В нашей задаче в 6 случаях по мере увеличения значений x увеличиваются и значения y, а в 5 случаях этого не происходит, поэтому затруднительно говорить о прямой связи между х и у.

2. Графический метод - это графическое изображение корреляционной зависимости. Для этого, имея n взаимосвязанных пар значений x и y и пользуясь прямоугольной системой координат, каждую такую пару изображают в виде точки на плоскости с координатами x и y. Совокупность полученных точек представляет собой корреляционное поле (рис. 7), а соединяя последовательно нанесенные точки отрезками, получают ломаную линию, именуемую эмпирической линией регрессии (рис. 8).



Рис. 7. Корреляционное поле

Рис. 8. Эмпирическая линия регрессии

Визуально анализируя график, можно предположить характер зависимости между признаками x и y. В нашей задаче эмпирическая линия регрессии (рис.8) похожа на восходящую прямую, что позволяет выдвинуть гипотезу о наличии прямой зависимости между величиной стоимостного внешнеторгового товарооборота и величиной таможенных платежей в федеральный бюджет.

3. Коэффициент корреляции знаков (Фехнера) - простейший показатель тесноты связи, основанный на сравнении поведения отклонений индивидуальных значений каждого признака (x и y) от своей средней величины. При этом во внимание принимаются не величины отклонений () и (), а их знаки («+» или «-»). Определив знаки отклонений от средней величины в каждом ряду, рассматривают все пары знаков и подсчитывают число их совпадений (С) и несовпадений (Н). Тогда коэффициент Фехнера рассчитывается как отношение разности чисел пар совпадений и несовпадений знаков к их сумме, т.е. к общему числу наблюдаемых единиц:

. (80)

Очевидно, что если знаки всех отклонений по каждому признаку совпадут, то КФ=1, что характеризует наличие прямой связи. Если все знаки не совпадут, то КФ=-1 (обратная связь). Если же С=Н, то КФ=0. Итак, как и любой показатель тесноты связи, коэффициент Фехнера может принимать значения от 0 до 1. Однако, если КФ=1, то это ни в коей мере нельзя воспринимать как свидетельство функциональной зависимости между х и у.

Средние значения факторного и результативного признаков определяем по формуле средней арифметической простой (10):

; .

В двух последних столбцах таблицы 19 приведены знаки отклонений каждого х и у от своей средней величины. Число совпадений знаков - 10, а несовпадений - 2, тогда определяем коэффициент корреляции знаков (Фехнера) по формуле (80):

КФ=

Таблица 19. Вспомогательная таблица для расчета коэффициента Фехнера

№ п/п	x	y	x -	y -
1	27,068	172,17	-	-
2	29,889	200,90	-	-
3	33,158	232,10	-	-
4	34,444	231,83	-	-
5	37,299	246,53	+	+
6	37,554	236,99	+	-
7	37,755	233,40	+	-
8	37,909	256,43	+	+
9	38,348	261,89	+	+
10	39,137	259,36	+	+
11	40,370	253,62	+	+
12	46,298	278,87	+	+
Итого	439,229	2864,09

Обычно такое значение показателя тесноты связи характеризует заметную прямую зависимость между x и y, однако, следует иметь в виду, что поскольку КФ зависит только от знаков и не учитывает величину самих отклонений х и у от их средних величин, то он практически характеризует не столько тесноту связи, сколько ее наличие и направление.

4. Линейный коэффициент корреляции - самый популярный измеритель тесноты линейной связи между двумя количественными признаками x и y. Он основан на предположении, что при полной независимости Данное условие означает отстутствие автокорреляции в коррелируемых рядах динамики, проверка на данное условие изучается на дневной форме обучения (при необходимости - см. конспект лекций для дневного отделения) признаков x и у отклонения значений факторного признака от средней () носят случайный характер и должны случайно сочетаться с различными отклонениями (). При наличии значительного перевеса совпадений или несовпадений таких отклонений делается предположение о наличии связи между x и y.

В отличие от КФ в линейном коэффициенте корреляции учитываются не только знаки отклонений от средних величин, но и значения самих отклонений, выраженные для сопоставимости в единицах среднего квадратического отклонения t:

и .

Линейный коэффициент корреляции r представляет собой среднюю величину из произведений нормированных отклонений для x и у:

, (81) или . (82)

Числитель формулы (82), деленный на n, представляющий собой среднее произведение отклонений значений двух признаков от их средних значений, называется коэффициентом ковариации - это мера совместной вариации факторного x и результативного y признаков:

(83)

Недостатком коэффициента ковариации является то, что он не нормирован, в отличие от линейного коэффициента корреляции. Очевидно, что линейный коэффициент корреляции представляет собой частное от деления ковариации между х и у на произведение их средних квадратических отклонений:

. (84)

Путем несложных математических преобразований Проделать это самостоятельно можно получить и другие модификации формулы линейного коэффициента корреляции, например:

, (85) , (86)

, (87)

. (88)

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до +1, причем знак определяется в ходе решения. Например, если , то r по формуле (85) будет положительным, что характеризует прямую зависимость между х и у, в противном случае (r<0) - обратную связь. Если , то r=0, что означает отсутствие линейной зависимости между х и у, а при r=1 - функциональная зависимость между х и у. Следовательно, всякое промежуточное значение r от 0 до 1 характеризует степень приближения корреляционной связи между х и у к функциональной. Существует эмпирическое правило (шкала Чэддока) для оценки тесноты связи, представленное в таблице 20.

Таблица 20. Шкала Чэддока

| r |	Теснота связи
менее 0,1	отсутствует линейная связь
0,1 ч 0,3	слабая
0,3 ч 0,5	умеренная
0,5 ч 0,7	заметная
более 0,7	сильная (тесная)

Таким образом, коэффициент корреляции при линейной зависимости служит как мерой тесноты связи, так и показателем, характеризующим степень приближения корреляционной зависимости между х и у к линейной. Поэтому близость значения r к 0 в одних случаях может означать отсутствие связи между х и у, а в других свидетельствовать о том, что зависимость не линейная.

В нашей задаче для расчета r построим вспомогательную таблицу 21.

Таблица 21. Вспомогательные расчеты линейного коэффициента корреляции

№ п/п	x	y			tx	ty	tx ty		xy
1	27,068	172,17	90,905	4422,804	-1,993	-2,408	4,799	634,078	4660,298
2	29,889	200,90	45,070	1426,888	-1,403	-1,368	1,919	253,594	6004,700
3	33,158	232,10	11,864	43,220	-0,720	-0,238	0,171	22,644	7695,972
4	34,444	231,83	4,659	46,843	-0,451	-0,248	0,112	14,773	7985,153
5	37,299	246,53	0,485	61,714	0,146	0,284	0,041	5,472	9195,322
6	37,554	236,99	0,906	2,836	0,199	-0,061	-0,012	-1,603	8899,922
7	37,755	233,40	1,328	27,817	0,241	-0,191	-0,046	-6,079	8812,017
8	37,909	256,43	1,707	315,270	0,273	0,643	0,176	23,199	9721,005
9	38,348	261,89	3,047	538,975	0,365	0,841	0,307	40,525	10042,958
10	39,137	259,36	6,424	427,904	0,530	0,749	0,397	52,430	10150,572
11	40,37	253,62	14,195	223,378	0,788	0,541	0,426	56,310	10238,639
12	46,298	278,87	94,004	1615,705	2,027	1,455	2,950	389,722	12911,123
Итого	439,229	2864,09	274,594	9153,353			11,241	1485,066	106317,681

В нашей задаче: = = 4,784; == 27,618.

Тогда линейный коэффициент корреляции по формуле (81): r = 11,241/12 = 0,937.

Аналогичный результат получаем по формуле (82): r = 1485,066/(12*4,784*27,618) = 0,937

Или по формуле (85): r = (106317,681/12 - 36,602*238,674) / (4,784*27,618) = 0,937,

Найденное значение свидетельствует о том, что связь между величиной стоимостного внешнеторгового товарооборота и величиной таможенных платежей в федеральный бюджет очень близка к функциональной (сильная по шкале Чэддока).

Проверка коэффициента корреляции на значимость (существенность). Интерпретируя значение коэффициента корреляции, следует иметь в виду, что он рассчитан для ограниченного числа наблюдений и подвержен случайным колебаниям, как и сами значения x и y, на основе которых он рассчитан. Другими словами, как любой выборочный показатель, он содержит случайную ошибку и не всегда однозначно отражает действительно реальную связь между изучаемыми показателями. Для того, чтобы оценить существенность (значимость) самого r и, соответственно, реальность измеряемой связи между х и у, необходимо рассчитать среднюю квадратическую ошибку коэффициента корреляции уr. Оценка существенности (значимости) r основана на сопоставлении значения r с его средней квадратической ошибкой: .

Существуют некоторые особенности расчета уr в зависимости от числа наблюдений (объема выборки) - n.

1. Если число наблюдений достаточно велико (n>30), то уr рассчитывается по формуле (89):

. (89)

Обычно, если >3, то r считается значимым (существенным), а связь - реальной. Задавшись определенной вероятностью, можно определить доверительные пределы (границы) r = (), где t - коэффициент доверия, рассчитываемый по интегралу Лапласа (см. Приложение 1).

2. Если число наблюдений небольшое (n<30), то уr рассчитывается по формуле (90):

, (90)

а значимость r проверяется на основе t-критерия Стьюдента, для чего определяется расчетное значение критерия по формуле (91) и сопоставляется c tТАБЛ.

. (91)

Табличное значение tТАБЛ находится по таблице распределения t-критерия Стьюдента (см. Приложение 2) при уровне значимости б=1-в и числе степеней свободы н=n-2. Если tРАСЧ> tТАБЛ , то r считается значимым, а связь между х и у - реальной. В противном случае (tРАСЧ< tТАБЛ) считается, что связь между х и у отсутствует, и значение r, отличное от нуля, получено случайно.

В нашей задаче число наблюдений небольшое, значит, оценивать существенность (значимость) линейного коэффициента корреляции будем по формулам (90) и (91):

= 0,349/3,162 = 0,110; = 0,937/0,110 = 8,482.

Из приложения 2 видно, что при числе степеней свободы н = 12 - 2 = 10 (в 10-й строке) и вероятности в = 95% (уровень значимости б =1 - в = 0,05) tтабл=2,2281, а при вероятности 99% (б=0,01) tтабл=3,169, значит, tРАСЧ > tТАБЛ, что дает возможность считать линейный коэффициент корреляции r = 0,937 значимым.

5. Подбор уравнения регрессии Термин «регрессия» ввел в статистику Ф. Гальтон, который изучив большое число семей, установил, что в группе семей высокорослыми отцами сыновья в среднем ниже ростом, чем их отцы, а в группе семей с низкорослыми отцами сыновья в среднем выше отцов, т.е. отклонение роста от среднего в следующем поколении уменьшается - регрессирует представляет собой математическое описание изменения взаимно коррелируемых величин по эмпирическим (фактическим) данным. Уравнение регрессии должно определить, каким будет среднее значение результативного признака у при том или ином значении факторного признака х, если остальные факторы, влияющие на у и не связанные с х, не учитывать, т.е. абстрагироваться от них. Другими словами, уравнение регрессии можно рассматривать как вероятностную гипотетическую функциональную связь величины результативного признака у со значениями факторного признака х.

Уравнение регрессии можно также назвать теоретической линией регрессии. Рассчитанные по уравнению регрессии значения результативного признака называются теоретическими. Они обычно обозначаются или (читается: «игрек, выравненный по х») и рассматриваются как функция от х, т.е. = f(x).

Найти в каждом конкретном случае тип функции, с помощью которой можно наиболее адекватно отразить ту или иную зависимость между признаками х и у, -- одна из основных задач регрессионного анализа. Выбор теоретической линии регрессии часто обусловлен формой эмпирической линии регрессии; теоретическая линия как бы сглаживает изломы эмпирической линии регрессии. Кроме того, необходимо учитывать природу изучаемых показателей и специфику их взаимосвязей.

Для аналитической связи между х и у могут использоваться виды уравнений, приведенные в таблице 15 (при условии замены t на x). Обычно зависимость, выражаемую уравнением прямой, называют линейной (или прямолинейной), а все остальные -- криволинейными зависимостями.

Выбрав тип функции (таблица 15), по эмпирическим данным определяют параметры уравнения. При этом отыскиваемые параметры должны быть такими, при которых рассчитанные по уравнению теоретические значения результативного признака были бы максимально близки к эмпирическим данным.

Существует несколько методов нахождения параметров уравнения регрессии. Наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК). Его суть заключается в следующем требовании: искомые теоретические значения результативного признака должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минимальная сумма квадратов их отклонений от эмпирических значений, т.е.

.

Поставив данное условие, легко определить, при каких значениях a0, a1 и т.д. для каждой аналитической кривой эта сумма квадратов отклонений будет минимальной. Данный метод уже использовался нами в теме 6 «Статистическое изучение динамики ВЭД», поэтому, воспользуемся формулой (74) для нахождения параметров теоретической линии регрессии, заменив параметр t на x:

(92)

Выразив из первого уравнения системы (92) a0, получим Параметры a0 и a1 можно получить не только методом подстановки как приводится далее, но и методом определителей 2-го порядка (проделать данное задание самостоятельно):

. (93)

Подставив (93) во второе уравнение системы (92), затем разделив обе его части на n, получим:

. (94)

Применяя 3 раза формулу средней арифметической, получим:

. (95)

Раскрыв скобки и перенеся члены без a1 в правую часть уравнения, выразим a1:

. (96)

Параметр a1 в уравнении линейной регрессии называется коэффициентом регрессии, который показывает на сколько изменяется значение результативного признака y при изменении факторного признака x на единицу.

Исходные данные и расчеты для нашего примера представим в таблице 22.

Таблица 22. Вспомогательные расчеты для нахождения уравнения регрессии

№ п/п	x	y	x2	xy
1	27,068	172,17	732,677	4660,298	187,124	223,612	2657,453
2	29,889	200,90	893,352	6004,700	202,377	2,181	1317,497
3	33,158	232,10	1099,453	7695,972	220,052	145,147	346,774
4	34,444	231,83	1186,389	7985,153	227,006	23,274	136,153
5	37,299	246,53	1391,215	9195,322	242,443	16,706	14,202
6	37,554	236,99	1410,303	8899,922	243,821	46,669	26,495
7	37,755	233,40	1425,440	8812,017	244,908	132,441	38,864
8	37,909	256,43	1437,092	9721,005	245,741	114,256	49,940
9	38,348	261,89	1470,569	10042,958	248,115	189,761	89,122
10	39,137	259,36	1531,705	10150,572	252,381	48,710	187,871
11	40,370	253,62	1629,737	10238,639	259,048	29,459	415,076
12	46,298	278,87	2143,505	12911,123	291,100	149,580	2748,498
Итого	439,229	2864,09	16351,437	106317,681	2864,115	1121,795	8027,945

По формуле (96): = 5,407.

По формуле (93): a0 = 238,674 - 5,407*36,602 = 40,767.

Отсюда получаем уравнение регрессии:=40,767+5,407x, подставляя в которое вместо x эмпирические значения факторного признака (2-й столбец таблицы 22), получаем выравненные по прямой линии теоретические значения результативного признака (6-й столбец таблицы 22) Сумма эмпирических (2864,09) и выравненных по прямой линии (2864,115) значений должна совпадать, но в нашем случае этого не происходит из-за округлений расчетов до 3-х знаков после запятой. Для иллюстрации различий между эмпирическими и теоретическими линиями регрессии построим график (рисунок 9).



Рис. 9. График эмпирической и теоретической линий регрессии

Из рисунка 9 видно, что небольшие различия между эмпирической и теоретической линиями регрессии существуют, поэтому необходимо оценить существенность коэффициента регрессии и уравнения связи, для чего определяют среднюю ошибку параметров уравнения регрессии и сравнивают их с этой ошибкой.

Расчет ошибок параметров уравнения регрессии основан на использовании остаточной дисперсии, характеризующей расхождение (отклонение) между эмпирическими и теоретическими значениями результативного признака. Для линейного уравнения регрессии () средние ошибки параметров a1 и a2 определяются по формулам (97) и (98) соответственно:

, (97) , (98) . (99)

Значимость параметров проверяется путем сопоставления его значения со средней ошибкой. Обозначим это соотношение как t:

, (100)

При большом числе наблюдений (n>30) параметр ai считается значимым, если >3.

Если выборка малая (n<30), то значимость параметра ai проверяется путем сравнения с табличным значения t-критерия Стьюдента при числе степеней свободы н=n-2 и заданном уровне значимости б (Приложение 2). Если рассчитанное по формуле (100) значение больше табличного, то параметр считается значимым.

В нашем примере по формуле (99): = 9,669.

Находим среднюю ошибку параметра a0 по формуле (97): = 3,06.

Теперь находим среднюю ошибку параметра a1 по формуле (98): =0,639.

Теперь по формуле (100) для параметра a0: =13,3.

И по той же формуле для параметра a1: =8,46.

Так как выборка малая, то задавшись стандартной значимостью б=0,05 находим в 10-й строке Приложения 2 табличное значение tб=2,23, которое значительно меньше полученных значений 13,3 и 8,46, что свидетельствует о значимости обоих параметров уравнения регрессии.

Наряду с проверкой значимости отдельных параметров осуществляется проверка значимости уравнения регрессии в целом или, что то же самое, проверка адекватности модели с помощью критерия Фишера по Приложению 3. Данный метод уже использовался нами для проверки адекватности уравнения тренда в предыдущей теме, поэтому воспользовавшись формулой (76) в нашем примере получим В числителе - сумма последнего столбца, а в знаменателе - сумма предпоследнего столбца таблицы 22:

Сравнивая расчетное значение критерия Фишера Fр = 71,56 с табличным Fт = 4,96, определяемое по Приложению 3 при числе степеней свободы н1 = k - 1 = 2 -1 = 1 и н2 = n - k = 12 - 2 = 10 (т.е. 1-й столбец и 10-я строка) и стандартном уровне значимости б=0,05, можно сделать вывод, что уравнение регрессии значимо.

6. Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется в среднем результативный признак y при изменении факторного признака x на 1%. Он рассчитывается на основе уравнения регрессии:

, (101)

где - первая производная уравнения регрессии y по x.

Коэффициент эластичности - величина переменная, т.е. изменяется с изменением значений фактора x. Так, для линейной зависимости :

. (102)

Применительно к рассмотренному уравнению регрессии, выражающему зависимость величины таможенных платежей в федеральный бюджет от величины стоимостного внешнеторгового оборота (= 40,767 + 5,407x), коэффициент эластичности по формуле (102): .

Подставляя в данное выражение разные значения x, получаем и разные значения Э. Так, например, при x = 40 коэффициент эластичности = 0,84, а при x = 50 соответственно = 0,87 и т.д. Это значит, что при увеличении внешнеторгового товарооборота x с 40 до 40,4 млрд.долл. (т.е. на 1%), величина таможенных платежей возрастет в среднем на 0,84% прежнего уровня; при увеличении x с 50 до 50,5 млрд.долл. (т.е. на 1%) y возрастет на 0,87% и т.д.

5.3 Контрольные задания

На основе исходных данных контрольных заданий по теме 2 (таблица 7) и таблицы 23 определить наличие и характер корреляционной связи между признаками x и y.

Таблица 23. Варианты выполнения контрольного задания

При-знак	Вариант
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x	Рост	Доход	Возраст	IQ	Доход	Возраст	рост/вес	Стаж	Доход	IQ
y	Вес	Вес	Доход	Доход	Тетрадь	рост/вес	Кол-во друзей	Доход	Кол-во друзей	Время решения

6. ИНДЕКСЫ

6.1 Индивидуальные индексы

Индекс - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления в данных условиях отличается от уровня того же явления в других условиях. В статистическом анализе индексы используются не только для сопоставления уровней явлений, но и для установления значимости причин, вызывающих их изменение.

Если анализируются простые явления или не имеет значения структура сложных явлений, то применяются индивидуальные индексы. Например, такие простые явления как количество проданного товара q и его цена р своим произведением образуют такое сложное явление, как выручка от продаж Q=qp. Сравнение их значений по отдельности для конкретного товара в отчетном периоде времени относительно какого-либо базисного периода и дает индивидуальные индексы:

количества товара iq = q1 /q0 ;

его цены ip = p1/p0 ;

выручки от продаж iQ = Q1 /Q0 .

Очевидно, что индивидуальный индекс сложного явления формируется из таких индексов простых его составляющих по типологической формуле его определения. То есть

iQ=iqip (103)

Подставив сюда индивидуальный индекс выручки, записываем: Q1/Q0= iqip

откуда получаем, что

Q1= iqipQ0 (104)

Формула (104) представляет собой двухфакторную мультипликативную модель сложного явления, позволяющую находить его изменение под влиянием каждого фактора в отдельности.

Мультипликативной она называется потому, что содержит только действие умножения. Если в формуле только сложение, или вычитание, или оба этих действия, то она называется аддитивной моделью. Если в формуле только деление, то она называется кратной моделью. Если в формуле сложение и вычитание с умножением и делением в любом сочетании, то она называется смешанной моделью.

Общее изменение выручки равняется =Q1-Q0, а ее изменение от каждого фактора определяется следующим образом. От изменения количества товара при постоянной цене (ip = 1) оно равно

q= iqQ0 - Q0 = (iq -1) Q0, (105)

а при изменении еще и цены оно будет равным

p= Q1 - Q0 -q = iqipQ0 - Q0 - (iq -1) Q0= iq(ip -1) Q0, (106)

Так, если выручка от продаж возросла с Q0 = 8 млн. руб. в предыдущем периоде до Q1 =12,18 млн. руб. в последующем при увеличении количества проданного товара на 5% (iq =1,05) и повышении цены на 45% (ip =1,45), то можно по формуле (104) записать, что

Q1 = 1,05*1,45*8 = 12,18 млн. руб.

При этом весь прирост выручки в сумме = 12,18-8=4,18 млн. руб. вызван увеличением обоих факторов. За счет изменения количества проданного товара он по формуле (105) составил q =(1,05-1)8=0,4 млн. руб., а за счет изменения цены по формуле (106) равняется p =1,05(1,45-1)8 =3,78 млн. руб. Для контроля отмечаем, что сумма факторных изменений выручки равна общему: 0,4+3,78=4,18 млн. руб.

Формулы (105) и (106) получены исходя из того, что в основной формуле выручки количество товара - первый фактор, а цена - второй. Если эти факторы поменять местами, то выручка и ее общее изменение останутся прежними, но изменения от каждого фактора будут другими.

Так, если основываться на формуле выручки вида Q = pq, то ее изменение за счет цены, как первого фактора, по аналогии с формулой (105) будет равняться

p = (ip -1) Q0 , (107)

Изменение выручки за счет количества товара, как второго фактора, по аналогии с формулой (106) определится по выражению

q= ip(iq -1) Q0. (108)

Суммарное по факторам изменение выручки по-прежнему равняется ее общему изменению.

В рассмотренном примере, считая цену первым фактором и применяя формулу (107), определяем, что изменение выручки за счет повышения цены равняется p = (1,45-1)8 = 3,6 млн. руб.

Изменение выручки за счет увеличения количества проданного товара, как второго фактора, по формуле (108) равно q = 1,45(1,05-1)8 = 0,58 млн. руб.

Общее изменение выручки осталось прежним: 3,6+0,58=4,18 млн. руб.

В связи с различными факторными изменениями выручки в зависимости от места фактора в ее основной формуле, встает вопрос, какую же формулу выручки применять для анализа. Это зависит от конкретной экономической ситуации. Если увеличение выручки обеспечивается главным образом за счет роста количества проданного товара при более или менее стабильной цене, то товар считается первым фактором, а цена -- вторым. Если же увеличение выручки достигается в основном повышением цен без увеличения и даже при снижении количества проданного товара, то цена считается первым фактором, а товар -- вторым.

Значит, очередность анализа по факторам вытекает из вида формулы сложного явления. Так, если материальные затраты М на выпуск продукции определяются как произведение ее количества q, удельного расхода материала т и его цены р, то типологическая формула имеет вид

М = qmp, (109)

а трехфакторная мультипликативная модель запишется как

M1=iqimipM0. (110)

Следовательно, можно записать следующие формулы факторных изменений материальных затрат

Меняя факторы местами в основной формуле (110), можно получать другие факторные формулы. Но всегда общее изменение материальных затрат, равное сумме факторных изменений, будет одинаковым.

Подобные мультипликативные модели можно формировать для неограниченного числа факторов.

6.2 Простые общие индексы

Индекс становится общим, когда в основной формуле показывается неоднородность изучаемого явления. Например, анализируется изменение выручки от продаж не одного, а всех или нескольких видов товаров. Тогда общий индекс количества проданных товаров будет равен

= (111)

Аналогично по ценам = (112)

Аналогично по выручке == (113)

Однако здесь двухфакторная мультипликативная модель не может выглядеть как в случае индивидуальных индексов, потому что произведение простых общих индексов количества товаров и цен не равно общему индексу выручки. То есть и убеждаемся в этом неравенстве, подставив значения общих индексов из формул (111) - (113).

В самом деле:

Как видим, в числителе и знаменателе левой части произведения сумм, а в числителе и знаменателе правой части сумма произведений и они, конечно, не адекватны.

Это вызвано тем, что записанные выше общие индексы простых явлений не отражают взаимосвязи между собой в сложном явлении и потому считаются не объективными. Поэтому они помечены штрихом и названы простыми общими индексами.

6.3 Агрегатные общие индексы

Объективность общим индексам придает их запись в агрегатном виде, предложенная Ласпейресом и Пааше.

Агрегатный общий индекс Ласпейреса для количества товаров как первого фактора выручки определяется по формуле

= (114)

Аналогично можно записать агрегатный общий индекс Ласпейреса для цен как первого фактора выручки, то есть

= (115)

В формулах Ласпейреса знаменатели по существу одинаковые, представляя собой выручку базисного периода, а числители разные. В формуле (114) это отчетная выручка в базисных ценах (количесгво товаров отчетное, а цены -- базисные), в формуле (115) наоборот -- базисная выручка в отчетных ценах (цены отчетные, а количество товаров -- базисное).

Агрегатные общие индексы Пааше применяются ко вторым факторам мультипликативных моделей. Поэтому такой индекс для цен как второго фактора выручки определяется по формуле

= (116)

Аналогично можно записать агрегатный общий индекс Пааше для количества товаров как второго фактора выручки, то есть

= (117)

В формулах Пааше числители по существу одинаковые, представляя собой выручку отчетного периода, а знаменатели аналогичны числителям формул Ласпейреса.

Для облегчения запоминания студентами формул Ласпейреса и Пааше предлагаю обратить внимание на букву «ш» в слове «Пааше», которая напоминает «111» - так обозначены отчетные периоды в общей формуле (две единицы - в числителе, а одна - в знаменателе). В формуле же Ласпейреса - три нуля (наоборот к формуле Пааше).

Произведения количественного индекса Ласпейреса и ценового индекса Пааше, а также ценового индекса Ласпейреса и количественного индекса Пааше дают общий индекс выручки

. (118)

Однако вид этих формул показывает, что однофакторные индексы Ласпейреса и Пааше не равны между собой. То есть не равными являются количественные индексы Ласпейреса и Пааше и ценовые. Американский экономист Гершенкрон обширными расчетами установил, что по одному и тому же фактору индекс Ласпейреса обычно больше индекса Пааше и это открытие названо эффектом Гершенкрона.

Но в статистике должно быть одно значение индекса, поэтому американский экономист Фишер предложил применять среднюю геометрическую величину из индексов Ласпейреса и Пааше, определяя ее по формулам:

для количества товаров = (119)

для цен = (120)

6.4 Общие индексы как средние из индивидуальных

Помимо записи общих индексов в агрегатном виде, на практике часто используют формулы их расчета как величин, средних из соответствующих индивидуальных индексов.

Используя их формулы, можем записывать, что q1 = q0iq и p1 = p0ip, а также, что q0 =q1/iq и р0=р1/ip. Подставив отчетные значения количества товара и цены в формулу общего индекса выручки, получим

IQ===. (121)

Значит, общий индекс выручки можно определять только через ее базисные значения с умножением в числителе на индивидуальный индекс выручки по конкретному товару.

Теперь подставим базисные значения количества товара и цены в формулу общего индекса выручки. Тогда получим

IQ =. (122)

Значит, общий индекс выручки можно определять только через ее отчетные значения с делением в знаменателе на индивидуальный индекс выручки по конкретному товару.

Аналогично через индивидуальные индексы количества товара и цены можно выразить агрегатные общие индексы Ласпейреса и Пааше.

6.5 Индекс структурных сдвигов

Выше изложенные общие индексы применимы к изучению явлений, образованных как разными, так и однородными процессами. В последнем случае динамику итога можно показать через простые общие индексы отдельных факторов.

Для доказательства в формуле количественного индекса Ласпейреса числитель умножим и разделим на , а знаменатель - на . Тогда будем иметь

===, (123)

где= - простой общий индекс количества товаров;

=- доля или удельный вес конкретного товара в общем количестве;

=- агрегатный общий индекс структуры, доли или удельного веса, часто называемый индексом структурных сдвигов.

Следовательно, количественный индекс Ласпейреса равняется произведению простого общего индекса количества товаров и индекса структурных сдвигов. То есть

=, (124)

откуда для определения индекса структурных сдвигов получается довольно простая формула

=/. (125)

Используя формулу (124) в двухфакторной модели общего индекса выручки, получим его трехфакторную мультипликативную модель вида

IQ ==. (126)

Трехфакторная модель возможна к широкому применению в экономическом анализе для установления количественного влияния каждого фактора на вариацию сложного явления.

6.6 Факторный анализ общей и частной выручки

Приравнивая правую часть полученной трехфакторной модели и среднюю часть формулы (113), записываем выражение

=,

из которого заключаем, что общую выручку отчетного периода можно определить через общую выручку базисного периода и общие индексы по мультипликативной формуле

=. (127)

Эта формула в точности соответствует мультипликативной модели (110), что позволяет применять соответствующие формулы факторных изменений. Так, изменение общей выручки за счет изменения общего количества товаров определится по формуле

=. (128)

Изменение общей выручки за счет изменения долей конкретных товаров (структурных сдвигов) определяется по формуле

=. (129)

И наконец изменение общей выручки за счет изменения цен определяется по формуле

=. (130)

Естественно, сумма факторных изменений должна равняться общему итоговому изменению. То есть для контроля правильности анализа проверяется выполнение условия

=-=++. (131)

Факторный анализ изменения выручки по отдельному товару в составе общего товарооборота ведется на основе следующей трехфакторной мультипликативной модели

=, (132)

где = -- индивидуальный индекс доли конкретного товара.

Следовательно, изменения выручки по конкретному товару за счет изменения каждого фактора могут определяться по формулам:

за счет изменения общего количества товаров (товарооборота)

=; (133)

за счет изменения доли конкретного товара

=; (134)

за счет изменения цены конкретного товара

=. (135)

Естественно, факторные изменения выручки по конкретному товару в сумме должны равняться полному изменению выручки по этому товару. То есть для контроля правильности анализа проверяется выполнение условия

=-=++. (136)

где j -- признак конкретного товара.

Кроме того, полные изменения выручки по каждому товару в сумме должны равняться общему изменению выручки по всему товарообороту. То есть для контроля правильности анализа дополнительно проверяется выполнение условия =. При этом для облегчения необходимого контроля результаты факторного анализа представляются в виде факторной таблицы, рассмотренной ниже в методических указаниях по теме.

6.7 Индексы фиксированного (постоянного) и переменного состава

В полученной трехфакторной модели (126) второй и третий индексы запишем подробно по формулам их определения, а третий еще и сократим на . Тогда сначала будем иметь

IQ =====,

а, произведя очевидное сокращение и обозначив

=- индекс переменного состава, (137)

получим общий индекс выручки в виде формулы

IQ =. (138)

= называется индексом фиксированного (постоянного) состава. (139)

Следовательно, общий индекс выручки есть произведение простого общего индекса количества товаров и индекса переменного состава, который показывает изменение средних цен, т.е. .

Из формулы (138) можно заключить, что индекс переменного состава есть частное от деления общего индекса выручки на простой общий индекс количества товаров, тогда как ценовый индекс Пааше наравне с формулой (116) возможно определять как отношение общего индекса выручки и количественного индекса Ласпейреса.

Изложенные математические выкладки позволяют общий индекс выручки определять следующими семью способами

=======.

Результат расчета любым способом должен быть одинаковым и это яркий пример того, что истина всегда одна, хотя пути ее достижения могут быть разными.

6.8 Методические указания по теме

Процесс определения всевозможных индексов и факторного анализа сложного явления рассмотрим на примере двух фирм, выпускающих однородный продукт. Исходные данные приведены в табл. 24.

В табл. 24 итоговое количество продукта есть сумма его количества по фирмам, а итоговая цена представляет собой среднюю арифметическую взвешенную величину, найденную по формуле (11).

Таблица 24. Результаты работы двух фирм по выпуску однородного продукта

Фирма	Базисный период (база)	Отчетный период (отчет)
	Количество продукта q0, тыс.ед.	Отпускная цена p0, руб/ед.	Количество продукта q1, тыс.ед.	Отпускная цена p1 , руб/ед.
1	100	20	140	15
2	150	22	160	25
Итого	250	21,20	300	20,23

Так, для базисного периода она равна

== (100*20+150*22)/(100+150) = 5300/250 = 21,20 руб./ед.

Для отчетного периода средняя цена равняется

== (14*15+160*25)/(140+160) = 6100/300 = 20,23 руб./ед.

После этого в табл. 25 ведется расчет индивидуальных индексов.

Таблица 25. Определение выручки и индивидуальных индексов

Выручка и индексы	База по фирмам	Отчет по фирмам
	1	2	1	2
Выручка Q, тыс. руб.	100*20=2000	150*22=3300	140*15=2I00	160*25=4000
Изменение выручки , тыс. руб.			2100-2000=100	4000-3300=700
Доля фирм в количестве продукта d	100/250=0,4	150/250=0,6	140/300=0,467	160/300=0,533
Индивидуальные индексы:
количества iq			140/100=1,4	160/150=1,067
отпускных цен ip			15/20=0,75	25/22=1,136
доли фирм id			0,467/0,4=1,167	0,533/0,6=0,889
выручки iQ			2100/2000=1,05	4000/3300=1,212

Из табл. 25 заключаем, что общая выручка по периодам составляет:

= 2000+3300 =5300 тыс. руб.; = 2100+4000 =6100 тыс. руб.

Ее абсолютное изменение равно =6100-5300=800 тыс. руб., а общий индекс изменения равняется = 6100/5300 = 1,151.

Контроль правильности расчетов по табл. 25 заключается в следующем.

1. Общее изменение выручки должно равняться сумме ее частных изменений: = 100+700 = 800 тыс. руб.

Произведение факторных индивидуальных индексов по периодам должно равняться соответствующему индивидуальному индексу выручки: iQ1=1,4*0,75 =1,05; iQ2= 1,067*1,136 = 1,212.

Сумма долей количества продукта по периодам должна равняться
единице: =0,4+0,6 = 1; =0,467+0,533=1.

Затем переходим к расчету простых и агрегатных общих индексов. Простой общий индекс количества продукта - по формуле (111) =(140+160)/(100+150)=300/250=1,2.

Агрегатный общий количественный индекс Ласпейреса - по формуле (114)

==6320/5300=1,192.

Агрегатный общий ценовый индекс Пааше - по формуле (116)

==6100/6320=0,965.

Контроль по формуле IQ = = 1,192*0,965 = 1,151.

Агрегатный общий ценовый индекс Ласпейреса - по формуле (115)

==5250/5300=0,9905.

Агрегатный общий количественный индекс Пааше -- по формуле (117) =6100/5250=1,162.

Контроль по формуле IQ = = 0,9905*1,162 =1,151.

Средняя геометрическая величина из индексов Ласпейреса и Пааше (по методике Фишера) по формулам (119) и (120)

==1,1769 ==0,9777

Общий индекс выручки как средний из ее индивидуальных индексов:

-- с использованием только базисной выручки -- по формуле (121)

IQ==1,151.

-- с использованием только отчетной выручки -- по формуле (122)

IQ==1,151.

Индекс структурных сдвигов -- по формуле

===21,07/21,2=0,994.

Контроль по формуле == 1,2*0,994*0,965 = 1,151.

Индекс переменного состава -- по формуле (137)

===20,33/21,2=0,959.

Контроль по формуле == 1,2*0,959=1,151.

Далее выполняется факторный анализ общей выручки. Так ее изменение за счет изменения общего количества продукта определится по формуле (128) = (1,2-1)*5300 = 1060 тыс. руб.

Изменение общей выручки за счет структурных сдвигов в количестве продукта находится по формуле (129) = 1,2*(0,994-1)*5300 = -40 тыс. руб.

Изменение общей выручки за счет изменения отпускных цен - по формуле (130)

=1,2*0,994*(0,965-1)*5300 = -220 тыс. руб.

Контроль по формуле (131): = 1060-40-220 = 800 тыс. руб.

Результаты факторного анализа общей выручки заносятся в табл. 26.

Наконец, ведется факторный анализ изменения частной выручки по формулам (133) - (135). Так у первой фирмы изменение выручки за счет изменения общего количества продукта равно

=(1,2-1)*2000 = 400 тыс. руб.

Аналогично у второй фирмы = (1,2-1)*3300 = 660 тыс. руб.

Контроль: =400+660=1060 тыс.руб.

У первой фирмы изменение выручки за счет структурных сдвигов в количестве продукта равно

=1,2*(1,167-1)*2000 = 400 тыс. руб.

Аналогично у второй фирмы =1,2*(0,889-1)*3300 = -440 тыс. руб.

Контроль: =400-440= -40 тыс.руб.

У первой фирмы изменение выручки за счет изменения отпускной цены равно

=1,2*1,167*(0,75-1)*2000 = -700 тыс. руб.

Аналогично у второй фирмы =1,2*0,889*(1,136-1)*3300 = 480 тыс. руб.

Контроль: = -700+480= -220 тыс.руб.

Результаты факторного анализа частной выручки также заносятся в табл. табл. 23, в которой все числа оказались взаимно согласованными.

Таблица 26. Результаты факторного анализа сложного явления

Фирма	Изменение выручки, тыс.руб.	В том числе за счет изменения
		количества продукта	структурных сдвигов	отпускных цен
1	100	400	400	-700
2	700	660	-440	480
Итого	800	1060	-40	-220

Таблица. 23 свидетельствует о правильности проведенного факторного анализа, поскольку в ней факторные изменения выручки, как по столбцам, так и по строкам в сумме равняются ее изменениям по отдельным факторам, фирмам и в целом.

6.9 Контрольные задания

Имеются данные (табл. 27) о продажах минимаркетом 3-х видов однородных товаров (A, B и C).

Таблица 27. Варианты выполнения контрольного задания

Вид товара	Цена за единицу товара, руб.	Объем продаж, тыс. штук		Вид товара	Цена за единицу товара, руб.	Объем продаж, тыс. штук
	1 квартал	2 квартал	1 квартал	2 квартал			1 квартал	2 квартал	1 квартал	2 квартал
1 вариант		6 вариант
А	102	105	205	195		А	130	125	138	198
В	56	51	380	423		В	50	56	339	264
С	26	30	510	490		С	20	21	613	511
2 вариант		7 вариант
А	112	109	202	260		А	107	110	220	189
В	51	48	365	420		В	46	44	490	550
С	22	26	477	316		С	18	20	720	680
3 вариант		8 вариант
А	99	103	198	182		А	95	98	264	197
В	55	59	370	361		В	48	50	360	294
С	20	18	502	456		С	26	25	448	640
4 вариант		9 вариант
А	99	109	188	182		А	89	92	360	294
В	55	56	380	385		В	58	56	410	482
С	20	21	508	444		С	24	25	558	593
5 вариант		10 вариант
А	120	110	170	220		А	120	125	150	108
В	60	58	350	390		В	44	46	513	461
С	19	20	550	490		С	16	19	891	550

Рассчитать всевозможные индексы, выполнить факторный анализ выручки от продажи товаров. По итогам расчетов сделать аргументированные выводы.

Приложения - статистические таблицы

Приложение 1. Значения интеграла Лапласа

t	Сотые доли
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,00	0,0000	0,0080	0,0160	0,0239	0,0319	0,0399	0,0478	0,0558	0,0638	0,0717
0,10	0,0797	0,0876	0,0955	0,1034	0,1113	0,1192	0,1271	0,1350	0,1428	0,1507
0,20	0,1585	0,1663	0,1741	0,1819	0,1897	0,1974	0,2051	0,2128	0,2205	0,2282
0,30	0,2358	0,2434	0,2510	0,2586	0,2661	0,2737	0,2812	0,2886	0,2961	0,3035
0,40	0,3108	0,3182	0,3255	0,3328	0,3401	0,3473	0,3545	0,3616	0,3688	0,3759
0,50	0,3829	0,3899	0,3969	0,4039	0,4108	0,4177	0,4245	0,4313	0,4381	0,4448
0,60	0,4515	0,4581	0,4647	0,4713	0,4778	0,4843	0,4907	0,4971	0,5035

Подобные документы

• Статистические наблюдения

  Предмет и метод статистики. Сущность и основные аспекты статистического наблюдения. Ряды распределения. Статистические таблицы. Абсолютные величины. Показатели вариации. Понятие о статистических рядах динамики. Сопоставимость в рядах динамики.
  
  шпаргалка [31,9 K], добавлен 26.01.2009
  

• Статистическое наблюдение. Абсолютные и относительные статистические величины

  Рассмотрение процесса ревизии в бухгалтерии предприятия налоговыми органами с точки зрения статистического наблюдения. Выбор из исходных данных абсолютной статистической величины. Представление статистических данных. Средние величины. Показатели вариации.
  
  контрольная работа [139,5 K], добавлен 28.05.2015
  

• Теория статистики

  Абсолютные и относительные статистические показатели, методы прогнозирования. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Оценки параметров генеральной совокупности. Статистическое исследование социально-экономического потенциала.
  
  шпаргалка [1,8 M], добавлен 16.05.2012
  

• Статистические индексы

  Средние величины и показатели вариации. Агрегатные индексы физического объёма товарной массы. Группировка статистических данных. Индивидуальные и сводный индексы себестоимости единицы продукции. Показатели ряда динамики. Расчёт стоимости основных средств.
  
  контрольная работа [306,8 K], добавлен 04.06.2015
  

• Основные понятия статистики

  Абсолютные и относительные статистические величины. Понятие и принципы применения средних величин и показателей вариации. Правила применения средней арифметической и гармонической взвешенных. Коэффициенты вариации. Определение дисперсии методом моментов.
  
  учебное пособие [276,4 K], добавлен 23.11.2010
  

• Общая и социально-экономическая статистика

  Предмет и метод статистики. Группировка и ряд распределения. Абсолютные, относительные, средние величины, показатели вариации. Выборочное наблюдение, ряды динамики. Основы корреляционного и регрессионного анализа. Статистика населения и рынка труда.
  
  методичка [2,2 M], добавлен 16.02.2011
  

• Корреляционный анализ в статистических расчетах

  Сводка и группировка материалов статистического наблюдения. Абсолютные, относительные и средние величины, показатели вариации. Ряды динамики, индексный анализ. Проведение корреляционно-регрессионного анализа таблиц о сборе урожая и внесении удобрений.
  
  курсовая работа [667,1 K], добавлен 14.05.2013
  

• Статистическое исследование деятельности пенсионного фонда РФ

  Общая характеристика органов пенсионного обеспечения, организация работы органов Пенсионного фонда Российской Федерации. Статистические показатели и их расчет: средние величины, показатели вариации, ряды динамики, индексы, трендовый анализ, группировка.
  
  курсовая работа [256,8 K], добавлен 15.06.2010
  

• Основы статистики

  Предмет и метод статистической науки. Методология наблюдения, статистическая сводка, группировка, таблицы и графики, показатели и средние величины. Показатели вариации, выборочное наблюдение. Корреляционно-регрессионный анализ. Экономические индексы.
  
  лекция [1,2 M], добавлен 02.01.2014
  

• Статистические величины

  Понятие абсолютной и относительной величины в статистике. Виды и взаимосвязи относительных величин. Средние величины и общие принципы их применения. Расчет средней через показатели структуры, по результатам группировки. Определение показателей вариации.
  
  лекция [29,1 K], добавлен 25.09.2011
  

• Абсолютные и относительные величины. Средние величины и показатели вариации

  Виды и применение абсолютных и относительных статистических величин. Сущность средней в статистике, виды и формы средних величин. Формулы и техника расчетов средней арифметической, средней гармонической, структурной средней. Расчет показателей вариации.
  
  лекция [985,6 K], добавлен 13.02.2011
  

• Статистическое наблюдение

  Статистическое наблюдение; классификация признаков явлений; сводка и группировка. Ряды распределения и их графическое изображение; уровневые и интегральные графики. Динамические ряды, статистические таблицы, абсолютные, относительные и средние величины.
  
  учебное пособие [217,1 K], добавлен 23.12.2009
  

• Проведение корреляционного анализа влияния минеральных удобрений на урожайность сельскохозяйственных культур

  Предмет и метод статистики, понятие статистического наблюдения: сводка, группировка, абсолютные и относительные величины, ряды динамики, индексы. Корреляционный анализ зависимости урожайности сельскохозяйственных культур от внесения минеральных удобрений.
  
  дипломная работа [798,3 K], добавлен 13.05.2013
  

• Средние величины и показатели вариации. Ряды динамики. Индексы

  Арифметическая, гармоническая и геометрическая средняя величина. Задача на определение среднемесячной оплаты труда рабочих. Моментный и интервальный ряд динамики. Общее понятие об индивидуальных и сводных индексах. Объемные показатели перевозки грузов.
  
  контрольная работа [604,4 K], добавлен 24.03.2013
  

• Статистический анализ уровня занятости в Российской Федерации

  Сущность и основные элементы статистики труда. Статистический анализ безработицы. Специфические показатели уровня безработицы населения. Средние величины и показатели вариации. Применение выборочного метода. Прогноз динамики трудовых ресурсов России.
  
  курсовая работа [273,6 K], добавлен 21.12.2015
  

• Расчет основных статистических величин

  Предмет и метод статистики, сводка и группировка, абсолютные и относительные величины. Определение показателей вариации и дисперсии. Понятие о выборочном наблюдении и его задачи. Классификация экономических индексов. Основы корреляционного анализа.
  
  контрольная работа [80,0 K], добавлен 05.06.2012
  

• Основные понятия статистики

  Понятие статистики, история ее развития. Организация статистики в Российской Федерации. Понятие о статистическом наблюдении. Виды экономических индексов. Виды статистических показателей. Абсолютные и относительные величины. Этапы построения группировки.
  
  лекция [92,0 K], добавлен 20.10.2010
  

• Статистические показатели

  Средние величины и показатели вариации. Аналитические показатели ряда динамики. Расчеты и результаты индексов сезонности. Определение общего индекса цен по всем видам продукции и абсолютной экономии от снижения цен. Выборочное наблюдение, пределы.
  
  курсовая работа [607,7 K], добавлен 13.04.2013
  

• Средние величины и индексы, применение корреляционного анализа в статистике

  Расчет средних уровней производительности труда и показателей вариации. Понятие моды и медианы признака, построение полигона и оценка характера асимметрии. Методика выравнивания ряда динамики по прямой линии. Индивидуальные и агрегатные индексы объема.
  
  контрольная работа [682,4 K], добавлен 24.09.2012
  

• Основные категории статистики

  Сводка и группировка. Абсолютные и относительные величины. Расчет соотношения потребленного и вывезенного сахара. Сущность и значение средних показателей. Исчисление средней из интервального ряда распределения по методу моментов. Показатели вариации.
  
  контрольная работа [75,7 K], добавлен 20.09.2013
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам