Теория статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Конспект лекций

Дисциплина: Статистика

Содержание

статистика производство вариация показатель

Раздел 1.Теория статистики

Тема 1. Предмет, метод и задачи статистики

Тема 2. Источники статистической информации

Тема 3. Сводка и группировка статистических материалов

Тема 4. Статистические таблицы и графики

Тема 5. Абсолютные и относительные величины

Тема 6. Средние величины и показатели вариации

Тема 7. Выборочное наблюдение

Тема 8. Способы формирования выборочных с совокупностей

Тема 9. Ряды динамики

Тема 10. Индексы

Тема 11. Статистические методы изучения взаимосвязей между социально-экономическими явлениями и процессами

Раздел П. Макроэкономическая статистика

Тема 1. Статистика населения и трудовых ресурсов

Тема 2. Статистика социально-экономической эффективности общественного производства

Тема 3. Система национальных счетов

Раздел 3. Статистика перерабатывающих производств, коммерции и менеджмента в системе АПК

Тема 1. Статистика продукции

Тема 2. Статистика численности работников и использования рабочего времени

Тема 3. Статистика производительности труда

Тема 4. Статистика основных и оборотных производственных фондов

Тема 5. Статистика заработной платы

Тема 6. Статистика себестоимости продукции

Литература

Раздел 1. Теория статистики

Тема 1. Предмет, метод и задачи статистики.

1. Понятие и происхождение науки «статистика»

Предмет «статистика» сочетает в себе статистику как науку и статистику, как практику.

Статистика - практическая деятельность по сбору, накоплению, обработке и анализу цифровых данных, характеризующих население, культуру, политику и другие сферы общественной жизни.

Статистика - это наука, изучающая количественную сторону явлений в жизни общества. Наука и практика тесно взаимосвязаны. Наука основываясь на практических данных разрабатывает методы проведения статистических исследований. Практика не использует эти методы в решениях задач.

Возникновение статистики обусловлено общественными потребностями: подсчет скота, земельных угодий, имущества, численности населения. Основоположником науки считается Петти (середина 17 века), который написал такие труды, как «Политическая арифметика» и «Разное о деньгах».

Другое направление статистики дал немецкий ученый Конринг, который описал систему государственного устройства. Его последователи Ахенваль (профессор философии и права). В 1746г. в Марбургском университете ввел новую дисциплину статистика, которая изучала политическое состояние и достопримечательности государства. Слово статистика происходит от слова статус - государствоведение, т.е. состояние вещей и событий в обществе. Ломоносов в ряде работ рассмотрел вопросы населения, торговли, политики, финансов России. В дальнейшем статистики приобретает математическое направление, в этой сфере работали - Гальтон, Фишер, Митчело и др. И российские ученые - Кирилов, Татищев, Порошин. Адам Смит впервые предложил и обосновал необходимость использования в статистике экономического анализа.

Существует три вида учета:

оперативно-технический

бухгалтерский

статистический.

Статистический учет использует данные оперативно-технического и бухгалтерского учета, а также данные опросов переписи населения текущего учета демографических событий.

Таким образом, статистика это общественная наука, данные которой используются во многих отраслях народного хозяйства, в том числе медицине и юриспруденции.

2. Предмет статистической науки

Предмет статистики это массовые общественные явления и процессы, а также закономерности их развития. Статистика изучает влияние природных и технических факторов на изменение количественных характеристик социально-экономических явлений и влияние жизнедеятельности человека и общества на среду.

Явления и процессы изучаются с помощью статистических показателей.

Статистический показатель - количественная оценка свойства, изучаемого явления.

Они делятся:

1. учетно-оценочные

2.аналитические - применяются при анализе статистической информации и характеризуют особенности изучаемого явления. К ним относятся средние, относительные величины, показатели вариации и др.

Пример.

Соотношение продовольственных и непродовольственных товаров в общем объеме товарооборота в %:

	1996г. январь	1996г. февраль
Все товары	100	100
Продовольственные	54	56
3. Непродовольственные	46	44

В таблице представлен пример учетно-оценочных показателей.

С показателями в статистике тесно связаны признаки. Признак выражает качественную особенность явления. Признаки бывают следующие:

Атрибутивные, т.е. смысловое понятие (человек-мужчина, человек-женщина).

Альтернативные (либо мужчина, либо женщина).

Количественные - выражаются цифровыми значениями (стаж работы, заработная плата).

Варьирующие - признаки, принимающие различные значения у отдельных единиц изучаемого явления.

Изучая предмет статистики выявляется статистическая совокупность, т.е. множество единиц изучаемого явления, объединенных в соответствии с задачей исследования единой качественной основы.

Методы статистики

Основным методом является диалектический, т.е. все явления и процессы, происходящие в жизни общества рассматриваются во взаимосвязи и развитии (динамике). К методам относятся:

Способы расчетов обобщающих показателей;

Наглядность изображения статистических данных;

Метод статистического наблюдения;

Метод сводки и группировки результатов наблюдения;

Метод средних величин;

Метод балансовых построений;

Графический метод;

Индексный метод;

Метод корреляции.

4. Задачи статистики на современном этапе экономического развития

Сбор и обработка исходной информации должны происходить с учетом рыночных отношений.

Статистические показатели, применяемые в исследованиях, должны совершенствоваться параллельно совершенствованию бухгалтерского учета.

Определение прогнозов развития экономики на основе обобщения факторов, проявление этих событий.

Обеспечение возможности принятия правильного решения и оценки их эффективности.

Выявление резервов, повышение эффективности производства.

Расширение гласности и доступности статистической информации при сохранении конфиденциальности.

Своевременное обеспечение информацией законодательных, исполнительных и хозяйствующих органов.

Статистические приемы и методы исследования можно применять лишь в тех случаях, когда предварительно доказано, что изучаемые совокупности статистически однородны.

Статистически однородная совокупность есть масса единиц наблюдения одного и того же вида, объединенного одной качественной основой.

Тема 2. Источники статистической информации

1. Понятие статистической информации

Информация - в переводе с латинского сведения о чем-либо.

Статистическая информация - первичный материал, формирующийся в процессе исследования или наблюдения, которые в последующем систематизируются, обобщаются и анализируются.

Статистическое наблюдение - начальная стадия исследования, научно организованная работа по сбору и обработке данных массовых явлений и процессов.

Не все наблюдения являются статистическими, только те которые регистрируются в учетных документах для последующего обобщения. Статистические наблюдения должны отвечать следующим требованиям:

Наблюдения должны иметь научную ценность.

Сбор данных должен быть полным, в противном случае выводы и анализ могут быть ошибочными.

Данные наблюдения должны контролироваться.

Научная организация статистического наблюдения.

2. Формы, виды и способы статистического наблюдения

Существуют две формы статистического наблюдения:

Отчетность;

Проведение специально организованных статистических наблюдений.

Отчетность - это форма статистических наблюдений, при которой сведения поступают в форме специальных отчетов (документов), в определенные сроки по установленной форме.

Отчетность бывает:

По месту предоставления:

а). Общегосударственная, предоставляется вышестоящим организациям и в Госкомстат;

б). Внутриведомственная, предоставляется вышестоящим органам.

По срокам предоставления:

а). Текущая;

б). Квартальная;

в). Годовая.

Специально организованные статистические наблюдения представляют собой сбор сведений по средством опросов, переписей и обследований.

Текущее наблюдение - проводится систематически (регистрация актов гражданского состояния).

Периодическое наблюдение - повторяется через определенный период времени (перепись скота).

Единовременное - наблюдение по мере необходимости (научно исследовательский институт - изучение спроса).

Сплошное - обследует все единицы изучаемой совокупности (перепись населения).

Несплошное - обследуется ряд единиц, обычно происходит перед сплошным (изучение товарооборота на рынке).

Выборочное - часть изучаемых единиц обработанных случайно (бюджет семьи).

Метод основного массива - обследуется часть единиц совокупности, у которой величина обследуемого признака преобладает.

Анкетное - применяются листы опроса.

Монографическое - выявление тенденций в развитии явлений (недостатки или передовой опыт).

Непосредственное - при котором устанавливается факт, подлежащий регистрации и на этом производят записи в журнале регистрации (формуляр).

Существуют следующие методы статистического наблюдения:

Экспедиционный;

Саморегистрация;

Корреспондентский.

Экспедиционный - регистраторы сами устанавливают факты путем непосредственного наблюдения на основании документов или опроса, и сами заполняют формуляр наблюдения.

В связи создания автоматизированной, статистической, информационной системы изменяется организация сбора обработки доставки статистической информации.

7. Программы статистического наблюдения

Каждое наблюдение проводится с определенной целью. Цель - это основной результат исследования. Четкое формирование цели необходимо, для того чтобы недопускать излишних и неполных данных.

Этапы наблюдения:

Определение объекта;

Установление единицы наблюдения;

Составление программы.

Объект наблюдения - это массовые явления, состоящие из отдельных единиц.

Единица наблюдения - первичный элемент объекта, который является носителем исходной информации.

Величина признака, по которому устанавливают единицу наблюдения, количественно или качественно изменяется, т.е. принимает различные значения единицы совокупности - вальирование.

Понятие объекта и единицы совокупности может меняться в зависимости от стоящих задач при исследовании.

Программа статистического наблюдения представляет собой перечень показателей, который подлежит изучению.

Требования, предъявляющиеся к программе:

Не должно быть лишних вопросов.

Не должно быть таких вопросов, на которые заведомо нельзя дать ответа.

Формулировки должны быть четкими.

Должна быть сопоставима с программой предыдущих исследований.

Все ответы на вопросы должны быть отражены в статистических формулярах (документах).

Программа наблюдения определяется задачами всего статистического наблюдения, поэтому необходимо не только правильно ее составить, но и обеспечить проверку этой программы на практике.

Тема 3. Сводка и группировка статистических материалов

1. Понятие статистической сводки и группировки

В результате статистического исследования собирается статистическая информация, которая впоследствии систематизируется и обобщается, т.о. вторым этапом исследования является сводка и группировка данных.

Статистическая сводка - систематизация единичных фактов, позволяющая перейти к обобщающим показателям изучаемой совокупности и ее частям, а также осуществить анализ и прогнозирование изучаемых явлений и процессов.

Различают сводку в широком и узком смысле слова.

Сводка в узком смысле слова, т.е. в простом представляет собой ранжирование, т.е. упорядочение в порядке возрастания или убывания данных, а также суммирование по всем единицам наблюдения.

Сводка в широком смысле предполагает разделение на качественно однородные группы, для характеристики этих групп по ряду существенных признаков. Элементами сводки в широком смысле являются:

Программа сводки;

Исчисление обобщающих показателей по каждой группе и по всей совокупности в целом;

Оформление конечных результатов сводки в статистические таблицы или графики.

Группировка - объединение единицы совокупности в качественно однородные группы для изучения структуры совокупности, связи между признаками для характеристики различных типов изучаемых явлений. Всякая группировка имеет основной группировочный признак - факторный, который служит основанием для распределения признаков по группам, а для характеристики по взаимосвязи между отдельными явлениями и процессами добавляются значения результативного признака, который зависит от факторного. От цели экономического анализа и от исходной информации - группировки делят:

По содержанию - на аналитические и типологические;

По структуре;

По строению - первичные и вторичные.

Аналитические группировки имеют количественно выраженный признак.

В типологических группировках признак не имеет количественного значения, а означает какое-то понятие, т.е. тип.

Структурные группировки исследуют цель определения структуры изучаемого явления и помогают выявить соответствие входящих в изучаемую совокупность составных частей. Например, структура затрат на производство. По строению первичные группировки представляют собой группировки по исходным данным, вторичные группировки - это перегруппировки, с целью выявить более четкие закономерности развития изучаемых явлений. При построении группировки следует соблюдать:

В основу группировки необходимо положить наиболее существенные признаки, отвечающие задаче исследования и учитывающие особенности изучаемого явления;

Необходимо брать не один, а несколько группировочных признаков, что позволяет глубже охарактеризовать сложные явления.

Выбор числа групп определяется группировочным признаком с учетом степени его варьирования (изменения, колебания), но предпочтительно брать нечетное число.

2. Статистические ряды распределения

Результаты сводки и группировки материалов статистического наблюдения оформляются в виде рядов распределения и таблиц. Статистические ряды распределения представляют собой упорядоченное расположение единиц совокупности по группам и группировкам. Ряды распределения изучают структуру совокупности, позволяют изучить ее однородность, размах и границы. Ряды распределения, образованные по качественным признакам, называют атрибутивные (заработная плата, объем товарооборота). При группировке по количественному признаку выделяются вариационные. Вариационные ряды по строению бывают:

Дискретными (прерывными) - основанные на прерывных вариациях признака (2 кассы, 3 отдела).

Интервальные (непрерывные) - имеющие любые, в том числе и дробные количественные выражения (стаж работы от 5 до 10 лет).

При построении вариационных рядов пользуются понятиями:

Варианта (x);

Частота (f);

Частость.

Варианта - отдельное значение варьируемого признака, которое он принимает в ряду распределения.

Частота - численность отдельных вариант или каждой группы вариационного ряда. Частоты, выраженные в % или долях процента называются частостями.

Рассмотрим ряд распределения по атрибутивному признаку - распределение магазинов региона по категориям продавцов:

Категория продавцов	Число продавцов	В % к итогу
I	20	26,3
II	50	52,6
III	20	21,1
ИТОГ:	95	100

Например, дискретный ряд распределения.

Распределение магазинов по числу товарных секций.

Число товарных секций (x)	На 1 января 2002г.	На 1 января 2002 г.
	число магазинов(f)	в % к итогу	число магазинов(f)	в % к итогу
1	3	6	6	10
2	10	20	16	26,7
3	15	30	30	33,3
4	12	24	12	20
5	7	14	4	6,7
6	3	6	2	3,3

Для данного дискретного ряда по необходимости и для наглядности построим график, где по оси абсцисс будут число отделов, а по ординат число магазинов в процентах.

Рис. 1 Распределение магазинов по числу товарных секций

По графику видно, что в 1998г. отдается предпочтение мелким магазинам с наибольшим числом отделов.

Рассмотрим интервальный ряд распределения:

Распределение продавцов магазина по производительности.

Производительность продавцов тыс. руб. (x)	Число продавцов (f)	В % к итогу	Кумулята
80-100	5	10	5
100-120	10	20	15=5+10
120-140	20	40	35
140-160	10	20	45
160-180	5	10	50

Интервальный ряд распределения изображается как графически, так и в виде гистограммы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Рис. 2 Гистограмма

В практике экономической работы возникает потребность в преобразовании рядов распределения в куммулятивные ряды, строящиеся по накопленным частотам. Накопленные частоты определяются путем последовательного прибавления к частотам I группы показателей последующих групп ряда распределения. Комуляту часто изображают графически (см. рис.3). С помощью комулятивных кривых можно изображать процесс концентрации. Если варианта ряда распределения имеет незначительные колебания и распределение носит довольно равномерный характер, то при построении рядов распределения используют равновеликие интервалы, которые определяются по формуле:

где Xmax и Xmin - наибольшие и наименьшие значения вариант в ряду;

n - число групп;

разность (Xmax - Xmin) - размах вариации;

i - равновеликий интервал.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Рис. 3 График изображения кумуляты

Тема 4. Статистические таблицы и графики

1. Статистические таблицы

Таблица - это форма наиболее рационального изложения цифрового материала.

Основа (остов) статистической таблицы - это ряд взаимопересекающихся горизонтальных и вертикальных линий, образующих по горизонтали строки, а по вертикали графи (столбцы).

Каждая строка и графа имеет свое наименование, которая должна соответствовать содержанию таблицы. Таблица должна иметь указания, что это таблица и название, определяющее ее содержание.

В таблице есть подле6жщее и сказуемое. Подлежащим таблица называется объект, который в ней характеризуется цифрами, сказуемое таблицы образует система показателей, которыми характеризуется объект изучения, т.е. подлежащее таблицы.

Виды таблиц.

1. Простые таблицы - это те таблицы, в подлежащем которых нет группировок. Они бывают перечневые, хронологические и территориальные;

2. Групповые таблицы. В них объект разделен на группы по тому или иному признаку;

3. Комбинационные таблицы. В них объект разделен на группы по двум и более признакам, взятым в комбин6ации.

2. Графики и их виды

Графиком называют наглядное изображение статистических величин при помощи геометрических линий и фигур или географических картосхем (картограмм).

В каждом графике существуют основные элементы:

1. графический образ (основа графика) - это геометрические знаки, совокупность точек, линий, фигур, с помощью которых изображаются статистические величины;

2. поле графика - это то место, где расположены графические образы;

3. пространственные ориентиры, определяющие размещение геометрических знаков на поле;

4. масштабные ориентиры, дающие этим знакам количественную определенность;

5. экспликация графика, включающая в себя его название и соответствующие пояснения отдельных его частей.

Масштабные ориентиры определяются системой масштабных шкал. Масштабом графика называется условная мера перевода числовой величины в графическую. Масштабная шкала - это линия, отдельные точки которой могут быть в соответствии с принятым масштабом прочитаны как определенное значение статистического показателя.

Виды статистических графиков.

Статистические графики классифицируются с разных точек зрения. Мы уже приводили их классификацию по характеру применяемых графических образов. С точки зрения разрешаемых задач статистические графики можно разделить на 1) графики сравнения статистических показателей; 2) графики структуры и структурных сдвигов; 3) графики динамики; 4) графики контроля выполнения плана; 5) графики пространственного размещения и пространственной распространенности (картограммы и картодиаграммы); 6) графики вариационных рядов; 7) графики зависимости варьирующих признаков.

Тема 5. Абсолютные и относительные величины

1. Абсолютные величины

В итоге статистической сводки образуются обобщающие показатели, характеризующие результаты познания количественной стороны общественных явлений. К таким показателям относят абсолютные, относительные и средние величины. Абсолютные величины бывают двух видов

индивидуальные;

суммарные.

Индивидуальные характеризуют размеры отдельных единиц совокупности. Индивидуальные абсолютные величины получают в результате статистического наблюдения и фиксируют в первичных документах.

Суммарные абсолютные величины определяют путем суммирования отдельных индивидуальных величин.

Абсолютные величины отражают естественную основу явлений, они выражаются либо численностью единиц совокупности, либо в их абсолютных размерах в натуральных единицах, вытекающих из физических свойств. Абсолютные величины измеряются в следующих единицах измерения:

натуральных (тонны, кг., гр., шт.);

в трудовых (часы, дни, месяца, человеко-часы, человеко-дни);

стоимостные (руб., млн. руб.);

комбинированные (тон. км., цент/га.).

При определении суммарных показателей, когда индивидуальные величины характеризуют отдельные разновидности продукции, близкие по своим свойствам, применяются условные натуральные измерители.

При определении абсолютных показателей их могут сравнивать, при этом рассчитывая абсолютные отклонения.

Пример. Стоимость основных фондов тыс. руб.

Стоимость Основных фондов	Стоимость на начало года	Стоимость на конец года	Абсолютные отклонения + ; -
Здания	1010	1010	-
Сооружения	900	920	+20
3. Придаточные устройства	740	735	-5
4. Транспортные средства	480	510	+30
ВСЕГО:	3130	3175	+45

По данным таблицы можно сделать вывод, что стоимость О.Ф. на конец года увеличилась на 45 тысяч рублей.

2. Относительные величины

Одной из наиболее распространенных обобщающих величин в статистике является относительная величина.

Относительные величины представляют собой меру количественного соотношения конкретных явлений в общественной жизни.

Относительная величина рассчитывается как отношение двух взаимосвязанных показателей. При этом в числителе находится сравниваемая величина, а знаменатель содержит базу относительного сравнения. Если база сравнения принята за единицу, то рассчитываемый показатель называется коэффициент. Если база сравнения принята за сто, то называется процент. Если база принимается за тысячу, то исчисляемая величина называется промилей. Если за десять тысяч, то продецемилей. Относительные величины бывают следующих видов:

Процент выполнения плана: факт/план 100%

Относительная величина структуры - характеризует долю отдельных частей в общей совокупности.

Относительные величины структуры называют удельным весом единиц в общей совокупности.

Основные Фонды	Стоимость на начало года	Стоимость на конец года	Удельный вес. %
			Начало года	Конец года
1. Здания	1010	1010		32
2. Сооружения	900	920	29	29
3. Придаточные устройства	740	735	24	23
4. транспортные средства	480	510	13	16
ВСЕГО:	3130	3175	100	100

3. Относительные величины динамики, они характеризуют изменения явлений во времени по сравнению с уровнем, принятым за базу сравнения.

О. Ф.	1991	1992	1993	1994	1995
Стоимость млрд. руб.	1000	1010	1005	1200	1180

Относительные величины динамики принято называть темпами роста (Т).

Цепные темпы роста ; ; ;

….

Базисные темпы роста - за основу принимается постоянная база сравнения, т.е. начальный уровень ряда динамики.

; ; ;

Относительные величины координации, характеризующие отношения отдельных частей совокупности с одной из них, принятой за базу сравнения (численность сел. жителей на 100 человек городских жителей).

Относительные величины интенсивности - показатели, характеризующие меру распространения или развития данного явления в определенной среде, они рассчитываются как отношение абсолютной величины к размеру среды, в которой они находятся (производство сельскохозяйственной продукции с 1 га сельскохозяйственных угодий; фонд отдачи, т.е. сколько рублей товарной продукции получено на 1 рубль вложенные в основные средства).

Относительные величины сравнения, получаются путем сравнения одноименных уровней, относящихся к разным объектам, территориям за один и тот же период или на один и тот же момент времени (производство хлеба на вяземском заводе по сравнению с сафоновским).

Тема 6. Средние величины и Показатели вариации

1. Сущность средних величин и их значение в статистическом анализе

Средней величиной является обобщающая характеристика большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Средняя величина - то общее, что характерно для всей совокупности, но исключает те отличия, которые наблюдаются у отдельных единиц как бы взаимно погашая их. Средние величины должны определятся не для всех совокупностей, а только для тех, которые являются однородными. Средние величины, полученные для неоднородных совокупностей не только не имеют ценностей, но даже могут принести вред искажая истинный характер общественного явления. Таким образом, в статистике средней величиной является обобщающий показателей, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности.

Значение средней величины в следующем: их используют для оценки результатов использования научных разработок в производстве, в социальной жизни, а также в изыскании скрытых и неиспользованных резервов.

2. Виды средних величин

1. Средняя арифметическая величина.

Самым распространенным видом расчета средней величины является определение средней арифметической.

Пример.

5 рабочих токарей делают одинаковые детали за смену:

первый - 12

второй - 9

третий - 11

четвертый - 13

пятый - 15

Определить среднюю производительность.

Всего - 60.

Производительность - 12= 60/5

В этом случае производятся вычисления по формуле средней арифметической простой

где - средняя варианта;

х - варианта;

n - число единиц совокупности несгруппированного ряда.

Данная формула применяется в том случае, если в исходных данных значение каждого варианта встречается один раз. Если же значение вариант (х) встречается по несколько раз, т.е. имеет место частота, то расчет средней арифметической производится по формуле средней арифметической взвешенной

где х - варианта;

- частота.

Пример.

Определить среднюю грузоподъемность одного крана, если имеется:

Число кранов ()	Грузоподъемность тонн (х)
1	40
2	25
3	10
4	5
Итого 10

Средние арифметические применяются в тех случаях, когда общий объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признаков отдельных ее единиц. При расчетах средней арифметической выделяются ее основные свойства:

- среднее от постоянной величины равна ей самой:

произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант на частоты:

изменение каждого варианта на одну и туже величину изменяет среднюю величину на эту же величину:

изменение каждого варианта на одно и тоже число изменяет среднюю во столько же раз:

изменение каждой частоты в одно и тоже число раз не изменяет величину средней:

алгебраическая сумма отклонений всех вариантов от средней равна 0:

Определение средней арифметической по данным интервального вариационного ряда происходит следующим образом, - для каждого ряда определяется среднее значение интервала как полусумма его нижнего и верхнего значения вариант, а далее расчет ведется по формуле средней арифметической взвешенной.

Пример.

Распределение рабочих цеха по производительности

Производительность.шт.	Среднее значение xi	Количество рабочих fi
0-5	2,5	146
5-10	7,5	495
10-15	125	237
15-20	17,5	103
20 и более	22,5	19
Всего:		1000

(лет)

2. Средняя гармоническая величина

Это величина обратная среднеарифметической. Она применяется, когда известны отдельные значения варьирующего признака и вся совокупность признаков, а частоты неизвестны.

Существует два вида среднегармонической:

Средняя гармоническая простая определяется:

где n - число единиц совокупности для несгруппированного ряда;

- варианта.

Пример.

Скорость по течению реки 60 км/ч., против течения - 40 км/ч. Определить среднюю скорость движения.

Весь путь S=1, но тем не менее путь проходят дважды, то S=2, V₁=60 км/ч., V₂=40 км/ч., тогда средняя скорость движения:

Средняя гармоническая взвешенная определяется:

;

Пример.

Имеются данные о валовом сборе и урожайности зерновых культур по трем колхозам:

Колхозы	Валовый сбор	Урожайность
1	1000	20
2	1100	22
3	1440	24

Определить среднюю урожайность.

Валовый сбор = урожайность площадь.

Частота - площадь посевов

3. Средняя хронологическая величина

Применяется для определения среднего уровня в моментных рядах динамики. Существует два вида рядов динамики:

моментные;

интервальные.

Интервальные - это такие ряды в которых данные приводятся за определенный период времени (месяц, год). Средний уровень ряда в интервальном ряду определяется по средней арифметической простой.

Моментные - это такие ряды, где данные представлены на определенный момент времени (на определенную дату). Если интервалы времени между датами равны, то расчет средней ведут по формуле средней хронологической простой.

Пример.

Моментный ряд:

	1.01	1.02	1.03	1.04
Численность рабочих	100	108	102	96

чел.

Если интервалы между датами в моментных рядах не одинаковые, то расчет ведется в два этапа: по средней хронологической взвешенной

определяется средняя внутри каждого интервала времени по среднеарифметической простой;

определяется общая средняя по среднеарифметической взвешенной, где частотами являются интервалы между датами.

Определить среднюю численность:

,

где 2 - это два полугодия;

1 - это одно.

4. Средняя квадратическая величина

Применяется при определении показателей вариации и рассчитывается как корень квадратный из средней арифметической.

Средняя квадратическая простая:

Взвешенные:

5. Средние структурные величины

При определении среднеструктурных величин определяются мода и медиана.

Медиана - вариант, расположенный в центре ранжированного ряда, медиана делит ряд на две одинаковые части, таким образом, чтобы по обе ее стороны находилось одинаковое число единиц совокупности. Если всем единицам ряда придать порядковые номера, то порядковый номер медианы будет определяться по формуле для рядов, где - нечетное, если же ряд с четным числом единиц, то медианой будет являться среднее значение между двумя вариантами, определенными по формуле:

.

Нахождение медианы в интервальных вариационных рядах требует предварительного определения интервала в котором находится медиана, т.е. медианного интервала - этот интервал характеризуется тем, что его коммулятивная частота равна полусумме или превышает полусумму всех частот ряда.

В зависимости от этого медиану определяют по формуле:

где - нижняя граница медианного интервала;

- ширина медианного интервала;

- сумма накопленных частот до частоты медианного интервала;

- частота медианного интервала.

Пример.

Определить медиану, если:

Стаж рабочих.лет	Численность раб.	Коммулята
0-5	146	146
5-10	495	641
10-15	237	878
15-20	103	981
20 и более	19	1000
Всего:	1000

Вывод: из 1000 рабочих 500 чел. имеет стаж работы меньше 8,57.лет.

Квартиль -это четвертая часть совокупности, определяется как и медиана, только сумму частот необходимо разделить на 4, а при определении квартильного интервала коммулятивная частота должна быть больше или равна четверти суммы частот совокупности.

Мода - вариант наиболее часто встречающийся в совокупности. В дискретном ряду мода - это вариант с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вариант модального интервала. В пределах интервала надо определить то значение признака, который обладает наибольшей частотой. Определяем по формуле:

где - нижний уровень модального интервала;

- ширина интервала;

- частота интервала;

- частота предыдущего и последующего интервала.

Дециль - делит совокупность на десять равных частей. Определяется аналогично как и квартиль только сумму частот необходимо разделить на 10.

Средняя геометрическая

Применяется для характеристики рядов динамики при определении средних темпов роста.

, если , тогда:

;

, т.е. число уровней ряда без одного или число темпов роста.,

- начальный уровень ряда;

- конечный уровень ряда.

Пример.

Определить цепные темпы роста и средний темп роста товарной продукции, если:

	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002
Товарная Продукция млн. руб.	17100	17140	1800	18200	18380	19410	19300

; ; ;

средний темп роста = = 1,0153

3. Понятие вариации

Различия индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности называется вариацией признака.

Это изменение возникает в результате того, что индивидуальные значения складываются по совокупным факторам, которые по-разному действуют на совокупность целого.

Средняя величина - это абстрактная обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности.

Она не дает данные о том, как отдельные значения изучаемой совокупности группируются вокруг средней.

Колеблимость отдельных значений характеризуют показатели вариации. Термин «вариация» происходит от латинского и обозначает - изменения, колеблимость.

Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения в пределах одного признака в однородной совокупности, которые обусловлены и зависят от влияния различных факторов.

Анализ статистической совокупности позволяет оценить степень зависимости изучаемой совокупности и ее признаков от ее факторов.

Пример.

Изучая вариацию можно определить однородность совокупности. Степень близости данных отдельных единиц x к средней измеряются рядом абсолютных, относительных и средних показателей вариации.

4. Показатели вариации

Несгрупированый ряд Сгруппированный ряд

1-й показатель-размах вариации отклонение максимального признака от минимального
2-й показатель - среднее линейное отклонение - представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их среднего значения.
- это абсолютное значение (модель) отклонения значения варианты от ее ср. величины.
3-ий показатель - дисперсия - представляет собой средний квадрат отклонений вариант от их среднего значения.
4-ый показатель - седнее квадратическое отклонение - представляет собой корень из дисперсии.

5-ый показатель. Коэффициент вариации - это отношение седнего квадратического отклонения к среднему значению.

Коэффициент вариации применяется в следующих случаях:

когда необходимо определить и сравнить степени рассеивания 2-х или нескольких признаков, выраженных в различных единицах измерения для характеристики одной и той же совокупности;

когда необходимо определить рассеивание одного и того же признака в разных единицах совокупности, имеющих разные единицы измерений и разные ср. величины.

Если коэффициент вариации составляет более 0,40 то такая совокупность считается неоднородной.

Пример.

Имеются данные о стаже работы рабочих 3-х бригад:

I бригада - 15, 18, 20, 22, 25 лет;

II бригада - 10, 15, 20, 25, 30 лет;

III бригада - 8, 12, 17, 25, 38 лет.

Определить показатель вариации.

1. Размах вариации.

2. Среднее линейное отклонение.

I.

II.

III.

В I бригаде абсолютное отклонение каждого значения от средней величины 2,8 лет, во II бригаде - 6 лет, в III бригаде - 9,2 лет.

3. Дисперсия, средний квадрат отклонения

I.

II.

III.

Чем больше ср. квадратическое отклонение, тем более высока вариация, т.е. более неточным будет среднее значение.

4. Коэффициент вариации.

I.

II.

III.

III бригада является неоднородной совокупностью, т.к. коэффициент вариации составляет более 0,40.

5. Показатели относительного рассеивания

Данные показатели позволяют охарактеризовать совокупность, а в частности колеблимость изучаемого признака. Показатели относительного рассеивания определяются путем деления меры относительного рассеивания на среднюю арифметическую величину и выражаются в %. К таким показателям относятся:

1). Коэффициент осцеляции - определяется как отношение размаха вариации к средней величине признака и характеризует относительную рассеянность или колеблимость крайних значений признака вокруг средней:

,

где - размах вариации. Этот показатель показывает на сколько % отклоняется среднее от крайних значений вариации.

Если >100, то (крайних значений признака) и наоборот.

2). Относительное линейное отклонение.-средние линейное отклонение делим на среднюю величину, ия:

Пример.

Рассчитать показатели вариации и показатели относительного рассеивания по данным таблицы.

Выполнение нормы	Среднее значение	Численность рабочих, чел.
80-90	85	5
90-100	95	19
100-110	105	36
110-120	115	25
120 и более	125	15 / 100

6. Закон сложения дисперсии

Если статистическая совокупность разбита на несколько групп по одинаковому признаку, то средняя величина и дисперсия могут быть определены не только для всей совокупности, но и для отдельной ее части. В зависимости от этого можно выделить межгрупповую и внутригрупповую вариацию. А, следовательно, рассчитать среднюю величину и дисперсию, как межгрупповую, так и внутригрупповую.

В зависимости от всех условий в совокупности определяют общую дисперсию, которая зависит от этих условий:

где - общее среднее для всей изучаемой совокупности, т.е. среднее для всех групп, входящих в совокупность.

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию признака изучаемой совокупности, изменение признака которой возникает под влиянием фактора, положенного в основу группировки.

Межгрупповая дисперсия характеризует колеблимость групповых средних около общей средней:

где - средняя величина признака по относительным группам;

- частота отдельных групп.

Средняя внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе. Данная вариация возникает в зависимости от влияния других факторов, которые не учитываются при группировке.

Между общей дисперсией и средней из групповой дисперсии и межгрупповой существует взаимосвязь:

- закон сложения дисперсии

7. Свойства дисперсии

Если из всех значений вариант вычесть какое-то постоянное число, то средний квадрат отклонений не изменится:

Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число, то средний квадрат отклонений уменьшиться в а раз:

Если средний квадрат отклонений от любой величины а - которая отличается от средней арифметической х, то он будет всегда больше среднего квадрата отклонений от средней арифметической: , но больше на определенную величину, а эта величина определена, как квадрат разности между средней и этой, условно взятой величиной:

используя 2-ое свойство дисперсии в математической статистике можно рассчитать дисперсию способом моментов. Средний квадрат отклонений от средней величины имеет свойства min, т.е. дисперсия от средней всегда меньше дисперсий исчисляемых от других величин. В этом случае, если а - постоянное число = 0, то, следовательно, средний квадрат отклонений будет определяться по формуле:

- ср. квадрат значений признака;

- квадрат среднего значения признака.

Значит, средний квадрат отклонений равен разности между средним квадратом значения признака и квадратом ср. значения признака.

Также способ моментов называется способом отсчета от условного нуля. Данный способ можно применять только в тех случаях, если в вариационных интервальных рядах интервалы одинаковы.

Используя 2-ое свойство дисперсии, разделив все варианты на величину интервала, получим формулу дисперсии:

где i - величина интервала для данной совокупности

;

Пример.

Рассчитать все показатели вариации, доказать закон сложения дисперсии.

Общий объем ТП	Число предприятий	Расчет общей дисперсии
	Государст- венных	АО	Всего
10-12		3	3	11	33	-7,14	50,9796	152,9388
12-14		4	4	13	52	-5,14	26,4196	105,6784
14-16		17	17	15	255	-3,14	9,8596	167,6132
16-18	11	15	26	17	442	-1,14	1,2996	33,7896
18-20	13	6	19	19	361	0,86	0,7396	14,0524
20-22	18	5	23	21	483	2,86	8,1796	188,1308
22-24	6		6	23	138	4,86	23,6196	141,7176
24-26	2		2	25	50	6,86	47,0596	94,1192
Итого:	50	50	100					898,04

Общая дисперсия

В среднем по региону средний объем товарной продукции равен 18,14 млрд. руб.

					По АО (где а = 17)
11	3	-6	-9	54	27
12	4	-4	-8	32	16
15	17	-2	-17	34	17
17	15	0	0	0	0
19	6	2	6	12	6
21	5	4	10	40	20
Итого:	50			172	86

,

Ср. квадратное отклонение АО:

по региону средний объем товарной продукции в регионе АО 16,82

,

Расчет межгрупповой дисперсии

Предприятия по форме собственности	Ср. размер ТП 1 предприятия	Число предприятий
Государственные	20	50	1,86	3,4596	172,98
АО	16,28	50	-1,86	3,4596	172,98

Закон сложения дисперсии доказан.

Если разделить дисперсию групповых средних на общую дисперсию, то получим коэффициент детерминации.

- дает эмпирическое корреляционное отношение, показывает тесноту между группировочным признаком и результативным.

8. Дисперсия альтернативного признака

Среди варьирующих признаков, которые изучает статистика, встречаются признаки вариации, которые проявляются в том, что у одних единиц совокупности они встречаются, у других нет.

Признаки, которыми обладают данные единицы и не обладают другие, называются альтернативными.

Количественно вариация альтернативного признака в численности всей совокупности обозначается а доля единиц, не обладающих признаком, обозначается и принимает значения , тогда:

Среднее значение альтернативного признака равно доле, которая является обобщающей характеристикой совокупности по этому варьирующему признаку:

Тогда дисперсия альтернативного признака равна:

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли на дополняющее эту долю до единицы число. Т.к., , то средний квадрат отклонений не может быть больше 0,25.

9. Приемы анализа вариационных рядов

Закономерные изменения частот за счет изменения варьирующего признака в вариационных рядах называется закономерностями распределения.

Главной задачей анализа вариационных рядов является выявление закономерностей распределения и характера распределения.

Например, распределение рабочих по уровню заработной платы зависит от условий:

квалификации;

нормы выработки;

расценок;

условий труда - это общее условие.

Тип закономерности распределения - это отражение в вариационных рядах общих условий, определяющих распределение в однородной совокупности. Общие условия, определяющие тип закономерностей, познаются анализом сущности явления тех его свойств и условий, которые определяют изменчивость вариационного признака. Следовательно, должна быть построена кривая распределения. Кривая распределения - это графическое изображение частот варьирующего ряда в виде непрерывной линии, где частоты связа...