проективном пространстве у них есть общая бесконечно удаленная точка. Для построения ее перспективы через точку S проводим луч в эту точку (на приведенном изометрическом рисунке он параллелен этим прямым) и отмечаем точку его пересечения с картиной - это перспектива общей несобственной точки данных прямых или точка схода прямых.

Соединив начальные точки данных прямых с точкой схода F, получаем изображение пучка прямых на картине (рис. 68).

Рис. 68. Картина пучка параллельных прямых произвольного направления

На рис. 69 представлено наглядное изображение прямых линий, перпендикулярных картине.

Рис. 69. Пучок прямых, перпендикулярных картине

Как и в предыдущем случае, у этих прямых существует общая несобственная точка. Для нахождения ее перспективы через точку S проводим луч, параллельный этим прямым, в эту бесконечно удаленную точку. Пересечение проведенного луча с картиной происходит в точке P - главной точке картины, которая является точкой схода этих прямых. Соединяем начальные точки прямых с точкой P и получаем перспективное изображение этих прямых (рис. 70).

Рис. 70. Перспектива пучка прямых, перпендикулярных картине

Сравним рисунки, представленные ниже. На каждом из них изображена плоская фигура, выделенная темным оттенком. На рис. 71, а она представляет собой прямоугольник, а на рис. 71, б - параллелограмм.

Рис. 71. Рисунки плоских фигур

Введем понятия восходящих и нисходящих прямых линий.

Восходящими называются прямые, которые идут, возвышаясь от картины. Поэтому. каждая следующая за картиной точка, взятая на прямой, имеет большую высоту, чем предыдущая. Нисходящие прямые идут, понижаясь от картины.

Рис. 72. Восходящие прямые

На рис. 72 слева показаны две параллельные восходящие прямые (картина и предметная плоскость изображены двумя перпендикулярными линиями). Из этого чертежа наглядно следует только то, что данные прямые являются восходящими, но полной информации об этих линиях не дано. Тем не менее, из рисунка следует, что точка схода этих прямых (точка F) расположена выше линии горизонта. Вторичные проекции этих линий лежат на предметной плоскости. Поскольку предметная плоскость отображена прямой линией - вторичные проекции прямых на рисунке совпадают. Вторичные проекции линий параллельны на основании свойства параллельных проекций, их точка схода f находится на линии горизонта. На рис. 72 справа хорошо видно, что точки F и f находятся в проекционной связи на перпендикуляре к линии h - h. Заметим, что этот рисунок иллюстрирует перспективу случайных восходящих параллельных прямых и не имеет прямой связи с рисунком слева. Изображенные прямые занимают в пространстве общее положение. Если параллельные восходящие прямые будут параллельны воображаемой плоскости, перпендикулярной одновременно плоскостям T и K, то точкой схода их вторичных проекций будет главная точка картины P, а сами прямые сойдутся на перспективном чертеже в точке F, находящейся выше линии горизонта, в проекционной связи с точкой P.

У пучка нисходящих прямых точка схода находится ниже линии горизонта.

8.3 Перспективный масштаб. Дистанционная точка

Рассмотрим способы построения масштабов измерения длины отрезков, расположенных в трех главных направлениях предметного пространства. Главными направлениями будем считать направление прямых,

1) перпендикулярных картине - направление глубин;

2) параллельных основанию картины - направление широт;

3) перпендикулярных предметной плоскости - направление высот.

Масштаб, построенный на прямой, перпендикулярной картине, называется масштабом глубин.

Введем в системе плоскостей K и T координатные оси X,Y и Z с началом в точке 0, на которых будем строить соответствующие масштабы высот, широт и глубин (рис. 73).

Рис. 73. Построение масштаба глубин

Отложим на оси X случайный отрезок [M0N0]. Если необходимо отложить равный ему отрезок на оси Y поступим следующим образом.

Проведем через точки M0 и N0 вспомогательные прямые в предметной плоскости под углом 45° к оси X. Эти прямые называются линиями переноса. Отметим на оси Y точки A и B. Поскольку ось Y перпендикулярна картине, ее точка схода находится в точке P, а начальная точка находится в начале координат. Перспектива оси Y на картине отобразилась отрезком [0P].

Начальными точками линий переноса являются точки M0 и N0. Построим перспективу их общей несобственной точки. Для этого через точку S проведем в нее луч, который пересечет картину в точке D на линии горизонта. Соединив начальные точки с точкой D, получим перспективы линий переноса. На пересечении построенных перспектив определим точки AK и BK.

Точка D называется дистанционной. Поясним, почему она носит такое название. Из построений, приведенных на рис. 73, следует подобие треугольников A0M0 и SPD1. Кроме того, оба треугольника - прямоугольные и равнобедренные, поэтому [SP] = [PD1]. Отрезок [SP] это дистанция между наблюдателем и картиной, и отрезком [PD1] она зафиксирована на линии горизонта на картине. На рисунке выше обозначены две дистанционные точки D1 и D2, которыми можно пользоваться при построении перспективных изображений.

Если требуется отложить равные отрезки на глубинной прямой (прямой, перпендикулярной K), следует поступать так, как показано на рис. 74.

Рис. 74. Построение масштаба на глубинной прямой

Масштаб, построенный на прямой, параллельной основанию картины, называется масштабом широт. Построение масштаба широт показано на рис. 75. Для примера изображены перспективы прямых, находящихся на и вне предметной плоскости.

Рис. 75. Построение масштаба на прямой широт

Масштаб, построенный на прямой, перпендикулярной предметной плоскости, называется масштабом высот (рис.76).

Рис. 76. Построение масштаба на прямой высот

Рассмотрим построение перспективного масштаба на прямой общего положения.

Пусть на предметной плоскости расположена прямая общего положения (рис. 77). Определим начальную точку прямой А0 и ее точку схода F. На картине отрезок [А0F] является перспективой этой прямой. От точки А0 отложим натуральный масштаб (равные отрезки). Через построенные точки в предметной плоскости проведем линии переноса, отсекающие на данной прямой отрезки, равные построенным на линии t - t. Это начальные точки линий переноса. Точка схода этих линий - точка M. Соединив точки 10, 20 и 30 с точкой M, получим перспективные изображения линий переноса. Пересечение построенных линий с отрезком [А0F] зафиксирует отрезки перспективного масштаба на прямой общего положения. Заметим, что на рисунке ниже треугольники A0101' и SFM подобны и равнобедренны по построению, поэтому отрезки [SF] и [FM] равны. Совместим треугольник SFM с плоскостью картины, вращая его вокруг линии горизонта. Тогда отрезок [S1P] на картине будет равен отрезку [SP].

Рис. 77. Построение масштаба на прямой общего положения

При построении перспективы объекта может возникнуть необходимость построения перспективного масштаба на прямой общего положения от какой-либо конкретной точки, например, точки 0 (рис.78).

Пусть на картине дана прямая общего положения (изображенная отрезком [А0F]), дистанционная точка D, главная точка P и точка 0 - начальная точка перспективного масштаба.

Рис. 78. Картина масштаба на прямой общего положения

В соответствии с рассуждениями, приведенными ранее, на рис. 78. определим точку S1 и точку M. С помощью точки D найдем точку 00, от которой отложим масштабные отрезки на линии t - t (нижние точки на картине). Проведя линию переноса через точки М и 0, найдем начальную точку этой линии 00 (верхняя точка на линии t - t). От нее отложим отрезки, равные нижним. Соединив начальные точки линий переноса с точкой М, на данной прямой общего положения получим перспективный масштаб.

На рис. 79. построена перспективная сетка, с помощью которой можно определять координаты точек какого-либо объекта и его размеры.

Рассмотрим некоторые метрические и позиционные задачи, связанные с использованием перспективных масштабов.

Задача 1.

По заданному перспективному изображению определить координаты точки А (рис. 79).

Рис. 79. Перспективная сетка

Опустив из точки aK в предметной плоскости перпендикуляр на ось X (линия построения пройдет через точку P), определим абсциссу XA. Проведем на картине перпендикуляр к оси Y (отрезок [0P]) и отметим точку пересечения с ней. С помощью дистанционной точки D и линии переноса определим натуральную величину ординаты Y. Аппликата ZA найдена двумя способами. В одном случае перспектива аппликаты сдвинута в указанном направлении в картинную плоскость. В другом - использовано свойство равенства перспективных масштабов высот и широт в любой плоскости, параллельной картине.

Задача 2

Определить натуральные величины данных отрезков по их перспективным изображениям, если на линии горизонта задана точка P (рис. 80).

Рис. 80. Определение натуральных величин отрезков прямых, параллельных картине

Задача 3.

Определить натуральную величину отрезка прямой общего положения. На линии горизонта заданы точки P и D (рис. 81).

Рис. 81. Условие к задаче 3

По заданной дистанционной точке D определим вспомогательную точку S1. Найдем точку схода F прямой, определяемой точками А и В. Отметим точку схода М линий переноса, с помощью которых можно заданный отрезок общего положения спроецировать на основание картины и получить его натуральную величину (рис. 82).

Рис. 82. Решение задачи 3

Задача 4.

Разделить отрезок нисходящей прямой на три части (рис.83).

Используем для решения поставленной задачи теорему Фалеса. Проведем через точку aK (или bK) линию широт, на которой отложим три любых, но равных между собой отрезка. Соединим последнюю точку 3 с точкой bK. Определим точку схода F прямой, содержащей эти точки. Построим прямые, ей параллельные, проходящие через точки 1 и 2. Отметим точки деления на перспективе вторичной проекции данного отрезка. С помощью вертикальных прямых, на основании той же теоремы, найдем искомые точки деления.

Заметим, что при построении перспективы различных архитектурных элементов, расположенных на одинаково небольших расстояниях (таких как ограда, решетка, перила и т. д.) часто применяются геометрические приемы, основанные на теореме Фалеса.

Рис. 83. Деление отрезка на равные части

Задача 5.

Увеличить отрезок восходящей прямой в три раза (рис. 84 и 85).

Рис. 84. Первый вариант решения задачи 5

Построим прямую широт, проходящую через точку aK.

На линии горизонта выберем произвольную точку F линий переноса, с помощью которой перебросим перспективу вторичной проекции отрезка на линию широт. Отметим на ней точку 1. и отложим от нее два отрезка, равных [aK1]. Через точку 3 проведем линию переноса и на продолжении отрезка [aK bK] определим точку cK. Перспектива вторичной проекции отрезка увеличилась в три раза. Проведя через точку cK вертикальную прямую до пересечения с перспективой отрезка, найдем точку СK. Все построения выполнены в соответствии с теоремой Фалеса.

Рис. 85. Второй вариант решения задачи 5

На рис. 85 представлен другой вариант решения этой задачи. Поскольку точка схода F прямой, содержащей точки aK и bK, находится в пределах картины ее можно использовать для увеличения данного отрезка. Проведем через точку АK вертикальную прямую, а через BK - горизонтальную с точкой схода F. Отметим точку 1 пересечения этих прямых. Отложим на вертикальной прямой от точки 1 два единичных отрезка [АK1]. Через точку 3 проведем горизонтальную прямую в точку схода F. Точка пересечения построенной прямой с продолженным отрезком [АK BK] определила конец СK увеличенного в три раза отрезка. Решение задачи вторым способом также основано на применении теоремы Фалеса.

8.4 Перспектива плоской фигуры, лежащей в предметной плоскости

Рис. 86. Плоская фигура (план здания)

Существует множество способов построения перспективных изображений. Решим поставленную задачу методом архитекторов, который удобно применять в том случае, если изображение содержит семейства параллельных прямых.

Примечание.

Рекомендации по выбору элементов перспективы (точки зрения, картинной плоскости и линии горизонта) будут даны при построении объемного предмета.

Проведем через вершину 1 картинную плоскость, которая на эпюре отобразится основанием t - t. Выберем точку зрения S, которая спроецируется на данном чертеже в точку стояния s.

У параллельных прямых, содержащих точки 1 - 6, 5 - 4 и 2 - 3, общая несобственная точка F1 (на эпюре показана ее проекция на основании картины точка f01). Для ее нахождения из точки зрения S проводим луч, им параллельный до пересечения с картиной. Поскольку проведенный луч параллелен предметной плоскости его точка пересечения с картиной будет находиться на линии горизонта. Точка схода другого семейства прямых -точка F2.

Определим «начальные точки» всех прямых линий на основании картины 10, 20, 40, 50 и 60. Проведем главный луч картины. Построение перспективы картины начнем с ее основания t - t, проведя произвольную горизонтальную прямую t - t. С помощью бумажной полоски зафиксируем точки, построенные на эпюре, и перенесем их на картину (рис. 87). Построим линию горизонта параллельно линии t - t на расстоянии, взятом с эпюра (расстояние между осью x и h -h).

По точкам f01, f02 и p0 определяем F1, F2 и P на линии горизонта.

M 2:1

Рис. 87. Перспектива плоской фигуры

Строим перспективные изображения параллельных прямых с точками схода F1 и F2. Поскольку точки 1, 2, … 6 принадлежат одновременно двум семействам параллельных прямых, то на пересечении соответствующих определяем перспективные изображения точек 2к, 3к, 4к, 52, и 6к. Соединив построенные точки соответствующим образом, получаем картину плоской фигуры.

Заметим, что центральную проекцию предмета можно построить при любых точках зрения (за исключением особых), любом положении картины и линии горизонта. Но при этом далеко не всегда полученное изображение будет наглядным. При построении перспективного изображения предмета необходимо соблюдать условия, при которых можно достичь желаемого результата.

8.5 Рациональный выбор элементов перспективы

Пусть требуется построить перспективу объемного сооружения (рис. 90). На ортогональном чертеже проведем картинную плоскость, линию горизонта и выберем точку зрения согласно вышеизложенным рекомендациям.

Рис. 90. Выбор картинной плоскости и нахождение начальных точек параллельных прямых

Определим начальные точки каждого семейства параллельных прямых и их точки схода. С помощью бумажной полоски перенесем на основание картины полученные точки. Построим линию горизонта, на которой отметим точки P, F1 и F2.

Рис. 91. Построение вертикалей в перспективе

Соединим начальные точки двух семейств параллельных прямых с соответствующими точками схода F1 и F2. На пересечении построенных линий отметим перспективы вершин прямоугольника с вырезом и соединим их между собой (рис. 91).

Рис. 92. Построение горизонталей в перспективе

После построения перспективы плана через точку 1 = 10 проведем вертикальную прямую, на которой от этой точки отложим натуральную величину высоты сооружения, взятую с ортогонального чертежа (рис. 91).

Заметим, что на перспективном чертеже только одно вертикальное ребро, находящееся в картинной плоскости, отображается без искажения.

Проведем через вершины плоской фигуры вертикальные прямые, у которых, согласно допущению линейной перспективы, не имеется точек схода (рис.91).

Построим горизонтальные прямые с точками схода F1 и F2, проходящие через верхнюю точку ребра, лежащего в картинной плоскости. Пересечение этих прямых с вертикальными линиями, проходящими через точки 2к и 6к, позволяет обрисовать две видимые грани данного сооружения (рис. 92).

Рис. 93. Завершающий этап построения перспективы

Проводя горизонтальные прямые через остальные верхние точки вертикальных ребер, завершаем построение других видимых и невидимых граней сооружения. Невидимые фрагменты на завершенной картине не показывают (рис. 93).

Исходный ортогональный чертеж и картина в приведенном примере выполнены в одном масштабе. Поскольку в этом случае перспективное изображение получается довольно мелким, рекомендуется для построения картины применять масштаб увеличения, согласовывая его с размерами листа формата. При этом величины отрезков, которые переносятся с ортогонального чертежа, увеличиваются в координатных направлениях X и Y на картине в нужное количество раз.

Рассмотрим более сложную задачу. По данному ортогональному чертежу построим перспективу лестницы с прямыми барьерами (рис. 94) и покажем некоторые другие приемы построения картины.

Рис. 94. Проведение картинной плоскости

На данном чертеже покажем картинную плоскость, точку зрения, главную точку картины и точки схода доминирующих прямых. Построение картины начнем с ее основания t - t, на котором отметим точки p, f01 и f02. По этим точкам определим на линии горизонта точки P, F1 и F2. Найдем перспективы двух перпендикулярных прямых с общей начальной точкой 1 = 10, соединив ее с точками схода F1 и F2.