Економiко-математичнi методи та моделі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Хмельницький нацiональний унiверситет

Економiко-математичнi методи та моделі



1. Побудова багаточинникової регресійної моделі

1.1 Лінійні економетричні моделі з багатьма змінними

В економіці, соціології, біології величина результативного показника складається, як відомо, під впливом не одного, а багатьох різних факторів, кожний із котрих окремо не може зробити значного впливу на результативний показник. В той же час спільний вплив декількох факторів являється вже досить сильним, тобто випадкова величина Y залежить від багатьох інших незалежних змінних або факторів. Тому при дослідженні спільного впливу ряду незалежних показників - факторів X_j на величину досліджуваного результативного показника Y будують моделі множинної кореляції. лінійний регресійна залежність прогнозування

В моделях множинної кореляції залежна змінна Y розглядається як функція не однієї, а декількох ( в загальному випадку m ) незалежних змінних X, а саме

. (8.1)

Як і у випадку парної кореляції, одним із важливих питань моделювання множинної кореляції являється питання про форму зв'язку.

В багатофакторних моделях вибір рівняння зв'язку являє собою складну задачу, оскільки дія різних факторів взаємно переплітається і відсутня можливість графічного контролю.

В даному випадку ще більшого значення набуває якісний аналіз характеру зв'язку кожного із факторів із залежним показником. Якщо цей зв'язок лінійний, або близький до нього, то використовується лінійне рівняння множинної кореляції, котре для m факторів має вигляд:

(8.2).

Рівняння множинної регресії можуть бути виражені у натуральному (звичайному) та стандартизованому(нормованому) масштабі.

Коефіцієнти рівняння регресії у натуральному масштабі визначають методом найменших квадратів шляхом рішення системи нормальних рівнянь:

Щільність зв'язку оцінюється за допомогою коефіцієнта множинної кореляції:

R= , (8.3)

де- теоретичні значення результативного показника, розраховані по рівнянню регресії;

- середнє арифметичне значення результативного показника.

Г. Тiнтер запропонував наступну формулу коефіцієнта множинної кореляції:

(8.4),

s - - коваріації, які розраховуються по формулі:

s = ;

s- середньоквадратичні відхилення результативного показника;

- коефіцієнти регресії.

1.2 Лінійна регресiйна модель з двома незалежними змінними

В найпростішому кількість число незалежних змінних дорівнює двом і зв'язок між ними та залежною змінною лінійний. В цьому випадку виникає задача: найти за даними спостережень вибіркове рівняння зв'язку виду:

, (8.5)

тобто:

знайти коефіцієнти регресії та параметр ;

оцінити тісноту зв'язку між y та обома ознаками і ;

оцінити тісноту зв'язку між та при постійному , та між та при постійному .

Перша задача вирішується за допомогою методу найменших квадратів шляхом розв'язання системи нормальних рівнянь:

. (8.6)

Однак, параметри рівняння регресії можливо визначити через парні коефіцієнти кореляції. При цьому парні лінійні коефіцієнти кореляції визначаються так, як i при парній кореляції, а саме:

=;

=; (8.7)

=;

де ,,, , , - середні арифметичні факторів , та їх парних добутків.

Тіснота зв'язку ознаки з ознаками та оцінюється вибірковим сукупним коефіцієнтом кореляції:

R=. (8.8)

Тіснота зв'язку між Y та X₁ при постійному значенні змінної X₂, а також між Y та X₂ при постійному значенні змінної x₁ оцінюється відповідно частковими вибірковими коефіцієнтами кореляції:

. (8.9)



2. Загальна характеристика соціально-економічного прогнозування

2.1 Поняття та цілі прогнозування

Одним з напрямків економіко-математичного моделювання є прогнозування. Власне, в більшості випадків економіко-математична модель будується саме для того, щоб виявити поведінку об'єкта дослідження у майбутньому, оцінити можливі значення його кількісних характеристик, дослідити вплив зміни зовнішнього середовища.

Під прогнозуванням розуміють процес розроблення прогнозів розвитку певних об'єктів та явищ, що ґрунтується на їх науковому пізнанні і використанні всієї сукупності методів, засобів і можливостей прогностики.

Під прогнозом розуміється науково-обгрунтована думка про можливі стани об'єкту в майбутньому, про альтернативні шляхи і терміни його здійснення.

Методи прогнозування -- це сукупність заходів та способів мислення, що дозволяють на основі аналізу ретроспективних даних, екзогенних та ендогенних зв'язків об'єкта прогнозування, а також їх вимірювань у рамках явища або процесу, що розглядається, зробити висновок з певною ймовірністю відносно майбутнього його розвитку.

Метою прогнозування є створення наукових передумов для прийняття управлінських рішень керівними органами об'єктів господарювання. Цими передумовами є: науковий аналіз; варіантне передбачення; оцінювання можливих наслідків.

Класифікація прогнозів будується за найрізноманітнішими критеріями (ознаками) залежно від мети, завдань, проблем, характеру, періоду упередження, методів тощо. Основним є проблемно-цільовий критерій, відповідно до якого розрізняють два типи прогнозів: пошукові та нормативні. За періодом упередження прогнози поділяються на короткострокові, середньострокові, довгострокові, далекоглядні. За характером об'єкта прогнозування можна виділити пасивні та активні, варіантні та інваріантні. За масштабністю прогнози поділяються на глобальні й локальні, структурні й комплексні, прості й складні. За способом подання інформації прогнози можуть бути точковими та інтервальними.

Методи прогнозування визначаються за класифікаційною ознакою - загальним принципом дії і засобом одержання прогнозованої інформації.

За загальним принципом дії методи прогнозування можна поділити на суб'єктивні (експертні) та формалізовані.

Суб'єктивні прогнози, які ґрунтуються на здогадках, досвіді та інтуїції, не відповідають суворим правилам і спираються зазвичай на неформальні міркування експерта. Суб'єктивні методи використовують тоді, коли неможливо врахувати вплив багатьох чинників через значну складність об'єкта прогнозування або, навпаки, об'єкт прогнозування досить простий. Тоді використовують оцінки експертів. При цьому розрізняють індивідуальні та колективні експертні оцінки.

До групи формалізованих входять методи, що випливають з правил або математичних моделей. Залежно від відображення економічної теорії моделі поділяються на дві підгрупи: некаузальні та каузальні. Некаузальні моделі використовують методи прогнозування одновимірних процесів. Каузальні моделі використовують методи прогнозування багатовимірних процесів.

Особливе місце в класифікації методів економічного прогнозування посідають так звані комбіновані методи, які об'єднують різні методи.

Соціально-економічне прогнозування ґрунтується на ряді принципів. Розглянемо найважливіші з них.

Принцип системності прогнозування означає, що народне господарство розглядається, з одного боку як єдиний об'єкт, а з іншою - як сукупність щодо самостійних об'єктів або напрямів прогнозування. Системний підхід припускає побудову прогнозів на основі системи методів і моделей, певною субординацією, що характеризується, і послідовністю, що дозволяє розробляти узгоджений і несуперечливий прогноз економічного розвитку по кожному об'єкту народного господарства. Проте, в умовах перехідної економіки побудувати цілісну систему моделей соціально-економічного прогнозування, дуже складно. У зв'язку з чим необхідна уніфікація блокових моделей, використовування обчислювальних способів рішення, створення інформаційного банку даних.

Принцип єдності політики і економіки означає, що при розгляді питань розвитку економіки, складанні прогнозів і програм слід виходити з сукупності економічних інтересів всіх суб'єктів господарювання і в той же час по деяких напрямах прогнозування необхідно, в першу чергу, враховувати загальнодержавні питання (стійкість фінансової системи, забезпечення цілісності країни, її обороноздатності і т.д.).

Принцип наукової обґрунтованості означає, що в економічному прогнозуванні всіх рівнів необхідний всебічний облік вимог об'єктивних економічних і інших законів розвитку суспільства, використовування наукового інструментарію, досягнень вітчизняного і зарубіжного досвіду формування прогнозів.

Принцип адекватності (відповідності) прогнозу об'єктивним закономірностям характеризує не тільки процес виявлення, але і оцінку стійких тенденцій і взаємозв'язків в розвитку народного господарства і створення теоретичного аналога реальних економічних процесів з їх повною і точною імітацією.

Принцип варіантності прогнозування пов'язаний з можливістю розвитку народного господарства і його окремих ланок по різних траєкторіях, при різних взаємозв'язках і структурних співвідношеннях. Джерелами виникнення різних варіантів розвитку народного господарства виступають можливі якісні зрушення в умовах відтворення при переході від екстенсивних методів його розширення до інтенсивних, при створенні нових умов господарювання.

Принцип цілеспрямованості припускає активний характер прогнозування, оскільки зміст прогнозу не зводиться тільки до передбачення, а включає і цілі, які належить досягти в економіці шляхом активних дій органів державної влади і управління.

Таким чином, задача економічного прогнозування полягає, з одного боку, в тому, щоб з'ясувати перспективи найближчого або більш віддаленого майбутнього в досліджуваній області, а з другого боку, сприяти оптимізації поточного і перспективного планування і регулювання економіки, спираючись на складений прогноз.

2.2 Методи соціально-економічного прогнозування

Під методами прогнозування слід розуміти сукупність прийомів і способів мислення, що дозволяють на основі ретроспективних даних зовнішніх і внутрішніх зв'язків об'єкту прогнозування, а також їх вимірювань в рамках даного явища або процесу вивести думки визначеного і достовірного щодо майбутнього стану і розвитку об'єкту.

На даний час налічується понад 150 різних методів прогнозування, з яких на практиці використовується 15-20.

В процесі економічного прогнозування використовуються як загальні наукові методи і підходи до дослідження, так і специфічні методи, властиві соціально-економічному прогнозуванню. У числі загальних методів можна виділити наступні:

- історичний метод полягає в розгляді кожного явища у взаємозв'язку його історичних форм;

- комплексний метод полягає в розгляді явищ в їх взаємозалежності, використовуючи для цього методи дослідження не тільки даною, але і інших наук, що вивчають ці явища;

- системний метод припускає дослідження кількісних і якісних закономірностей протікання процесів вірогідності в складних економічних системах;

- структурний метод дозволяє встановити причини досліджуваного явища, пояснити його структуру;

- системно-структурний метод припускає, з одного боку, розгляд системи як цілий, що динамічно розвивається, а з іншою - розчленовування системи на складові структурні елементи і розгляд їх у взаємодії.

Специфічні методи економічного прогнозування цілком і повністю пов'язані з економічною прогностикою. Серед інструментів економічної прогностики важливу роль виконують економіко-математичні методи, методи економіко-математичного моделювання, статистичної екстраполяції і ін.

Важливе значення для прогнозування має питання про його об'єктивну істинність, під якою розуміється відповідність форм і параметрів передбачення об'єктивним можливостям і тенденціям, які будуть реалізовані в майбутньому і в той же час є в справжньому у вигляді паростків цього майбутнього. Питання про істинність прогнозування тісно пов'язане з проблемою критеріїв істинності, які діляться на дві групи: практичні критерії (практика, як критерій істини на всіх стадіях прогнозування) і логічні або непрямі критерії (перевірка прогнозів на адекватність, логічну несуперечність, значущість тощо).

У літературі є велика кількість класифікаційних схем методів прогнозування. Основною проблемою існуючих класифікаційних схем є порушення принципів класифікації. До числа основних таких принципів, на наш погляд, відносяться: достатня повнота охоплення прогностичних методів, єдність класифікаційної ознаки на кожному рівні угруповання (при багаторівневій класифікації), непересіченість розділів класифікації, відкритість класифікаційної схеми (можливість доповнення новими методами).

На рисунку 9.1 зображена трирівнева класифікація методів прогнозування. Вона представляє сингулярні методи прогнозування і не претендує на універсальність. Слово "сингулярний" тут уживається як окремий (одиночний, простий) метод прогнозування на відміну від комплексного підходу.

Кожний рівень деталізації визначається своєю класифікаційною ознакою:

- ступенем формалізації,

- загальним принципом дії,

- способом одержання прогнозної інформації.

За ступенем формалізації всі методи прогнозування поділяються на інтуїтивні і формалізовані. Інтуїтивне прогнозування застосовується тоді, коли об'єкт прогнозування або занадто простий або настільки складний, що аналітично врахувати вплив багатьох факторів практично неможливо. У цих випадках застосовують опитування експертів. Отримані індивідуальні і колективні експертні оцінки використовують як кінцеві прогнози або в ролі вихідних даних у комплексних системах прогнозування.

Рисунок 9.1- Класифікація методів прогнозування

У залежності від загальних принципів дії інтуїтивні методи прогнозування можна розділити на дві групи: індивідуальні експертні оцінки і колективні експертні оцінки.

Методи колективних експертних оцінок вже можна віднести до комплексних систем прогнозування (звичайно неповним) оскільки в останніх використовуються методи індивідуальних експертних оцінок і статистичні методи обробки цих оцінок. Але тому що статистичні методи застосовуються в допоміжних процедурах вироблення прогнозної інформації, на наш погляд, колективні експертні оцінки доцільніше віднести до сингулярних методів прогнозування.

У групу індивідуальних експертних оцінок можна включити (принцип класифікації - спосіб одержання прогнозної інформації) наступні методи: метод ідей, «інтерв'ю», аналітичні експертні оцінки, написання сценарію. У групу колективних експертних оцінок входять анкетування, методи «комісій», «мозкових атак, метод аналізу ієрархій.

Клас формалізованих методів у залежності від загальних принципів дії можна розділити на групи екстраполяційних методів, і різних методів математичного моделювання.

У групу методів прогнозної екстраполяції можна включити методи найменших квадратів, ковзкої середньої, експонентного згладжування і адаптивного згладжування.

Екстраполяція в тій або іншій формі широко використовується керуючими фірм, економістами, дослідниками ринку й усіма, хто займається прогнозуванням. Як метод прогнозування екстраполяція може включати різні процедури - починаючи від підкидання монети і закінчуючи проектуванням трендів і іншими більш складними математичними операціями. Типовим для екстраполяційних методів є те, що вони споконвічно є механічними і тісно не пов'язані з економічною теорією. Проте, вони широко використовуються професійними економістами, що займаються складанням прогнозів, імовірно, тому, що зручні й у розумних межах задовольняють вимогам менеджменту.

При формуванні прогнозів за допомогою екстраполяції звичайно виходять із тенденцій зміни тих або інших кількісних характеристик об'єкту, що статистично складаються. Екстраполюються оцінні функціональні системні і структурні характеристики. Екстраполяційні методи є одним з найпоширеніших і найбільш досконалих серед усієї сукупності методів прогнозування.

За допомогою цих методів екстраполюються кількісні параметри великих систем, кількісні характеристики економічного, наукового, виробничого потенціалу, дані про результативність науково-технічного прогресу, характеристики співвідношення окремих підсистем, блоків, елементів у системі показників складних систем тощо.

Однак ступінь реальності такого роду прогнозів і відповідно міра довіри до них значною мірою обумовлюються аргументованістю вибору границь екстраполяції і стабільністю відповідності «вимірників» стосовно сутності явища, що розглядається. Варто звернути увагу на те, що складні об'єкти, як правило, не можуть бути охарактеризовані одним параметром.

В екстраполяційних прогнозах особливо важливим є не стільки визначення конкретних значень досліджуваного об'єкта або параметра у майбутньому, скільки своєчасне фіксування об'єктивно намічених зрушень, які лежать у зародку назріваючих тенденцій.

2.3 Типологія прогнозів

Типологія прогнозів будується залежно від різних критеріїв і ознак. У їх числі можна виділити наступні:

а) масштаб прогнозування;

б) час попередження або часовий горизонт прогнозу;

в) характер об'єкту;

г) функціональна ознака;

д) ступінь детермінованої (визначеності) об'єктів прогнозування;

е) характер розвитку об'єктів прогнозування в часі;

ж)ступінь інформаційної забезпеченості об'єктів прогнозування.

За масштабом прогнозування виділяють:

- макроекономічний прогноз;

- структурний (міжгалузевий і міжрегіональний) прогноз;

- прогнози розвитку народногосподарських комплексів (енергетичного, інвестиційного, аграрно-промислового і ін.);

- прогнози галузеві і регіональні;

- прогнози розвитку окремих підприємств, АТ, а також окремих виробництв і продуктів.

За часом попередження або часовим горизонтом всі прогнози підрозділяються на:

- оперативні (до 1 місяця);

- короткострокові (від 1 місяця до 1 року);

- середньострокові (від 1 року до 5 років);

- довгострокові (від 5 років до 15-20 років);

- понадстрокові (понад 20 роки).

Часовий горизонт прогнозу можна визначити як відрізок часу, в рамках якої зміни об'єму прогнозованого об'єкту представляються сумірними з його початковою величиною, і як період, протягом якого на об'єкт прогнозування роблять вплив рішення, вживані сьогодні, тобто у момент розробки прогнозу.

Стосовно комплексних національних економічних прогнозів прийнята наступна класифікація: короткострокові прогнози до 2-3 років, середньострокові до 5-7 років, довгострокові до 15-20 років. Кожний з вказаних видів прогнозів спирається на ті стійкі цикли і процеси в розвитку економіки, тривалість яких укладається у відповідний часовий горизонт.

Прогнози, що розробляються, спираються на певні заділи: короткострокові - на наявні види продукції і фінансові ресурси; середньострокові - на накопичений інвестиційний потенціал; довгострокові - на ті або інші напрями НТП і нові технології.

За характером досліджуваних об'єктів розрізняють наступні прогнози:

- розвитку виробничих відносин;

- розвитку НТП і його наслідків;

- динаміки народного господарства;

- відтворення основних фондів і капітальних вкладень;

- економічного використовування природних ресурсів;

- відтворення населення і трудових ресурсів;

- рівня життя населення;

- зовнішніх економічних зв'язків і ін.

За функціональною ознакою прогнози підрозділяються на два типи:

- пошуковий прогноз, який заснований на умовному продовженні в майбутнє тенденції розвитку досліджуваного об'єкту в минулому і справжньому, і відверненні від умов, здатних змінити ці тенденції;

- нормативний прогноз, який є визначенням шляхів і термінів досягнення можливих станів об'єкту прогнозування, що приймаються як мети.

За ступенем детермінованості можна виділити наступні об'єкти прогнозування:

- детерміновані (визначені або передбачені), опис яких може бути представлене в детермінованій формі без істотних для задачі прогнозування втрат інформації;

- стохастичні (вірогідність), при аналізі і прогнозуванні яких облік випадкових складових необхідний для задоволення вимог точності і достовірності прогнозу;

- змішані, опис яких можливо частковий в детермінованому, частковий в стохастичному вигляді.

За характером розвитку в часі об'єкти прогнозування можна підрозділити на:

- дискретні (переривчасті) об'єкти, регулярна складова (тренд) яких змінюється скачками у фіксовані моменти часу;

- аперіодичні об'єкти, що мають опис регулярної складової у вигляді безперервної функції часу;

- циклічні об'єкти, що мають регулярну складову у вигляді періодичної функції часу.

За ступенем інформаційної забезпеченості об'єкти прогнозування можна підрозділити на:

- об'єкти з повним забезпеченням кількісною інформацією, для яких є в наявності ретроспективна кількісна інформація в об'ємі достатньому для реалізації методу екстраполяції, або статистичного методу;

- об'єкти з неповним забезпеченням кількісною інформацією;

- об'єкти з наявністю якісною ретроспективною інформацією;

об'єкти з повною відсутністю ретроспективної інформації (як правило, це проектовані і будуються об'єкти).



3. Екстраполяційні методи прогнозування тенденції динамічного ряду

3.1 Прості екстраполяційні методи прогнозування

Головними функціями прогнозування є: науковий аналіз процесів і тенденцій; дослідження об'єктивних зв'язків явищ в економіці; оцінка об'єкта прогнозування; виявлення альтернатив розвитку економіки.

Етапи робіт у певній послідовності, яка в кожному конкретному прогнозі може змінюватися, має три основні стадії: ретроспекцію, діагноз і проспекцію.

На стадії ретроспекції розв'язуються такі завдання: формування опису об'єкта прогнозу в минулому; остаточне формулювання та уточнення завдання прогнозування. До цієї стадії відносять, як правило, такі роботи:

1) передпрогнозний аналіз об'єкта;

2) визначення та оцінювання джерел інформації, порядок та організація роботи з ними; остаточне формулювання постановки завдання;

3) збирання та аналіз ретроспективної інформації і формування бази даних для проведення практичних розрахунків.

На стадії діагнозу розв'язуються такі завдання: розроблення моделі об'єкта прогнозу; вибір методу прогнозування. На цій стадії виокремлюють чотири основні етапи дослідження:

1) створення формалізованого опису об'єкта -- математична модель;

2) визначення поточних значень характеристик об'єкта на основі джерел інформації, перевірка ступеня адекватності моделі об'єкта прогнозу;

3) вибір методу прогнозування, адекватного класифікації об'єкта, характеру його розвитку і завдання прогнозу;

4) вибір комп'ютерних програм забезпечення процесу прогнозування.

Стадія проспекції передбачає на основі всіх попередніх етапів одержання результатів прогнозу. Основні її кроки:

1) проведення розрахунку прогнозованих параметрів на заданому періоді упередження;

2) узгодження та синтез окремих прогнозів відповідно до прийнятих правил;

3) здійснення верифікації прогнозу і з'ясування ступеня його точності.

Для вивчення просторових даних використовують технологію їх агрегування з побудовою інтервального ряду. Характеристиками інтервального ряду є: середнє значення, дисперсія, середньоквадратичне відхилення, коефіцієнти асиметрії і ексцесу, мода та медіана. Їх зміст і призначення збігаються з варіаційними характеристиками, а формули розрахунку містять компоненту, яка враховує частоту попадання спостережень в інтервали.

Абсолютна більшість методів прогнозування з використанням часових рядів ґрунтується на ідеї екстраполяції, тобто перенесенні на майбутнє тенденції в зміні досліджуваного показника, яка спостерігалася в минулому до усього часу включно.

Під тенденцією розуміють деякий загальний характер змін досліджуваного показника, обумовлений внутрішніми взаємозв'язками факторів, які впливають на перебіг процесу. Тенденцію зміни показника в кількісному вимірі в координатах «час - досліджуваний показник» зображують плавною лінією (траєкторією).

Однією з причин широкого використання (при прогнозуванні) методів екстраполяції тенденції зміни часових рівнів є відсутність іншої інформації, окрім дискретних значень досліджуваного показника.

При такому підході до прогнозування прагнемо врахувати лише постійнодіючі фактори, які обумовлюють перебіг процесу, а впливом множини випадкових факторів, складно оцінюваних і малозначущих у кількісному відношенні, нехтуємо.

Тому використання різних методів екстраполяції ґрунтується на таких припущеннях:

а) тенденція зміни в часі кількісної міри досліджуваного показника може бути представлена певною аналітичної формулою, а у вибраних координатах -плавною траєкторією-трендом;

б) умови, які визначали тенденцію зміни в минулому, несуттєво змінюються в недалекому майбутньому.

При дослідженні часових рядів економічних процесів визначальними є пошук і статистична оцінка тенденції перебігу процесу та можливих відхилень.

Існує досить велика кількість різноманітних методів, які дозволяють оцінити очікувані значення динамічного ряду у наступні періоди часу. Найбільш поширеними є методи прогнозної екстраполяції, які базуються на аналітичних залежностях показників динаміки часового ряду. Ці методи часто називаються простими, оскільки не вимагають складних розрахунків.

Одним із найпростіших методів є метод прогнозування на основі значення середнього приросту рівнів динамічного ряду.. Позначимо рівні динамічного ряду через Y₁, Y₂,…, Y_n, де n - кількість рівнів. Тоді середній приріст розрахуємо за формулою

. (9.1)

Прогноз на наступний період часу обчислюється за наступною формулою:

. (9.2)

Для даного методу притаманні наступні позитивні риси:

- простота розрахунку прогнозного значення;

- можливість застосування за малої кількості рівнів динамічного ряду.

Разом з тим, цьому методу притаманні і певні недоліки, серед яких виділимо наступні:

- для розрахунку прогнозу використовуються лише крайні рівні динамічного ряду, середні значення не враховуються. Отже, фактично ігнорується тенденція в зміні значень показника;

- даний метод доцільно використовувати в тих випадках, коли прирости рівнів ряду є приблизно однаковими.

Ще одним методом, який також відносять до простих методів, є метод прогнозування на основі середнього темпу росту.

Середній темп росту можна отримати як геометричну середню з ряду ланцюгових темпів росту. Ланцюговий темп росту характеризує відношення по точного рівня динамічного ряду до попереднього рівня і виражається у відсотках. Допускається розрахунок цього показника у частках від одиниці. Тоді його називають коефіцієнтом росту. Далі нами буде застосовувати тільки термін «темп росту» незалежно від того, яким чином це відношення представлено: в частках одиниці або у відсотках, оскільки це несуттєвпроведення о для розрахунків.

Середній темп росту розраховується я за формулою

. (9.3)

Тоді прогнозне значення на наступний період часу обчислюється за наступною формулою

. (9.4)

До недоліків середнього темпу як узагальнюючого показника, розрахованого у вигляді (9.3), варто віднести ті ж риси, що і в попередньому випадку:

1) середній темп цілком визначається двома крайніми рівнями ряду, при цьому вибір періоду для розрахунку середнього темпу істотно визначає його значення. Зрушення періоду навіть на один крок може привести до значної зміни величини темпу росту;

2) застосування середнього темпу росту припускає, що відношення двох сусідніх рівнів ряду є приблизно однаковими величинами. Отже, траєкторія зміни рівнів ряду наближається до експонентної кривої, тобто процес в загалі наближається до геометричної прогресії. Якщо це не так і ряду властива інша закономірність розвитку, то опис динаміки за допомогою середнього темпу буде мати дуже умовний характер;

3) середній темп не враховує характер динаміки досліджуваного періоду, оскільки не бере до уваги проміжні члени ряду, звідси губиться важлива для аналізу інформація.

Саме ці опущення при розрахунку середнього темпу члени визначають форму тенденції розвитку. Звідси випливає, що чим більш тривалим є період, для якого обчислюється середній темп, тим більше втрачається інформації, що міститься в рівнях ряду. Тому тим менше цей показник відіграє роль узагальнюючої ознаки. Очевидно, що точність його визначення не збільшується при збільшенні числа спостережень, тобто збільшення довжини ряду. Зі сказаного вище випливає, що середній темп як узагальнюючий показник динаміки має досить обмежену цінність, особливо при його використанні для розрахунків на перспективу.

Приклад 9.1. Відомі значення показника обсягу наданих послуг деяким підприємством за 5 років: з 2007 по 2011 рік. Розрахувати за допомогою аналітичних залежностей показників динаміки часового ряду прогнозні значення на 2012 рік.

Розв'язок.

Вихідні дані та результати розрахунків наведені в таблицях 9.1 та 9.2.



Таблиця 9.1 - Результати прогнозування показника обсягу наданих послуг за методом середнього приросту

Вихідні значення показника, тис. грн	Середній приріст, тис. грн	Прогноз на 2012р, тис. грн
2007 р.	2008 р.	2009 р.	2010 р.	2011 р.
34859,1	44824,3	52724,7	68376,0	83475,0	12154,0	95629,0

Таблиця 9.2 - Результати прогнозування показника обсягу наданих послуг за методом середнього темпу росту

Вихідні значення показника, тис. грн	Середній темп росту, тис. грн	Прогноз на 2012р, тис. грн
2007 р.	2008 р.	2009 р.	2010 р.	2011 р.
34859,1	44824,3	52724,7	68376,0	83475,0	1,24	103840,4

Аналіз отриманих результатів показує, що за першим методом нами отримане менше значення прогнозу, ніж за методом середнього темпу росту. Відобразимо вихідні дані та обчислені нами прогнозні значення на графіку (рисунок 9.2).

Рисунок 9.2 - Графік вихідних даних та прогнозу, обчисленого за простими методами

Аналіз графіка дозволяє зробити висновок, що з урахуванням загальної тенденції в зміні показника за останніх 5 років більш точним є перший прогноз, оскільки він краще вписується в тенденцію зміни рівнів показника. Однак якщо обмежитись лише динамікою зміни трьох останніх рівнів ряду, то більш точним є другий прогноз.

3.2 Прогнозування на основі трендових моделей

Сутність даного методу полягає в тому, що для значень досліджуваного динамічного ряду визначається лінія тренду, яка відображає основну тенденцію зміни значень рівнів ряду. Зазвичай трендова залежність описується деякою функцією, параметром (незалежною змінною) якої є час. При цьому припускається, що дія чинників, які впливають на зміну досліджуваного показника, не зміниться у наступні періоди часу ні за напрямком, ні за силою. Лінії, що відповідають трендовим залежностям, мають ще назву кривих зростання.

У загальному випадку часовий ряд економічного показника можна розкласти на чотири структурно утворюючі елементи:

- тренд (f_t), який віддзеркалює вплив причинно-наслідкових закономірностей, властивих досліджуваному процесу і обумовлених довгодіючими факторами його природи (наприклад, збільшення чисельності населення, вплив науково-технічного прогресу і т. ін.);

- сезонну компоненту (s_t), обумовлену можливими повтореннями впливу деяких тимчасових факторів протягом відносно короткого терміну -місяця, тижня, певного дня тижня (наприклад, сезонний попит на товари, сезонна інтенсивність експлуатації певної техніки і т. ін.);;

- циклічну компоненту (с_t), з використанням якої прагнуть врахувати можливі періодично повторювані умови змін в перебігу досліджуваного процесу ;

- випадкову компоненту (е_t), за допомогою якої враховують вплив випадкових, непередбачуваних факторів.

Тренд, сезонна і циклічна компоненти не є випадковими і називаються систематичними компонентами часового ряду. Складова частина часового ряду, що залишається після вилучення з нього систематичних компонент, являє собою випадкову компоненту (залишки, помилки) е_t. Оскільки випадкові відхилення неминуче супроводжують будь-яке макроекономічне явище, випадкова компонента є обов'язковою складовою часового ряду і визначає стохастичний характер його елементів у_t. Якщо побудована «якісна» модель прогнозування, то е_t є близькою до нуля, випадковою, незалежною, нормально розподіленою компонентою, інакше модель вважається поганою.

Через неможливість або істотні труднощі в одночасному дослідженні всіх чотирьох компонент перебігу процесу в часі виділяють дві складові: невипадкову (закономірну) та випадкову. Невипадкова складова процесу об'єднує три раніше названі компоненти: тренд, сезонну та циклічну, але в літературі часто за цією складовою залишають назву «тренд». Такого тлумачення тренда і будемо дотримуватися надалі. Тренд в певному розумінні характеризує природну закономірність зміни досліджуваного показника в часі, звільнену в основному від впливу випадкових факторів. Для практичного використання поняття тренда доцільно й досить ефективно прийняти його як певну детерміновану складову динаміки розвитку процесу, яка визначається постійнодіючими факторами та взаємозв'язками між ними, що обумовлює перебіг процесу. Необхідно наголосити, що форма аналітичного представлення тренда для одного й того ж часового ряду може бути різною, але кількісні значення показника для одних і тих же точок спостереження мають бути близькими (відносні відхилення значень менші одиниці).

Аналіз динаміки часового ряду містить такі послідовні завдання:

1) коригування рівнів динамічного ряду, якщо цього вимагають умови порівняльності;

2) визначення систематичних компонент динамічного ряду (функції f_t, s_t, c_t), які присутні у його розкладенні;

3) розрахунок оцінок тих функцій, які входять у розкладення часового ряду;

4) підбір моделі, яка адекватно описує поведінку випадкової компоненти е_t, і статистичне оцінювання параметрів цієї моделі.

Цей процес прийнято називати ідентифікацією моделі.

Можна записати кілька окремих моделей динамічного ряду, наприклад:

- модель тренду y_t = f_t + е_t;

- модель сезонності y_t = s_t + е_t.

Моделі тренду і сезонності (тренд-сезонні) здатні відображати як відносно постійну сезонну хвилю, так і динамічно змінювану залежно від тренду. Перша форма належить до класу адитивних (y_t = f_t + s_t + е_t), друга -- до класу мультиплікативних (y_t == f_t •s_t·е_t) моделей.

Послідовні значення рівнів часового ряду, які залежать один від одного, утворюють авторегресійні процеси. Одним із способів вимірювання зв'язку між поточними та минулими значеннями рівнів ряду є розрахунок коефіцієнтів автокореляції.

Пошук потрібної моделі ведеться в межах двох класів часових рядів: стаціонарних і нестаціонарних. Перевірка стаціонарності та оцінювання наявності тренду в дослідженні часового ряду (ідентифікація тренду) здійснюються за допомогою кількох способів. Стаціонарні ряди не мають тренду або періодичної зміни середнього та дисперсії.

Поширеними методами виявлення тренду є перевірка різниць середніх рівнів і метод Форстера--Стьюарта.

Реалізація методу перевірки різниць середніх рівнів складається з чотирьох наступних кроків.

Крок перший. Вихідний часовий ряд y₁, y₂, y₃, …, y_n розділяється на дві приблизно однакові за кількістю рівнів частини: у першій частині n₁ перших рівнів вихідного ряду, у другій - решта n₂ рівнів (n₁ + n₂ =n).

Крок другий. Для кожної з цих частин розраховуються середні значення і дисперсії:

, (9.5)

, (9.6)

, (9.7)

. (9.8)

Крок третій. Перевірка однаковості (однорідності) дисперсій обох частин ряду за допомогою F-критерію Фішера, що порівнює розрахункове значення цього критерію

, (9.9)

з табличним (критичним) значенням критерію Фішера F_б із заданим рівнем значущості (рівнем помилки) б.

Якщо розрахункове значення F менше за табличне F_б, то гіпотеза про рівність дисперсій приймається і слід перейти до четвертого кроку. Якщо F більше або дорівнює F_б, гіпотеза про рівність дисперсій відхиляється і робиться висновок, що даний метод не дає відповіді про наявність тренду.

На четвертому кроці перевіряється гіпотеза про відсутність тренду за допомогою t-критерію Стьюдента. Для цього визначається розрахункове значення критерію Стьюдента за формулою:

, (9.10)



де у -- середньоквадратичне відхилення різниць середніх:

. (9.11)

Якщо розрахункове значення t_Е менше за табличне t_б, то нульова гіпотеза не відхиляється, тобто тренд відсутній, інакше тренд є. Зазначимо, що в даному разі табличне значення t_б береться для числа ступенів свободи, яке дорівнює n₁+n₂- 2, при цьому даний метод застосовується тільки для рядів з монотонною тенденцією. Недолік методу полягає у неможливості правильно визначити існування тренду у випадку, коли часовий ряд містить точку зміни тенденції в середині ряду.

Метод Форстера--Стьюарта має більші можливості і дає більш надійні результати, ніж попередній. Крім тренду самого ряду (тренду в середньому), він дозволяє встановити існування тренду дисперсії часового ряду: якщо тренду дисперсії немає, то розкид рівнів ряду постійний; якщо дисперсія збільшується, то ряд «розхитується», тощо. Реалізація методу також складає чотири кроки.

Крок перший. Порівнюється кожний рівень вихідного часового ряду, починаючи із другого рівня, з усіма попередніми, при цьому визначаються дві числові послідовності:

, (9.12)

, (9.13)

де t = 2, 3, …, n.

Крок другий. Розраховуються величини s і d:



; (9.14)

. (9.15)

Неважко помітити, що величина s, яка характеризує зміну часового ряду, набуває значення від 0 (усі рівні ряду однакові) до n-1 (ряд монотонний). Величина d характеризує зміну дисперсії рівнів часового ряду і змінюється від -(n-1) (ряд поступово спадає) до n-1 (ряд поступово зростає).

Крок третій. Перевіряється гіпотеза про те, чи можна вважати випадковими:

1) відхилення величини s від м -- математичного сподівання величини s для ряду, в якому рівні розташовані випадково;

2) відхилення величини d від нуля.

Ця перевірка проводиться з використанням розрахункових значень t-критерію Стьюдента для середньої і для дисперсії:

, (9.16)

, (9.17)

, (9.18)

, (9.19)

де м -- математичне сподівання величини s, визначеної для ряду, в якому рівні розташовані випадково; у₁ -- середньоквадратичне відхилення для величини s; у₂ -- середньоквадратичне відхилення для величини d.

Крок четвертий. Розрахункові значення t_s i t_dпорівнюються з табличним значенням t-критерію Стьюдента із заданим рівнем значущості t_б . Якщо розрахункове значення t менше за табличне t_б , то гіпотеза про відсутність відповідного тренду приймається, у протилежному випадку -- тренд існує. Наприклад, якщо t_sбільше табличного значення t_б, a t_d менше t_б, то для заданого часового ряду існує тренд у середньому, а тренду дисперсії рівнів ряду немає.

Для аналізу тенденції на основі динамічних рядів і побудови прогнозу з врахуванням закономірностей, які мають місце у їх передісторії, широко застосовується залежність, яка має назву рівняння тренда:

(9.20)

де - детермінована (невипадкова) компонента досліджуваного процесу (явища);

- стохастична випадкова компонента цього процесу.

Якщо у функціональній залежності для кожного значення аргументу є лише одне значення функції, то для стохастичної закономірності одному значенню аргументу може відповідати як одне, так і декілька значень результуючого показника. Тому у стохастичних залежностях зв'язки не є жорстко детермінованими і виявляються не в кожному окремому випадку, а лише в середньому. Це пов'язано з тим, що в стохастичних залежностях, в наслідок певних причин не можуть бути враховані всі аргументи, що впливають на результуючий показник. Тому рівняння, яке ґрунтується на стохастичних залежностях, складається з двох частин: детермінованої, яка формується під впливом врахованих, відомих факторів, і випадкової, яка відображає вплив випадкових, неврахованих факторів.

Аналітичне вирівнювання тренда є досить поширеним методом економічного прогнозування. Однак екстраполяція тренда може бути застосована лише у тому випадку, коли розвиток явища достатньо добре описується побудованим рівнянням, а умови, що визначають тенденцію розвитку у минулому, не підлягають істотним змінам у майбутньому. За цих умов екстраполяція здійснюється підстановкою у рівнянні (9.20) значення незалежної змінної t_n+p, яка відповідає величині горизонту прогнозування:

(9.21)

де p - величина періоду, на який розраховується прогноз.

Для аналітичного вираження трендової залежності може бути використана досить велика кількість різноманітних залежностей. Перелік деяких з них представлений в таблиці 9.3. Параметри рівняння визначаються за допомогою методу найменших квадратів.

Відзначимо, що найбільш поширеними є перших шість моделей. Останніх три залежності є досить складними з точки зору аналітичного оцінювання параметрів моделі, тому для цього застосовують різні види перетворень та спрощення.

Таблиця 9.3 - Найбільш типові трендові моделі

Назва залежності	Функціональний вигляд залежності
Лінійна
Квадратична
Поліноміальна
Степенева
Показникова
Гіперболічна
Експоненціальна
Експоненціально-степенева
Логістична
Гомперца

Параметри рівняння визначаються за допомогою методу найменших квадратів

Головна проблема, яка виникає при реалізації системи нормальних рівнянь, це приведення, де це можливо, рівнянь до лінійного виду, а в деяких випадках, наприклад, для логістичної кривої і кривої Гомперца застосовують різні види перетворень, спрощення.

Окремо слід сказати про використання поліноміальних залежностей. Вони зазвичає мають досить високу точність екстраполяції, однак розрахований за ними прогноз часто є сильно завищений або заниженим. Тому такі моделі доцільно використовувати не для перспективного прогнозування, а для ретроспективного, наприклад, щоб оцінити пропущене значення всередині динамічного ряду.

Вибір типу трендової залежності передбачає вирішення два завдань. Перше з них полягає у тому, чи адекватно залежність відповідає досліджуваним процесам. Стосовно часового тренда це означає, наскільки вона відображає закономірність тенденції, що має місце. Друге завдання полягає у відповідності отриманого результату певним статистичним критеріям.

Вирішення поставлених завдань дозволяють отримати відповідь, наскільки логічно і статистично відібране рівняння відповідає процесам і явищам, що досліджуються.

Під логічною адекватністю розуміють здатність рівняння найбільш точно відображати природу явищ, що досліджуються.

Статистична адекватність означає відповідність рівняння окремим критеріям, які виражаються системою статистичних характеристик. Вони основані на розрахунку середніх значень відхилень теоретичних, отриманих за моделлю, значень показника, від емпіричних значень.

За умов наявності невеликої кількості вихідних даних вибір найбільш придатної трендової залежності здійснюється на основі аналізу коефіцієнта детермінації R². Він показує частку мінливості досліджуваного показника, яка пояснюється побудованою трендовою моделлю. Чим ближчим до одиниці є його значення, тим кращою є модель.

Розглянемо ще деякі оцінки точності короткострокового прогнозу. Як правило, для оцінки якості вибраної моделі прогнозу використовують дані за вже минулі моменти спостереження показника, тобто, якість вибраної моделі прогнозування перевіряють за вихідними даними. Точність моделі прогнозу оцінюють величиною середньоквадратичного відхилення у даних спостереження від величин, обчислених згідно з моделлю для відповідних моментів часу в минулому. Якщо вихідні рівні динамічного ряду позначити через y_i , а прогнозовані за моделлю значення для тих же моментів часу через f_i, то середньоквадратичне відхилення обчислюється за формулою

, (9.22)

Іноді за міру точності прогнозу обирають середнє абсолютне відхилення MAD, яке обчислюють як експоненціальну зважену середню абсолютних помилок прогнозу e_i:

, (9.23)

(9.24)

Величина б обирається довільно з інтервалу (0; 1).Доведено, що оцінка MAD дещо менша за величину у, а тому є кращою.

Часто для оцінки точності прогнозу використовують так звану середню похибку прогнозу MAPE, яка розраховується за формулою

, (9.25)

та середню відсоткову похибку прогнозу MAPE_p

. (9.26)

Якщо оцінка, розрахована за формулою (9.26), перевищує 5%, доцільно переглянути модель прогнозування.

При порівнянні точності прогнозу в процесах різної природи використовують MAPE_p , оскільки вона характеризує відносну точність прогнозу.

При виборі оптимальної моделі прогнозування серед кількох пропонованих використовується також середнього квадрата похибки Д_S

. (9.27)

Доцільність використання певної моделі оцінки похибок прогнозу залежить від конкретної задачі.

До вибору вигляду трендової залежності є різні підходи. Наприклад, це можна зробити шляхом аналізу зв'язків методом послідовних різниць. Для цього, розраховуються перші, другі тощо різниці рівнів ряду, тобто:

(9.28)

Далі на їх основі розраховуються середні прирости шляхом згладжування ряду плинною середньою, а за значенням останніх величин оцінюється характер змін показників у часі.

Вибір типу залежності можна здійснити візуально, виходячи з вигляду зображення динамічного ряду на графіку. Таким чином можна побачити, чи є досліджуваний показник монотонно зростаючим, монотонно спадаючим, чи має графік точку перегину, чи має він циклічний характер, чи спостерігається процес насичення тощо.

Отже, з урахування сутності процесу і тенденції зміни рівнів динамічного ряду, на першому етапі встановлюється клас трендових залежностей. Такий візуальний підхід є прийнятим і достатньо надійним. Однак різні дослідники можуть дати перевагу тому чи іншому рівнянню, яке відноситься до певного класу. Тому другий етап базується на порівнянні статистичних характеристик рівнянь. Це в дозволяє зробити остаточний вибір вигляду трендової залежності. Наявність сучасних засобів комп'ютерної техніки і програмного забезпечення для автоматизованого проведення статистичних розрахунків дозволяє досить швидко отримати як параметри і статистичні характеристики з обраних залежностей, так і їх графічне зображення.

Для обчислення параметрів трендової залежності можна використовувати вбудовані засоби табличного процесора. Для цього потрібно:

1) побудувати графік вихідних даних;

2) викликавши контекстне меню на лінії графіка, обрати команду Добавить Линию Тренда….;

3) у вкладці Тип відповідного діалогового вікна обрати вигляд трендової залежності;

4) у вкладці Параметры вказати назву лінії тренду, задати відображення прогнозу на задану кількість періодів та вказати відображення параметрів залежності: рівняння та значення коефіцієнта детермінації.

Розглянемо побудову трендової залежності на прикладі.

Приклад 9.2. Для наведених в таблиці 9.1. значень показника обсягу наданих послуг деяким підприємством за період з 2007 по 2011 рік розрахувати за допомогою трендових моделей прогнозні значення на 2012 рік.

Розв'язок.

Пошук трендових залежностей будемо знаходити за допомогою стандартних засобів табличного процесора. При цьому розглянемо наступні типи залежностей:

- лінійну;

- експоненціальну;

- степеневу.

Оцінку якості побудованої моделі будемо проводити за значенням коефіцієнта детермінації.

Побудуємо графік вихідних даних. Викличемо на лінії графіка контекстне меню і оберемо команду Добавить Линию Тренда…. (рисунок 9.3).

Рисунок 9.3 - Побудова лінії тренду

Далі у вкладці Тип оберемо тип трендової залежності - в даному випадку лінійну (рисунок 9.4).



Рисунок 9.4 - Вибір типу трендової залежності

Перейдемо до вкладки Параметры і задамо необхідні значення параметрів залежності: назву, період обчислення прогнозу і відображення рівняння залежності і значення коефіцієнта детермінації (рисунок 9.5)

Рисунок 9.5 - Налагодження відображення параметрів трендової залежності

В результаті на графіку буде відображена лінія тренда і вказані її параметри (рисунок 9.6).

Рисунок 9.6 - Відображення лінійної трендової залежності і її параметрів

Зазначимо, що аргументом залежності є змінна х, а не змінна t, яка нами використовувалась вище. Це особливість відображення залежності в табличному процесорі, і вона не має принципового значення.

Для обчислення точного значення прогнозу потрібно підставити в отримане рівняння Y=12078x+20716 значення наступного періоду часу x=6 (шосте значення за порядком). В результаті отримаємо: (тис. грн.).

Аналогічно побудуємо трендові залежності інших типів (рисунки 9.7 та 9.8) і обчислимо для них прогнози.

Рисунок 9.7 - Відображення степеневої трендової залежності і її параметрів

Рисунок 9.8 - Відображення експоненціальної трендової залежності і її параметрів

Прогнозні значення на 2012 рік. Обчислені за побудованими моделями, становлять:

(тис. грн.);

(тис. грн.).

Аналіз значень коефіцієнтів детермінації свідчить про те, що найкращою виявилась експоненціальна модель. Однак за розрахованим прогнозом на наш погляд більш точною є лінійна модель, оскільки за нею очікується не таке стрімке зростання показника.

Наведений приклад показує можливості табличного процесора у практичному використанні екстраполяційних методів прогнозування. Недоліками даного підходу є невелика кількість залежностей, за якими можна виконувати прогнозування, а також відсутність можливості розрахунку точного значення прогнозу безпосередньо в електронній таблиці.



4. Побудова лінійної регресійної моделі

4.1 Загальні відомості про побудову економетричних моделей

Під економетрикою в широкому смислі розуміється сукупність різного роду економічних досліджень, що проводяться з використанням математичних методів. При такій практиці економетрика являє собою досить розпливчатий методологічний напрямок з великою різноманітністю об'єктів дослідження, що не мають своєї власної економічної теорії.

Економетрика у вузькому розумінні займається головним чином застосуванням статистичних методів в економічних дослідженнях: побудовою математико-статистичних моделей економічних явищ, оцінкою параметрів в моделях любого типу тощо.

...