К_и = ,(2)

где И - сумма износа на дату.

Оба показателя взаимосвязаны: К_г + К_и = 1.

Коэффициент обновления (поступления) основных фондов (Коб), показывает долю всех поступивших в отчётном периоде основных фондов в их общем объёме на конец этого периода. Он рассчитывается как отношение стоимости всех основных фондов введённых в действие за период (П) к полной первоначальной стоимости основных фондов на конец периода (Фк):

Кп = ,(3)

Коэффициент выбытия основных фондов отражает часть основных фондов, выбывших в отчётном периоде, рассчитывается как отношение стоимости всех выбывших за данный период основных фондов (или только выбывших из-за ветхости и износа - В) к полной первоначальной стоимости основных фондов на начало периода (Фн):

Кв = ,(4)

Перечисленные выше показатели можно рассчитывать по данным о полной первоначальной или полной восстановительной стоимости. По экономическому содержанию - это относительные величины структуры, известные студентам из темы «Метод абсолютных и относительных величин». Методику составления балансов основных фондов и определения показателей их движения и состояния за отчетный год рассмотрим, используя данные в табл. 2.

Используя табл. 1. составим балансы основных фондов по полной стоимости с учетом износа (остаточной), покажем их взаимосвязь в табл. 3.

1. Полная стоимость основных фондов на конец года

8950 + 1360 - 310 - 60 = 9940 тыс. руб.

2. Остаточная стоимость на конец года

5310 + 1360 + 200 - 240 - 800 = 5830 тыс. руб.

3. Сумма износа на конец года

3640 - 200 - 60 - 70 + 800 = 4110 тыс. руб.

Таблица 2. Данные об основных фондах предприятия за отчетный период

Показатели	Количество тыс.руб.
Основные фонды по стоимости с учетом износа на начало года Сумма износа основных фондов на начало года Введено в действие новых основных фондов Стоимость капитального ремонта основных фондов Выбыло основных фондов за год: по полной стоимости по стоимости с учетом износа Общая годовая сумма амортизации Выбыло полностью амортизированных основных фондов	5310 3640 1360 200 310 240 800 60

Таблица 3. Баланс основных фондов (тыс. руб.)

Статья баланса	По полной стоимости Ф	По остаточной стоимости Ф	Износ основных фондов (гр.1- гр.2)
Наличие на начало года Поступило всего (П) В том числе: введено в действие основных фондов стоимость капитального ремонта основных фондов Выбыло полностью амортизированных фондов Выбыло не полностью амортизированных фондов Начислен износ основных фондов Наличие на конец года	8950 1360 1360 --- - 60 -310 --- 9940	5310 1560 1360 200 --- -240 -800 5830	3640 -200 --- -200 -60 -70 800 4110

3. Коэффициент годности:

На начало года , или 59,3 %

На конец года , или 58,7 %

Доля годных для использования основных фондов за анализируемый период снизилась на 0,6%

4. Коэффициент износа:

На начало года , или 40,7 %

На конец года , или 41,3 %

За отчетный период повысилась степень изношенности основных фондов предприятия на 0,6%.

6. Коэффициент обновления основных фондов:

, или 13,7%.

Коэффициент выбытия основных фондов:

, или 4,1%.

Особое внимание следует обратить на показатели эффективности использования основных фондов:

1. Фондоотдача (f):

,(5)

где pq =Q - показатели результатов производство продукции;

Ф- средняя годовая стоимость основных фондов.

2. Фондоемкость (ц) - показатель, обратный фондоотдаче:

,(6)

Кроме того, различают показатель фондовооруженности (V), вычисляемый на одного работающего, либо на одного рабочего, по состоянию на определенную дату, либо за период времени:

или

(7)

где Т - среднесписочная численность рабочих ( работающих );

Т_см - численность рабочих, занятых в наиболее заполненной смене;

Ф _{на_дату} - стоимость основных фондов на определенную дату.

Особое внимание следует обратить на анализ факторов. Объем произведенной продукции можно рассматривать:

pq = fФ,(8)

Следовательно, изменение объема продукции происходит из-за изменения фондоотдачи (интенсивный фактор) и изменения величины основных фондов (экстенсивный фактор). Степень влияния отдельных факторов можно выявить с помощью метода подставок. Абсолютный прирост (снижение) объема продукции отчетного периода по сравнению с базисным можно представить:

,(9)

в том числе за счет изменения уровня фондоотдачи:

,(10)

и за счет изменения размера основных фондов:

_,(11)

Методику исчисления рассмотренных показателей производим по данным табл. 4.

Таблица 4. Показатели предприятия за два периода

Показатели	Базисный период	Отчетный период
Товарная продукция, млн.руб. Средняя стоимость основных фондов, млн.руб. Средняя списочная численность рабочих, тыс.чел.	350 415 76	525 503 70

Используя данные табл. 4. расчет начнем с уровня фондоотдачи (руб/руб):

в базисном периоде -f₀ = 350 415 = 0,843;

в отчетном периоде f₁ = 525 503 = 1,044.

Затем определим уровни фондоемкости (руб/руб):

в базисном периоде ₀ = 415 350 = 1,186

в отчетном периоде ₁ = 503 525 = 0,958

Рассчитываем уровни фондовооруженности рабочих в расчете на одного среднесписочного рабочего:

в базисном периоде V₀ = 415 76 = 5,5 тыс.руб/чел. ;

в отчетном периоде V₁ = 503 70 = 7,2 тыс.руб/чел.

Произведём факторный анализ общего прироста товарной продукции за период

= 525-350 = 175 млн. руб.,

в том числе вследствии повышения фондоотдачи

(1,044-0,843)503 = 101 млн. руб

и увеличение объёма основных фондов

(503-415)0,843 = 74 млн.руб.

Рассчитанные нами показатели взаимосвязаны:

= +101+74 = 175.

Далее можно рассчитать долю влияния каждого фактора на общий прирост товарной продукции ( ):

,

В данном случае доля интенсивного фактора в общем приросте продукции выше, чем экстенсивного.

Анализ можно продолжить, используя систему индексов, необходимых для исследования среднего уровня фондоотдачи (индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов). Расчёт можно выполнить по данным табл. 5

Таблица 5. Товарная продукция и основные фонды за два периода, млн.руб.

Предприятия	Базисный год	Отчётный год	Доля каждого предприятия в общей стоимости основных фондов
	Товарная продукция р0 q0	Основные фонды Ф0	Товарная продукция p1 q1	Основные фонды Ф1	Базисный период	Отчётный период
1 2	52,0 34,8	46,9 36,0	49,8 36,9	49,2 38,8	0,5657 0,4343	0,5591 0,4409
Итого:	86,8	82,9	86,7	88,0	1.000	1.000

Вначале найдём уровни фондоотдачи (f):

предприятие 1:

= 52,0 : 46,9 = 1,1087 руб/руб.;

= 49,8 : 49,2 = 1,0122 руб/руб.;

предприятие 2:

= 34,8 : 36,0 = 0,9667 руб/руб.;

= 36,9 : 38,8 = 0,9510руб/руб.

Динамику фондоотдачи можно охарактеризовать с помощью индивидуальных индексов:

предприятие 1:

или 91,3 %,;

предприятие 2:

или 98,4 %,

Следовательно, фондоотдача по первому предприятию уменьшилась на 8,7%, а по второму на 1,6%. Индекс среднего уровня фондоотдачи (переменного состава) представляет собой отношение двух средних уровней фондоотдачи:

,(12)

Расчёт можно произвести и по другой формуле:

,(13)

Для расчёта по первой формуле необходимо определить средние уровни фондоотдачи:

базисный период:

руб/руб;

отчётный период:

, или 94,1 %.

Прежде чем вести расчёт по второй формуле, нужно определить долю отдельных предприятий (d_Ф) в общей стоимости основных фондов (см. табл. 5., графы 5,6).

Индекс среднего уровня фондоотдачи:

, или 94,1 %.

Динамика среднего уровня фондоотдачи зависит от изменения фондоотдачи на каждом предприятии и изменения структуры совокупности, т.е. изменения доли отдельных предприятий в общей стоимости основных фондов. Влияние первого фактора определяется с помощью индекса постоянного состава:

,или 94,2%.

Индекс структурных сдвигов в основных фондах используется для расчёта влияния второго фактора:

, или 99,9 %.

Таким образом, за анализируемый период средний уровень фондоотдачи по двум предприятиям снизился на 5,9 %. За счёт изменения фондоотдачи на каждом предприятии её средний уровень снизился на 5,8 %, а за счёт изменения в структуре основных фондов - на 0,1 %. Взаимосвязь индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов выражается формулой:

; 0,941 = 0,942 0,999.

6.6 Статистика оборотных фондов

Основная часть оборотных фондов - материальные запасы, которые непрерывно расходуются с целью обеспечения непрерывности процесса воспроизводства. В этой связи запасы сырья и материалов должны постоянно обновляться (пополняться). Обновление (поступление) материальных запасов после прохождения всех стадий производственного процесса есть оборачиваемость запасов. Для характеристики оборачиваемости материальных запасов исчисляются три показателя:

1. Коэффициент закрепляемости (Кзак) исчисляют отношением стоимости средних запасов сырья и материалов за период (З) к стоимости расхода материальных запасов (реализованной продукции) за этот же период (Р):

,(14)

показывает необходимый расход сырья и материалов на каждые 100 денежных единиц продукции, или наличные запасы на 100 единиц необходимого расхода сырья.

Коэффициент оборачиваемости (С) выражает число оборотов за период или скорость товарооборота в торговле. Расчёт производим по формуле:

(разы).,(15)

Показывает, сколько раз обновились запасы за определённый период.

Время одного оборота в днях (в) исчисляют отношением средних запасов сырья и материалов к однодневному расходу (реализации продукции)

(Д- число дней в периоде):

Сумма высвобожденных (привлечённых) средств вследствие ускорения (замедления) оборачиваемости оборотных фондов отражает эффект от более рационального использования оборотных фондов. Находят её как разность между фактическим средним остатком оборотных фондов () и его условные величины (В₀n₁):

.,(16)

Следует обратить внимание: положительная разница характеризует сумму дополнительно привлечённых средств вследствии замедления оборачиваемости, отрицательная - высвобождение оборотных средств за счёт ускорения оборачиваемости. Анализ можно продолжить, выявив влияние однодневного расхода (n) и продолжительности одного оборота в днях (В), применив метод цепных подстановок. Общее изменение оборотных фондов рассчитывается так:

,(17)

Изменение за счёт продолжительности одного оборота:

,(18)

Изменение за счёт динамики однодневного расхода:

.,(19)

Методику расчёта перечисленных показателей рассмотрим по табл. 6.6, где исходные данные приведены по строкам 1,2, расчётные показатели - по строкам 3,4,5.

Таблица 6. Показатели деятельности промышленного предприятия, млн.руб.

Показатели	Базисный год	Отчётный год
Средний запас сырья и материалов за период Стоимость расходов материальных запасов (реализованной продукции) за период Коэффициент оборачиваемости материальных запасов за период Однодневный расход Продолжительность одного оборота в днях	2500 5700 2,28 15,83 158	2900 9500 3,275862 26,39 110

Расчёт показателей поясним на примере базисного периода.

Коэффициент оборачиваемости: 5700 : 2500 = 2,28 оборота.

Однодневный расход: 5700 : 360 = 15,83 млн.руб.

Продолжительность одного оборота: 2500 : 15,83 = 158 дней.

Расчёт данных показателей за отчётный период аналогичен.

Динамика показателей оборачиваемости может быть измерена абсолютными и относительными величинами.

Общий абсолютный прирост оборотных фондов за год составил: в том числе за счёт снижение продолжительности одного оборота в днях: и за счёт роста однодневного расхода:

Изменение за счёт двух факторов даёт общий прирост оборотных фондов:

-1267 + 1668 = 401 400 млн. руб.

Расхождение появилось из-за округлений, но оно незначительно, поэтому им можно пренебречь. Если произвести округление рассчитываемых нами показателей более точно, то расхождение исчезнет.

Тесты

1.Выберите категории персонала предприятия:

а)рабочие, служащие, ученики;

б)рабочие и руководители;

в)рабочие, служащие, специалисты, руководители.

2.Среднесписочная численность это:

а)численность работников списочного состава на определенную дату отчетного периода;

б)численность работников списочного состава за определенный период времени;

в)оба определения.

3.Максимально возможный фонд рабочего времени:

а)всегда больше фактически отработанного времени,

б) равен фактически отработанному времени;

в) меньше фактически отработанного времени.

5.Какими показателями характеризуется движение кадров:

а)К сменности и К текучести;

б)К оборота по приему и увольнению, К текучести;

в)К текучести и средний тарифный разряд.

6.В состав основных производственных фондов предприятия включаются материально-вещественные элементы:

а)здания, сооружения, передаточные устройства, транспортные средства;

б)здания, сооружения, передаточные устройства, машины и оборудование (в том числе силовые машины и оборудование, рабочие машины и оборудование, лабораторное оборудование, измерительные и регулирующие приборы и устройства, вычислительнаятехника, прочие машины и оборудование), незавершенное производство, инструменты и приспособления, транспортные средства;

в)здания, сооружения, передаточные устройства, машины и оборудование (в том числе силовые машины и оборудование, рабочие машины и оборудование, лабораторное оборудование, измерительные и регулирующие приборы и устройства).

7.Рентабельность отдельных видов продукции определяется:

а)отношением прибыли, включаемой в цену изделия, к цене изделия;

б)отношением прибыли от реализации к выручке от реализации;

в)отношением балансовой прибыли к средней стоимости имущества предприятия;

г) отношением балансовой прибыли к средней стоимости основных фондов и материальных оборотных средств.

8.Рентабельность производственных фондов определяется:

а)отношением балансовой прибыли к объему реализованной продукции;

б)отношением прибыли от реализации к выручке отреализации;

в)отношением балансовой прибыли к средней стоимости имущества предприятия;

г)отношением прибыли к средней стоимости основных фондов и материальных оборотных средств.

9.К себестоимости продукции машиностроения относятся:

а)текущие затраты на производство;

б)капитальные затраты;

в)выраженные в денежной форме затраты предприятия на производство и реализацию продукции;

г)затраты на сырье, материалы и заработную плату работающих;

д)затраты на оборудование.

10. Назначение классификации затрат на производство по экономическим элементам затрат:

а)расчет себестоимости единицы конкретного вида продукции;

б)основание для составления сметы затрат на производство;

в)исчисление затрат на материалы;

г)определение затрат на заработную плату;

д)установление цены изделия.

11.Назначение классификации по калькуляционным статьям расходов:

а)определение цены на заготовку деталей, узлов;

б)исчисление прямых и косвенных расходов;

в)расчет себестоимости единицы конкретного вида продукции;

г)служит основой для составления сметы затрат на производство.

12.К группировке затрат по экономическим элементам относятся затраты на:

а)топливо и энергию на технологические цели;

б)основную заработную плату производственных рабочих;

в)амортизацию основных фондов;

г)расходы на подготовку и освоение производства;

д)дополнительную заработную плату производственных рабочих.^

13.В группировку затрат по статьям калькуляции входят затраты на:

а)сырье и основные материалы;

б)оплату труда;

в)амортизацию основных производственных фондов;

г)топливо и энергию на технологические цели;

д)вспомогательные материалы.

14.К затратам на управление и организацию производства
в себестоимости продукции относятся затраты:

а)прямые;

б)косвенные;

в)переменные;

г)постоянные.

д)по обслуживанию оборудования.

15.Цеховая себестоимость продукции включает в себя затраты:

а)цеха на выполнение технологических операций;

б)предприятия на производство данного вида продукции;

в)цеха на управление производством;

г)цеха на выполнение технологических операций и управление цехом.

16.Производственная включает затраты:

а)цеха на производство себестоимость продукции данного вида продукции;

б)цеховую себестоимость и общезаводские расходы;

в)на производство и сбыт продукции;

г)на технологическую себестоимость;

д)на коммерческую себестоимость.

17.Коммерческая себестоимость продукции включает затраты:

а)на производство и сбыт продукции (коммерческие расходы);

б)цеховую себестоимость;

в)производственную себестоимость;

г)предприятия на основные и вспомогательные материалы;

д)предприятия на управление производством.

18.На снижение себестоимости продукции влияют внутри производственные технико-экономические факторы:

а)улучшение использования природных ресурсов;

б)повышение технического уровня производства;

в)улучшение структуры производимой продукции;

г)изменение состава и качества природного сырья;

д)изменение размещения производства.

19.К переменным расходам относятся:

а)материальные затраты;

б)расходы по реализации продукции;

в)амортизационные отчисления;

г)заработная плата производственного персонала;

д)административные и управленческие расходы.

20.Деление расходов на постоянные и переменные проводится с целью:

а) прогнозирования прибыли;

- б) определения для каждой конкретной ситуации объема реализации, обеспечивающего безубыточную деятельность (критический объем); г) выделения цеховой, производственной и коммерческой себестоимости.

21.Расходы и прибыль сбытовых организаций включаются в:

а)оптовую цену предприятия;

б)оптовую цену промышленности.

22.Под понятием «прибыль от реализации продукции» подразумеваются:

а)выручка, полученная от реализации продукции;

б)денежное выражение стоимости товаров;

в)разность между объемом реализованной продукции в стоимостном выражении (без НДС и акциза) и ее себестоимостью;

г)чистый доход предприятия;

д)затраты на производство реализованной продукции.

23.Понятие «балансовая прибыль предприятия» включает:

а) выручку, полученную от реализации продукции;

б)денежное выражение стоимости товаров;

в)разность между объемом реализованной продукции в стоимостном выражении и ее себестоимостью;

г)прибыль от реализации продукции, результат от прочей реализации, доходы от внереализационных операций (по ценным бумагам, долевому участию в других предприятиях), расходы и убытки от вне
реализационных операций;

д)выручку от реализации продукции за вычетом акцизов.

24.В понятие «рентабельность предприятия» входят:

а)получаемая предприятием прибыль;

б)относительная доходность или прибыльность, измеряемая в процентах к затратам средств или капитала;

в)отношение прибыли к средней стоимости основных фондов и оборотных средств;

г)балансовая прибыль на 1 руб. объема реализованной продукции;

д)отношение прибыли к цене изделия.

25.Рентабельность продукции определяется:

а)отношением балансовой прибыли к объему реализованной продукции;

б)отношением прибыли от реализации к выручке от реализации (без НДС и акциза);

в)отношением балансовой прибыли к средней стоимости имущества предприятия;

г)отношением балансовой прибыли к средней стоимости основных фондов и материальных оборотных средств.

26.Основные фонды при зачислении их на баланс предприятия (цеха, корпуса) в результате приобретения, строительства оцениваются:

а)по восстановительной стоимости;

б)по полной первоначальной стоимости;

в)по остаточной стоимости;

г)по смешанной стоимости.

27.Уровень использования основных производственных фондов характеризуют:

а)рентабельность, прибыль;

б)фондоотдача, фондоемкость;

в)фондовооруженность труда рабочих;

г)коэффициент сменности;

д)производительность труда рабочих.

28.Экстенсивное использование основных производственных фондов характеризуют:

а)фондоемкость, фондоотдача;

б)коэффициент сменности, коэффициент экстенсивного использования оборудования;

в)фондовооруженность труда;

д)рентабельность производства;

е)прибыль предприятия.

29.Интенсивное использование оборудования характеризуют:

а)коэффициент сменности;

б)фондоотдача;

в)фондовооруженность труда рабочего;

г)производительность данного вида оборудования;

д)коэффициент интенсивного использования оборудования.

30.Показатель фондоотдачи характеризуют:

а)размер объема товарной продукции, приходящейся на 1 руб. основных производственных фондов;

б)уровень технической оснащенности труда;

в)удельные затраты основных фондов на 1 руб. реализованной продукции;

г)количество оборотов оборотных средств.

31.Амортизация основных фондов -- это:

а)износ основных фондов;

б)процесс перенесения стоимости основных фондов на себестоимость изготовляемой продукции;

в)восстановление основных фондов;

г)расходы по содержанию основных фондов.

32.Понятие «оборотные фонды предприятия» включает:

а)основные и вспомогательные материалы, полу фабрикаты собственного производства, покупные полуфабрикаты, комплектующие изделия;

б)часть средств производства, которые участвуют в производственном цикле один раз и полностью переносят свою стоимость на себестоимость изготовляемой продукции;

в)средства производства, многократно участвующие в процессе производства и переносящие свою стоимость на себестоимость выпускаемой продукции;

г)орудия труда, многократно участвующие в производственном цикле и переносящие свою стоимость на себестоимость изготовляемой продукции не сразу, а по частям, по мере изнашивания;

д)предметы труда, необходимые для изготовления продукции.

33.В состав оборотных производственных фондов предприятия входят материально-вещественные элементы:

а)производственные запасы сырья, материалов, полуфабрикатов, покупных изделий, запасных частей, топлива, незавершенное производство, расходы будущих периодов;

б)станки, агрегаты, приспособления, тара, стеллажи;

в)готовая продукция, денежные средства в кассе, на расчетном счете предприятия;

г)прибыль предприятия, задолженность поставщикам.

34.К фондам обращения относятся:

а)материальные ресурсы предприятия, отрасли;

б)готовые изделия на складе предприятия, продукция отгруженная, находящаяся в пути, денежные средства и средства в незаконченных расчетах (денежные средства в кассе, на расчетном счете, в аккредитивах, все виды задолженности);

в)готовые изделия, отгруженные потребителям, денежные средства в акциях, на расчетном счете, в кассе;

г)транспортные средства предприятия, производственные здания, сооружения;

д)прибыль.

35.В состав оборотных средств предприятия входят:

а)запасы материалов, запасных частей, топлива, готовой продукции на складе;

б)оборотные фонды и фонды обращения;

в)незавершенное производство, готовая продукция на складе;

г)производственные запасы, незавершенное производство, расходы будущих периодов, фонды обращения;

д) оборудование цехов, готовая продукция на складе.

36.Коэффициент оборачиваемости оборотных средств характеризуют:

а)размер реализованной продукции, приходящейся на 1 руб. производственных фондов;

б)средняя длительность одного оборота;

в)количество оборотных средств за соответствующий отчетный период;

г)уровень технической оснащенности труда;

д)затраты производственных фондов на 1 руб. товарной продукции.

37.Материалоемкость продукции характеризуют:

а)технический уровень производства;

б)экономное использование материалов;

в)общий вес материалов, израсходованных на изготовление изделия;

г)нормы расхода материалов на изготовление продукции;

д)чистый вес машины, агрегата.

38.Эффективность использования оборотных средств характеризуют:

а)прибыль, рентабельность производства;

б)уровень отдачи оборотных средств;

в)коэффициент оборачиваемости, средняя продолжительность одного оборота;

г)фондоотдача, фондоемкость продукции;

д)фондовооруженность труда.

Глава 7. Статистическое изучение взаимосвязей

7.1 Основные понятия корреляционного и регрессионного анализа

Исследуя природу, общество, экономику, необходимо считаться со взаимосвязью наблюдаемых процессов и явлений. При этом полнота описания так или иначе определяется количественными характеристиками причинно-следственных связей между ними. Оценка наиболее существенных из них, а также воздействия одних факторов на другие является одной из основных задач статистики.

Формы проявления взаимосвязей весьма разнообразны. В качестве двух самых общих их видов выделяют функциональную (полную) и корреляционную (неполную) связи. В первом случае величине факторного признака строго соответствует одно или несколько значений функции. Достаточно часто функциональная связь проявляется в физике, химии. В экономике примером может служить прямо пропорциональная зависимость между производительностью труда и увеличением производства продукции.

Корреляционная связь (которую также называют неполной, или статистической) проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой переменной соответствует некоторый ряд вероятных значений независимой переменной. Объяснение тому -- сложность взаимосвязей между анализируемыми факторами, на взаимодействие которых влияют

неучтенные случайные величины. Поэтому связь между признаками проявляется лишь в среднем, в массе случаев. При корреляционной связи каждому значению аргумента соответствуют случайно распределенные в некотором интервале значения функции.

По направлению связи бывают прямыми, когда зависимая переменная растет с увеличением факторного признака, и обратными, при которых рост последнего сопровождается уменьшением функции. Такие связи также можно назвать соответственно положительными и отрицательными.

Относительно своей аналитической формы связи бывают линейными и нелинейными. В первом случае между признаками в среднем проявляются линейные соотношения. Нелинейная взаимосвязь выражается нелинейной функцией, а переменные связаны между собой в среднем нелинейно.

Существует еще одна достаточно важная характеристика связей с точки зрения взаимодействующих факторов. Если характеризуется связь двух признаков, то ее принято называть парной. Если изучаются более чем две переменные - множественной.

Указанные выше классификационные признаки наиболее часто встречаются в статистическом анализе. Но кроме перечисленных различают также непосредственные, косвенные и ложные связи. Собственно, суть каждой из них очевидна из названия. В первом случае факторы взаимодействуют между собой непосредственно. Для косвенной связи характерно участие какой-то третьей переменной, которая опосредует связь между изучаемыми признаками. Ложная связь -- это связь, установленная формально и, как правило, подтвержденная только количественными оценками. Она не имеет под собой качественной основы или же бессмысленна.

По силе различаются слабые и сильные связи. Эта формальная характеристика выражается конкретными величинами и интерпретируется в соответствии с общепринятыми критериями силы связи для конкретных показателей.

В наиболее общем виде задача статистики в области изучения взаимосвязей состоит в количественной оценке их наличия и направления, а также характеристике силы и формы влияния одних факторов на другие. Для ее решения применяются две группы методов, одна из которых включает в себя методы корреляционного анализа, а другая -- регрессионный анализ. В то же время ряд исследователей объединяет эти методы в корреляционно-регрессионный анализ, что имеет под собой некоторые основания: наличие целого ряда общих вычислительные процедур, взаимодополнения при интерпретации результатов и др.

Поэтому в данном контексте можно говорить о корреляционном анализе в широком смысле -- когда всесторонне характеризуется взаимосвязь. В то же время выделяют корреляционный анализ в узком смысле -- когда исследуется сила связи -- и регрессионный анализ, в ходе которого оцениваются ее форма и воздействие одних факторов на другие.

Задачи собственно корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак:

Задачи регрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значений зависимой переменной.

Решение названных задач опирается на соответствующие приемы, алгоритмы, показатели, применение которых, дает основание говорить о статистическом изучении взаимосвязей.

Следует заметить, что традиционные методы корреляции и регрессии широко представлены в разного рода статистических пакетах программ для ЭВМ. Исследователю остается только правильно подготовить информацию, выбрать удовлетворяющий требованиям анализа пакет программ и быть готовым к интерпретации полученных результатов. Алгоритмов вычисления параметров связи существует множество, и в настоящее время вряд ли целесообразно проводить такой сложный вид анализа вручную. Вычислительные процедуры представляют самостоятельный интерес, но знание принципов изучения взаимосвязей, возможностей и ограничений тех или иных методов интерпретации результатов является обязательным условием исследования.

Методы оценки тесноты связи подразделяются на корреляционные (параметрические) и непараметрические. Параметрические методы основаны на использовании, как правило, оценок нормального распределения и применяются в случаях, когда изучаемая совокупность состоит из величин, которые подчиняются закону нормального распределения. На практике это положение чаще всего принимается априори. Собственно, эти методы--параметрические--и принято называть корреляционными.

Непараметрические методы не накладывают ограничений на закон распределения изучаемых величин. Их преимуществом является и простота вычислений.

7.2 Парная корреляция и парная линейная регрессия

Простейшим приемом выявления связи между двумя признаками является построение корреляционной таблицы:

Х У	У1	У2	…	Уz	Итого	Уi
Х1	f11	12	…	f1z	f1j	У1
Х2	f12	22	…	f2z	f2j	У2
…	…	…	…	…	…	…
Хk	fk1	k2	…	fkz	fkj	Уk
Итого	fi1	fi2	…	fiz	N	У
Хi	Х1	Х2	…	Хz	Х	-

В основу группировки положены два изучаемых во взаимосвязи признака - Х и У. Частоты f_ij показывают количество соответствующих сочетаний Х и У. Если f_ij расположены в таблице беспорядочно, можно говорить об отсутствии связи между переменными. В случае образования какого-либо характерного сочетания f_ij допустимо утверждать о связи между Х и У. При этом, если f_ij концентрируются около одной из двух диагоналей, имеет место прямая или обратная линейная связь.

Наглядным изображением корреляционной таблицы служит корреляционное поле. Оно представляет собой график, где на оси абсцисс откладываются значения X, по оси ординат - У, а точками показывается сочетание Х и У. По расположению точек, их концентрации в определенном направлении можно судить о наличии связи.

В итогах корреляционной таблицы по строкам и столбцам приводятся два распределения -- одно по X, другое по У. Рассчитаем для каждого Х_i среднее значение У, т. е. У_ij как

У_i = У_jf_ij / f_ij , i = 1, 2, …, k.

Последовательность точек (X_i, У_i) дает график, который иллюстрирует зависимость среднего значения результативного признака У от факторного X, -- эмпирическую линию регрессии, наглядно показывающую, как изменяется У по мере изменения X.

По существу, и корреляционная таблица, и корреляционное поле, и эмпирическая линия регрессии предварительно уже характеризуют взаимосвязь, когда вышины факторный и результативный признаки и требуется сформулировать предположения о форме и направленности связи. В то же время количественная оценка тесноты связи требует дополнительных расчетов.

Практически для количественной оценки тесноты связи широко используют линейный коэффициент корреляции. Иногда его называют просто коэффициентом корреляции. Если заданы значения переменных Х и У, то он вычисляется по формуле

ХУ - Х У

r_yx = r_xy = .

_{x y}

Можно использовать и другие формулы, но результат должен быть одинаковым для всех вариантов расчета.

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале от -1 до +1. Принято считать, что если r 0,30, то связь слабая; при r= (0,3 + 0,7) - средняя; при r 0,70 - сильная, или тесная. Когда r= 1 - связь функциональная. Если же r = 0, то это дает основание говорить об отсутствии линейной связи между У и Х. Однако в этом случае возможно нелинейное взаимодействие, что требует дополнительной проверки и других измерителей, рассматриваемых ниже.

Для характеристики влияния изменений Х на вариацию У служат методы регрессионного анализа. В случае парной линейной зависимости строится регрессионная модель

У_i = a₀ + a₁ Х_i + _i, i = 1, …, n,

где n - число наблюдений;

a₀, a₁ - неизвестные параметры уравнения;

_i - ошибка случайной переменной У.

Уравнение регрессии записывается как

У_{i теор} = a₀ + a₁ Х_i,

где У_{i теор} - рассчитанное выравненное значение результативного признака после подстановки в уравнение X.

Параметры а₀ и а₁ оцениваются с помощью процедур, наибольшее распространение из которых получил метод наименьших квадратов. Его суть заключается в том, что наилучшие оценки а₀ и а получают, когда

(У_i - У_{i теор})² = min,

т. е. сумма квадратов отклонений эмпирических значений зависимой переменной от вычисленных по уравнению регрессии должна быть минимальной. Сумма квадратов отклонений является функцией параметров а₀ и а. Ее минимизация осуществляется решением системы уравнений

na₀+a₁X=У;

a₀X + a₁X² = ХУ.

Можно воспользоваться и другими формулами, вытекающими из метода наименьших квадратов, например:

(Х_i - Х) (У_i - У) _у

a₁ = или a₁ = r_ху , a₀ = У - a₁Х.

(Х_i - Х)² _х

Аппарат линейной регрессии достаточно хорошо разработан и, как правило, имеется в наборе стандартных программ оценки взаимосвязи для ЭВМ. Важен смысл параметров: а₁ -- это коэффициент регрессии, характеризующий влияние, которое оказывает изменение Х на У. Он показывает, на сколько единиц в среднем изменится У при изменении Х на одну единицу. Если а₁ больше 0, то наблюдается положительная связь. Если а₁ имеет отрицательное значение, то увеличение Х на единицу влечет за собой уменьшение У в среднем на а₁. Параметр а₁ обладает размерностью отношения У к X.

Параметр а₀ - это постоянная величина в уравнении регрессии. На наш взгляд, экономического смысла он не имеет, но в ряде случаев его интерпретируют как начальное значение У. Например, по данным о стоимости оборудования Х и производительности труда У методом наименьших квадратов получено уравнение

У = - 12,14 + 2,08Х.

Коэффициент а₁ означает, что увеличение стоимости оборудования на 1 млн. руб. ведет в среднем к росту производительности труда на 2,08 тыс. руб.

Значение функции У = а₀ + а₁Х называется расчетным значением и на графике образует теоретическую линию регрессии.

Смысл теоретической регрессии в том, что это оценка среднего значения переменной У для заданного значения X.

7.3 Множественная линейная регрессия

Парная корреляция или парная регрессия могут рассматриваться как частный случай отражения связи некоторой зависимой переменной, с одной стороны, и одной из множества независимых переменных -- с другой. Когда же требуется охарактеризовать связь всего указанного множества независимых переменных с результативным признаком, говорят о множественной корреляции или множественной регрессии.

Рассмотрим вопрос о регрессии. В ряде случаев именно от его решения -- оценки уравнений регрессии -- зависят оценки тесноты связи, а они, в свою очередь, дополняют результаты регрессионного анализа. Прежде всего следует определить перечень независимых переменных X, включаемых в уравнение. Это должно делаться на основе теоретических положений. Список Х может быть достаточно широк и ограничен только исходной информацией. На практике теоретические положения о сути взаимосвязи подкрепляются парными коэффициентами корреляции между зависимой и независимыми переменными. Отбор наиболее значимых из них можно провести с помощью ЭВМ, выбирая в соответствии с коэффициентами корреляции и другими критериями факторы, наиболее тесно связанные с У. Параллельно решается вопрос о форме уравнения. Современные средства вычислительной техники позволяют за относительно короткое время рассчитать достаточно много вариантов уравнений. В ЭВМ вводятся значения зависимой переменной У и матрица независимых переменных X, принимается форма уравнения, например линейная. Ставится задача включить в уравнение k наиболее значимых X. В результате получим уравнение регрессии с k наиболее значимыми факторами. Аналогично можно выбрать наилучшую форму связи. Этот традиционный прием, называемый пошаговой регрессией, если он не противоречит качественным посылкам, достигает приемлемых результатов. Первоначально обычно берется линейная модель множественной регрессии

У_i = а₀ + а₁Х_i1 + а₂ Х_i2 + ... + а_k Х_ik + _i

или -- в форме уравнения регрессии -

У_теор = а₀ + а₁Х₁ + а₂ Х₂ + ... + а_k Х_k,

где У_теор - расчетное значение регрессии, которое представляет собой оценку ожидаемого значения У при фиксированных значениях переменных Х₁, Х₂, ..., Х_k;

а₁, а₂, …, а_k - коэффициенты регрессии, каждый из которых показывает, на сколько единиц изменится У с изменением соответствующего признака Х на единицу при условии, что остальные признаки останутся на прежнем уровне.

Параметры уравнения множественной регрессии, как правило, находятся методом наименьших квадратов. В матричной записи система уравнений имеет вид

(Х^т Х) А = Х^тУ,

1 Х₁₁ … Х_1k У₁ а₀

где Х = 1 Х₂₁ … Х_2k ; У = У₂ ; А = а₁ .

1 Х_n1 … Х_nk У_n а_k

Оценка параметров множественной регрессии вручную затруднительна, приводит к потерям точности и может лишь удовлетворить любопытство. Получение же оценок параметров на ЭВМ в настоящее время не представляет большой проблемы. Гораздо важнее, насколько линейная форма связи соответствует реально существующей зависимости между У, с одной стороны, и множеством Х -- с другой.

7.4 Нелинейная регрессия. Коэффициенты эластичности

Представление связи через линейную функцию там, где на самом деле существуют нелинейные соотношения, вызовет ошибки аппроксимации и в конечном итоге упрощенные или даже ложные положения и выводы на основе аналитического уравнения.

Вопрос о нелинейности формы уравнения следует решать на стадии теоретического анализа. Как правило, анализ должен опираться на суть взаимодействия изучаемых явлений и процессов и формально подкрепляться различного рода статистическими критериями. Но на практике допускается и другое решение -- нелинейность формулируется как гипотеза и очерчивается лишь круг возможных уравнений, а затем форма и вид уравнения уточняются на ЭВМ. Существуют разные формы нелинейных уравнений регрессии, но в общем виде можно выделить два их класса.

К первому отнесем регрессии нелинейные относительно включенных в исследование переменных, но линейные по параметрам. Это, например, полиномы. В случае парной регрессии имеем уравнения

У = а₀ + а₁Х + а₂Х² + а₃Х³ + … .

Множественная регрессия У = f(X₁, Х₂) по аналогии выглядит как

У = а₀ + а₁Х₁ + а₂Х₁² + … + b₁Х₂ + b₂Х₂² + b₃Х₂³ + … + с₁Х₁Х₂ + с₂Х₁Х₂² + с₃Х₁²Х ₂ + … .

Возможно применение гиперболы, других функций. При желании с помощью стандартных программ для ЭВМ может быть образовано любое нелинейное сочетание переменных, линейных относительно коэффициентов уравнения. Последние оцениваются с помощью метода наименьших квадратов.

Второй класс нелинейных функций отличается нелинейностью по оцениваемым параметрам. Таких уравнений также существует множество. Наиболее распространена степенная функция вида

У = а₀Х^а1 (парная регрессия)

либо

У = а₀Х^а1 Х^а2 Х^а3 ... (множественная регрессия)

Даже по приведенным примерам - можно составить представление о широком спектре возможных аналитических представлений нелинейной формы связи. Ограничивает их использование сложность процедур оценивания параметров уравнений. Это подчас требует специальных приемов, алгоритмов, программ для ЭВМ.

Относительно просто решается такая задача для функций, преобразуемых к линейному виду. Например, степенную функцию можно прологарифмировать, получив линейную зависимость У от X в логарифмах, и применить для оценки параметров уже упоминавшийся метод наименьших квадратов. Однако надо иметь в виду, что при этом оценивается не сама нелинейная функция, но ее линейное преобразование, а это может вызвать смещение оценок параметров.

Интерпретация коэффициента регрессии как углового коэффициента в линейном уравнении для нелинейной зависимости не годится. Определить изменение У при изменении Х на единицу можно с помощью производной (простой или частной), взятой по соответствующему фактору X. Так, для степенного уравнения У = а₀Х^а1 производная по Х равна

d У

f '(X) = = а₀а₁ Х^а1-1.

d Х

Видно, что она является величиной переменной, а это усложняет экономическую интерпретацию результатов.

Чаще всего для характеристики влияния изменения Х на У используют так называемый коэффициент эластичности (Э), который показывает, на сколько процентов изменится У при изменении Х на один процент, т. е.

d У Х Х

Э = = f '(X) .

d Х У У

Например, для линейного уравнения коэффициент эластичности фактора Х выглядит как

а₁Х а₁Х

Э = = .

У а₀ + а₁Х

Для парной степенной функции У = а₀Х^а1 коэффициент эластичности Х равен а₁.

Коэффициенты эластичности -- это, собственно, относительные величины. Их использование расширяет возможности сопоставления, экономической интерпретации результатов в дополнение к абсолютным величинам -- коэффициентам регрессии.

7.5 Множественная корреляция

Оценки тесноты связи (корреляции) могут играть двоякую роль. Это -- самостоятельные характеристики, дающие представление и о взаимодействии изучаемых факторов, и об аппроксимации фактических данных аналитической функцией. Поэтому расчет показателей множественной корреляции предполагает оценку уравнений регрессии.

При оценке линейной множественной связи рассчитывают коэффициент множественной корреляции. По смыслу он отражает тесноту связи между вариацией зависимой переменной и вариациями всех включенных в анализ независимых переменных. Обычно сначала строится линейная множественная регрессия, а затем оценивается сам коэффициент.

Наиболее общие формулы для его определения имеют следующий вид:

²_ост(У_{i теор} - У)²

R = 1 ; R² = ,

² (У_i - У)²

где ² -- общая дисперсия фактических данных результативного признака (дисперсия У);

²_ост - остаточная дисперсия, характеризующая вариацию У за счет факторов, не включенных в уравнение регрессии.

Коэффициент множественной корреляции изменяется от 0 до 1. Чем ближе R к 1, тем более сильная связь между У и множеством X. Эта же оценка R используется и как мера точности аппроксимации фактических данных выравненным. Если R незначительно по величине (как правило, R 0,3), то можно утверждать, что либо не все важнейшие факторы взаимосвязи учтены, либо выбрана неподходящая форма уравнения. В этом случае следует пересмотреть список переменных модели, а возможно, и сам ее вид.

Для нелинейной множественной связи рассчитывают индекс корреляции. Форма и процедура его вычисления аналогичны указанным выше, только взаимодействие факторов аппроксимируется нелинейной функцией. Он также изменяется в пределах от 0 до 1. На практике, как правило, используется одно название -- коэффициент множественной корреляции.

Квадрат R равен так называемому коэффициенту детерминации (D или R²). Он показывает, какая часть вариации зависимого признака объясняется включенными в модель факторами.

7.6 Оценка значимости параметров взаимосвязи

Получив оценки корреляции и регрессии, необходимо проверить их на соответствие истинным параметрам взаимосвязи.

Существующие программы для ЭВМ включают, как правило, несколько наиболее распространенных критериев. Для оценки значимости коэффициента парной корреляции рассчитывают стандартную ошибку коэффициента корреляции:

1 - r_ху²

_rху =

n - 2

В первом приближении нужно, чтобы _rху < r_ху. Значимость r_ху проверяется его сопоставлением с _rху, при этом получают

n - 2

t_расч = r_ху ,

1 - r_ху²

где t_расч - так называемое расчетное значение t-критерия.

Если t_расч больше теоретического (табличного) значения критерия Стьюдента (t_табл) для заданного уровня вероятности и (n - 2) степеней свободы, то можно утверждать, что r_xy значимо.

Подобным же образом на основе соответствующих формул рассчитывают стандартные ошибки параметров уравнения регрессии, а затем и t-критерии для каждого параметра. Важно опять-таки проверить, чтобы соблюдалось условие t_расч > t_табл. В противном случае доверять полученной оценке параметра нет оснований.

Вывод о правильности выбора вида взаимосвязи и характеристику значимости всего уравнения регрессии получают с помощью F-критерия, вычисляя его расчетное значение:

где n -- число наблюдений;

m -- число параметров уравнения регрессии.

F_расч также должно быть больше F_теор при ₁ = (m - 1) и ₂ = (n - m) степенях свободы. В противном случае следует пересмотреть форму уравнения, перечень переменных и т. д.

Литература

1. Адамов В.Е. Экономика и статистика фирмы. -- М.: 1998.

2. Гусаров В.М. Теория статистики. -- М.: ЮНИТИ, 1998

3.Глинский В.В., Ионин В.Г. Статистический анализ. -- М.: Филинъ, 1998

4. Общая теория статистики /под. ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина. -- М.: Финансы и статистика», 1999

5. Статистика /под ред. В.Г. Ионина, -- М.:, 1998

Сайт http://rudocs.exdat.com/docs/index-163565.html?page=5

Размещено на Allbest.ru

...