Статистический анализ и моделирование

Для определения структурных коэффициентов структурная форма модели преобразуется в приведенную форму.

Приведенной формой модели называется система уравнений, в каждом из которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные переменные и случайные составляющие.

Например, приведенная форма исходной модели имеет вид

где -- параметры приведенной формы, а и -- случайные члены.

Параметры приведенной формы модели называются коэффициентами приведенной формы (приведенными коэффициентами). Коэффициенты приведенной формы оцениваются обычным МНК, поскольку экзогенные переменные некоррелированы со случайным членом.

Оцененные коэффициенты приведенной формы могут быть использованы для оценивания структурных коэффициентов. Такой способ оценивания структурных коэффициентов называется косвенным методом наименьших квадратов.

Приведенная форма модели аналитически уступает структурной форме, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными. При переходе от приведенной формы к структурной возникает проблема идентификации. Идентификация -- это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

Структурный коэффициент называется идентифицируемым, если его можно вычислить на основе приведенных коэффициентов, причем точно идентифицируемым, если он единствен, и сверхидентифицируемым, если он имеет несколько разных оценок; в противном случае он называется неидентифицируемым.

Какое-либо структурное уравнение является идентифицируемым, если идентифицируемы все его коэффициенты. Если хотя бы один структурный коэффициент не идентифицируем, то и всё уравнение является неидентифицируемым.

Модель считается идентифицируемой, если каждое ее уравнение идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель неидентифицируема.

25. Оценивание параметров структурной модели

Приступать к оцениванию того или иного структурного уравнения системы имеет смысл после того, как установлена его идентифицируемость.

В общем случае отдельное структурное уравнение системы является идентифицируемым, если имеется достаточное количество экзогенных переменных, не включенных в само уравнение, которые можно использовать как инструментальные для всех эндогенных объясняющих переменных уравнения.

В полностью определенной модели будет столько уравнений, сколько имеется эндогенных переменных.

Пусть D -- число не включенных в уравнение, но присутствующих в системе экзогенных переменных, a G -- число включенных в уравнение эндогенных переменных.

Необходимое условие идентификации. Уравнение в структурной модели может быть идентифицировано, если число не включенных в него экзогенных переменных не меньше числа включенных в него объясняющих эндогенных переменных, т.е.

D > G - 1 (порядковое условие).

Данное условие является необходимым, но не достаточным для идентификации. В частности:

если D=G - 1, то уравнение точно идентифицируемо;

если D > G - 1, то уравнение сверхидентифицируемо;

если D < G - 1, то уравнение неидентифицируемо.

Достаточное условие идентификации. Уравнение идентифицируемо, если ранг матрицы, составленной из коэффициентов при переменных (эндогенных и экзогенных), отсутствующих в исследуемом уравнении, не меньше N - 1, где N -- число эндогенных переменных системы.

26. Анализ методов оценивания

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены различными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили следующие методы:

метод инструментальных переменных (ИП);

косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);

двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Для установления идентифицируемости используется метод ИП.

Для решения точно идентифицируемого уравнения применяется КМНК, а для решения сверхидентифицируемого уравнения -- ДМНК.

Сформулируем основные этапы указанных методов.

Этапы КМНК:

Структурная модель преобразуется в приведенную форму.

Для каждого приведенного уравнения обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты.

Оценки приведенных коэффициентов преобразуются в оценкипараметров структурных уравнений.

Этапы ДМНК:

На основе приведенной формы модели получают для сверхидентифицируемого уравнения теоретические (расчетные) значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. моделирование прогнозирование экстраполяция индекс

Подставляя теоретические значения эндогенных переменных вместо их фактических значений в сверхидентифицируемое уравнение и применяя обычный МНК, определяют его структурные коэффициенты.

Метод называется двухшаговым, так как МНК используется дважды: при нахождении теоретических значений эндогенных переменных из приведенной формы модели и при определении структурных коэффициентов по теоретическим значениям эндогенных переменных и исходным данным экзогенных переменных.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

все уравнения системы сверхидентифицируемы;

система содержит как сверхидентифицируемые, так и точно идентифицируемые уравнения.

Если все уравнения системы сверхидентифицируемы, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК.

27. Виды и область применения имитационного моделирования

Современный этап развития народного хозяйства характеризуется все возрастающей активностью новых прогрессивных отраслей, что приводит к усилению взаимосвязей между отраслями и предприятиями. Сложность структуры и динамичность развития новых отраслей приводит к определенным трудностям при выборе наилучших вариантов управленческих решений из-за их разнообразия и количества. В таких случаях разработанные теоретические модели могут оказаться мало эффективными, поэтому применяется метод имитационного моделирования.

Под имитацией понимается изучение объектов исследования путем проведения экспериментов на ЭВМ с реализованными на них математическими моделями объектов.

Метод имитационного моделирования не является противопоставлением применяемым методам математического моделирования экономических процессов, а есть дальнейшее развитие указанного подхода с учетом возможности более эффективного использования знаний и опыта специалистов по управлению в непосредственном взаимодействии с ЭВМ. Метод имитационного моделирования используется для исследования процессов управления экологическими системами, для решения задач управления сложными автоматическими устройствами, решения проблемы рационального использования ресурсов, исследования СМО, для изучения различных вариантов ценообразования, принципов экономического стимулирования, финансирования и кредитования. Он дает возможность широко использовать математический аппарат и вычислительную технику для исследования хода сложных экономических процессов.

Характерная основная черта имитационного моделирования состоит в том, что изучаемое явление описывается наиболее точным способом. При имитационном моделировании более адекватно отражаются реальные объекты, т.к. здесь нет необходимости делать значительное число упрощающих предположений искажающих реальность. Например, при исследовании СМО показатели эффективности определяются в предположении, что интенсивность обслуживания для всех каналов одинакова, интенсивность входного потока постоянна. Для имитационного моделирования такие предположения делать не нужно.

28. Этапы разработки имитационной модели

Исследование фактического протекания реального экономического процесса;

выбор системы показателей, достаточно полной и пригодной для описания рассматриваемого процесса;

разработка первоначальной (исходной) имитационной модели;

исследование свойств имитационной модели методами математического анализа;

реализация модели в виде программы на ЭВМ на некотором языке программирования;

проведение серии расчетов с анализом результатов;

разработка выводов пригодности выбранной системы показателей и предложенной структуры модели для имитации данного процесса;

выработка суждений о необходимости внесения корректив в исходную модель. Если коррективы вносятся, то возвращаются к этапу 4 или 5 и 6.

Если модель признается годной для имитационного процесса, то она используется для проведения массовых вариантных расчетов при разных значениях управляющих параметров с целью выбора наилучших из них.

29. Пример использования имитационного моделирования

Рассмотрим применение имитационного моделирования для исследования СМО на примере торгового предприятия. Пусть имеется двухканальная СМО, например, магазин с двумя кассами. Интенсивности обслуживания для первой и второй касс соответственно. Интенсивность входного потока покупателей чел/сек. Датчик случайных чисел на ЭВМ моделирует интервал времени между поступлениями соседних покупателей с заданным параметром и экспоненциальным законом распределения:

интервалы между соседними покупателями (сек): 9, 3, 16, 8, 7, 10,

15, 20, 5.

Этим же датчиком, настроенным на интенсивности и соответственно, моделируется время обслуживания покупателей I и II кассами:

время обслуживания 25, 12, 11, 19, 8, 12, 10…..

покупателей I кассой (сек)

время обслуживания 4, 12, 19, 21, 5, 15, 8 ….

покупателей II кассой (сек)

Необходимо выполнить имитационный эксперимент, моделирующий функционирование СМО и вычислить на основании данных моделирования характеристики системы:

среднее время ожидания в очереди;

среднее время обслуживания покупателей;

среднюю долю времени простоя касс; сравнить ее с теоретической долей времени простоя, пологая, что кассы имеют одинаковую интенсивность обслуживания

построить графики работы обеих касс.

Решение:

Для удобства моделирования используем таблицу:

Покупатели	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Время поступления покупателей	0	9	12	28	36	45	55	70	90	95
Время ожидания покупателей	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
I касса	Время обслуживания	25			12		11		19	8
	Время окончания обслуживания	25			40		56		89	98
II касса	Время обслуживания		4	12		19		21			5
	Время окончания обслуживания		13	25		55		76			100

Предполагается, что если обе кассы заняты, то покупатель становится в общую очередь. Первый человек обслуживается той кассой, которая первой освободилась. Если обе кассы свободны, то покупатель обслуживается первой кассой.

В момент времени появляется первый покупатель, который обслуживается первой кассой за 25 сек. Закончится его обслуживание в . Покупатель не ждет в очереди, т.к. касса свободна.

Через 9 сек. поступит второй покупатель; т.к. первая касса занята, то он обслуживается в свободной второй кассе за 4 сек., закончится обслуживание в момент .

Третий покупатель появится в момент , обе кассы окажутся занятыми, поэтому покупатель будет ожидать обслуживания 1 сек., когда освободится вторая касса. Он обслуживается в ней за 12 сек., и закончится его обслуживание в момент .

В момент t=28 появится четвертый покупатель, обе кассы свободны, поэтому он обслуживается в первой кассе за 12 сек., закончится обслуживание в момент .

Пятый покупатель приходит в t=36 cek., свободной оказывается вторая касса, он обслуживается в ней за 19 сек., закончится обслуживание в .

В момент поступает шестой покупатель. Свободна первая касса, он обслуживается в ней за 11 сек., закончится обслуживание в .

В момент приходит седьмой покупатель, свободна вторая касса. Покупатель обслуживается в ней за 21 сек., закончится обслуживание в момент .

Восьмой покупатель появляется в момент , обслуживается в свободной первой кассе за 19 сек., обслуживание закончится в .

Девятый покупатель поступает в , обе кассы свободны, поэтому он обслуживается в первой кассе за 8 сек., закончится его обслуживание в .

Десятый покупатель поступает в , свободной оказывается вторая касса, где он и обслуживается за ., закончится обслуживание в .

Вычислим требуемые характеристики СМО по данным моделирования:

среднее время ожидания в очереди :

равно сумме элементов третьей строки таблицы, деленной на число покупателей, т.е.

= 1 / 10 = 0,1 сек

среднее время обслуживания покупателей :

равно сумме элементов 4-ой и 6-ой строк, деленной на число покупателей, т.е.

средняя доля времени простоя Р_прост касс:

Р_прост равно разности суммарного времени работы обеих касс (98+100) и суммарного времени обслуживания покупателей(136), деленной на первую сумму:

Р_прост=,

т.е. средняя доля времени простоя обеих касс составляет 31% всего времени их работы.

Вычислим теоретическую долю времени простоя касс по формулам: (для ):

Р_прост= где

Вычислим ;

тогда

Р_прост=

Теоретическая вероятность простоя равна 0,29, из которых 0,17 составляет вероятность простоя обеих касс, т.е. Р_о.

Имитационная оценка вероятности простоя р=0,31. Расхождение объясняется малым числом покупателей в имитационном эксперименте.

Построим графики работы касс. На оси ОХ откладывается время работы касс, а на оси ОУ примем у=1, если касса работает и у= -1, если касса простаивает. Для построения графика работы первой кассы необходимо учитывать значения из 2-ой и 5-ой строк имитационной таблицы, а для второй кассы - значения из 2-ой и 7-ой строк.

График работы первой кассы.

Простой первой кассы равен 3+5+14+1=23 (сек), а занятость равна 98-23=75 (сек).

Р_прост =

График работы второй кассы.

Простой второй кассы равен 9+11+19=39 (сек), а занятость 100-39=61 (сек).

Р_прост =

Выводы: Обе кассы обслужили по 5 покупателей, закончили работу по обслуживанию потока из 10 покупателей почти одновременно (98 сек. и 100 сек). Но вторая касса работала быстрее, чем первая.

30. Применение имитационного моделирования при моделировании бизнес процессов

Реструктуризация производства, повышение качества продукции, снижение производственных и логистических расходов, моделирование жизненного цикла новой продукции, максимальный учет требований и пожеланий клиентов -- это проблемы предприятий, решение которых возможно с использованием имитационных моделей.

Среди наиболее интересных задач имитационного моделирования, можно отметить следующие:

· в производстве -- моделирование процессов адаптации предприятия к изменению спроса на продукцию, применение методов имитационного моделирования для разработки оргтехпроектов модернизации существующих производств судостроительных предприятий, моделирование процессов бюджетирования на промышленном предприятии;

· в сельском хозяйстве -- моделирование нештатных режимов работы агрегатов сельхозмашин;

· на транспорте -- имитационное моделирование транспортных потоков региона, анализ динамики обслуживания пассажиров в городском транспорте, модель работы терминала морского порта, моделирование процессов управления управляемых потоков воздушного движения;

· в топливно-энергетическом комплексе -- моделирование системы хранения и реализации нефтепродуктов, имитационная компьютерная модель-тренажер системы диспетчерского управления магистральным нефтепроводом, имитационное моделирование горных работ (моделирование конвейерной сети шахты, конвейерно-локомотивного транспорта шахты, взаимодействия экскаваторов и самосвалов на разрезе, технологии проходки комбайновым и буровзрывным методом);

Для решения перечисленных выше классов задач в современном имитационном моделировании сформировались и наиболее широко применяются три основных подхода -- дискретно-событийное моделирование, системная динамика и агентное моделирование.

31. Дискретно-событийное моделирование

Основной объект в этой системе -- пассивный транзакт (заявка на обслуживание), который может определенным образом представлять собой работников, детали, сырье, документы, сигналы и т. п. «Перемещаясь» по модели, транзакты становятся в очереди к одноканальным и многоканальным устройствам, захватывают и освобождают эти устройства, расщепляются, уничтожаются и т. д. Таким образом, дискретно-событийную модель можно рассматривать как глобальную схему обслуживания заявок. Аналитические результаты для большого количества частных случаев таких моделей рассматриваются в теории массового обслуживания.

Сегодня существует целый ряд инструментов, поддерживающих такой подход в моделировании: GPSS/PC, GPSS/H, GPSS World, Object GPSS, Arena, SimProcess, Enterprise Dynamics, Auto-Mod и др.

32. Системная динамика

Системная динамика как методология была предложена в 1961 году Дж. Форрестером в качестве инструмента исследования информационных обратных связей в производственно-хозяйственной деятельности, для того чтобы выяснить, каким образом взаимодействуют организационная структура, усиления (в политиках) и задержки (в принятии решений и действиях), оказывая влияние на эффективность предприятия. Процессы, происходящие в реальном мире, в системной динамике представляются в терминах накопителей (фондов) и потоков между ними. Системно-динамическая модель описывает поведение системы и ее структуру как множество взаимодействующих обратных положительных и отрицательных связей и задержек. Математически такая модель выглядит как система дифференциальных уравнений.

Методы системной динамики поддерживаются такими инструментами, как DYNAMO, Stella, Vensim, PowerSim, iThink, ModelMaker и др.

Пакет Vensim представляет собой инструмент для визуального моделирования, поддерживающий разработку концептуальной модели, документирование, собственно моделирование, анализ результатов и оптимизацию моделей динамических систем. Он позиционируется на рынке программных продуктов как простое и гибкое средство для построения имитационных моделей систем с причинно-следственными связями, фондами и потоками. Следует отметить, что Vensim существует и в версии для академического использования в образовательных целях. Пакет имеет графический редактор для построения с помощью мыши классических форрестеровских моделей, Equation Editor для завершения формирования модели, а также развитые средства визуализации поведения модели.

Программные комплексы Stella и iThink предназначены для преобразования моделей принятия решений в имитационные модели. Основной упор делается на формирование у пользователя умения принимать решения, необходимые для исследования систем со сложными взаимозависимыми связями между подсистемами. Указанные программы широко используют графические функциональные элементы для графического изображения потоков, фондов, эффектов влияния неформализованных факторов. Динамика процессов и объектов выражается с помощью пяти типов базовых параметров: увеличение фондов, исчерпание фондов, рабочий процесс, соединение потоков, адаптация фондов. Соответственно, модели представляются тремя иерархическими уровнями: блок-схемы, базовые потоковые схемы, формальные спецификации.

Одна из наиболее показательных сфер применения аппарата системной динамики -- имитационное моделирование финансово-кредитной деятельности. Так, существует ряд моделей банковских и страховых учреждений, выполненных с помощью PowerSim и iThink, обеспечивающих расчет показателей текущего и будущих периодов, прогнозы состояния отдельных сделок и состояния финансового учреждения в целом, оценку привлекательности направлений инвестиционной деятельности, оценку эффективности кредитного и депозитного портфелей банка и т. п. Накоплен положительный опыт оптимизации структуры холдингов с помощью имитационного моделирования в среде iThink.

33. Агентное моделирование

Агентное моделирование предполагает работу с децентрализованной моделью. В такой модели нет единой точки, определяющей поведение системы в целом. Агентная модель состоит из множества индивидуальных объектов (агентов) и их окружения. Поведение системы описывается на индивидуальном уровне; глобальное поведение рассматривается как результат совокупной деятельности агентов, каждый из которых действует сообразно собственному «уставу», существует в общей среде, взаимодействует со средой и другими агентами. Для описания поведения агентов используются карты состояний, являющиеся стандартным инструментом UML.

Для систем, содержащих большое количество активных объектов с отчетливо выраженным индивидуальным поведением, агентное моделирование является более универсальным подходом, т. к. позволяет учесть структуру и поведение любой сложности.

Другое важное достоинство агентного моделирования -- возможность разработки модели даже в отсутствие априорной информации о глобальных зависимостях. Зная индивидуальную логику поведения участников процесса, можно построить агентную модель и спрогнозировать ее глобальное поведение. Помимо этого, агентная модель проще в сопровождении, поскольку уточнения вносятся на локальном уровне по мере накопления данных.

Существуют и узкоспециализированные методологии, предназначенные исключительно для моделирования и анализа бизнес-процессов, например, ARIS (Architecture of Integrated Information Systems). Организация в ARIS рассматривается с четырех точек зрения: организационной структуры, функциональной структуры, структуры данных, структуры процессов. Для описания бизнес-процессов предлагается около 80 типов моделей, каждая из которых отражает тот или иной аспект моделирования. Развитая репрезентативная графика делает модели в ARIS особенно удобными для представления руководству и принятия стратегических решений.

34. Определение производственной функции и ее свойства

Производственная функция - это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов.

Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология - новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта. Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение - не у всех будут места).

2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

Наиболее простой является двухфакторная модель производственной функции Кобба - Дугласа, с помощью которой раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К). Эти факторы взаимозаменяемы и взаимодополняемы.

35. Максимизация объема выпуска при ограничении на затраты

Доходом (выручкой) R фирмы в определенном временном периоде называется произведение общего объема Х выпускаемой фирмой продукции на цену этой продукции.

Издержками С фирмы называют общие выплаты фирмы в определенном временном периоде за все виды затрат.

Прибылью фирмы П в определенном временном периоде называется разность между доходом и издержками.

Основная цель фирмы заключается в максимизации прибыли путем рационального распределения затрачиваемых ресурсов.

В случае долговременного промежутка фирма может свободно выбирать любой вектор затрат ресурсов, поэтому задача максимизации прибыли в случае долговременного промежутка имеет вид:

при условии х?0

где р - цена единицы продукции, F(x) - производственная функция, выражающая связь между затратами ресурсов и выпуском,

w - цена единицы ресурса.

Это задача нелинейного программирования. Необходимые условия ее решения - равенство нулю частной производной.

Если в оптимальном решении использованы все ресурсы, то >0.

Отсюда следует, что в оптимальной точке стоимость предельного продукта данного ресурса должна равняться его цене.

Рассмотрим задачу с использованием двух видов ресурсов, т.е. . Тогда выручка R=pF(x₁,x₂); издержки C=w₁x₁+w₂x₂, и прибыль

П(x₁,x₂)= pF(x₁,x₂)- (w₁x₁+w₂x₂).

Линия уровня функции издержек производства называется изокостой. Ее уравнение w₁x₁+w₂x₂=const.

Размещено на http://www.allbest.ru/

А₀В₀¦ А₁В₁¦ А₂В₂

с₀< с₁< с₂

А₀В₀: w₁x₁+w₂x₂=c₀

А₁В₁: w₁x₁+w₂x₂=c₁

А₂В₂: w₁x₁+w₂x₂=c₂

Решая эту задачу, получаем

Вектор затрат ресурсов, который является решением задачи, называется локальным рыночным равновесием фирмы в случае долговременного промежутка.

В данной системе разделим первое уравнение на второе, получим .

Отсюда следует: в точке локального рыночного равновесия фирмы отношение предельной производительности первого ресурса к предельной производительности второго ресурса равно отношению рыночных цен на эти ресурсы.

Здесь отрезок АВ есть изокоста , кривая R изокванта, касающаяся изокосты в точке D , которая и соответствует оптимальному набору ресурсов .

Левая часть выражения - это предельная норма замены первого ресурса вторым. Таким образом, в точке локального рыночного равновесия фирмы предельная норма замены первого ресурса вторым равна отношению рыночных цен на эти ресурсы.

- являются функциями от цен р, w₁, w₂. Эти выражения называются функциями спроса на ресурсы.

Подставив эти функции в ПФ: Х=F(x₁,x₂), получаем выражение .

Это выражение называется функцией предложения выпуска.

41. Минимизация издержек при фиксированном объеме выпуска

Выпуск фирмы задается производственной функцией Кобба-Дугласа: .

Стоимость аренды единицы фондов равна w_K=5 ус.ед./ед.ф, ставка зарплаты равна w_L=10 ус.ед./чел. На аренду фондов и оплату труда на фирме выделено С₀=150 ус.ед.

1. Определите максимальный выпуск фирмы и затраты труда и капитала при этом выпуске.

2. Дайте геометрическую интерпретацию полученного решения.

3. Вычислите прибыль фирмы при оптимальном выпуске.

4. Найдите предельную норму замены одного занятого работника капиталом в оптимальной точке.

Решение:

Издержки фирмы равны .

Составим математическую модель задачи.

Для решения задачи применим метод Лагранжа. Составим функцию Лагранжа.

Найдем частные производные по каждой переменной. Воспользуемся формулами: .

(1)

Разделим первое уравнение на второе, получим:

откуда

Подставим в функцию издержек, т.е. в третье уравнение системы.

Тогда , K=20.

Следовательно, L=5.

При этом

Геометрическая интерпретация:

Уравнение изокосты (линии постоянных издержек) .

Уравнение изокванты (линии постоянных выпусков)

Размещено на http://www.allbest.ru/

В оптимальной точке K=20, L=5 изокванта и изокоста касаются.

Для вычисления прибыли фирмы, найдем значения л.

Рассмотрим одно из первых двух уравнений системы (1).

Например, .

Выделим в левой части равенства производственную функцию F(K,L), для этого умножим и разделим ее на K.

Отсюда .

Из условия , цена единицы продукции будет равна .

Тогда прибыль фирмы определяется следующим образом:

Прибыль очень мала, т.к. большие издержки.

Норма замены труда фондами определяется по формуле:

, т.е. один работающий может быть заменен двумя единицами фондов.

42. Виды моделей стохастического граничного анализа

Наиболее часто используемые модели стохастического граничного анализа включают

· модель производственного стохастического граничного анализа,

· модель стохастического граничного анализа затрат,

· модель стохастической метрики расстояний.

Перед тем как выбрать модель, аналитик должен выбрать одну из наиболее часто используемых функциональных форм: функцию Кобба-Дугласа или функцию транслог.

43. Модель производственного стохастического граничного анализа

Классической трактовке производственной функции, характеризующей максимальный объем выпуска, в большей степени соответствует концепция стохастической граничной производственной функции. Методика ее построения основывается на предположении, что производственные возможности фирмы зависят не только от технологии производства и эффективного распределения ресурсов, но и от систематического действия факторов, не зависящих от технологии производства и объема используемых ресурсов. Объем реализации фирмы, подверженной влиянию этих факторов, изменяется в большом диапазоне, иногда достигая максимально возможного значения, иногда значительно отклоняясь от него. Следовательно, возможность максимального производства определена не только технологией и ресурсами, но во многом зависит от обстоятельств, определяющих X-фактор. Далее описан подход, позволяющий зафиксировать X-фактор и оценить технологическую эффективность производства.

Методики оценки технической эффективности активно разрабатываются в течение ряда лет. Одной из последних методик расчета коэффициента технической эффективности на основе построения стохастической граничной функции является разработка, представленная в [6], в дальнейшем усовершенствованная и использованная в работах [1; 7; 8, 10].

Для оценки эффективности методом стохастической граничной функции делается предположение, что ошибка i e в выражении (10) может включать две составляющие:

ei =Vi -Ui ,

где Vi -- случайная переменная, отражающая случайные воздействия на производственный процесс и формирующая «статистический шум», принадлежит нормальному распределению (0, 2 ) N s v и не зависит от величины Ui ;

Ui -- неотрицательная случайная переменная, объясняющая техническую неэффективность в производстве, принадлежит нормальному распределению ( , 2 ) N m s u , усеченному в нуле. m может принимать как положительное, так и отрицательное значение.

Выражение (10) для построения стохастической функции примет вид

ln Ri = ln A +a ln Ii + b ln Li + (Vi -Ui ) .

Тогда вместо (11) для стохастической производственной функции получаем выражение

Ri = AIia Lbi exp(Vi -Ui ) .

Тогда функция

Ri = AIia Lbi exp(Vi -Ui )

может рассматриваться как стохастическая граничная производственная функция, определяющая технологический потенциал производственного участка в условиях воздействия X-фактора. А случайная величина Ui характеризует отклонение фактических результатов работы производственного участка от его технологического потенциала.

Детерминированная составляющая функции (14) определяет ожидаемое значение дохода, соответствующее технологическому потенциалу производственного участка.

При построении стохастической граничной функции производства используется метод максимального правдоподобия. Логарифмированная функция правдоподобия представлена в работе [8].

Для установления наличия X-фактора строится гипотеза H0 о том, что логарифмированные значения функции максимального правдоподобия (llf ) для функции (11), построенной методом наименьших квадратов и функции (13), построенной методом максимального правдоподобия, незначительно отличаются друг от друга. Также строится альтернативная гипотеза H1 о том, что значения llf значительно отличаются друг от друга. Находится критическое значение хи-квадрат ( c 2 ) для числа степеней свободы, равного разности между количеством параметров функции, соответствующей гипотезе H0, и функции, соответствующей гипотезе H1. Строится значение тест-статистики для отношения правдоподобия

l = -2[llf (H0 ) -llf (H1)], (15)

подчиняющееся c 2 -распределению. Сравнивается критическое значение со значением, полученным в тесте. Если принимается гипотеза H0, это значит, что оба метода позволяют получить один и тот же результат. В этом случае можно сделать вывод, что на производственный процесс воздействуют только случайные факторы, а X-фактор отсутствует. Если принимается гипотеза H1, следовательно, метод стохастической граничной функции позволяет получить лучший результат. Это означает, что X-фактор действует и в работе производственного участка присутствует неэффективность.

Аналогичные гипотезы строятся при выборе функциональной зависимости для эмпирически наблюдаемых величин.

После того, как получены оценки параметров распределения случайных величин V и U, для каждого измерения методом максимального правдоподобия могут быть вычислены оценки Ui ,Vi значений этих случайных величин.

В результате для каждого измерения может быть вычислен коэффициент технической эффективности (ТЕi) фактического результата работы производственного участка относительно стохастической граничной производственной функции. В соответствии с [10] коэффициент технической эффективности оценивается далее как отношение фактической величины дохода производственного участка ( ф Ri ) к расчетной величине ( Ri ).

44. Прогнозная экстраполяция. Понятие тренда

Изучение закономерностей развития явлений, выявление трендов и их моделей создает базу для прогнозирования. Любой метод прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действовавшая в прошлом, сохраниться и в прогнозируемом будущем.

Экстраполяция - определение будущих, ожидаемых значений экономических величин, показателей на основе имеющихся данных об их изменении в прошлые периоды; т.е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. Математически экстраполяция сводится к продолжению кривой, характеризующей предыдущее изменение экономического показателя.

Нахождение по имеющимся данным за определенный период времени некоторых недостающих значений внутри рассматриваемого признака называется интерполяцией.

При наличии тенденции во временном ряду его уровни можно рассматривать как функцию времени:

где - уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Уравнение, которое выражает зависимость уровней динамического ряда от фактора времени t, называется уравнением тренда.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики.

45. Простейшие трендовые модели

Простейшими моделями, выражающими тенденцию развития, являются:

линейная функция - прямая

кривая 2-го порядка (парабола)

где а₀, a₁, a₂ - параметры уравнения;

t - время.

После выбора вида функции (прямая, показательная функция, парабола 2-го порядка и др.) рассчитываются ее параметры.

Оценка параметров производится по методу наименьших квадратов (МНК): строится система нормальных уравнений, число которых соответствует числу параметров полинома. Так, для линейного тренда система нормальных уравнений следующая:

где n - число уровней ряда динамики;

t - условное обозначение фактора времени порядковыми номерами. Отсчет времени начинается с единицы;

у - фактические уровни ряда динамики.

На основе найденного уравнения кривой модели тренда рассчитываются выровненные уровни ряда. Таким образом, технически выравнивание ряда заключается в замене фактических уровней выровненными.

46. Модели прогнозирования тенденций экономических процессов

Процесс вычисления параметров трендовых моделей при ручном способе счета может быть упрощен, если перенести начало координат в середину ряда динамики.

Если число уровней в динамическом ряду нечетное (n=2p+1), то временные периоды обозначаются следующим образом:

t = -p,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…, p.

Если число уровней в динамическом ряду четное (n=2p), то временные периоды обозначаются следующим образом:

t = -(2p-1),…, -5, -3, -1, 1, 3, 5,…, (2p-1).

После переноса начала координат в середину ряда динамики , где показатель степени k - нечетное число.

Такой подход существенно упрощает системы нормальных уравнений для расчета параметров соответствующих функций:

Наименование функции	Вид функции	Система нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения тренда
Линейная
Экспоненциальная
Парабола второго порядка
Показательная
Гиперболическая

47. Сглаживание временных рядов с помощью скользящей средней

Важной задачей, возникающей при анализе рядов динамики, является определение основной тенденции в развитии исследуемого явления. В некоторых случаях общая тенденция ясно прослеживается в динамике показателя, в других ситуациях может не просматриваться из-за ощутимых колебаний.

Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

На первом шаге необходимо определить длину интервала сглаживания l. При этом необходимо иметь в виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени поглощаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания. При этом удобно брать длину интервала сглаживания в виде нечетного числа , так как в этом случае полученные значение скользящей средней приходится на средний уровень интервала и скользящая средняя может быть определена по формуле:

где - фактическое значение i-го уровня, - значение скользящей средней в момент t, 2p+1 - длина интервала сглаживания.

Процедура сглаживания приводит к устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний на практике часто требуется использовать скользящие средние с длиной интервала сглаживания, равной 4 или 12, при этом не будет выполняться условие нечетности.

При четном числе уровней скользящая средняя определяется по формуле:

.

Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной динамики можно использовать 4-членную скользящую среднюю:

.

При рассмотрении временных рядов ежемесячной динамики для устранения сезонных колебаний, как правило, применяют 12-членную скользящую среднюю:

.

Метод скользящих средних имеет ряд преимуществ перед другими методами:

· скользящая средняя дает функцию тренда, в наибольшей мере приближенную к значениям исследуемого ряда, поскольку для отдельных частей ряда выбирается наилучшая тенденция;

· к исследуемому ряду могут быть прибавлены новые значения;

· нахождение тренда не связано с большими вычислительными трудностями.

Недостатком метода скользящей средней является то обстоятельство, что при увеличении периода скольжения теряется информация о крайних уровнях ряда, что недопустимо при некоторых приемах анализа временных рядов (например, при спектральном анализе).

48. Экспоненциальное сглаживание

Выравнивание временных рядов может быть произведено методом экспоненциального сглаживания. Суть метода заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес наблюдения уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда. Если для исходного временного ряда соответствующие сглаженные значения уровней обозначить S_t где t = 1,…,п, то экспоненциальное сглаживание производится по рекуррентному соотношению:

где б -- параметр сглаживания, 0 < б < 1, величина (1-б) называется коэффициентом дисконтирования. Обычно во временных рядах экономических задач величину параметра сглаживания выбирают в интервале от 0,1 до 0,3.

Начальный параметр S₀ принимают равным значению первого уровня ряда у, или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда. Указанный порядок выбора величины S₀ обеспечивает хорошее согласование сглаженного и исходного временных рядов для первых уровней. Если же при подходе к правому концу ряда сглаженные значения начинают значительно отличаться от соответствующих значений исходного ряда, то целесообразно перейти на другой параметр сглаживания б.

49. Принципы и задачи статистических методов контроля за качеством

Основной задачей статистических методов контроля является обеспечение производства пригодной к употреблению продукции и оказание полезных услуг с наименьшими затратами.

Одним из основных принципов контроля качества при помощи статистических методов является стремление повысить качество продукции, осуществляя контроль на различных этапах производственного процесса.

Все статистические методы базируются на понятии разброса. Применение на рабочем месте статистических методов для контроля за разбросом параметров изготавливаемого изделия является представлением в графическом виде простых для понимания статистических величин, характеризующих разброс.

Оценка разброса данных часто дает возможность понять характер процесса. Если разброс данных мал, можно ослабить контроль, если велик - это следует воспринимать как сигнал к необходимости регулирования процесса для повышения его стабильности, повышения качества исходных материалов, выявления и устранения неполадок оборудования и пр. Собранные данные могут быть использованы не только для принятия решений в момент их получения и анализа, но и для оценки различных проблем, рассматриваемых в течение более долгого срока, например, в течение месяца или года.

Статистические методы являются основой для эффективного распознавания проблем и их анализа. Таким образом, можно добиться полной картины о возможных причинах проблем. Устанавливаются приоритеты и на основе фактов принимаются решения.

50. Классификация статистических методов контроля за качеством

Статистические методы классифицируют по признаку общности на три основные группы:

а) Графические методы

Это так называемые «семь инструментов контроля качества». К ним относятся:

1) Контрольные листки, позволяющие усовершенствовать процесс сбора данных и упорядочить данные для облегчения их дальнейшего использования.

2) Диаграммы Парето, позволяющие выяснить причины появления немногочисленных существенно важных дефектов и сосредоточить усилия на ликвидации именно этих причин.

3) Диаграммы причин и результатов (диаграмма Исикавы), показывающие отношение между показателем качества и воздействующими на него факторами. Использование диаграмм Исикавы эффективно при решении вопросов обеспечения качества продукции, повышения производительности труда, разработки рационализаторских предложений, повышения эффективности использования оборудования, совершенствования техники безопасности, разработки и внедрения стандартов на технологические операции и др.

4) Гистограммы, отражающие условия процесса за период, в течение которого были получены данные. Сравнение вида распределения гистограммы с контрольными нормативами дает важную информацию для управления процессом. Гистограммы удобны при составлении месячных отчетов о качестве выпускаемой продукции, о результатах технического контроля, при демонстрации изменения уровня качества по месяцам и т.д.

5) Диаграммы рассеяния, позволяющие выявить причинно-следственные связи показателей качества и влияющих факторов при анализе диаграммы Исикавы. Диаграмма рассеяния (разброса) строится как график зависимости между двумя переменными х и у.

6) Контрольные карты, позволяющие отделить вариации показателя качества, обусловленные определенными причинами, от вариаций, обусловленных случайными причинами.

7) Метод расслоения (стратификации), в соответствии с которым, данные группируются в зависимости от условий их получения. Обработка каждой группы данных проводится отдельно. Расслоение помогает выяснить причины появления дефектов, если обнаруживается разница в данных между «слоями».

б) методы анализа статистических совокупностей:

1) сравнения средних;

2) сравнения дисперсий;

3) регрессивный вид анализа;

4) дисперсионный вид анализа;

в) экономико-математические методы:

1) математическое программирование;

2) планирование эксперимента;

3) имитационное моделирование;

4) метод оценки риска и последствий отказов (FMEA);

5) теория массового обслуживания;

6) теория расписаний;

7) функционально-стоимостный анализ;

8) методы Тагути;

9) структурирование функции качества (СФК) или «Голос клиента».

«Семь инструментов контроля качества» (методы административного управления) позволяют простыми методами решить до 95 % проблем, возникающих при контроле качества в самых разных областях. Оставшиеся 5 % проблем требуют дополнительных методов решения.

«Семь новых инструментов контроля качества» относятся к методам обработки главным образом словесных (описательных) данных. К «семи новым инструментам контроля качества» относятся:

Диаграмма сродства служит для определения нарушений установленного процесса по состоянию нарушений и для указания возможных мер, требуемых для их устранения. Диаграмма сродства представляет собой перечень основных нарушений, скомплектованных по принципу сродства различных данных.

Диаграмма зависимостей составляется для того, чтобы проблемам, требующим решения, зафиксированным в диаграмме сродства, поставить в соответствие основные причины, вызвавшие их появление. Классификация этих причин по важности осуществляется с учетом используемой технологии, а также числовых данных, характеризующих причины.

Системная (древовидная) диаграмма используется в качестве метода системного определения оптимальных средств решения возникших проблем и строится в виде многоступенчатой древовидной структуры, элементами которой являются различные средства и способы решения.

Матричная диаграмма выражает соответствие определенных факторов и явлений различным причинам их появления и средствам устранения их последствий, а также степень зависимостей этих факторов, причин их возникновения и мер по их устранению.

Стрелочная диаграмма используется при составлении оптимальных планов тех или иных мероприятий после того, как определены проблемы, требующие решения, определены необходимые меры, сроки и этапы их осуществления, т.е. после составления первых четырех диаграмм

Диаграмма планирования оценки процесса применяется для оценки правильности осуществления, а также необходимости корректирования тех или иных мероприятий в ходе их выполнения в соответствии со стрелочной диаграммой в случае решения сложных проблем в области научных разработок, в области производства при регулярном появлении брака, при получении крупных заказов со стороны и т.д.

Анализ матричных данных - это обработка большого количества числовых данных, полученных при осуществлении каждого этапа матричной диаграммы. Этот анализ проводится с помощью графиков отдельно для каждой группы данных.

51. 

51. Основные понятия. Классификация СМО

При решении многих экономических задач мы сталкиваемся с системами, выполняющими определенную работу или оказывающими услуги, в которых нуждаются объекты, поступающие в эту систему. Таким системы называются системами массового обслуживания (СМО), а поступающие объекты называются требованиями или заявками.

Задача массового обслуживания заключается либо в реформировании потока требований в систему, либо в обеспечении средствами обслуживания, либо в одновременном решении этих вопросов.

Цель решения этой задачи - минимизация суммарных затрат, связанных с ожиданием обслуживания заявок и с потерями от простоя средств обслуживания.

Применительно к торговле задача массового обслуживания формулируется следующим образом: как спланировать обслуживание, чтобы очередь покупателей и простой продавцов были минимальными. СМО в этом случае характеризует средняя длина очереди. Потоком заявок может быть поток покупателей в магазине или на оптовой базе, поток товаров от поставщика к покупателю, поток транспорта, поток документов и т.д. Каналом может быть продавец или автомат.

СМО делятся на два основные типа:

СМО с отказами;

СМО с очередью (ожиданием)

В СМО с отказами требование, поступившее в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и покидает СМО не обслуженным.

Пример СМО с отказами - телефонная станция. Если вызываемый абонент занят, то требование на соединение с ним получает отказ и теряется.

В СМО с очередью требование, поступившее в момент занятости всех каналов, становится в очередь и ожидает, когда освободится один из них.

СМО с очередью подразделяются на системы с ограниченной или неограниченной длиной очереди, с ограниченным временем ожидания. Среди СМО с очередью различают замкнутые и разомкнутые системы.

Замкнутыми называются СМО, в которых поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен. В качестве примера такой СМО можно привести ремонтные мастерские на предприятиях.

Разомкнутыми называются СМО, в которых поступающий паток требований является неограниченным.

...