Размещено на http://www.allbest.ru/

Дніпродзержинський державний технічний університет

Кафедра екології та охорони навколишнього середовища

Конспект лекцій

з дисципліни «Моделювання і прогнозування стану довкілля»

для студентів напряму6.040106 «Екологія, охорона навколишнього середовища та збалансоване природокористування»

О.В. Зберовський

Тема 1. Модельный подход к объектам окружающей среды

1.1 Объекты окружающей среды, наблюдение за ними и общие подходы к их моделированию

Окружающая среда - совокупность, на данный момент, физических, химических, биологических и социальных факторов, способных оказывать прямое или косвенное воздействие на живые существа и деятельность человека.

Управление состоянием окружающей среды невозможно без знания конкретных ее объектов и законов, которым они подчиняются.

Основные объекты, подпадающие под понятие окружающая среда:

Природа - в широком смысле - Вселенная, в узком - животный мир и неживая материя Земли, в которой живет и работает человек.

Природная среда - экосфера : литосфера, гидросфера, атмосфера (иногда добавляют и биосферу).Подчеркнутые компоненты - неживые.

Биосфера - сфера жизни - область обитания живых организмов (нижняя часть атмосферы до 12 - 15 км, водная среда, недра до 2 - 3км, как былые биосферы).

Биоценоз (геобиоценоз) - совокупность популяций, растений, животных и микроорганизмов, проживающих на определенной территории.

Биоценоз включает: продуценты (растения); консументы (травоядные и хищники); редуценты (микроорганизмы и грибы).

Экосистема - совокупность живых и неживых компонентов на определенном участке природной среды.

Антропогенный фактор - природопреобразующая деятельность человека.

Основные законы экологии.

1. Закон всеобщей взаимосвязанности (все зависит от всех по установившимся цепям).

2. Закон всеобщей сбалансированности (в природе не накапливаются отходы).

3. Закон естественной целесообразности всего живого (природа знает лучше человека).

4. В природе ничего не дается даром, не проходит бесследно, не может быть улучшено, выиграно, изъято или потеряно.

Кроме того, природные объекты подчиняются всем законам физики и химии, причем для моделирования важны законы сохранения энергии, массы, количества движения, тепла, излучения и т.п.

Примеры, подкрепляющие рассмотренные законы.

Цепь Дарвина: - красный клевер (его обилие в Англии объясняется обилием шмелей), - шмели (только они способны опылять глубокие трубчатые цветы клевера), - мыши-полевки (кормятся личинками и куколками шмелей), -кошки (вблизи поселков поедают полевок, способствуя росту количества шмелей, а потому и количеству клевера). Один немецкий ученый рассмотрел смежную цепь: клевер, - крупный рогатый скот (клевер - основной корм скота), британский флот (говядина - основная пища моряков) и констатировал, что кошки - залог могущества Британии. Томас Хаксли полушутя на основе приведенных связей построил цепь: старые девы (любители кошек), - британское могущество, которое экологически вытекает из “кошколюбия” старушек.

Глобальная замкнутая цепь: - солнечная энергия, - зеленые растения или продуценты, которые усваивают примерно 1% солнечной энергии, - травоядные или первичные потребители растительной массы с заключенной в ней солнечной энергией (первичные консументы), - хищники (вторичные консументы, получающие энергию из вторых рук), - стервятники, питающиеся падалью (подохшими хищниками), - бактерии и грибы, которые разлагают трупы на простые вещества, необходимые растениям (редуценты), замыкающие цепь через биогенные вещества (биогены), содержащиеся в почве, воде, воздухе.

Упрощенно модель взаимодействия указанных компонентов можно представить в виде блоков, где стрелками указаны потоки вещества или энергии (рис. 1.1.)

Рис. 1.1 - Структурная схема глобальной замкнутой цепи

В задачи ее моделирования как раз и входит построение зависимостей, определяющих конкретные значения упомянутых потоков вещества и энергии или их динамики.

1.2 Источники информации для моделирования и прогнозирования

Основным источником информации об окружающей среде является мониторинг (рис. 1.2).

Мониторинг - система наблюдений, позволяющая выделить изменения состояния биосферы под влиянием человеческой деятельности.



А

Рис. 1.2 - Место мониторинга в управлении природной средой: Б - биосфера; А - антропогенный фактор; М - мониторинг; Э - экономика; Н - наука

Рассмотрим структуру мониторинга.

Рис. 1.3. Структурная схема мониторинга

1 - прямая связь (прогноз базируется на наблюдении и для него необходимо: знать закономерности изменения среды, иметь схему прогноза, знать возможности численного роста популяций или других компонентов);

2 - обратная связь (направленность прогноза определяет структуру и состав наблюдательной сети);

3,4 - оценка - это определение ущерба от воздействий, выбор оптимальных условий для человеческой деятельности, определение соответствующих резервов, после чего проводится регулирование качества среды. (Пунктиром помечены другие возможные обратные связи, влияющие на методику и характер наблюдений).

1.3 Пример построения модели

Объект - твердые достаточно крупные частицы, попавшие в атмосферу.

Задача - смоделировать движение частиц в атмосфере.

Будем считать для простоты, что на выброшенные в атмосферу частицы с какого-то момента действует только сила тяжести по закону всемирного тяготения:

,

где m и M - массы частицы и Земли;

R - расстояние между центрами их масс;

G - гравитационная постоянная.

Под действием этой силы частица будет двигаться согласно закону Ньютона:

,

где а - ускорение.

Эти два закона определяют простейшую модель падения частицы, которую можно получить в виде:

.

Здесь h(t) - высота частицы в любой момент времени;

Н - начальная высота падения;

v - скорость,

а g - ускорение свободного падения.

Модель позволяет установить положение и скорость частицы в любой момент времени и когда она упадет на земную поверхность. Очевидно, что модель не учитывает сопротивление воздуха и других факторов, специфичных для атмосферных частиц, поэтому модель можно уточнить, с использованием закономерностей аэродинамики, коагуляции, электростатики и представить, к тому же, в виде дифференциальных уравнений или их интегралов, что обычно и делают для прогноза движения загрязнения, например в атмосфере (см. раздел 10).

Тема 2. Сущность моделирования

2.1 Основные понятия и определения

Моделирование - опосредованное оперирование с объектом с целью получения его характеристик или отбор из множества мыслимых движений объекта, которые могут быть реализованы.

Процесс моделирования можно представить схематически (рис.2.1.)

Рис.2.1. Схема процесса моделирования

Объект - агрегат (особь, популяция), процесс (углеродный цикл), система (биогеоценоз).

Модель - объект любой природы, способный заменить или отобразить реальный.

Метод исследования - порядок (алгоритм) преобразования входных параметров модели до получения требуемого результата.

Анализ результата - проверка совпадения полученных на модели параметров с реальными (если нет необходимого совпадения, то включают обратные связи для уточнения метода, модели или более детального обследования объекта).

Принятие решения - процедура выбора оптимального решения поставленной задачи: проектирования, управления или планирования (прогнозирования).

2.2 Формы представления моделей

Выделяют три формы моделей: мысленную, физическую и математическую.

Мысленная модель - это образец объекта или программы поведения, которыми оперирует человек без дополнительных средств. Такая модель существует в нашем воображении, когда мы принимаем решения. Модель, как правило, - неточная.

Физическая модель - объект такой же или иной физической природы, измененный согласно критериям подобия. Согласно теории подобия подобны те объекты, у которых подобны критерии, например - критерий Рейнольдса:

Re=vd/w,

связывающий характерный размер объекта d со скоростью v и вязкостью w набегающего на объект потока в аэродинамике.

Примеры.

1. Вентиляционные сети шахт при определении параметров вентиляции можно представить аэродинамической, гидравлической или электрической моделями.

2. Объект природы в районе Рижского залива и устья Невы для предотвращения паводков моделировался гидравлической моделью в масштабе 1:2000.

3. Заводскую трубу (не типовую) перед постройкой изготавливают в уменьшенном размере, а полученную геометрическую модель продувают на аэродинамическом стенде для оценки устойчивости трубы к воздействию ветра.

Математическая модель - совокупность аналитических формул, которые определяют взаимосвязь между входными и выходными параметрами объекта с учетом воздействий и цели моделирования. Базируется на известных законах и представляется в виде математических выражений и исследуется соответствующими математическими методами. При этом ЭВМ повышает производительность исследований на таких моделях

2.3 Принципы моделирования объектов экологии

1. Концептуальность - основа моделирования, которая предусматривает следующие этапы:

- выявление основных элементов модели;

- предмоделирование с выработкой концепции (физического представления об объекте моделирования);

- абстрагирование.

2. Обеспечение необходимой полноты описания, которая зависит от цели моделирования согласно выработанной концепции.

3. Развитие (обеспечивается блочностью модели).

4. Соблюдение иерархии (глобальная модель, подмодели).

5. Системный подход, заключающийся в рассмотрении всех элементов объекта во взаимной связи и несводимости сложного к простому, а общего к частному.

Применительно к биогеоценозу (БГЦ) системный подход при моделировании предусматривает построение структурно-функциональной схемы БГЦ, как совокупности явлений в единстве. При этом:

- каждый БГЦ рассматривается как система, состоящая из блоков;

- в каждом блоке есть запасы субстанции;

- существуют субстанции, перетекающие из одного блока в другой.

6. Этапность моделирования:

- составление предварительной схемы явления;

- выявление основных компонентов и факторов;

- построение модели, ее анализ, проверка адекватности.

К особенностям моделирования экосистем следует отнести:

1. Сложность строения каждой особи и всей экосистемы (Трудно выделить необходимые блоки модели так как экосистема - объект, базирующийся на законах химии, геологии, географии, биологии, социальной экономики или рационального природопользования).

2. Полифакториальность внешней среды (на экосистему оказывают воздействие десятки различных факторов, как природных, так и антропогенных).

3. Незамкнутость в энергетическом, структурном и информационном смыслах.

4. Существенные нелинейности.

Следствия этих особенностей проявляются в структурах моделей.

Модели экологии в большей части: многомерны (векторы параметров на входе и выходе); многопараметричны (каждая выходная величина зависит от многих факторов);требуют совместного рассмотрения биосистемы и внешней среды; в них преобладают экспоненциальные нелинейности, например вида y=ae^x, y=a(1 - e^x) и т.п.

2.4 Преимущества модельного подхода

Основные преимущества моделирования перед непосредственным экспериментированием с реальным объекте - следующие:

1. Возможность использования различных масштабов, в частности масштаба времени.

2. Относительно низкая стоимость и удобство пользования.

3. Возможность создания ситуаций, которые недопустимы в реальной экосистеме.

Тема 3. Линейные модели в экологии

3.1 Примеры линейных объектов и моделей

Множество объектов можно представить моделями в виде уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами вида

,

где x - входные воздействия;

y - выходные величины.

Простейшим примером такой модели может служить модель измерителей содержания различных веществ в воздухе или воде:

,

где c - концентрация контролируемого вещества;

k - крутизна характеристики или коэффициент преобразования;

u и u₀ - уровень выходного сигнала и его начальное смещение, соответственно.

Приведенная модель дает информацию об изменении уровня выходного сигнала прибора при изменении концентрации вещества в контролируемой. среде. Это по сути - тарировочный график прибора или «номинальная функция преобразования» (рис.3.1).



Рис. 3.1. Типовой тарировочный график приборов для контроля параметров окружающей среды

Похожая модель описывает соотношение между количеством годовых осадков w, мм/год и массой m, т/га растительного материала в засушливой зоне (рис.3.2), которое можно представить линейным уравнением общего вида m=kw - m₀ или конкретным: m=10w - 600.

Рис 3.2. Рост растительной массы от увлажнения

Эта несложная модель позволяет прогнозировать засуху, которая, согласно модели ожидается при осадках 60 мм/год.

Есть модели, которые можно отнести и к линейным, и к нелинейным в зависимости от выбранного параметра модели, например, модель учета плотности населения птиц D, шт./м² по данным маршрутных учетов, которая представляется формулой Хейна (1949 г.):

,

где n - номер обнаруженной птицы при обходе по маршруту;

L - длина маршрута, м;

r_i - радиальное расстояние до птицы по перпендикуляру к направлению маршрута, м.

Эта модель дает линейно возрастающее значение плотности населения от числа обнаруженных птиц - n (при фиксированных параметрах L и r) и обратно пропорциональную (гиперболическую) зависимость от L и r.

Существуют линейные модели и с несколькими входными параметрами вида

.

Примером такой модели может служить зависимость годового объема осадков в пруду-отстойнике. Для ее построения используем типовую схему очистки шахтной воды (рис.3.3) с использованием упомянутого пруда-отстойника, согласно которой по экономическим соображениям часть общего дебита шахтной воды направляют непосредственно в пруд для отстаивания, а часть предварительно фильтруют. По мере осветления воды в пруду образуется осадок, объем которого V, м³ желательно прогнозировать.

Рис. 3.3 Схема очистки шахтной воды с использованием пруда - отстойника

Эта схема позволяет построить математическую модель отстойника, описывающую зависимость годового объема осадка в нем от объемов поступающей шахтной воды и концентрации загрязнителей:

где - Си, Со, Сф, - соответственно концентрации веществ в исходящей, осветленной и профильтрованной воде, которые на период между контрольными замерами можно считать постоянными;

Q₁ - объем воды, поступающей на очистку в пруд, м³/сут.;

Q₂ - объем поступающей воды, проходящий фильтрование, м³/сут.;

- концентрация твердой фазы осадка после длительного уплотнения, г/м³.

Очевидно что модель линейна по параметрам Q₁ и Q₂ при постоянных других.

3.2 Постановка задачи моделирования объекта экологии в виде системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Задача построения многомерной модели в виде систем линейных уравнений чаще встречаются в экономико- экологическом анализе, но может быть сформулирована и в терминах экологической задачи, связанной с выбросами, которая носит демонстрационный характер.

Постановка задачи: Концентрация (), мг/м³ вредных веществ, например - ₁ (соли), - ₂ (твердых частиц), - ₃ (нефтопродуктов) и так далее до у водозборном колекторе, куда поступает загрязненная вода из разных преддприятий, пропорциональна суммарным ввыбросам этих веществ ппредприятиями - ₁, ₂, ₃,…_m, г/с, которые оцениваются ежедневно.

Пусть зависимость эта задана моделью в виде системы линейных уравнений

;

при ,

где q_ij - объемная скорость выброса j-го вещества i-м i-ым предприятием, м³/с.

Требуется. Определить значения концентрации С_j для заданного значения вектора выбросов P_i.

Произведение скорости выброса на концентрацию дает долю каждого вещества в выбросе данного предприятия, а сумма долей должна составить полный выброс.

Очевидно, что задача в такой постановке сводится к решению системы линейных уравнений, т.е. к нахождению корней системы, которые могут быть получены известными методами, например Крамера по схеме Гаусса или Жордана - Гаусса. с построением соответствующих таблиц. Два последних метода позволяют решать систему одновременно для нескольких векторов свободных членов (в нашей постановке - нескольких векторов выбросов, которые, например, регистрируются ежедневно в течении недели).

Кратко остановимся на сущности метода решения системы линейных алгебраических уравнений в матрично-векторной форме.

Пусть дана СЛАУ в матрично-векторной форме .

Ее решение представляется вектором корней , который вычисляется по формуле

,

то есть определяются умножением обратной матрицы коэффициентов на вектор свободных членов системы.

Обращение исходной матрицы коэффициентов осуществляется по формуле

,

где - детерминант или определитель матрицы;

- транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Правильность выполненных преобразований проверяют путем умножения исходной матрицы на обратную, в результате чего должна быть полученная единичная матрица, то есть

,

где .

Проверка правильности найденных корней определяется вычислением разности между левой и правой частями уравнения путем подстановки полученных корней в исходное уравнение :

.

Корни удовлетворяют уравнению системы, если разность между левой и правой частями уравнения равна или близка нулю.

Тема 4. Классификация математических моделей и их параметров

4.1 Цель и принципы классификации

Рис.4.1-Классификация моделей

Цель классификации - оптимизация процесса моделирования. Известны разные подходы.

Остановимся на наиболее универсальной - обобщенной классификации математических моделей.

Очевидно, что все математические модели можно разделить на линейные или нелинейные в зависимости от характера зависимостей между входными и выходными величинами. В экологии большинство объектов не линейно, однако часть из них можно линеаризовать или считать линейными в некотором диапазоне изменения параметров.

Далее , согласно рисунку, идет блок моделей, который можно часто встретить в литературе по моделированию. Рассмотрим их.

Описательные или дескриптивные модели обеспечивают получение характеристик объекта при разных режимах параметров и условиях внешней среды и имеют вид:

B=f(A),

где А - входной параметр,

В - выходной.

(Примеры, упомянутые в главе 3: 1 - Модель плотности населения птиц по данным маршрутных учетов. 2 - Продуктивность растений от величины осадков в засушливой зоне. 3 - Годовой объем осадка в пруду - отстойнике и т.п.).

Оптимизационные направлены на получение наилучшего, согласно цели, решения или экстремальных значений объекта, при этом B=f(A) - > min (max); (Примером такой модели может быть опасная скорость ветра, при которой достигается наибольшая концентрация загрязняющего вещества в атмосфере вблизи его источника. Оптимизация возможна для описательных моделей, имеющих в функциях локальные или глобальные экстремумы либо на границах значений параметров)

Детерминированные модели имеют вид, структуру или коэффициенты, которые однозначно определены, так, функция B=f(A) может быть, например, степенной как в модели Магнуса для определения давления насыщенного водяного пара в зависимости от температуры

Е = Е_о 10^{at/ (b +t)},

где a = 7,6326,

b = 241,9 при испарении над поверхностью чистой воды и, соответственно, 9,5 и 265,5 - надо льдом.

(Характерно, что согласно рассматриваемой классификации эта модель является и описательной.).

Стохастические - используются для исследований объектов, поведение которых случайно, т.е. имеет вероятностный характер. Для таких моделей, если Aa, то Bb, т.е. параметры не определенны, хотя статистические характеристики их могут быть вполне детерминированы.

Примечание: Некоторые исследователи делят все модели экологии либо на стохастическими либо на дифференциальные, приводя дальнейшее деление, согласно цели моделирования, сводя в один класс модели разного математического вида, но направленные на решение одной задачи.

Статические модели имеют постоянные во времени t параметры, т.е.

B=f(A)

при t, изменяющемся от 0 до .

Динамические модели учитывают фактор времени, который входит в состав функций, которые определяют параметры объекта, т.е.

B=f(A,t)

Примеры: дифференциальные модели по фактору времени; модели динамики численности; суточный или годовой ход метеофакторов и т.п.

Пользуясь предложенной схемой можно классифицировать все объекты в выделенном пунктире блоке по шести признакам в трех уровнях.

Кроме того, классификацию можно дополнить указанием характера наблюдаемых переменных: непрерывные или дискретные (характерно, что непрерывные величины всегда можно дискретизировать с учетом частотного спектра непрерывной величины, чтобы исключить потерю информации) . Есть чисто дискретные модели по самой природе объекта, например, упоминавшаяся дискретная модели динамики численности. Это реккурентные модели, выходные величины которых определяются числовым значением, характеризующим предыдущее состояние объекта.

4.2 Параметры модели

Независимо от физической сущности объектов их математические модели характеризуются одинаковыми группами параметров или воздействий.

Рис.4.2. Схематическое представление параметров или воздействий на объект

Здесь X - управляющие воздействия. Y - входные контролируемые параметры. Z - возмущающие воздействия. В экологии - это природные или антропогенные факторы. U - выходные параметры (величины) или эффекты от воздействия факторов.

Управляющие воздействия (Х) - это такие сигналы, которые изменяются по определенному закону и приводят объект в определенное состояние иными словами, преднамеренные (антропогенные) воздействия.

Примеры:

1. Санкционированные выбросы в атмосферу или сток веществ с определенной концентрацией.

2. Озонирование или хлорирования воды с заданной интенсивностью.

3. Размер платы за загрязнение, штрафы.

Входные контролируемые параметры (Y) - это такие воздействия, значения которых контролируют с помощью измерительных приборов или лабораторных анализов.

Возмущающие воздействия - это действия, время и место приложения которых не определены и не контролируются. Иногда неизвестны только средние значения этих воздействий или степень их колебаний. Именно так воздействуют природные факторы. Антропогенные факторы тоже подвержены случайным изменениям. Тогда из группы X или Y их следует перевести в группу Z.

Выходные величины - (U) - это величины, которые определяют состояние объекта под воздействием внешних факторов. К выходным величинам относят эффекты возникающие в объекте или другие показатели состояния, например, эколого-экономические показатели экосистемы или технико-экономические природо - промышленного комплекса.

Примеры: Эффективность пылеулавливающей установки (рукавного фильтра, циклона). Степень очистки или обеззараживания питьевой воды на водоподающей станции.

4.3 Анализ факторов, действующих в экосистемах

Компоненты экосферы (природной среды) находятся в подвижном равновесии под действием 6-ти глобальных факторов:

1 - солнечная радиация;

2 - силы гравитации;

3 - тектонические процессы;

4 - химическая энергия окислительно-восстановительных процессов;

5 - энергия биологических процессов;

6 - энергия мирового производства (удваивается через 14 - 15 лет).

Рост энергии мирового производства можно представить динамической моделью вида:

,

где E₁ и E₂ - соответственно, энергия мирового производства в момент, принятый за начало отсчета, и любой последующий,

- показатель роста мирового производства ;

t - число лет с начала отсчета.(с учетом удвоения мирового производства за 14,5 лет модель идентифицируется выражением .

Глобальные факторы можно разделить на два вида, а именно:

- эволюционные изменения в природе;

- факторы, связанные с деятельностью человека.

Естественные эволюционные изменения протекают медленно и, как правило, колеблются вокруг средних значений (солнечная постоянная имеет отклонение 3%, атмосферное давление, температура и влажность воздуха, прирост растительной и животной биомассы в регионе и т.п. практически мало меняются в годовом ходе). Поэтому, если нет катаклизмов, крупные экосистемы устойчивы сотни, тысячи и миллионы лет.

Природопреобразующая же деятельность человека или антропогенные факторы способны привести к изменениям в природе за десятки лет (глобальный фактор - 6), поэтому равновесие может быть нарушено. (промышленное производство удваивается каждые 14 - 15 лет).

4.4 Классификация антропогенных факторов и загрязнения

Основные антропогенные факторы, влияющие на ОС и человека.

Это:

- выбросы химически и физически активных веществ (агрессивные газы, пары, жидкости, ПАВ, чистые хим. элементы и их соединения);

- выбросы инертного материала (пыль и другие неактивные аэрозоли);

- прямой нагрев биосферы (отопительные системы, автомобильные и другие двигатели, выбросы горячих газов и воды);

- физические воздействия, ведущие к изменениям поверхности суши (вспашка, урбанизация, пожары, горные работы);

- биологические воздействия (развитие агроценозов, разведение скота);

- изъятие и уничтожение ресурсов;

- антропогенно упорядоченные потоки вещества (ж.д. транспорт, шоссейные дороги, водный транспорт по линиям).

4.5 Эффекты, возникающие от воздействия антропогенных факторов

Антропогенные факторы влияют, во - первых, на биосферу, а во - вторых, на здоровье и благосостояние населения.

Влияние на биосферу можно рассматривать в трех направлениях.

1. Изменение состава, свойств и состояния основных элементов биосферы, а именно:

- атмосферы (загрязнения, электропроводность, радиационный фон);

- вод суши (загрязнения, минерализация);

- Мирового океана;

- биоты;

- литосферы (механические нарушения, накопление отходов);

- криосферы (состава льда);

- поверхности суши и почвы (кислотность, радиационные параметры);

2. Геофизические и геохимические последствия:

- изменения циркуляции в атмосфере, а с ними погоды и климата;

- перераспределение невозобновимых ресурсов (водных, климатических);

- нарушение озонового слоя;

- изменение прозрачности атмосферы;

- эрозия земной поверхности и изменения ее альбедо;

- нарушения геохимических циклов химических веществ и элементов (особенно углекислого газа, азота и кислорода).

3. Экологические и биологические последствия:

- изменения земных и водных экосистем, нарушение их устойчивости;

- генетические эффекты, перерождение;

- падение продуктивности;

- деградация почв, опустынивание;

- снижение темпов воспроизводимости ресурсов;

- изменение характера эволюции.

Влияние на здоровье и благосостояние человека можно тоже рассматривать по двум направлениям, - как влияние непосредственно на человеческую популяцию и, - как влияние на общество в целом т.е. социальные последствия.

Эффекты воздействия на человека:

- понижение работоспособности:

- эстетический ущерб, ухудшение настроения;

- болезни, стрессы;

- генетические эффекты;

- изменение продолжительности жизни;

- уменьшение численности.

Социальные последствия:

- изменение производства продуктов питания, недоедание, голод;

- изменение структуры энергопотребления;

- изменение экономики;

- ущерб благосостоянию, нарушения в развитии общества.

Очевидно, что количественное описание приведенных воздействий и эффектов - не простая зада, но она должна решаться при математическом моделировании.

Тема 5. Нелинейные модели

5.1 Экспоненциальные нелинейности и гомеостатичность объектов природной среды

модель экология окружающий среда линейный

Как отмечалось, большинство объектов природной среды - нелинейны. Причем преобладают экспоненциальные нелинейности. Экспоненциальность - это результат “давления” среды, поскольку на всякое возмущение среда отвечает противодействием, приводящим ее в стабильное состояние на новом уровне или возврату в исходное состояние. Иными словами проявляется гомеостатичность природных объектов. (Если не нарушен гомеостаз, популяции организмов стабилизируются на новом уровне, если нарушены биохимические процессы, то появляются новые экосистемы, например, изменение гидрорежима вблизи шахт приводят к изменениям животного мира; вместо леса - болото, кустарники).

Гомеостатичность - это стабильность при изменении условий и параметров среды. Она является результатом обратных связей в биосфере и имеет границы т.е. критические значения параметров окружающей среды.

Цель поведения объектов живой природы - удалиться от границ гомеостаза. Примечательно, что эволюция - это процесс, направленный на расширение границ гомеостаза.

Для анализа состояния экосистемы и ее гомеостаза вводят функцию:

,

где R - интересующий параметр среды (количество биомассы, продуктивность, скорость обмена и т.п.);

t - время.

Если эту функцию проинтегрировать по параметру R, получим интегральную функцию состояния экосистемы:

.

Примеры этой функции: - временной (часовой суточный, годовой, многолетний) ход температуры, концентрации различных веществ, количество влаги , масса животных, запыленность и т.п. в данном регионе.

Эту функцию можно представить в виде временных графиков или диаграмм.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.5.1. График возможных состояний экосистемы:

1-7 - критические пределы;

2-6 - допустимые пределы;

3 - функция при антропогенном воздействии;

4-5 - возбужденное и нормальное состояние, соответственно;

8 - опасная ситуация).

Допустимые - это отклонения, которые ликвидируются самой системой, т.е. - это границы гомеостаза (характеризуют толерантность системы).

Критические отклонения ведут к разрушению экосистем (содержание бора в организме выше или ниже определенного уровня приводит к гибели; аналогично концентрация ДДТ в живых клетках не может превышать максимально допустимого и т.д.)

Минимальная разность между предельным и фактическим состоянием экосистемы на заданном отрезке времени определяет ее резерв.

Выход экосистемы за допустимые пределы приводит к образованию новой, которая может оказаться непригодной для человека. При этом климат усиливает или ослабляет чувствительность экосистемы к антропогенным воздействиям.

По своей сути функция состояния экосистемы - это модель регионального объекта, которую получают по данным мониторинга. Чаще всего она имеет циклический характер, т.е. практически всегда нелинейная.

5.2 Нелинейные модели объектов природной среды

Наиболее простые модели можно представить в виде нелинейного уравнения c одной переменной вида:

.

Пример 1. Модель изменения концентрации пыли по мере удаления от ее наземного источника имеет вид:

,

где c₀ - концентрация пыли у источника;

- коэффициент затухания (падения) концентрации, который, например, для угольной пыли при скорости потока воздуха 1.5 м/с составляет примерно 0,016 1/м; - расстояние от источника пыли.

Рис.5.2 - Типовой график изменения концентрации пыли

Пример 2. Модель, которая устанавливает связь количества растворенного в воде бикарбоната и содержание углекислого газа имеет вид, которой представлен графиком.

Рис.5.3 - Связь содержания бикарбоната в воде с концентрацией углекислого газа

Эта простая модель описывает важный процесс, происходящий в Мировом океане. Определив концентрации СО₂, получают содержание бикарбонатов и наоборот. Падение концентрации СО₂ приводит к падению концентрации бикарбонатов за счет выпадения их в нерастворимый осадок.

Пример 3. Динамическая модель вероятности заболевания лейкозом после однократной дозы радиоактивного облучения имеет более сложный характер. Она может быт представлена уравнением вида:

Пример 4. Модель ослабления прямой солнечной радиации в атмосфере, известная из курса метеорологии как закон Бугера - Ламберта - Бера:

,

где - солнечная постоянная,

- соответственно, оптическая толщина идеальной (без примесей и воды) атмосферы, ее оптическая масса и фактор мутности.

Модель подобна рассмотренной выше модели распространения пыли, но имеет несколько входных величин, определяющих выходную величину .

Очевидно, есть и более сложные модели, описываемые многомерными нелинейными зависимостями или дифференциальными уравнениями. Последние часто выделяют в отдельный класс моделей, называемых дифференциальными (будут рассмотрены отдельно).

5.3 Методы исследования нелинейных моделей

Исследования проводят по трем направлениям:

1) - анализ процессов по входу-выходу;

2) -поиск корней нелинейного уравнения;

3) -поиск экстремумов (оптимумов), если они есть

Часто задача исследования нелинейных моделей сводится к поискам корней нелинейного уравнения или их систем. При этом аналитические решения не всегда можно получить, поэтому для их решения применяют численные методы с использованием ЭВМ.

Поиск корней численными методами начинают с поиска области их существования. Обычно эту операцию выполняют графически или на основе априорных данных об объекте. После этого корни уточняют различными методами, известными в вычислительной математике, например, методом половинного деления, Ньютона (касательных), простых итераций и др. Остановимся на методе простых итераций, который может быть обобщен на дискретные логистические задачи численности популяций в экологии.

Пусть дано уравнение, которое не решается относительно аргумента .

,

Приводят уравнение к виду:

.

Задают начальное приближение корня - х₀ и подставляют его в правую часть полученного уравнения. Вычисляют первое приближение корня:

,

затем

и так далее до:

,

где =0,1,2.... - число итераций.

Если последовательность сходится, то ее граница будет соответствовать точному значению корня. С геометрической точки зрения мы приближаемся к абсциссе точки М пересечения графика с прямой , где и будет решение.



Условие сходимости метода простых итераций имеет вид:

т.е. производная функции в точке начального приближения должна быть меньше единицы.

5.4 Модели популяционных процессов (дискретная модель численности)

Рассмотрение моделей начнем с определения «популяции» и ее основных законов.

Популяция - элементарная группировка организмов одного вида, способных к самовоспроизводству.

Основные законы популяции:

- популяция не может существовать, если ее численность меньше критического значения;

- численность популяции колеблется в зависимости от условий;

- всякая популяция стремится к неограниченной экспансии.

Теперь вернемся к последовательности:

.

Как видим, в ней последующее значение определяется предшествующим. Такое рекуррентное соотношение лежит в основе дискретных экологических моделей численности.

В самом деле, в природе во многих случаях численность особей различных видов определяется в основном только численностью предшествующих возрастных классов в предыдущий репродуктивный период. Поэтому, естественно характеризовать численность популяций набором дискретных величин, которые принимают некоторые значения в определенный фиксированный момент времени, например к началу очередного периода размножения. В этом случае связь между численностью в настоящий и последующий моменты времени должна описываться системой возвратных (рекуррентных) уравнений.

Рассмотрим простейшую ситуацию, которая описывает вполне реальные популяционные процессы. Для многих видов насекомых популяция - это один возрастной класс, т.е. за время развития личинок очередного поколения все предыдущее успевает вымереть. Если условия среды не сильно меняются, то только численность некоторого поколения N_n будет определять численность его последующего:

.

Частный случай этого уравнения:

,

где - количество потомков, оставляемое каждой особью, рассмотрен Мальтусом.

Решение этого уравнения - геометрическая прогрессия со знаменателем - и начальным элементом , что фактически идентично экспоненциальному росту численности при отсутствии лимитирующих факторов.

Более сложный вид имеет модель Ферхюльста:

Модель характеризует динамику численности, если не превышает - наперед заданного фиксированного значения (при > она прогнозирует отрицательные значения численности).

Этот недостаток устранен в другом дискретном варианте логистического уравнения:

Здесь - равно числу выживших потомков, приходящихся на одну особь, без лимитирующих факторов;

- характеризует емкость экологического местообитания популяции.

Поведение решения двух последних уравнений отличается от решений соответствующих дифференциальных уравнений численности разнообразием видов, наличием меняющихся циклов, которые переходят по мере возрастания параметра а из регулярных в хаос. Для иллюстрации численные решения последнего уравнения при относительно небольших значениях а представлены на рис.5.



Рис.5. Некоторые решения уравнения :

а) - монотонно сходящиеся траектории (=2,5);

б) - затухающие колебания (=);

в) - длина предельного цикла равна двум (=11); г) - длина предельного цикла равна четырем (=14)

Как видим, динамическое поведение тоже существенно зависит от величины .

При этом для 1<< (2,72) решение уравнения напоминает - образную кривую (рис.5. а), а решение его монотонно сходится к .

При <<² - решение сходится в виде затухающих колебаний (рис.5 б).

Дальнейший рост а приводит к предельным циклам разного периода и, наконец, при 14,77 динамика теряет регулярный характер. Наступает детерминированный хаос.

5.5 Оценка состояния окружающей среды с использованием многомерных моделей

Рассмотрим типовую постановку задачи в аспекте охраны окружающей среды.

Постановка задачи.

Фабрика окомкования концентрата руды выбрасывает вредные вещества:

SO₂; CO₂ и пыли с соответствующими концентрациями, которые зависят от многих факторов и моделируют нелинейной моделью вида:

где - соответственно, производительность агрегата окомкования, количество газа, выбрасываемого через трубу и скорость ветра.

Необходимо.

Определить , при которых не превышались бы ПДК указанных вредных веществ.

Подставим значения ПДК в систему уравнений. Получим:

.

После подстановки систему уравнений можно привести виду:



Получим модель, которую в векторно-матричной форме можно записать в виде:

или ,

а решать ее можно методом Ньютона, итерационная формула которого имеет вид:

,

где - обратная матрица Якоби, полученная от в точке начального приближения при =0.

Матрица Якоби:

.

Обращают матрицу Якоби по формуле:

,

где - детерминант или определитель матрицы ;

- транспонированная матрица алгебраических дополнений.

5.7 Оптимизация в нелинейных объектах

Большинство объектов экологии могут быть представлены нелинейными моделями. Некоторые из них могут быть линеаризованы и исследованы как линейные. Однако некоторые модели имеют существенные нелинейности и требуют поиска оптимальных параметров. Формально такой поиск сводится к поиску экстремумов функций, которыми моделируют объекты.

Пример 1.

Концентрация пыли в районе карьера неоднозначно зависит от скорости ветра. Так при планировочных работах на отвале, увеличение скорости ветра от нуля вначале приводит к снижению концентрации за счет быстрого выноса образовавшейся пыли, а затем к повышению за счет взметывания уже осевшей.

Таким образом, можно найти значение скорости ветра, минимизирующего концентрацию.

Другая ситуация складывается при массовом взрыве.

Тогда наоборот есть опасная скорость, при которой концентрация пыли в контролируемой зоне будет максимальной.

Модель процессов можно формально описать нелинейной одномерной функцией:

С=f(v) в виде полинома второй степени,

где v скорость ветра у поверхности, м/с.

При этом требуется определить скорость ветра, при которой концентрация пыли будет экстремальной (минимальной или максимальной в зависимости от варианта модели).

Пример 2.

Концентрация радона в душе постепенно возрастает после открытия вентиля, а через некоторое время начинает снижаться, выявляя характерный максимум через примерно 30 минут.

Пример 3.

Количество рыбы в пруду зависит от двух основных факторов - наличия корма и хищников. Очевидно, что максимум рыбы в пруду будет при вполне определенном количестве корма (избыток его может привести к заражению пруда) и разумном количестве хищников (соотношение это описывается моделью хищник - жертва).

5.8 Поиск экстремумов функции одной переменной

Пусть дана модель в виде функции с экстремумом. В общем случае функция может иметь несколько экстремумов:

Требуется найти координату, которая бы определяла экстремум в заданном интервале.

Решить эту задачу можно поиском точек, где производная функции равнялась бы нулю, однако не все функции могут дифференцироваться, поэтому прибегают к численным методам, которые к тому же легко реализуются на ЭВМ.

Как и в случае поиска корней вначале экстремум локализуют, как правило графически с использованием априорных данных об исследуемом объекте, а затем - уточняют. Для уточнения используют Метод равномерного поиска. Сущность его заключается в следующем.

На выбранном интервале , например для поиска максимума, изменяют на величину . Вычисляют в каждой из точек. Если, выполняют следующий шаг изменения . Как только, поиск прекращают, выводя последнее значение, как оптимальное.

Метод дихотомии. Рассмотрим алгоритм метода дихотомии для определения минимума одномерной функции на интервале .

Примечание. В случае необходимости найти максимум, знак функции изменяют на обратной, то есть поиск ведут по тему же алгоритму, но исследуют функцию на том же интервале.

Шаг 1. Проверить условие:

Если условие выполняется, - к шагу 6.

Если нет, - к шагу 2.

Шаг 2. Поделить интервал пополам и вычислить два значения аргумента с учетом :

;

,

то есть найти точки, которые находятся слева и дело от середины интервала на расстоянии .

Шаг 3. В полученных точках вычислить значения функции и .

Шаг 4. Проверить условие . Если условие выполняется (суживаем интервал) - к шагу 2, если не выполняется, - к шагу 5.

Шаг 5. Присвоить и - к шагу 2.

Шаг 6. Вывести результат

и

как экстремальные значения параметров.

Тема 6. Стохастические модели

6.1 Случайные величины и их оценка при моделировании

Реальные объекты экологии всегда подвержены действию случайных величин, которые принято называть возмущающими воздействиями, например, климатические условия, включая осадки, тепловой режим, а также выбросы или содержание вредных веществ в воздухе, воде и почве. В результате действия возмущений состояние объектов, которое характеризуется разными показателями, тоже будут иметь случайный характер. Формально такие объекты можно представить в виде структурной схемы

Рис.6.1. Структурная схема объекта при наличии возмущающих воздействий

Как правило место или время действия возмущающего фактора не известны, поэтому объект формализуют выражением B=f(A), где входной и выходной параметр представляются как Aa, Bb.

6.2 Основные характеристики случайных величин

Случайными называют такие величины, которые принимают свои значения с определенной вероятностью. Поэтому основной характеристикой случайной величины является ее распределение, т.е. закон, который устанавливает связь между значениями случайной величины x_i и вероятностью таких значений p_i.

Закон распределения дискретной величины можно задать в виде таблицы соответствия x_i и p_i.

Пример.

Суточная производительность шахты с проектной мощностью 1000 т/сут может быть представлена как случайная дискретная величина в виде таблицы:

xi	500125	750125	1000125	1250125	1500125
pi	0,05	0,2	0,5	0,2	0,05

Для непрерывной случайной величины закон распределения задают в виде дифференциальной функции вероятности, для которой:

Пример.

Интенсивность осадков W, которая меняется в течении года согласно графику, приведенному на рис. 6.2 а, можно задать функцией , приведенной на рис.б.2 б

Рис. 6.2. Диаграмма осадков и функция ее вероятности

Функция распределения случайной величины является наиболее полной ее характеристикой.

На практике случайные величины часто достаточно определить числовыми величинами, такими как:

- математическое ожидание;

- дисперсия;

- среднеквадратичное отклонение;

- вариация.

Из них наиболее общую оценку дает математическое ожидание:

,

которое чаще подают в виде среднего арифметического значения случайной величины

,

где n - число выбранных значений.

Пример. Запыленность воздуха у породного отвала, которая измерялась каждый час на протяжении смены, составила: 10; 250; 300; 240; 270; 40; 15, мг/м³. Определить среднесменную запыленность.

=(10+250+300+240+270+40+15)/7=159 мг/м³.

Дисперсия - это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания или средний квадрат отклонения от среднего.



Дисперсия является высоко чувствительной мерой разброса случайной величины вокруг ее среднего значения.

Пример. Часовой дебит воды в отстойник за 4 часа составил последовательно: 5; 3; 6 и 2 т/ч. Вычислить дисперсию.

=(5+4+6+2)/4=4 т/ч, а:

=т²/ч².

Корень квадратный из дисперсии называют среднеквадратичным отклонение. Эта характеристика более удобна, чем дисперсия, так как имеет размерность случайной величины. Так, для предыдущего примера:

=1,6 т/ч.

Таким образом, дебит воды можно задать в виде:

= т/ч.

Относительный уровень колебаний случайной величины вокруг среднего значения имеет название вариации:

,%.

При этом вариация дебита воды составит:

=(1,6/4)100=40%.

6.3 Построение модели по данным наблюдений или статистики

Наблюдая за природными объектами, накапливают данные о их состоянии. Обычно их оформляют в виде таблиц изменения необходимых параметров, которые называют корреляционными. Заполняют таблицы для двух или более параметров (часто один параметр - время), например:

- зависимость двух параметров

xi	500	600	700	800
yi	140	220	260	300

- зависимость параметра от времени:

ti	1	2	3	4	5
yi	510	497	504	510	509

По данным корреляционной таблицы можно построить модель, характеризующую зависимость между наблюдаемыми величинами, если она есть.

Типовой порядок построения стохастической модели приведен ниже.

1. Находят числовые характеристики всех случайных величин, согласно формулам, приведенным выше;

2. Дают оценку взаимной связи случайных величин (наблюдаемых параметров) для подтверждения линейной зависимости между ними по формуле:

,

где в числителе - корреляционный момент, вычисляемый по формуле:

=.

Коэффициент парной линейной корреляции изменяется от - 1 до 1, указывая на прямую зависимость при положительных значениях или обратную при отрицательных.

Значение =0 указывает на полное отсутствие линейной зависимости, а =1 - соответствует точной функциональной зависимости.

Значения свидетельствуют о сильной связи параметром, при которой целесообразно строить зависимость в виде приближенной функции.

3. Строят модель зависимости, которая может быть представлена линейной или нелинейной функцией. Вид искомой модели определяют согласно гипотезе, которую выдвигают по характеру расположения экспериментальных точек корреляционной таблицы, нанесенных на поле корреляции. Так как точки обычно разбросаны по полю корреляции, то принимают ту гипотезу относительно вида зависимости, которая обеспечивает наилучшее по виду приближение, например, в виде прямой, гиперболы, параболы, экспоненты и т.д. (Возможна аппроксимация данных полиномом).

6.4 Приближение моделей методом наименьших квадратов

Рассмотрим вначале случай линейной зависимости.

Пусть приближенное теоретическое уравнение связи двух параметров желательно найти в виде:

,

тогда для идентификации этой модели необходимо подобрать коэффициенты и , которые обеспечили бы приближение прямой к имеющимся статистическим данным пар значений и , полученных в результате наблюдений за объектом.

Наилучшее приближение может быть получено методом наименьших квадратов, согласно которому минимизируется функционал:

Для искомой модели в виде прямой этот функционал примет вид:

Как известно минимум функции достигается в точке, где ее производная обращается в нуль.

Приравняем частные производные по искомым переменным и . Получим:



Раскрыв суммы, получим систему нормальных уравнений регрессии для одномерной линейной модели:

=

+=

Общее решение этой системы имеет вид:

=( - )/;

==( - )/[()² - .

Как видим, для построения модели необходимо накопить согласно исходной корреляционной таблицы соответствующие суммы: ;;;

Если приближенное теоретическое уравнение связи двух параметров желательно найти в виде нелинейной модели, например, параболы общего вида:

,

тогда для идентификации модели необходимо подобрать коэффициенты, и , которые обеспечили бы приближение статистическим данным пар значений и к параболе. Подставив уравнение параболы в приведенный выше функционал для метода наименьших квадратов, получим систему из трех нормальных уравнений регрессии:

+()+()=

()+()+() =

()+()+()=

Очевидно, что для построения этой системы уравнений необходимо накопить следующие суммы:;;;;;;. Решать полученную систему удобно табличным методом Гаусса или на ЭВМ.

Тема 7. Прогноз показателей и параметров окружающей среды

7.1 Понятие временного ряда

Прогноз осуществляется на основе анализа временных рядов.

...