Сделаем обозначения:

v_ij = 25 ц,

= 35 ц - продуктивность молочного стада;

a_ij = 30 ц к. ед.;

= 38 ц к. ед. - дополнительные затраты кормов.

Пользуясь условными обозначениями, запишем ограничения:

1. 25 x_j += x_к.

2. ? ( 35 - 25) x_j,

или ? 10 x_j,

d_ij = = 0,8.

3. 30 x_j + 0,8 ? b_i,

= = 25 + 4 = 29 ц,

= = 30 + 3,2 = 33,2 ц к. ед.

III. Метод введения вспомогательной переменной с отраженной величиной. В некоторых задачах необходимо знать величину какой-то переменной для построения других ограничений или ее величина необходима для записи целевой функции. В этом случае вводится вспомогательное ограничение по определению величины этой переменной.

Пример. В некоторой модели в качестве целевой функции выступает валовая прибыль. Она определяется как разность между выручкой и материально-денежными затратами. В этом случае введем вспомогательную переменную , которая будет обозначать общую сумму материально-денежных затрат и вспомогательное ограничение по определению общей суммы материально-денежных затрат.

.

Тогда целевая функция примет следующий вид

,

где a_ij - материально-денежные затраты на единицу размерности переменных,

С_j - выручка на единицу размерности j-й переменной.

IV. Прием вспомогательного ограничения пропорциональной связи. Нередко в процессе формулирования условий возникает необходимость установить пропорции между отдельными переменными или их группами, например между посевными площадями отдельных сельскохозяйственных культур, различными кормами, или задать пропорции в развитии тех или иных отраслей.

Линейные ограничения пропорциональной связи представляют непременную составную часть системы, в математической форме выражающей данное экономическое условие. Если в систему не вводить ограничения пропорциональной связи, то система может вообще не иметь решения или же решаться с экономически неприемлемыми результатами.

1. Запись ограничений по соотношению между отдельными величинами. Представим это условие в виде структурной записи и рассмотрим на конкретном примере:

x_j w_ij x_j ; x_j w_ij x_j, или x_j = w_ij x._j.

Пример. Необходимо, чтобы в оптимальной структуре посевных площадей пшеница занимала площадь в 2 раза большую, чем ячмень.

Сделаем обозначения:

x₁ - площадь пшеницы, га;

x₂ - площадь ячменя, га.

Запишем ограничение в числовом виде:

x₁ = 2x₂, или x₁ - 2x₂ = 0_.

2. Запись ограничений по соотношению между отдельной переменной и группой переменных. Структурная запись: x_j w_ij ; x_j w_ij , или x_j = w_ij .

Пример. В суточном рационе свиней в качестве концентрированных кормов используются: овес, пшеничные отруби и ячмень. Овса должно содержаться не более 20% веса концентрированных кормов.

Сделаем обозначения:

x₁ - овес, кг;

x₂ - пшеничные отруби, кг;

x₃ - ячмень, кг.

Запишем ограничение в числовом виде:

x₁ ? 0,2(x₁ + x₂ + x₃); x₁ - 0,2x₁ - 0,2x₂ - 0,2x₃ ? 0, или

0,8 x₁ - 0,2x₂ - 0,2x₃ ? 0, разделим на 0,2 и получим

4 x₁ - x₂ - x₃ ? 0.

3. Запись ограничений по соотношению между группами переменных. Структурная запись:

w_{ij ,} ? w_{ij ,} = w_ij .

Пример 1. Известно, что вся площадь посевов озимых культур должна размещаться по пласту многолетних трав, срок использования которых 2 года, и на площадях, ранее занимаемых однолетними травами.

x₁ - площадь озимой ржи, га;

x₂ - площадь озимой пшеницы, га;

x₃, x₄, x₅ - площадь многолетних трав соответственно на сено, сенаж и семена, га;

x₆, x₇ - площадь однолетних трав на силос и зеленый корм, га.

Тогда ограничение по соотношению площадей запишется следующим образом:

x₁ + x₂ 0,5(x₃ + x₄ + x₅) + x₆ + x₇, или в преобразованном виде

x₁ + x₂ - 0,5x₃ - 0,5x₄ - 0,5x₅ - x₆ - x₇ 0.

Пример 2. Для предыдущего примера установить соотношение между выходом семян многолетних трав и потребностью в них, если известно, что:

· урожайность многолетних трав на семена составляет 1,4 ц/га;

· норма высева семян на 1 га - 0,2 ц;

· срок использования многолетних трав составляет 2 года.

Посев трав при 2-летнем использовании осуществляется на половине всей площади (т. к. модель предусматривает годичный плановый период), занятой многолетними травами, поэтому указанные нормы следует уменьшить вдвое. Тогда ограничение примет вид:

1,4x₅ = 0,5 · 0,2 (x₃ + x₄ + x₅), после преобразования

1,4x₅ - 0,1 x₃ - 0,1x₄ - 0,1x₅ = 0 (приведем подобные члены и умножим на (-1)),

0,1x₃ + 0,1x₄ - 1,3x₅ = 0 (разделим на 0,1), получим

x₃ + x₄ - 13x₅ = 0.

Пример 3. Удельный вес озимых зерновых в общей площади зерновых может составлять не менее 40 и не более 50%.

x₁ - площадь озимой ржи, га;

x₂ - площадь озимой пшеницы, га;

x₃ - площадь ячменя, га;

x₄ - площадь овса, га.

x₁ + x₂ 0,4(x₁ + x₂ + x₃ + x₄),

x₁ + x₂ 0,5(x₁ + x₂ + x₃ + x₄),

после преобразований получим:

1,5x₁ + 1,5 x₂ - x₃ - x₄ 0,

x₁ + x₂ - x₃ - x₄ 0.

Контрольные вопросы

1. Чем занимается наука «Математическое программирование»? Что называют линейным программированием?

2. Что понимают под методами математического программирования? Какие методы вы знаете?

3. Назовите основные условия, допускающие использование методов линейного программирования в планировании сельскохозяйственного производства.

4. Дайте экономическую интерпретацию дополнительных переменных.

5. Дайте определение математической модели и математического моделирования.

6. Назовите требования, предъявляемые к математической модели.

7. Приведите классификацию экономических моделей.

8. Перечислите этапы моделирования и дайте их краткую характеристику.

9. Что такое экономико-математическая модель?

10. Какие формы представления ЭММ вы знаете?

11. Какие задачи решает математическое моделирование в области сельскохозяйственного производства?

12. Какие переменные задачи называют основными, дополнительными и вспомогательными?

Глава 5. Экономико-математический анализ оптимальных решений

Экономико-математические методы позволяют проводить глубокий экономический анализ не только самих моделей, но и оптимальных решений. Цели экономико-математического анализа оптимальных решений следующие:

1) дать общую оценку полученному решению и выявить переменные, вошедшие и не вошедшие в план, и значение целевой функции;

2) сопоставить полученное решение с рассчитанным традиционными методами и определить эффект оптимизации плана;

3) выявить возможности и резервы развития моделируемого объекта для выработки управленческого решения;

4) определить общие экономические показатели развития объекта в планируемом периоде;

5) установить пределы возможностей для корректировки оптимального решения и получения новых вариантных решений при изменении первоначальных параметров задачи.

Возможность подобного анализа заложена в особенностях метода линейного программирования, который позволяет получать наряду с решением прямой задачи и решение двойственной задачи. Прямой, как правило, считается задача, которая обеспечивает расчет оптимального плана. Двойственная задача предназначается для получения оптимальных оценок производственных ресурсов, которые еще называют двойственными оценками оптимального плана.

5.1 Экономическая интерпретация симплексного метода

Для выяснения сущности оценок оптимального плана и возможностей их использования в экономическом анализе рассмотрим небольшую задачу:

Требуется найти оптимальное сочетание посевов трех культур: гречихи, гороха, ячменя, при котором будет получен максимум валовой продукции в денежном выражении.

Для возделывания этих культур в хозяйстве выделено: 6000 га пашни, 20 000 чел.-дн. ручного труда и 10 000 чел.-дн. механизированного труда.

Затраты этих ресурсов, а также выход валовой продукции в денежном выражении в расчете на 1 га культур приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1 Затраты ресурсов в расчете на 1 га

Показатель	Единица измерения	Культура
		Гречиха	Горох	Ячмень
Затраты ручного труда Затраты механизированного труда Выход валовой продукции	чел.-дн. чел.-дн. руб.	5 1,5 175	2 0,5 110	2,5 1 140

Введем обозначение и составим задачу линейного программирования.

Если обозначить искомые посевные площади гречихи Х_1, гороха - Х₂, ячменя - Х₃, то задача может быть сформулирована так:

Х₁ + Х₂ + Х₃ 6000 (ограничение по площади пашни);

5Х₁ + 2Х₂ + 2,5Х₃ 20000 (ограничение по ресурсу ручного труда);

1,5Х₁ + 0,5Х₂ + Х₃ 10000 (ограничение по ресурсу механизированного труда).

X_j ? 0, j = 1 ч 3, (1)

Z _max = 175Х₁ + 110Х₂ + 140Х₃.

Приведя систему (1) к каноническому виду, получаем:

Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ = 6000

5Х₁ + 2Х₂ + 2,5Х₃ + Х₅ = 20 000, (2)

1,5Х₁ + 0,5Х₂ + Х₃ + Х₆ = 10 000,

X_j ? 0, j = 1 ч 6,

Z _max = 175Х₁ + 110Х₂ + 140Х₃ + 0 · Х₄ + 0 · Х₅ + 0 · Х₆ .

В системе (2) переменные Х₄, Х₅, Х₆ являются дополнительными и означают соответственно недоиспользование ресурсов земли, ручного труда и механизированного труда.

В соответствии с алгоритмом решения задачи составим первую симплексную таблицу (табл. 5.2).

Таблица 5.2 Первая симплексная таблица

Св.П Б.П.	Cj Ci	0	175	110	140	ai0/aip
		ai0	X1	X2	X3
X4	0	6000	1	1	1	6000
X5	0	20 000	(5)	2	5 / 2	4000 <
X6	0	10 000	3 / 2	1 / 2	1	6667
Z		0	-175^	-110	-140

Исходный опорный план запишется следующим образом:

Z₁ = 0 при ₁ (0, 0, 0, 6000, 20 000, 10 000).

Основные переменные в первой симплексной таблице (табл. 5.2) равны нулю, а дополнительные переменные - имеющимся ресурсам, так как они еще не используются, т. е. производство еще не началось. Поэтому и валовая продукция еще не получена и функционал равен нулю.

Коэффициенты при свободных (небазисных) переменных в первой симплексной таблице обычно обозначают затраты производственных ресурсов или выход продукции в расчете на единицу размерности свободной переменной и называются технико-экономическими коэффициентами. Они показывают, какие изменения произойдут в базисе при введении в базис единицы размерности этой свободной переменной. При этом могут встретиться два случая, когда в базис вводятся единицы размерности основной свободной и дополнительной переменных. Существуют определенные правила введения в базис единицы размерности соответствующей переменной.

Правило 1. Если в базис вводится единица размерности основной свободной переменной, то, чтобы найти новые значения базисных переменных, нужно из свободных членов вычесть соответствующие коэффициенты столбца этой переменной с учетом знака.

Правило 2. Если в базис вводится единица размерности дополнительной свободной переменной, то, чтобы найти новые значения базисных переменных, нужно к свободным членам прибавить соответствующие коэффициенты столбца этой переменной с учетом знака.

Представленный в табл. 5.2 исходный опорный план необходимо улучшить. Согласно алгоритму симплексного метода переход к новому плану начинается с выбора разрешающего столбца. При решении на максимум целевой функции это будет столбец с наибольшей по абсолютной величине отрицательной оценкой Z-строки, то есть столбец свободной переменной Х₁.

С экономической точки зрения в первую очередь следует развивать ту отрасль, которая дает наибольшую стоимость валовой продукции. А так как все свободные переменные в первой симплексной таблице являются основными, то согласно Правилу 1 введение в базис единицы размерности соответствующей переменной уменьшит значение целевой функции на величину оценки этой переменной с учетом знака. Вследствие того, что все оценки отрицательны (-175, -110, -140), наибольший прирост даст введение в базис единицы размерности основной свободной переменной Х₁, т. е. развитие производства гречихи.

Однако отрасль Х₁ может быть развита настолько, насколько позволят имеющиеся производственные ресурсы. Если найти симплексные отношения: 6000 : 1 = 6000, 20 000 : 5 = 4000 и 10 000 · 2 : 3 = 6667, то полученные результаты помогут определить, насколько допускает развитие указанной отрасли данный вид производственного ресурса. Наличие земельных ресурсов позволяет выращивать гречиху на 6000 га, ресурсов ручного труда - на 4000 га и ресурсов механизированного труда - на 6667 га. Ресурс ручного труда в данном случае является лимитирующим - это «узкое» место в производстве.

Таким образом, из базиса выводится Х₅ (недоиспользование ручного труда), а место переменной занимает Х₁, так как весь ресурс ручного труда идет на выращивание гречихи.

Построим вторую симплексную табл. 5.3.

Таблица 5.3 Вторая симплексная таблица

Св.П Б.П.	Cj Ci	0	0	110	140	ai0/aip
		ai0	X5	X2	X3
X4	0	2000	-1 / 5	3 / 5	(1 / 2)	4000<
X1	175	4000	1 / 5	2 / 5	1 / 2	8000
X6	0	4000	-3 / 10	-1 / 10	1 / 4	16 000
Z		700 000	35	-40	-105 / 2^

Так как в оценочной строке есть еще отрицательные оценки, оптимальное решение не получено, можем записать только опорное решение: Z₂ = 700 000 при ₂(4000, 0, 0, 2000, 0, 4000).

Коэффициенты бывшей разрешающей строки называются коэффициентами взаимозаменяемости с точки зрения дефицитного ресурса.

В табл. 5.3 коэффициенты взаимозаменяемости находятся во второй строке, т. е. по переменной X₁, и рассматриваются с точки зрения дефицита ресурса ручного труда. Они показывают, что 1 га гречихи эквивалентен с точки зрения дефицита ресурса ручного труда 2/5 га гороха, 1/2 га ячменя.

Бывший разрешающий элемент равен 1/5, т. е. 1 чел.-дн. ручного труда обеспечит возделывание гречихи на 1/5 га площади.

Проанализируем, как получены коэффициенты взаимозаменяемости.

Коэффициент по переменной Х₂: на обработку 1 га гороха требуется 2 чел.-дн. ручного труда. Тогда, используя этот ресурс, можно обработать 2/5 га гречихи (2 · 1/5), так как на обработку 1/5 га гречихи затрачивается 1 чел.-дн.

Коэффициент по переменной Х₃: на обработку 1га ячменя требуется 2,5 чел.-дн. ручного труда. Тогда, используя этот ресурс, можно обработать 1/2 га ячменя (5/2 · 1/5).

Второй опорный план (табл. 5.3) предусматривает, что в хозяйстве гречиха возделывается на 4000 га, при этом ресурс ручного труда используется полностью (Х₅ = 0), недоиспользуются же земельный ресурс в размере 2000 га (Х₄ = 6000 - 4000) и ресурс механизированного труда в размере 4000 чел.-дн. (Х₇ = 10 000 - 4000 · 1,5). Стоимость валовой продукции составила 700 000 руб. (Z = 4000 · 175).

Из сравнения строк целевой функции табл. 5.2 и 5.3 видно, что количество коэффициентов с отрицательным знаком сократилось до двух (в столбах Х₂, Х₃). Следовательно, данное решение еще не оптимально, и целевую функцию можно улучшить за счет ввода в базис переменной Х₃ - посевная площадь ячменя (табл. 5.4).

Коэффициенты столбца Х₃ в табл. 5.3 значительно изменились при сравнении с коэффициентами из табл. 5.2. Далее, если ввести посевную площадь ячменя (Х₃) в базис, то каждый гектар ее увеличит (так как Х₃ - основная переменная и здесь срабатывает правило 1) стоимость валовой продукции не на 140 руб., как предполагалось в исходных данных, а только на 52,5 руб. (105/2). В чем же дело? Все коэффициенты столбца переменной Х₃ (+1/2, +1/2, +1/4) означают, что если в решение ввести 1 га ячменя, то с базисными переменными произойдут следующие изменения: количество недоиспользованной пашни и площадь под гречихой уменьшатся на 1/2 га.

В результате стоимость валовой продукции увеличится на 140 руб., но одновременно сократится на 87,5 руб. (1/2 · 175) из-за сокращения площади гречихи. Общее увеличение стоимости валовой продукции составит 52,5 руб. (140 - 87,5).

Согласно табл. 5.3 недоиспользованная часть ресурса механизированного труда с каждым гектаром ячменя уменьшится на 1/4 чел.-дн., получаемых следующим образом: для обработки 1 га ячменя по первоначальному плану требуется 1 чел.-дн., а для обработки 1/2 га гречихи (3/2 · 1/2) - 3/4 чел.-дн. (1 - 3/4 = 1/4).

Рассмотренные особенности технико-экономических коэффициентов сохраняются на любом этапе решения симплексной таблицы, включая и оптимальное, что позволяет определить как количественное выражение неиспользованных ресурсов, так и степень дефицитности этих ресурсов с помощью двойственных оценок.

Продолжим решение задачи и получим третью симплексную табл. 5.4.

Таблица 5.4 Третья симплексная таблица

Св.П Б.П.	Cj Ci	0	0	110	0
		ai0	X5	X2	X4
X3	140	4000	-2/5	6/5	2
X1	175	2000	2/5	-1/5	-1
X6	0	3000	-1/5	-2/5	-1/2
Z		910 000	14	23	105

В табл. 5.4 получено оптимальное решение, так как в строке целевой функции нет коэффициентов с отрицательным знаком.

Z_опт = 910 000 при Х_опт(2000, 0, 4000, 0, 0, 3000).

Следовательно, при принятых ранее условиях максимальная величина валовой продукции может составить 910 000 руб. Для этого необходимо, чтобы посевная площадь гречихи (X₁) составила 4000 га, ячменя (X₃) - 2000 га. Для принятого критерия оптимальности посев гороха (X₂ = 0) оказался невыгодным и не вошел в оптимальное решение. Из трех ресурсов, имеющихся в хозяйстве, два (земля и ручной труд) оказались дефицитными (X₄ = X₅ = 0), поскольку используются полностью. Однако ресурс механизированного труда оказался в избытке (3000 чел.-дн.).

В строке целевой функции находятся коэффициенты, которые и являются двойственными оценками небазисных переменных.

Коэффициенты при свободных переменных в последней симплексной таблице называются коэффициентами структурных сдвигов, или коэффициентами замещения. Эти коэффициенты показывают, как изменятся значения базисных переменных в оптимальном плане при введении в базис единицы размерности этой свободной переменной.

Пример. Если введем в базис 1 га гороха (X₂), то площадь под ячменем (X₃) уменьшится на 6/5 га, а под гречихой (X₁) увеличится на 1/5 га, недоиспользование механизированного труда увеличится на 2/5 чел.-дн., а стоимость валовой продукции уменьшится на 23 руб. Такое изменение целевой функции вполне объяснимо: возделывание 1 га гороха дает 110 рублей валовой продукции, 6/5 га под ячменем, выведенные из оборота, сократят целевую функцию на 168 руб. (6 · 140 : 5), дополнительно введенные 1/5 га гречихи дадут 35 руб. (1 · 175 : 5).

Тогда в целом стоимость валовой продукции изменится следующим образом: 110 - 168 + 35 = -23 руб. (на столько она уменьшится).

Аналогично можно проанализировать введение в базис дополнительно 1 чел.-дн. ручного труда.

Таким образом, введение небазисных переменных изменяет внутреннюю структуру оптимального решения.

5.2 Двойственные оценки производственных ресурсов и продуктов

Существование двойственных оценок открыл академик Л.В. Канторович и назвал их объективно обусловленными оценками оптимального плана. Он же впервые показал их экономическую сущность и охарактеризовал их основные свойства.

Двойственные оценки позволяют определить степень эффективности производственных ресурсов, вовлекаемых в производственный процесс, но они имеют значение только в условиях функционирования конкретной задачи. Поэтому для определения какого-либо дополнительного эффекта необходимо соизмерять получение этого эффекта с требуемыми дополнительными затратами. Именно с помощью двойственных оценок можно решить проблему целесообразности вовлечения в производство дополнительных ресурсов.

Для получения двойственных оценок решение двойственных задач необязательно - достаточно получить окончательную симплексную таблицу прямой задачи, которая и будет содержать двойственные оценки. В результате решения прямой и двойственной задач количественное значение функционала одинаково.

Чтобы понять сущность двойственных оценок и их свойства, необходимо выяснить связь между прямой и двойственной задачами. Воспользуемся предыдущим примером. Задача заключалась в определении оптимального сочетания площадей трех культур, чтобы получить максимум валовой продукции в денежном выражении.

Прямая задача:	Двойственная задача:
Х1 + Х2 + Х3 6000, 5Х1 + 2Х2 + 2,5Х3 20000, 1,5Х1 + 0,5Х2 + Х3 10000, Xj ? 0, j = 1ч3, Z max = 175Х1 + 110Х2 + 140Х3.	u1 + 5 u2 + 1,5u3 ? 175, u1 + 2 u2 + 0,5u 3 ? 110, u1 + 2,5 u2 + u3 ? 140, u1 ? 0, u 2 ? 0, u 3 ? 0, Wmin = 6000u1 + 20 000u2 + 10 000u3.

В прямой задаче левая часть каждого ограничения - это общая потребность в определенном ресурсе, а правая часть - объем имеющегося ресурса. Целевая функция - максимальная стоимость валовой продукции.

В двойственной задаче двойственные оценки имеют следующее толкование:

u1 - условная оценка 1 га пашни, руб.;

u2 - условная оценка 1 чел.-дн. ручного труда, руб.;

u3 - условная оценка 1 чел.-дн. механизированного труда, руб.;

Левая часть каждого ограничения двойственной задачи определяет суммарную денежную оценку всех производственных ресурсов, затрачиваемых на 1 га:

гречихи - первое ограничение;

гороха - второе ограничение;

ячменя - третье ограничение.

И эта суммарная оценка должна быть не менее той стоимости валовой продукции, которую имеем с 1 га соответствующей культуры.

Целевой функцией двойственной задачи служит суммарная оценка всех производственных ресурсов, выделенных на возделывание трех культур. И эта оценка должна быть минимальной. Из основной теоремы двойственности вытекает, что Z_max = W_min, т. е. минимальная оценка всех производственных ресурсов должна быть равна той стоимости валовой продукции, которую мы можем получить при возделывании этих трех культур.

Таким образом, двойственная задача решается для того, чтобы оценить свои производственные ресурсы. В принципе, мы можем продать эти ресурсы, но по цене, которая должна быть не ниже оценочной. Тогда мы получим такой же доход, что и в случае, если сами использовали бы ресурсы.

По последней симплексной таблице прямой задачи мы можем получить решение двойственной задачи. Составим соответствие переменных, предварительно преобразовав исходную и двойственную задачи.

Прямая задача:	Двойственная задача:
Х1 + Х2 + Х3 + Х4 = 6000, 5Х1 + 2Х2 + 2,5Х3 + Х5 = 20 000, 1,5Х1 + 0,5Х2 + Х3 + Х6 = 10 000, Xj ? 0, j = 1 ч 6, Z max = 175Х1 + 110 Х2 + 140Х3.	-u1 - 5 u2 - 1,5 u3 + u4 = -175, - u1 - 2 u2 - 0,5 u 3 + u5 = -110, - u1 - 2,5 u2 + u3 + u6 = -140, u1? 0, u ? 0, u3? 0, Wmin = 6000u1 + 20 000u2 + 10 000u3.

х₁ х₂ x₃ x₄ x₅ x₆

u₄ u₅ u₆ u₁ u₂ u₃

Таблица 5.5 Последняя симплексная таблица

Св.П Б.П.	Cj Ci	0	0	110	0
		ai0	X5	X2	X4
X3	140	4000	-2/5	6/5	2
X1	175	2000	2/5	-1/5	-1
X6	0	3000	-1/5	-2/5	-1/2
Z		910 000	14	23	105

Согласно соответствию переменных из табл. 5.1 решение запишется следующим образом:

Wmin = 910 тыс. руб. при Uopt(105; 14; 0; 0; 23; 0), т. е.:

· Условная оценка 1 га пашни - u₁ = 105 руб. Увеличение ресурса пашни на 1 га приведет к получению нового оптимального плана, в котором стоимость валовой продукции возрастает на 105 руб. При этом коэффициенты (табл. 5.5) столбца х₄ - коэффициенты структурных сдвигов - показывают, что указанное увеличение целевой функции достигается за счет увеличения посевов ячменя на 2 га, сокращения посевов гречихи на 1 га и уменьшения остатка ресурса третьего вида на 1,5 чел.-дн.

· Условная оценка 1 чел.-дн. ручного труда - u2 = 14 руб.

· Условная оценка 1 чел.-дн. механизированного труда - u3 = 0.

· Условная оценка 1 га посевов гороха - u5 = 23 руб. Введение в производство 1 га неэффективной культуры уменьшит стоимость валовой продукции на 23 руб.

Охарактеризуем свойства двойственных оценок.

1. Мера дефицитности ресурсов (продуктов). Если ограничение исходной задачи выполняется как строгое равенство, то оценка будет ненулевая, если как неравенство типа << или >>, то нулевая. Чем дефицитнее ресурс, тем большую оценку он получает.

Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:

Х₁+ Х₂+ Х₃ = 2000 + 0 + 4000 = 6000,

6000 = 6000;

5Х₁ + 2Х₂ + 2,5Х₃ = 5 · 2000 + 2 · 0 + 2,5 · 4000 = 10 000 + 0 + 10 000 = = 20 000,

20 000 = 20 000;

1,5Х₁ + 0,5Х₂ + Х₃ = 1,5 · 2000 + 0,5 · 0 + 4000 = 3000 + 0 + 4000 = = 7000,

7000 < 10000.

Первое и второе ограничения прямой задачи выполняются как равенства. Это означает, что ресурсы первого и второго видов полностью используются в оптимальном плане, являются дефицитными и их оценки согласно теории двойственности отличны от нуля. Третье ограничение выполняется как строгое неравенство, т. е. ресурс третьего вида израсходован не полностью, остаток его в оптимальном плане х₆ = 3000. Значит, ресурс третьего вида не является дефицитным и оценки в оптимальном плане не имеет (u₃ = 0).

Таким образом, положительную двойственную оценку имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

Использование данного свойства двойственных оценок позволяет вскрыть «узкие места», сдерживающие рост производства, помогает выбрать правильное решение, если предполагается расширение производства и требуется привлечение дополнительных ресурсов.

2. Устойчивость оценок. Двойственные оценки оптимального плана обладают определенной устойчивостью по отношению к изменениям объемов производственных ресурсов, т. е. они не меняют своей величины при изменении объема производственных ресурсов в довольно широких диапазонах изменения (иногда этот интервал изменения бывает достаточно большим). Но оценки очень чувствительны к изменениям величин коэффициентов целевой функции (Сi, Сj). План Хопт, напротив, быстрее реагирует на изменение свободных членов ограничений и является довольно устойчивым к изменению коэффициентов целевой функции. В то же время и план, и оценки обладают определенной устойчивостью по отношению к изменениям технико-экономических коэффициентов (aij).

3. Мера влияния ограничения на функционал. Двойственные оценки имеют ту же единицу измерения, что и функционал.

Ненулевые оценки показывают, как изменится величина функционала при введении в план единицы размерности свободной переменной.

По ресурсам - при увеличении на единицу размерности функционал увеличится на величину оценки. Увеличение рабочего времени на 1 га пашни (Х₄) приведет к получению нового оптимального плана, в котором стоимость валовой продукции возрастет на 105 руб.

По продуктам - при увеличении на единицу размерности функционал уменьшится на величину оценки. Введение в производство 1 га гороха (Х₂) уменьшает стоимость валовой продукции на 23 руб.

Нулевые оценки по ресурсам или продуктам свидетельствуют о том, что изменение объема ограничения на единицу не повлияет на значение функционала, т. к. ресурс в оптимальном плане в избытке или продукт произведен сверх плана. Если увеличить остаток ресурса механизированного труда (Х₆) до 4000 чел.-дн., то функционал не изменится.

4. Мера взаимозаменяемости ресурсов или продуктов (но не абсолютная заменяемость, а относительная, т. е. с точки зрения функционала). Исходя из соотношения оценок отдельных производственных ресурсов, можно производить замену одного ресурса другим, даже если эти ресурсы невзаимозаменяемы с практической точки зрения.

Оценки ручного труда и пашни относятся как 14 : 105 = 1 : 7,5. Это значит, что в границах устойчивости оценок уменьшение ресурса пашни на 1 га можно компенсировать увеличением трудовых ресурсов на 7,5 чел.-дн. или увеличением площади гороха на 4,6 га (105 / 23 = 4,6), и наоборот.

5. Мера рентабельности отдельных способов производства. Те способы, которые вошли в оптимальный план, - рентабельны, и суммарная оценка производственных ресурсов, затраченных по этому способу, будет равна той стоимости валовой продукции, которую от него можем получить. Ограничения двойственной задачи будут выражены как строгие равенства.

Для нерентабельных способов - суммарная оценка производственных ресурсов будет больше той стоимости валовой продукции, которую будет давать этот способ, т. е. соответствующее ограничение двойственной задачи будет выполнено как строгое неравенство.

При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:

u1 + 5 u2 + 1,5u3 = 105 + 5 · 14 + 1,5 · 0 = 175,

175 = 175,

u1 + 2u2 + 0,5u 3 = 105 + 2 · 14 = 133,

133 > 110,

u1 + 2,5u2 + u3 =105 + 2,5 · 14 = 140,

140 = 140.

Первое и третье ограничения двойственной задачи выполняются как равенства. Это означает, что двойственные оценки ресурсов, используемых для производства гречихи и ячменя, равны в точности стоимости валовой продукции, получаемой от этих способов. Поэтому выращивание этих культур экономически целесообразно, о чем свидетельствует оптимальный план прямой задачи.

Второе ограничение двойственной задачи выполняется как строгое неравенство. Это означает, что двойственная оценка ресурсов, используемых для производства гороха, выше той стоимости валовой продукции, которую имеем с 1 га гороха. Следовательно, производство гороха при данных условиях в хозяйстве невыгодно, и в оптимальном плане прямой задачи х₂=0.

Таким образом, двойственные оценки связаны с оптимальным планом прямой задачи. Всякое изменение исходных данных прямой задачи оказывает влияние на ее оптимальный план и на систему двойственных оценок. В свою очередь, двойственные оценки служат инструментом анализа и принятия правильных решений в условиях меняющихся коммерческих ситуаций.

5.3 Корректировка оптимального плана

Часто полученное оптимальное решение задачи по каким-либо причинам не может удовлетворить производство. С помощью коэффициентов замещения можно быстро и точно рассчитать дополнительные варианты плана, не решая всю задачу заново. Однако существуют пределы подобных корректировок. Расчет их связан с основным требованием линейного программирования - требованием неотрицательности переменных величин. Небазисную переменную можно вводить до тех пор, пока соответствующие расчеты не обратят значение базисной переменной в нуль. Но так как коэффициентов при небазисной переменной может быть много, то общие правила определения границ небазисных переменных заключаются в следующем:

Правило 1. Если в план вводится основная переменная, то наибольшее значение, которое она может принять, определяется наименьшим отношением свободных членов к положительным коэффициентам столбца этой переменной.

Правило 2. Если в план вводится дополнительная переменная, то наибольшее значение, которое она может принять, определяется наименьшим отношением свободных членов к отрицательным коэффициентам столбца этой переменной, взятым по абсолютной величине.

Зная эти правила, легко выполнить любой расчет по корректировке оптимальных решений. Воспользуемся оптимальным планом, полученным в табл. 5.5. Рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Требуется найти оптимальный план структуры посевных площадей в предыдущем примере с учетом, что в план должны войти площади под посев гороха в размере 200 га (Х₂ = 200).

В данном случае Х₂ является основной переменной, поэтому действует первое правило, т. е. находим наименьшее отношение свободных членов к положительным коэффициентам столбца этой переменной.

В столбце, соответствующем свободной переменной Х₂, только один положительный коэффициент: 4000 · 5/6 = 10 000/3 = 3333 га. Следовательно, можно делать корректировку в необходимом объеме, т. е. вводить в план 200 га гороха (табл. 5.6).

Таблица 5.6 Оптимальный план сочетания посевов сельскохозяйственных культур при Х₂ = 200

Базисная переменная	Значение базисных переменных	Коэффициенты замещения при Х2	Произведение коэффициентов при Х2 на 200	Расчетный вариант оптимального плана
Х2	0	-1	-200	-(-200) = 200
Х3	4000	6/5	240	4000 - 240 = 3760
Х1	2000	-1/5	-40	2000 - (-40) = 2040
Х6	3000	-2/5	-80	3000 - (-80) = 3080
Z	910 000	23	4600	910 000 - 4600 = 905 400

Таким образом, если засевать горохом 200 га пашни, то площадь под ячменем составит 3760 га, а под гречихой - 2040 га. Земельные ресурсы и ресурсы ручного труда будут использоваться полностью, а недоиспользование механизированного труда увеличится на 80 и составит 3080 чел.-дн. При этом стоимость валовой продукции уменьшится на 4600 руб. и составит 905 400 руб. Уменьшение этого показателя связано с введением в план неэффективной отрасли.

Пример 2. Найти оптимальный план структуры посевных площадей с учетом того, что ресурсы ручного труда могут быть увеличены на 2000 чел.-дн. (Х₅ = 2000).

В данном примере переменная Х₅ является дополнительной, поэтому действует правило 2, т. е. находим отношения коэффициентов столбца свободных членов к отрицательным коэффициентам столбца переменной Х₅ и выбираем из них наименьшее по модулю:

4000 : (-2/5) = | -10000| = 10 000,

3000 : (-1/5) = | -15000| = 15 000.

Так как наименьшее из этих соотношений равно 10 000, то можно произвести корректировку в объеме 2000 чел.-дн. (табл. 5.7).

Таблица 5.7 Оптимальный план сочетания посевов сельскохозяйственных культур при Х₅ = 2000

Базисная переменная	Значение базисных переменных	Коэффициенты замещения при Х5	Произведение коэффициентов при Х5 на 2000	Расчетный вариант оптимального плана
Х5	0	-1	-2000	-2000
Х3	4000	-2/5	-800	4000 + (-800) = 3200
Х1	2000	2/5	800	2000 + 800 = 2800
Х6	3000	-1/5	-400	3000 + (-400) = 2600
Z	910 000	14	28 000	910 000 + 28 000 = 938 000

Таким образом, если будет увеличен ресурс ручного труда на 2000 чел.-дн., посевы ячменя составят 3200 га, гречихи - 2800 га. Земельные ресурсы и ресурсы ручного труда будут использоваться полностью, а недоиспользование механизированного труда уменьшится на 400 и составит 2600 чел.-дн. При этом стоимость валовой продукции увеличится на 28 000 руб. и составит 938 000 руб.

Знак минус при переменной Х₅ показывает, что введение этой переменной в базис будет означать недоиспользование ресурса ручного труда.

Контрольные вопросы

1. Что представляют собой двойственные оценки оптимального плана?

2. Охарактеризуйте коэффициенты замещения в последней симплексной таблице.

3. Как определить максимально возможное значение вводимой небазисной переменной?

4. Как корректируются оптимальные решения с помощью коэффициентов замещения?

Заключение

Методы математического моделирования экономических процессов обеспечивают совершенствование методов планирования и позволяют более эффективно использовать ограниченные экономические ресурсы.

Основное значение и эффективность применения математических методов и ЭВМ в экономических исследованиях и планировании можно кратко свести к следующему.

1. Оптимальное планирование по сравнению с планированием традиционными методами обеспечивает повышение эффективности производства на 10-20% и более.

2. Возможна перестройка всей системы планирования, учета, отчетности и управления народным хозяйством.

3. Экономические науки получают возможность стать точными не только качественно, но и в количественном отношении, они поднимаются на новую, более высокую ступень.

4. Необходимо всемерное углубление и совершенствование экономической теории. Эффективность расчетов, производимых на компьютерах, определяется не только точностью работы машины и особенностями алгоритма, но главным образом точностью исходной информации, ее достоверностью и экономической определенностью. В связи с этим необходимо разрабатывать экономические показатели, характеризующие все стороны производственной деятельности, прогрессивные нормативы производственных затрат, наиболее точные критерии эффективности производства.

В настоящем пособии основной акцент делается на решение задач линейного программирования, так как для практического применения в учебной и научной практике большая часть разработанных оптимизационных моделей сводится именно к таким задачам. Эти модели широко используются студентами при написании курсовых проектов, в частности по курсу организации сельскохозяйственного производства, планирования и прогнозирования, в дипломном проектировании, а также в научных исследованиях.

Терминологический словарь

Агрегирование - объединение, укрупнение показателей по какому-либо признаку. С математической точки зрения это преобразование модели в модель с меньшим числом переменных и ограничений.

Алгоритм - точное описание последовательности выполнения действий при решении задачи.

Анализ - исследование целого изучением составляющих его элементов.

Аренда - имущественный наем, основанный на договоре о предоставлении имущества во временное пользование за определенную плату.

Базис - набор переменных, составляющих допустимое решение задачи. Значения базисных переменных находятся решением системы ограничений задачи.

Бизнес - экономическая деятельность субъекта в условиях рыночной экономики, нацеленная на получение прибыли путем создания и реализации определенной продукции или услуги.

Блочная матрица - матрица, разбитая вертикальными и горизонтальными линиями на «блоки», которые являются, в свою очередь, матрицами меньших размеров и при выполнении тех или иных действий над ней рассматриваются как ее элементы.

Валовая выручка - полная сумма поступлений от реализации товарной продукции, работ, услуг и материальных ценностей.

Вырожденная задача - задача линейного программирования, при решении которой множество базисных решений будет периодически повторяться.

Данные - информация, представленная в формализованном виде, предназначенная для обработки ее техническими средствами или уже обработанная ими.

Двойственные оценки - это оценки продуктов, ресурсов, работ, вытекающие из условий решаемой оптимизационной задачи. Они показывают, насколько изменится значение критерия оптимальности в соответствующей прямой задаче при приращении данного ресурса на единицу.

Дезагрегирование - процесс обратный агрегированию, т. е. разукрупнение.

Динамические экономические модели - модели, описывающие экономические показатели и их взаимосвязь в развитии.

Итерация - последовательное применение математической операции при решении вычислительных задач для постепенного приближения к нужному результату.

Критерий оптимальности - показатель, экстремальное значение которого отыскивается в процессе решения задачи; количественно выражает предельную меру экономического эффекта принимаемого решения.

Линейная модель - модель, отображающая состояние или функционирование системы таким образом, что все взаимозависимости в ней принимаются линейными.

Линейное ограничение - ограничение модели, заданное в форме линейного уравнения или линейного неравенства, в которых неизвестные есть только в первой степени.

Линейное программирование - область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными.

Максимизация - нахождение наибольшего значения целевой функции.

Маржинальный доход - рассчитывается как разность между выручкой от реализации продукции и переменными затратами.

Математическая модель - математическое подобие исследуемого явления, форма выражения основных, наиболее важных свойств и характеристик явления через количественные показатели и их соотношения. Отражает явление лишь приближенно, только в самом существенном.

Матрица - прямоугольная таблица чисел.

Ограничения модели - запись условий, в которых действительны расчеты, использующие эту модель. Обычно представляя собой систему уравнений и неравенств, они в совокупности определяют область допустимых решений.

Оптимизационные модели - модели, представляющие собой системы уравнений, равенств и неравенств, которые включают еще уравнение, называемое функционалом, или критерием оптимальности, или целевой функцией.

Переменные величины - неизвестные, значения которых отыскиваются в процессе решения задачи.

Переменные издержки - затраты, которые меняют свою величину в связи с изменением объема производства и продаж. Если объем уменьшается - переменные издержки снижаются, и наоборот. К переменным издержкам относятся затраты на сырье и материалы, комплектующие, энерго- и топливопотребление основного производства, заработная плата основного производственного и коммерческого персонала, транспортировка и страхование продукции.

Прибыль (в экономико-математическом смысле) - разность между доходами и затратами хозяйственного объекта, исчисленная в оценках оптимального плана.

Себестоимость продукции - выраженные в денежной форме затраты предприятия на производство и реализацию продукции.

Симплексный метод - метод решения задач линейного программирования, сущность которого заключается в последовательном выборе вариантов плана, начиная с базисного, для нахождения оптимального решения.

Экономико-математическая модель - концентрированное выражение общих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме.

...