Модели и механизмы оперативного управления проектами в дорожном строительстве

На практике распространены ситуации, когда взаимовыгодные для сторон параметры заключенного договора в ходе выполнения проекта становятся невыгодными в силу изменившихся обстоятельств, внешних условий, ошибок прогнозирования и планирования и т.д. Тогда у одной (или одновременно у обоих) сторон - заказчика и исполнителя работ по проекту - возникает желание изменить параметры договора - внести дополнительные соглашения. Такую ситуацию называют перезаключением договора (пересоглашением контракта). Рассмотрим модели перезаключения договора - внесения в него дополнительных соглашений.

Пусть целевые функции заказчика и n исполнителей, участвующих в проекте, имеют вид:

((), y, ) = H(y, ) - , (1)

f((), y, r) = _i(y) - c_i(y, r_i), i N, (2)

где _i(y) - вознаграждение, выплачиваемое заказчиком i-му исполнителю в зависимости от вектора действий y = (y₁, y₂, …, y_n) A' = всех агентов, N = {1, 2, …, n} - множество агентов (исполнителей).

Пусть договор заключался при значениях ₀ и r₀ = (r₁₀, r₂₀, …, r_n0), где r_i - тип i-го агента.

Согласно исследованиям Д.А. Новикова, оптимальным договором будет компенсаторная система стимулирования, которая с учетом принципа декомпозиции игры агентов позволяет вычислить оптимальный с точки зрения заказчика вектор действий исполнителей:

оперативный управление руководитель исполнитель

x^*(₀, r₀) = arg [H(y, ₀) - ]. (3)

Оптимальные параметры исходного договора - вектор действий исполнителей x^*(₀, r₀) A' и вектор вознаграждений c_i(x^*(₀, r₀), r_i0), выплачиваемых в случае выполнения условий договора. В рамках исходного договора полезность заказчика равна

(₀, r₀) = H(x^*(₀, r₀), ₀) - c_i(x^*(₀, r₀), r_i0), (4)

а полезности исполнителей равны нулю.

Фактические значения параметров и r могут отличаться от прогнозируемых ₀ и r₀, что может приводить к тому, что фактические полезности заказчика и исполнителей могут отличаться от прогнозируемых.

Определим следующие величины:

(₀, , r₀, r) = H(x^*(₀, r₀), ) - c_i(x^*(₀, r₀), r_i0), (5)

_i(₀, , r₀, r) = c_i(x^*(₀, r₀), r_i0) - c_i(x^*(₀, r₀), r_i), i N, (6)

(, r) = H(x^*(, r), ) - c_i(x^*(, r), r_i). (7)

Выражение (5) определяет полезность заказчика при изменившихся условиях в рамках исходного договора, выражение (6) - полезность i-го исполнителя при изменившихся условиях в рамках исходного договора, выражение (7) - полезность заказчика в рамках нового договора.

Из (4)-(7) получаем, что, так как использование стимулирования означает возможность трансферта полезности, то условием перезаключения договора будет следующее.

Утверждение 1. Перезаключение договора произойдет, если

H(x^*(₀, r₀), ₀) - H(x^*(, r), ) 2 {c_i(x^*(₀, r₀), r_i0) - c_i(x^*(₀, r₀), r_i)}.

Содержательно, новый договор будет заключен, если он более эффективен (по Парето - с точки зрения значения суммы целевых функций всех участников), чем старый договор.

Рассмотрим задачу оперативного управления продолжительностью проекта. В качестве основного выберем такой показатель как время завершения проекта. Если в процессе реализации проекта оказывается, что прогнозируемое время его завершения отличается от планового, то возникает необходимость в оперативном управлении - дополнительных мерах по сокращению продолжительности выполнения незавершенной части проекта. Реализация этих мер требует соответствующих затрат, то есть возникает задача определения оптимальных коррекционных воздействий, причем критерием эффективности, как правило, выступают финансовые показатели, зависящие как от продолжительности проекта (санкции и штрафы за задержку сроков завершения и т.д.), так и от затрат на выполнение проекта.

При решении задачи управления центр должен учитывать активность агентов - активных элементов (АЭ), то есть вознаграждение исполнителя в зависимости от сокращения им сроков должно быть согласовано с его предпочтениями. В теории активных систем задачи согласования предпочтений и интересов изучаются при синтезе механизмов стимулирования, поэтому рассмотрим постановку задачи стимулирования исполнителей, в которой критерием эффективности являются финансовые показатели центра, зависящие в свою очередь от продолжительности проекта.

Будем считать, что в ходе реализации проекта стали известны плановое T₀ и прогнозируемое T время завершения проекта (ограничимся наиболее распространенным на практике случаем T T₀). Предположим, что в случае задержки выполнения проекта центр выплачивает, например, заказчику или вышестоящей организации, штрафы (t), t T₀ (в частном случае, например, штрафы могут быть линейны: (t) = ₀ t). Исполнитель имеет возможность сократить срок реализации проекта (относительно прогнозируемого) или, что то же самое - сократить продолжительность одной или нескольких критических операций, что требует от него определенных затрат c(y), где y A - время, на которое сокращается продолжительность проекта. Переменная y может интерпретироваться как действие АЭ - выбираемая им стратегия.

Для того чтобы побудить АЭ к выбору некоторой стратегии центр должен использовать соответствующую систему стимулирования, то есть назначить зависимость (y) вознаграждения АЭ от выбираемых им действий. Эта зависимость () M называется функцией стимулирования (M - множество допустимых функций стимулирования).

Интересы участников проекта (активной системы) выражены их целевыми функциями. Будем считать, что рациональность поведения участников проекта заключается в стремлении к экстремизации целевых функций. Более подробно, предположим, что центр заинтересован в том, чтобы минимизировать свои выплаты (суммарные выплаты по штрафам и стимулированию АЭ), то есть целевая функция центра ((), y) имеет вид:

?((), y) = (y) + (T - T₀ - y). (8)

Целевая функция активного элемента f((), y) представляет собой разность между стимулированием и затратами:

f((), y) = (y) - c(y). (9)

Введем следующие предположения: A = [0; T - T₀]; M - множество кусочно-непрерывных положительнозначных функций; c(y) - положительнозначная, монотонно возрастающая, строго выпуклая, непрерывно дифференцируемая функция, такая, что c(0) = 0.

В ходе всего изложения материала, если не будет оговорено особо, будем предполагать, что выполнена гипотеза благожелательности (ГБ) - из множества реализуемых действий (реализуемым некоторой системой стимулирования действием АЭ называется такое его допустимое действие, на котором достигается максимум его целевой функции) .P() = Arg f(y, ) активный элемент выбирает действия, наиболее благоприятные для центра.

Последовательность функционирования следующая: центр сообщает АЭ функцию стимулирования, после чего АЭ при известной функции стимулирования выбирает свое действие. Следовательно, задача центра заключается в выборе такой допустимой системы стимулирования, которая минимизировала бы значение его целевой функции при условии, что АЭ выбирает допустимое действие, максимизирующее его собственную целевую функцию:

. (10)

Задача (10) является игрой типа Г₂ (в терминологии теории иерархических игр) и может рассматриваться как детерминированная задача стимулирования второго рода (в терминологии теории активных систем). В теории активных систем существует семейство теорем, дающих оптимальное решение задачи стимулирования в различных моделях АС. Поэтому (11) может рассматриваться как результат применения этой общей методологии к конкретной модели оперативного управления продолжительностью проекта. Ее решение дается следующим выражением: оптимальное решение ^*(y) задачи (10) имеет вид:

^*(y) = , (11)

где оптимальное действие АЭ y^* определяется следующим выражением:

y^* = arg [с(y) + (T - T₀ - y)]. (12)

Обозначим = c' -¹(₀), где c' -¹() - функция, обратная производной функции затрат АЭ. Тогда оптимальное решение задачи (10) можно записать в виде:

y^*() = . (13)

Содержательно, в случае линейных штрафов центру не обязательно знать «точную» оценку реального времени T завершения проекта (неизвестного и приближенно оцениваемого в ходе его реализации), если оптимистичная оценка задержки T - T₀ времени завершения проекта превышает величину , которая зависит от внешних штрафов и функции затрат АЭ, то оптимальное с точки зрения внешних выплат центра сокращение продолжительности проекта «не зависит» от оценки будущей его продолжительности.

Итак, мы рассмотрели задачу оптимизации продолжительности проекта за счет использования механизмов стимулирования в одноэлементной активной системе. Перейдем к описанию многоэлементного случая.

Пусть имеется многоэлементная АС с n 1 активными элементами, каждый из которых отвечает за соответствующую операцию (комплекс которых и составляет проект) и может сокращать ее продолжительность, независимо от продолжительности других операций. Обозначим y_i 0 - время сокращения i-ой операции, i I, где I = {1, 2, …, n} - множество АЭ, c_i(y) - затраты i-го АЭ, зависящие в общем случае от действий y = (y₁, y₂, …, y₃) всех АЭ.

Время сокращения продолжительности проекта T зависит от порядка выполнения и технологической связи операций и является функцией от сокращений каждой из операций (как критических, так и околокритических), то есть: T = Y(y). В зависимости от технологической взаимосвязи показателей операций возможны различные зависимости Y(). Например, если операции выполняются последовательно, то T = y_i, если параллельно, то T = y_i и т.д. Получили многоэлементную активную систему с сильно связанными элементами.

В силу принципа компенсации затрат и принципа декомпозиции игры агентов, получаем, что справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2. При использовании оптимальной системы стимулирования целевая функция центра имеет вид: ?(y) = (T - T₀ - Y(y)) + , а задача сокращения продолжительности проекта заключается в поиске такого допустимого вектора y действий АЭ, который минимизировал бы эту целевую функцию.

Задача ?(y) является стандартной задачей условной оптимизации.

Возможен и другой подход: вычислим минимальные затраты центра на стимулирование по сокращению продолжительности проекта на Y: (Y) = . Тогда задача управления, в силу результатов исследования систем с агрегированием информации, сведется к следующей:

(T - T₀ - Y) + (Y) .

В качестве ограничения множества допустимых действий АЭ может выступать, например, бюджетное ограничение: если фонд оперативного управления центра ограничен величиной R, то, очевидно, допустимыми будут такие действия, для которых имеет место: A' = {y | R}.

Итак, задача оперативного управления продолжительностью проекта в случае многоэлементной АС с сильно связанными АЭ сведена к задаче поиска оптимальных значений действий АЭ. Рассмотрев детерминированную модель, перейдем к рассмотрению задач оперативного управления продолжительностью проекта в условиях неопределенности.

В процессе расчетов центра с АЭ размер оплаты, получаемой АЭ, зависит от процента выполнения работ. В качестве «процента выполнения», в частности, могут выступать показатели освоенного объема.

Предположим, что сумма договора или стоимость работы или пакета работ по проекту согласована центром и АЭ и равна C. Шкалой оплаты называется кумулятивная зависимость размера вознаграждения (доли от стоимости договора с учетом дисконтирования), выплаченного центром АЭ, от процента выполнения. Обозначим через процент выполнения, через - процент от суммы C, выплаченный АЭ. Тогда шкалой будет зависимость (). Эта зависимость обладает следующими свойствами: функция () - неубывающая и непрерывная справа; [0;1] () [0; 1]; (1) = 1.

Если ввести зависимость () размера вознаграждения, получаемого АЭ (а не уже полученного за весь выполненный к рассматриваемому моменту времени объем работ) от процента выполнения, то, очевидно, что этот размер вознаграждения с точностью до мультипликативной константы (стоимости договора) совпадает со скоростью изменения уже полученных АЭ сумм, то есть, если () - кусочно-дифференцируемая функция, то

() = C , [0; 1]. (14)

Верно и обратное соотношение:

() = . (15)

Из выражений (14) и (15) следует, что на участках возрастания () функция () является «выпуклой», на участках убывания () функция () является «вогнутой», а в точке максимума () функция () имеет «перегиб». Кроме того, выполняется «условие нормировки»:

 = C. (16)

Известны следующие типовые решения, то есть типовые шкалы оплаты: равномерная оплата, при которой вознаграждение АЭ за каждую единицу процента выполнения одинаково; аккордная оплата, при которой вся сумма договора C выплачивается только в момент полного выполнения работ; -процентная предоплата ( [0; 1]), при которой сумма C выплачивается в момент начала работ, а сумма (1 - ) C - в момент полного завершения работ, и др. - любой определенной на отрезке [0; 1] измеримой функции соответствует некоторая шкала.

Рассмотрим динамику реализации одного проекта. Для простоты допустим, что действием АЭ является выбор интенсивности y 0, которая предполагается постоянной в ходе реализации проекта и характеризует затраты исполнителя в единицу времени. Если С 0 - объем работ по проекту (в денежном выражении, то есть, предполагается, что центр должен компенсировать АЭ все затраты, которые он несет, участвуя в реализации проекта), то, очевидно, что время T = T(y) завершения работ равно

T(y) = C / y. (17)

Если интенсивность постоянна, то объем v(t, ) работ, измеряемый затратами исполнителя, изменяется линейно: v(t, y) = y t, t [0; T].

Предположим, что предъявляемый АЭ результат реализации проекта совпадает с относительным объемом выполненных работ v(t, y) / C, то есть, центром наблюдается процент выполнения

(t, y) = y t / C. (18)

Имея шкалу () и зная зависимость (18) процента выполнения от времени, можно найти зависимость величины процента выполнения от интенсивности и времени:

(t, y) = ((t, y)) = (y t / C), (19)

и зависимость от интенсивности и времени размера вознаграждения, получаемого АЭ (см. выражение (14)).

Проводимый анализ пока что не учитывал аспекты риска. Под риском будем понимать возможные потери участников проекта (центра и АЭ).

Запишем целевую функцию (баланс) АЭ - разность между вознаграждением, полученным от центра, и затратами:

f(y, t) = [(y t / C) - y t / C] C. (20)

Запишем целевую функцию (баланс) центра:

(y, t) = [y t / C - (y t / C)] C. (21)

Так как исполнителю в итоге компенсируются все затраты (C = V), то будем считать, что он принимает решения, максимизируя минимальное (гарантированное по времени реализации проекта) значение своей целевой функции (21).

Обозначим множество интенсивностей, на которых достигается максимум гарантированного значения выражения (21) при заданной шкале

P(()) = Arg f(y, t). (22)

Пусть задано множество M допустимых (в рамках существующих институциональных ограничений) шкал. Тогда центр может искать шкалу, при которой время выполнения проекта будет минимально:

y , (23)

или шкалу, максимизирующую гарантированное значение его целевой функции (22), то есть - минимизирующую риск:

(y, t) . (24)

Пусть () - гладкая сигмо-образная функция, то есть имеет одну точку перегиба и '(0) = '(1) = 0. Обозначим t_min(y) t_max(y) - два решения уравнения

'(y t / C) = 1,

тогда t_min(y) и t_max(y) удовлетворяют условию

t(y) = ' ^-1(1) C / y. (25)

Обозначим

q = arg -f(y, t_min(y)). (26)

Величина q, определяемая выражением (39), характеризует максимальный риск АЭ. Обозначим

Q = arg -(y, t_max(y)). (27)

Величина Q, определяемая выражением (27), характеризует максимальный риск центра.

Обозначим _min - минимальный корень уравнения '() = 1, _max - максимальный корень этого уравнения.

Утверждение 3. Риски АЭ (26) и центра (27) не зависят от интенсивности, определяются только шкалой (): q = [_min - (_min)] C, Q = [(_max) - _max] C

Справедливость утверждения 3 следует из подстановки (с учетом введенных предположений) выражений (20), (21) и 25) в выражения (26) и (27).

Легко видеть, что, если линейная шкала является допустимой, то она является решением задачи (24) и обращает в ноль риск центра.

Пусть известны затраты c(y) на сокращение y 0 продолжительности проекта. Предположим, что имеются k центров, каждый из которых несет потери из-за того, что продолжительность проекта превышает плановую. Задача распределенного финансирования - согласования интересов центров - заключается в определении оптимального (индивидуально-рационального и согласованного) их участия в финансировании мероприятий по сокращению продолжительности.

Формализуем эту задачу. Пусть T₀ - плановое, T - ожидаемое (прогнозируемое) время завершения проекта. Сокращение продолжительности на y [0; T - T₀] единиц времени требует затрат c(y). Предположим, что известны потери l_i(t), t [T₀; T], i K = {1, 2, …, k} - множеству центров, каждого из k центров от превышения продолжительностью проекта планового значения. Если l_i(t) - непрерывные возрастающие функции и l_i(T₀) = 0, i K, то можно определить H_i(y) = l_i(T) - l_i(T - y), i K, - функции выигрыша центров, которые являются непрерывными, возрастающими при y [0; T - T₀] и удовлетворяют следующему условию:

H_i(0) = 0, i K. (28)

Пусть центры должны придти к согласию относительно сокращения x [0; T - T₀] продолжительности проекта и решить, каков будет вклад _i, i K, каждого из них в финансирование соответствующих мероприятий.

Фиксируем x [0; T - T₀]. Суммарное финансирование со стороны центров должно равняться затратам c(x) 0, то есть:

= c(x). (29)

Каждый из центров, очевидно, будет готов заплатить за сокращение продолжительности проекта величину _i, как минимум, не превосходящую своего выигрыша от этого сокращения. Кроме того, взнос каждого из центров должен быть неотрицателен (отрицательный взнос означает дотацию тем центрам, которым выгодно "затягивать" окончание проекта, а такие ситуации мы не рассматриваем). Таким образом, имеем систему ограничений:

_i [0; H_i(x)], i K. (30)

Обозначим = (₁, ₂, …, _k), S - множество таких сокращений продолжительности проекта, которые удовлетворяют (29) и (30), то есть

S = {x [0; T - T₀] | 0: _i [0; H_i(x)], i K, = c(x)}. (31)

Пусть c() - непрерывная функция и c(0) = 0.

По аналогии с результатами, полученными в, можно показать, что (31) содержит точку, отличную от нуля, тогда и только тогда, когда

[ - c(y)] 0. (32)

Обозначим x* = arg [ - c(y)]. (33)

= {_i [0; H_i(x^*)], i K | = c(x^*)}. (34)

Если множество (34) содержит более одной точки, то для определения индивидуальных взносов центров можно использовать те или иные механизмы принятия решений. Проиллюстрируем возможные варианты на примере.

Утверждение 5. Если функции дохода центров линейны: H_i(y) = _i y, i K, а функция затрат выпукла, то в механизме распределенного финансирования принцип равных рентабельностей эквивалентен принципу распределения затрат пропорционально эффекту.

Из выражения (33) можно получить следующую оценку минимального числа k_min однородных субъектов (_i = , i K), заинтересованных в сокращении продолжительности проекта, при котором оптимальным будет финансирование, приводящее к полной ликвидации отставания относительно плана (x^* = T - T₀):

k_min c'(T- T₀) / .

Классическая постановка задачи управления социально-экономическими системами подразумевает нахождение наилучшего допустимого решения, то есть оптимального решения, для каждой из возможных ситуаций. Однако, если множество возможных ситуаций велико, или сменяются они достаточно быстро, или затраты на точную идентификацию ситуации высоки, то возникает желание использовать пусть не оптимальные, но рациональные и простые управленческие решения.

Понятно, что априорное ограничение класса возможных управлений, с одной стороны снижает гарантированную эффективность управления, а с другой стороны - позволяет уменьшить информационную нагрузку на руководителя проекта и дать ему возможность максимально использовать в новой ситуации, как свой собственный опыт, так и опыт реализации проектов, накопленный другими руководителями проектов.

Поэтому одной из основ систематизации опыта является выделение типовых ситуаций и управленческих решений, оптимальных (или рациональных) в этих ситуациях. Так как число возможных ситуаций огромно, то «запоминание» всех ситуаций невозможно, да и нецелесообразно - следует выделять множества «похожих» ситуаций и использовать одинаковые решения для ситуаций из одного и того же множества. В теории управления такой подход получил название «унифицированного управления», а соответствующие управленческие решения - «типовых решений». В проектах, в силу их специфики (каждый проект уникален), проблема унификации управления обретает еще большую значимость.

В качестве иллюстрации рассмотрим следующую модель. Пусть состояние y проекта в процессе его реализации может принимать значения из множества Y. Предположим, что задана эффективность K(u, y) управления u U в ситуации y, и решение u^*(y) задачи синтеза оптимального управления известно:

u^*(y) = arg K(u, y). (35)

Обозначим гарантированную эффективность управления

K^* = K(u^*(y), y). (36)

Пусть имеется заданное экспертно разбиение (Y₁, Y₂, …, Y_n) множества Y на n 1 подмножеств - возможных типовых ситуаций. Найдем набор типовых решений (u₁, u₂, …, u_n), каждое из которых оптимально в соответствующей ситуации:

u_i = arg K(u, y), i = . (37)

Вычислим G(n) - гарантированную эффективность типовых решений в зависимости от числа n типовых ситуаций:

G(n) = K(u_i, y). (38)

Пусть заданы затраты c(n) на разработку типовых решений, где c() - возрастающая функция, тогда задача поиска оптимального числа типовых решений примет вид:

G(n) - c(n) . (39)

Обозначим решение этой задачи

n^* = arg [G(n) - c(n)]. (40)

Величина

= (41)

может рассматриваться как характеристика относительных потерь эффективности, вызванных использованием типовых решений с учетом затрат на их разработку (отметим, что при вычислении величины (36) мы не учитывали затраты на решение задачи управления).

Рассмотрим частный случай. Пусть стоимость разработки одного решения постоянна и равна c₀. Предположим также, что: Y - отрезок действительной оси, то есть Y = [b - a], a b ¹, а экспертное разбиение является равномерным. Обозначим = b - a, _n = / n. Для простоты допустим, что эффективность оптимального управления в любой ситуации постоянна и равна единице, то есть y Y K(u^*(y), y) = 1, а G(n) = g(_n) = g( / n), где g() 1 - известная убывающая функция своего аргумента.

Задача (38) в рамках принятых предположений примет вид:

g( / n) - c₀ n , (42)

а показатель (41) будет равен

 = 1 - g( / n^*), (43)

где, в соответствии с (40), оптимальное число типовых решений равно

n^* = arg [g( / n) - c₀ n]. (44)

Таким образом, мы доказали справедливость следующего утверждения.

Утверждение 6. В рамках введенных предположений выражения (42)-(44) дают оптимальное решение задачи определения числа типовых решений с учетом затрат на их разработку.

В третьей главе рассматривается так называемая задача о точках контроля, которая заключается в следующем. Конечно, с точки зрения центра - руководителя проекта - идеалом является постоянный мониторинг за ходом реализации проекта и получение исчерпывающей информации в реальном режиме времени. Однако, мониторинг (получение и обработка информации) требуют определенных затрат (даже при развитой информационной системе управления проектами), поэтому с точки зрения минимизации затрат на управление центру хотелось бы осуществлять контроль как можно реже. С другой стороны, не получив вовремя информацию об отклонениях от плана, центр может не успеть вовремя принять решение о необходимости компенсирующих воздействий и в результате этого понести потери. Следовательно, возникает задача о выборе моментов времени (точках контроля), в которые получается информация о состоянии проекта. Совокупность этих моментов времени должна определять рациональный баланс между затратами на управление (мониторинг) и потерями в случае задержек в принятии решений.