Теория статистики

где - генеральная дисперсия.

где - выборочная дисперсия.

Отсюда видно, где генеральная дисперсия отличается от выборочной дисперсии в раз.

Существует повторный и бесповторный отбор. Сущность повторного отбора состоит в том, что каждая, попавшая в выборку единица, после наблюдения возвращается в генеральную совокупность и может быть исследована повторно. При повторном отборе средняя ошибка выборки рассчитывается:

Для показателя доли альтернативного признака дисперсия выборки определяется по формуле:

На практике повторный отбор применяется редко. При бесповторном отборе, численность генеральной совокупности N в ходе выборки сокращается, формула средней ошибки выборки для количественного признака имеет вид:

, тогда

Одно из возможных значений, в которых может находиться доля изучаемого признака равно:

где - ошибка выборки альтернативного признака.

Пример.

При выборочном обследовании 10 % изделий партии готовой продукции по методу без повторного отбора получены следующие данные о содержании влаг в образцах.

Влажность %	Число образцов	хi
До 13	4	12
13-15	18	4
15-17	50	16
17-19	22	18
19 и выше	6	20
	100

Определить средний % влажности, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, с вероятностью 0,954 возможные пределы, в которых ожидается ср. % влажности всей готовой продукции, с вероятность 0,987 возможные пределы удельного веса стандартной продукции при условии, что к нестандартной партии относятся изделия с влажностью до 13 и выше 19 %.

Лишь с определенной вероятностью можно утверждать, что генеральная доля от выборочной доли и генеральная средняя от выборочной средней, отклоняются в t раз.

В статистике эти отклонения называются предельными ошибками выборки и обозначаются .

Вероятность суждений можно повысить или понизить в t раз. При вероятности 0,683 , при 0,954, при 0,987, тогда показатели генеральной совокупности по показателям выборки определяются:

Средний процент влажности генеральной совокупности может быть любым значением, находящемся в пределах от 15,82 до 16,33.

;

Таким образом, удельный вес стандартных изделий в генеральной совокупности находится в пределах 81 % - 99 %.

Из расчета задачи видно, что возможные пределы удельного веса единиц генеральной совокупности будут находиться:

А среднее значение генеральной совокупности находится в пределах:

Тема 8. Способы формирования выборочных с совокупностей

1. Районированный и нерайонированный отбор

Формирование выборочной совокупности происходит из единиц генеральной совокупности, причем, отбор может быть нескольких видов:

нерайонированный отбор - отбор единиц в выборочную совокупность из генеральной совокупности не разбитой на группы по каким-либо признакам;

районированный - генеральная совокупность делится на группы по признакам.

Пример, отбор предприятий по отраслям. Разбивка генеральной совокупности на группы происходит по реально существующим признакам, в данном случае такой отбор называется типическим.

Типический отбор облегчает формирование выборочных совокупностей и обеспечивает более равномерное распределение единиц в генеральной совокупности.

При типическом отборе показатели выборочной характеристики, более точнее, чем при нерайонированном отборе.

2. Собственно-случайный отбор

Дает лотерея, жеребьевка или тираж, при этом обеспечивается абсолютно равная возможность попадания в выборку любой единицы.

Пример, тираж «Русское лото» и попадание в выборку любого билета, при этом ошибка выборки определяется по формуле:

3. Механический отбор

Составляют список всех единиц совокупности и определяют интервал путем деления числа генеральной совокупности на число выборочной совокупности.

Поэтому в выборочную совокупность войдут единицы генеральной совокупности, расположенные в списке через данный интервал.

Принцип случайного отбора в механической выборке обеспечивается тем, что единицы в генеральной совокупности располагаются в таком порядке, который не оказывает влияние на изучаемый признак или фактор. Механический отбор можно использовать и без применения списков, а брать единицы так, как они располагаются в генеральной совокупности.

Пример, при 2 % отборе из 100 единиц в выборку попадает каждый 50-й. Ошибка выборки при механическом отборе, рассчитывается исходя их внутригрупповой дисперсии или средней из групповых дисперсий.

Однако, если генеральная совокупность разбита на группы по строго нейтральному признаку, то ошибку выборки, исходя из внутригрупповой дисперсии, определить нельзя, т.к. внутригрупповая равна общей дисперсии.

4. Типический отбор

Данный отбор состоит из 2 этапов:

определяют признак, по которому проводится районирование генеральной совокупности;

в группах проводят механический отбор единиц выборочной совокупности.

При этом ошибка выборки рассчитывается:

где исходя из закона сложения дисперсии равна разности общей дисперсии и межгрупповой дисперсии, т.е.

С помощью корреляционного отношения, которое определяется как корень квадратный из частного межгруппового и общей дисперсией:

В связи с этим, дисперсия выборочной средней в типической выборке равна:

Следовательно, типизация уменьшает ошибку выборки на

Численность единиц выборочной совокупности между группами обычно распределяется пропорционально численности по группам единиц в генеральной совокупности в группах на соответствующие групповые средние квадратические отклонения.

Разновидностью типической выборки является систематический отбор, т.е. механический отбор из совокупности ранжированной по какому-либо признаку, связанному с изучаемым признаком.

Пример, отбор рабочих по семейному бюджету, связанному с их средней заработной платой.

5. Многоступенчатая выборка

Типичный отбор состоит в многоступенчатой выборке из сочетания нескольких стадий отбора, причем на каждой стадии имеется своя единица отбора (отрасль предприятия, численность и средняя заработная плата.).

Пример, проведем многоступенчатую выборку. В области имеются 13 предприятий общей численностью 40 тыс. человек. Требуется 200 человек так, чтобы с каждого предприятия было 25 работников с различным уровнем заработной платы.

№ завода	Численность чел.	Комулятивная численность	Фонд оплаты труда тыс. руб.	Средняя з/пл. тыс. руб.
1	6800	6800	11560	1,7
2	4600	11400	7590	1,65
3	5100	16500	8262	1,62
4	4000	20500	6320	1,58
5	4200	24700	6550	1,56
6	4200	28900	6510	1,55
7	2000	30900	3040	1,52
8	3100	34000	4588	1,48
9	1500	35500	2190	1,46
10	700	36200	1015	1,45
11	1400	37600	1988	1,42
12	1100	38700	1540	1,4
13	1300	40000	1794	1,38
			62947	1,5737

I ступень.

Определим число предприятий, попадающих в выборку: предприятий.

Для того, чтобы приступить к отбору предприятий, определим величину интервала

Каждый 5000-ый работник попадает в выборку:

№ п/п	№ предприятия	Комулятивная численность	Численность	ФОТ
1	1	2500	6800	11560
2	2	7500	4600	7590
3	3	12500	5100	8262
4	4	17500	4000	6320
5	5	22500	4200	6550
6	6	27500	4200	6510
7	8	32500	3100	4588
8	11	37500	1400	1988
			33400	53368

II ступень.

Проверяем репрезитивность средней заработной платы. по всем предприятиям:

Выборочные данные репрезитивны, т.к. выборочная средняя ненамного отличается от общей средней.

III ступень.

Определим рабочих внутри предприятия. Рабочих делят на квалифицированных и неквалифицированных. Так по данным 1-го предприятия из 6800 человек 5440 являются квалифицированными, значит, 4/5 квалифицированные, а 1/5 - неквалифицированные, т.е. из 25 рабочих 20 войдут в первую группу, пять во вторую. Далее составляют 2 списка по квалификациям и определяют интервал внутри каждого списка:

Таким образом, 272-ой рабочий по списку войдет в выборку.

Далее по другим предприятиям аналогично. Из этого видно, что предприятия в пределах отрасли отбирают механическим отбором с последующей проверкой репрезитивности по среднему уровню заработной платы.

Рабочих же выбирают на основе пропорционально типическому отбору. Многоступенчатый отбор принимают при наличии нескольких типов единиц отбора, которые отличаются по своим масштабам, при этом необходимо так организовать выборочное исследование, чтобы оно равномерно распределялось между отдельными частями сложного явления.

6. Многофазная выборка

Отличается от многоступенчатой тем, что на всех ступенях обследуется одна и та же единица отбора (обследование крестьянских хозяйств, где более полно обследуется каждое 3-е, 9-е, 27-е и т.д. хозяйство, при этом ошибка выборки незначительна и выборочные показатели более точно характеризуют генеральную совокупность).

7. Комбинирование выборочного наблюдения со сплошным

Характерно для многофазной выборки. Оно позволяет проверить более точно типичность выборочных данных по отношению к генеральным характеристикам. Выборочные показатели сопоставляются с данными сплошного наблюдения.

8. Серийная выборка

Если в выборку попадают не отдельные единицы совокупности, а целые серии, такая выборка называется серийная.

Пример, при 10 % обследовании качества продукции можно проверять каждую 10-ю единицу (механический отбор), при серийном - через 9 часов каждый 10-й час обследуется вся выпущенная продукция в течении целого часа.

Серийный отбор применяется редко, т.к. дает высокую ошибку выборки.

9. Моментная выборка

На определенные моменты времени фиксируется наличие отдельных элементов изучаемого процесса.

Пример, изучение использования работниками рабочего времени и времени работы оборудования.

Моментное наблюдение охватывает все единицы совокупности, поэтому является сплошным. Цель - на основе выборочных характеристик дать репрезентативную оценку всей генеральной совокупности. Т.к. при моментном наблюдении обычно характеризуется альтернативный признак (работа или простой), то оценка репрезентативности проводится по формулам средней и предельной ошибки выборки. При этом, в качестве численности выборочной совокупности, принимается число записей моментного обследования.

Пример, в цехе работает 20 станков. За 8-ми часовую смену каждые полчаса проводились моментные обследования. Определить в каких пределах будет находиться доля работающих станков за все время смены, если в 32 случаях замечен простой, вероятность 0,954.

10. Малая выборка

Такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не более 20. Хотя общий принцип выборочного наблюдения - чем больше выборочная совокупность, тем точнее показатели, иногда используют малую выборку.

Малая выборка применяется при обследовании качества продукции с последующим уничтожением проверяемой единицы.

Средняя ошибка малой выборки определяется по формуле:

Причем, малая выборочная дисперсия рассчитывается:

Следовательно, предельная ошибка выборки:

Но в данном случае коэффициент доверия - t отличен от применяемого t в других выборочных наблюдениях. Он зависит от n (числа выборки), при увеличении n распределение стремится к нормальному и при n = 20 мало чем отличается от нормального. Если n = 20; t = 1 вероятность = 0,683.

t = 2 0,954

t = 3 0,997

11. Проверка типичности выборочных данных

Кроме вероятностной оценки репрезентативности выборочных данных путем расчета средней и предельной ошибки выборки по каждому показателю проверка типичности часто осуществляется путем сопоставления выборочных данных с данными сплошного отбора.

Пример, обследование уровней заработной платы. Типичность отобранных предприятий проверяется путем сравнения средней заработной платы на отобранных предприятиях со средней заработной платой всех предприятий.

Существует 2 способа распространения данных выборочного наблюдения:

- способ прямого пересчета

пример, надой с одной коровы за год составил 2500 л. Среднее поголовье коров в частном владении 10000 голов. Ошибка выборки составляет 20 л. Определить годовой надой со всего поголовья имеющихся у селян:

Способом прямого пересчета можно распространять данные выборочного наблюдения на основе соотношения численности выборочной и генеральной совокупности.

Пример, при выборочном 3 % обследовании качества продукции в выборку попало 1000 единиц, из которых качество 20 не соответствует стандарту. Ошибка выборки = 2 единицы. Используя соотношение численности можно рассчитать, что число некачественных единиц из 20000 будет равно:

от 360 до 440

- способ коэффициентов, применяют при проведении выборочного наблюдения для проверки и уточнения данных сплошного обследования.

Сопоставляя выборочные данные с данными сплошного наблюдения, определяют поправочный коэффициент, а с его помощью вносят поправки в данные выборочной совокупности.

Тема 9. Ряды динамики

1. Понятие и виды рядов динамики

Статистика рассматривает общественные явления в непрерывном развитии.

Ряд динамики - последовательно расположенные в хронологическом порядке показатели, характеризующие общественные явления и процессы в развитии. В ряду динамики для каждого отрезка времени приводится два показателя:

показатель времени

показатель уровня ряда (у).

Кроме них могут также показываться производные.

Исследование рядов динамики дает возможность показать развитие явления во времени, тенденции развития, темпы роста, основные пути развития. Ряды динамики могут состоять из - абсолютных;

- относительных;

- средних величин.

Примером ряда динамики средних величин является урожайность культур по хозяйствам области; ср. производительности.

Примером ряда динамики относительных величин может быть ряд, характеризующий темпы роста производства продукции.

Ряд динамики абсолютных величин характеризует уровни развития общественных явлений, либо на определенные моменты времени, либо за определенные промежутки времени. В зависимости от этого ряды динамики делят на:

интервальные;

моментные.

Разница между ними заключается в том, что в моментном ряду интервал - это промежуток времени между датами, а в интервальном - это промежуток времени, за который обобщены приводимые сведения.

На основе ряда динамики абсолютных величин могут быть получены ряды динамики относительных и средних величин.

2. Сопоставимость уровней ряда динамики

Анализировать ряды динамики нельзя, если приводятся несопоставимые данные. Несопоставимость статистических данных во времени может быть вызвана следующими причинами:

инфляционным процессом;

территориальные изменения;

изменения единиц счета;

изменения курса валют;

изменения степени охвата статистического наблюдения;

несовершенство методологии статистического наблюдения.

Для того, чтобы привести уровни ряда в ряду динамики к сопоставимым уровням ряда необходимо провести смыкание рядов динамики.

Это можно сделать лишь в том случае, если один из уровней ряда имеется в старом и новом исчислении.

Стоимость основных фондов	1995	1996	1997	1998
- до переоценки	6700	6900	-	-
- после переоценки	-	7500	7800	8200

1). - коэффициент переоценки

2). - уровень стоимости О.Ф. для 1995г.

3. Статистические показатели динамики социально-экономических явлений

Для количественной оценки динамики проводят расчет таких показателей, как абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, темп наращивания, средний абсолютный прирост, средний темп роста.

В основе расчета показателей ряда динамики лежит сравнительный анализ уровней ряда либо с постоянной, либо с переменной базой сравнения. При постоянной базе сравнения каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же показателем (уровнем), принятым за базу (у₀). При переменной базе сравнения каждый уровень ряда сравнивают с предыдущим ().

1. Абсолютный прирост - это разность 2 уровней ряда в исходных единицах измерения:

- базисный

- цепной абсолютный

Абсолютный прирост может иметь отрицательное значение, если уровень изучаемого периода ниже уровня базисного периода или предшествующего. Между цепным и базисным абсолютным приростом существует взаимосвязь: сумма цепных абсолютных приростов равна абсолютному приросту последнего уровня ряда динамики:

2. Темпы роста - это отношение 2 уровней ряда, может выражаться в виде коэффициента, но чаще в %.

Цепные

Базисные

Если темп роста > 100%, то идет увеличение изучаемого уровня по сравнению с базисным или предыдущим и наоборот. Между базисным и цепными темпами роста существует взаимосвязь - произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста последнего уровня ряда динамики.

3. Темпы прироста - характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах. Определяется двумя способами:

1-й способ - путем вычитания из темпа роста 100%:

2-й способ - путем деления абсолютного прироста на уровень принятый за базу или предыдущий уровень ряда динамики:

- базисные

Если уровни ряда динамики сокращаются, то соответствующие показатели темпов прироста будут с минусом, т.к. они характеризуют уменьшение ряда динамики в %.

4. Темп наращивания - показывает в экономике наращивание во времени экономического потенциала. Вычисляется деление цепных абсолютных приростов на уровень, принятый за постоянную базу сравнения:

Пример.

Производственная мощность на предприятии характеризуется следующими данными:

I. Интервальный ряд динамики «А»

Показатель	1985	1986	1987	1988	1989	1990
Производственная мощность т/сутки	206,4	208,3	210,2	211,5	213,4	217,3

Определить:

1. Все аналитические показатели ряда динамики «А».

2. Взаимосвязь цепных и базисных темпов роста.

3. Привести графическое изображение динамики производственной мощности.

II. Моментный ряд динамики «В»

Показатель	1 января	1 февраля	1 марта	1 апреля
Остатки сырья на складе	76	70	66	62

Привести расчет среднемесячного уровня остатков сырья на складе по данным моментного ряда динамики «В» по формуле средней хронологической для моментного ряда.

I. 1). Абсолютный прирост

Цепные:

Базисные:

2). Темп роста

Базисные:

Цепные:

3). Темп прироста

Базисные: 1-й способ:

2-й способ:

и т.д.

Цепные: 1-й способ:

2-й способ:

4). Темп наращивания:

5). Средний абсолютный прирост:

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Рис. 7 Динамика производственной мощности

4. Анализ рядов динамики

Для анализа рядов динамики применяется сравнительный анализ, для того, чтобы выяснить какое явление развивается быстрее. Если сравниваются одноименные величины, то можно сопоставлять как абсолютные значения, так и относительные.

Сравнительный анализ производства хлеба за сентябрь 1997г.

Декада	Выпуск тыс. тонн	Выпуск СХЗ в % к ВХЗ	Абсолютный прирост	Темп роста
	ВХЗ	СХЗ		ВХЗ	СХЗ	ВХЗ	СХЗ
I	5	8	8/5 100	-	-	-	-
II	12	6		12-5	6-8	12/5 100	6/8 100
III	7	4	4/7 100	7-12	4-6	7/12 100	4/6 100

Если производится сравнительный анализ разноименных явлений, то сравнивать можно только относительные величины. Для этого определяют базисные темпы роста к какой-либо единой базе сравнения. Такой прием называется приведение рядов динамики к общему основанию.

5. Выявление основной тенденции динамики

При изучении динамики любого из явлений, главной задачей анализа ставится выявление основной тенденции в развитии. Количественная характеристика явления в динамике многих факторов и их развитии зависит от этих факторов.

Пример, сезонные колебания.

Для этого используют сглаживание рядов динамики по методу скользящей средней или по методу аналитического выравнивания уровней ряда динамики.

Метод скользящей средней

Число	Выпуск продукции	Сглаживание по 5 дням
1	45	-
2	46,5	-
3	47,8	46,1
4	46,3	46,06
5	44,9	45,82
6	44,8	46
7	45,3	46,56
8	48,7	47,1
9	49,1	47,9
10	47,6	48,72
11	48,8	47,8
12	49,4	46,78
13	44,1	46,3
14	44,0	-
15	45,2	-

1).

2). , и т.д.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

у1 - фактическая кривая

у2 - сглаженная

Рис. 8 Динамика выпуска продукции

Для того, чтобы сгладить ряд по 5 дням необходимо по каждым последующим 5 дням рассчитать среднюю арифметическую простую, при этом среднее число за первых 5 дней поставить на 3-ю дату, а следующие 5 дней начинать рассчитывать со 2-го числа, а результат ставить на 4-ю дату. Чем больше интервал, за который исчисляется средняя, тем больше сглаженный ряд усредняет фактический ряд, при этом теряется много информации. Чем меньше интервал, тем больше сглаженный ряд приближается к конкретному ряду. По сглаженному ряду, показанному на графике можно выявить тенденцию в развитии.

Метод аналитического выравнивания ряда динамики по прямой

Если фактические уровни ряда динамики нанести на график, то получим ломаную линию, которая будет отражать как основные тенденции в развитии, так и отклонения от них, вызванные сезонными колебаниями или другими факторами. Чтобы выявить тенденцию необходимо выровнять ломаную линию, в основе выравнивания лежит теоретический анализ сущности данного явления и законы его развития. Как известно, уравнение прямой выражается следующей формулой: , где - значение уровней выровненного ряда динамики;

- параметры прямой;

t - показатель времени.

Следовательно, задача сводится к тому, чтобы фактические уровни ряда динамики (у) заменить теоретическими уровнями ряда (). Прямая, выравнивающая ряд должна проходить в максимальной близости от фактических уровней ряда, т.е. сумма квадратов отклонений должна быть наименьшей. Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров :

1.

2.

где, у - фактические уровни ряда,

n - число уровней ряда.

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы сумма t была равна 0, для этого даты необходимо расположить так:

-7-6-5-4-3-2-1 0 +1+2+3+4+5+6+7;

,

тогда уравнение принимает вид:

1.

Число	Фактические уровни	Условное число	Условные уровни
1	2010	-7	10	49	-14070	1993,76
2	2025	-6	25	36	-12150	2005,66
3	2042	-5	42	25	-10210	2017,56
4	1910	-4	-90	16	-7640	2029,46
5	1960	-3	-40	9	-5880	2041,36
6	2101	-2	101	4	-4202	2053,26
7	2050	-1	50	1	-2050	2065,16
8	2130	0	130	0	0	2077,06
9	2152	1	152	1	2152	2088,96
10	2103	2	103	4	4206	2100,86
11	2080	3	80	9	6240	2112,76
12	2193	4	193	16	8772	2124,66
13	2204	5	204	25	11020	2136,56
14	2230	6	230	36	13380	2148,46
15	1966	7	-34	49	13762	2160,36
Всего:	31156			280	3330

Рис. 9 Аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой

6. Интерполяция и экстраполяция рядов динамики

Выравниванием рядов динамики пользуются для того, чтобы найти значение недостающего члена ряда. Такой способ называется интерполяцией.

Экстраполяцией рядов динамики называют прием, который заключается в том, что, продолжая найденные математические кривые можно предсказать дальнейшее развитие событий. Прогнозирование базируется на знании развития прогнозируемого явления, а также факторов, влияющих на это явление и того, каким образом эти факторы могут изменить развитие явления.

7. Приемы изучения сезонных колебаний

Сезонное колебание - это более или менее устойчивые внутригодовые колебания в ряду динамики, обусловленные специфическими условиями производства или потребления данного товара.

Сезонные колебания характеризуются индексами сезонности (J_S) совокупность которых образует сезонную волну. Индекс сезонности - средняя величина, определенная из % отношений по одноименным месяцам фактических уровней ряда динамики к выровненным уровням.

Для выявления сезонных колебаний берут данные за несколько лет с распр6еделением по месяцам, это делается для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой бы не отражались индивидуальные факторы одного года. Определяя индексы сезонности, пользуются несколькими методами, выбор которых зависит от вида ряда:

1). Если ряд содержит определенную тенденцию в развитии, то прежде чем определить сезонную волну, определяют общую тенденцию, при этом рассчитывают % фактических данных к выровненным, а индекс сезонности по формуле:

2). Если же ряд не содержит ярко выраженную тенденцию, то такой ряд называют стабильным, а индекс сезонности рассчитывают по формуле:

Пример, вычисление индексов сезонности в стабильном ряду динамики.

Месяц	Закупка молока	Месячные данные в % к среднегодовой
	1995	1996	1997	Всего за 3 года	В среднем за год
Январь	1530	1600	1760	4890	1630	62,8
Февраль	1920	2440	2560	6920	2306,6	88,8
Март	2740	3390	3220	9350	3116,6	120
Апрель	3280	3980	4030	11290	3763,3	144,9
Май	2750	3280	4000	10030	3343,3	128,7
Июнь	3280	3910	4580	11770	3923,3	151
Июль	2590	2840	3150	8580	2860	110,7
Август	2140	2260	2520	6920	2306,6	88,8
Сентябрь	2250	2520	2660	7430	2476,6	95,3
Октябрь	1980	2290	2200	6470	2156,6	83
Ноябрь	1490	1930	1680	5100	1700	65,4
Декабрь	1460	1790	1510	4760	1586,6	61

Рис. 10 Индекс сезонности

Пример, определить индекс сезонности реализации свежих фруктов в магазинах города (тонн).

Месяц	Фактические данные	Выровненные	Фактические в % к выровненным	Js
	95	96	97	95	96	97	95	96	97
Январь	35	48	68	32,5	56,9	81	107,7	84,2	83,9	91,9
Февраль	30	42	55	34,9	58,9	83	85,9	71,3	66,3	74,5
Март	28	40	50	36,9	60,9	85	75,9	65,6	58,8	66,8
Апрель	25	36	42	38,91	62,9	87	64,3	57,2	48,3	56,6
Май	22	38	54	40,9	64,9	89,01	53,8	58,6	60,7	57,7
Июнь	38	46	65	42,9	66,9	91,02	88,6	68,8	71,4	76,3
Июль	52	70	90	44,9	68,97	93,02	115,8	101,6	96,8	104,7
Август	85	95	120	46,9	70,98	95,02	181,2	133,9	126,3	147,1
Сентябрь	92	115	145	48,9	72,98	97,03	188,1	157,8	149,4	165,1
Октябрь	80	102	130	50,9	74,98	99,03	157,2	131,2	131,2	141,6
Ноябрь	75	94	120	53,1	76,98	101,04	141,2	122,2	118,8	121,4
Декабрь	50	75	95	55,1	78,99	103,04	90,7	95,05	92,2	92,7

t	y	t2	yt	yt	t	y	t2	yt	yt
-17.5	35	306.25	-612.5	32.5	0.5	70	0.25	35	68.97
-16.5	30	272.25	-495	34.9	1.5	95	2.25	142.5	70.98
-15.5	28	240.25	-434	36.97	2.5	115	6.25	287.5	72.98
-14.5	25	210.25	-362.5	38.91	3.5	102	12.25	357	74.98
-13.5	22	182.25	-297	40.9	4.5	94	20.25	423	76.99
-12.5	38	156.25	-475	42.9	5.5	75	30.25	412.5	78.99
-11.5	52	132.25	-598	44.9	6.5	68	42.25	442	81
-10.5	85	11.25	-892.5	46.9	7.5	55	56.25	412.5	83
-9.5	92	90.25	-874	48.93	8.5	50	72.25	425	85
-8.5	80	72.25	-680	50.9	9.5	42	90.25	399	87
-7.5	75	56.25	-562.5	53.1	10.5	54	110.25	567	89.01
-6.5	50	42.25	-325	55.1	11.5	65	132.25	847.5	91.02
-5.5	48	30.25	-264	56.9	12.5	90	156.25	1125	93.02
-4.5	42	20.25	-189	58.9	13.5	120	182.25	1620	95.02
-3.5	40	12.25	-140	60.9	14.5	145	210.25	2102.5	97.03
-2.5	36	6.25	-90	62.9	15.5	130	240.25	2015	99.03
-1.5	38	2.25	-57	64.9	16.5	120	272.25	1980	101.04
-0.5	46	0.25	-23	66.9	17.5	95	306.25	1662.5	103.04

Для упрощения расчетов обозначим t, таким образом, чтобы сумма t была равна 0 и:

Тема 10. Индексы

1. Общие понятия об индексах

Для характеристики явлений и процессов экономической жизни, статистика наряду с другими показателями использует индексы. Слово «индекс» в переводе - показатель.

Индекс - обобщающий показатель сравнения двух совокупностей, состоящих из элементов, которые непосредственно не подчиняются суммированию.

К совокупностям, элементы которых можно суммировать, относятся те совокупности, в которых дается сравнительная характеристика объемов: динамика посевных площадей, динамики выпуска конкретного вида продукции, динамики оплаты труда и т.д.

К совокупностям, элементы которых не поддаются суммированию, относятся такие 2 вида:

- характеристика 1 тонны пшеницы, молока, стали и т.д. В таких совокупностях рассчитывается индекс физического объема произведенной (проданной, потребленной) продукции;

- совокупности, где характеризуются цены (одной тонны пшеницы, молока и т.д.).

Для характеристики общего уровня цен (себестоимости, производительности, урожайности)применяются индексы себестоимости, цен и т.д.

Индексы применяются в следующих сферах:

1). Для сравнительной характеристики элементов конкретной совокупности;

2). Динамики;

3). Для пространственного сравнения;

4). Для сравнения факта с планом;

5). При факторном анализе.

2. Классификация индексов

Индексы классифицируются по ряду признаков:

1. В зависимости от объектов исследования:

индексы объема (структуры);

качественные индексы (индексы цены, себестоимости).

2. По охвату:

индивидуальные индексы;

общие индексы;

групповые индексы.

Индивидуальные индексы - дают сравнительную характеристику отдельных элементов совокупности (индекс физического объема, себестоимости, производительности и т.д.).

Обозначается i.

Общие индексы - характеризуют изменение совокупности в целом, обозначают J.

Групповые индексы - охватывают не все элементы совокупности, а только отдельные части.

Групповые индексы рассчитывают с помощью метода группировок, собирая и группируя данные за период.

3. В зависимости от методологии расчета общие и групповые индексы делят на:

агрегатные;

средние из индивидуальных.

Агрегатные - основная форма экономических индексов.

Средние из индивидуальных - производная форма, они получаются путем расчета и преобразования агрегатных. Если совокупность состоит из 3 и более периодов, то может быть рассчитана цепная и базисная система индексов.

3. Принципы и методы исчисления общих индексов

Для того, чтобы рассчитать общий индекс, необходимо преодолеть несуммарность отдельных элементов изучаемого явления, это достигается путем введения в индекс дополнительного неизменного показателя, тесно связанного с индексируемой величиной. Этот показатель называется весами агрегатного индекса или показателем сопряжения. Так, если индексируются цены, то для того, чтобы преодолеть несуммарность цен, цены умножают на количество.

Существует два правила построения общих индексов:

1. Если строятся индексы объема (структуры), то качественные величины берутся по базисным данным.

2. Если строятся индексы качества, то объемные величины берутся по отчетным данным.

Агрегатные индексы

В международной статистике для построения агрегатных индексов применяются следующие обозначения:

q - физический объем произведенной продукции (количество);

p - цена;

z - себестоимость;

d - структура (удельный вес);

1 - отчетный период;

0 - базисный период.

Вид продукции	Ед. измерения, тыс.	Июль	Август	Индивидуальные индексы
		Кол-во	Цена, руб.	Кол-во	Цена, руб.	Физического объема	Цены
Молоко	Л	5000	300	6000	276	1,2	0,92
Мясо	Ц	25000	200	32000	190	1,28	0,95
Картофель	Т	10000	120	11000	102	1,1	0,85

Индивидуальный индекс физического объема проданной продукции определяется путем деления конкретного элемента совокупности в отчетном периоде на базисный период:

Общий индекс физического объема определяется по формуле:

где - размер товарооборота в отчетном периоде при ценах базисного периода;

- размер товарооборота в базисном периоде.

Индекс физического объема показывает, что за счет изменения количества реализованной продукции изменяется размер товарооборота в отчетном периоде по сравнению с базисным. Товарооборот возрос на 24%. Для того, чтобы определить изменение товарооборота в натуральном выражении, необходимо из числителя общего индекса физического объема вычесть знаменатель:

=9520000-7700000=1820000рублей

Индекс цены

Общий индекс цены показывает на сколько % изменился размер товарооборота в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения индивидуальных цен. Для того, чтобы рассчитать на сколько рублей изменился товарооборот за счет изменения цен нужно применить формулу:

Вывод: общий индекс цены показывает, что на 6,96 % уменьшился размер товарооборота за счет изменения цен.

Общий индекс товарооборота

Общий индекс товарооборота показывает на сколько % изменяется товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным при влиянии двух факторов и цены и физического объема. Для того, чтобы узнать на сколько рублей изменился товарооборот в отчетном по сравнению с базисным периоде, необходимо из числителя вычесть знаменатель:

Вывод: товарооборот в августе увеличился по сравнению с июлем на 15 %.

Между индексом цены, индексом физического объема и индексом товарооборота существует взаимосвязь:

Индексы постоянного, переменного состава и индексы структурных сдвигов

Индекс постоянного состава показывает изменение общей средней цены за счет изменения индивидуальных цен в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Индекс структурных сдвигов показывает изменение средней цены в отчетном периоде за счет изменения физического объема.

Индекс переменного состава - это индекс средней цены, который показывает на сколько % средняя цена изменяется в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Индекс переменного состава равен произведению индекса постоянного состава на индекс структурных сдвигов:

Средние индексы

Для характеристики обобщающих показателей, характеризующих изменение количественной характеристики явления, используются средние индексы.

На основе агрегатных индексов могут быть рассчитаны:

средний арифметический индекс;

средний гармонический индекс.

Средний арифметический индекс вычисляется при исчислении индивидуального индекса физического объема. Он используется, если неизвестны данные о физическом объеме в отчетном периоде, в таком случае физический объем отчетного периода рассчитывают исходя из индивидуального индекса физического объема:

Индекс средний арифметический вычисляется:

Средний гармонический индекс определяется исходя из преобразований агрегатного индекса цены, для этого, исходя из расчета индивидуального индекса цены, определяется цена базисного периода.

Средний гармонический индекс цены вычисляется:

Пример.

Используя следующие данные о производстве продукции на хлебозаводе, определить общий рост физического объема в отчетном периоде по сравнению с базисным, используя взаимосвязь индексов, определить на сколько % изменились цены, если известно, что стоимость хлеба в фактических ценах выросла на 2 %.

Вид продукции	Производство продукции в базисном периоде, тыс. руб.	Изменение количества продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным	Индивидуальные индексы
Клей IC	233	+ 5	1,05
Клей IIС	312	Без изменения	1
Клей обойный	170	- 3	0,97

4. Индексный метод анализа факторов

Индексный метод широко применяется для анализа роли отдельных факторов в динамике социально-экономического явления. Изменение количественной характеристики данного явления происходит под влиянием одного или нескольких факторов, выступающих как множителей совокупного результата.

Пример, динамика товарооборота в фактических ценах обусловлена совместным изменением как цены, так и количества проданных товаров.

Индекс физического объема товарооборота и индекс цены выступают соизмерителями роли этих факторов на общее изменение размера товарооборота в фактических ценах. Таким образом, чтобы образовать систему индексов, необходимо чтобы соизмерителями в индексах были разные уровни, причем это соизмерение получалось через произведение двух или нескольких индексов.

Тема 11. Статистические методы изучения взаимосвязей между социально-экономическими явлениями и процессами

1. Взаимосвязи общественных явлений и необходимость их статистического изучения

Общественные явления формируются под действием многих факторов. В соответствии с принципом диалектического материализма общественные явления органически связаны между собой, зависят друг от друга, обуславливают друг друга и находятся в постоянном движении и развитии.

Поэтому изучить то или иное явление можно только на основе взаимосвязи с окружающими его явлениями. Связь между общественными явлениями многообразна (связь между производством, потреблением, распределением продукции).

Одной из основных задач экономической реформы является: повышение эффективности производства. Решению этой задачи призван способствовать научно обоснованный экономический анализ, в котором повышается роль и значение статис...