Математические методы и модели в экономических расчетах по сельскому хозяйству довольно интенсивно разрабатываются и внедряются в практику в ряде наиболее экономически развитых зарубежных стран. Наиболее известным и авторитетным в этой области ученым является профессор Э. Хеди (США). Его книги переведены на русский язык. В его исследованиях не случайно основное внимание уделяется разработке методов использования математики и ЭВМ в экономических расчетах для отдельных ферм. Капиталистическая система хозяйства не позволяет осуществлять расчеты на уровне штата и тем более всего национального хозяйства. Хотя наибольший эффект от использования математических методов в экономике можно ожидать в том случае, когда они применяются на уровне отрасли или всего народного хозяйства. А это осуществимо только в так называемой управляемой экономике.

Экономико-математическое моделирование как научное направление сформировалось в основном в конце 60-х - начале 70-х годов. Этому способствовало бурное развитие экономико-математических методов, обеспечивающих принятие наиболее рациональных решений по планированию и управлению производством.

4.5 Классификация экономико-математических моделей

Уже накопилось большое количество разнообразных экономико-математических моделей, различающихся по многим признакам. Некоторые авторы [2, 3, 15, 34] отмечают, что широкое применение в экономике нашли экономико-статистические и экономико-матема-тические модели. Схематично классификация моделей представлена на рис. 4.2.

Экономические модели
Экономико-статистические		Экономико-математические
Детерминистические		Стохастические
Балансовые		Оптимизационные
Линейные		Нелинейные

Рис. 4.2. Классификация моделей

Экономико-статистическая модель представляет собой корреляционное уравнение связи зависимого и нескольких независимых факторов, определяющих количественное значение зависимого фактора.

К детерминистическим относятся модели, в которых результат полностью и однозначно определяется набором независимых переменных. Эти модели строятся на основе правил линейной алгебры и представляют собой системы уравнений, совместно решаемых для получения результатов. Балансовые модели позволяют весьма подробно описать структуру и условия функционирования экономических систем и по характеру могут быть статическими и динамическими. Наиболее обширный класс моделей, применяющихся на практике, - оптимизационные, основанные на методах математического программирования, и, в первую очередь, линейные оптимизационные модели, базирующиеся на теории линейного программирования.

Стохастические модели описывают случайные процессы, подчиняющиеся законам теории вероятности. В этих моделях либо исходные данные, либо искомый результат выражаются не определенными величинами, а в виде некоторой статистической функции распределения этих величин.

Для лучшего понимания сущности экономико-математического моделирования и его роли в экономической методологии следует рассмотреть многоаспектную классификацию, отражающую совокупность существенных признаков экономико-математической модели (ЭММ), представленную в литературе^{8 8} Копенкин Ю.И. Математическое моделирование как метод научного познания в экономике: лекция. - М.: Изд-во МСХА, 2003. - С. 15-17.и в табл. 4.1.

Таблица 4.1 Классификация экономико-математических моделей

Классификационный признак	Группа решений
Уровень отображаемого объекта	Макроэкономические и микроэкономические
Характер формализации объекта	Структурные и функциональные
Назначение	Дескриптивные и нормативные
Способ отражения времени	Статические и динамические

Макроэкономические модели предназначены для анализа структуры и динамики народного хозяйства как единого целого. Такие модели оперируют крупноагрегированными показателями народного хозяйства (национальный доход, капитальные вложения, занятость и др.).

Микроэкономические модели предназначены для анализа, планирования и управления на уровне локальных элементов эконо-мической системы (отраслей, территориальных комплексов, объединений, предприятий) и отдельных социально-экономических процессов. Микроэкономические модели характеризуются дезагрегированными показателями (затраты ресурсов по видам, выпуск отдельных групп и видов продукции, размеры запасов, денежных фондов и др.).

По характеру формализации объекта моделирования ЭММ, как и другие математические модели, подразделяются на структурные и функциональные.

Структурные модели описывают внутреннюю организацию экономических объектов, взаимосвязи элементов. Эти модели представляют ценность для планирования и экономического анализа. В качестве примеров можно привести модели межотраслевых связей, оптимизационные модели на основе математического программирования.

Функциональные модели не раскрывают внутреннюю структуру объекта, они имеют вид функции, связывающей значение выхода с входом (например, выпуска продукции с затратами факторов производства - производственные функции). Они могут эффективно применяться в экономическом регулировании.

По назначению модели делятся на дескриптивные и нормативные.

Дескриптивные (описательные) модели отвечают на вопрос: как это происходит? Они только объясняют процесс или дают пассивный прогноз его развития. Дескриптивный подход используется для выявления различных зависимостей, закономерностей в экономике (многие виды производственных функций).

Нормативные модели отвечают на вопрос: как это должно быть? Они предназначены для планово-экономических расчетов (многочисленные модели оптимизации).

Однако следует иметь в виду, что отнесение экономико-математических моделей к классу дескриптивных или нормативных зависит не только от математической структуры, но и от характера использования. Например, модель межотраслевого баланса может быть дескриптивной или нормативной в зависимости от того, используется она для анализа пропорций прошлого периода или для расчета сбалансированных вариантов развития народного хозяйства на некоторый плановый период.

По способу отражения времени экономико-математические модели делятся на статические и динамические. В статических моделях все зависимости относятся к одному моменту, периоду. Динамические модели характеризуют развитие экономического процесса во времени.

Названные классификации - основные. Есть и другие классификации, имеющие относительно меньшее значение для методологии моделирования.

Для моделирования экономических задач, решаемых методами математического программирования, необходимо, чтобы:

1) все требования и условия данной задачи можно было выразить математически в виде уравнений и неравенств;

2) данная экономическая задача допускала многовариантность решения;

3) было наличие четкой математической формулировки цели задачи с возможностью получения однозначного ответа;

4) переменные были неотрицательные.

4.6 Особенности сельского хозяйства как объекта математического моделирования

Разрабатывая и применяя ЭММ в сельском хозяйстве необходимо учитывать специфику экономики сельского хозяйства:

1. Основное сельскохозяйственное производство базируется на двух формах собственности - государственной и частной. Кроме того, значительный объем отдельных видов продукции (картофель, овощи, молоко, мясо) производится в личных подсобных хозяйствах колхозников, рабочих и служащих.

2. Сельское хозяйство тесно связано с природными условиями. Вследствие этого в нем ярко выражена сезонность производства, процесс труда и процесс производства не совпадают во времени, результат производства в значительной степени зависит от неуправляемых природных факторов.

3. Сельское хозяйство в значительно большей мере, чем другие отрасли, обладает самостоятельностью, обособленностью. Количество основных производственных ресурсов - сельскохозяйственных угодий и рабочей силы - в каждой зоне (хозяйстве) на данный период обособлено и определяется более или менее точно. Что касается таких ресурсов, как корма, семена, органические удобрения, они воспроизводятся в самом сельском хозяйстве.

4. В сельском хозяйстве производятся пищевые продукты и сырье, которые после переработки идут главным образом на личное потребление. Поэтому необходимый объем производства в сельском хозяйстве на каждый данный период устанавливается также более или менее точно с помощью балансовых расчетов.

Следует заметить, что первые две особенности - разные формы собственности и связь с природными условиями - указывают на значительную сложность связей в экономике и технологии данной отрасли. Напротив, следующие две особенности выгодно отличают сельское хозяйство от других отраслей как объект оптимального планирования и управления производством и реализацией продукции. Таким образом, в целом сельское хозяйство как отрасль народного хозяйства представляет собой весьма благоприятную сферу применения математических методов и ЭВМ в экономических исследованиях, планировании и управлении.

Отмечая преимущества системы сельского хозяйства для оптимального планирования, необходимо видеть и трудности, связанные с внедрением новых методов. Каждая сельскохозяйственная организация - это достаточно сложный объект, математическая модель которого по необходимости должна содержать десятки и сотни переменных и ограничений. Вместе с тем в оптимальном планировании желательно в единой модели (без существенной потери информации) объединять по возможности наибольший комплекс производственных единиц.

Сложность оптимизации планирования и управления сельским хозяйством обусловлена не только обширностью отрасли, большим количеством предприятий и разнообразием технологических процессов, но и существенными различиями в уровне развития сельского хозяйства в ряде районов и отдельных предприятий.

В сельском хозяйстве экономико-математические методы используются по трем основным направлениям:

· разработка и решение экономико-математических задач внутрихозяйственного анализа и планирования;

· разработка и решение экономико-математических задач на уровне агропромышленных объединений и отдельных звеньев агропромышленного комплекса;

· разработка и решение экономико-математических задач отраслевого анализа и планирования.

Разработаны и успешно решаются задачи первого направления, поскольку необходимая для их разработки информация более доступна и достоверна. Решение этих задач на ЭВМ не представляет больших трудностей и не требует усилия больших коллективов. К задачам первого направления относятся следующие задачи оптимизации: использование кормов на фермах и в хозяйстве; использование минеральных и органических удобрений; состав и использование машинно-тракторного парка; транспортные перевозки внутри хозяйства; планы развития животноводства; планы развития растениеводства; производственная структура сельскохозяйственного предприятия; внутрихозяйственное размещение и специализация производства по отделениям, фермам, бригадам и другим подразделениям; планы организационно-хозяйственного устройства сельскохозяйственных формирований.

Задачи второго направления использования экономико-математических методов, возникшего в связи с организацией агропромышленных объединений, включают задачи оптимизации не только производства продукции сельского хозяйства, но и ее промышленной переработки внутри объединения.

Третье направление использования экономико-математических методов связано с разработкой и решением задач развития отдельных отраслей сельского хозяйства, агропромышленного комплекса в целом на уровне области, края, республики и страны. Задачи этого направления могут быть разработаны и решены только с участием больших коллективов, иногда даже нескольких научно-исследовательских институтов. Основная задача работ этого направления - оптимальное размещение и специализация сельскохозяйственного производства по регионам. Результаты решения подобных задач по отдельным крупным регионам страны показали их высокую эффективность. К этому же направлению относится задача оптимизации закупок сельскохозяйственных продуктов по хозяйствам, районам, областям и республикам. В настоящее время появилась необходимость в разработке задачи оптимального развития агропромышленных объединений областного и республиканского уровней. Успешное решение подобных задач будет способствовать повышению эффективности работы агропромышленного комплекса страны.

Математическое моделирование экономики сельского хозяйства, начиная от отдельных внутрихозяйственных объектов и процессов до отрасли в целом, использование экономико-математических моделей и ЭВМ в планово-экономических расчетах является одним из важнейших факторов совершенствования планирования и управления сельским хозяйством, фактором повышения его эффективности.

Символические обозначения при моделировании

При моделировании, особенно при формализованной записи условий задачи, используют различные символические обозначения. С формальных позиций безразлично, какими символами будут обозначаться отдельные параметры модели, главное, чтобы они имели четкий однозначный смысл. Однако такой подход не всегда способствует хорошему восприятию модельных записей, так как приходится постоянно отвлекаться в поисках толкования символов. Поэтому следует считать разумным наиболее часто встречающиеся параметры моделей обозначать общепринятыми символами и индексами и только в отдельных случаях привлекать новые символы с дополнительными пояснениями.

В качестве общепринятых символов и индексов в данной книге использовались следующие.

1. Индексы:

i - порядковый номер ограничения модели;

j - порядковый номер переменной модели (порядковый номер отрасли, вида деятельности и др.).

2. Множества (в случае, когда необходимо объединить переменные по видам деятельности, привлекается символ J (например, множество отраслей на предприятии) с индексами, обозначающими подмножества переменных, объединяемых по какому-либо признаку (J₁, J₂ и т. д.)):

I - множество, содержащее номера ограничений;

J - множество, содержащее номера переменных;

J₁ - множество, содержащее номера переменных отрасли растениеводства;

J₂ - множество, содержащее номера переменных отрасли животноводства;

J₃ - множество, содержащее номера дополнительных и вспомогательных переменных.

3. Переменные величины - выражают неизвестное количество, неизвестную величину.

Искомые переменные, представляющие виды деятельности, обозначают символом Х. Дополнительные искомые переменные можно обозначать тем же символом с черточками или другими дополнительными обозначениями.

Во всех случаях переменные при моделировании экономико-математических задач, раскрывая их экономическое, технологическое и другое значение, требуют пояснений по тексту с введением соответствующих индексов.

Если для представляемой экономико-математической модели приведенная символика недостаточна, привлекается дополнительная из латинского и греческого алфавитов. В этих случаях в тексте обязательно дается ссылка, раскрывающая содержание дополнительно введенных символов.

Чаще всего используемая по тексту символика при записи переменных следующая:

X_j - основная переменная;

- дополнительная переменная;

- вспомогательная переменная.

4. Коэффициенты - величины, характеризующие размеры затрат или выпуска в расчете на единицу размерности, принятой для искомой переменной. Коэффициенты сопровождаются индексами принадлежности, первый (первые) из них обозначает принадлежность к ограничению, последующий (последующие) - к переменным:

v_ij - выход продукции i-го вида с единицы размерности j-й переменной (урожайность, продуктивность);

a_ij - норма затрат производственного ресурса i-го вида на единицу размерности j-й переменной (трудовые ресурсы, удобрения, материально-денежные затраты, корма на 1 голову);

w_ij - коэффициент пропорциональности, или коэффициент связка;

_ij - доля по нижней границе от коэффициента или от переменной;

_ij - доля по верхней границе от коэффициента или переменной;

_i - доля по нижней границе от свободного члена;

_i - доля по верхней границе от свободного члена;

C_j - оценка единицы размерности j-й переменной в целевой функции.

5. Постоянные величины, или константы, - величины, представляющие значения правых частей уравнений и неравенств, моделирующих систему. Индексы при символах-константах соответствуют индексам ограничений. В качестве обозначающих символов принимаются:

b_i - объем пахотных угодий;

B_i - объем трудовых ресурсов;

S_i - норма содержания i-го вида питательного вещества в рационе;

(=) P_i - фиксированный объем производства i-го вида продукции;

() Q_i - гарантированный объем производства i-го вида продукции;

(=)q_i - фиксированная величина переменной;

() - нижняя граница переменной;

() - верхняя граница переменной.

4.7 Этапы разработки экономико-математической модели

Разработка экономико-математической модели осуществляется поэтапно, в определенной последовательности. Схематически этот процесс представлен на рис. 4.3.

Первый этап - изучение экономического процесса. Приступая к моделированию экономического процесса или явления, прежде всего необходимо тщательно изучить его по различным источникам и при возможности в натуре. При этом необходимо выяснить внешние и внутренние связи этого процесса, какие требуются ресурсы, с помощью каких технологических способов ресурсы преобразуются в продукцию. Следует также подробно изучить природно-экономические условия (среду), уяснить, какое место в иерархической структуре сельского хозяйства занимает экономический процесс, и установить, на какой плановый период он должен быть смоделирован.

Второй этап - постановка задачи и обоснование критерия оптимальности. Это наиболее ответственный момент. Этот этап предполагает четкую экономическую формулировку, включающую цель решения, установление планового периода, выяснение известных параметров объекта и тех, количественное значение которых нужно определить. При формализации экономического процесса необходимо выявить перечень его характеристик и проанализировать их связи.

1. Изучение экономического процесса
2. Постановка задачи и обоснование критерия оптимальности
3. Выбор математического метода решения задачи и базовой математической модели, определение переменных и ограничений задачи
4. Сбор исходной информации и разработка технико-экономических коэффициентов
5. Разработка развернутой (матричной) модели экономико-математической задачи
6. Решение задачи на ЭВМ, анализ результатов, корректировка модели, решение задачи с учетом сделанных коррективов
7. Экономический анализ выполненных расчетов и выбор оптимального варианта плана

Рис. 4.3. Этапы разработки экономико-математической модели

Количественные связи и отношения являются отображением качественной природы экономических систем и процессов, поэтому математическое программирование предполагает глубокий качественный анализ условий, в которых они функционируют, выявление всей совокупности факторов, исследование их взаимосвязей и взаимного влияния.

При анализе системы или процесса необходимо исследовать как качественные, так и количественные характеристики во взаимосвязи. Только при этом условии решение задачи будет правильным. Особое значение имеют достоверность и определенность всех числовых характеристик.

Важное значение на этом этапе отводится определению конечной цели решения задачи - выбору критерия оптимальности. Выбор критерия оптимальности диктуется экономической сущностью решаемой задачи. Он должен быть обоснован теоретически, соответствовать требованиям математического метода решения задачи и удовлетворять потребности практического планирования. Критерий оптимальности формулируется в виде функции от входных и выходных переменных и параметров задачи, значение которой достигает максимума или минимума при данных условиях, учтенных в модели. Эту функцию называют целевой, так как она выражает количественную меру цели.

При выборе критерия оптимальности и построения целевой функции следует учитывать согласованность интересов всех звеньев экономики: народного хозяйства, отрасли, района, предприятия и его подразделений, причем необходимо исходить прежде всего из народнохозяйственных интересов.

Таким образом, важными сторонами критерия оптимальности являются качественная определенность и количественная измеримость. При моделировании процессов, протекающих в сельском хозяйстве, в зависимости от решаемых задач применяется большое количество локальных критериев оптимизации.

Поэтому для обоснования системы критериев необходимо предварительно представить систему целей сельскохозяйственного производства, рассматриваемого как часть агропромышленного комплекса.

Наиболее наглядный способ представления всей совокупности целей развития сельского хозяйства - построение дерева целей. Он позволяет сформулировать вначале наиболее общие (генеральные) цели, а затем детализировать каждую из них последовательно по нескольким уровням вплоть до получения в нижнем ярусе характеристик таких целей, которые могут быть представлены в виде конкретных целевых нормативов или других целевых показателей.

Основная цель сельскохозяйственного производства - получение продуктов растительного и животного происхождения. Критериями оптимизации для достижения этой цели являются максимизация объемов производства продукции в натуральном выражении, особенно тех ее видов, по которым сохраняется дефицит и не достигнуты рациональные уровни потребления. Существенным для многих типов задач является максимизация производства конечной продукции в ассортименте, соответствующем потребностям населения. Такие критерии предназначены для реализации моделей оптимизации структуры сельскохозяйственного производства.

Вторая важная цель сельскохозяйственного производства связана с рациональным распределением и эффективным использованием производственных ресурсов между объектами. Поэтому достижению этой цели, т. е. обеспечению эффективного воспроизводства, отвечают критерии минимизации издержек производства, капитальных вложений, приведенных затрат или минимизации некоторых конкретных видов ресурсов - труда, земельных угодий. Естественно, что эти критерии могут быть использованы только в сочетании с ограничениями на производство определенных объемов продукции.

На уровне сельскохозяйственных предприятий обеспечение эффективного воспроизводства равнозначно увеличению прибыли для дальнейшего развития производства и повышения уровня жизни работников при обязательном выполнении заданий по гарантированным поставкам сельскохозяйственной продукции. Поэтому критериями оптимизации должны быть максимизация прибыли или максимизация уровня рентабельности производства при ограничениях по реализации сельскохозяйственной продукции.

Таким образом, в области сельскохозяйственного производства математическое моделирование используется для решения следующих задач:

· достижения заданных объемов производства с минимальными затратами производственных ресурсов;

· наиболее целесообразного распределения производственных ресурсов (земли, труда, техники и т. д.) в целях максимального увеличения производства сельскохозяйственной продукции;

· эффективного управления производством и наилучшего использования производственных ресурсов при минимальных затратах труда, денежно-материальных средств и времени.

Третий этап - выбор математического метода решения задачи и базовой математической модели, определение переменных и ограничений задачи. На этом этапе выбирается базовая модель и в соответствии с постановкой задачи с использованием определенных символов и обозначений записывается математическая модель. В линейном программировании разработаны две базовые модели - модель общей задачи линейного программирования, называемая моделью симплексного метода, и модель транспортной задачи, или модель распределительного метода. На основе этих базовых моделей в зависимости от конкретной постановки задачи записывается математическая модель, отражающая структуру будущей задачи, ее композицию, - структурная модель. Структурная модель позволяет в емкой и сжатой форме отразить характер поставленной задачи и условия, включенные в нее. При разработке структурной модели целесообразно использовать унифицированные символику и порядок описания модели.

Выбор математического метода решения задачи зависит от развития вычислительной математики и класса решаемой задачи.

Задача линейного программирования может быть сформулирована следующим образом: если известны ресурсы предприятия и нормы расходования этих ресурсов на единицу измерения отрасли, то надо определить такие размеры отраслей, которые обеспечивают максимальный производственный результат.

Базовая структурная экономико-математическая модель задач, решаемых общими методами, например симплексным, имеет следующий вид.

Целевая функция достигает экстремума Z_{max (min)} = при условии выполнения трех ограничений:

1) по использованию производственных ресурсов - затраты i-го ресурса на производство j-й продукции не будут превышать наличного объема этого ресурса:

b_i , iI₁ ,

где I₁ - множество, содержащее номера ограничений по использованию производственных ресурсов;

2) по заданному объему выполнения работ или производства продукции - объем производства продукции i-го вида в расчете на единицу j-й переменной будет не меньше гарантированного объема:

Q_i , iI₂,

где I₂ - множество, содержащее номера ограничений по заданному объему выполнения работ или производства продукции;

3) условие неотрицательности переменных - поскольку искомые величины являются реальными положительными величинами (посевная площадь, поголовье, объем кормов и т. д.):

X_j 0,

где j = 1, ..., n.

Базовая структурная экономико-математическая модель задач, решаемых распределительным методом, отличается от модели симплексного метода, что связано с различными алгоритмами решения. Но эта модель также содержит в себе линейную форму переменных, функциональные ограничения переменных и ограничение неотрицательности. Структурная модель задач, решаемых распределительным методом, представлена в третьей главе в разделе 3.5.1.

Переменными модели являются виды и способы производства. Состав видов и способов производственной деятельности определяется моделируемым процессом и степенью его детализации в задаче. Виды деятельности представляют неделимые операции в модели экономического процесса, которые отличаются друг от друга по используемым ресурсам и коэффициентам их расхода, выходу продукции и коэффициентам ее выпуска, способу и времени использования конечной продукции. Если имеются различия хотя бы по одному из перечисленных признаков, операция принимается как новый вид деятельности.

Виды деятельности классифицируются прежде всего по их назначению. Видом деятельности является и переработка разных сельскохозяйственных продуктов для придания им транспортабельной формы или предохранения от порчи, если она не выделена в самостоятельную отрасль промышленности.

Когда установлены виды и способы производственной деятельности, определяют ограничения экономико-математической задачи. Нахождение приемлемых с точки зрения организаций оптимальных решений зависит прежде всего от правильного определения состава ограничений, поэтому они занимают центральное положение в математический моделях. В них отражаются важнейшие условия и требования планово-экономических задач. Ограничения формулируются в виде системы уравнений и неравенств, выражающей возможности производства и баланс ресурсов. В связи с этим особое значение приобретает полнота и точность отражения в модели всех ограничений, накладываемых на переменные.

При формулировании ограничений необходимо, чтобы все условия планово-экономической задачи были по возможности представлены, но, с другой стороны, следует стремиться к тому, чтобы количество их было целесообразным. Число составленных уравнений и неравенств определяет максимально возможное количество видов и способов деятельности, которое может войти в оптимальный план.

Четвертый этап - сбор исходной информации и разработка технико-экономических коэффициентов. Процесс сбора и обработки исходной информации более сложный и трудоемкий. На этом этапе определяются характер и объем необходимой информации, источники ее получения и методы обработки.

В значительной степени получаемый результат зависит от качества исходной информации. Если даже одна-две цифры, включенные в задачу, будут неверными, то весь результат решения окажется неприемлемым.

Под экономической информацией можно понимать совокупность сведений об экономическом процессе и его среде, необходимых для решения конкретной задачи управления. Экономическая информация должна быть достоверной и надежной; достаточной и полной; своевременной и доступной.

Источниками информации служат годовые отчеты, технологические карты, данные первичного учета, различные нормативные справочники и т. д. Если исходные данные будут недостаточно полными и неточными, то результаты решения задачи могут быть искажены.

Характер исходной информации связан с поставленной планово-экономической проблемой. Если ее решение относится к перспективе, то применяется нормативная, а при решении текущих проблем - нормативная и отчетная информация.

При разработке экономико-математических задач самая трудоемкая работа - расчет технико-экономических коэффициентов a_ij, коэффициентов целевой функции C_j и констант или объемных показателей ресурсов или продуктов b_i. Эти коэффициенты представляют собой основную часть входной информации, и их можно подразделить на три группы:

· удельные нормативы затрат или выхода продукции (рассчитываются на основе нормативных справочников, технологических карт, с использованием методов математической статистики и другими способами);

· коэффициенты пропорциональности (коэффициенты при переменных в тех ограничениях, которые предусматривают определенные соотношения между зависимыми переменными - по структуре посевов, по поголовью половозрастных групп животных и т. д.);

· коэффициенты связи (когда специально обусловливают зависимость переменной X_j от объемного показателя в ограничении (b_i); например площадь посева овса не более 100 га);

При подготовке входной информации для экономико-математической модели могут быть использованы производственные функции - математически выраженные связи и зависимости результатов производства от затрат производственных факторов (урожайность культур - от доз внесения удобрений; продуктивность коров - от количества потребляемого корма и т. д.). Помимо прогнозирования уровня результативного признака, производственные функции могут быть использованы для определения экономических оптимумов, коэффициентов эффективности и взаимозаменяемости факторов.

Производственные функции могут быть представлены следующими способами:

1. Табличный способ - в виде таблицы, где содержатся ряд значений аргумента и соответствующие значения функции. Этот способ удобен, когда изучают зависимости по опытам и наблюдениям.

2. Графический способ - по графику непосредственно выявляются основные свойства представленной функции и весь ход ее изменения. Преимущество этого способа заключается в наглядности, а недостаток в том, что иногда трудно точно определить значения зависимой переменной y при данных значениях признака x.

3. Аналитический способ - наиболее распространенный - производственная функция представляет собой математическую модель многофакторного экономического процесса, которая позволяет исчислить ожидаемое значение результата производства в зависимости от действующих на него факторов.

В отличие от экономико-математических моделей оптимального программирования, состоящих из ряда уравнений и неравенств, модель производственной функции в общем виде в большинстве случаев описывается одним уравнением, где результат производства представляется как функция n независимых факторов:

X(производственный результат) = f (X₁, X₂ ,..., X_n),

где X₁, X₂, ..., X_n - факторы производства.

В процессе исследования обычно находят конкретный вид алгебраического уравнения, которое более или менее соответствовало бы исследуемым взаимосвязям, чаще всего это уравнения регрессии.

Преимущества этого способа по сравнению с предыдущими состоит в том, что он позволяет:

· проанализировать влияние одного или нескольких факторов на производственный результат;

· определить с помощью приемов математического анализа различные коэффициенты, характеризующие изменения в процессе производства.

В связи с тем, что производственные функции представляют корреляционные связи, их обычно определяют путем обработки массовых данных методом корреляции.

Пятый этап - разработка развернутой (матричной) модели экономико-математической задачи. Модель можно записать развернуто в виде системы неравенств и уравнений, то есть в числовом виде. Однако при достаточно большом числе переменных и ограничений такая запись громоздка, уменьшает обозримость и затрудняет чтение.

Основой развернутой модели является матрица - прямоугольная таблица, в которой записывается развернутая модель задачи в удобной и сокращенной форме.

Матрица состоит из столбцов и строк. По столбцам матрицы располагаются, как правило, переменные величины, т. е. искомые значения отраслей сельскохозяйственного производства, по строкам - условия задачи, которые называются ограничениями. Все члены одного ограничения должны иметь одну единицу измерения.

Технико-экономические коэффициенты матрицы могут означать либо норму затрат, либо норму выхода продукции в расчете на единицу измерения переменной величины. Но каждая матрица содержит особый столбец, в котором отражаются тип и объем ограничений, и особую строку, в которой располагается целевая функция задачи.

Таким образом, развернутая матрица представляет собой задачу, подготовленную к решению на ЭВМ. Обычно матрица строится в соответствии с используемой математической программой расчета.

Переменные матрицы подразделяются на основные, дополнительные и вспомогательные переменные.

Основные переменные обозначают размер видов или способов деятельности (площадь посева культур, поголовье скота и т. д.).

Дополнительные переменные вводятся при математической реализации задачи для преобразования неравенств в равенства (прирост кормов, привлечение рабочей силы и т. д.).

Вспомогательные переменные вводятся для определения расчетных величин (общей суммы материально-денежных затрат, показателей эффективности производства и т. д.).

Ограничения матрицы могут налагаться на отдельные переменные, на часть их или на все. По своему характеру ограничения подразделяются на основные, дополнительные и вспомогательные.

К основным ограничениям относятся такие ограничения, которые накладываются на все или большинство переменных и выражают главные, наиболее существенные условия задачи (по использованию производственных ресурсов).

Дополнительные ограничения накладываются на отдельные переменные или на небольшие группы их. Обычно они формулируются в виде неравенств, ограничивающих «снизу» или «сверху» объемы производства отдельных видов продукции, потребление животными отдельных видов или групп кормов и т. д. Особенно важно не перенасыщать модель дополнительными переменными, не сокращать степень свободы системы, иначе решение задачи сведется к арифметическим вычислениям заранее предрешенного результата.

Вспомогательные ограничения не имеют самостоятельного экономического значения. Их используют главным образом для обеспечения правильной формулировки экономических требований (определение вспомогательных переменных).

Ограничения матрицы модели могут иметь разные единицы измерения (площадь посева - га, трудовые ресурсы - чел.-дн.), причем размерность каждого ограничения определяется единицей измерения его правой части.

Образец развернутой матрицы покажем на условном примере системы, в которой имеются три переменные величины, два ограничения по использованию пашни и трудовых ресурсов и уравнение целевой функции.

Пример. Составить план сочетания посевных площадей трех культур при условии, что объем земельных ресурсов не должен превышать 900 га, а объем трудовых ресурсов - 5000 чел.-дн. При этом необходимо получить максимум произведенной продукции (ВП) в стоимостном выражении.

Таблица 4.2 Исходные данные

Культура	Обозначение (площадь, га)	Затраты труда, чел.-дн.	Стоимость ВП, руб.
Пшеница	Х1	3	3000
Рожь	Х2	2,5	2500
Гречиха	Х3	10	2100

Запишем числовую модель в виде отдельных ограничений и целевой функции:

1. По балансу трудовых ресурсов, чел.-дн.:

3Х₁ + 2,5Х₂ + 10Х₃ 5000.

2. По балансу пашни, га:

Х₁ + Х₂ + Х₃ 900.

Z_max = 3000X₁ + 2500X₂ + 2100X₃.

Матрица этой задачи имеет следующий вид:

Таблица 4.3 Матрица задачи

Ограничение	Ед. изм.	Обозначение переменных	Объем и тип ограничения
		Х1	Х2	Х3	...	...
Баланс труда	чел.-дн.	3	2,5	10					5000
Баланс пашни	га	1	1	1					900
Z max	руб.	3000	2500	2100

Матрица может иметь блочную структуру. Эта таблица составлена как бы из прямоугольных матриц, обычно расположенных по диагонали. По диагонали рабочей части матрицы стоят рабочие блоки. Каждый блок имеет свои переменные и ограничения. Рабочие блоки связаны между собой связывающим блоком. Такую матрицу имеют задачи по оптимизации состава машинно-тракторного парка, размещению сельскохозяйственного производства в области или районе и т. д.

Таблица 4.4 Матрица блочной структуры

Ограничения	Ед. изм.	х1	х2	х3	х4	...	...	xn		Объем и тип ограничения
		R1
				R2
						. . .
								Rn
Связывающий блок
Целевая функция

Шестой этап - решение задачи на ЭВМ, анализ результатов, корректировка модели, решение задачи с учетом сделанных корректировок. На этом этапе идет кодирование информации для перенесения на машинные носители и решение задачи на ЭВМ.

Анализ должен определить реальность полученного решения, возможность практического использования в хозяйстве, необходимость корректировки и направление корректировки. Однако если первоначальные параметры задачи изменяются, необходимо повторное решение ее на ЭВМ. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено практически приемлемое решение.

Седьмой этап - экономический анализ выполненных расчетов и выбор оптимального варианта плана. Изменяя первоначальные условия задачи и критерий оптимальности, можно рассчитать несколько вариантов решений. Затем проводят экономический анализ этих вариантов и выбирают наиболее приемлемый проект оптимального плана. В значительной мере решающую роль в таком выборе играет опыт, интуиция руководителя.

В конкретных условиях в зависимости от характера задачи последовательность этапов моделирования экономических процессов может меняться.

4.8 Приемы моделирования экономических процессов

Методы линейного программирования не позволяют изменять в ходе решения объемы ограничений и значения коэффициентов при переменных. Решение предполагает неизменность этих параметров. Но иногда условия задачи требуют их изменить. Существуют приемы, позволяющие преодолеть указанные препятствия. Рассмотрим наиболее употребительные приемы моделирования экономических процессов.

I. Методы изменения свободного члена при неизменных коэффициентах переменных величин. Применяют два приема:

1) установление определенных границ для свободного члена, когда эти границы известны, т. е.

? b_i ? ,

где и - нижняя и верхняя допустимые границы изменения величины b_i . В этом случае условия по использованию ресурсов или производству продукции в модель вводятся двумя линейными соотношениями:

В процессе решения свободный член примет значение в интервале -.

Пример. Имеется три вида корма: Х₁ - овес, Х₂ - отруби, Х₃ -ячмень. В суточном рационе молодняка свиней концентрированные корма должны содержаться в количестве от 1,5 до 1,9 кг к. ед. Содержание кормовых единиц в 1 кг соответствующего вида корма составляет: 1; 0,71 и 1,13 кг к. ед. Тогда эти условия запишутся следующими ограничениями:

Х₁ + 0,71Х₂ + 1,13Х₃ 1,5,

Х₁ + 0,71Х₂ + 1,13Х₃ ? 1,9;

2) когда границы свободного члена неизвестны и его величина будет зависеть от условий или факторов и определяться в процессе решения задачи.

В этом случае в систему вводится дополнительная переменная , помогающая установить, насколько увеличится значение свободного члена b_i под влиянием других условий. При этом формализованная запись условия принимает следующий вид:

,

или в преобразованном виде

.

Пример. Трансформация сельскохозяйственных угодий или привлечение рабочей силы в напряженный период.

Допустим, площадь пашни в хозяйстве равна 5000 га, естественных сенокосов - 350 га. На пашне высевают пшеницу, горох и овес. Посевная площадь под сельскохозяйственными культурами может быть увеличена за счет трансформации естественных сенокосов не более чем на 50 га.

Сделаем обозначения:

Х₁ - площадь, занятая пшеницей, га;

Х₂ - площадь, занятая горохом, га;

Х₃ - площадь, занятая овсом, га;

Х₄ - площадь под сенокосами, га;

Х₅ - искомая площадь трансформации сенокосов в пашню, га.

Представим числовую запись ограничений задачи:

1. По площади пашни, с учетом трансформации сенокосов, га:

Х₁ + Х₂ + Х₃ ? 5000 + Х₅,

или в преобразованном виде:

Х₁ + Х₂ + Х₃ - Х₅ ? 5000.

2. По площади сенокосов с учетом трансформации, га:

Х₄ + Х₅ ? 350.

3. По размеру трансформируемой площади сенокосов, га:

Х₅ ? 50.

II. Приемы моделирования ограничений с изменяющимися коэффициентами при переменной. Рассмотрим два основных.

1) Метод средней взвешенной. Известно, что коэффициент при переменной x_j - a_ij (или v_ij ) может меняться в пределах от минимального значения коэффициента, равного (или ), до максимального его значения (или ), т. е.

? a_ij ? или ? v_ij ? .

В этом случае в модель задачи вместо переменной x_j вводятся две переменные и .

При будет стоять коэффициент (или ), а при будет стоять коэффициент (или ).

В результате решения задачи могут быть следующие исходы:

1) = 0, 0, тогда x_j = и a_ij = (или v_ij = );

2) = 0, 0, тогда x_j = и a_ij = (или v_ij = );

3) 0, 0, тогда коэффициент a_ij (или v_ij) определяется после решения задачи по формуле арифметической средней взвешенной:

, =.

Пример. В хозяйстве фактически достигнутая урожайность озимой пшеницы составила 12 ц/га. При проведении различных агротехнических приемов эта урожайность может быть повышена до 15 ц/га, но это потребует дополнительных затрат. Предполагается, что между ростом урожайности и ростом затрат производственных ресурсов будет прямопропорциональная зависимость. Определить планируемую для данного хозяйства урожайность зерновых культур.

Решение. В модель задачи вводятся две переменные:

= x₁ - площадь озимой пшеницы с урожайностью 12 ц/га;

= x₂ - площадь озимой пшеницы с урожайностью 15 ц/га.

Тогда в ограничениях, учитывающих производство зерновых культур, записываются соответствующие коэффициенты:

= 12 (ц/га) и = 15 (ц/га).

Пусть в результате решения в оптимальном плане получилось, что x1 = 1000 га, а x2 = 2000 га.

Тогда истинная урожайность озимой пшеницы составит:

= = = 14 (ц/га).

2) Метод суммирования коэффициентов. Этот прием может быть использован для отражения процесса интенсификации, когда увеличение выхода продукции с единицы отрасли идет за счет дополнительных затрат (при оптимизации кормовой базы, балансировании годовых рационов кормления животных).

Пусть:

x_j - размерность некой отрасли;

a_ij - норма затрат i-го вида производственного ресурса на единицу размерности j-й переменной;

v_ij - выход продукции i-го вида с единицы размерности j-й переменной.

В зависимости от объема ресурсов bi и целесообразности их использования затраты ресурсов по отрасли xj можно увеличить до (добавочные затраты). При этом будет также увеличиваться выход продукции до .

Чтобы учесть эти особенности, в модель вводится дополнительная переменная - прирост продукции к первоначальному объему. И соответственно в модель должны быть введены дополнительно следующие ограничения:

1. По общему объему производимой продукции i-го вида по j-й отрасли:

v_ij x_j + = x_к.

2. Прирост продукции должен быть ограничен:

? (ґ- v_ij ) x_j или -(- v_ij ) x_j + ? 0.

В ограничение по балансу ресурсов с использованием коэффициентов затрат aij должен быть введен коэффициент dij (добавочные затраты на единицу продукции) при хj.

3. Баланс производственных ресурсов:

a_ij x_j + d_ij ? b_i ,

где d_ij =.

После решения задачи, когда определятся значения x_j и , вычисляются истинные значения коэффициентов:

= =

Пример. Известно, что для получения удоя молока 25 ц на корову должно быть затрачено 30 ц к. ед. При скармливании коровам по 38 ц к. ед. удои могут повыситься до 35 ц. Надо найти оптимальную продуктивность с учетом наиболее целесообразного использования имеющихся запасов кормов.

Необходимо обозначить переменные и коэффициенты, записать ограничения, которые вводятся в модель, затем вычислить истинные значения коэффициентов, если в результате решения задачи поголовье животных составило x_j = 2000 голов, а дополнительный выход продукции = 8000 ц.

...