Економiко-математичнi методи та моделі

(7.5)

Якщо значення обчисленого К>2,5, то кореляційний зв'язок можна вважати криволінійним.

6.2 Оцінка значущості параметрів однофакторних моделей

Кореляційний аналіз базується на досить великій сукупності вихідних даних (одиниць спостереження). Однак на практиці не завжди можливо охопити всі без виключення аналогічні, однорідні в якісному відношенні одиниці. При дослідженні залежності між економічними показниками обмежуються лиш частиною одиниць спостережень, відбираючи найбільш типові. Часто для цього використовується спосіб простого випадкового відбору.

Множина всіх якісно однорідних одиниць, котрі володіють подібними властивостями, називається генеральною сукупністю, а об'єкти спостереження, які представляють частину генеральної сукупності і відібрані для аналізу, утворюють вибіркову сукупність.

Припустимо, що в ході дослідження зв'язку між показниками на основі вибіркових даних розраховані коефіцієнти рівняння регресії та кореляції. Оскільки в умовах експерименту відсутній функціональний зв'язок між показниками та , тобто , де u - деяка випадкова величина, то параметри рівняння регресії і коефіцієнт кореляції, розраховані по даних вибіркової і генеральної сукупностей, не будуть співпадати. Параметри моделі, розраховані по даних вибіркової сукупності, містять деяку “помилку” в порівнянні з відповідними параметрами моделі, розрахованих по даних генеральної сукупності. Тому обчислення ймовірностних помилок і оцінка параметрів моделі для генеральної сукупності по даних вибіркового розрахунку являється необхідною складовою частиною розробки економіко-статистичної моделі.

Для того, щоб оцінити, наскільки значні розходження між параметрами рівнянь, що характеризують вибіркову та генеральну сукупності, можливо використати - критерій Стьюдента, котрий для лінійної та лінеаризованої залежності обчислюється за формулами:

а) для параметра :

; (7.6)

б) для параметра :

; (7.7)

де - випадкові похибки (дисперсії) відповідно параметрів і .

Випадкові похибки (дисперсії) параметрів і розраховують за формулами:

(7.8)

(7.9)

Значення коефіцієнта парної кореляції являється випадковою величиною, котра залежить від об'єму вибірки. Із зменшенням числа спостережень надійність коефіцієнта кореляції падає. Оцінку значущості коефіцієнта кореляції (кореляційного відношення) також можна здійснити при допомозі -- критерія Стьюдента, котрий в цьому випадку розраховується за формулою:

(7.10)

де - випадкова похибка (дисперсія) коефіцієнта парної кореляції;

. (7.11)

Обраховані значення порівнюють з критичними їх значеннями при прийнятному рівні значимості (суттєвості) та кількості ступенів вільності . Критичні значення _КР знаходяться за таблицею розподілу Стьюдента. В соціально-економічних дослідженнях рівень значущості приймають рівним 0,05, тобто довірча імовірність . Якщо розрахункові значення більші - критичного (табличного), то параметри визнаються значимими, тобто відхиляється гіпотеза про те, що параметри в дійсності дорівнюють нулю для генеральної сукупності і лише внаслідок випадкових обставин вони виявилися рівним величині, що перевіряється.

Потім визначають довірчі межі параметрів вибіркового рівняння регресії по відношенню до загального :

, (7.12)

де - табличне значення t-критерія Стьюдента при - рівні значущості та k- степенів вільності;

;

Тоді рівняння регресії для генеральної сукупності має вигляд:

. (7.13)

Однією з вимог побудови економетричної моделі являється розрахунок довірчих меж базисних середніх значень результативного показника та довірчих меж рівняння регресії. Для цього визначають інтервали для кожного базисного значення при заданому рівні значимості за формулою:

. (7.14)

Тоді оцінка кожного базисного середнього:

. (7.15)

З'єднавши плавною лінією на графіку всі значення і відповідно , одержимо так звану довірчу зону рівняння регресії, котра оцінює залежність показника у від фактора х. Дві границі довірчого інтервалу являються двома гілками гіперболи, котра симетрична відносно теоретичної лінії регресії (прямої).

“Істинні” значення коефіцієнта парної кореляції, що існують в генеральній сукупності для рівня значимості та числа ступенів вільності знаходяться в інтервалі:

, (7.16)

, (7.17)

де - “істинне” значення коефіцієнта парної кореляції (кореляційного відношення) в генеральній сукупності.

Після побудови економетричної моделі та оцінки її параметрів визначають прогнозне значення результативного показника для прогнозних значень фактора шляхом підставки в прогнозну модель замість х його прогнозного значення .

Довірчі інтервали (зони) прогнозу оцінюють за формулою:

, (7.18)

Тоді:

. (7.19)

При високій кореляції прогнозні значення можуть бути прийняті для бізнес-планування результативного показника на найближчу перспективу. При цьому слід пам'ятати, що чим дальше від базисних показників взято прогнозне значення фактора , тим менш надійний прогноз, тим більша імовірність значного відхилення від середнього розрахункового значення, тобто довірча зона прогнозування розширюється.

6.3 Оцінка адекватності лінійної (лінеаризованої) регресії

При побудові економетричної моделі важливим є питання, наскільки вона відповідає дійсності (адекватна вихідним даним). Коефіцієнт кореляції (кореляційного відношення) вказує лише наявність зв'язку, а не його форму. Аналіз кореляційного поля також не завжди може дати відповідь про форму залежності. Тому необхідно мати аналітичні засоби для перевірки адекватності побудованої моделі.

Оцінка адекватності парної регресії здійснюється за -- критерієм Фішера. Для цього знаходять розрахункове (фактичне) значення -критерія Фішера за формулою:

, (7.20)

де

-- число дослідів (спостережень);

-- число включених у регресію факторів, які чинять суттєвий вплив на показник Для даної надійної ймовірності , де -- рівень значущості та кількостей ступенів вільності знаходимо табличне значення Отримане розрахункове значення порівнюється з табличним.

Якщо , то з надійною ймовірністю р можна вважати, що економетрична модель адекватна експериментальним даним і відкидається нульова гіпотеза, у протилежному випадку з надійністю р розглянуту парну регресію не можна вважати адекватною.

6.4 Коефіцієнт еластичності

Аналіз економетричної моделі буде вважатись неповним, якщо не будуть розраховані коефіцієнти еластичності. У випадку лінійної парної регресії коефіцієнт еластичності визначається за формулою:

, (7.21)

де а₁ -- параметр економетричної моделі;

-- середні значення змінних х та у.

Коефіцієнт еластичності має наступну інтерпретацію. Він показує, на скільки процентів в середньому зміниться результативний показник у, якщо незалежна змінна х зміниться на 1%. Коефіцієнт еластичності доцільно розрахувати у випадках, коли змінні х та у мають різні одиниці виміру.

Формули розрахунку коефіцієнтів еластичності для різних функцій приведені у таблиці 7.2.

Таблиця 7.2 - Коефіцієнти еластичності для деяких функцій

Приклад 7.1. На основі статистичних даних показника та фактора (таблиця 7.3) знайти оцінки параметрів лінії регресії, якщо припустити, що статистична залежність між фактором і показником має вигляд .

7. Використання табличного процесора для оцінювання параметрів регресійної залежності

7.1 Використання статистичних функції для побудови та аналізу регресійної моделі

Розрахунок параметрів лінійної регресійної залежності та її аналіз можна істотно спростити, якщо використати вбудовані засоби табличного процесора. Він має набір функцій, за допомогою яких можна розрахувати параметри моделі лінійної моделі, обчислити критичні значення критеріїв Стьюдента та Фішера, знайти прогнозні значення за лінійною або експоненціальною регресійними моделями без розрахунку параметрів самої моделі. В таблиці 7.6 наведені основні функції, призначені для вирішення наведених завдань

Таблиця 7.6 - Статистичні функції табличного процесора, призначені для побудови та аналізу лінійної регресійної моделі

Проілюструємо застосування наведених функції на прикладі

Приклад 7.2. Для клієнтів торгівельного закладу зафіксована сума покупки Y ( в гривнях) та часом розмови покупця з продавцем X (в хв.). Визначити форму залежності між Y і X та розрахувати за допомогою стандартних функцій табличного процесора параметри економетричної моделі. Вихідні дані для розрахунків наведені в таблиці 7.7. Також обчислити прогнозне значення очікуваної суми покупки Yпр при значенні Xпр=17 хв.

Таблиця 7.7

Розв'язок.

Побудуємо кореляційне поле (рисунок 7.1) та визначимо за ним форму зв'язку.

Рисунок 7.1 - Кореляційне поле

Аналіз кореляційного поля показує, що в даному випадку залежність може бути подана лінійному вигляді:

Проведемо розрахунки величин, які відобразять щільність зв'язку між чинниками, параметри моделі та проведемо перевірку її адекватності. Для цього скористаємось наведеними вище функціями. Результати розрахунків в електронній таблиці представлені на рисунку 7.2

Рисунок 7.2 - Розрахунок параметрів лінійної регресійної моделі та допоміжної статистики за допомогою статистичних функцій

Наведемо пояснення до проведених розрахунків (деякі числові значення будуть далі наведені з округленням)

Вихідні дані представлені в комірках B4:N5.

Значення коефіцієнта кореляції, розрахованого за допомогою функції КОРРЕЛ, записане в комірці D7.

Параметри регресійної моделі та допоміжна статистика, обчислена за допомогою функції ЛИНЕЙН, зі значенням четвертого параметра, рівного 1 для виводу допоміжної статистики, представлені в комірках G8:H7. При цьому:

- в комірках G8 та H8 записані значення параметрів а1 та а0 відповідно. Отже, модель має вигляд Y= -670,86 +122,66X;

- в комірках G9 та H9 записані значення середньоквадратичних відхилень параметрів а1 та а0 відповідно:

- в комірці G10 записано значення коефіцієнта детермінації R² = 0,84436

- в комірці H10 записано значення середньоквадратичного відхилення залишків моделі: ;

- в комірці G11 записано емпіричне значення критерію Фішера: F_емп=59,67;

- в комірці H11 записано значення кількості ступенів вільності k2=n-m-1 = 13-2=11;

- в комірці G11 записано значення суми квадратів відхилень, що пояснює регресію : SSR = 1259208;

- в комірці H11 записано значення суми квадратів відхилень емпіричних значень від модельних: SSE = 232115.

В комірках B15 та E15 записані емпіричні значення критерію Стьюдента для параметрів моделі а0 та а1 відповідно, які обчислені за формулами (7.6) та (7.7). Критичне значення критерію Стьюдента, обчислене за допомогою стандартної функції СТЬЮДРАСПОБР, при рівні значущості ?=0,05 та ступенях вільності k=11 наведене в комірці F16. Оскільки емпіричні значення перевищують критичне, то коефіцієнти побудованої нами моделі є статистично значущими.

В комірці F18 наведено критичне значення критерію Фішера, розраховане для рівня значущості ?=0,05 та ступенях вільності k1=1, k2=11. Оскільки емпіричне значення (комірка G11) перевищує критичне, то модель адекватна вихідним даним.

Отже, побудовану модель можна використати для прогнозування. Прогнозне значення, обчислене за допомогою функції ТЕНДЕНЦИЯ, для очікуваного значення X=17 (комірка D20) наведене в комірці D21. Зауважимо, що воно отримано безпосередньо за допомогою наведеної функції, без використання результатів розрахунків, наведених вище. Це же результат міг би бути отриманий шляхом підстановки прогнозного значення X безпосередньо в побудовану модель.

У випадку знаходження залежності у вигляді для розрахунку її параметрів необхідно було б скористатись функціями ЛГРФПРИБЛ та РОСТ, опис яких представлений в таблиці 7.6. якщо залежність між показниками мала би інших нелінійний вигляд, то потрібно було б спочатку провести її лінеаризацію відповідно до таблиці 7.1. Потім за допомогою відповідних статистичних функцій табличного процесора потрібно розрахувати параметри лінеаризованої моделі, після чого повернутись до вихідної моделі.

Серед недоліків використання статистичних функцій варто відзначити певну громіздкість розрахунків.

7.2 Використання засобу Анализ Данных для побудови та аналізу регресійної моделі

Серед недоліків використання статистичних функцій варто відзначити певну громіздкість розрахунків. Цього позбавлений інших підхід оцінювання параметрів регресійної залежності, який оснований на використанні інструменту Регрессия стандартного засобу табличного процесора Пакет Анализа. Він дозволяє одразу розрахувати як параметри моделі, так і допоміжні статистичні характеристики для перевірки значущості її параметрів та оцінювання якості. Однак використання засобу передбачає певні умови, однією з яких є обов'язкове розташування вихідних даних (значень показників) по стовпчиках.

Використання засобу розглянемо на прикладі. Для цього візьмемо умову попереднього прикладу.

Приклад 7.3. За даними, представленими в таблиці 7.7 розрахувати за допомогою інструменту Регрессия засобу Пакет Анализа табличного процесора параметри лінійної економетричної моделі. .

Розв'язок.

Запишемо вихідні дані у стовпчики (рисунок 7.3), як того вимагає використання інструменту. В даному випадку вони розташовані в комірках В3:С16.

Запустимо його на виконання командою Сервис - Анализ Данных - Регрессия. На екрані з'явиться діалогове вікно засобу, поля якого необхідно заповнити (рисунок 7.4).

- в полі Входной интервал - адреси комірок зі значеннями результуючого показника (діапазон С3:С16);

- в полі Выходной интервал - адреси комірок зі значеннями чинника (діапазон В3:В16); відзначимо, що абсолютна адресація тут взагалі кажучи ніякого значення не має і встановлюється автоматично при виборі діапазону за допомогою маніпулятора миши;

- прапорець Метки становлюємо у вімкнуте положення. Це означає, вказані вище діапазони даних містять підписи, що дійсно має місце (комірки В3 та С3);.

Рисунок 7.3 - Вихідні дані для побудови лінійної регресійної моделі

Рисунок 7.4 - Заповнення полів інструменту Регрессия засобу Пакет Анализа

В розділі параметрів Параметры выхода :

- встановлюємо перемикач Выходной интервал , що означатиме, що результати розрахунків будуть відображатись в комірках поточного робочого листа

- в полі справа від цього перемикача вказуємо адресу першої комірки діапазону електронної таблиці, з якої буде здійснений вивід результатів розрахунків, в даному випадку це комірка А17).. При цьому якщо деякі з комірок цього діапазону будуть зайняті, на екрані з'явиться відповідне попередження (рисунок 7.5):

Рисунок 7.5 - Попередження інструменту Регрессия засобу Пакет Анализа про можливість перезапису комірок електронної таблиці результатами розрахунків інструменту

Результати розрахунків відображені на рисунку 7.6. Наведемо опис найбільш важливих результатів (значення деяких параметрів будуть наведені з округленням).

Рисунок 7.6 - Результати розрахунку параметрів моделі та допоміжної статистики за допомогою Попередження інструменту Регрессия засобу Пакет Анализа

В комірці B20 вказано значення коефіцієнта кореляції, рівного R=0,9189.

В комірці B21 вказано значення коефіцієнта детермінації, рівного R²=0,8444.

В комірці B23 вказано середньоквадратичного відхилення залишків моделі: .

В комірках В33 та В34 вказані значення коефіцієнтів а0 та а1 регресійної моделі.

В комірках С33 та С34 вказані значення середньоквадратичних відхилень параметрів а0 та а1 відповідно:

В комірках D33 та D34 вказані значення t-статистики (емпіричні значення критерію Стьюдента) параметрів а0 та а1 відповідно: Зауважимо, що значення для параметра а0 взяте зі знаком «-», оскільки такий знак в даному випадку має сам коефіцієнт. При оцінюванні значущості параметра потрібно буде взяти це значення за абсолютною величиною.

В комірках Е33 та Е34 вказані граничні значення ймовірностей, для яких параметри а0 та а1 є значущими. Якщо вони не перевищують рівень значущості ? (зазвичай рівний 0,05), то коефіцієнти а0 та а1 моделі статистично значущі.

В комірках B28:B29 наведені значення ступенів вільності k1=1 та k2=11.

В комірках С28:С30 наведені значення квадратів відхилень SSR, SSE та SST відповідно. Неважко переконатись, що SSR+SSE=SST.

В комірках D28:D29 наведені значення дисперсій, які обчислюються за правилами MF=SS/df.

В комірці Е28 наведено емпіричне значення критерію Фішера, а в комірці F28 -його значущість. Тобто, адекватність моделі можна перевірити за значенням цієї імовірності: якщо вона менша за прийнятий рівень значущості ? (також зазвичай рівний 0,05), то модель адекватна.

Отже, результати роботи інструменту Регрессия засобу Пакет Анализа дозволяють провести повний аналіз побудованої регресійної моделі. Використання додаткових статистичних функцій при цьому не вимагається.

Єдиним недоліком використання даного підходу є те, що він не дозволяє автоматичне обчислення прогнозного значення результуючого показника за побудованою моделлю. Для цього обчислення потрібно провести безпосередньо підстановкою прогнозного значення чинника в рівняння моделі.

Размещено на Allbest.ru