Общие вопросы теории статистики

Относительные величины интенсивности получают путем сравнения объемов разных совокупностей, находящихся в определенной связи друг с другом. Например, выпуск товарной продукции и численность, территория и население. Сравнивая эти совокупности, находим такие относительные величины интенсивности как производительность труда и плотность населения. Разновидностью показателей интенсивности являются показатели экономического развития, такие как душевой доход, производство и потребление различных видов продукции на душу населения и др.

Для характеристики изменения явления во времени применяют относительные величины динамики (темпы). Их вычисляют путем сравнения величины текущего периода к величине одного из прошлых периодов. Если база сравнения постоянная, то темпы динамики базисные, а если переменная, то цепные. Примером расчета базисных и цепных относительных величин динамики является табл. 3.

Таблица 3. Динамика фонда оплаты труда на строительном предприятии

Месяцы	Фонд оплаты труда
	тыс. руб.	в % к январю (базисные темпы динамики)	в % к предыдущему месяцу (цепные темпы динамики)
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь	170 250 255 260 260 270	-- 147 150 153 153 159	-- 147 102 102 100 104

Из таблицы видно, что фонд оплаты труда на предприятии за пять месяцев увеличился на 59% или в 1,59 раза. Цепные темпы показывают, что в каждом месяце по сравнению с предыдущим происходило увеличение фонда оплаты труда. Резкое увеличение фонда заработной платы на 47% произошло в феврале по сравнению с январем.

Относительные величины сравнения представляют собой отношение одноименных величин, характеризующих разные объекты. Так, например, можно сравнить урожайность зерновых культур, среднюю заработную плату, объем промышленной продукции по странам, отдельным регионам и областям. В качестве примера приведем таблицу 4, которая показывает, во сколько раз средняя заработная плата промышленно-производственного персонала в топливной промышленности превышала среднюю заработную плату в других отраслях.

Таблица 4. Среднемесячная заработная плата промышленно-производственного персонала в некоторых отраслях промышленности в 1995 г. *

Отрасль промышленности	Средняя заработная плата ППП, руб.	Отношение средней ЗП ППП в топливной промышленности к средней ЗП в других отраслях
Топливная Электроэнергетика Пищевая Химическая Лесная Легкая	1210 351 985 846 556 709 508 294 450 586 265 583	-- 1,2 2,2 2,4 2,7 4,6
* Промышленность России. Госкомстат РФ, 1996. стр.87.

2.4 Средние величины

Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает общими для всей совокупности и индивидуальными свойствами. Различие между индивидуальными свойствами называется вариацией, а присущая массовым явлениям близость (похожесть) характеристик отдельных явлений определяется средними величинами. Наиболее часто в статистике применяется средняя арифметическая, реже -- средняя гармоническая, средняя геометрическая применяется только при исчислении средних темпов динамики (см. формулы 5 и 6).

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных единиц. Например, общий фонд заработной платы состоит из зарплат, начисленных отдельным работникам. Когда имеются отдельные несгруппированные значения признака рассчитывается средняя арифметическая простая по формуле:

,(5)

где X₁, X₂, X₃, …, X_n -- индивидуальные значения признака, которые называют вариантами, n-- число единиц совокупности.

По данным, представленным в виде рядов распределения или группировок рассчитывается средняя арифметическая взвешенная. Формула для расчета средней арифметической взвешенной имеет вид:

,(6)

где X₁, X₂, X₃, …, X_n -- варианты. F₁, f₂, f₃, …, f_n - веса или частоты (т.е.-число вариант, имеющих одинаковое значение признака).

Рассмотрим пример расчета средней арифметической взвешенной на основе интервального вариационного ряда.

Таблица 5. Расчет средней заработной платы из вариационного ряда

Группы рабочих по размеру месячной заработной платы, руб.	Среднее значение интервалов (Х)	Число рабочих (f)	Произведение вариант на частоты(Xf)
1500-2000 2000-2500 2500-3000	1750 2250 2750	100 220 280	175000 495000 770000
Итого		600	1440000

По данным табл.5 средняя месячная зарплата рабочих составит:

Средняя гармоническая -- это величина, обратная средней арифметической, из обратных значений признака. Ее применяют тогда, когда веса приходится не умножать, а делить на варианты или умножать на обратное их значение. Формулы средней гармонической простой и взвешенной имеют вид:

,(7)

,(8)

где n -- число единиц совокупности, Х-- варианты, W = Xf. Расчет средней гармонической поясним на примере.

Таблица 6. Стоимость продукции и ее выработка в рабочих бригадах

Номер бригады	Стоимость произведенной продукции, тыс. руб. (W = Xf)	Выработка на 1-го рабочего, тыс. руб. (X)
1 2 3	52 68 76	2,1 2,6 2,9
Итого	196

Варьирующим признаком в данном примере является средняя выработка рабочих в каждой бригаде. Среднее значение данного варьирующего признака равно 2,4 тыс. руб. Эта средняя получается как средняя гармоническая, где веса деленные на варианты показывают численность рабочих в бригадах, т.е.

Средне арифметические и средне гармонические величини взаимозаменяемы . Это обусловлено одной и той же логической формулой для искомого показателя. Но вместе с тем данные, по которым могут быть вычислены эти величины, должны быть различными.

Логическая формула вытекает из сущности средней, ее социально-экономического содержания. Поэтому, прежде чем оперировать цифрами, нужно выяснить, соотнашением каких показателей является средняя в данном конкретном случае. Это исходное соотнашение необходимо записать в виде формулы, называемой логической формулой средней. Рассмотрим на примере порядок расчета и выбор формулы средней величины.

Пример. На основании следующих данных по двум сельскохозяйственным предприятиям необходимо определить, в каком из них и насколько выше средняя урожайность зерновых культур:

Культура	Предприятие 1	Предприятие 2
	Валовой сбор, ц	Урожайность ц./г	Посевная площадь, га	Урожайность, Ц./г
Пшеница озимая Рожь Ячмень Просо	31600 1720 13650 1640	24 19 21 15	1460 120 470 80	19 18 16 13
Итого	48610	-	2130	-

Показатель урожайности является вторичным признаком, так как на единицу первичного признака ( посевной площади, выраженной абсолютной величиной) и может быть представлен как отношение двух первычны признаков, а именно валового сбора и посевной площади:

где У-урожайность; В-воловой сбор; П-посевная площадь.

Из выражения ( 12) вытекает следующая логическая формула:



Следовательно, для расчета средней урожайности по каждому предприятию необходимо применить среднюю взвешенную. Возникает вопрос: арифметическую или гармоническую? В.Е. Овсиенко формализовал порядок выбора вида средней качественного признака на основе следующих правил.

1. Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведения этих показателей, то средняя должна вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной.

2. Если в указанной постановке задачи известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, то средняя вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной.

3. В том случае, когда в условии задачи даны численные значения числителя и знаменателя логической формулы показателя, средняя вычисляется непосредственно по этой формуле.

Согласно данным рассматриваемого примера, для сельскохозяйственного предприятия 1 средняя урожайность должна определяться по правилу 2, изложенному выше, т.е. по формуле средней гармонической взвешенной:

Для сельскохозяйственного предприятия № 2 средняя урожайность определяется по правилу 1, т. е. По формуле средней арифметической взвещенной:

Следовательно, средняя урожайность зерновых культур на предприятии № 1 по сравнению с предприятием № 2 была выше на 4,1 ц/га.

Другими видами средних величин являются структурные средние -- мода и медиана.

Модой называется величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в совокупности.

В дискретном вариационном ряду модой является варианта, имеющая наибольшую частоту. В интервальном вариационном ряду мода находится внутри модального интервала, который имеет наибольшую частоту и определяется по формуле:

,(9)

где Mo -- мода, X_Mo -- начальное значение интервала, содержащего моду, i_Mo -- величина модального интервала, f_Mo -- частота модального интервала, f_Mo-1 -- частота интервала, предшествующего модальному, f_Mo+1 -- частота интервала, следующего за модальным.

Медианой называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные части -- со значением признака меньше медианы и со значением признака больше медианы. В дискретном вариационном ряду медианой следует считать значения признака в той группе, где накопленная частота превышает половину объема ряда. В интервальном вариационном ряду медиана находится в медианном интервале, которому соответствует накопленная частота, равная половине общей суммы частот или превышающая эту сумму, и определяется по формуле:

,(10)

где Me -- медиана,

X_Me -- начальное значение интервала, содержащего медиану, i_Me -- величина медианного интервала, f-- сумма частот ряда, S_Me-1 -- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу, f_Me -- частота медианного интервала.

Дополнительно к медиане для характеристики структуры вариационного ряда исчисляют квартили, которые делят ряд по сумме частот на 4 равные части. Второй квартиль равен медиане, а первый и третий исчисляются аналогично расчету медианы, только для первого квартиля (Q₁) берется интервал, в котором находится варианта, отсекающая 1/4 суммы накопленных частот, а для третьего квартиля (Q₃) берется интервал, содержащий варианту, отсекающую 3/4 суммы накопленных частот. Формулы расчета первого и третьего квартилей будут иметь вид:

,(11)

,(12)

Приведем пример расчета моды, медианы и квартилей по данным табл.7.

Таблица 7. Распределение предприятий района по сумме прибыли

Прибыль, тыс.руб.	Количество предприятий, f	Накопленные частоты, S
До 50 50-100 100-200 150 - 200 200 - 250 250 - 300 Свыше 300	3 6 10 21 33 18 9	3 9 19 40 73 91 100
Итого	100

В нашем примере модальный и медианный интервалы совпадают.

Следовательно, в районе преобладают предприятия, получающие прибыль в размере 222 тыс. руб.

Это значит, что половина всех предприятий района имеет прибыль меньше 215 тыс.руб., а другая половина больше 215 тыс.руб.

Расчет квартилей показывает, что 25% всех предприятий района поручают прибыль до 164 тыс.руб., другая четверть предприятий имеет прибыль от 164 до 512 тыс.руб., третья четверть -- от 512 до 256 тыс. руб., а остальные 25% -- свыше 256 тыс.руб.

2.5 Показатели вариации

Исследование вариации в статистике и социально - экономических исследованиях имеет важное значение, так как величина вариации признака статистической совокупности характеризует её однородность.

В статистической практике для изучения и измерения вариации используются различные показатели (меры) вариации в зависимости от поставленных перед исследователем задач. К ним относится размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Способы вычисления показателей вариации. Размах вариации (R) является наиболее простым измерителем вариации признака.

,(13)

где - наибольшее значение варьирующего признака;

- наименьшее значение признака.

Среднее линейное отклонение () представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от средней. Его можно рассчитать по формуле средней арифметической, как невзвешенной, так и взвешенной, в зависимости от отсутствия или частот в ряду распределения:

- невзвешенное среднее линейное отклонение;

- взвешенное средние линейное отклонение.

Символы , , и n имеют то же значение, что и в предыдущих параграфах. Рассмотренные выше показатели имеют те же размерность, что и признак, для которого они вычисляются.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины (обозначается греческой буквой - «сигма квадрат»).

Дисперсия вычисляется по формулам простой и не взвешенной и взвешенной:

- не взвешенная;

- взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней:

- не взвешенное;

- взвешенное.

Среднее квадратическое отклонение - величина именованная, имеет размерность усредняемого признака.

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха, или среднего линейного отклонения, или среднего квадратического отклонения к средней арифметической. Чаще всего они выражаются в процентах и характеризуют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

Различают следующие относительные показатели вариации (V):

Коэффициент осцилляции:

,

Линейный коэффициент вариации:

Коэффициент вариации:

Наиболее часто в практических расчётах из этих трёх показателей применяется коэффициент вариации.

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяются совокупности, а так же и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии.

Правило сложения дисперсий. Если данные представлены в виде аналитической группировки, то можно вычислить дисперсию общую, межгрупповую и внутригрупповую.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию:

,(14)

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е., различия в величине изучаемого признака - фактора положенного в основании группировки.

Она рассчитывается по формуле:

(15)

где и - соответственно средние и численности по отдельным группам.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака фактора, положенного в основание группировки.

Она исчисляется следующим образом:

(16)

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

,(17)

Существует закон, связывающий три вида дисперсии. Общая дисперсия равна сумме из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

,(18)

Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому правилу общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счёт группировочного признака.

Зная любые виды дисперсий, можно определить или проверить правильность расчёта третьего вида.

На основании правила сложения дисперсий можно определить показатель тесноты связи между группировочным (факторным) и результативным признаками. Она называется эмпирическим корреляционным отношением, обозначается («эта») и рассчитывается по формуле:

(19)

Тесты

1. Способами статистического наблюдения не являются:

а) непосредственное;

б) саморегистрация;

в) экспедиционный способ;

г) выборочное.

2. Видами статистического наблюдения не являются:

а) по признаку характера учета факторов во времени;

б) по признаку, характеризующему объект наблюдения;

в) по признаку полноты охвата совокупности.

3. Сводкой в статистическом анализе называется:

а) объединенние единиц совокупности в некоторые группы, имеющие свои харакерные особенности, общие черты и сходные размеры изучаемого признака;

б) объект, характеризующийся цифрами;

в) это научно организованная обработка материалов наблюдения, включающая в себя систематизацию, группировку данных,составление таблиц, подсчет групповых и общих итогов,расчет производных показателей.

4. Для измерения вариации значения признака не вычисляют показатели:

а) моду;

б) дисперсию;

в) размах вариации;

г) среднелинейное отклонение;

д) коэффициент вариации.

5.Модой в статистике называют:

а) значение признака, которое чаще всего встречается в данной совокупности;

б) знчение пизнака у единицы, которое находится в середине упорядоченного ряда распределения;

в) значение признака, которое встречается в данной совокупности единственный раз.

6.Если данные сгруппированы, но каждое значение признака встречается неодинаковое количество раз, то применяется формула (запишите ее):

а) средняя гармоническая простая;

б) средяя хронологическая;

в) средняя арифметическая взвешенная;

г) средняя гармоническая взвешенная.

7.Ряды распределения называют вариационными:

а) построенные по количественному призку;

б) построенные по качественному признаку;

в) построенные в порядке убывания.

8.Под ранжированием понимаются:

а) определение предела значений варьирующего признака;

б) определение среднелинейного отклонения;

в) разложение всех вариантов пизнака возрастающем (или убывающем) порядке.

Глава 3. Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений

Данная глава знакомит студентов с задачами, решение которых даёт возможность усвоить правила построения и анализа рядов динамики для характеристики изменения социально-экономических явлений во времени, выявления основной тенденции, закономерности их развития. Достигается это соответствующей обработкой рядов динамики, анализом изменения его уровней, расчетом аналитических показателей. Это важный раздел курса теории статистики, так как в большинстве случаев задачей статистического исследования бывает анализ развития тех или иных явлений.

В результате изучения этой главы вы сможете:

- анализировать динамику показателей;

- определять тенденцию изменения показателей;

- строить прогнозные значения показателей.

3.1 Виды рядов динамики. Показатель динамики

Начиная изучение темы, необходимо обратить внимание на классификацию рядов динамики, различия между ними, так как отнесение ряда динамики к тому или иному виду имеет важное значение для их изучения. Выбор соответствующих приёмов и способов анализа определяется характером исходных данных и зависит от задач исследования.

В зависимости от способа выражения уровней (в виде абсолютных, относительных и средних величин) ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин. В зависимости от того, выражают уровни ряда состояние явления на определенный момент времени (на начало месяца, квартала года и т.п.) или его величину за определённый интервал времени (например, за сутки, месяц, год и т.п.), различают соответственно моментные и интервальные ряды. Ряды динамики могут быть с равноотстоящими (по времени) уровнями и не равноотстоящими (по времени) уровнями.

Одним из важнейших направлений анализа рядов динамики является изучение особенностей развития явления за отдельные периоды времени. Для выявления специфики развития изучаемых явлений за отдельные периоды времени определяют абсолютные и относительные показатели изменения ряда в динамики: абсолютные приросты, абсолютное значение одного процента прироста, темп роста и прироста. Выяснение сущности этих показателей, их взаимосвязей, методов расчёта - необходимое условие усвоения данной темы.

Рассматривая данные показатели, необходимо правильно выбрать базу сравнения, которая зависит от цели исследования. При сравнении каждого уровня ряда с предыдущим получаются цепные показатели; при сравнении каждого уровня с одним и тем же уровнем (базой) получают базовые показатели.

Например, требуется провести анализ динамики продажи мясных консервов за 1993 - 1997 гг. Для удобства и наглядности исходные и рассчитанные показатели изложены в табличной форме (табл. 9)

Таблица 9. Динамика продажи мясных консервов в одном из регионов за 1993 -1997 гг. и расчет аналитических показателей динамики (данные условия)

Годы	Консервы мясные, млн усл. банок	Абсолютные приросты (снижение), млн усл. банок	Темпы роста, %	Темпы прироста, %	Абсолютное значение 1% прироста, млн.усл. банок
		с предыдущим годом	с1993 г	с предыдущим годом	с 1993 г.	с предыдущим годом	с 1993г
1993	924						0,0
1994	832	-92	-92	90,04	90,4	-9,96	-9,96	9,24
1995	1466	+634	+542	176,20	158,66	76,20	58,66	8,32
1996	1599	+133	+675	109,07	173,05	9,07	73,05	14,66
1997	1612	+13	+688	100,81	174,46	0,813	74,46	15,99
Итого	6433	+688	-	-	-	-	-	-

Для выражения абсолютной скорости роста (снижения) уровня ряда динамики исчисляют статистический показатель - абсолютный прирост (). Его величина определяется как разность двух сравниваемых уровней. Она вычисляется по формуле

или

,(22)

где - уровень i -го года;

- уровень базисного года.

Например, абсолютное уменьшение продажи консервов за 1994г. по сравнению с 1993 г. составило: 832 - 924 = -92 млн усл. банок (табл. 9, гр. 2), а по сравнению с базисным 1993 г. продажа консервов в 1997 г. возросла на 688 млн усл. банок (гр.3).

Интенсивность изменения уровней ряда динамики оценивается отношением текущего уровня к предыдущему или базисному, которое всегда представляет собой положительное число. Этот показатель принято называть темпом роста (Т). Он выражается в процентах, т.е.



или

(23)

Так, для 1997г. темп роста по сравнению с 1993 г. составил = 174,5% (табл. 4.1, гр. 5).

Темп роста может быть выражен и в виде коэффициента (К). В этом случае он показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше уровня базисного года или какую его часть он составляет.

Для выражения изменения величины абсолютного прироста уровней ряда динамики в относительных величинах определяется темп прироста (Т), который рассчитывается как отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню, т. е.

или

(24)

Темп прироста может быть вычислен также путём вычитания из темпов роста 100%, т.е. Т= Т- 100.

В нашем примере (табл. 4.1, гр.6,7) он показывает, например, на сколько процентов продажа консервов в 1997 г. возросла по сравнению с 1993 г.

= 74,5%, или 174,5 - 100 = 74,5%.

Показатели абсолютного значения одного процента прироста() определяется как результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста, выраженный в процентах, т.е.или 0,01*y. Расчёт этого показателя имеет экономический смысл только на цепной основе.

Для 1997 г. абсолютное значение 1% прироста (табл. 2.1, гр.8) равно: 0.01*

1599 или = 15,99 млн. усл. банок.

3.2 Исчисление среднего уровня ряда

Особое внимание следует уделять методам расчёта средних показателей рядов динамики, которые являются обобщающей характеристикой его абсолютных уровней, абсолютной скорости и интенсивности изменения уровней ряда динамики. Различают следующие средние показатели: средний уровень ряда динамики, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

Методы расчёта среднего уровня ряда динамики зависят от его вида и способов получения статистических данных.

В интервальном ряду динамики с равноотстоящими уровнями во времени расчёт среднего уровня ряда () производиться по формуле средней арифметической простой:

(25)

В нашем примере средняя продажа мясных консервов за 5 лет составила:

млн усл. банок.

Если интервальный ряд динамики имеет неравноотстоящие уровни, то средний уровень ряда вычисляется по формуле

(26)

где t - число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется.

Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле

(27)

где n - число уровней ряда.

Средняя хронологическая для разно отстоящих уровней моментного ряда динамики вычисляется по формуле

(28)

Определение среднего абсолютного прироста производится по цепным абсолютным приростам по формуле:

или

Среднегодовой абсолютный прирост продажи мясных консервов за 1993 - 1997 гг. равен:илимлн. усл. банок

Среднегодовой темп роста высчитывается по формуле средней геометрической:

или

,(29)

где m - число коэффициент роста.

Среднегодовой темп роста продажи мясных консервов за 1993-1997гг. рассчитываем двумя способами:

или 114,9%;

или 114,9%.

Среднегодовой темп прироста получим, вычтя из среднего темпа роста 100%. В нашем примере

3.3 Приведение рядов динамики к сопоставимому виду

При анализе рядов динамики иногда возникает необходимость смыкание рядов, т.е. объединение двух или более рядов, характеризующих изменение явления, в один ряд. Смыкание необходимо в случаях, когда уровни ряда несопоставимы в связи с территориальными или ведомственными, организационными изменениями, изменением методологии исчисления и т.п. Существует несколько способов приведения рядов динамики к сопоставимому виду. Например, имеются данные, характеризующие общий объём продукции промышленности в одном из регионов (в фактически действовавших ценах), млн. руб.:

Таблица 10

Годы Уровни продукции промышленности	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
В старых границах региона В новых границах региона	21,6 -	22,3 -	22,5 -	22,6 25,3	- 26,1	- 27,0	- 28,7

Для приведения ряда динамики к сопоставимому виду для 1994 г. определим коэффициент соотношения уровней двух рядов:

Умножая на этот коэффициент уровни первого ряда, млн. руб.:

1991 г. - 21,6 1,12 = 24,2

1992 г. - 22,3 1,12 = 25,0

1993 г. - 22,5 1,12 = 25,2

Получен сопоставимый ряд динамики общего объёма продукции промышленности (в фактически действовавших ценах, в структуре и методологии соответствующих лет) в одном из регионов (в новых границах, млн. руб.):

Годы1991199219931994199519961997

24,225,025,225,326,127,028,7

Другой способ смыкания рядов динамики заключается в том, что уровни года, в котором произошли изменения ( в нашем примере уровни 1994 г.), как до изменений, так и после изменений (для нашего примера в старых и новых границах, т.е. 22,6 и 25,3) принимаются за 100%, а остальные - пересчитываются в процентах по отношению к 25,3). В результате получается сомкнутый ряд.

Применив этот способ для нашего примера, получим следующий ряд динамики, характеризующий общий объём продукции региона:

Таблица 11

Годы	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
Общий объём продукции в новых границах региона, (% к 1994 г.)	95,6	98,7	99,6	100,0	103,2	106,7	113,4

3.4 Выявление и характеристика основной тенденции развития ряда динамики

Одной из задач анализа рядов динамики, является установление закономерностей изменения уровней изучаемого показателя во времени.

В некоторых случаях эта закономерность развития объёкта вполне ясно отображается уровнями динамического ряда. Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, когда уровни ряда претерпевают самые различные изменения. В подобных случаях для определения основной тенденции развития, достаточно устойчивой на протяжении данного периода, используют особые приёмы обработки рядов динамики.

Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием множества длительных и кратковременных факторов, в том числе различных, случайных обстоятельств. В то же время выявление основной тенденции изменения уровня ряда предполагает её количественное выражение, которое свободно от случайных воздействий. Существуют различные методы выявления тенденции развития динамики. Одним из приёмов выявления основной тенденции является метод укрупнения интервалов. Этот способ основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

Другой метод - метод скользящей средней. Суть метода состоит в замене абсолютных данных средними арифметическими за определённые периоды. Расчёт средних ведётся способом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего. Например, на основе данных о производстве стиральных машин фирмой за 15 месяцев 1996 - 1997 гг. нужно произвести сглаживание ряда методом трехчленной и четырёхчленной скользящей средней.

Таблица 12. Динамика производства стиральных машин и расчёт скользящих средних

Месяцы	Стиральные машины, тыс.шт.	Трёхчленные скользящие суммы	Трёхчленные скользящие средние	Четырёхчленные скользящие суммы	Четырёхчленные скользящие средние (не центрированные)	Четырёхчленные скользящие средние (центрированные)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	155 163 167 131 158 147 130 145 128 140 159 160 147 150 165	- - 485 461 456 436 435 422 403 413 427 459 466 457 462	- 161,7 153,7 152,0 145,3 145,0 140,7 134,3 137,7 142,3 153,0 155,3 152,3 154,0 -	- - - 616 619 603 566 580 550 543 572 587 606 616 622	- 154,0 154,8 150,8 141,5 145,0 137,5 135,8 143,0 146,8 151,5 154,0 155,5 - -	- - 154,4 152,8 146,2 143,3 141,3 136,7 139,4 144,9 149,2 152,8 154,8 - -

Взяв данные за первые три месяца, исчисляем трёхчленные суммы, а затем среднюю:

и т.д.

Интервал скольжения можно также брать чётный (четыре, шесть и т.д.). Нахождение скользящей средней по чётному числу членов осложняется тем, что средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами. Чтобы ликвидировать этот сдвиг, применяется центрирование, т.е. нахождение средней из средних для отнесения полученного уровня к определённой дате. При центрировании необходимо также находить скользящие суммы, скользящие средние по этим суммам и средние из средних. Пример сглаживания ряда методом четырёхчленной скользящей представлен в таблице (графы 4, 5, 6).

После сглаживания и центрирования основная тенденция стала вполне отчётливой. Кроме того, можно проследить и её характер, т.е. сначала значения уровней ряда снижаются, а затем возрастают.

Уменьшение числа звеньев скользящей средней по сравнению с числом исходных уровней ряда несколько сужает, конечно, возможности изучения характера выявленной тенденции в начале и в конце этапа развития. Тем не менее, скользящая средняя обладает достаточной гибкостью, позволяющей всё же уловить особенности изменения тенденции. Однако скользящая средняя не даёт аналитического выражения тренда.

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени: .

Модели для аналитического выравнивания рядов динамики имеют вид:

- линейная функция;

- парабола второго порядка;

- показательная функция.

Выбор формы тренда (вида кривой ) практически редко сделать на основе одного только содержательного анализа. Обычно на 1-м этапе выбора отбирают функции, пригодные с позиций содержательного анализа, а на 2-м этапе вид функции конкретизируется с помощью иных подходов и приёмов, имеющих эмпирический характер.

Наиболее простой эмпирический приём - визуальный: выбор форм тренда на основе графического изображения ряда - ломаной линии. В случае очень сильных и резких колебаний уровня целесообразно использовать график скользящей средней. Нередко, однако, ни график уровней, ни график скользящей средней не могут дать ответ об оптимальной форме тренда. В таких случаях целесообразен анализ цепных абсолютных приростов и темпов прироста (включая их сглаживание с помощью скользящей средней).

Если цепные абсолютные приросты относительно стабильны, не имеют отчётливой тенденции к росту или снижению, т.е. если уровень явления изменяется с достаточно постоянной абсолютной скоростью (const), то в качестве формы тренда нужно принять прямую линию (линейную функцию): . Если же относительно стабильными являются цепные темпы прироста, т.е. если уровень явления растёт с более или менее постоянной относительной скоростью (Тi const), то в качестве формы тренда следует принять показательную кривую ().

В тех же случаях, когда цепные абсолютные приросты более или менее равномерно увеличиваются (или уменьшаются), т.е. если уровень ряда динамики изменяется с равномерно возрастающей (или убывающей) абсолютной скоростью, в качестве формы тренда (аппроксимирующей функции) можно принять параболу второй степени

()

После выбора вида кривой вычисляются её параметры. Расчёт параметров обычно производится методом наименьших квадратов. Это означает, что ставится и решается задача: из множества кривых данного вида найти ту, которая обращает в минимум сумму квадратов отклонений фактических уровней динамического ряда от соответствующих им во времени выровненных (расчётных) уровней, лежащих на искомой кривой:

,(30)

где yt - фактические, - выровненные (расчетные) уровни.

Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по прямой : . Параметры и искомой прямой, удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находятся путём решения такой системы нормальных уравнений:

где t - время (порядковый номер интервала или момента времени).

Расчёт параметров значительно упрощается, если за начало отсчёта (t = 0) времени принять центральный интервал ( или момент). При нечётном числе уровней значения t устанавливаются так, как это сделано в гр.2 табл. Если же количество уровней чётное, значения t будут такими (это равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях):

19921993199419951996199719981999

-7-5-3-11357

В обоих случаях , так что система уравнений принимает вид и , откуда ; .

Проиллюстрируем выравнивание ряда динамики по прямой на следующем примере. В порядке первого приближения здесь можно принять линейную форму тренда.

Подставляем в формулу итоговые суммы из таблицы, получим:

.



Производство мяса в районе

Отсюда уравнение искомой прямой таково:

Подставляя в это уравнение значение t из табл. 2.2, найдём выровненные (расчётные) уровни (см. гр. 5, таб. 2.2). Графическое изображение найденного тренда показано на рис.

Аналитическое выравнивание ряда динамики не только делает более чётким направление основной тенденции, но одновременно даёт также числовую её характеристику. В частности, при выравнивании по прямой параметр - это абсолютный прирост выровненного уровня за единицу времени , или средний абсолютный прирост с учётом тенденции к равномерному росту (росту в арифметической прогрессии). Так, в нашем примере, =3 означает, что выровненный валовой сбор ежегодно увеличивался на 3 млн. т. или с учётом тенденции к равномерному росту сбор зерна в среднем ежегодно возрастал на эту величину.

При выравнивании ряда динамики по параболе второй степени () её параметры (при ) рассчитываются так:

; ; (31)

.

Абсолютная скорость роста выравненного уровня в этом случае с течением времени изменяется (она равна - первой производной по t).

Если производство мяса в районе выравнивать по параболе второй степени, то , а система уравнений (2.2) такова:

Таблица 13. Расчётная таблица при выравнивании по прямой и по параболе ряда динамики производства мяса в районе.

Выравненные (расчётные) уровни

Год

Мясо в убойном весе, тыс.т.

Обозначение времени t

yt

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999	171 148 170 162 187 181 168 223 196 140 224 196 237 179 189	-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7	-1197 -888 -850 -648 -561 -362 -168 0 196 280 672 784 1185 1074 1323	49 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49	163,7 166,7 169,7 172,7 175,7 178,7 181,7 184,7 187,7 190,7 193,7 196,7 199,7 202,7 205,7	2401 1296 625 256 81 16 1 0 1 16 81 256 625 1296 2401	8379 5328 4250 2592 1683 724 168 0 196 560 2016 3136 5925 6444 9261
Итого	2771	0	840	280	2770,5	9352	50662

Это даёт : . Следовательно, уравнение параболы таково: . Подставляя в него значения t, найдём выравненные уровни. Так, для 1985 г. (t = -7) получим: = 189,5+3(-7)-0,2649 = 155,9 и т.д. (см.табл.14 и рис.).

Средняя скорость изменения уровня (как и для прямой) здесь 3 млн. т., а ежегодное её уменьшение, т.е. замедление, равно 0,52 млн. т. Следовательно, найденная парабола характеризует замедленный рост.

Отклонение фактических уровней ряда динамики от выравненных (расчётных) используются для характеристики колеблемости фактических уровней около тренда. Абсолютным показателем этой колеблемости является среднее квадратическое отклонение:

.(32)

Относительной мерой колеблемости является модифицированный коэффициент вариации:

.(33)

В нашем примере колеблемость производства мяса около линейного тренда составляет 23,2 тыс. т., или 12,6%, а около параболического тренда - 22,8 тыс. т., или12,4% (расчёт сумм квадратов остаточных отклонений показан в табл.2.3).

Суммы квадратов остаточных отклонений можно также использовать для выбора формы тренда с помощью статистических критериев. В качестве грубого критерия иногда применяют сумму квадратов отклонений скорректированные на числа степеней свободы:

где n- число уровней, m-число параметров тренда. Выбирается тот тренд, для которого меньше. Однако более надёжные результаты даёт использование

F-критерия Фишера, основанного на процедуре проверки гипотез. Проверяется нулевая гипотеза о том, что уменьшение за счёт включения в уравнение тренда члена статистически незначимо. Нами разработана основная на критерии F таблица, в которой приведены критические значения величины , где и - суммы квадратов остаточных отклонений соответственно для линейного тренда и параболы второй степени. Если эмпирическое значение k больше табличного, то нулевая гипотеза отклоняется при данном уровне значимости a, т.е. параболический тренд предпочтительнее, чем линейный. Если же фактическое значение k меньше табличного, то нулевая гипотеза не отклоняется, т.е. следует предпочесть линейный тренд.

Таблица 14. Расчёт сумм квадратов остаточных отклонений

Год	Линейныйтренд	Параболический тренд
1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999	171 148 170 162 187 181 168 223 196 140 224 196 237 179 189	7,3 -18,7 0,3 -10,7 11,3 2,3 -13,7 38 8,3 -50,7 30,3 -0,7 37,3 -23,7 -16,7	53,29 349,69 0,09 114,49 127,69 5,29 187,69 1466,89 68,89 2570,49 918,09 0,49 1391,29 561,69 271,89	155,9 162,3 168,1 173,4 178,3 182,5 186,3 189,5 192,3 194,5 196,2 197,4 198,1 198,3 197,9	15,1 -14,3 1,9 -11,4 8,7 -1,5 -18,3 33,5 3,7 -54,5 27,8 -1,4 38,9 -19,3 -8,9	228,01 204,49 3,61 129,96 75,69 2,25 334,89 1122,25 13,69 2970,25 772,84 1,96 1513,21 372,49 79,21
Итого	2771	0,5	8094,95	2770,0	0	7824,80

Критические значения .

	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
	10,26	4,38	2,93	2,32	2,00	1,80	1,67	1,57	1,50	1,44	1,40	1,36
	25,26	7,87	4,51	3,26	2,65	2,28	2,05	1,88	1,76	1,67	1,60	1,54

В нашем примере , что меньше табличного k (для n = 15) и при , (1,60), при , (1,40). Поэтому можно считать, что линейный тренд предпочтительнее параболы второй степени (криволинейность не улучшает форму тренда).

Тесты

1. Средний уровень интервального ряда динамики определяется по формуле:

а) средней гармонической;

б) средней арифметической простой;

в) средней кронологической;

г) средней ариметической взвешенной.

2. По времени, отраженному в динамических рядах они разделяются на:

а) статистические и частотоные;

б) гармонические и интегральные;

в) дискретные и интервальные;

г) интервальные имоментные.

3. Приемом обнаружения общей тенденции развития не является:

а) метод скользящей средней;

б) аналитическое выравнивание ряда динамики;

в) приведение рядов динамики к одному основанию;

г) укрупнение интервалов.

4. Средний уровень моментного ряда динамики определяется по формуле:

а) средней гармонической взвешенной;

б) средней хронологической;

в) средней арифметической простой.

Глава 4. Экономические индексы

Экономический индекс - это относительная величина, которая характеризует изменение исследуемого явления во времени, в пространстве или по сравнению с некоторым эталоном (планируемым, нормативным уровнем и т. п.). Если в качестве базы сравнения используется уровень за какой-либо предшествующий период - получают динамический индекс; если же базой является уровень того же явления по другой территории - территориальный индекс. Индексы являются незаменимым инструментом исследования в тех случаях, когда необходимо сравнить во времени или в пространстве две совокупности, элементы которых являются несоизмеримыми величинами.

Изучение данной темы должно базироваться на знании предшествующих разделов курса, особенно тем “Формы выражения статистических показателей” и “Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений”.

Изучив эту тему, вы:

- поймете, что такое индексный метод;

- научитесь применять индексный метод для анализа;

- на примерах изучите способы расчета индексов; индексов цен, физического объема, себестоимости продукции и т.д.;

- сможете самостоятельно рассчитывать индексы инфляции и приводить к «неизменным ценам» свои доходы, курсы валют, и т.п.

4.1 Индивидуальные индексы и сводные индексы в агрегатной форме

Простейшим показателем, используемым в индексном анализе, является индивидуальный индекс, который характеризует изменение во времени (или в пространстве) отдельных элементов той или иной совокупности. Так, индивидуальный индекс цены рассчитывается по формуле

(34)

где P₁ - цена товара в текущем периоде;

P₀ - цена товара в базисном периоде.

Например, если цена товара А в текущем периоде составляла 90 руб., а в базисном 75 руб., то индивидуальный индекс цены

, или 120,0%

В данном примере цена товара А возросла по сравнению с базисным уровнем в 1,2 раза, или на 20%.

Оценить изменение объемов продажи товара в натуральных единицах измерения позволяет индивидуальный индекс физического объема реализации:

(35)

где q₁ - количество товара, реализованное в текущем периоде;

q₀ - количество товара, реализованное в базисном периоде.

Изменение объема реализации товара в стоимостном выражении отражает индивидуальный индекс товарооборота:

(36)

Индивидуальные индексы, в сущности, представляют собой относительные показатели динамики или темпы роста и по данным за несколько периодов времени могут рассчитываться в цепной или базисной формах.

Сводный индекс - это сложный относительный показатель, который характеризует среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из непосредственно несоизмеримых элементов. Исходной формой сводного индекса является агрегатная.

При расчете агрегатного индекса для разнородной совокупности находят такой общий показатель, в котором можно объединить все ее элементы. Рассмотрим пример с розничными ценами. Цены различных товаров, реализуемых в розничной торговле, складывать неправомерно, однако с экономической точки зрения вполне допустимо суммировать товарооборот по этим товарам. Если мы сравним товарооборот в текущем периоде с его величиной в базисном периоде, то получим сводный индекс товарооборота:

(37)

На величину данного индекса оказывают влияние как изменение цен на товары, так и изменение объемов их реализации. Для того чтобы оценить изменение только цен (индексируемой величины), необходимо количество проданных товаров (веса индекса) зафиксировать на каком-либо постоянном уровне. При исследовании динамики таких показателей, как цена, себестоимость, производительность труда, урожайность, количественный показатель обычно фиксируют на уровне текущего периода. Таким способом получают сводный индекс цен (по методу Пааше) Необходимо отметить, что сводный индекс цен можно получить и методом Ласпеиреса, фиксируя количество проданного товара на базисном уровне: :

(38)

Числитель данного индекса содержит фактический товарооборот текущего периода. Знаменатель же представляет собой условную величину, показывающую, каким был бы товарооборот в текущем периоде при условии сохранения цен на базисном уровне. Поэтому соотношение этих двух категорий и отражает имевшее место изменение цен.

Третьим индексом в данной индексной системе является сводный индекс физического объема реализации. Он характеризует изменение количества проданных товаров не в денежных, а в физических единицах измерения:

(39)

Весами в данном индексе выступают цены, которые фиксируются на базисном уровне.

Между рассчитанными индексами существует следующая взаимосвязь:

(40)

Пример. Имеются следующие данные о реализации плодово-ягодной продукции в области (табл. 15).

Таблица 15. Реализация плодово-ягодной продукции в городе

Наименование товара	Июль	Август	Расчетные графы, руб.
	цена за 1 кг, руб. p0	продано, т q0	Цена за 1 кг, руб. p1	Продано, т q1	p0q0	p1q1	p0q1
Черешня	18	24	18	21	432	378	378
Персики	17	28	16	33	476	528	561
Виноград	15	26	13	25	390	325	375
Итого	X	X	X	X	1298	1231	1314

Рассчитать индекс товарооборота.

Решение.

, или 94,8%

Мы получили, что товарооборот в целом по данной товарной группе в текущем периоде по сравнению с базисным уменьшился на 3,1% (100 - 96,9)). Отметим, что объем товарной группы при расчете этого и последующих индексов значения не имеет.

Вычислим сводный индекс цен:

, или 93.7%

По данной товарной группе цены в августе по сравнению с июлем в среднем снизились на 10,8%.

Числитель и знаменатель сводного индекса цен можно интерпретировать с точки зрения потребителей. Числитель представляет собой сумму денег, фактически уплаченных покупателями за приобретённые в текущем периоде товары. Знаменатель же показывает, какую сумму покупатели заплатили бы за те же товары, если бы цены не изменились.

Разность числителя и знаменателя будет отражать величину экономии (если знак “-”...